Hình thành kiến thức chiến lược và kiến thức nghề trong dạy học đại số tuyến tính cho sinh viên Trường Đại học Văn Lang

TẠP CHÍ KHOA HỌC ĐẠI HỌC VĂN LANG Nguyễn Văn Lộc 
71 
HÌNH THÀNH KIẾN THỨC CHIẾN LƯỢC VÀ KIẾN THỨC NGHỀ 
TRONG DẠY HỌC ĐẠI SỐ TUYẾN TÍNH CHO SINH VIÊN 
TRƯỜNG ĐẠI HỌC VĂN LANG 
FORMATION OF STRATEGIC KNOWLEDGE AND KNOWLEDGE 
FOR LABORATORY STUDY OF VAN LANG UNIVERSITY STUDENTS 
NGUYỄN VĂN LỘC 
 PGS.TS. Trường Đại học Văn Lang, nguyenvanloc@vanlanguni.edu.vn, Mã số: TCKH12-06-2018 
TÓM TẮT: Thông qua vật liệu cụ thể là môn học đại số tuyến tính, dạy cho sinh viên các 
ngành kinh tế, bài báo đề xuất một cách tiếp cận trong xây dựng chương trình môn học 
dựa trên khái niệm kiến thức chiến lược và kiến thức nghề trong đào tạo sinh viên. 
Từ khóa: kiến thức chiến lược; kiến thức nghề; Trường Đại học Văn Lang. 
ABSTRACT: Through specific materials, linear algebra teaches students in economics, 
the paper proposes an approach in developing curriculum based on the concept of 
strategic knowledge and job knowledge in training for students. 
Key words: strategic knowledge; job knowledge; literature university. 
1. ĐẶT VẤN ĐỀ 
Trong dạy học ở bậc đại học, kiến thức 
sinh viên lĩnh hội được bao gồm hai khối: 
Khối kiến thức “hữu hình” (kiến thức nghề 
- kiến thức kỹ thuật) và khối kiến thức “vô 
hình” (kiến thức chiến lược). Dĩ nhiên, giữa 
hai khối kiến thức đó có mối liên hệ hữu cơ: 
Kiến thức nghề là hiện thực hóa, là điểm 
tựa của kiến thức chiến lược đồng thời kiến 
thức chiến lược “đủ lớn và đủ mạnh” sẽ 
giúp kiến thức nghề “bay cao và bay xa”. 
Trường Đại học Văn Lang nói riêng và 
các trường đại học nói chung đào tạo sinh 
viên, cung cấp cho xã hội không chỉ những 
người lao động kỹ thuật có tay nghề cao mà 
còn cung cấp cho xã hội những người lao 
động sáng tạo, ưu tú, những doanh nhân 
biết sử dụng trí tuệ, có tầm nhìn chiến lược 
để tăng năng suất lao động lên gấp nhiều 
lần so với lao động thủ công. 
Điều đó chứng tỏ rằng, không thể coi 
thường hoặc “cắt bỏ cơ học” chương trình 
môn học, làm tổn hại tới sự hình thành hai 
khối: kiến thức nghề và kiến thức chiến 
lược và làm tan rã sự liên kết hữu cơ giữa 
hai khối kiến thức đó. 
Đại số tuyến tính nói riêng và toán học 
nói chung do tính đặc thù của môn học có 
được “may mắn trời phú cho” là phương 
tiện hữu ích giúp cho sự hình thành đồng 
thời hai khối kiến thức đó. 
2. NỘI DUNG 
2.1. Tính đặc thù của toán học 
Tính trừu tượng của các đối tượng và 
khái niệm toán học, tính hình thức triệt để 
của các phương pháp suy luận là đặc điểm 
TẠP CHÍ KHOA HỌC ĐẠI HỌC VĂN LANG Số 12, Tháng 11 - 2018 
72 
của toán học. Tuy nhiên, đằng sau các khái 
niệm trừu tượng là các quan hệ và cấu trúc 
của thế giới hiện thực. Trong “Bút ký triết 
học”, Lênin viết: “Toán học, trong khi 
ngày càng xa dần những không gian cảm 
tính để tiến đến không gian hình học, 
không xa rời không gian hiện thực, tức là 
những quan hệ thật giữa các sự vật. Trái lại, 
nó tiến sát gần tới những quan hệ đó,”. 
