Hàm gamma p-Adic và các đồng dư thức liên quan đến hệ số Newton

Tạp chí KHOA HỌC ĐHSP TPHCM Mỵ Vinh Quang và tgk 
_____________________________________________________________________________________________________________ 
HÀM GAMMA P-ADIC 
VÀ CÁC ĐỒNG DƯ THỨC LIÊN QUAN ĐẾN HỆ SỐ NEWTON 
MỴ VINH QUANG*, PHAN DUY NHẤT**
TÓM TẮT 
Trong bài báo, chúng tôi chứng minh một đồng dư thức của hàm gamma p-adic dưới 
đây: 
2
1,( , ) 1
( -1) 1( ) ( ) 1
3
rp
r r x r
p p
k k p
x xp x p p
k= =
⎡ ⎤Γ ≡ Γ +⎢⎢ ⎥⎣ ⎦∑ ⎥
p
 (mod ) (1) 5rp
trong đó: :p pZ CΓ → là hàm gamma p-adic; là số nguyên tố, ; ; p 5p > 1r ≥
px Z∈ . 
Từ đó, chúng tôi suy ra được một số đồng dư thức trong số học liên quan đến hệ số 
Newton. 
Từ khóa: hàm gamma p-adic, đồng dư thức, hệ số Newton. 
ABSTRACT 
P-adic gamma function and congruences related to the Newton coefficients 
In the paper, we prove a congruence of the p-adic gamma function follows: 
2
1,( , ) 1
( -1) 1( ) ( ) 1
3
rp
r r x r
p p
k k p
x xp x p p
k= =
⎡ ⎤Γ ≡ Γ +⎢⎢ ⎥⎣ ⎦∑ ⎥ (mod 
5rp ) (1) 
Where: :p p pZ CΓ → is the p-adic gamma function; p is a prime, 5p > ; ; 1r ≥
px Z∈ . 
Since then, we deduce some congruences in arithmetic relating to the Newton 
coefficients. 
Keywords: p-adic gamma function, congruence, Newton coefficient. 
1. Giới thiệu 
Đồng dư thức (mod p) được chứng minh khá đơn giản. Năm 1819, 
Babbage đã chứng minh một đồng dư thức mạnh hơn, với số nguyên tố thì 
2 1
1
1
p
p
−⎛ ⎞ ≡⎜ ⎟−⎝ ⎠
3p ≥
* PGS TS, Trường Đại học Sư phạm TPHCM 
** ThS, Trường Đại học Sư phạm TPHCM 
 3
Tạp chí KHOA HỌC ĐHSP TPHCM Số 36 năm 2012 
_____________________________________________________________________________________________________________ 
⎟
⎞⎟⎠
2 1
1
1
p
p
−⎛ ⎞≡⎜ ⎟−⎝ ⎠ (mod ). Năm 1862, Wolstenholme đã chứng minh (mod ) 
với mọi số nguyên tố . Năm 1899, J. Glaisher với kết quả (mod 
) và năm 1990, D.F. Bailey với kết quả (mod ) cho mọi số nguyên 
tố . 
2p
2 1
1
1
p
p
−⎛ ⎞≡⎜ ⎟−⎝ ⎠
3p
5p ≥ 1 1
1
np p
p
+ −⎛ ⎞ ≡⎜ −⎝ ⎠
3p
np n
rp r
⎛ ⎞ ⎛≡⎜ ⎟ ⎜⎝ ⎠ ⎝
3p
5p ≥
Khi giải tích p-adic ra đời đã mở ra nhiều hướng nghiên cứu mới. Tương tự hàm 
gamma trong giải tích phức, ta có hàm gamma p-adic trong giải tích p-adic với tính 
chất sau: 
1
1,( , ) 1
( ) ( 1)
n
n
p
i i p
n i
−
= =
Γ = − ∏ 
ta thấy được mối liên hệ giữa hàm gamma p-adic và hệ số của nhị thức Newton như 
sau: 
( )1
1 ( ) ( )
p
p p
np pnp p
p np p
Γ ++ −⎛ ⎞ =⎜ ⎟− Γ Γ⎝ ⎠ 
khi đó có thể viết lại đồng dư thức của J. Glaisher như sau: 
( )
1
( ) ( )
p
p p
np p
np p
Γ + ≡Γ Γ (mod ) 
3p
Từ đây, tạo động lực cho chúng ta nghiên cứu những đồng dư thức của hàm 
gamma p-adic. Trong bài báo này, chúng tôi sẽ chứng minh đồng dư thức (1) và sử 
dụng kết quả này để suy ra một số đồng dư thức số học liên quan đến hệ số Newton. 
