Hiện tượng gibbs của hàm tổng quát có điểm gián đoạn tại gốc tọa độ và tại điểm bất kỳ

58
NGHIÊN CỨU KHOA HỌC
Tạp chí Nghiên cứu khoa học - Đại học Sao Đỏ, ISSN 1859-4190 Số 4(59).2017
HIỆN TƯỢNG GIBBS CỦA HÀM TỔNG QUÁT CÓ ĐIỂM GIÁN ĐOẠN 
TẠI GỐC TỌA ĐỘ VÀ TẠI ĐIỂM BẤT KỲ
THE GIBBS PHENOMENON OF THE GENERAL FUNCTION HAS A 
DISCONTINUITY AT THE COORDINATES AND AT THE WHETHER
Nguyễn Kiều Hiên1, Nguyễn Thị Hải Đường1, Lưu Thị Thu Huyền2 
Email: nguyenkieuhien@gmail.com.vn 
 1Trường Đại học Sao Đỏ 
 2Trường Đại học Hùng Vương
Ngày nhận bài: 23/8/2017 
Ngày nhận bài sửa sau phản biện: 22/12/2017 
Ngày chấp nhận đăng: 28/12/2017
Tóm tắt
Trong bài báo này, chúng tôi nghiên cứu về sự tồn tại của hiện tượng Gibbs đối với hàm có điểm gián 
đoạn tại gốc tọa độ và mở rộng tại điểm bất kỳ (xem [2]). Đồng thời khắc phục hiện tượng Gibbs ta sẽ 
sử dụng một họ các nhân xác định dương tổng Cesaro.
Từ khóa: Chuỗi Fourier; hiện tượng Gibbs; điểm gián đoạn; tổng Cesaro.
Abstract 
In this paper, we research the existence of Gibbs for a function with a discontinuity at the coordinates 
and at the whether (see [2]). At the same time overcoming the Gibbs phenomenon we will use a they 
multiplication the positive of Cesaro sum.
Keywords: Fourier series; Gibbs phenomenon; discontinuity point; Cesaro sum.
1. GIỚI THIỆU
Năm 1898, J. Willard Gibbs khi nghiên cứu về sự 
hội tụ của chuỗi Fourier của một hàm gián đoạn 
đã phát hiện ra hiện tượng Gibbs. Tuy nhiên, phải 
đến năm 1906 Maxime Bocher mới có lời giải chi 
tiết về mặt toán học.
Trong bài báo này, chúng tôi mô tả dáng điệu của 
chuỗi Fourier của các hàm tổng quát có điểm gián 
đoạn tại gốc tọa độ, tại điểm bất kỳ và đồng thời 
đưa ra cách khắc phục hiện tượng Gibbs bằng sử 
dụng tổng Cesaro, trình bày ví dụ khắc phục hiện 
tượng Gibbs kèm theo.
2. HIỆN TƯỢNG GIBBS
Bài toán: Xét hàm tuần hoàn chu kỳ 2π xác 
định bởi
( ) ( )
0, 0,
2, 0 2 ,
0, 2 .
x
h x x x
x
π π
π
=
= − < <
 =
Dễ dàng tính được, 0na = với mọi n và
1
nb n
=
Do đó 
( )( ) ( )
1
sin
, 0 2 .
N
n
nx
h x x
n
π
=
≤ ≤∑
Ta thấy rằng trong bài toán trên h gián đoạn tại 
0x = và 2x π= nên chuỗi Fourier của nó không 
hội tụ đều. Nhưng điều gì sẽ xảy ra khi các tổng 
riêng của nó gần với điểm gián đoạn? 
Thác triển tuần hoàn chu kỳ 2π cho h xác định 
trên bởi
( ) 0h x = nếu ( )2 , 2 2x k x kπ π= = +
( ) ( )[ 2 1 ] 2h x k xπ= + − nếu 
( )2 2 2 .k x kπ π< < +
Như vậy, hàm h liên tục tại tất cả các điểm trừ ra 
những điểm 2x kπ= , với k∈ . Ở đó
( ) ( )( )2 2 2 ,2h k h k
ππ π+ += + =
( ) ( )( )2 2 2 .2h k h k
ππ π− −= + = −
Xét lân cận phải của điểm ( )0 : 0,π . Ta có tổng riêng 
( )( ) ( )
1
sin
.
N
N
n
nx
S h x
n=
=∑
Lấy đạo hàm ta được
 ( )( ) ( ) ( )
( )
( )
( ) ( )
( )
1
1os 1
2
sin 1 2 1
2sin 2 2
sin 2 os 1 2
.
sin 2
N
N N
n
S h x c nx D x
N x
x
Nx c N x
x
=
′ = = −  
+
= −
+  =
∑
C
C
LIÊN NGÀNH CƠ KHÍ - ĐỘNG LỰC
Tạp chí Nghiên cứu khoa học - Đại học Sao Đỏ, ISSN 1859-4190 Số 4(59).2017 59
Ở đây, đẳng thức cuối không đúng tại 0x = . Từ 
đây suy ra 
( )( ) 0,NS h x′ =
có các không điểm
2 , 0,1,2,....
1k
kx k
N
π π+
= =
+
Hàm số ( )( )NS h x′ đổi dấu luân phiên trên hai 
khoảng liên tiếp của các điểm chia kx . Từ đây suy 
ra kx là các điểm cực trị của
( )( )NS h x . Điểm đầu 
tiên 0x là điểm cực đại, do đó hàm số đạo hàm đổi 
dấu từ dương sang âm.
Hơn nữa, do ( )0 0NS =
nên
( )( ) ( )( )
( ) ( )
( )
0
0
sin 2 os 1 2
.
sin 2
x
N N
x
S h x S h t dt
Nt c N t
dt
t
′=
+  =
∫
∫
C
Do trong hàm dưới dấu tích phân, hàm dưới mẫu 
là tăng trong ( )0,π và hàm tử số đổi dấu luân 
phiên qua các không điểm kx . Do đó, giá trị lớn 
nhất trên ( )0,π của ( )( )NS h x đạt tại điểm 
0 1
x
N
π
=
+
. Vậy bên phải của điểm cực đại 0x , biên 
độ dao động của hàm ( )( )NS h x
giảm dần và sau 
đó dao động xung quanh các giá trị của 
hàm ( )h x .
Xét tại điểm cực đại 0x , ( )
0
0 2
xh x π −=
và
( )( ) ( )0 0NS h x h x− = 
( )
( )
0
0
sin 1 2
2sin 2 2
x N t
dt
t
π+
= −∫
( )
( )
( ) ( )
( ) ( )
0
0
0
0
0 0
sin 1 2
2sin 2
1 1 sin 1 2
2sin 2 2
.
2
x
x
N t
dt
t
N tdt
t t
I x J x
π
π
+
= +
 