Trong quá trình phát triển, toán học, khi 
ngày càng xa rời thế giới hiện thực xuất 
phát lại có xu hướng tìm thấy những mô 
hình thể hiện trong hình thức mới trong thế 
giới hiện thực. Toán học trải qua nhiều nấc 
thang trừu tượng hóa và hình thành nên 
những cấu trúc tổng quát: cấu trúc đại số; 
cấu trúc Topo; cấu trúc thứ tự. Đại số tuyến 
tính là môn học mang trong mình cấu trúc 
đại số mà mô hình cụ thể là không gian 
vectơ với các thể hiện: Tập hợp các ma trận 
cùng cấp; tập hợp các vectơ hình học; tập 
hợp các đa thức, Hai tuyến kiến thức 
trong đại số tuyến tính, thứ nhất: kiến thức 
nghề (kiến thức kỹ thuật) là các đơn vị kiến 
thức mà khi xây dựng chương trình vì lý do 
nào đó, người ta có thể sẵn sàng “cắt bỏ” 
mà quên rằng các đơn vị kiến thức đó là bộ 
phận của một cơ thể hoàn chỉnh. Thứ hai: 
Kiến thức chiến lược hình thành từ chính 
các đơn vị kiến thức với chức năng kép vừa 
là “mục đích” (sinh viên cần phải nắm 
được kiến thức đó) vừa là “phương tiện” 
(để hình thành các kiến thức khác); Kiến 
thức chiến lược còn được hình thành từ 
chính logic nội tại của hệ thống kiến thức 
đại số tuyến tính tồn tại với tư cách là một 
khoa học: Logic trong tổng thể môn học và 
logic trong mỗi bộ phận kiến thức, trong đó 
mỗi kiến thức vừa là bộ phận của tổng thể 
vừa là thực thể tồn tại độc lập tương đối 
trong tổng thể, do vậy mỗi bộ phận vẫn tồn 
tại trong các logic khác nhau, dưới vỏ hình 
thức khác nhau; Kiến thức chiến lược còn 
hình thành từ chính cấu trúc đại số của môn 
học. Trải qua hàng ngàn năm, nhân loại đã 
cần mẫn “gom góp” những kiến thức rời 
rạc từ thời trung cổ cho đến khi xuất hiện 
Euclid khoảng 300 năm trước Công 
nguyên, với văn phong là phương pháp tiền 
đề, trải qua hàng ngàn năm nữa nhân loại 
mới nhận ra rằng: tất cả các kiến thức, các 
phép toán chỉ là hình thức thể hiện của các 
cấu trúc toán học tổng quát. Kiến thức 
chiến lược còn hình thành từ sự tìm được 
các mô hình thể hiện của mô hình toán học 
trong các môn học của các ngành kỹ thuật 
và kinh tế, mà từ các môn học của các 
ngành kỹ thuật và kinh tế đi tìm cội nguồn 
toán học của các mô hình thực tế sẽ khó 
khăn hơn rất nhiều. 
Chính các kiến thức chiến lược không 
chỉ của toán học mà của nhiều môn học 
khác, khi cung cấp cho sinh viên một cách 
chân thực và đầy đủ sẽ giúp cho sinh viên 
có tầm nhìn “vượt giới hạn”, tạo nền móng 
cho sinh viên trở thành những người lao 
động ưu tú, có chất lượng lao động vượt 
trội và trở thành những doanh nhân làm 
giàu cho đất nước. 
2.2. Cấu trúc môn học đại số tuyến tính 
và sự lựa chọn lược đồ giảng dạy 
Trong đại số tuyến tính, cấu trúc môn học 
được trình bày theo các lược đồ khác nhau. 
Lược đồ 1. Ma trận → Hệ phương 
trình tuyến tính → Không gian vectơ và 
dạng toàn phương [1, tr.133-tr.135]. 
TẠP CHÍ KHOA HỌC ĐẠI HỌC VĂN LANG Nguyễn Văn Lộc 
73 
Lược đồ 2. Không gian vectơ → Ma 
trận và định thức → Hệ phương trình tuyến 
tính → dạng toàn phương [2, tr.234-tr.235]. 
Lược đồ 3. Không gian vectơ → Ma 
trận định thức và hệ phương trình tuyến tính 
→ Phép biến đổi tuyến tính → dạng song 
tuyến tính và dạng toàn phương [3, tr.3-tr.4]. 
