Hướng dẫn giải bài tập Cơ học kỹ thuật 2 - Đặng Văn Hiếu

ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN 
TRƯỜNG ĐẠI HỌC KỸ THUẬT CÔNG NGHIỆP 
HƯỚNG DẪN GIẢI BÀI TẬP 
CƠ HỌC KỸ THUẬT 2 
(2 Tín chỉ) 
Biên soạn 
ThS. Đặng Văn Hiếu 
Thái Nguyên, 2017 
Huong dan giai Bai tap Co ky thuat 2 
2 
Huong dan giai Bai tap Co ky thuat 2 
3 
Huong dan giai Bai tap Co ky thuat 2 
4 
Huong dan giai Bai tap Co ky thuat 2 
5 
Chương 1. Giới thiệu về động lực học 
Nội dung chính: 
1. Giới thiệu về động lực học. 
2. Định nghĩa vị trí, vận tốc, gia tốc của chất điểm. 
3. Các khái niệm và định luật cơ bản của động lực học. 
Các bài tập giải mẫu: 
Bài tập mẫu 1.1: Chuyển đổi 1.5km/h sang mm/s. 
Lời giải: 
Bài tập mẫu 1.2: Gia tốc a của một chất điểm liên quan đến vận tốc v, vị trí của nó x và 
thời gian t bởi phương trình: 
  =  +  (a) 
Với A và B là các hằng số. Thứ nguyên của gia tốc là chiều dài chia đơn vị thời gian bình 
phương, nghĩa là [a]=[L/T2]. Thứ nguyên của các biến khác là [v]=[L/T], [x]=[L], và 
[t]=[T]. Hãy suy ra thứ nguyên của A và B nếu phương trình trên đồng nhất về thứ 
nguyên. Biểu diễn đơn vị của A và B trong hệ SI. 
Lời giải: 
Với phương trình (a), để đồng nhất thứ nguyên, thứ nguyên của mỗi số hạng bên vế phải 
của phương trình phải là [L/T2], giống với thứ nguyên của a. Do đó, thứ nguyên của số 
hạng thứ nhất bên vế phải của phương trình (a) trở thành 
Giải phương trình (b), chúng ta được thứ nguyên của A 
Huong dan giai Bai tap Co ky thuat 2 
6 
Trong hệ SI, đơn vị của A là m-2s-3. 
 Thực hiện phân tích thứ nhguyen tương tự đối với số hạng thứ hai bên vế phải của 
phương trình (a), chúng ta được 
Giải phương trình (c), chúng ta được thứ nguyên của B 
 Trong hệ SI, đơn vị của B là s-3. 
Bài tập mẫu 1.3: Tính lực hấp dẫn gây ra bởi trái đất lên một người đàn ông nặng 70kg 
ở độ cao trên bề mặt của trái đất bằng bán kính của trái đất. Khối lượng và bán kính của 
trái đất là   = 5.9742 × 10
kg và  = 6378	. 
Lời giải: 
Xét vật thể khối lượng m đặt tại một khoảng cách 2Re từ tâm của trái đất khối lượng Me. 
Định luật vạn vật hấp dẫn, từ phương trình (1.17), chỉ ra rằng vật thể bị hấp dẫn bởi trái 
đất với một lực F được tính bởi 
với  = 6.67 × 10	/( ∙ ) là hằng số hấp dẫn. Thay giá trị của G và các thông 
số đã cho, lực hấp dẫn của trái đất tác dụng lên người đàn ông nặng 70kg là 
Các bài tập tự giải: 
B1.1. Một người nặng 30 N trên mặt trăng, với g = 1.6 m/s2. Xác định (a) khối lượng của 
người; và (b) trọng lượng của người trên trái đất. 
Huong dan giai Bai tap Co ky thuat 2 
7 
B1.2. Bán kính và chiều dài của một khối trụ sắt là 60 mm và 120 mm, tương ứng. Nếu 
mật độ khối lượng của sắt là 7850 kg/m3, xác định trọng lượng của khối trụ. 
B1.3. Đổi các đại lượng sau: (a) 100 kN/m2 sang lb/in.2; (b) 30 m/s sang km/h; (c) 800 
slugs sang Mg; (d) 20 lb/ft2 sang N/m2. Sử dụng bảng chuyển đổi được đưa ra ở trang 
đầu. 
B1.4. Cân bằng định luật 2 của Newton và định luật hấp dẫn và sau đó rút ra đơn vị của 
hằng số hấp dẫn. 
B1.5. Khi một vật rắn có khối lượng m chuyển động phẳng, động năng của nó (KE) là 
với v là vận tốc của khối tâm, k là hằng số, và ω là vận tốc góc của vật tính bằng rad/s. 
Biểu diễn đơn vị của KE và k theo các đơn vị cơ bản của hệ đo lường SI. 
B1.6. Trong một ứng dụng cụ thể, gia tốc a và tọa độ vị trí x của chất điểm liên hệ với 
nhau 
với g là gia tốc trọng trường, k là hằng số, và W là trọng lượng của chất điểm. Chỉ ra rằng 
phương trình đó phù hợp về thứ nguyên nếu thứ nguyên của k là [F/L]. 
Huong dan giai Bai tap Co ky thuat 2 
8 
Chương 2: Động học chất điểm 
Nội dung chính: 
1. Động học chất điểm trong hệ tọa độ thẳng (Đề các): 
Vị trí của chất điểm: 
() = . + . + . 