+ − + −  
 
= + −
∫
∫
Trong đó
( ) ( )( )
0
0 0
0
sin 1 2
2sin 2
sin 1,85,
x N t
I x dt
t
udu
u
π
+
=
= ≈
∫
∫
và
( ) ( )
0
0 0
1 1 1sin .
2sin 2 2
x
J x N tdt
t t
   = − +       
∫
Tích phân này bị chặn trong lân cận gần 0t = nó 
dần tới 0 khi t →∞ và do đó ( )0J x hội tụ về 0 
khi N →∞ . Do vậy
( )( )0 0
sinlim 1,85,NN
uS h x du
u
π
→∞
= ≈∫
( )0lim 1,57.2N h x
π
→∞
= ≈
Với mỗi N cho trước, tổng riêng ( )( )NS h x
có giá 
trị cực đại trên ( )0,π . Khi N →∞ thì dãy những 
giá trị cực đại đó dần tới 1,85, còn những giá trị 
cực trị khác của hàm tổng riêng này dao động 
xung quanh các giá trị của h . 
Xét lân cận trái của điểm 0 ( )0 : ,0π− . Dáng điệu 
tương tự cũng xảy ra đối với ( )( )NS h x . Cụ thể, 
khi x
dần tới 0 từ bên trái, đồ thị hàm ( )( )NS h x
 không dao động nữa mà nó bất chợt giảm quá giá
trị 
2
π
−
để đạt giá trị nhỏ nhất tại 0x− sau đó tăng 
liên tục đến bước nhảy bên lân cận phải, nó vượt 
quá đà giá trị 2
π
để đạt cực đại tại 0x rồi sau đó 
mới dao động ổn định xung quanh các giá trị của 
h cho tới trước điểm gián đoạn kế tiếp, trong bài 
toán này là điểm 2π. 
Điều này được gọi là hiện tượng bước nhảy Gibbs 
hay hiện tượng Gibbs.
Định nghĩa 1 (xem [1])
Cho hàm f khả tích và tuần hoàn với chu kỳ 2π. 
Với N là số nguyên dương, tổng riêng thứ N 
của chuỗi Fourier của hàm f được xác định bởi
( )( ) ( )ˆ .
N
inx
N
n N
f nS f x e
=−
= ∑ 
Định nghĩa 2 (xem [3])
Cho các tổng riêng
( )( ) ( )( ) ( )( )0 1 1, ,...., NS f x S f x S f x− . 
Ký hiệu ( )( )N f xσ là tổng Cesaro thứ N của 
chuỗi Fourier. 
( )( )
( )( ) ( )( ) ( )( )0 1 1.... .
N
N
f x
S f x S f x S f x
N
σ
−
=
+ + +
( )( )
( )( ) ( )( ) ( )( )0 1 1.... .
N
N
f x
S f x S f x S f x
N
σ
−
=
+ + +
Định nghĩa 3 (xem [2])
Cho hàm ( )f x là hàm tuần hoàn với chu kỳ 2π
sao cho hạn chế của nó trên ( ),π π− là hàm thuộc 
( )1 ,L π π− . Khi đó f thỏa mãn điều kiện Lipschitz 
bậc 0α > tại 0x nếu tồn tại một hằng số C sao cho 
60
NGHIÊN CỨU KHOA HỌC
Tạp chí Nghiên cứu khoa học - Đại học Sao Đỏ, ISSN 1859-4190 Số 4(59).2017
( ) ( )0 0f x f x C x x
α
− ≤ − 
trong lân cận của 0x thì f được gọi là thỏa mãn 
