Hướng dẫn giải bài tập Cơ kỹ thuật 2 (Phần động học) - Nguyễn Thị Kim Thoa

HƯỚNG DẪN GIẢI BÀI TẬP CƠ KỸ THUẬT 2 PHẦN ĐỘNG HỌC 
GV. Nguyễn Thị Kim Thoa Page 1 
HƢỚNG DẪN GIẢI BÀI TẬP 
CƠ KỸ THUẬT 2 
(PHẦN ĐỘNG HỌC) 
HƯỚNG DẪN GIẢI BÀI TẬP CƠ KỸ THUẬT 2 PHẦN ĐỘNG HỌC 
GV. Nguyễn Thị Kim Thoa Page 2 
Phần I ĐỘNG HỌC (KINEMATICS) 
ĐỘNG HO ̣C CHẤT ĐIỂM 
Mục đích của bài 
 Giới thiệu các khái niêṃ vị trí, dịch chuyển, vận tốc, và gia tốc. 
 Khảo sát chuyển động của chất điểm doc̣ theo môṭ đường thẳng . 
 Khảo sát chuyển động của chất điểm dọc theo đường cong , sử duṇg các hê ̣toa ̣
đô ̣khác nhau. 
Yêu cầu đối với sinh viên 
 Nhớ công thức xác điṇh vi ̣ trí, vâṇ tốc, gia tốc dưới daṇg véc tơ. 
 Giải được bài toán động học (xác định các đặc trưng của chuyển động : vị trí , 
dịch chuyển , vâṇ tốc, gia tốc, quãng đường đi được , xác định tính nhanh chậm 
của chuyển động,) đối với chất điểm chuyển đôṇg theo đường thẳng. 
 Biết lưạ choṇ hê ̣toa ̣đô ̣phù hơp̣ (hê ̣toa ̣đô ̣Descartes , hê ̣toa ̣đô ̣quỹ đaọ , hê ̣toa ̣
đô ̣cưc̣, hê ̣toa ̣đô ̣tru )̣ cho từng bài toán và giải đươc̣ bài toán đôṇg hoc̣ của chất 
điểm chuyển đôṇg theo đường cong . 
HƯỚNG DẪN GIẢI BÀI TẬP CƠ KỸ THUẬT 2 PHẦN ĐỘNG HỌC 
GV. Nguyễn Thị Kim Thoa Page 3 
I. CÁC ĐẶC TRƢNG ĐỘNG HỌC CỦA CHẤT ĐIỂM 
1. Vị trí 
 t r r 
2. Vâṇ tốc 
d
dt
r
v r 
3. Gia tốc 
d
dt
v
a v r 
II. ĐỘNG HỌC CHẤT ĐIỂM: chuyển đôṇg thẳng 
Vị trí 
 s s t 
Vâṇ tốc 
v s  
Véc tơ vận tốc v hướng theo chiều chuyển đôṇg . 
Gia tốc 
a v s hay ads vdv   
Véc tơ gia tốc a cùng chiều chuyển động nếu chất điểm chuyển động nhanh dần , 
ngươc̣ chiều chuyển đôṇg nếu chất điểm chuyển đôṇg châṃ dần . 
III. ĐỘNG HỌC CHẤT ĐIỂM: chuyển đôṇg cong 
Để khảo sát chuyển đôṇg của chất điểm mà quỹ đaọ của nó là đường cong , ta có thể sử 
dụng hệ toạ độ Descartes , hê ̣toa ̣đô ̣tư ̣nhiên (hê ̣toa ̣đô ̣tiếp tu yến – pháp tuyến) hoăc̣ 
hê ̣toa ̣đô ̣cưc̣, hê ̣toa ̣đô ̣tru .̣ 
ĐỘNG 
HỌC 
CHẤT 
ĐIỂM: 
hê ̣toa ̣đô ̣
Descartes 
Vị trí 
x y z r i j k 
Dịch chuyển: s s s 
Quỹ đạo 
HƯỚNG DẪN GIẢI BÀI TẬP CƠ KỸ THUẬT 2 PHẦN ĐỘNG HỌC 
GV. Nguyễn Thị Kim Thoa Page 4 
Vâṇ tốc 
2 2 2
x y z
x y z
v x v y v z
v x y z
v i j k  
  
  
v tiếp tuyến với quỹ đạo. 
Gia tốc 
2 2 2
x x
y y
z z
x y z
a v x
a v y
a v z
a x y z
a i j k  
 
 
 
  
CHUYỂN 
ĐỘNG 
PHẲNG: 
hê ̣toa ̣đô ̣
quỹ đạo 
(tiếp tuyến – 
pháp tuyến) 
(thường đươc̣ 
sử duṇg khi 
đa ̃biết quỹ 
đaọ chuyển 
đôṇg của chất 
điểm). 
 Vị trí: s = s(t) 
 Vận tốc: 
v tiếp tuyến với quỹ đạo, hướng theo chiều chuyển động 
tv
v s
v e

 Gia tốc 
2 2
t t n n
t t
n
a a
a v s hay a ds vdv
s v
a
a e e
 

A 
C 
na
ta
a
Quỹ đạo 
v 
C 
A 
E 
A 
t 
n 
te
t 
ne
t 
C 
s 
Quỹ đạo 
HƯỚNG DẪN GIẢI BÀI TẬP CƠ KỸ THUẬT 2 PHẦN ĐỘNG HỌC 
GV. Nguyễn Thị Kim Thoa Page 5 
Nếu phương trình của quỹ đạo đã biết thì: 
3/ 23/ 2 22
2 2
2 2
11
dxdy
dydx
d y d x
dx dy
 , ρ được gọi là bán kính cong 
của quỹ đạo tại A. 
 Gia tốc pháp an luôn hướng về tâm của quỹ đạo. 
 TH riêng: điểm chuyển động theo quỹ đạo tròn tâm C, bán kính R 
R 
 TH riêng: điểm chuyển động theo đường thẳng 
suyra: 0, .n ta a a v s   
 TH riêng: điểm chuyển động trên đường cong với tốc độ không 
đổi 
2
0,t n
va v a a
  