Lược đồ 4. Ma trận → định thức → Hệ 
phương trình tuyến tính → Không gian vectơ 
→ Ánh xạ tuyến tính → Trị riêng và vectơ 
riêng → Dạng toàn phương [5, tr.388-tr.389]. 
Lược đồ 5. Định thức → Không gian 
vectơ → Hệ phương trình tuyến tính → 
Ánh xạ tuyến tính → Ma trận → dạng song 
tuyến tính và dạng toàn phương [4, tr.207]. 
Các lược đồ khác nhau nhưng có thể 
quy về 3 dạng sau: 
Dạng 1. Lược đồ xây dựng theo con 
đường suy diễn như lược đồ 2, lược đồ 3. 
Dạng 2. Lược đồ xây dựng theo con 
đường quy nạp như lược đồ 1, lược đồ 4. 
Dạng 3. Lược đồ xây dựng đan xen giữa 2 
con đường quy nạp và suy diễn như lược đồ 5. 
Sự khác biệt giữa các lược đồ giảng 
dạy môn đại số tuyến tính thể hiện như sau: 
Với lược đồ dạng 1: Xây dựng khái 
niệm không gian vectơ tổng quát trên 
trường K, cụ thể hóa trên mô hình không 
gian vectơ Euclit, và các mô hình không 
gian các ma trận cùng cấp, không gian 
nghiệm của hệ phương trình tuyến tính 
thuần nhất. Sử dụng khái niệm không gian 
vectơ, xây dựng khái niệm ánh xạ tuyến 
tính với trường hợp riêng là các phép biến 
đổi tuyến tính. Sử dụng ánh xạ tuyến tính, 
xây dựng khái niệm dạng song tuyến tính 
và dạng toàn phương. 
Với lược đồ dạng 2: Chương trình trình 
bày theo con đường ngược lại. Xây dựng 
khái niệm ma trận với mô hình không gian 
vectơ các ma trận cung cấp, sử dụng định 
thức và ma trận trình bày hệ phương trình 
tuyến tính với không gian vectơ con là tập 
các nghiệm của hệ phương trình tuyến tính 
thuần nhất. Sử dụng các mô hình cụ thể làm 
điểm tựa hình thành khái niệm không gian 
vectơ tổng quát và khái niệm ánh xạ tuyến 
tính. Sử dụng khái niệm ánh xạ tuyến tính, 
xây dựng khái niệm dạng song tuyến tính 
và dạng toàn phương. 
Với lược đồ dạng 3: Dựa trên khái 
niệm cấu trúc đại số với các cấu trúc nửa 
nhóm, nhóm, vành, trường xây dựng khái 
niệm ma trận và định thức làm công cụ ứng 
dụng vào giải hệ phương trình Cramer. 
Tiếp theo, xây dựng cấu trúc đại số nền 
tảng của môn đại số tuyến tính đó là cấu 
trúc không gian vectơ. Sự trình bày hệ 
phương trình tuyến tính cho mô hình cụ thể 
về không gian vectơ con là không gian 
nghiệm của hệ phương trình tuyến tính 
thuần nhất. Khái niệm ánh xạ tuyến tính 
hình thành trên cơ sở khái niệm không gian 
vectơ. Việc nghiên cứu các ánh xạ tuyến 
tính dẫn tới khái niệm ma trận của ánh xạ 
tuyến tính, tập hợp các ma trận cùng cấp 
tạo thành mô hình của không gian vectơ. 
Sử dụng khái niệm ánh xạ tuyến tính xây 
dựng được dạng song tuyến tính và dạng 
toàn phương. 
