Giáo trình thực tập Chuyên đề 4: Phân tích và xử lý tín hiệu số (DSP)

BÀI 1: CÁC TÍN HIỆU CƠ BẢN
1.1 Định nghĩa: Tín hiệu là sự biến thiên biên độ theo thời gian. 
1.2 Phân loại tín hiệu: 
Xét về dạng sóng và sự liên tục, người ta phân tín hiệu ra thành 2 loai cơ bản là tín hiệu
tương tự (analog) hay liên tục thời gian và tín hiệu số (digital) hay rời rạc thời gian 
Tín hiệu biến thiên liên tục về biên độ là tín hiệu tương tự, thường đươc ký hiệu là x(t). 
Tín hiệu thời gian rời rạc được biểu diễn như một dãy số nguyên từ -∞ đến ∞, ký hiệu là 
x[n]. 
1.3 Một số tín hiệu tương tự cơ bản:
1.3.1 Tạo sóng vuông
f=10000; 
t=0:1/f:1.5; 
x=square(2*pi*50*t,50); 
plot(t,x); 
axis([0 0.1 -2 2]); 
1.3.2 Tạo sóng sin
f=10000; 
t=0:1/f:1.5; 
x=sin(2*pi*50*t); 
plot(t,x); 
axis([0 0.1 -2 2]); 
1.3.3 Tạo sóng răng cưa
f=10000; 
t=0:1/f:1.5; 
x=sawtooth(2*pi*50*t); 
plot(t,x); 
axis([0 0.1 -2 2]); 
1.4 Một số tín hiệu rời rạc cơ bản 
1.4.1 Tạo xung lực đơn vị
Dãy xung lực đơn vị có chiều dài N mẫu
n=0:1:10; 
N=length(n); 
delta=[1 zeros(1,N-1)]
stem(n,delta); 
axis([0 10 0 1.2]) 
Dãy xung lực đơn vị có chiều dài N bị trễ M mẫu (M<N)
n=0:1:10; 
N=length(n); 
delta=[zeros(1,M) 1 zeros(1,N-1)];
stem(n,delta); 
axis([0 10 0 1.2]) 
Để biểu diễn tín hiệu xung lực đơn vị có dạng tổng quát
Với , ta dùng hàm Matlab có cú pháp sau :
function [x,n] = imseq(n0,n1,n2)
n=[n1:n2]; 
x=[(n-n0)==0];
1.4.2 Tạo tín hiệu bậc đơn vị
n=0:1:10; 
N=length(n); 
unit=[ones(1,N)]; 
stem(n,unit); 
axis([0 10 0 1.2])
Để biểu diễn tín hiệu bậc đơn vị có dạng tổng quát
Với , ta dùng hàm Matlab có cú pháp sau:
function [x,n] = stepseq(n0,n1,n2)
n=[n1:n2]; 
x=[(n-n0)>=0];
1.4.3 Tạo tín hiệu dốc đơn vị
n=0:1:10; 
y=n; 
stem(n,y);
1.4.4 Tạo tín hiệu mũ thực
n=0:1:20; 
y=0.9.^n; 
stem(n,y);
1.4.5 Tạo tín hiệu mũ phức: 	
n=0:1:10; 
y=exp((2+3j)*n; 
stem(n,y);
1.5 Các phép toán trên chuỗi tín hiệu rời rạc
1.5.1 Phép cộng hai tín hiệu
Phép cộng hai tín hiệu trong Matlab được thực hiện bởi toán tử “+”. Tuy nhiên, chiều dài của hai tín hiệu phải bằng nhau. Nếu dài dài của hai tín hiệu khác nhau, hay gốc toạ độ của 2 chuỗi tín hiệu khác nhau thì ta không thể sử dụng trực tiếp toán tử “+”. Do đó , ta cần phải biến đổi x1(n) và x2(n) sao cho có cùng vị trí n trước khi thực hiện phép cộng hai tín hiệu.
Phép cộng được thực hiện bởi hàm Matlab sau
	function[y n]=sigadd(x1,n1,x2,n2)
n=min(min(n1),min(n2)):max(max(n1),max(n2));
y1=zeros(1,length(n));
y2=y1;
y1(find(n>=min(n1))&(n<=max(n1))==1))=x1;
y2(find(n>=min(n2))&(n<=max(n2))==1))=x2;
y=y1+y2;
1.5.2 Phép nhân hai tín hiệu
	Phép nhân hai tín hiệu trong Matlab được thực hiện bởi toán tử “.*”. Tuy nhiên, giống như phép cộng, ta cần phải biến đổi 2 tín hiệu trược khi thực hiện phép nhân
Phép nhân được thực hiện bởi hàm Matlab sau
function[y n]=sigmult(x1,n1,x2,n2)
n=min(min(n1),min(n2)):max(max(n1),max(n2));
y1=zeros(1,length(n));
y2=y1;
y1(find(n>=min(n1))&(n<=max(n1))==1))=x1;
y2(find(n>=min(n2))&(n<=max(n2))==1))=x2;
y=y1.*y2;
1.5.3 Phép dịch và gấp tín hiệu
Tín hiệu x(n) được dịch chuyển đi n0 mẫu để tạo thành tín hiệu y(n)=x(n-n0). Đặt m=n-n0, ta có n=m+n0, tín hiệu y(n) được viết lại thành y(m+n0)=x(m). Đó đó thuật toán này không tác động vào tín hiệu x(n) mà chỉ có vecto n được dịch chuyển đi n0 mẫu
Phép dịch được thực hiện bởi hàm Matlab sau:
	function[y n]=sigshift(x,m,n0)
n=m+n0;
y=x;
	Tín hiệu x(n) được gấp qua gốc n=0 để tạo thành tín hiệu y(n)=x(-n).