CHUYỂN 
ĐỘNG 
KHÔNG 
GIAN: 
Hê ̣toa ̣đô ̣
quỹ đạo 
s = s(t) 
tv
v s
v e

2 2
0
t t n n
t
t
n
b
a a
a v s
vdv
hay a
ds
s v
a
a
a e e
 

Măṭ phẳng 
mâṭ tiếp với 
quỹ đạo tại A 
Quỹ đạo 
HƯỚNG DẪN GIẢI BÀI TẬP CƠ KỸ THUẬT 2 PHẦN ĐỘNG HỌC 
GV. Nguyễn Thị Kim Thoa Page 6 
CHUYỂN 
ĐỘNG 
PHẲNG: 
hệ tọa độ 
cực 
 Vị trí 
 Vận tốc 
 Gia tốc 
ĐỘNG 
HỌC 
CHẤT 
ĐIỂM: 
 hệ tọa độ 
trụ 
R z zR z r e e e k 
2
2
R R
R
a a
a R R
v R R
 


 
a e e

 
R R
R
v v
v R
v R
 
 
v e e


Quỹ đạo 
RR r e 
R zR R z v e e e
  
 2 2R zR R R R z   a e e e     
HƯỚNG DẪN GIẢI BÀI TẬP CƠ KỸ THUẬT 2 PHẦN ĐỘNG HỌC 
GV. Nguyễn Thị Kim Thoa Page 7 
CÁC BƢỚC GIẢI BÀI TOÁN ĐỘNG HỌC CHẤT ĐIỂM 
 Xác định dạng quỹ đạo chuyển động của chất điểm (đường thẳng hay đường 
cong, chuyển đôṇg phẳng hay chuyển đôṇg trong không gian ba chiều , đa ̃biết 
hay chưa biết). 
 Chọn hệ trục toạ độ để khảo sát chuyển động . 
 Sử duṇg công thức liên hê ̣giữa toa ̣đô ̣vi ̣ trí với vâṇ tốc và gia tốc tương ứng 
với hê ̣truc̣ toa ̣đô ̣đa ̃choṇ để xác điṇh các đaị lươṇg đươc̣ yêu cầu (thưc̣ hiêṇ 
phép tính đạo hàm hoặc tích phân, khi tích phân cần chú ý đến điều kiêṇ đầu). 
HƯỚNG DẪN GIẢI BÀI TẬP CƠ KỸ THUẬT 2 PHẦN ĐỘNG HỌC 
GV. Nguyễn Thị Kim Thoa Page 8 
CÁC BÀI TẬP MẪU 
Bài 1 
Vị trí của một chất điểm chuyển động dọc theo trục x được xác định bằng phương 
trình 
2x 3t 12t 6( m ) , trong đó t tính bằng giây. Trong khoảng thời gian từ t=0 
tới t=3s, (1) Vẽ đồ thị vị trí, vận tốc, gia tốc theo thời gian; (2) tính quãng đường đi 
được; và (3) xác định dịch chuyển của chất điểm. 
Lời giải 
Phần 1 
 Do chuyển động là thẳng, vận tốc và gia tốc có thể được tính toán như sau: 
Các hàm này được vẽ trong các hình (a) – (c) trong khoảng thời gian t=0 tới t=3s. 
Chú ý đồ thị của x là parabol, nên sau khi đạo hàm ta nhận được hàm bậc nhất đối với 
vận tốc và hằng số đối với gia tốc. Thời gian để giá trị của x lớn nhất (hoặc nhỏ nhất) 
có thể được xác định bằng cách cho dx/dt=0, hay sử dụng phương trình v =–6t+12=0. 
Ta có kết quả t=2s. Thay t=2s vào phương trình (a), ta tìm được 
max 6mx 
HƯỚNG DẪN GIẢI BÀI TẬP CƠ KỸ THUẬT 2 PHẦN ĐỘNG HỌC 
GV. Nguyễn Thị Kim Thoa Page 9 
Phần 2 
Hình (d) cho ta biết chất điểm chuyển động như thế nào trong khoảng thời gian t=0 tới 
t=3s. Khi t=0, chất điểm dời điểm A (x =–6m) chuyển động sang phải. Khi t =2s, nó 
dừng ở B (x = 6m). Sau đó nó chuyển động sang trái, tới C (x =3m) khi t=3s. Do đó, 
quãng đường đi được bằng khoảng cách mà điểm dịch chuyển sang phải ( AB ) cộng 
với khoảng nó di chuyển sang trái ( BC ), ta có 
md AB BC 12 3 15 
Phần 3 
Dịch chuyển trong suốt khoảng thời gian t=0 đến t=3s là véc tơ được vẽ từ vị trí ban 
đầu tới vị trí cuối cùng của nó. Véc tơ này (được chỉ ra là ∆r trong hình (d)) là 
9r i 
Quan sát thấy rằng tổng quãng đường đã di chuyển được (15m) lớn hơn so với độ lớn 
của véctơ dịch chuyển (9m) vì hướng chuyển động thay đổi trong khoảng thời gian đã 
cho. 
Bài 2 
Chốt P tại điểm cuối của ống lồng nhau trong hình (a) trượt dọc theo rãnh cố định 
dạng parabol y2 =40x, trong đó x và y được đo bằng mm. Tọa độ y của P thay đổi theo 
thời gian t (được đo bằng giây) theo phương trình y =4t2 + 6t mm. Khi y=30mm, tính 
toán (1) véctơ vận tốc của P; và (2) véctơ gia tốc của P. 
Lời giải 
HƯỚNG DẪN GIẢI BÀI TẬP CƠ KỸ THUẬT 2 PHẦN ĐỘNG HỌC 
GV. Nguyễn Thị Kim Thoa Page 10 
Phần 1 
Thay thế 
vào phương trình quỹ đạo và giải tìm x, ta có: 
 Do đó các thành phần vuông góc của véctơ vận tốc là: 
 Đặt y=30mm trong phương trình (a) và giải tìm t ta được t=2.090s. Thay giá trị 
này vào trong các phương trình (c) và (d) ta nhận được 
Vì vậy , véctơ vận tốc tại y=30mm là 
Mô tả bằng hình ảnh của kết quả này được thể hiện dưới đây và trong hình (b). 
Bằng việc tính độ dốc của quỹ đạo, dy/dx tại y=30mm, dễ dàng chỉ ra rằng véctơ vận 
tốc được xác định ở trên thực sự tiếp tuyến với quỹ đạo. 
Phần 2 
Từ các phương trình (c) và (d), chúng ta có thể xác định các thành phần của gia tốc 
bằng phép tính vi phân: 
Thay t=2.090s, ta có: 
HƯỚNG DẪN GIẢI BÀI TẬP CƠ KỸ THUẬT 2 PHẦN ĐỘNG HỌC 
GV. Nguyễn Thị Kim Thoa Page 11 
 Do đó , véctơ gia tốc tại y=30mm là: 
Hình ảnh véctơ a là: 
Từ hình vẽ của véctơ gia tốc trong hình (b), chúng ta thấy phương của véctơ a không 
tiếp tuyến với quỹ đạo. 
Bài 3 
Xe ô tô trong hình vẽ chuyển động theo đường thẳng sao cho trong một khoảng thời 
gian ngắn vận tốc của nó được xác định bởi 3 12 ft/s2v t t , trong đó t được tính 
bằng giây. Hãy xác định (1) vị trí và (2) gia tốc của nó khi t = 3s. Khi t =0, s =0. 
Lời giải 
Hệ tọa độ: Tọa độ vị trí kéo dài từ gốc cố định O đến xe ô tô, hướng sang phải là 
dương. 
Phần 1 Xác định vị trí 
Vì v f t , vị trí của ô tô có thể được xác định từ v ds / dt (vì phương trình này liên 
quan đến v, s, và t). Chú ý rằng s =0 khi t =0, chúng ta có 
23 2
ds
v t t
dt
 2
0 0
3 2
s t
ds t t dt 
 3 2
0 0
s t
s t t 
3 2s t t 
Khi t =3s, 
3 2
3 3 36fts 
Phần 2 Xác định gia tốc 
Vì v f t , gia tốc được xác định từ 6 2a dv / dt t . 
Khi t =3s, 26 3 2 20ft/sa . 
HƯỚNG DẪN GIẢI BÀI TẬP CƠ KỸ THUẬT 2 PHẦN ĐỘNG HỌC 
GV. Nguyễn Thị Kim Thoa Page 12 
Bài 4 
Một chiếc xe đua cho trong hình (a) chạy với vận tốc 90km/h khi vào một đoạn đường 
cong dạng nửa đường tròn tại A. Lái xe tăng tốc một cách đều đặn, đạt vận tốc 
144km/h tại C. Xác định giá trị của gia tốc khi xe ở B. 
Lời giải 