Lựa chọn lược đồ dạy cho sinh viên 
tùy thuộc vào mục tiêu đào tạo, “sản phẩm 
đầu ra” cần đạt. Do vậy, giữa các chương 
trình giảng dạy đại số tuyến tính có sự khác 
biệt như sau: 
Trường đại học khoa học tự nhiên, 
sinh viên lấy toán làm nghề nghiệp, chương 
trình được xây dựng theo lược đồ dạng 1, 
TẠP CHÍ KHOA HỌC ĐẠI HỌC VĂN LANG Số 12, Tháng 11 - 2018 
74 
với 2 phân môn: Môn thứ nhất: đại số tuyến 
tính cơ bản với nội dung là ma trận, định 
thức, hệ phương trình tuyến tính, không 
gian vectơ, ánh xạ tuyến tính, sự đồng 
dạng. Môn thứ 2: đại số tuyến tính nâng cao 
với nội dung là trị riêng, vectơ riêng, Định 
lý Cayley-Hamiton, chéo hóa ma trận, chéo 
hóa trực giao; Dạng song tuyến tính; Dạng 
toàn phương; Dạng toàn phương chính tắc, 
thuật toán Lagrange, thuật toán Jacobi, Luật 
quán tính Sylvester. Ứng dụng đại số tuyến 
tính trong phương trình vi phân. Các định lý 
được chứng minh chặt chẽ. 
Trường đại học sư phạm, xây dựng 
chương trình theo lược đồ dạng 1 với một 
môn đại số tuyến tính. Nội dung: Ma trận, 
định thức, hệ phương trình tuyến tính, 
không gian vectơ, ánh xạ tuyến tính, dạng 
song tuyến tính và dạng toàn phương, chéo 
hóa ma trận. Các định lý được chứng minh 
chặt chẽ, chú ý liên hệ với kiến thức phổ 
thông. Ví dụ: Bài toán cân bằng phương 
trình hóa học có một trong các cách giải là 
đưa về giải hệ phương trình tuyến tính. 
Trường đại học bách khoa và đại học 
kỹ thuật, xây dựng chương trình theo lược 
đồ dạng 3. Nội dung: Các chủ đề gần giống 
với chương trình trường đại học sư phạm. 
Tuy nhiên, phần lớn các định lý được thừa 
nhận, không chứng minh, thời gian dành 
luyện tập các kỹ năng tính toán và giải các 
bài toán ứng dụng đại số tuyến tính trong 
kỹ thuật. 
Khối các trường kinh tế và các trường 
đại học đa ngành, với đầu vào “khiêm tốn” 
trong đó, toán học chủ yếu là phương tiện 
tiếp cận các môn học kinh tế-kinh doanh, 
chương trình xây dựng theo lược đồ dạng 2. 
Nội dung: Ma trận, định thức, hệ phương 
trình tuyến tính, không gian vectơ, dạng 
song tuyến tính và dạng toàn phương. Các 
định lý được thừa nhận, không chứng minh, 
chú trọng sử dụng đại số tuyến tính giải các 
mô hình kinh tế-kinh doanh. Trường Đại 
học Văn Lang là trường đại học đa ngành, 
xây dựng chương trình đại số tuyến tính 
theo lược đồ dạng 2. 
2.3. Logic của hệ thống kiến thức đại số 
tuyến tính 
Với lược đồ dạng 2, hệ thống kiến thức 
đại số tuyến tính có thể trình bày như sau: 
“Chương 1: Ma trận và định thức”. 
 Trên cơ sở ví dụ thực tế, đưa ra các 
khái niệm cơ bản về ma trận và hai phép 
toán tuyến tính đối với ma trận: 
1) Nhân một số với ma trận là nhân số 
đó với tất cả các phần tử của ma trận. 
2) Cộng hai ma trận cùng cấp là cộng 
các phần tử tương ứng vị trí. 
Hai phép toán tuyến tính đối với ma 
trận có 8 tính chất sau: Với A,B,C là các ma 
trận cùng cấp và ,  là các số thực, ta có: 
a, A+B=B+A 
b, (A+B)+C=A+(B+C) 
c, A+0=A 
d, A+(-A)=0 
e, 1.A=A 
, ( )
, ( )
, ( ) ( ) ( ); ,
f A A A
g A B A A
h A A A R
  
 
    
  
Về phương diện cấu trúc đại số, tập tất 
cả các ma trận cùng hai phép toán tuyến tính 
thỏa mãn đồng thời 8 tính chất nêu trên, 
được gọi là không gian vectơ các ma trận. 
Như vậy, với các kiến thức mở đầu về 
ma trận, chúng ta đã có thể trang bị cho 
sinh viên mẫu ví dụ cụ thể đầu tiên về 
không gian vectơ. 