2. Các kết quả được sử dụng trong bài báo 
2.1. Hàm gamma p-adic 
Trường số thực R không đóng đại số, bao đóng đại số của R là trường số phức C. 
Làm đầy đủ Q theo giá trị tuyệt đối 
p
 ta được trường , đầy đủ nhưng 
không đóng đại số. Kí hiệu bao đóng đại số của là 
pQ pQ
pQ pQ . Giá trị tuyệt đối trên pQ 
được xác định như sau: 
Với mọi pa Q∈ thì a phải là phần tử đại số trên , do đó tồn tại đa thức pQ
( ), , [ ]pIrr a Q x Q x∈ có dạng ( ) 11 1, , ...n nnIrr a Q x x a x a x a−− 0= + + + + bất khả quy 
trên , nhận a làm nghiệm. pQ
 4 
Tạp chí KHOA HỌC ĐHSP TPHCM Mỵ Vinh Quang và tgk 
_____________________________________________________________________________________________________________ 
Ta chứng minh được 0npa a= p là giá trị tuyệt đối trên pQ . Trường pQ đóng 
đại số nhưng nó lại không đầy đủ theo p vừa xây dựng. Nếu tiếp tục làm đầy đủ pQ 
theo p thì ta sẽ được trường số phức p-adic. Kí hiệu pC Qp
∧
= . Trường số phức p-
adic đóng đại số, đầy đủ và đóng vai trò tương tự như trường số phức C trong giải 
tích phức. 
pC
Mệnh đề 2.1. 
Tập hợp { }:p p pZ a Q a 1= ∈ ≤
p
 cùng phép toán cộng và phép toán nhân trong 
 tạo thành một vành gọi là vành các số nguyên p-adic. pQ
Định nghĩa 2.2. 
Dãy trong được gọi là một dãy nội suy p-adic nếu tồn tại 
duy nhất một hàm số liên tục 
1 2 3, , ,..., ,...na a a a pC
: pf Z C→ sao cho ( ) nf n a n N= ∀ ∈ . 
Định lí 2.3. 
Cho p là một số nguyên tố. Khi đó dãy { }na với 1
1
( 1) '
n
n
n
i
a
−
=
= − i∏ là một dãy nội 
suy p-adic. Trong đó là tích lấy theo tất cả các i nguyên tố với p. '∏
Từ định nghĩa của dãy nội suy p-adic tồn tại duy nhất hàm :p p pZ CΓ → liên tục 
trên pZ thỏa 
1
1
( ) ( 1) '
n
n
p
i
n i
−
=
Γ = − ∏ 
Hàm được xác định như trên gọi là hàm gamma p-adic. pΓ
2.2. Một số đồng dư thức 
Chúng ta kí hiệu thay cho '∑
1,( , ) 1
rp
k k p= =
∑ 
Định lí 2.1. 
Cho p là một số nguyên tố lớn hơn 5. Chúng ta có các đồng dư thức sau: 
(i) 2
1' sk
≡∑ 0 (mod ) nếu (p-1) không chia hết 2s. rp
(ii) 2 1
1' 0sk +
≡∑ (mod ) nếu (p-1) không chia hết 2(s + 1). 2rp
 5
Tạp chí KHOA HỌC ĐHSP TPHCM Số 36 năm 2012 
_____________________________________________________________________________________________________________ 
(iii) 2
1' '
2
rp
k k
≡ −∑ ∑ 1 (mod ). 4rp
(iv) 2
1 1' '
2k m km k<
≡ −∑ ∑ 1 (mod ). 4rp
Chứng minh: 
(i) Vì (p-1) không chia hết 2s nên tồn tại thỏa p không chia hết và . 