điều kiện Lipschitz đều.
Định lý 1 (xem [4])
Cho ( )1 ,f L π π∈ − là hàm tuần hoàn và
[ ]
1
,h C α b∈ hàm sao cho[ ] [ ], ,α b π π∈ − . Khi đó
( ) ( ) ( )sinf x u h u u du
b
α
l−∫
hội tụ đều đến 0 khi l →∞. 
Định lý 2 (xem [3])
Cho f thỏa mãn điều kiện Lipschitz phải và trái 
tại 0x . Khi đó
( )( )
( ) ( )0 0
0 .2N
f x f x
S f x khi n
+ −+
→ →∞
Hơn nữa, nếu f thỏa mãn điều kiện Lipschitz 
trong lân cận thì hội tụ đều đến f trong lân cận 
của 0x khi .n →∞
Định lý 3 (xem [4])
Giả sử f thỏa mãn điều kiện Lipschitz đều 
bậc 0 1α< < trong ( ),a b . Khi đó ( )NS f hội tụ đều đến f trong khoảng con đóng bất kỳ [ ] ( ), ,c d a b⊂ . 
Chứng minh:
Lấy { }min ,c a b dd < − − .
Theo định lý 2, ta có
( )( ) ( )NS f x f x−  
( ) ( ) ( )1
2 N
f x u f x D u du
π
ππ −
= − −  ∫
Đặt 
( )
( ) ( )0 0
0 2
f x f x
f x
+ −+
= , 0 d π< < , ta có
( )( ) ( )0 02 NS f x f xπ  − 
( ) ( )
( )0 0 N
f x u f x
uD u du
u
d
π
+
−
−
− −
= ∫
( ) ( )
( )
0 0 0
N
f x u f x
uD u du
ud
+
−
− −
+∫
( ) ( )
( )0 0
0 N
f x u f x
uD u du
u
d
−− −
+∫
( ) ( )
( )
0 0 0
N
f x u f x
uD u du
ud
−− −
+∫
 1 2 3 4
J J J J= + + +
.
Suy ra 
1 10
2 3 0
J J C u du C u du
α αd
d
− −
−
+ ≤ +∫ ∫
1 10
02 2
C Cu du u du
α αd
d
− −
−
≤ +∫ ∫
 1 1
02
C u du C u du
α αd d
d
− −
−
= =∫ ∫
 .
0
u CC
α
αd d
α α
= =
Ta viết lại 1J
( ) ( )1 0
1 sin 2
sin ( 2)
J f x u uN u du
u
d
π
−
−
= − +∫ 
( ) ( )0 1 sin 2sin ( 2)f x uN u duu
d
π
− +
−
− +∫
 1 2K K= − .
Do 
[ ]
1
,
1
sin ( 2)
C
u π d− −
∈
Theo định lý 1, do tính trù mật của [ ]
1
,C π d− − trong 
[ ]
1
,L π d− − nên với ,α π b d= − = − và 
1
2
Nl = + 
cho tích phân 1K thì 1K hội tụ đều đến 0 khi 
.l →∞
Tích phân 2K cũng hội tụ đều về 0 . Do vậy, 1J 
hội tụ đều đến 0 khi .N →∞ Tương tự với 4J . Từ 
đó suy ra điều phải chứng minh.
Bây giờ, chúng tôi sẽ chứng minh sự tồn tại hiện 
tượng Gibbs tại điểm gián đoạn 0 của một hàm 
trơn từng khúc g. Xét hàm ( )g x trơn từng khúc 
với bước nhảy tại 0 sao cho
( ) ( )
0
0 lim ;
x
g g x
+
+
→
= ≠ ±∞
( ) ( )
0
0 lim
x
g g x
−
−
→
= ≠ ±∞
khi đó, loại điểm gián đoạn 0 và xác định hàm 
( )h x mới như sau 
( ) ( )
( ) ( )
( )
0 0g g
h x g x f x
π
+ − −
 = −
 