Vận tốc của chất điểm: 
d d( x. y. z. ) d d d
x. x. y. y. z. z.
dt dt dt dt dt
   
r i j k i j k
v = i j k 
Gia tốc của chất điểm: 
x y z
x y z
d( v v v . )d
v . v . v .
dt dt
   
.i .j kv
a i j k 
Các trường hợp đặc biệt: Chuyển động thẳng, chuyển động phẳng. 
2. Động học chất điểm trong hệ tọa độ quĩ đạo (hệ tọa độ tiếp tuyến và pháp tuyến): 
Vị trí của chất điểm: 
 s(t): Tọa độ quĩ đạo. 
Huong dan giai Bai tap Co ky thuat 2 
9 
Vận tốc của chất điểm: 
 0;n tv v v s  : Vận tốc tiếp tuyến với quĩ đạo. 
Gia tốc của chất điểm: 
 an: gia tốc pháp tuyến; at: gia tốc tiếp tuyến. 
Quan hệ vận tốc, gia tốc và tọa độ quĩ đạo: 
Chuyển động đặc biệt: Chuyển động tròn: 
3. Động học chất điểm trong tọa độ cực: 
Huong dan giai Bai tap Co ky thuat 2 
10 
Vị trí của chất điểm: R=R(t), θ=θ(t). 
Vận tốc của chất điểm: 
Gia tốc của chất điểm: 
Các bài tập giải mẫu: 
Bài tập mẫu 2.1 
Vị trí của một chất điểm chuyển động dọc theo trục x được xác định bằng phương trình 
2x 3t 12t36( m ) , trong đó t tính bằng giây. Trong khoảng thời gian từ t=0 tới t=3s, 
(1) Vẽ biểu đồ vị trí, vận tốc, gia tốc theo thời gian; (2) tính quãng đường đi được; và (3) 
xác định dịch chuyển của chất điểm. 
Huong dan giai Bai tap Co ky thuat 2 
11 
Giải 
Phần 1 
 Do chuyển động là thẳng, véc tơ vận tốc và gia tốc có thể được tính toán như sau: 
Các hàm này được biểu diễn trong các hình (a) – (c) trong khoảng thời gian t=0 tới 
t=3s. Chú ý đồ thị của x là paraboll, nên có đạo hàm là hàm bậc nhất đối với vận tốc và 
hằng số đối với gia tốc. Thời gian để giá trị của x lớn nhất có thể được xác định bằng 
cách cho dx/dt=0, hoặc ứng dụng phương trình v=-6t+12=0, ta có kết quả t=2s thay 
t=2s vào phương trình (a) ta tìm được 
maxx 6m 
Phần 2 
Huong dan giai Bai tap Co ky thuat 2 
12 
Biểu đồ (d) chỉ ra chất điểm chuyển động như thế nào trong khoảng thời gian t=0 tới 
t=3s khi t=0, chất điểm dời điểm A (x=-6m) chuyển động sang phải . Sau đó nó chuyển 
động sang trái, tới C (x=3m) khi t=3s. Do đó quãng đường đi được bằng khoảng cách 
mà điểm dịch chuyển sang phải ( AB ) cộng với khoảng nó di chuyển sang trái ( BC ), ta 
có 
d AB BC 12 3 15m 
Phần 3 
Dịch chuyển trong suốt khoảng thời gian t=0 đến t=3s là véc tơ được vẽ từ vị trí ban đầu 
tới vị trí cuối cùng của nó. Véc tơ này được minh họa như là ∆r trong biểu đồ (d) là 
 =9r i 
Quan sát rằng tổng quãng đường đã di chuyển được (15m) là lớn hơn so với giá trị của 
véctơ dịch chuyển (9m) do hướng chuyển động thay đổi trong khoảng thời gian đã cho. 
Bài tập mẫu 2.2 
Chốt P tại điểm cuối của ống lồng nhau trong sơ đồ (a) 
trượt dọc theo rãnh cố định dạng parabol có phương trình 
là 
2y 40x trong đó x và y được đo bằng mm. Tọa độ 
y của P thay đổi theo thời gian t (được đo bằng giây) với 
phương trình 
2y 4t 6t . Khi y=30mm, tính toán (1) 
véctơ vận tốc của P; và (2) véctơ gia tốc của điểm P. 
Giải 
Huong dan giai Bai tap Co ky thuat 2 
13 
Phần 1 
Thay thế 
vào phương trình quỹ đạo và giải với x ta có: 
 Do đó các thành phần vuông góc của véctơ vận tốc là: 
 Đặt y=30mm trong phương trình (a) và giải tìm ra t=2.090s. Thay giá trị này vào 
trong các phương trình (c) và (d) ta có: 
Vì vậy , véctơ vận tốc tại y=30mm là 
Mô tả bằng hình ảnh của kết quả này được thể hiện dưới đây cũng như trong hình (b) 
Bằng việc đánh giá độ dốc của quỹ đạo, dy/dx tại y=30mm dễ dàng chỉ ra rằng véctơ vận 
tốc được xác định ở trên thực sự tiếp tuyến với quỹ đạo. 
Huong dan giai Bai tap Co ky thuat 2 
14 
Phần 2 
 Từ các phương trìn (c) và (d) chúng ta có thể xác định các thành phần của gia tốc bằng 
phép tính vi phân: 
Thay t=2.090s , ta có: 
 Do đó , véctơ gia tốc tại y=30mm là: 
Biểu diễn véctơ a là: 
Huong dan giai Bai tap Co ky thuat 2 
15 
Từ hình vẽ của véctơ gia tốc trong hình (b) chúng ta thấy phương của véctơ a không tiếp 
tuyến với quỹ đạo. 