Nếu k chạy qua một hệ thặng dư thu gọn theo (mod ) thì cũng chạy qua một hệ 
thặng dư thu gọn theo (mod ). Khi đó: 
0k
2
0 1
sk − 0k
rp 0k k
rp
2 2 2
0 0
1 1 1' ' '
( ) 2
1
s s sk k k k k
= ≡∑ ∑ ∑ (mod ) rp
Suy ra 2 2
0
1 1(1 ) ' 0sk k
− ∑ ≡ (mod ). Do đó rp 21 0sk ≡∑ (mod ). rp  
(ii) Ta có: 
2 1 2 1 2 1
2 1
2 12 3
2 1 2 3
2 1
2
2 1
2 1
1 1 1 1' ' '
( ) (1 )
1 ' 1 ...
1 ' 1 (mod p )
1 '
rs r s s
s
sr r r
s
sr
r
s
s
pk p k k
k
p p p
k k k k
p
k k
k
+ + +
+
+
+
+
+
+
= = −− −
⎛ ⎞= − + + + +⎜ ⎟⎝ ⎠
⎛ ⎞≡ − +⎜ ⎟⎝ ⎠
≡ −
∑ ∑ ∑
∑
∑
2
2
2 1 2 2
1 (2 1) (mod p )
1 1 ' (2 1) ' (mod p )
r
r
r r
s s
ps
k
s p
k k+ +
⎛ ⎞+ +⎜ ⎟⎝ ⎠
= − − +
∑
∑ ∑
Do (p – 1) không chia hết 2(s + 1), theo (i) ta có: 
2 2
1' sk +
≡∑ 0 (mod ) rp
Suy ra 2 1 2 1
1 1' 's sk k+ +
≡ −∑ ∑ (mod ). Vậy 2rp 2 11' sk + 0≡∑ (mod ).  2rp
(iii) Ta có khai triển Maclaurin 
21 1 ...
1
x x
x
= + + +− 
 6 
Tạp chí KHOA HỌC ĐHSP TPHCM Mỵ Vinh Quang và tgk 
_____________________________________________________________________________________________________________ 
Suy ra 
2 3 4
2 3 4
1 1 .
1
r r r r
r
p p p p
p k k k k
k
= + + + + +
−
.. 
Từ đó ta có : 
2 3
2 3 4
1 1 1 1' ' '
1
1 1 1 1 ' ' ' ' (mod p )
rr
r r r
pk p k k
k
p p p
k k k k
= = −− −
≡ − − − −
∑ ∑ ∑
∑ ∑ ∑ ∑ 4r
Thay s = 2 vào (i), ta được 4
1'
k
0≡∑ (mod ). rp
Tương tự thay s = 1 vào (ii), ta được 3
1'
k
0≡∑ (mod ). 2rp
Suy ra 2
1 1' ' rp
k k
≡ − −∑ ∑ ∑ 1' k (mod ). 4rp
Vậy 2
1 12 ' 'rp
k k
≡ −∑ ∑ (mod ). 4rp
Do , suy ra 4(2, ) 1rp = 2
1' '
2
rp
k k
≡ −∑ ∑ 1 (mod ) 4rp  
(iv) Ta có: 
2
2
1 1' ' 2
k mk k <
⎛ ⎞ = +⎜ ⎟⎝ ⎠∑ ∑ ∑
1'
km
Thay s = 0 vào (ii), ta được 1'
k
0≡∑ (mod ). 2rp
Suy ra 
21'
k
⎛ ⎞ ≡⎜ ⎟⎝ ⎠∑ 0 (mod ) 4rp
Do đó 
2
12 ' '
k m km k<
≡ −∑ ∑ 1 (mod ) 4rp
Do , suy ra 4(2, ) 1rp = 21 1' '2k m km k< ≡ −∑ ∑
1 (mod ) 4rp  
 7
Tạp chí KHOA HỌC ĐHSP TPHCM Số 36 năm 2012 
_____________________________________________________________________________________________________________ 
ả chính 
Định
Nếu p là một số nguyên tố lớn hơn 5, 
3. Kết qu
 lí 3.1. 