	Phép gấp được thực hiện bởi hàm Matlab sau:
	function[y n]=sigfold(x,n)
y=fliplr(x);
n=-fliplr(n);
1.6 Bài tập
1>Vẽ tín hiệu lũy thừa thực có biểu thức x(n)=0.2(1.2)n .Vẽ lại tín hiệu trên sau khi đã trì hõan 
N=10 mẫu.
2> Vẽ tín hiệu sin thực rời rạc thờ i gian x(n)=1.5 sin(0.2πn).Tín hiệu tuần hoàn với chu kỳ, tần số
bao nhiêu? 
Biến đổi chương trình trên để vẽ và hiển thị dãy có chiều dài N=50 mẫu, tần số 0.08, biên độ 2.5 và độ dịch pha 90o. 
3>Vẽ tín hiệu sin phức x[n]=e(-0.1+j0.3)n với . Vẽ các thành phần biên độ, pha, phần thực và phần ảo trong 4 đồ thị riêng
4> Cho tín hiệu x(n)=[1,2,3,4,5,6,7,6,5,4,3,2,1]. Vẽ các tín hiệu sau
x1(n)=2x(n-5)-3x(n+4)
x2(n)=x(3-n)+x(n)x(n-2)
5> Viết chương trình tạo một hàm Matlab thực hiện việc tách tín hiệu thành hai phần chẵn và lẻ với quy định sau: function [xe,xo,m]=evenodd(x,n)
	Ứng dụng hàm vừa viết để vẽ thành phần chẵn và lẻ của tín hiệu x(n)=u(n)-u(n-10)
CHƯƠNG 2: PHÂN TÍCH TÍN HIỆU VÀ HỆ THỐNG 
LTI TRONG MIỀN THỜI GIAN 
2.1 Định nghĩa
Hệ thống rời rạc thời gian: còn được gọi là hệ thống xử lý tín hiệu số, biến đổi tín hiệu x[n] thành tín hiệu y[n] với những tính chất mong muốn.Thường ta giả sử hệ thống rời rạc thời gian là tuyến và bất biến thời gian (linear and invariant time-LTI) để thuận lợi trong việc phân tích và thiết kế. Hệ thống cũng thường được giả sử là nhân quả và thư giãn. 
Phân tích hệ thống là tìm tín hiệu ra, còn gọi là đáp ứng,đối với tín hiệu vào khi hệ thống đã được biết. 
Đáp ứng xung::đáp ứng xung là tín hiệu ra của hệ thống khi tín hiệu vào là xung lực đơn vị. 
Lọc (filter) là thuật ngữ chung dùng để chỉ một hệ thống tuyến và bất biến thời gian được thiết kế cho việc lọc lựa tần số. do đó, một hệ thống LTI rời tạc thời gian còn được gọi là bộ lọc số. Có 2 loại lọc số chính
Lọc FIR: Nếu đáp ứng xung của hệ thống LTI là hữu hạn thời gian thì hệ thống được gọi là lọc FIR
Lọc IIR: Nếu đáp ứng xung của hệ thống LTI là vô hạn thời gian thì hệ thống được gọi là lọc IIR
2.2 Đáp ứng xung và phương trình sai phân 
Trong Matlab người ta sử dụng lệnh h=impz(num,den,N) để tính đáp ứng xung của hệ thống thời 
gian rời rạc LTI. 
Với num: là các hệ số tín hiệu vào, den: hệ số các tín hiệu ra,N: số đáp ứng xung. 
Để mô phỏng các hệ thống rời rạc thời gian LTI nhân quả có phương trình sai phân 
Trong Matlab ta có thể sử dụng lệnh y=filter(num,den,x) hay y=filter(num,den,x,ic)
Với ic=[y[-1] y[-2] y[-N]] là vecto điều kiện ban đầu
Ví dụ: Tính và vẽ 50 đáp ứng xung của hệ thống có phương trình sai phân sau: 
y[n]-0.4y[n-1]+0.75y[n-2]=2.2403x[n]+2.4908x[n-1]+2.2403x[n-2] 
Chương trình:
clf; 
N=50; 
num=[2.2403 2.4908 2.2403]; 
den=[1 -0.4 0.75]; 
h=impz(num,den,N); 
stem(h); 
2.3 Một số tính chất của hệ thống
2.3.1. Tính chất tuyến tính và phi tuyến
	Nếu a1x1[n]+a2x2[n] 	 a1y1[n]+a2y2[n], a1 và a2 là hằng số
 thì hệ thống là tuyến tính, nếu không hệ thống là phi tuyến
Hệ thống tuyến tính là hệ thống có quan hệ bậc nhất giữa phản ứng và tác động, đồng thời thoả mãn nguyên lý xếp chồng
Ví dụ : Khảo sát tính chất tuyến tính của hệ thống có phương trình sai phân sau: 
y[n]=2.2403x[n] + 2.4908x[n-1] + 2.2403x[n-2] + 0.4y[n-1] 
với x1[n]= cos(0.2πn), x2[n]=cos(0.8πn), a=2, b=-3. 
Chương trình:
a=2; 
b=-3; 
x1=cos(2*pi*0.1*n); 
x2=cos(2*pi*0.4*n); 
x=a*x1+b*x2; 
num=[2.2403 2.4908 2.2403]; 
den=[1 -0.4]; 
y1=filter(num,den,x1); 
y2=filter(num,den,x2); 
y=filter(num,den,x); 
yt=a*y1+b*y2; 
d=y-yt; 
subplot(3,1,1); 
stem(n,y); 
subplot(3,1,2); 
stem(n,yt); 
subplot(3,1,3); 
stem(n,d);
2.3.2. Tính chất bất biến thời gian
Nếu y’[n-k]=y[n-k]: hệ thống bất biến thời gian
Nếu y’[n-k]≠y[n-k]: hệ thống bất biến thời gian
Hệ thống bất biến thời gian là hệ thống hễ có tác động x(n) dịch k mẫu thì phản ứng y(n) cũng chỉ dịch cùng chiều k mẫu mà không bị biến đổi dạng. 