Bài tập mẫu 2.3 
Góc hợp bởi hai thanh cho trong hình (M3.1a) và trục x thay đổi theo
3( ) 0.3 1.6 3t t t rad , trong đó t là thời gian tính bằng giây. Khi t=2s (1) định các độ 
lớn của vận tốc và gia tốc của điểm A; và (2) Biểu diễn véctơ vận tốc và gia tốc của các 
thanh trên hình. 
Lời giải 
Phần 1 
Hình M3.1a Hình M3.1b 
Hình M3.1c 
Huong dan giai Bai tap Co ky thuat 2 
16 
 Ta thấy thuận lợi khi sử dụng các thành phần pháp tuyến và tiếp tuyến bởi vì quỹ 
đạo của A là một đường tròn (tâm O và bán kính R=2m). 
Vận tốc góc và gia tốc góc của thanh là 20.9 1.6 ( / )t t rad s  và 21.8 ( / )t rad s  . Tại 
thời điểm t=2s chúng ta tìm ra được 
Do  và  là dương, chiều của chúng là cùng chiều với chiều dương của  đó là ngược 
chiều kim đồng hồ. 
Từ công thức (3.10) giá trị của vận tốc của A là : 
Các thành phần pháp tuyến và tiếp tuyến của A là, sử dụng công thức (3.11): 
Do đó giá trị của gia tốc của điểm A là 
Phần 2 
Khi thay t=2s vào trong biểu thức của ( )t chúng ta tìm ra rằng góc xác định vị trí của 
thanh ở thời điểm t=2s là 
Véctơ vận tốc của điểm cuối của A được biểu diễn trong hình (Hình M3.1b). Giá trị của 
véctơ v là 4.00m/s, như đã tính trong phần 1, và véctơ là tiếp tuyến với quỹ đạo tròn, 
hướng của nó xét cùng với hướng của  . 
Huong dan giai Bai tap Co ky thuat 2 
17 
Hình (M3.1c) biểu diễn các hướng của các thành phần tiếp tuyến và pháp tuyến của 
véctơ gia tốc như được xác định trong phần 1. 
Chú ý rằng véctơ an là vuông góc với quỹ đạo và luôn hướng vào tâm của quỹ đạo. 
Hướng của véctơ at tiếp tuyến với quỹ đạo, phù hợp với chiều hướng của . Véctơ gia 
tốc của giá trị 10.76m/s2 cũng được thể hiện trong hình (M3.1c) trong đó góc giữa véctơ 
a và véctơ at được tìm ra là : 
Bài tập mẫu 2.4: 
Một chiếc xe đua cho trong hình (M3.2a) đang chạy với vận tốc 90km/h khi vào một 
đoạn đường cong dạng nửa đường tròn tại A. Lái xe tăng tốc một cách đều đặn, đạt vận 
tốc 144km/h tại C. Xác định giá trị của gia tốc khi xe ở B. 
Lời giải 
Do xe đi theo một quỹ đạo tròn, nên thuận lợi để mô tả chuyển động của nó bằng cách sử 
dụng hệ tọa độ quĩ đạo. 
Như thể hiện trong hình (M3.2b), chúng ta đặt s là khoảng cách được đo dọc theo quỹ 
đạo từ A tới C. 
Hình M3.2a Hình M3.2b 
Huong dan giai Bai tap Co ky thuat 2 
18 
Giá trị của gia tốc tiếp tuyến là hằng số từ A tới C, do tốc độ tăng đều. Do đó tích phân 
của ta ds vdv ta có được : 
2
2
t
v
a s C (a) 
trong đó C là hằng số tích phân. Hai hằng số at và C có thể được xác định bằng việc sử 
dụng hai điều kiện của chuyển động: 
Thay điều kiện 1 vào trong công thức (a) chúng ta tìm được: 
Từ đó hằng số tích phân 
 C=312.5(m/s)2 (b) 
Thay điều kiện 2 và giá trị của C vào trong công thức (a) ta có 
Giải ra at: 
at=1.55m/s
2 (c) 
Như trong hình (M3.2b) hướng của at là hướng xuống tại B, theo hướng của sự tăng tốc. 
Khi thay giá trị của C và at vào trong phương trình (a) quan hệ giữa v và khoảng cách s 
được tìm ra là 
 (d) 
Từ phương trình (3.11) thành phần gia tốc pháp tuyến tại B là 
Huong dan giai Bai tap Co ky thuat 2 
19 
Hướng về phía tâm của quỹ đạo cong (điểm O), như chỉ ra trong hình (M3.2b). 