, 1px Z r∈ ≥ thì 
2( -1) 1( ) ( ) 1 '
3
r r x r
p p
x xp x p p
k
⎡ ⎤Γ ≡ Γ +⎢ ⎥⎣ ⎦∑ (mod ) 
Chứn
Trước tiên ta chứng minh 
5rp
g minh: 
( )( 1) 11 ( 1) '
( )rp pΓ ( )
r
p r
r
p
p n
n n p
p n k
Γ + ≡ + +Γ ∑ (mod ) 
Ta có: 
5rp
( )
2 2 3 3 4 4 5
3 4
( 1)
' '(1 )
( ) ( )
1 1 1+ ' ' (mod p )
r r r
p
r r
p p
r r r r
k m
p n p k p n
p p n k k
np n p n p t n p t
k km<
Γ + +≡ = +Γ Γ
≡ + + +
∏ ∏
∑ ∑
r
Trong đó kí hiệu thay cho '∏
1,( , ) 1
rp
k k p= =
∏ , 3 1'
k l m
t
klm< <
= ∑ , 4 1'
k l m h
t
klmh< < <
= ∑ . 
định lí 2.1, ta có Từ (i) và (ii) của 2
1 1' '
k k
0≡∑ ∑ (mod ). 
Mặt khác ta có : 
3rp
2 3 2
1 1 1 1' ' ' '
k k k k m
= +∑ ∑ ∑ ∑ và 
k m≠
3
1' 0
k
≡∑ (mod ). 
Do đó 
2rp
2
1' 0
k m k m≠
≡∑ (mod ). 
Suy ra 
2rp
3 2
1 1 1 13 3 ' ' ' '
k l m k m k m
t 0
k k m< < < ≠
= = − ≡∑ ∑ ∑ ∑ (mod ) 
). 
 Từ định lí 2.1 ta có: 
2rp
klm km
rHay 3 0t ≡ (mod 2p
3' 0k
≡∑ 1 (mod ) và 2rp 41' 0k ≡∑ (mod ) 
Mặt khác ta có: 
rp
 8 
Tạp chí KHOA HỌC ĐHSP TPHCM Mỵ Vinh Quang và tgk 
_____________________________________________________________________________________________________________ 
3 4
1 1 1 1' ' ' '
k mk k k k≠
= +∑ ∑ ∑ ∑ 3 .m 
 Suy ra 3
1' 0
k m k m≠
≡∑ (mod ). rp
Ta lại có: 
2 3 2
1 1 1 1' ' ' '
k m k mkm k k m k lm< ≠
= +∑ ∑ ∑ ∑ . 
Suy ra 2
1'
k lm
≡∑ 0 (mod rp ). 
Ta có: 
4 2
1 1 14 ' ' '
k l m
t
k klm k l< <
= −∑ ∑ ∑ .m 
Hay (mod ). 4 0t ≡ rp
Từ (iii) và (iv) của định lí 2.1, ta có: 
2
1 1' '
2
r
r
k m
pp
km k k<
≡ − ≡∑ ∑ 1'∑ (mod ). 4rp
Suy ra 
( ) 2( 1) 1 11+ ' ' 1 ( 1) '
( ) ( )
r
p r r r
r r
p p
p n
np n p n n p
p p n k k
Γ + ≡ + = + +Γ Γ ∑ ∑ ∑ 1k (mod 5rp ). 
Đặt 
( )
( )
( )
r
p
r x
p
p x
f x
p
Γ= Γ . 
Từ đó ta có: 
( )( 1)( 1)
( ) ( ) ( )
r
p
r r
p p
p nf n
f n p p
Γ ++ = Γ Γ n . 
Theo chứng minh trên ta có: 
( 1) 11 ( 1) '
( )
rf n n n p
f n k
+ ≡ + + ∑ (mod ). 5rp
Từ đó ta suy ra được 
 9
Tạp chí KHOA HỌC ĐHSP TPHCM Số 36 năm 2012 
_____________________________________________________________________________________________________________ 
1 1
1 1
21
5
1
( 1) 1( ) 1 ( 1) '
( )
1 ( 1) 1 1+ ' . ( 1) 1 ' (mod ).