Ví dụ : Khảo sát tính bất biến thời gian của hệ thống có phương trình sai phân sau 
y[n]=2.2403x[n]+2.4908x[n-1]+2.2403x[n-2]+0.4y[n-1] 
với tín hiệu vào x[n]=0.3cos(0.2πn)-2cos(0.8πn). 
Chương trình
clf; 
n=0:40; 
n0=10; 
a=0.3; 
b=-2; 
xn=a*cos(2*pi*0.1*n)+b*cos(2*pi*0.4*n); 
xn0=[zeros(1,n0) xn]; 
num=[2.2403 2.4908 2.2403]; 
den=[1 -0.4]; 
yn=filter(num,den,xn); 
yn0=filter(num,den,xn0); 
dn=yn-yn0(1+n0:41+n0); 
subplot(3,1,1); 
stem(n,yn); 
subplot(3,1,2); 
stem(n,yn0(1:41)); 
subplot(3,1,3); 
stem(n,dn);
2.3.3. Tính chất ổn định
Một hệ thống LTI ổn định theo nghĩa BIBO khi và chỉ khi đáp ứng xung đơn vị của nó có tổng tuyệt đối. Đối với hệ thống IIR thì điều kiện cần để hệ thống này ổn định là đáp ứng xung của hệ phải suy giảm tới 0 khi số lượng mẫu đủ lớn. 
	Để kiểm tra tính ổn định của hệ thống,đáp ứng xung đơn vị được	đánh giá theo công thức
	Khi k tăng và kiểm tra các giá trị của |h(k)| tại mỗi bước 1ặp.Nếu giá trị của |h(k)| nhỏ hơn 10-6 thì có thể coi tổng S(k) hội tụ 
Ví dụ: Kiểm tra tính ổn định của hệ thống LTI có phương rình sai phân: 
y[n]=x[n]-0.8x[n-1]-1.5y[n-1]-0.9y[n-2] 
Chương trình: 
clf; 
num=[1 -0.8]; 
den=[1 1.5 0.9]; 
N=200; 
h=impz(num,den,N+1); 
sum=0; 
for k=1:N+1; 
sum=sum+abs(h(k)); 
if abs(h(k))<10^(-6),break,end 
end 
n=0:N;
stem(n,h); 
disp('Value='); 
disp(abs(h(k)));
	Value= 1.6761e-005
2.4 Nhân chập
Quan hệ vào/ra của hệ thống LTI được xác định bởi tổng nhân chập: 
∞
Và được ký hiệu bằng y(n)=x(n)*h(n)
Hàm nhân chập của Matlab là hàm conv với cú pháp y=conv(x1,x2). Tuy nhiên hàm conv này mặc định 2 tín hiệu được nhân chập có tín hiệu bắt đầu tại n=0
Đối vớ i việc xử lý tín hiệu hai chiều ta dùng hàm nhân chập y=covn2(x1,x2)
Ví dụ	: Thực hiện nhân chập 2 tín hiệu sau.Tìm tín hiệu ra y(n) 
h(n)=[0,1,2,1,-1,0] và x(n)= [0,1,2,3,1,0] 
Chương trình
	h=[3 11 7 0 -1 4 2]; 
x=[2 3 0 5 -2 1 ]; 
y=conv(h,x)
y = 6 31 47 36 47 21 13 8 22 1 0 2
	Để tính nhân chập cho 2 tín hiệu có gốc n=0 tại 1 giá trị bất kỳ ta dùng hàm Matlab sau
	function [y ny]=conv_m(x,nx,h,nh)
nyb=nx(1)+nh(1);
nye=nx(length(x))+nh(length(h));
ny=[nyb:nye];
y=conv(x,h)
	Ví dụ: Tính nhân chập hai tín hiệu sau
h=[3 11 7 0 -1 4 2]; x=[2 3 0 5 -2 1 ];
	Chương trình
	x=[3 11 7 0 -1 4 2];
nx=[-3:3]; 
h=[2 3 0 5 -2 1 ];
nh=[-1:4];
[y ny]=conv_m(x,nx,h,nh)
y = 6 31 47 36 47 21 13 8 22 1 0 2
ny = -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 6 7
Để giải nhân chập,hay là việc chia một đa thức cho một đa thức người ta sử dụng cú pháp trong Matlab [p r]=deconv(b,a). Lệnh này thực hiện việc tính toán chia đa thức b cho đa thức a được kết quả là đa thức p và phần dư là r
2.5 Bài tập 
1. Tính và vẽ 45 mẫu đầu tiên đáp ứng xung của hệ thống LTI nhân quả sau: 
y[n]+0.71y[n-1]-0.46y[n-2]-0.62y[n-3]=0.9x[n]-0.45x[n-1]-0.35x[n-2]+0.002x[n-3] 
Viết chương trình Matlab tìm đáp ứng của hệ thống đối với xung bậc đơn vị của hệ thống đã cho.
Gợi ý: dùng hàm filter 
2. Tính và vẽ đáp ứng xung đơn vị của hệ thống có phương trình sai phân 
y[n]=x[n]-4y[n-1]+3x[n-2]+1.7y[n-1]-y[n-2] 
Hệ thống này có ổn định không? 