Do xe đi theo một quỹ đạo tròn, nên thuận lợi để mô tả chuyển động của nó bằng cách 
sử dụng hệ tọa độ quỹ đạo. 
Như thể hiện trong hình (b), chúng ta đặt s là khoảng cách được đo dọc theo quỹ đạo 
từ A tới C. 
Giá trị của gia tốc tiếp tuyến là hằng số từ A tới C, do tốc độ tăng đều. Do đó, tích 
phân ta ds vdv ta có 
2
1
2
t
v
a s C (a) 
trong đó C1 là hằng số tích phân. Hai hằng số at và C1 có thể được xác định bằng việc 
sử dụng hai điều kiện của chuyển động: 
Thay điều kiện 1 vào trong công thức (a) chúng ta tìm được: 
2
1
25
0
2
C 
Từ đó hằng số tích phân 
 C1 =312.5(m/s)
2 
(b) 
Thay điều kiện 2 và giá trị của C1 vào trong công thức (a) ta có 
 at =1.55m/s
2 
(c) 
(b) (a) 
HƯỚNG DẪN GIẢI BÀI TẬP CƠ KỸ THUẬT 2 PHẦN ĐỘNG HỌC 
GV. Nguyễn Thị Kim Thoa Page 13 
Như trong hình (b) hướng của at là hướng xuống tại B, theo hướng của sự tăng tốc. 
Khi thay giá trị của C1 và at vào trong phương trình (a) quan hệ giữa v và khoảng cách 
s được tìm ra là 
2
1.55 312.5
2
v
s (d) 
Để tính tốc độ của ô tô khi tới B, chúng ta thay vào / 2 50 ms R phương trình 
(d), kết quả nhận được là 
2
1.55 50 312.5
2
33.35m/s
v
v
Các thành phần gia tốc pháp tuyến tại B là 
hướng về phía tâm của quỹ đạo cong (điểm O), như chỉ ra trong hình (b). 
Giá trị của gia tốc tại B là 
với hướng được chỉ ra trong hình (b). 
Bài 5 
Một dây đai mềm chạy vòng quanh hai puli đường kính khác nhau. Tại thời điểm như 
trong hình vẽ, điểm C trên đai có vận tốc 5m/s và gia tốc 50m/s2 hướng như hình vẽ. 
Tính toán giá trị gia tốc của điểm A và B nằm trên đai tại thời điểm đó. 
Lời giải 
Giả thiết rằng dây đai không giãn, chúng ta kết luận như sau: 
1. Mỗi một điểm trên dây đai có cùng vận tốc, đó là vA = vB = vC = 5m/s. 
2. Tỉ lệ thay đổi của vận tốc (dv/dt) của mỗi điểm trên dây đai là như nhau. 
Do đó (aA)t = (aB)t = aC = 50m/s
2.
Đối với điểm A 
HƯỚNG DẪN GIẢI BÀI TẬP CƠ KỸ THUẬT 2 PHẦN ĐỘNG HỌC 
GV. Nguyễn Thị Kim Thoa Page 14 
Đối với điểm B 
Bài 6 
Một xe goòng trong hình (a) di chuyển với tốc độ không đổi 90km/h dọc theo một 
đường ray hình parabol được mô tả bằng phương trình y =x2/500 trong đó x và y được 
tính bằng mét. Tính toán gia tốc của xe goòng khi nó tại (1) điểm O và (2) tại điểm A. 
Lời giải 
Thảo luận ban đầu: 
Bởi vì tốc độ của xe goòng là không đổi, thành phần gia tốc tiếp tuyến của nó bằng 0 
tại tất cả các điểm dọc theo đường ray. Do đó, gia tốc chỉ có một thành phần gia tốc 
pháp tuyến, được xác định bởi phương trình 
2
n
v
a
 a (a) 
trong đó là bán kính cong của đường ray tại điểm khảo sát. Nhắc lại rằng an hướng 
vào tâm của quỹ đạo cong. 
Bán kính cong ở điểm bất kỳ với tọa độ x và y có thể được tính từ công thức 
3/ 2
2
2
2
1
dy
dx
d y
dx
 (b) 
Đạo hàm liên tục phương trình parabol theo x ta có: 
2
2
1
250 250
dy x d y
dx dx
 (c) 
(a) 
HƯỚNG DẪN GIẢI BÀI TẬP CƠ KỸ THUẬT 2 PHẦN ĐỘNG HỌC 
GV. Nguyễn Thị Kim Thoa Page 15 
Thay các phương trình (c) vào trong phương trình (b), chúng ta tìm ra bán kính cong 
của đường ray là 
3/ 2
2
250 1 / 250x 
 (d) 
90 1000
25m/s
60 60
v
 (e) 
Phần 1 
Sử dụng phương trình (d), bán kính cong tại điểm O (xO =0) là 
Do đó, thành phần gia tốc pháp tuyến trong công thức (a) là 
Chú ý răng tiếp tuyến của đường ray tại O nằm trên trục x. Do đó (an)O nằm dọc trên 
trục y hướng vào tâm cong của đường ray, như trong hình (b). 
Phần 2 
Sử dụng công thức (d) bán kính cong tại A (xA =100m) là 
Do đó, thành phần gia tốc pháp tuyến là: 
Sử dụng công thức đầu tiên trong các công thức ở (c), độ dốc của đường ray tại A là 
Do đó, (an)A có hướng như trong hình (b) vuông góc với đường ray và hướng vào tâm 
cong. 
(b) 
HƯỚNG DẪN GIẢI BÀI TẬP CƠ KỸ THUẬT 2 PHẦN ĐỘNG HỌC 
GV. Nguyễn Thị Kim Thoa Page 16 
Bài 7 
Một con trượt A trong hình (a) trượt dọc theo một tay quay OB. Góc định vị của tay 
quay là 2
2
3
t rad, và khoảng cách của con trượt tính từ O thay đổi theo công thức 
418 4mR t , trong đó thời gian được tính bằng giây. Xác định vận tốc và gia tốc 
của con trượt tại thời điểm t =0.5s. 
Lời giải 
Chúng ta bắt đầu xác định các giá trị của các tọa độ cực của con trượt A và hai đạo 
hàm đầu tiên của nó ở thời điểm t = 0.5s: 
Các thành phần của véctơ vận tốc có thể được tính toán từ công thức 
Do đó, véctơ vận tốc ở thời điểm t =0.5s là 
Kết quả này được thể hiện trong hình (b), trong đó giá trị của véctơ v và góc giữa 
véctơ v và tay quay được tính toán như sau: 
(a) 
HƯỚNG DẪN GIẢI BÀI TẬP CƠ KỸ THUẬT 2 PHẦN ĐỘNG HỌC 
GV. Nguyễn Thị Kim Thoa Page 17 
Các thành phần của gia tốc có được từ công thức 
Véctơ gia tốc của con trượt ở thời điểm t =0.5s là 
Véctơ này được thể hiện trong hình (c). Giá trị của véctơ a và góc  được tính toán từ 
công thức: 
(b) 
(c) 
HƯỚNG DẪN GIẢI BÀI TẬP CƠ KỸ THUẬT 2 PHẦN ĐỘNG HỌC 
GV. Nguyễn Thị Kim Thoa Page 18 
Bài 8 
Sợi cáp nối tời A với điểm B nằm trên xe goòng trong hình (a) được cuốn đều với vận 
tốc 2m/s. Khi 
060 , xác định (1) vận tốc của B và  ; và (2) gia tốc của B và . Bỏ 
qua bán kính của tời. 
Lời giải 
Từ hình (a) chúng ta thấy rằng chiều dài R của sợi cáp và góc  là các tọa độ cực của 
điểm B. Khi 
060 , chúng ta có: 
Theo đề bài thì R được giảm đều với tốc độ hằng 2m/s . 
Do đó 2 / 0R m s R   
Chú ý rằng điểm B dịch chuyển theo đường thẳng, quỹ đạo nằm ngang. Do đó véctơ 
vận tốc và gia tốc của nó sẽ theo phương nằm ngang. 
Phần 1 
Hình (b) ... 120
1,386 /
86.6
B
BC
v
rad s
OB
 