3
n n
r
k i
n
r r
i
f kf n i i p
f k k
n np i i p
k k
− −
= =
−
=
+ ⎡ ⎤= ≡ + +⎢ ⎥⎣ ⎦
−≡ + = +
∑∏ ∏
∑ ∑ ∑ rp
Vậy 
2( 1) 1( ) ( ) 1 '
3
r r n r
p p
n np n p p
k
⎡ ⎤−Γ ≡ Γ +⎢ ⎥⎣ ⎦∑ (mod ). 5rp
Như vậy ta đã chứng minh định lí đúng với mọi số tự nhiên n. 
Do N trù mật trong pZ nên mọi px Z∈ , tồn tại { } :n nx N x x⊂ → . Vì hàm 
gamma p-adic liên tục trên pΓ pZ nên 
2
2
( 1) 1 ( ) ( ) 1 '
3
( 1) 1( ) ( ) 1 ' khi .
3
nxr r rn n
p n p
r r x r
p p
x xp x p p
k
x xp x p p n
k
⎡ ⎤⎛ ⎞−Γ −Γ +⎢ ⎥⎜ ⎟⎝ ⎠⎣ ⎦
⎡ ⎤⎛ ⎞−→ Γ −Γ + →∞⎢ ⎥⎜ ⎟⎝ ⎠⎣ ⎦
∑
∑
Do đó tồn tại , sao cho: 0n
2
0
2
5
( 1) 1( ) ( ) 1 '
3
( 1) 1 ( ) ( ) 1 ' .
3
n
r r x r
p p
p
xr r rn n
p n p
p
x xn n p x p p
k
x xp x p p p
k
−
⎡ ⎤−∀ > ⇒ Γ −Γ +⎢ ⎥⎣ ⎦
⎡ ⎤−= Γ −Γ + ≤⎢ ⎥⎣ ⎦
∑
∑ r
Suy ra 
2( 1) 1( ) ( ) 1 '
3
r r x r
p p
x xp x p p
k
⎡ ⎤−Γ −Γ +⎢ ⎥⎣ ⎦∑ 0≡ (mod ). 5rp
Định lí được chứng minh.  
Nhận xét: Theo (ii) của định lí 2.1, ta có: 
1'
k
≡∑ 0 (mod ). 2rp
Suy ra 
2
1 1' prc Zp k
= ∈∑ . 
Khi đó định lí 3.1 được viết lại như sau: 
 10 
Tạp chí KHOA HỌC ĐHSP TPHCM Mỵ Vinh Quang và tgk 
_____________________________________________________________________________________________________________ 
2
3( 1)( ) ( ) 1
3
r r x
p p
x xp x p p c
⎡ ⎤−Γ ≡ Γ +⎢ ⎥⎣ ⎦
r (mod ). 5rp
Hệ quả 3.2. 
Nếu p là số nguyên tố lớn hơn 5 và , px y Z∈ , thì 1r ≥
( ) 3( ) 1 ( )
( ) ( )
r
p r
r r
p p
p x y
xy x y p c
p x p y
Γ + ≡ + +Γ Γ (mod ) 
5rp
Chứng minh: 
Theo định lí 3.1, ta có: 
3( ) ( ) 1 ( )r rp pp x p y xy x y p c⎡ ⎤Γ Γ + +⎣ ⎦r 
2 2
3 3( 1) ( 1)( ) 1 . ( ) 1 . 1 ( )
3 3
r x r r y r r
p p
x x y yp p c p p c xy x y p c
⎡ ⎤ ⎡ ⎤− − 3⎡ ⎤≡ Γ + Γ + + +⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎣ ⎦⎣ ⎦ ⎣ ⎦
2 2
3 3( 1) ( 1)( ) . ( ) 1 . 1 ( )
3
r x r y r r
p p
x x y yp p p c xy x y p c
⎡ ⎤− + − ⎡ ⎤≡ Γ Γ + + +⎢ ⎥ ⎣ ⎦⎣ ⎦
2 2
3( 1) ( 1) ( )( ) 1
3
r x y r
p
x x y y xy x yp p+ c
⎡ ⎤− + − + +≡ Γ +⎢ ⎥⎣ ⎦
( )2 3( ) ( ) 1( ) 1
3
r x y r
p
x y x y
p p+ c
⎡ ⎤+ + −⎢ ⎥≡ Γ +⎢ ⎥⎣ ⎦
( ) 5( ) (mod ).r rp p x y p≡ Γ + 
Chứng minh trên đã sử dụng đẳng thức 
( )2 2 2( 1) ( 1) ( ) ( ) ( )x x y y xy x y x y x y− + − + + = + + −1  
Ta có thể tổng quát hệ quả 3.2 như sau 
Hệ quả 3.3. 