3. Thực hiện nhân chập 2 tín hiệu sau 
x[n]= [0 1 2 3 4 0], h[n]=[0,2,0,2,0] 
	BÀI 3: LẤY MẪU VÀ KHÔI PHỤC TÍN HIỆU 
3.1. Lấy mẫu tín hiệu
3.1.1 Định lý lấy mẫu
Sự lấy mẫu tín hiệu: là đổi một tín hiệu liên tục thời gian thành tín hiệu rời rạc thờ i gian, còn 
được gọi là tín hiệu số .Vấn đề lấy mẫu phải như thế nào để từ các mẫu người ta có thể phúc hồi lại 
tín hiệu tương tự ban đầu khi cần 
Để các mẫu biểu diễn đúng tín hiệu tương tự, tức từ các mẫu ta có thể phục hồi tín hiệu tương tự ban đầu, tốc độ lấy mẫu phải lớn hơn hay ít nhất là bằng hai lần tần số cao nhất của tín hiệu tương tự
Để giữ cho tần số lấy mẫu fS không lớn lắm thì fM phải được giới hạn bằng một lọc thông thấp thật hiệu 
quả (cắt bỏ tất cả tần số lớn hơn fM của tín hiệu tương tự)
	3.1.2 Lấy mẫu tín hiệu hình sin
Vì Matlab không thể phát ra tín hiệu thời gian liên tục đúng nghĩa của nó được, nên ta sẽ phát ra dãy 
{xa[nT]} từ xa(t) bằng cách lấy mẫu nó với tần số rất cao sao cho các mẫu lấy rất sát nhau giống như
tín hiệu thời gian liên tục.: xa(t)= sin(2πft)
Chương trình
clf; 
t=0:0.0005:1; 	
f=13; 
xa=sin(2*pi*f*t); 
subplot(2,1,1); 
plot(t,xa); 
xlabel('Thoi gian'); 
ylabel('Tin hieu thoi gian lien tuc'); 
axis([0 1 -1.2 1.2]); 
subplot(2,1,2); 
T=0.03; 
n=0:T:1; 
k=0:length(n)-1; 
xs=sin(2*pi*f*n); 
stem(k,xs); 
xlabel('Chi so thoi gian'); 
ylabel('Tin hieu thoi gian roi rac'); 
axis([0 length(n)-1 -1.2 1.2])
3.1.3 Tín hiệu không tuần hoàn và phổ biên độ trong miền tần số 
	Để biểu diễn tín hiệu tương tự trong miền tần số, ta có thể sử dụng biến đổi Fourier liên tục thời gian để phân tích và vẽ tín hiệu
Ví dụ: Cho tín hiệu tương tự xa(t)=e(-1000|t|). Xác định và vẽ tín hiệu trong miền tần số.
Giải: Từ công thức biến đổi Fourier liên tục thời gian
Ta phân tích được
Để xác định được phổ biên độ, đầu tiên ta cần phải xấp xỉ tín hiệu tương tự thành tín hiệu có chu kỳ xác định. Sử dụng xấp xỉ e-5≈0, ta lấy giới hạn của t trong khoảng [-0.005,0.005] (hay từ [-5,5] ms). Tương tự để Xa(jΩ) ≈0 thì ta tìm được tần số tối đa là 2π(2000).
Tín hiệu được vẽ theo chương trình sau:
Dt = 0.00005;
t = -0.005:Dt:0.005;
xa = exp(-1000*abs(t));	
Wmax = 2*pi*2000;
K = 500; k = 0:1:K;
W = k*Wmax/K;
Xa = xa * exp(-j*t'*W) * Dt;
Xa = real(Xa);
W = [-fliplr(W), W(2:501)]; 
Xa = [fliplr(Xa), Xa(2:501)];
subplot(1,1,1)
subplot(2,1,1);plot(t*1000,xa);
xlabel('t in msec.'); ylabel('xa(t)')
title('Analog Signal')
subplot(2,1,2);plot(W/(2*pi*1000),Xa*1000);
xlabel('Frequency in KHz'); ylabel('Xa(jW)*1000')
title('Continuous-time Fourier Transform')
	3.2. Hiện tượng biệt danh (chồng phổ)
Khi tín hiệu được lấy mẫu dưới mức, tức lấy mẫu ở tần số chậm hơn tốc độ Nyquist, thì khi 
tái lập tín hiệu bằng cách lọc thì thành phần tần số cao của phổ lặp sẽ lẫn vào thành phần tần số cao của phổ trung tâm, và như vậy tín hiệu được tái lập sẽ không đúng.Về mặt thời gian, người ta gọi 
hiện tượng này là biệt danh (tên giả).Còn về mặt tần số người ta gọi hiện tượng này là chồng phổ. 
Để khắc phục hiện tượng này ta phải dùng tiền lọc chống biệt danh trước khi thực hiện việc lấy mẫu. 
Ví dụ: Thực hiện lấy mẫu tín hiệu xa(t)=e(-1000|t|) tại các tần số khác nhau. Vẽ phổ biên độ của tín hiệu
Fs=5000Hz, tín hiệu rời rạc thu được là x1(n)
Do tần số tối đa của tín hiệu là fM=2000Hz nên Fs>2fM, không xảy ra hiện tượng biệt danh (chồng phổ).
Chương trình
Dt = 0.00005;
t = -0.005:Dt:0.005;	
xa = exp(-1000*abs(t));
Ts = 0.0002; n = -25:1:25;
x = exp(-1000*abs(n*Ts));
K = 500; k = 0:1:K;
w = pi*k/K;
X = x * exp(-j*n'*w);
X = real(X);
w = [-fliplr(w), w(2:K+1)];
X = [fliplr(X), X(2:K+1)];
subplot(1,1,1)
subplot(2,1,1);plot(t*1000,xa);
xlabel('t in msec.'); ylabel('xa(t)')
title('Discrete Signal'); hold on
stem(n*Ts*1000,x); hold off
subplot(2,1,2);plot(w/pi,X);
xlabel('Frequency in pi units'); ylabel('X(w)')
title('Discrete-time Fourier Transform')
Fs=1000Hz, tín hiệu rời rạc thu được là x2(n)
Fs < 2FM nên tín hiệu được lấy mẫu dưới mức và xảy ra hiện tượng chồng phổ trong miền tần số
Chương trình
Dt = 0.00005;
t = -0.005:Dt:0.005;	
xa = exp(-1000*abs(t));	
Ts = 0.001; n = -25:1:25;
x = exp(-1000*abs(n*Ts));
K = 500; k = 0:1:K;
w = pi*k/K;
X = x * exp(-j*n'*w);
X = real(X);
w = [-fliplr(w), w(2:K+1)];
X = [fliplr(X), X(2:K+1)];
subplot(1,1,1)
subplot(2,1,1);plot(t*1000,xa);
xlabel('t in msec.'); ylabel('xa(t)')
title('Discrete Signal'); hold on
stem(n*Ts*1000,x); hold off
subplot(2,1,2);plot(w/pi,X);
xlabel('Frequency in pi units'); ylabel('X(w)')
title('Discrete-time Fourier Transform')
3.3 Khôi phục tín hiệu
Chuyển từ dạng tín hiệu rời rạc x(nT) sang dạng tín ... ip DSP(Digital Signal Processor) chuyên dụng. 