TẠP CHÍ KHOA HỌC ĐẠI HỌC VĂN LANG Nguyễn Văn Lộc 
75 
Tiếp theo, trình bày cho sinh viên định 
nghĩa định thức của ma trận vuông bằng 
con đường quy nạp: Xây dựng công thức 
tính định thức cấp 2, 3 từ đó xây dựng công 
thức tính định thức cấp n. Sinh viên làm 
quen với các phương pháp khác nhau tính 
định thức cấp 2, 3 là quy tắc tam giác, quy 
tắc Xarus. Phương pháp tính định thức cấp 
n bằng cách khai triển theo 1 dòng (hoặc 1 
cột). Tiếp theo, trình bày cho sinh viên các 
vấn đề về ma trận nghịch đảo và hạng của 
ma trận. 
“Chương 2. Hệ phương trình tuyến tính”. 
Sử dụng công cụ định thức đã trình bày 
ở chương 1, biểu diễn hệ phương trình 
tuyến tính qua ma trận hệ số mở rộng, xác 
lập sự tương đương của phép biến đổi 
tương đương hệ phương trình tương ứng 
với các phép biến đổi sơ cấp trên dòng của 
ma trận hệ số mở rộng; sử dụng các phép 
biến đổi này để giải hệ phương trình tuyến 
tính bằng phương pháp khử ẩn liên tiếp 
Gauss. Sau khi đưa ma trận về ma trận tam 
giác, chúng ta tiếp tục sử dụng phương 
pháp Gauss-Jordan bằng cách áp dụng các 
phép biến đổi sơ cấp đưa ma trận tam giác 
trên về ma trận đơn vị; áp dụng phương 
pháp Gauss-Jordan để tính ma trận nghịch 
đảo. Để giải hệ phương trình Cramer, ngoài 
việc sử dụng phương pháp Gauss, chúng ta 
có thể sử dụng 2 phương pháp đặc trưng 
khác là: Phương pháp ma trận nghịch đảo 
và phương pháp định thức (quy tắc 
Cramer). Sử dụng công cụ định thức, cho 
phép chúng ta khảo sát hệ phương trình 
tuyến tính, xác định điều kiện có nghiệm 
của hệ phương trình tuyến tính tổng quát 
bằng định lý Cronecke-Capelli và xác lập 
điều kiện để hệ phương trình tuyến tính 
thuần nhất có nghiệm không tầm thường, 
chuẩn bị cho sự hình thành mô hình không 
gian vectơ con ở chương sau. 
“Chương 3. Không gian vectơ và dạng 
toàn phương” 
Dựa trên biểu tượng về vectơ hình học 
và vectơ vật lý, sinh viên đã học ở cấp 
trung học, hình thành cho sinh viên hệ 
thống kiến thức về không gian vectơ trừu 
tượng, trong đó các tập hợp khác nhau như: 
Tập các vetơ hình học; Tập các hàm số liên 
tục; Tập các đa thức; Tập các ma trận cùng 
cấp, là các trường hợp cụ thể có tất cả 
các tính chất của không gian vetơ tổng 
quát. Các khái niệm vetơ, hai phép toán 
tuyến tính đối với vetơ có 8 tính chất giống 
như phép toán tuyến tính đối với ma trận: 
Với X,Y,Z là các vetơ cùng chiều, , 
là các số thực tùy ý, ta có: 
a, X+Y= Y+X 
b, (X+ Y) +Z = X + (Y +Z) 
c, X +0 =X 
d, X + (- X) = 0 
e, 1.X = X 
, ( )
, ( )
, ( ) ( ) ( )
f X Y X Y
g X X X
h X X X
 
  
    
Chúng ta đi tới khái niệm: nR cùng 2 
phép toán cộng hai vectơ cùng chiều và 
nhân một số với một vectơ thỏa mãn đồng 
thời 8 tính chất nêu trên, được gọi là một 
không gian vectơ trên R. Sử dụng khái niệm 
hạng ma trận để hình thành khái niệm hạng 
của hệ vectơ, hệ vectơ độc lập tuyến tính và 
phụ thuộc tuyến tính, từ đó hình thành khái 
niệm cơ sở của một hệ vectơ, tọa độ của 
một vectơ đối với một cơ sở; Xây dựng khái 
niệm không gian vectơ con; Sử dụng sự tồn 
tại nghiệm của hệ phương trình tuyến tính 
TẠP CHÍ KHOA HỌC ĐẠI HỌC VĂN LANG Số 12, Tháng 11 - 2018 
76 
để hình thành khái niệm không gian vectơ 
con của nR có số chiều bằng (n-r). 