Giá trị của gia tốc tại B là 
Với hướng như hình (M3.2b) 
Bài tập mẫu 2.5: 
Một con trượt A trong hình (M3.5a) trượt dọc theo một tay quay OB. Góc định vị của tay 
quay là 2
2
3
t , và khoảng cách của con trượt từ O thay đổi theo công thức 
418 4( )R t m , trong đó thời gian được tính bằng giây. Xác định các véctơ vận tốc và 
gia tốc của con trượt tại thời điểm t=0.5s 
Lời giải 
Chúng ta bắt đầu xác định các giá trị của tọa độ cực của con trượt A và hai đạo hàm đầu 
tiên của nó ở thời điểm t=0.5s: 
Hình M2.5a Hình M2.5b 
Huong dan giai Bai tap Co ky thuat 2 
20 
Các thành phần của tọa độ cực của véctơ vận tốc có thể được tính toán từ công thức : 
Do đó, véctơ vận tốc ở thời điểm t=0.5s là : 
Kết quả này được thể hiện trong hình (M2.5b), trong đó giá trị của véctơ v và góc giữa 
véctơ v và tay quay được tính toán như sau: 
Các thành phần của gia tốc có được từ công thức : 
véctơ gia tốc của con trượt ở thời điểm t=0.5s là 
Huong dan giai Bai tap Co ky thuat 2 
21 
véctơ này được thể hiện trong hình (M2.5c). Giá trị của véctơ a và góc  được tính toán 
từ công thức: 
Các bài tập tự giải: 
B2.1. Một viên đạn được bắn lên theo phương thẳng đứng tại thời điểm t=0. Cao độ của 
viên đạn được cho bởi: 
 = −0.13 + 4.1 + 0.12	() 
Với t tính bằng giây. Xác định vận tốc lớn nhất của viên đạn và cao độ tương ứng. 
B2.2. Khi một vật được ném thẳng lên bề mặt của một hành tinh, chuyển động tiếp theo 
trong điều kiện không có sức cản của không khí có thể được mô tả bởi: 
 = −
1
2
 +  
Với g và  là các hằng số. (a) Xác định biểu thức của vận tốc và gia tốc của vật. Sử dụng 
kết quả đó để chỉ ra rằng  là tốc độ ban đầu của vật và g là gia tốc trọng trường. (b) Xác 
định độ cao lớn nhất mà vật đạt được và tổng thời gian bay của vật. (c) Tính kết quả của 
phần (b) với  = 90	/ℎ và g=9.81m/s
2 (bề mặt của trái đất). 
Hình M2.6c 
Huong dan giai Bai tap Co ky thuat 2 
22 
B2.3. Vị trí của một chất điểm chuyển động trên trục x được mô tả bởi: 
 =  − 108	 
Với t là thời gian tính bằng giây. Trong khoảng thời gian từ t=0 đến t=10s, (a) Vẽ đồ thị 
vị trí, vận tốc, gia tốc theo thời gian; (b) Tìm dịch chuyển của chất điểm; và (c) Xác định 
quãng đường đi được của chất điểm. 
B2.4. Vị trí của chất điểm di chuyển trên trục x được cho bởi: 
 =  − 3 − 45	 
Với t là thời gian tính bằng giây. Xác định vị trí, vận tốc, gia tốc và quãng đường đi được 
khi t=8 s. 
B2.5. Vị trí của chiếc xe hơi di chuyển trên đường ray thẳng được cho bởi: 
 =  −

90
	 
Với t là thời gian tính bằng giây. Xác định: (a) Quãng đường đi được của chiếc xe trước 
khi nó dừng lại; và (b) Vận tốc lớn nhất mà chiếc xe đạt được. 
B2.6. Một vật được thả ra từ trạng thái nghỉ tại A và rơi tự do. Do ảnh hưởng của sức cản 
của không khí, vị trí của vật là hàm của thời gian : 
 = ( −  + 
/) 
Với 	 và  là các hằng số. (a) Xác định biểu thức của tốc độ v của vật. Sử dụng kết quả 
để giải thích tại sao  được gọi là vận tốc ban đầu. (b) Xác định biểu thức của gia tốc a 
của vật là hàm của thời gian t và là hàm của vận tốc v. 
Huong dan giai Bai tap Co ky thuat 2 
23 
B2.7. Một hạt di chuyển dọc một thanh thẳng dài 60-mm nằm trên trục x. Vị trí của hạt 
được cho bởi: 
  = 2 − 10	 
Với x được đo từ tâm của thanh, và t là thời gian tính bằng giây. Xác định: (a) Thời gian 
khi hạt rời khỏi thanh; và (b) Quãng đường đi được của hạt từ t=0 đếm khi nó rời khỏi 
thanh. 
B2.18. Viên đạn được bắn ra từ O theo quĩ đạo parabol, được cho dưới dạng tham số 
 = 66,	 = 86 − 4.91 
với x và y được đo băng mét và t đo bằng giây. Xác định: (a) Véc tơ gia tốc trong khi 
bay. (b) Véc tơ vận tốc tại O. (c) Chiều cao lớn nhất h. (d) Tầm xa L. 
Hình B2.8 
B2.9. Một chiếc ô tô di chuyển xuống một quả đồi có mặt cắt là một parabol. Giả sử rằng 
thành phần nằm ngang của véc tơ vận tốc có độ lớn không đổi v0, xác định: (a) Biểu thức 
của tốc độ của ô tô theo x; và (b) Độ lớn và hướng của gia tốc. 
Huong dan giai Bai tap Co ky thuat 2 
24 
Hình B2.9 
B2.10. Vị trí của một chất điểm trong chuyển động phẳng được xác định bởi: 
với a>b, và ω là hằng số. (a) Chỉ ra rằng quĩ đạo của chất điểm là một ellip. (b) Chứng 
minh rằng véc tơ gia tốc luôn hướng về tâm của ellip. 