 138,6 /Cv mm s 
Mà C CD nên: .C CDv CD 
Do đó: 
138,6
1,733 /
80
C
CD
v
rad s
CD
 . 
Chiều của , ,BC C CDv 
 đươc̣ thể hiện trên hình vẽ. 
Bài 5 
Khi cơ cấu ở vị trí như hình vẽ, thanh AB đang quay với vận tốc góc 
và gia tốc góc , đều ngược chiều kim đồng hồ. Hãy xác định gia tốc 
góc của các thanh BC và CD ở vị trí này. 
Lời giải 
Phân tích chuyển động: 
 AB quay quanh truc̣ cố điṇh qua A . 
 CD quay quanh truc̣ cố điṇh qua D . 
 BC chuyển đôṇg phẳng tổng quát (chuyển đôṇg song phẳng). 
Giải bài toán vận tốc: tìm BC và CD 
HƯỚNG DẪN GIẢI BÀI TẬP CƠ KỸ THUẬT 2 PHẦN ĐỘNG HỌC 
GV. Nguyễn Thị Kim Thoa Page 38 
 Vẽ Bv
 : Bv AB
, chiều theo AB , 80 2.4 192 /B ABv AB mm s . 
 Vẽ Cv
 : Cv CD
 , C CDv CD 
 Xác định tâm vận tốc tức thời của BC: 
B và C cùng thuộc BC mà đã biết vận tốc điểm B và phương vận tốc điểm C nên ta 
xác định tâm vận tốc tức thời của BC bằng cách: Từ B kẻ đường vuông góc với Bv
 Từ C kẻ đường vuông góc với Cv
Các đường vuông góc với Bv
 và Cv
 song song với nhau nên tâm vận tốc tức thời ở 
vô cùng hay không tồn tại tâm vận tốc tức thời. Nên: 
192 /
0
192
1.6 /
120
C B
BC
C
CD
v v mm s
v
rad s
CD