Dựa vào khái niệm ma trận ở chương 1, 
xây dựng khái niệm ma trận đặc trưng của 
ma trận A cho trước, xây dựng khái niệm giá 
trị riêng, vectơ riêng, từ đó hình thành khái 
niệm dạng tuyến tính, dạng song tuyến tính, 
dạng toàn phương và các dạng đặc biệt của 
dạng toàn phương như: Dạng toàn phương 
chính tắc, dạng toàn phương xác định. 
2.4. Sự hình thành kiến thức nghề và 
kiến thức chiến lược trong dạy học đại số 
tuyến tính 
2.4.1. Sự khác biệt giữa kiến thức nghề và 
kiến thức chiến lược 
1) Kiến thức nghề (kiến thức kỹ thuật) 
trong dạy học đại số tuyến tính bao gồm: 
Kỹ năng thực hiện các phép biến đổi 
đại số, như: kỹ năng thực hiện các phép 
toán trên các số, kỹ năng thực hiện các 
phép toán trên các tập hợp ma trận, các 
phương trình của hệ phương trình tuyến 
tính, các vectơ của không gian vec tơ; 
Kỹ năng tìm nhiều phương pháp khác 
nhau khi giải quyết một vấn đề. Kỹ năng 
này có thể hình thành cho sinh viên qua các 
hoạt động sau: 
Hoạt động hướng dẫn sinh viên biết 
phát hiện ra sự thống nhất về mặt cấu trúc 
toán học của một dữ kiện toán học qua các 
hình thức thể hiện khác nhau của nó. Ví dụ: 
Phát hiện ra sự thống nhất về phép toán và 
tính chất của cấu trúc không gian vectơ qua 
các vật liệu tập hợp các ma trận, tập hợp 
các nghiệm của hệ phương trình tuyến tính 
thuần nhất; tập hợp các đa thức; tập hợp 
các vectơ hình học,; 
Hoạt động hướng dẫn sinh viên giải 
một bài toán bằng các phương pháp khác 
nhau, qua đó hình thành cho sinh viên kỹ 
năng phát hiện các mối liên hệ bên trong 
cũng như sự chuyển hóa của các kiến thức. 
Ví dụ: Tìm các phương pháp khác 
nhau khi giải hệ phương trình Cramer. 
Cách 1. Phương pháp Gauss. Biến đổi 
ma trận. 
Cách 2. Phương pháp ma trận nghịch đảo. 
Cách 3. Phương pháp Cramer (Phương 
pháp dùng định thức). 
Thông qua ba cách giải, củng cố cho 
sinh viên sự liên hệ giữa các kiến thức về 
hệ phương trình tuyến tính, ma trận và định 
thức, phương pháp tính ma trận cấp 3, 
phương pháp tìm ma trận nghịch đảo, 
phương pháp thực hiện phép toán trên các 
ma trận; giúp cho sinh viên hiểu bản chất 
của phép biến đổi trên dòng của ma trận hệ 
số mở rộng là các phép biến đổi tương 
đương hệ phương trình; 
Kỹ năng phát hiện cấu trúc toán học 
của bài toán thực tế, như “toán học hóa” 
các bài toán kinh tế. 
Ví dụ: Cho biết hàm cung, hàm cầu 
của thị trường hai loại hàng hóa như sau: 
1 1
2 2
1 ! 2
2 1 2
2 3 ; 8 2
1 2 ; 11
S D
S D
Q P Q P P
Q P Q P P
Ở đây: 
1 2
;S SQ Q là lượng cung hàng hóa 1 và 
hàng hóa 2 
1 2
;D DQ Q là lượng cầu của hàng hóa 1 
và hàng hóa 2. 
Khi thị trường cân bằng, hãy thiết lập 
hệ phương trình tuyến tính với ẩn số là 
1 2;P P . Sử dụng quy tắc Cramer (phương 
pháp định thức), xác định giá và lượng cân 
bằng của hai mặt hàng. 
Bài giải. 