B2.11. Chiếc xe di  ...  dụng phương pháp vận tốc tương đối) 
Lời giải 
Huong dan giai Bai tap Co ky thuat 2 
49 
 Đầu tiên chúng ta phải xác định tâm tức thời của hai vật rắn AB và BC. Bởi vì A 
là điểm cố định, nó rõ ràng là tâm tức thời của thanh AB. Tâm tức thời của BC, được dán 
nhãn O trong hình (b), là giao điểm của các đường thẳng vuông góc với vec to vận tốc 
của B và C. Chú ý rằng vB vuông góc với AB, và vC nằm ngang. Do đó, O được xác định 
tại giao của đường thẳng AB và đường thẳng đứng qua điểm C. 
 Từ quan hệ hình học trong hình (b) chúng ta thấy rằng 0.15 sin 300 +0.12 = 0.24 
sinβ, từ đấy ta tìm được β = 54.340. Do đó, khoảng cách a, b, và c là 
/
0.45
2.81 /
0.16
2.81 /
B
BC
B O
BC
v
rad s
r
rad s


Khoảng cách tới B và C từ O là 
/
/
/ sin 30 0.080 / sin 30 0.16
0.195 0.16 0.355
o o
B O
C O
r c m
r a c m
 Bây giờ tâm vận tốc tức thời cho mỗi thanh đã được tìm, chúng ta có thể tính toán 
các vận tốc yêu cầu. 
 Xem xét chuyển động của thanh AB (tâm tức thời của nó tại A), chúng ta tìm thấy 
vB = rB/AAB = 0.15(3) = 0.45m/s, hướng như chỉ ra trên hình (b). Phân tích dịch chuyển 
của BC (tâm tức thời của nó tại O) do đó 
/
0.45
2.81 /
0.16
2.81 /
B
BC
B O
BC
v
rad s
r
rad s


Và 
/O 0.355(2.81) 0.99 /
0.99 /
C C BC
C
v r m s
v m s
 
Bài tập mẫu 4.4 
Huong dan giai Bai tap Co ky thuat 2 
50 
 Khi một cơ cấu bốn khâu trong hình (a) có vị trí được chỉ ra, vận tốc góc của thanh 
AB là AB = 2 rad/s thuận chiều kim đồng hồ. Ở trị trí này, xác định vận tốc góc của các 
thanh BC và CD; và vận tốc của C bằng cách sử dụng tâm vận tốc tức thời (bài tập này đã 
được giải ở mục trước bài tập mẫu 16.6 bằng phương pháp vận tốc tương đối). 
Lời giải 
 Bởi vì A và d là các điểm cố định, chúng là tâm tức thời của các thanh AB và CD, 
tương ứng. Tâm tức thời của thanh BC, dán nhãn O trong hình (b), được xác định tại 
điểm giao của các đường thẳng vuông góc với vecto vận tốc của điểm B và C. Bởi vì vB 
và vC là vuông góc vowisAB và CD, tương ứng, tâm tức thời tại giao điểm của hai đường 
thẳng này. Chú ý rằng vật BC phải được “mở rộng” để chứa điểm O. 
Khoảng cách tới B và C từ O, được tìm từ tam giác OBC là 
/O
/
50 / tan 30 86.60
50 / sin 30 100
o
B
o
C O
r mm
r mm
Tâm tức thời A, O và D có thể bây giờ được sử dụng trực tiếp để tính vận tốc góc yêu cầu 
từ hình (b). 
Xem xét chuyển động của AB (tâm tức thời tại A), chúng ta tìm thấy vB = 
rB/AAB=60(2)=120mm/s, hướng như chỉ ra trên hình (b). phân tích dịch chuyển của BC 
(tâm tức thời của nó tại O) dẫn đến 
Huong dan giai Bai tap Co ky thuat 2 
51 
Và 
/ 100(1.386) 138.6 mm/ s
138.6 /
C C O BC
C
v r
v mm s
 
Bởi vì C là một điểm trên thanh CD (tâm vận tốc tức thời của nó tại D), vận tốc góc của 
thanh CD là 
/
138.6
1.733 /
80
1.733 /
C
CD
C D
BC
v
rad s
r
rad s


Bài tập mẫu 4.5: 
 Thanh AB của cơ hệ chỉ ra trong hình (a) đang quay thuận chiều kim đồng hồ với 
vận tốc góc không đổi 3rad/s. Xác định gia tốc góc của thanh BC và gia tốc của con trượt 
C tại thời điểm khi thanh AB tạo một góc 300 với phương nằm ngang, như chỉ ra. 
Lời giải 
Bình luận: Chúng ta sẽ giải bài tập này bằng cách sử dụng kí hiệu vô hướng (lời giải I) và 
kí hiệu vecto (lời giải II). Bởi vì vận tốc góc của thanh BC là không biết trước, nó phải 
được tính toán trước khi gia tốc có thể được tìm. Chúng ta giả thiết rằng việc làm này đã 
được thực hiện, kết quả tìm được BC = 2.785 rad/s thuận chiều kim đồng hồ. Hơn hữa, 
chúng ta giả sử rằng giá trị của góc β chỉ ra trong hình (b) được tính bằng lượng giác. 
Huong dan giai Bai tap Co ky thuat 2 
52 
Rõ ràng, B và C là các điểm động học quan trọng trên thanh BC: Gia tốc của điểm B có 
thể được tính từ chuyển động của thanh AB, và quyax đạo của điểm C đã biết. Do đó, bài 
toán có thể được giải bằng quan hệ gia tốc của các điểm B và C. 
Chúng ta giả thiết rằng gia tốc của điểm C hướng sang phải và gia tốc góc của thanh BC 
hướng thuận chiều kim đồng hồ. Gia tốc góc của thanh Ab cho trước bằng không. 