Giải bài toán gia tốc: tìm BC và CD 
 B AB : t nB B Ba a a 
, 
2
22 2
80 1.5 120 /
80 2.4 460.8 /
t
B AB
n
B AB
a AB mm s
a AB mm s

 C CD : t nC C Ca a a 
, 
22 2
120
120 1.6 307.2 /
t
C CD CD
n
C CD
a CD
a CD mm s

 ,B C BC : / / 1
t n
C B C B C Ba a a a 
/
22
/
95
95 0 0
t
C B BC BC
n
C B BC
a CB
a CB

 PT (1) được viết lại như sau: 
 / 2
t n t n t
C C B B C Ba a a a a 
HƯỚNG DẪN GIẢI BÀI TẬP CƠ KỸ THUẬT 2 PHẦN ĐỘNG HỌC 
GV. Nguyễn Thị Kim Thoa Page 39 
 Chiếu hai vế PT (2) lên hai phương vuông góc: phương ngang và thẳng đứng, ta 
được 
0
0
120 120 95 sin 24.90
307.2 460.8 95 cos 24.90
CD BC
BC
2
2
0.406 /
1.783 /
CD
BC
rad s
rad s
 Vậy 
HƯỚNG DẪN GIẢI BÀI TẬP CƠ KỸ THUẬT 2 PHẦN ĐỘNG HỌC 
GV. Nguyễn Thị Kim Thoa Page 40 
CHUYỂN ĐÔṆG PHƢ́C HƠP̣ CỦA ĐIỂM 
1. Các 
điṇh 
nghĩa 
cơ bản 
 Bài toán hợp chuyển động : có một điểm M chuyển đôṇg đối với vâṭ 
A, vâṭ A chuyển đôṇg đối với vâṭ B cố điṇh , ta có bài toán hơp̣ 
chuyển đô ṇg đối với điểm M. Vâṭ A đươc̣ goị là hê ̣quy chiếu đôṇg 
(gắn với hê ̣ toạ độ đôṇg Oxyz), vâṭ B đươc̣ goị là hê ̣quy chiếu cố 
điṇh (gắn với hê ̣toa ̣đô ̣
0 0 0 0O x y z ). 
 Các chuyển động: 
 Chuyển đôṇg tuyêṭ đối của điểm M: là chuyển động của M đối 
với hê ̣quy chiếu cố điṇh. 
 Chuyển đôṇg tương đối của điểm M : là chuyển động của M 
đối với hê ̣quy chiếu đôṇg. 
 Chuyển đôṇg theo : là chuyển động của hệ quy chiếu động đối 
với hê ̣quy chiếu cố điṇh . Vâṇ tốc góc của hê ̣đôṇg đươc̣ goị là 
vâṇ tốc góc theo, đươc̣ ký hiêụ là ωe . 
 Các đặc trưng động học của điểm M: 
 Vâṇ tốc tuyêṭ đối và gia tốc tuyêṭ đối của điểm M : là vâṇ tốc, 
gia tốc của điểm M tính toán đối với hệ cố định 
0 0 0 0O x y z , 
đươc̣ ký hiêụ là vaM , a
a
M
( hoăc̣ vM , aM ). 
 0vaM
dO M
dt
 
; 
2
0
2
a
a
M
d O M
dt
 
. 
 Vâṇ tốc tương đối và gia tốc tương đối của điểm M : là vâṇ 
tốc, gia tốc của điểm M tính toán đối với hệ động Oxyz, đươc̣ 
ký hiệu là vrM , a
r
M
. 
HƯỚNG DẪN GIẢI BÀI TẬP CƠ KỸ THUẬT 2 PHẦN ĐỘNG HỌC 
GV. Nguyễn Thị Kim Thoa Page 41 
/ vat A
v
r
M
dOM
dt
 