TẠP CHÍ KHOA HỌC ĐẠI HỌC VĂN LANG Nguyễn Văn Lộc 
77 
Thiết lập hệ phương trình tuyến tính: 
1 1
2 2
1 1 2 1 2
2 1 2 1 2
2 3 8 2 5 10
1 2 11 3 12
S D
S D
Q Q P P P P P
P P P P PQ Q
Giải hệ phương trình bằng quy tắc Cramer: 
1 2
5 1 10 1 5 10
14; 42; 70
1 3 12 3 1 12
P PD D D
Vậy, bộ giá cân bằng là: 
1 2
1 2
42 70
3; 5
14 14
P PD D
P P P
D D
Lượng cân bằng thị trường là: 
1 1
2 2
1 1
2 2
2 3 2 3.3 7
1 2 1 2.5 9
D S
D S
Q Q Q P
Q Q Q P
2) Kiến thức chiến lược bao gồm: 
Xác định rõ logic nội tại của kiến thức 
bộ phận; 
Xác định rõ logic tổng thể môn học và 
mối liên hệ giữa logic bộ phận và logic 
tổng thể theo quan điểm hệ thống: Kiến 
thức bộ phận có chức năng kép, vừa là mục 
đích vừa là phương tiện; 
Sự chuyển hóa hình thức thể hiện (hình 
thức biểu đạt), hình thức ngôn ngữ của các 
kiến thức có cấu trúc logic thống nhất; 
Với môn học đại số tuyến tính, sự hình 
thành kiến thức về không gian vectơ và 
cách thể hiện của nó trên ma trận và hệ 
phương trình tuyến tính thuần nhất; Việc 
hình thành cách tiếp cận môn học đại số 
tuyến tính với các tình huống kinh tế, kỹ 
thuật thông qua “toán học hóa” các bài toán 
thực tế ở cuối mỗi chương cũng chính là 
các kiến thức chiến lược của môn học. 
Sự phân biệt kiến thức nghề và kiến 
thức chiến lược có tính tương đối, vì có sự 
chuyển hóa giữa hai loại kiến thức đó. Ví 
dụ: Kiến thức giải hệ phương trình Cramer 
bằng 3 phương pháp; Phương pháp khử 
Gauss; Phương pháp dùng ma trận nghịch 
đảo; Phương pháp dùng định thức là kiến 
thức nghề nhưng kiến thức này tạo tiềm lực 
cho sinh viên trong tương lai thói quen tìm 
kiếm các phương pháp khác nhau khi giải 
quyết một vấn đề và lựa chọn phương án 
tối ưu, do vậy, kiến thức này cũng có chức 
năng của kiến thức chiến lược. 
2.4.2. Về phương pháp dạy học 
Mở đầu mỗi chương, chúng ta nên dẫn 
ra bài toán kinh tế được toán học hóa để 
dẫn tới khái niệm cần trình bày. Ví dụ: 
Xuất phát từ bài toán kinh tế hay kỹ thuật 
dẫn tới khái niệm ma trận. 
Trong nội dung của chương, cần làm 
nổi bật ý nghĩa và vai trò, chức năng của 
kiến thức được trình bày. Ví dụ: Có sự 
tương đồng giữa phương pháp biến đổi ma 
trận và phương pháp khử ẩn trong giải hệ 
phương trình tuyến tính. 
Cuối mỗi chương, nên chỉ ra một số mô 
hình kinh tế sử dụng hệ thống kiến thức của 
chương. Ví dụ: cuối chương “Ma trận và 
định thức” giải quyết Mô hình cân đối liên 
ngành (Mô hình Input-Output của Leontief). 
Cuối chương “Hệ phương trình tuyến tính” 
giải quyết một số mô hình tuyến tính trong 
phân tích kinh tế: Mô hình cân bằng thị 
trường hàng hóa có liên quan; mô hình cân 
bằng thu nhập quốc dân; Mô hình IS-LM. 
Điều cần lưu ý rằng, không chỉ toán 
học mà còn nhiều bộ môn khoa học khác 
như triết học duy vật biện chứng (môn học 
trang bị cho sinh viên tầm nhìn về thế giới 
hiện thực), cũng giữ vai trò to lớn trong 
việc hình thành kiến thức nghề và kiến thức 
chiến lược cho sinh viên. 
Do vậy, việc quan niệm chỉ có kiến 
thức chuyên ngành mới có chức năng đào 
TẠP CHÍ KHOA HỌC ĐẠI HỌC VĂN LANG Số 12, Tháng 11 - 2018 
78 
tạo nghề cho sinh viên là chưa đầy đủ. 