Lời giải I (sử dụng kí hiệu vô hướng) 
Gia tốc của điểm C quan hệ với gia tốc điểm B bởi 
Kiểm tra của phương trình (a) thấy rằng nó chứa hai đại lượng chưa biết: aC và αBC. 
Chiếu phương trình lên phương ngang và thẳng đứng, chúng ta đạt được hai phương trình 
vô hướng 
900cos30 160 sin 54.34 1241cos54.34 (b)
0 900sin 30 160 cos54.34 1241sin 54.34 (c)
o o o
C BC
o o o
BC
a 
Nghiệm của chúng là aC = -2280 mm/s
2, và αBC = -5.99 rad/s
2. Do đó, 
 2 22.28 / 5.99 /C BCa m s rad s 
Chú ý rằng nếu BC không thể xác định trước, phương trình (b) và (c) chứa BC là đại 
lượng chua biết thứ ba, tạo ra hệ phương trình không giải được. 
Huong dan giai Bai tap Co ky thuat 2 
53 
Lời giải II (sử dụng kí hiệu vecto) 
Mối quan hệ vecto định vị được chỉ ra trong hình (b) là 
 /
100cos30 100sin 30
86.6 50 (d)
o o
B A
mm
r i j
i j
Và 
 C/B
160cos54.34 160sin 54.34
93.28 130 (e)
o o
mm
r i j
i j
Phương trình gia tốc để giải bài tập này là 
 /C B C B a a a (f) 
Bởi vì phương của aC là phương ngang, chúng ta có 
 C Ca a i (g) 
Gia tốc của điểm B trong phương trình (f) có thể được xác định bởi chú ý rằng B chuyển 
động trên quỹ đạo tròn tâm tại A. Do đó, 
 aB = αAB × rB/A + AB × (AB × rA/B) 
Thay thế αAB = 0, AB = - 3k rad/s, và rB/A từ phương trình (d), chúng ta nhận được 
2
0 ( 3 ) [( 3 ) (86.6 50 )
( 3 ) ( 259.8 150 )
779.4 450 mm/ s
B 
a k k i j
k j i
i j
 (h) 
Theo phương trình (6.15), gia tốc của C quan hệ với B là 
 aC/B = αBC × rC/B + BC × (BC × rC/B) 
Huong dan giai Bai tap Co ky thuat 2 
54 
Thay thế αBC = αBCk, BC = 2.785k rad/s, và rC/B từ phương trình (e), ta nhận được 
/
2
( ) 93.28 130
(2.785 ) 2.785 93.28 130
93.28 130
(2.785 ) 259.8 362
93.28 130 723.6 1008.2 /
C B BC
BC BC
BC BC mm s
a k i j
k k i j
j i
k j i
j i i j
 (i) 
Thay thế phương trình (g), (h), và (i) vào phương trình (f) và cân bằng hệ số của i và j, 
chúng ta nhận được hai phương trình vô hứơng sau 
779.4 130 723.6 (j)
0 450 93.28 1008.2 (k)
C BC
BC
a 
Giải đồng thời phương trình (j) và (k) nhận được aC = - 2280 mm/s
2, và αBC = -5.99 
rad/s2. Do đó, 
 22.28 /C m s a i và αBC = -5.99k rad/s
2
Bài tập mẫu 4.6 
Như chỉ ra trong hình (a), vòng đai B trượt từ A tới B dọc theo một cái cần nửa hình tròn 
AB bán kính 200mm. Cần này quay quanh bản lề A, và tốc độ chuyển động của P đối với 
cần bằng hằng số 120mm/s. Khi hệ thống ở vị trí được chỉ ra, vận tốc góc và gia tốc góc 
của cần là AB = 0.8 rad/s ngược chiều kim đồng hồ và αAB = 0.5 rad/s
2 thuận chiều kim 
đồng hồ. Ở vị trí này, hãy xác định vecto vân tốc và gia tốc của P. 
Huong dan giai Bai tap Co ky thuat 2 
55 
Lời giải 
Bình luận trước: Bài tập này sẽ được giải bằng kí hiệu vô hướng (lời giải I) và kí hiệu 
vecto (lời giải II). Trong cả hai lời giải chúng ta dựng điểm P’, được xác định như điểm 
trên AB trùng với P tại thời điểm quan tâm. Các vecto định vị lien quan đòi hỏi trong lời 
giải được chỉ ra trên hình (b). 
Chú ý rằng (1) quỹ đạo tuyệt đối của P’ là một đường tròn có tâm tại điểm cố định A, và 
(2) quỹ đạo của P đối với AB là một đường tròn có tâm tại điểm O. 
Lời giải I (sử dụng kí hiệu vô hướng) 
Lấy vật thể B là cần AB, vận tốc của điểm P trở thành 
Từ đây chúng ta tìm được 
226.2sin 45 120 280 /
226.2 os45 160 /
o
P x
o
P y
v mm s
v c mm s
Hoặc 
Sử dụng công thức hợp gia tốc, gia tốc của điểm P là 
Huong dan giai Bai tap Co ky thuat 2 
56 
Chú ý rằng trong phương trình (b) hướng của gia tốc Coriolis aC được tìm bằng cách cố 
định đoạn cuối của vP/AB và quay vecto này 90
0 theo hướng AB. Hơn nữa, quan sát thấy 
rằng aP/AB chỉ chứa thành phần pháp tuyến 
2
/
/
P AB
P O
v
r
 bởi vì độ lớn của vP/AB là không đổi. 