Tín hiệu tương tự ở ngõ vào đầu tiên phải được lấy mẫu và số hóa bằng bộ ADC. Kết quả thu được sẽ là một chuỗi số nhị phân và được đưa tới bộ xử lý thực hiện các phép tính trên chúng. Những phép tính này chủ yếu là những phép nhân với hằng số và phép cộng những tích số lại với nhau. Kết quả cuối cùng sau khi lọc số được chuyển đổi lại thành tín hiệu tương tự thông qua bộ DAC. Chú ý là trong lọc số, tín hiệu được thể hiện dưới dạng chuỗi số chứ không phải là dạng điện thế hay dòng điện.
6.1.2 Những ưu điểm của việc sử dụng mạch lọc số :
1- Mạch lọc số có thể lập trình được, họat động của nó được quyết định bởi một chương trình có trong bộ nhớ của bộ xử lý. Điều đó có nghĩa là lọc số có thể dễ dàng thay đổi mà không ảnh hưởng tới phần cứng của mạch. Trong khi đó muốn thay đổi một mạch lọc tương tự, ta phải thiết kế lại phần mạch. 
2- Mạch lọc số có thể dễ dàng thiết kế , kiểm tra và thực hiện trên máy tính 
3- Những đặc tính của mạch lọc tương tự (đặc biệt là đối với những thành phần tích cực) có thể thay đổi theo nhiệt độ trong khi đó mạch lọc số cực kỳ bền với nhiệt độ và thời gian. 
4- Không giống như với mạch lọc tương tự, mạch lọc số có thể thực hiện ở những tần số thấp cực kỳ chính xác. Và với sự tiến bộ không ngừng của DSP, các lọc số có thể được thực hiện tại miền tần số cao (RF), là điều khó có thể đối với lọc tương tự
5- Lọc số có độ linh họat cao trong việc xử lý tín hiệu bằng nhiều cách khác nhau.Những bộ DSP nhanh có thể thực hiện việc kết hợp các lọc theo cách song hay nối tiếp, làm cho phần cứng của mạch rất đơn giản và gọn gàng so với một mạch tương tự có tính năng tương đương. 
6.1.3 Thuật tóan của mạch lọc
Cho một tín hiệu ban đầu là một dạng điện thế V=x(t) trong đó t là thời gian. Tín hiệu này được lấy mẫu với chu kỳ Ts. Tín hiệu được lấy mẫu tại thời điểm T = nTs là xi=x(nTs). Do đó tín hiệu được đưa đến bộ xử lý là một chuỗi các tín hiệu có ký hiệu : x0, x1, x2, x3,.. ,xn tương ứng với giá trị của tín hiệu tại các thời điểm T = 0, Ts, 2Ts, 3Ts,  với T=0 là thời điểm bắt đầu lấy mẫu. 
Tại thời điểm T = nTs, với n là số nguyên dương, các giá trị được lưu trong bộ nhớ của bộ xử lý là x0, x1, x2, x3,.., xn. Chú ý là các giá trị xn+1, xn+2 chưa tồn tại 
Ngõ ra của bộ xử lý đến DAC bao gồm một chuỗi các giá trị y0,y1, y2, y3,,yn. Cách thức mà giá trị yn được tính từ các giá trị x0, x1, x2, x3,.., xn gọi là thuật toán của mạch lọc số.
Một số mạch lọc số đơn giản như: mạch lọc độ lợi đơn vị, mạch lọc độ lợi K, mạch lọc trì hõan một đơn vị, mạch lọc hiệu số, mạch lọc lấy trung bình, mạch lọc lấy điểm giữa.
6.1.4 Bậc của mạch lọc
Bậc của một lọc số là số ngõ vào trước đó (được lưu trữ trong bộ nhớ) để tính ngõ ra hiện tại.
Một mạch lọc có thể có bậc từ 0 đến ∞. ∞ . 
Lọc tuyến tính và bất biến thời gian (LTI) được đặc trưng bởi đáp ứng xung h(n) của nó. Đáp ứng đối với tín hiệu bất kỳ x(n) sẽ là nhân chập của h(n) với x(n) như đã trình bày ở trước. Xét từ phương trình hiệu số hay cấu trúc của lọc người ta chia lọc ra làm 2 loại lớn là đệ quy (recursive) và phi đệ quy (non-recursive). 
Lọc phi đệ quy: Lọc mà tín hiệu ra chỉ phụ thuộc vào tín hiệu vào được gọi là phi đệ quy. Phương trình hiệu số của lọc đệ quy là 
	Trong đó bk là các hệ số của lọc cũng chính là đáp ứng xung của hệ thống. Trên thực tế N sẽ là số hữu hạn vì thế lọc phi đệ quy thực tế là lọc FIR.