Trong dạy học đại số tuyến tính, việc dành 
cho môn học thời lượng cần thiết để sinh 
viên khám phá các phương pháp giải khác 
nhau của mỗi dạng toán, đó là sự chuẩn bị 
cho sinh viên có tầm nhìn chiến lược, biết 
khám phá ra nhiều phương thức tiếp cận, 
nhiều cách giải quyết khác nhau cho một 
vấn đề trong hoạt động thực tiễn trong 
tương lai. Việc dạy cho sinh viên sử dụng 
kiến thức đại số tuyến tính “thâm nhập” mô 
hình thực tế rồi toán học hóa các tình 
huống thực tiễn cũng là sự chuẩn bị cho 
sinh viên biết vận dụng các kiến thức được 
học trong nhà trường vào hoạt động thực tế. 
Tất cả những việc làm nêu trên có vai trò to 
lớn trong đào tạo nghề và hình thành năng 
lực sáng tạo của người lao động cho sinh 
viên trong tương lai. 
3. KẾT LUẬN VÀ KIẾN NGHỊ 
Ở các khối đại học khoa học tự nhiên, 
đại học sư phạm nơi chỉ dạy thuần túy toán 
học, không đòi hỏi toán học “thâm nhập” 
các ngành nghề, thời lượng giảng dạy trước 
kia là 90 tiết, hiện tại là 60 tiết, do vậy với 
môn đại số tuyến tính dạy cho sinh viên các 
ngành kinh tế, trong đó nhu cầu “thâm 
nhập” các môn học kinh tế là nhiệm vụ 
quan trọng, việc bố trí thời lượng 30 tiết là 
khó “xoay xở” để dạy tốt được cả kiến thức 
nghề và kiến thức chiến lược, nên chăng 
cần có sự điều chỉnh thêm khối lượng giờ 
lên lớp cho phù hợp. 
Chúng tôi cho rằng, với các môn học 
dù được gọi là “cơ bản” hay “chuyên 
ngành”, đều có 2 chức năng: Dạy kiến thức 
nghề (kiến thức kỹ thuật) và kiến thức 
chiến lược (ngay với các môn học chuyên 
ngành, việc đảm bảo logic nội tại của mỗi 
đơn vị kiến thức và của toàn môn học trong 
dạy học cũng có vai trò to lớn trong hình 
thành kiến thức chiến lược cho sinh viên), 
sự khác biệt là ở hàm lượng hai loại kiến 
thức đó phụ thuộc vào đặc thù và vai trò 
trong đào tạo của của môn học. 
Vì vậy, không chỉ nên điều chỉnh thời 
lượng của môn học đại số tuyến tính, mà 
với hệ thống tất cả các môn học, để xác 
định nên tăng hay giảm thời lượng đào tạo, 
chúng tôi cho rằng, cần phải xác định rõ 
chức năng của mỗi môn học (các môn học 
cơ bản và các môn học chuyên ngành) 
trong việc hình thành kiến thức chiến lược 
và kiến thức đào tạo nghề cho sinh viên, có 
như vậy mới có sự phân bố thời lượng dạy 
các môn học hợp lý, tránh được tình trạng 
cắt bỏ “cơ học” nội dung các môn học. 
TÀI LIỆU THAM KHẢO 
[1] Nguyễn Huy Hoàng (2010), Toán cao cấp tập 1. Đại số tuyến tính, Nxb Giáo dục Việt Nam. 
[2] Lê Văn Hốt (Chủ biên), Toán cao cấp. Phần I. Đại số tuyến tính, Trường Đại học kinh 
tế Thành phố Hồ Chí Minh, Bộ môn Toán cơ bản, Lưu hành nội bộ. 
[3] Trần Trọng Huệ (2012), Đại số tuyến tính và hình học giải tích, Nxb Giáo dục Việt Nam. 
[4] Hoàng Xuân Sính - Trần Phương Dung (2011), Bài tập Đại số Nxb Giáo dục Việt 
Nam. 
[5] Nguyễn Đình Trí (Chủ biên, 2014), Toán cao cấp tập 1, Nxb Giáo dục Việt Nam. 
Ngày nhận bài: 17-7-2018. Ngày biên tập xong: 29-10-2018. Duyệt đăng: 28-11-2018