Tính toán các thành phần của phương trình (b) dẫn đến 
2
2
181cos 45 141.4sin 45 228 /
181sin 45 141.4 os45 72 192 292 /
o o
P x
o o
P y
a mm s
a c mm s
Lời giải II (sử dụng kí hiệu vecto) 
Từ công thức hợp vận tốc, vận tốc của P là 
/ /P A P A P AB v v v v (c) 
Bởi vì A là điểm cố định, chúng ta có 
0A v (d) 
Chú ý rằng P’, một điểm gắn chặt với cần AB, di chuyển dọc theo một quỹ đạo tròn có 
tâm tại A, chúng ta có 
 / / 0.8 200 200 160 160 /P A AB P A mm s v r k i j j i (e) 
Vận tốc của P đối với thanh AB được cho trước là 
/ 120 /P AB mm s v i (f) 
Huong dan giai Bai tap Co ky thuat 2 
57 
Thay thế các phương trình (d) tới (f) vào phương trình (c), vận tốc của P trở thành 
 0 160 160 (120 ) 280 160 /P mm s v j i i i j 
Gia tốc của P là 
/ /P A P A P AB C a a a a a (g) 
Bởi vì A là một điểm cố định, chúng ta có 
0A a (h) 
Chú ý rằng quỹ đạo của P’ là một đường tròn với tâm của nó tại A, gia tốc của P’ đối với 
A (nó là gia tốc tuyệt đối của P’ được xét đối với A là điểm cố định) là 
/ / /
2
0.5 200 200 0.8 160 160
100 100 128 128
228 28 /
P A AB P A AB AB P A
mm s
a α r ω ω r
k i j k i j
j i j k
i j
 (i) 
Gia tốc của P đối với AB chỉ có thành phần pháp tuyến bởi vì vP/AB là bằng số. Bởi vì 
thành phần pháp tuyến của của gia tốc tương đối là hướng tới tâm đường cong của quỹ 
đạo tương đối (tức là, hướng tới O), chúng ta tìm thấy 
22
2/
/ /
/
120
72 /
200
P AB
P AB P AB n
P O
v
mm s
r
 a a j j j (j) 
Gia tốc Coriolis là 
 2/2 2 0.8 120 192 /C AB P AB mm s a v k i j (k) 
Thay thế các phương trình (h) – (k) vào phương trình (g), chúng ta đạt được 
2
0 228 28 72 192
228 292 /
P
mm s
a i j j j
i j
Huong dan giai Bai tap Co ky thuat 2 
58 
Các bài tập tự giải: 
B6.1. Cho biết chuyển động của các vật A và B của mỗi cơ cấu đã cho là (a) tịnh tiến; (2) 
Quay quanh trục cố định; và (3) chuyển động phẳng tổng quát? 
Hình B4.1 
B4.2. Gia tốc góc không đổi của một đĩa quay là α=12rad/s2. Vận tốc góc của đĩa là 
24rad/s, cùng chiều kim đồng hồ, khi t=0. Xác định tổng góc quay của đĩa giữa thời điểm 
t=0 và t=4s. 
Hình B4.1-B4.3 
B4.3. Vận tốc góc của đĩa là ω=4 t rad/s, với t tính bằng s. Tìm dịch chuyển góc của 
đĩa trong khoảng thời gian t=0 đến t=6s. 
B4.4. Gia tốc góc α(rad/s2) của đĩa quay liên quan đến vận tốc góc ω(rad/s) của nó bởi 
α=4 ω . Khi t=0, đĩa đứng yên và tọa độ vị trí góc của một đoạn thẳng trong đĩa là 
θ=8rad. Tìm biểu thức của: (a) θ(ω); (b) ω(t); và (c) θ(t). 
Huong dan giai Bai tap Co ky thuat 2 
59 
B4.4. Vận tốc và gia tốc của dây quấn chạy giữa mô tơ A và puli B là v=16m/s và a=-
9m/s2. Xác định vận tốc góc và gia tốc góc của các puli B và C. 
Hình B4.4 
B4.5. Tay nối giữa hai bánh xe ma sát quay với vận tốc góc không đổi ω0. Giả sử rằng 
bánh xe A đứng yên và không có sự trượt giữa các bánh xe, xác định vận tốc góc của 
bánh xe B. 
Hình B4.5 
B4.6. Giải B4.6 nếu bánh xe A đang quay cùng chiều kim đồng hồ với vận tốc góc 
ωA=2ω0. 
B4.7. Tốc độ góc của thanh nối AB tại vị trí đã cho là 2.8rad/s theo chiều kim đồng hồ. 
Tính tốc độ góc của các thanh BC và CD tại vị trí đó. 
Huong dan giai Bai tap Co ky thuat 2 
60 
Hình B4.7 
B4.8. Thanh AB của cơ cấu quay với tốc độ góc không đổi 6rad/s ngược chiều kim đồng 
hồ. Tính vận tốc góc của các thanh BD và DE tại vị trí đó. 
Hình B4.8 
B4.9. Khi cơ cấu có vị trí đã cho, vận tốc của con trượt D là vD=1.25m/s. Xác định vận 
tốc góc của các thanh AB và BD tại vị trí đó. 