Lọc đệ quy: là lọc mà tín hiệu ra phụ thuộc vào tín hiệu vào ở mọi thời điểm và cả tín hiệu ra trước đó. Phương trình hiệu số của lọc đệ quy là
Trong đó M là bậc của lọc.Lọc có sự hồi tiếp từ ngõ ra ngược lại đến 1 nơi nào đó của ngõ vào khiến cho lọc có đáp ứng xung lâu vô hạn hay còn được gọi là lọc IIR.
6.2 Lý thuyết thiết kế mạch lọc số
	Việc thiết kế 1 lọc số bao gồm 3 bước chính:
Thông số kỹ thuật: Trước khi thiết kế một mạch lọc, ta cần phải biết những đặc điểm kỹ thuật của nó. Những đặc điểm này tuỳ thuộc vào vào ứng dụng yêu cầu trong đó mạch lọc được sử dụng. Có 2 loại thông số kỹ thuật là thông số kỹ thuật tuyệt đối và thông số kỹ thuật tương đối.
Thông số kỹ thuật tuyệt đối
Dải qua (bandpass) [0,ωp] và δ1 là độ gợn sóng cho phép trong dải qua lý tưởng.
Dải chặn (stoppass) [ωs,π] và δ2 là độ gợn sóng cho phép trong dải chặn lý tưởng.
Dải chuyển (transition band) [ωp,ωs] và thường không có yêu cầu đặc biệt trong dải này.
Thông số kỹ thuật tương đối
Độ gợn sóng trong dải qua (dB)
Độ suy giảm trong dải chặn (dB)
	Hai loại thông số này có liên hệ với nhau:
Và 
Thiết kế: Khi đã biết những đặc điểm kỹ thuật, ta sẽ sử dụng các phương pháp toán học trong việc thiết kế mạch lọc số khác nhau để xấp xỉ và tính toán các đặc điểm đó.
Thực hiện: Kết quả của quá trình tính toán ở trên cho ta được mô tả của lọc ở dạng phương trình vi phân, hàm chuyển, hay đáp ứng xung. Từ những phương trình này ta thực hiện việc thiết kế mạch. 
Hiện tại, ta chỉ tìm hiểu bước thứ 2 của quá trình trên và thực hiện việc tính toán chủ yếu trên 1 mạch lọc số thông thấp.
6.3 Thiết kế mạch lọc số FIR dùng phương pháp cửa sổ
	Vì thiết kế trong lĩnh vực thời gian tương ứng với nhân chập trong lĩnh vực tần số nên tiêu chuẩn thiết kế các mạch lọc FIR là tìm một cửa sổ rất hẹp mà biến đổi Fourier của nó có đỉnh cánh bên của nó rất nhỏ so với đỉnh của cánh chính.
	Trong trường hợp tổng quát, kỹ thuật thiết kế mạch lọc số FIR dùng hàm cửa sổ là nhân đáp ứng xung mong muốn với các hàm cửa sổ thích hợp
h[n]=hd[n]*a[n]
Trong đó hd[n] là đáp ứng xung lý tưởng, a[n] là đáp ứng của hàm cửa sổ.
Hộp công cụ của Matlab có các hàm cửa sổ
ω= boxcar(M)
ω= triang(M)
ω= hanning(M)
ω= hamming(M)
ω= blackman(M)
ω= kaiser(M,β)
Các hàm cửa sổ trên cho ra vecto ω chứa các hệ số cửa sổ có chiều dài M. Trong đó,hàm cửa sổ Kaiser cho ta thiết kế tối ưu 
6.3.1 Các phương trình thiết kế cho hàm cửa sổ và cửa sổ Kaiser
Cho những thông số kỹ thuật ban đầu của lọc là ωp, ωs, Rp và As
Độ rộng vùng chuyển tiếp 
Bậc của lọc
Thông số β 
Chương trình Matlab tạo ra một hàm đáp ứng xung thấp qua lý tưởng hd[n] như sau
function hd=ideal_lp(wc,M)
% wc la tan so cat(rad)
%M la do dai cua loc ly tuong
wc=input('Nhap tan so cat:');
M=input('Nhap bac loc:');
alpha=(M-1)/2;
n=[0:1:(M-1)];
m=n-alpha+eps;
hd=sin(wc*m)./(pi*m);
fvtool(hd,1)
Chương trình Matlab để vẽ đáp ứng biên độ trong miền tần số của lọc theo độ lớn giá trị tuyệt đối và theo dB
function [db,mag,grd,w]= freqz_m(b,a)
% db: do lon tuong doi duoc tinh torng khoang tu 0 den pi
% mag: do lon tuyet doi tinh trong khoang tu 0 den pi
%pha: dap ung pha trong khoang tu 0 den pi
%w: 501 mau tan so trong khoang tu 0 den pi
% b: he so cua cac da thuc tu so cua H(z)
% a: he so cua cac da thuc mau so cua H(z)
[H,w]=freq(b,a,1000,'whole');
H=(H(1;1:501))';
w=(w(1:1:501));
mag=abs(H);
db=20*log10((mag+eps)/max(mag));
pha=angle(H);
grd=grddelay(b,a,w);
Ví dụ: Thiết kế mạch lọc số thấp qua dùng hàm cửa số Kaiser với các thông số như sau
ωp=0.2π , ωs=0.3π, Rp=0.25dB, As=50dB.