; 
2
2
/ vat A
a
r
M
d OM
dt
 
. 
 Vâṇ tốc theo và gia tốc theo của điểm M : là vận tốc , gia tốc 
tuyêṭ đối của điểm M* - trùng điểm M* của điểm M - tính toán 
đối với hê ̣cố điṇh, đươc̣ ký hiêụ là veM , a
e
M
. 
 *
*
0v v
e
M M
dO M
dt
 
; *
2 *
0
2
a a
e
M M
d O M
dt
 
. 
Khái niệm trùng điểm M* của điểm M: Điểm M* đươc̣ gắn với 
hê ̣đôṇg mà ở thời điểm khảo sát có cùng vi ̣ trí với điểm M 
đươc̣ goị là trùng điểm của điểm M tại thời điểm đó. 
2. Công 
thƣ́c 
hơp̣ 
vâṇ tốc 
v v v
r e
M M M 
3. Công 
thƣ́c 
hơp̣ gia 
tốc 
a a a a
r e C
M M M M 
Trong đó: 
2a ω vC rM e M là gia tốc Côriôlit , với ωe là vận tốc góc theo (vâṇ tốc góc 
của hệ động). 
Phương pháp xác điṇh gia tốc Côriôlit: 
 Nếu hê ̣đôṇg Oxyz chuyển đôṇg tiṇh tiến thì gia tốc Côriôlit bằng 
không: 0aCM . (Vì 0e .) 
 Nếu ω vre M (hình (a))thì quay véc tơ v
r
M theo chiều của ωe môṭ 
góc 900 ta se ̃nhâṇ đươc̣ phương , chiều của gia tốc Côriôlit ; còn 
giá trị của nó là: 2C rM e Ma v . 
HƯỚNG DẪN GIẢI BÀI TẬP CƠ KỸ THUẬT 2 PHẦN ĐỘNG HỌC 
GV. Nguyễn Thị Kim Thoa Page 42 
 Hình (a) Hình (b) 
 Nếu ωe tạo với v
r
M môṭ góc (hình (b)) thì trước tiên ta chiếu 
véc tơ vrM lên măṭ phẳng vuông góc với ωe để nhận được 
'r
vM . Sau 
đó quay 'rvM theo chiều của ωe môṭ góc 90
0
 ta se ̃nhâṇ đươc̣ 
phương, chiều của gia tốc Côriôlit ; còn giá trị của nó là : 
2 sinC rM e Ma v . 
CÁC BƢỚC GIÁI BÀI TOÁN HỢP CHUYỂN ĐỘNG 
 Nhâṇ biết bài toán chuyển đôṇg phức hơp̣ . 
 Phân tích chuyển đôṇg: 
 Phân tích daṇg chuyển đôṇg (tịnh tiến , quay quanh trục cố định , song 
phẳng, ) của các vật trong cơ hệ. 
 Chọn hệ động. Chuyển đôṇg của hê ̣đôṇg là chuyển đôṇg theo . Phân tích 
chuyển đôṇg tuyêṭ đối và chuyển đôṇg tương đối . Đồng thời xác định 
xem các yếu tố đôṇg hoc̣ nào đa ̃biết, chưa biết. 
 Tìm các vận tốc, vâṇ tốc góc: 
 Viết biểu thức vâṇ tốc: v v vr eM M M . 
 Vẽ các véc tơ vận tốc . Đối với các véc tơ chỉ biết phương , chưa biết 
chiều thì chiều của chúng có thể đươc̣ giả điṇh . (Nếu kết quả tìm đươc̣ là 
dương thì chiều của chúng đúng như chiều giả điṇh , nếu kết quả tìm 
đươc̣ là âm thì chúng có chiều ngươc̣ laị.) 
 Chiếu PT véc tơ trên lên hai truc̣ bất kỳ . Xác định các đại lượng chưa 
biết. 
HƯỚNG DẪN GIẢI BÀI TẬP CƠ KỸ THUẬT 2 PHẦN ĐỘNG HỌC 
GV. Nguyễn Thị Kim Thoa Page 43 
 Tìm các gia tốc, gia tốc góc: 
 Viết biểu thức gia tốc: a a a ar e CM M M M . 
 Vẽ các véc tơ gia tốc . Thưc̣ hiêṇ tương tư ̣như phần vâṇ tốc , lưu ý rằng 
nếu chuyển đôṇg tuyêṭ đối , chuyển đôṇg tương đối của điểm M và 
chuyển đôṇg tu yêṭ đối của điểm M * là chuyển động cong thì các thành 
phần gia tốc tuyêṭ đối , gia tốc tương đối , gia tốc theo của điểm M se ̃
đươc̣ phân tích thành gia tốc tiếp và gia tốc pháp . 
Chú ý thêm rằng các thành phần gia tốc pháp t uyến, gia tốc Côriôlit 
không phải là ẩn đối với bài toán gia tốc , vì sau khi giải bài toán vận tốc 
những thành phần gia tốc đó se ̃đươc̣ xác điṇh . 
 Chiếu phương trình liên hê ̣gia tốc lên hai truc̣ bất kỳ , sau đó giải tìm các 
đaị lươṇg đươc̣ yêu cầu. 
CÁC BÀI TẬP MẪU 
Bài 1 
Chốt P , đươc̣ gắn chăṭ vào thanh trượt PD , có thể trượt dọc theo rãnh trên tay quay 
AB. Thanh PD đang trượt sang trái với vận tốc không đổi 1.2m/s. Xác định vận tốc 
góc và gia tốc góc của AB khi θ = 600. 
Bài giải 
 Nhâṇ biết bài toán hơp̣ chuyển đôṇg 
Chốt P chuyển đôṇg đối với tay quay AB (có thể trượt dọc theo rãnh trên AB ), 
tay quay AB chuyển đôṇg so với gối cố điṇh . Do đó có bài toán phức hơp̣ 
chuyển đôṇg của chốt P . 
 Phân tích chuyển đôṇg 
HƯỚNG DẪN GIẢI BÀI TẬP CƠ KỸ THUẬT 2 PHẦN ĐỘNG HỌC 
GV. Nguyễn Thị Kim Thoa Page 44 
 AB quay quanh truc̣ cố điṇh qua A , thanh PD chuyển đôṇg tiṇh tiến theo 
phương ngang. 
 Chọn hệ động là tay quay AB . Chuyển đôṇg của tay quay so với gối cố 
điṇh là chuyển đôṇg theo (chưa biết). 
Chuyển đôṇg của chốt P đối với AB là chuyển động tương đối , là chuyển 
đôṇg thẳng (Chốt P có thể trượt dọc theo rãnh trên tay quay AB, mà rãnh 
trên AB là đường thẳng). Chuyển đôṇg này chưa biết . 
Chuyển đôṇg của chốt P đối với giá cố điṇh là chuy ển động tuyệt đối . 
Chuyển đôṇg này đa ̃biết vì chốt P gắn chăṭ trên thanh PB , thanh PB 
chuyển đôṇg tiṇh tiến theo phương ngang sang trái với vâṇ tốc không 
đổi 1.2m/s. Vâỵ chuyển đôṇg tuyêṭ đối của chốt P là chuyển đôṇg thẳng 
đều. 
 Tìm vận tốc góc của tay quay AB khi θ = 600 
Ta có: v v vr eP P P (1) 
 Vẽ vP : Như đa ̃phân tích ở trên vP có phương ngang, hướng sang trái và 
có độ lớn 1.2 /Pv m s . 
 Vẽ vrP : Chuyển đôṇg tương đối của chốt P đối với AB là chuyển đôṇg 
thẳng, nên vâṇ tốc tương đối vrP có phương theo đường thẳng đó , đô ̣lớn 
và chiều của nó chưa biết, ta se ̃giả điṇh chiều của nó. 
 Vẽ veP : Gọi P
*
 là vị trí trên rãnh mà tại thời điểm khảo sát chốt P đang 
chiếm chỗ (trùng điểm của điểm P ). Vâṇ tốc của P * sẽ được tính theo 
chuyển đôṇg của tay quay AB . AB quay quanh truc̣ cố điṇh nên 
*vP AB , nhưng chiều của *vP chưa biết và se ̃đươc̣ giả điṇh vì chuyển 
đôṇg của AB chưa biết. 
*
* 0.4
3
e
P AB AB ABP
v v AP AP   
 Chiếu PT (1) lên hai truc̣ vuông góc x, y 
v
e
P 
vP 
v
r
P 
y 
x 
HƯỚNG DẪN GIẢI BÀI TẬP CƠ KỸ THUẬT 2 PHẦN ĐỘNG HỌC 
GV. Nguyễn Thị Kim Thoa Page 45 
cos 0
sin 0
r
P P
e
P P
v v
v v