 
. 
Trong đó ( )f x là hàm là hàm tuần hoàn chu kỳ 
2π được xác định bởi
( ) ( )
0, 0,
2, 0 2 ,
0, 2 .
x
f x x x
x
π π
π
=
= − < <
 =
Cho 0x +→ ta được 
LIÊN NGÀNH CƠ KHÍ - ĐỘNG LỰC
Tạp chí Nghiên cứu khoa học - Đại học Sao Đỏ, ISSN 1859-4190 Số 4(59).2017 61
( )
0
lim
x
h x
+→
=
( )
( ) ( )
( )
0 0
0 0
lim lim
x x
g g
g x f x
π+ +
+ −
→ →
 −
 = −
 
 
( ) ( ) ( )
0 0
0
2
g g
g π
π
+ −
+
 −
 = −
 
 
( ) ( )0 0
.
2
g g+ −+
=
Tương tự, khi 0x −→ thì
( )
( ) ( )
0
0 0
lim
2x
g g
h x
−
+ −
→
+
=
.
Bây giờ, ta xác định ( )0h có
( )
( ) ( )0 0
0
2
g g
h
+ −+
=
.
Khi đó h liên tục tại 0 và thỏa mãn giả thiết định lý 
1. Do đó ( )NS f hội tụ tại 0. Thực ra, nó hội tụ đều 
trong lân cận của 0, vì vậy ta có thể chỉ ra rằng xảy 
ra hiện tượng Gibbs tại điểm gián đoạn 0.
Tiếp theo, chúng tôi sẽ chứng minh sự tồn tại hiện 
tượng Gibbs tại điểm gián đoạn bất kỳ 0x của một 
hàm trơn từng khúc g. Xét hàm ( )g x trơn từng 
khúc với bước nhảy tại 0x x= và trơn từng khúc 
mọi nơi trừ ra 0x sao cho ta xác định hàm ( )h x 
bởi
với 0x x≠
( ) ( )
( ) ( )
( )0 0 0 ,
g x g x
h x g x f x x
π
+ − −
 = − −
 