Chương trình
wp = 0.2*pi; ws = 0.3*pi; As = 50; 
tr_width = ws - wp; 
M = ceil((As-7.95)/(14.36*tr_width/(2*pi))+1)
n=[0:1:M-1]; 
beta = 0.1102*(As-8.7); 
wc = (ws+wp)/2; 
hd = ideal_lp(wc,M); 
w_kai = (kaiser(M,beta))'; 
h = hd .* w_kai; 
[db,mag,pha,grd,w] = freqz_m(h,[1]); 
delta_w = 2*pi/1000; 
As = -round(max(db(ws/delta_w+1:1:501))) % Min Stopband Attenuation
% Plots
subplot(2,2,1); stem(n,hd); title('Ideal Impulse Response') 
axis([0 M-1 -0.1 0.3]); xlabel('n'); ylabel('hd(n)') ;
subplot(2,2,2); stem(n,w_kai); title('Kaiser Window');
axis([0 M-1 0 1.1]);xlabel('n'); ylabel('w(n)') 
subplot(2,2,3); stem(n,h);title('Actual Impulse Response') 
axis([0 M-1 -0.1 0.3]); xlabel('n'); ylabel('h(n)') 
subplot(2,2,4);plot(w/pi,db);title('Magnitude Response in dB');grid;axis([0 1 -100 10]); 
xlabel('frequency in pi units'); ylabel('Decibels') 
set(gca,'XTickMode','manual','XTick',[0,0.2,0.3,1]);
set(gca,'YTickMode','manual','YTick',[-50,0]) 
% set(gca,'YTickLabelMode','manual','YTickLabels',['50';' 0'])
6.4 Bài tập
	1) Thiết kế mạch lọc số với các thông số ωp=0.2π , ωs=0.3π, Rp=0.25dB, As=50dB sử dụng hàm cửa sổ Hamming. So sánh kết quả với hàm cửa sổ Kaiser. Bậc của lọc là bao nhiêu?
	2) Cho các thông số kỹ thuật của một lọc dải qua như sau
ωs1=0.2π , As=60dB
ωs2=0.8 π, As=60dB
wp1=0.35 π, Rp=1dB
wp2=0.65 π, rp=1dB
Gợi ý: Sử dụng hai mạch lọc thấp qua lý tưởng như hình trên
BÀI 7: THIẾT KẾ MẠCH LỌC IIR
7.1 Giới thiệu mạch lọc IIR
 	Mạch lọc IIR có đáp ứng xung lâu vô hạn thời gian, vì thế chúng giống như mạch lọc tương tự. Do đó, kỹ thuật cơ bản để thiết kế mạch lọc IIR là biến đổi các mạch lọc tương tự đã biết sang mạch lọc số sử dụng phép biến đổi Laplace giá trị phức. Kỹ thuật này gọi là biến đổi lọc A/D. Tuy nhiên kỹ thuật này chỉ áp dụng cho mạch lọc thông thấp mà thôi. Nếu muốn thiết kế các loại lọc khác như: lọc thông cao, lọc thông dải và lọc chặn dải thì ta phải áp dụng kỹ thuật biến đổi dải tần.
	Các bước thiết kế cơ bản
Thiết kế lọc thông thấp tương tự.
Áp dụng kỹ thuật biến đổi lọc A/D để chuyển thành lọc thông số thấp.
Áp dụng kỹ thuật biến đổi dải tần để chuyển đổi mạch lọc số thông thấp sang các mạch lọc số khác.
Có hai cách thiết kế cơ bản một mạch lọc IIR dùng cả hai kỹ thuật trên
7.2 Một số loại mạch lọc thấp qua tương tự
7.2.1 Mạch lọc thấp qua Butterworth
Đáp ứng biên độ 
Với N là bậc của mạch lọc và ΩC là tần số cắt 
7.2.2 Mạch lọc thấp qua Chebyshev
	Đáp ứng biên độ
Với N là bậc của mạch lọc, ε là hệ số nhấp nhô trong dải thông (liên quan đến hệ số Rp) và TN là hàm Chebyshev bậc N.
7.2.3 Mạch lọc thấp qua Elliptic
	Đáp ứng biên độ
Với N là bậc của mạch lọc, ε là hệ số nhấp nhô trong dải qua, UN là hàm Elliptic jacobian bậc N
7.3 Phép biến đổi lọc tương tự sang số (Kỹ thuật A/D)
7.3.1 Phương pháp bất biến xung
	Cho những thông số kỹ thuật ban đầu của lọc như ωp, ωs, Rp và As. Để xác định H(z) trước tiên phải thiết kế mạch lọc tương tự tương đương rồi sau đó ánh xạ thành mạch lọc số mong muốn. 
Các bước tiến hành
Chọn T và xác định các thông số cho mạch lọc tương tự
Thiết kế mạch lọc tương tự từ các thông số ở trên với một trong 3 mạch lọc trên.
Sử dụng khai triển phân thức riêng phần Ha(s) thành dạng 
Biến đổi các điểm cực sk của mạch lọc tương tự thành các điểm cực của mạch lọc số pk=e sk T để thu được mạch lọc số
7.3.2 Biến đổi song tuyến
Cho những thông số kỹ thuật ban đầu của lọc như ωp, ωs, Rp và As. Để xác định H(z) cần theo những bước sau đây
Các bước tiến hành
Chọn giá trị T, T có thể lấy giá trị bất kỳ. Thông thường ta cho T=1
Tính các thông số cho mạch lọc tương tự bằng các công thức
Thiết kế mạch lọc tương tự với các thông số Ωp, Ωs, Rp, As với một trong 3 loại lọc trên.
Cuối cùng, biến đổi
7.4 Thiết kế mạch lọc IIR trên Matlab
	Để thiết kế mạch lọc IIR dựa trên biến đổi song tuyến, công cụ xử lý tín hiệu của Matlab chứa 4 hàm số gần đúng: Buterworth, Chebyshev 1, Chebyshev 2 và Elliptic. Các hàm sau đấy được sử dụng
[b,a]=butter(N,wn).
[b,a]=cheby1(N,Rp, wn)
[b,a]=cheby2(N,Rp, wn)
[b,a]=ellip(N,Rp,As, wn)
Với wn là tần số chuẩn hoá cho π
Các hàm này xác định hàm truyền của mạch lọc thông thấp bậc N và với tần số wn nằm giữa khoảng 0 và 1. Tần số lấy mẫu được giả thiết là 2Hz. Dạng của hàm truyền thu được là 
Ví dụ: Thiết kế mạch lọc số thấp qua Butterworth bằng phép biến đổi song tuyến với các quy định sau ωp=0.2π , ωs=0.3π, Rp=1dB, As=15dB.