Nếu p là số nguyên tố lớn hơn 5 và ; 1,i px Z i n∈ = ; thì 2; 1n r≥ ≥
1 3
1 1 1
1
1
( )
n
r
p i n
i r
i i j i j kn
r i i j n i j k n
p i
i
p x
x x x x x x cp
p x
=
= ≤ < ≤ ≤ < < ≤
=
⎛ ⎞Γ ⎜ ⎟ ⎡ ⎤⎛ ⎞ ⎛ ⎞⎛ ⎞⎝ ⎠ ≡ + −⎢ ⎥⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠⎢ ⎥⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎣ ⎦Γ
∑ ∑ ∑ ∑∏
 (mod ). 5rp
Khi n = 3, ta có: 
 11
Tạp chí KHOA HỌC ĐHSP TPHCM Số 36 năm 2012 
_____________________________________________________________________________________________________________ 
 ( ) [ ]( ) 1 ( )( )
( ) ( ) ( )
r
p
r r r
p p p
p x y z
x y z xy yz xz xyz
p x p y p z
Γ + + ≡ + + + + + −Γ Γ Γ (mod ). 
5rp
4. Một số đồng dư thức liên quan hệ số nhị thức Newton 
Sử dụng hệ quả 3.2, ta chứng minh được định lí sau đây. 
Định lí 4.1. 
Nếu p là một số nguyên tố lớn hơn 5, , , ', 'n m n m N∈ và thì , ' 'n m n m> >
5
' '
 ' '( ' ') ' '( ' ')
' '
' '
( ) ( ) (mod ).
' '
n np n n
n m n m n m n m
m mp m m
n n p n n
nm n m nm n m p
m m p m m
⎛ ⎞⎛ ⎞ ⎛ ⎞⎛ ⎞− − −⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎝ ⎠
⎛ ⎞⎛ ⎞ ⎛ ⎞⎛ ⎞≡ − − −⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎝ ⎠
Từ định lí 4.1, chọn thích hợp, chúng ta được một số đồng dư thức 
sau: 
, , ', 'n m n m
2 3
9 12 2
p p
p p
⎛ ⎞ ⎛≡ +⎜ ⎟ ⎜⎝ ⎠ ⎝
⎞⎟⎠
⎟
⎞⎟⎠
3p
p
⎞⎟⎠
 (mod ). 5p
2 4
24 42
2
p p
p p
⎛ ⎞ ⎛ ⎞≡ +⎜ ⎟ ⎜⎝ ⎠ ⎝ ⎠ (mod ). 
5p
3 4
8 12 3
p p
p p
⎛ ⎞ ⎛≡ +⎜ ⎟ ⎜⎝ ⎠ ⎝ (mod ). 
5p
2 2
12 18
p p
p p
⎛ ⎞ ⎛ ⎞⎛≡ +⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎝ (mod ). 
5p
5. Một vài kết quả mở rộng 
Định lí 5.1. 
Nếu , p là số nguyên tố lớn hơn 5, , thì , , ', 'n m n m N∈ 1r ≥ , ' 'n m n m> >
5
' '
 ' '( ' ') ' '( ' ')
' '
' '
( ) ( ) (mod ).