 
với 0x x=
( )
( ) ( )0 0 .
2
g x g x
h x
+ −+
=
Khi đó ( )f x là hàm tuần hoàn chu kỳ 2π được 
xác định như bài toán trên. 
Ta cho 0x x
+→ ta thu được
( )
0
lim
x x
h x
+→
= ( )
( ) ( )
( )
0 0
0 0
0lim limx x x x
g x g x
g x f x x
π+ +
+ −
→ →
 −
 = − −
 
 
( ) ( ) ( )0 00 2
g x g x
g x π
π
+ −
+
 −
 = −
 
 
( ) ( )0 0 .
2
g x g x+ −+
=
 Tương tự, khi 0x x
−→ thì
( )
( ) ( )
0
0 0lim .
2x x
g x g x
h x
−
+ −
→
+
=
Bây giờ ta xác định 
( )
( ) ( )0 0
0 .2
g x g x
h x
+ −+
=
Khi đó
( )
0
lim
x x
h x
+→
= ( ) ( )
( ) ( )
0
0 0
0lim .2x x
g x g x
h x h x
−
+ −
→
−
= =
Vậy ( )h x liên tục tại 0x do đó ( )NS f hội tụ đều 
trong lân cận của 0x . Do vậy hàm g xảy ra hiện 
tượng Gibbs tại 0x x= do ( )0f x x− cũng thế.
Trường hợp g có số các điểm gián đoạn nhảy 
hữu hạn 1,..., jx x và trơn từng khúc mọi nơi trừ ra 
các điểm đó thì ta xác định ( )h x bởi
với jx x≠
( )
( ) ( ) ( ) ( )0 01 ,j
j
h x
g x g x g x f x x
π
+ −
=
 