0
0
1.2cos60 0.6 /
1.2sin 60 0.6 3 /
r
P
e
P
v m s
v m s
Các kết quả tìm được là dương có nghĩa là các véc tơ ,v vr eP P có chiều 
đúng như chiều giả điṇh. 
Vâỵ 
0.6 3
4.5 /
0.4
3
e
P
AB
v
rad s
AP
 và có chiều ngược chiều kim đồng hồ. 
 Tìm gia tốc góc của tay quay AB khi θ = 600 
Ta có: a a a ar e CP P P P (2) 
 aP : Như đa ̃phân tích ở trên , chuyển đôṇg tuyêṭ đối của chốt P là chuyển 
đôṇg thẳng đều, nên 0Pa . 
 arP : Chuyển đôṇg tương đối của chốt P đối với AB là chuyển đôṇg thẳng , 
nên gia tốc tương đối arP có môṭ thành phần hướng theo đường thẳng đó 
và chiều của nó chưa biết, sẽ đươc̣ giả điṇh. 
 aeP : Gia tốc của P
*
 sẽ được tính theo chuyển động của tay quay AB . AB 
quay quanh truc̣ cố điṇh (P* có quỹ đạo dạng đường tròn ) nên *aP gồm 
hai thành phần tiếp tuyến và pháp tuyến: * * *a a a
n t
P P P
 . Mà *a a
e
P P
 , vâỵ 
nên: 
a a a
e en et
P P P 
Trong đó , aenP hướng từ P về A và 
22 20.4 4.5 4.68 /
3
en
P ABa AP m s
, 
còn aetP có phương vuông góc với AB , chiều chưa biết se ̃đươc̣ giả điṇh , 
đô ̣lớn 
0.4
3
et
P AB ABa AP . 
 aCP : Ta có 2a ω v
C r
P e P . Vâṇ tốc góc của AB (hê ̣đôṇg ) là vận tốc góc 
theo 4.5 /e AB rad s  . Véc tơ ωe nằm trên truc̣ quay của AB (xem laị 
phần chuyển đôṇg quay quanh truc̣ cố điṇh của vâṭ ), tức là nó vuông góc 
với AB . Nên ta có ω vre P : 22 2 4.5 0.6 5.4 /C rP e Pa v m s . 
Phương, chiều của aCP có đươc̣ bằng cách quay v
r
P môṭ góc 90
0
 trong 
măṭ phẳng giấy theo chiều ngươc̣ chiều kim đồng hồ (theo chiều 
e ). 
HƯỚNG DẪN GIẢI BÀI TẬP CƠ KỸ THUẬT 2 PHẦN ĐỘNG HỌC 
GV. Nguyễn Thị Kim Thoa Page 46 
 Phương trình (2) đươc̣ viết laị thành 
0 a a a ar en et CP P P P (3) 
Chiếu PT (3) lên hai truc̣ vuông góc x, y, ta nhâṇ đươc̣: 
0
0
r en
P P
C et
P P
a a
a a
2
2
4.68 /
5.4 /
r en
P P
et C
P P
a a m s
a a m s
et
Pa tìm được mang dấu dương có nghĩa là véc tơ a
et
P
 có chiều đúng như 
chiều giả điṇh. 
Vâỵ gia tốc góc của tay quay AB : 2
5.4
23.38 /
0.4
3
et
P
AB
a
rad s
AP
 và có 
chiều ngươc̣ chiều kim đồng hồ. 
Bài giải ngắn gọn 
 Chốt P chuyển đôṇg đối với tay quay AB (có thể trượt dọc theo rãnh trên AB ), 
tay quay AB chuyển đôṇg so với gối cố điṇh . Do đó có bài toán phức hơp̣ 
chuyển đôṇg của chốt P . 
 AB quay quanh truc̣ cố điṇh qua A , thanh PD chuyển đôṇg tiṇh tiến theo 
phương ngang. 
 Chọn hệ động là tay quay AB . Chuyển đôṇg của tay quay so với gối cố điṇh là 
chuyển đôṇg theo (chưa biết). 
 Chuyển đôṇg của chốt P đối với AB là chuyển đôṇg tương đối (chưa biết). 
 Chuyển đôṇg của chốt P đối với giá cố điṇh là chuyển đôṇg tuyêṭ đối . Chuyển 
đôṇg tuyêṭ đối của P là chuyển đôṇg thẳng đều với vâṇ tốc không đổi 1.2m/s. 
 Tìm vận tốc góc của tay quay AB khi θ = 600 
Ta có: v v vr eP P P (1) 
1.2 /Pv m s 
*
* 0.4
3
e
P AB AB ABP
v v AP AP   
a
et
P 
a
en
P 
a
r
P 
y 
x 
a
C
P 
HƯỚNG DẪN GIẢI BÀI TẬP CƠ KỸ THUẬT 2 PHẦN ĐỘNG HỌC 
GV. Nguyễn Thị Kim Thoa Page 47 
Chiếu PT (1) lên hai truc̣ vuông góc x, y 
cos 0
sin 0
r
P P
e
P P
v v
v v