Hình B4.9 
B4.10. Khi cơ cấu có vị trí đã cho, thanh AB đang quay ngược chiều kim đồng hồ với 
vận tốc góc 16rad/s. Xác định vận tốc của con trượt C tại vị trí đó. 
Huong dan giai Bai tap Co ky thuat 2 
61 
Hình B4.10 
B4.11. Khi thanh AB nằm trong mặt phẳng nằm ngang đã cho, vận tốc và gia tốc của con 
trượt A là vA=2m/s và aA=6m/s
2 hướng đã cho. Tính gia tốc của con trượt B và gia tốc 
góc của thanh tại vị trí đó. 
Hình B4.11 
B4.12. Tay quay AB đang quay cùng chiều kim đồng hồ với vận tốc góc không đổi 
20rad/s. Xác định gia tốc của pistong C khi θ=900. 
Huong dan giai Bai tap Co ky thuat 2 
62 
Hình B4.12 
B4.13. Tại vị trí đã cho, vận tốc góc và gia tốc góc của thanh AB là ωAB=3rad/s cùng 
chiều kim đồng hồ và αAB=12rad/s
2 ngược chiều kim đồng hồ. Tính gia tốc của con lăn C 
tại vị trí đó. 
Hình B4.13 
B4.14. Thanh OB quay ngược chiều kim đồng hồ với tốc độ góc không đổi 30 vòng/phút. 
Tại thời điểm đó, con trượt A đang trượt tới B với tốc độ không đổi 1m/s tương đối so 
với thanh. Sử dụng khung tham chiếu quay gắn vào OB, tính gia tốc của con trượt khi 
R=0.2m và θ=0. 
Huong dan giai Bai tap Co ky thuat 2 
63 
B4.14 
B4.15. Các khung hình tam giác B trong Hình (a) và (b) quay quanh A với vận tốc góc 
không đổi 2rad/s. Tại thời điểm đó, con trượt P đang di chuyển sang phải với tốc độ 
không đổi 0.2m/s tương đối so với khung. Xác định gia tốc của P tại vị trí đã cho. 
Hình B4.15 
B4.16. Thanh OAB đang quay ngược chiều kim đồng hồ với vận tốc góc không đổi 
ω=5rad/s. Tại vị trí đã cho, con trượt P đang trượt tới A với tốc độ 0.8m/s, tăng với tỉ lệ 
8m/s2, cả hai đều được đo tương đối so với thanh. Xác định gia tốc của P tại vị trí đó. 
Huong dan giai Bai tap Co ky thuat 2 
64 
Hình B4.16 
B4.17. Tại vị trí đã cho, tấm khoét rãnh B đang quay quanh bản lề A với vận tốc góc 
ω=3rad/s ngược chiều kim đồng hồ và gia tốc góc α=6rad/s2 cùng chiều kim đồng hồ. 
Con trượt P di chuyển dọc rãnh trượt với tốc độ không đổi 0.7m/s tương đối so với tấm, 
với hướng đã cho. Tính véc tơ vận tốc và gia tốc của P tại thời điểm đó. 
Hình B4.17 
Huong dan giai Bai tap Co ky thuat 2 
65 
Chương 5. Động lực học : Phương pháp Lực – Khối lượng – Gia tốc 
(FMA) 
Nội dung chính: 
1. Phương pháp FMA đối với chất điểm: 
a. Hệ tọa độ thẳng (Đề các): 
Các bước thực hiện: 
 Bước 1: Vẽ sơ đồ vật thể tự do FBD của chất điểm mà chỉ ra tất cả các lực tác 
dụng lên nó. 
 Bước 2: Sử dụng động lực học phân tích gia tốc của chất điểm 
 Bước 3: Vẽ sơ đồ khối lượng – gia tốc cho chất điểm mà thể hiện véctơ quán tính, 
ứng dụng kết quả của bước 2. 
 Bước 4: Tiếp theo sơ đồ FBD và MAD, quan hệ lực với gia tốc sử dụng cân bằng 
tĩnh của hai sơ đồ. 
b. Hệ tọa độ quĩ đạo: 
Huong dan giai Bai tap Co ky thuat 2 
66 
Phương trình chuyển động: 
c. Hệ tọa độ trụ: 
Phương trình chuyển động: 
Huong dan giai Bai tap Co ky thuat 2 
67 
2. Phương pháp FMA đối với hệ chất điểm: 
Có hai cách giải: 
 + Giải phương trình chuyển động của khối tâm; 
 + Giải phương trình chuyển động của từng vật riêng lẻ. 
3. Phương pháp FMA cho vật rắn chuyển động phẳng: 
Các bước thực hiện: 
 Bước 1: Vẽ FBD của vật thể mà thể hiện tất cả các lực và ngẫu lực ngoài. 
 Bước 2: Nếu có các ràng buộc động học đối với chuyển động, sử dụng động học 
để xác định quan hệ giữa , 	, à	. 
 Bước 3: Vẽ MAD của vật thể mà thể hiện được véc tơ quán tính  tác dụng tại 
khối tâm và ngẫu quán tính ̅, sử dụng kết quả của bước 2. 
 Bước 4: Thiết lập các phương trình của chuyển động từ sự cân bằng của FBD và 
MAD. 
Phương trình chuyển động: 
Các trường hợp đặc biệt: 
Huong dan giai Bai tap Co ky thuat 2 
68 
a. Chuyển động tịnh tiến: 
b. Chuyển động quay quanh trục cố định: 
Các bài tập giải mẫu: 
Huong dan giai Bai tap Co ky thuat 2 
69