 − − −  
 
∑
( )
( ) ( ) ( ) ( )0 01 ,j
j
h x
g x g x g x f x x
π
+ −
=
 
 − − −  
 
∑
với jx x=
( )
( ) ( )
.
2
j jg x g xh x
+ −+
=
Chứng minh tương tự như trường hợp tại 0x x= 
ta cũng chứng minh cho hiện tượng Gibbs cho 
hàm g tại điểm bất kỳ 1,..., jx x .
3. KHẮC PHỤC HIỆN TƯỢNG GIBBS
Để khắc phục hiện tượng Gibbs ta sẽ sử dụng 
phương pháp xây dựng hàm số không trực tiếp 
bằng tổng riêng của chuỗi mà từ trung bình cộng 
của chúng. Phương pháp này ưu việt ở chỗ 
nó không chỉ đem lại tính hội tụ, mà còn hội tụ 
đều tới chính hàm f . Phương pháp này được 
gọi là phương pháp lấy trung bình cộng hay lấy 
tổng Cesaro. 
Định lý sau chỉ ra rằng tích chập với nhân xác định 
dương loại bỏ được hiệu ứng Gibbs.
Định lý 4 
Cho { } 1n nK
∞
= là một họ các nhân xác định dương 
và ( )m f x M≤ ≤ với ( ),x a b∈ . Khi đó, với mọi 
0ε > và 0 2
b ad −< < , tồn tại số nguyên dương N
sao cho với mọi n N> và mọi ( ),x a bd d∈ + − 
ta có ( )( )Nm f x Mε σ ε− ≤ ≤ + trong đó
62
NGHIÊN CỨU KHOA HỌC
Tạp chí Nghiên cứu khoa học - Đại học Sao Đỏ, ISSN 1859-4190 Số 4(59).2017
( )( ) ( )( )*N nf x f K xσ = . 
Chứng minh:
Do f liên tục tại x nên với 0ε > cho trước,
tồn tại 0d > sao cho y d< thì
( ) ( )f x y f x ε− − < .
Áp dụng tính chất của nhân tốt ta được
( )( ) ( )
( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( )
*
1
2
1
2
n
n
n
f K x f x
K y f x y dy f x
K y f x y f x dy
π
π
π
π
π
π
−
−
−
= − −
= − −  
∫
∫
Trong đó B là hệ số bị chặn của f . Do tính chất 
của nhân tốt nên tồn tại 0M > sao cho
( )( ) ( )
( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( )
( ) ( )
*
1
2
1
2
1
2
2
2 2
n
n
ny
ny
n ny
f K x f x
K y f x y f x dy
K y f x y f x dy
K y f x y f x dy
BK y dy K y dy
π
π
d
d π
π
π d π
π
π
π
ε
π π
−
<
≤ ≤
− ≤ ≤
−
= − −  
≤ − −
+ − −
≤ +
∫
∫
∫
∫ ∫
( )2 .
2 2 ny
M B K y dy
d π
ε
π π ≤ ≤
≤ + ∫
Theo tính chất của nhân tốt thì với n đủ lớn
( )2 .
2 2 ny
M B K y dy
d π
ε
π π ≤ ≤
≤ + ∫
Theo tính chất của nhân tốt thì với n đủ lớn
( )ny K y dyd π ε≤ ≤ <∫ .
Do đó với hằng số C nào đó và n đủ lớn ta có
( )( ) ( )* nf K x f x Cε− ≤ .
Nếu f liên tục mọi nơi thì liên tục đều nên ta 
có thể chọn 0d > không phụ thuộc x khi đó
( )( )* nf K x hội tụ đều đến f đpcm.
Ví dụ 1: Xét hàm tuần hoàn chu kỳ 2π xác 
định bởi
( ) ( )
0, 0,
2, 0 2 ,
0, 2 .
x
h x x x
x
π π
π
=
= − < <
 =
Ta thấy rằng trong ví dụ này h gián đoạn tại 
0x = nên chuỗi Fourier của nó không hội tụ 
đều và xảy ra hiện tương Gibbs. Bây giờ sử dụng 
tổng Cesaro của hàm này để khắc phục hiện 
tượng này.
Ta có
( )( ) ( )
1
sinN
N
n
nx
S h x
n=
=∑ .
Do đó tổng Cesaro thứ N là
( )( ) ( )
1
1
sin
1
N
N
n
nxnh x
N n
σ
−
=
 = − 
 
∑
4. KẾT LUẬN
Bài viết trình bày sự tồn tại hiện tượng Gibbs đối 
với hàm tổng quát có điểm gián đoạn tại gốc tọa 
độ và điểm bất kỳ, đưa ra cách khắc phục hiện 
tượng, ví dụ minh họa. Ngoài ra, khắc phục hiện 
tượng Gibbs của hàm tổng quát còn có phương 
pháp tìm tổng riêng. Tuy nhiên, do khuôn khổ bài 
báo, chúng tôi không đề cập ở đây. 
TÀI LIỆU THAM KHẢO
[1]. Anders Vretblad (2003). Fourier analysis and its 
applications. SpingerVerlag, New York. 
[2]. Elias M. Stein and Rami Shakarchi (2003).Fourier 
analysis an introduction. Princeton university 
Press, Princeton and Oxford.
[3]. H.T. Shim (1994). On Gibb’ phenomenon in 
wavelet subspaces and summability. Ph.D. 
thesis, The University of Wisconsin-Milwaukee, 
Milwaukee.
[4]. Kourosh Raeen (2008). A study of the Gibbs 
phenomenon in Fourier series and wavelets, 
M.A.thesis, The University of New Mexico, 
Albuquerque, New Mexico.