0
0
1.2cos60 0.6 /
1.2sin 60 0.6 3 /
r
P
e
P
v m s
v m s
Các kết quả tìm được là dương có nghĩa là các véc tơ ,v vr eP P có chiều đúng như 
chiều giả điṇh. 
Vâỵ 
0.6 3
4.5 /
0.4
3
e
P
AB
v
rad s
AP
 và có chiều ngược chiều kim đồng hồ. 
 Tìm gia tốc góc của tay quay AB khi θ = 600 
Ta có: a a a ar e CP P P P (2) 
0Pa 
*a a a a
e en et
P P PP
22 20.4 4.5 4.68 /
3
en
P ABa AP m s
0.4
3
et
P AB ABa AP 
4.5 /e AB rad s  
 22 2 4.5 0.6 5.4 /C rP e Pa v m s 
v
e
P 
vP 
v
r
P 
y 
x 
HƯỚNG DẪN GIẢI BÀI TẬP CƠ KỸ THUẬT 2 PHẦN ĐỘNG HỌC 
GV. Nguyễn Thị Kim Thoa Page 48 
Phương trình (2) đươc̣ viết laị thành 
0 a a a ar en et CP P P P (3) 
Chiếu PT (3) lên hai truc̣ vuông góc x, y, ta nhâṇ đươc̣: 
0
0
r en
P P
C et
P P
a a
a a
2
2
4.68 /
5.4 /
r en
P P
et C
P P
a a m s
a a m s
et
Pa tìm được mang dấu dương có nghĩa là véc tơ a
et
P
 có chiều đúng như chiều 
giả định. 
Vâỵ gia tốc góc của tay quay AB : 2
5.4
23.38 /
0.4
3
et
P
AB
a
rad s
AP
 và có chiều 
ngươc̣ chiều kim đồng hồ. 
Cách giải khác (sử dụng công thức xác định vận tốc , gia tốc của điểm theo toa ̣độ – 
bài đôṇg hoc̣ chất điểm) 
 Gắn vào A môṭ hê ̣truc̣ toa ̣đô ̣cố điṇh Axy, trong hê ̣toa ̣đô ̣này vi ̣ trí của chốt P 
đươc̣ xác điṇh bởi các toa ̣đô ̣ ,P Px y . 
 Xét tại thời điểm bất kỳ, ta có 
cos
sin 0.2
P
P
x AP
y AP


x 
y 
Px 
Py 
a
et
P 
a
en
P 
a
r
P 
y 
x 
a
C
P 
HƯỚNG DẪN GIẢI BÀI TẬP CƠ KỸ THUẬT 2 PHẦN ĐỘNG HỌC 
GV. Nguyễn Thị Kim Thoa Page 49 
0.2 0.2
cos
sin tan
Px 
 
 2
2 2
0.2 1/ cos 0.2
tan sin
Px
  
 
 
 
 2 2 2
4 4
0.2 sin 0.2 2 sin cos 0.2 sin 0.4 sin cos
sin sin
Px
          
 
    
 
 Theo đề bài , thanh PD đang chuyển đôṇg sang tr ái với vận tốc không đổi 
1.2m/s nên ta có: 
1.2
0
P
P
x
x


Hay 
2
2
0.2
1.2
sin
0.2 sin 0.4 cos 0


   

 
Suy ra 
2
2
6sin
2 cos
sin
 
 





 Vâỵ khi θ = 600, vâṇ tốc góc của thanh AB là 4.5rad/s, ngươc̣ chiều kim đồng 
hồ và gia tốc góc của thanh AB là 23.38rad/s2, cũng ngược chiều kim đồng hồ.