''
r
r
r
r
r
n np n n
n m n m n m n m
m m mmp
n n p n n
nm n m nm n m p
m m mm p
⎛ ⎞⎛ ⎞ ⎛ ⎞⎛ ⎞− − −⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎝ ⎠⎝ ⎠
⎛ ⎞⎛ ⎞ ⎛ ⎞⎛ ⎞≡ − − −⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎝ ⎠⎝ ⎠
Từ định lí 5.1, chọn thích hợp, chúng ta được một số đồng dư thức 
sau 
, , ', 'n m n m
 12 
Tạp chí KHOA HỌC ĐHSP TPHCM Mỵ Vinh Quang và tgk 
_____________________________________________________________________________________________________________ 
2
⎞⎟⎟⎠
2 ⎟⎟
2
⎞⎟⎟⎠
2 2
2
2 3
9 12 2
p p
p p
⎛ ⎞ ⎛≡ +⎜ ⎟ ⎜⎜ ⎟ ⎜⎝ ⎠ ⎝
 (mod ). 10p
2 2
2
2 4
24 42
2
p p
p p
⎛ ⎞ ⎛ ⎞≡ +⎜ ⎟ ⎜⎜ ⎟ ⎜⎝ ⎠ ⎝ ⎠
 (mod ). 10p
2 2
2
3 4
8 12 3
p p
p p
⎛ ⎞ ⎛≡ +⎜ ⎟ ⎜⎜ ⎟ ⎜⎝ ⎠ ⎝
 (mod ). 10p
Theo D.F Bailey, chúng ta có định lí sau: 
Định lí 5.2.[4] 
Nếu , , ,N M n m N∈ , p là số nguyên tố lớn hơn 3, giả sử n, m < p thì 
3
3
Np n N n
M mMp m
⎛ ⎞+ ⎛ ⎞⎛≡⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜⎜ ⎟+ ⎝ ⎠⎝⎝ ⎠
⎞⎟⎠ (mod ). 
3p
Trong bài báo này, chúng ta có kết qủa mở rộng sau 
Định lí 5.3. 
Nếu , , ,N M n m N∈ , p là số nguyên tố lớn hơn 5, , giả sử thì 1r ≥ n m p≤ <
1 '
r
r
r
Np n N n
c p
M mMp m
⎛ ⎞+ ⎛ ⎞⎛ ⎞ ⎡≡ +⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎣⎜ ⎟+ ⎝ ⎠⎝ ⎠⎝ ⎠
⎤⎦
)
 (mod ). 2rp
Trong đó ' ( ) ( ) ( )(c H n N H m M H n m N M= − − − − với 
1
1( ) , (0) 0
n
k
H n H
k=
= =∑ 
Từ định lí 5.3., chọn N, M, n, m, r thích hợp và với p là số nguyên tố lớn hơn 5, 
chúng ta có một số đồng dư thức sau: 
3
3
3
2 3
6 7
2
p
p
p
⎛ ⎞+ ≡ +⎜ ⎟⎜ ⎟+⎝ ⎠
 (mod ). 6p
3
3
3
6 3
30(2 7 )
3 1
p
p
p
⎛ ⎞+ ≡ +⎜ ⎟⎜ ⎟+⎝ ⎠
 (mod ). 6p
3 3
3 3
2 3 6 3
30 120
2 3
p
p p
⎛ ⎞ ⎛+ +≡ +⎜ ⎟ ⎜⎜ ⎟ ⎜+ +⎝ ⎠ ⎝ 1
p ⎞⎟⎟⎠
 (mod ). 6p
 13
Tạp chí KHOA HỌC ĐHSP TPHCM Số 36 năm 2012 
_____________________________________________________________________________________________________________ 
TÀI LIỆU THAM KHẢO 
1. Bailey, D.F. (1990), “Two variations of Lucas’s theorem”, J. Number Theory 35, 
pp. 208- 215. 
3p
2. Dupare, H. and Peremans, W. (1955), “On theorem of Wolstenholme and 
Leudesdodrf”, Pro Ned. Akad. Wet., 58, pp. 459 – 465. 
3. Hardy, G. and Wright, E. (1954), An introduction to the theory of numbers (Third 
Edition), Oxford, Clarendon Press. 
4. Koblitz N. (1977), P-adic Numbers, p-adic Analysis, and Zenta – Function, Springer 
Veriag. 
5. Schikhof W. H. (1984), Ultrametric calculus, An introduction to p-adic analysis, 
Cambridge University Press. 
6. Wolstenholme, J.(1862), “On certain properties of prime numbers”, Quart. J. Math., 
Oxford Series 5, pp. 35- 39. 
7. Zhao, J. (2006), “Bernoulli Numbers, Wolstenholme’s theorem, and variations of 
Lucas’s theorem”, arxiv:math/0303332v3[math.N1]. 
5p
(Ngày Tòa soạn nhận được bài: 13-02-2012; ngày chấp nhận đăng: 24-4-2012) 
 14