Chương trình
wp = 0.2*pi; ws = 0.3*pi; Rp = 1; As = 15; 
% Analog Prototype Specifications:
T = 1; 
OmegaP = (2/T)*tan(wp/2); 
OmegaS = (2/T)*tan(ws/2); 
sqrt(10^(Rp/10)-1); 
Ripple = sqrt(1/(1+ep*ep)); 
Attn = 1/(10^(As/20)); 
N =ceil((log10((10^(Rp/10)-1)/(10^(As/10)-1)))/(2*log10(OmegaP/OmegaS))); 
fprintf('\n*** Butterworth Filter Order = %2.0f \n',N) 
OmegaC = OmegaP/((10^(Rp/10)-1)^(1/(2*N))); 
wn = 2*atan((OmegaC*T)/2); 
% Digital Butterworth Filter Design:
wn = wn/pi; 
[b,a]=butter(N,wn); 
[b0,B,A] = dir2cas(b,a)
 Kết quả
*** Butterworth Filter Order = 6 
b0 = 
5.7969e-004 
B = 
1.0000 2.0044 1.0045 
1.0000 1.9956 0.9956 
1.0000 2.0000 1.0000 
A = 
1.0000 -0.9459 0.2342
1.0000 -1.0541 0.3753
1.0000 -1.3143 0.7149
Hàm truyền là
So sánh kết quả thiết kế 3 loại lọc với cùng yêu cầu bằng phương pháp bất biến xung ta được
Lọc Elliptic cho kết quả thiết kế tốt nhất nhưng lại có đáp ứng pha tuyến tính trong vùng dải qua
7.5 Bài tập
	1) Vẽ đáp ứng biên độ và pha cho ví dụ trên
	2) Thực hiện thiết kế mạch lọc số như ví dụ trên cho loại lọc Elliptic và vẽ đáp ứng. 
BÀI 8: THIẾT KẾ MẠCH LỌC SỐ BẰNG CÔNG CỤ SPTOOL
8.1 Giới thiệu
	SPTool: là công cụ dùng trong xử lý tín hiệu số dạng tương tác mở.
Giao diện người dùng SPTool gồm có 4 phần: Signal Browser, Filter Designer, FvTool và Spectrum Viewer 
Sử dụng SPTool ta có thể thực hiện được :
Phân tích tín hiệu trong Signal List box bằng Signal Browser.
Thiết kế hay thay đổi các bộ lọc với Filter Designer.
Phân tích những đáp ứng của lọc với FvTool.
Tạo và phân tích phổ của tín hiệu với Spectrum Viewer.
Để thiết kế một lọc số, người dùng đưa vào các thông số yêu cầu như dạng lọc (FIR hay IIR), loại lọc (thấp qua hay cao qua), bậc của lọc,Chương trình sẽ tính toán các hệ số của lọc tương ứng. Đồng thời người dùng có thể quan sát được một số đáp ứng của mạch lọc như đáp ứng biên độ, đáp ứng pha, đáp ứng xung
Để thực thi một chương trình ta chạy các bước sau
Khởi động Matlab, gõ sptool ở dòng lệnh. Cửa sổ Starup sẽ xuất hiện.
Chọn New để tiến hành thiết kế một mạch lọc mong muốn bằng công cụ FDATool.
Lựa chọn các thông số thích hợp.
Nhấn nút Design Filter để hoàn tất việc thiết kế.
Để quan sát các đáp ứng của lọc sau khi thiết kế, click chọn View. Công cụ FVTool sẽ cho ta quan sát một số đồ thị đáp ứng: đáp ứng biên độ, đáp ứng pha, đáp ứng xung, các hệ số của lọc, giản đồ cực không,...
Để trích lấy các hệ số của lọc ta chọn Fileà Exportà Chọn nơi muốn lưu hệ số vào từ Export To, chọn loại thông tin sẽ export từ Export As, chọn tên biến ở Variable Name. Ngoài ra ta cũng có thể tiến hành ngược lại với Fileà Import Filter from Workspace.
8.2 Phần thực hành
	Thiết kế một mạch lọc FIR thông thấp dùng cửa sổ Kaiser với các yêu cầu:
	Frequency pass (Fpass) = 2KHz
	Frequency stop (Fstop) = 3KHz
	Tần số lấy mẫu (Fs) = 20KHz
	Rp=0.25dB
	As=50dB
Hướng dẫn
Khởi động Matlab, đánh sptool tại dấu nhắc lệnh.Cửa sổ Startup được mở
Chọn New và nhập vào các thông số yêu cầu
Nhấn nút Design Filter để hoàn thành việc thiết kế
Quan sát các đáp ứng của lọc vừa thiết kế bằng cách nhấn nút View từ cửa sổ Startup trong phần Filter
Đáp ứng biên độ
Đáp ứng pha
Đáp ứng xung
Thông tin về lọc
Các hệ số của lọc
Giản đồ cực-không
Để tiến hành export các hệ số của lọc, từ cửa sổ FDA Tool ta chọn Fileà Export
Nhấn nút Export sau khi lựa chọn xong
8.3 Bài tập
	1) Thiết kế mạch lọc thấp qua loại IIR loại Butterworth với các thông số sau
	Frequency pass (Fpass) = 2KHz
	Frequency stop (Fstop) = 3KHz
	Tần số lấy mẫu (Fs) = 4KHz
	Rp=1dB
	As=25dB
	2) Lặp lại thiết kế trên với lọc IIR loại Elliptic
	3) So sánh hai kết quả vừa thiết kế được và rút ra kết luận.