Giáo trình Hướng dẫn học tập Toán chuyên ngành - Lê Bá Long (Phần 2)

Chương 4: Phương trình đạo hàm riêng 
CHƯƠNG IV: PHƯƠNG TRÌNH ĐẠO HÀM RIÊNG 
GIỚI THIỆU 
Phương trình vi phân là phương trình chứa hàm số một biến độc lập, các đạo hàm của 
chúng và biến độc lập. Lý thuyết phương trình vi phân đã được khảo sát trong chương trình toán 
giải tích II. 
Phương trình đạo hàm riêng là phương trình chứa hàm số nhiều biến số, các đạo hàm riêng 
của chúng và các biến độc lập. Phương trình sóng điện từ Maxuell nói riêng và phương trình 
truyền sóng nói chung là những phương trình đạo hàm riêng thường được sử dụng để mô tả các 
hiện tượng vật lý áp dụng trong điện tử viễn thông. 
Trong chương này ta khảo sát các khái niệm cơ bản của phương trình đạo hàm riêng: 
ƒ Nghiệm của phương trình đạo hàm riêng, điều kiện biên, điều kiện đầu. Một vài phương 
pháp tìm nghiệm của phương trình đạo hàm riêng. 
ƒ Tìm nghiệm của phương trình đạo hàm riêng tuyến tính cấp 1, các phương trình tuyến 
tính cấp cao hệ số hằng dạng chính tắc. 
ƒ Giải bài toán Dirichlet đối với phương trình Laplace. 
ƒ Giải bài toán Cauchy đối với phương trình truyền sóng: Công thức Kirchoff, Poisson, 
D’Alembert. 
ƒ Giải bài toán Cauchy đối với phương trình truyền nhiệt. 
Để học tốt chương này học viên nên xem lại các kiến thức giải tích II: Hàm nhiều biến, đạo 
hàm riêng, tích phân mặt. Các định lý Green, Stock, Odstrograsky. 
NỘI DUNG 
4.1. BÀI TOÁN DẪN ĐẾN PHƯƠNG TRÌNH ĐẠO HÀM RIÊNG VÀ CÁC ĐỊNH 
NGHĨA 
4.1.1. Phương trình dao động của sợi dây 
Trong mặt phẳng xét sợi dây AB ở vị trí cân bằng, nó song song với trục . Chúng 
ta nghiên cứu dao động ngang của sợi dây tức là trong quá trình chuyển động các chất điểm của 
nó luôn luôn dịch chuyển thẳng góc với trục (xem hình 4.1). 
Oxu Ox
Ox
 121
 x 
u 
A B 
O b a x 
u 
1M 
2M 
O dxx + x 
)(xα 
)( dxx +α 
Chương 4: Phương trình đạo hàm riêng 
Giả sử sợi dây AB rất mảnh chịu uốn và có sức căng T tương đối lớn so với trọng lượng của 
nó. Vì vậy trong quá trình xem xét có thể bỏ qua trọng lượng của sợi dây. 
Gọi là độ lệch của dây so với vị trí cân bằng của điểm vật chất trên dây tại 
thời điểm . Coi rằng dao động là nhỏ nên 
),( txu )(xM
t 1<<∂
∂
x
u ; Vậy có thể coi 0
2
=⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛
∂
∂
x
u . Từ giả thiết này 
ta thấy ngay trong quá trình dao động, độ dài ABl = không thay đổi. Thật vậy, độ dài của dây tại 
thời điểm t sẽ là thì 'l
 2' 1 '
b b
x
a a
l u dx dx b a= + ≈ = − =∫ ∫ l 
Chính vì vậy, theo định luật Hook (số gia lực căng tỉ lệ với số gia của chiều dài của sợi 
dây), sức căng T của sợi dây tại mọi thời điểm và vị trí t x có cường độ như nhau: 
, . [ ]baxTtxT ;,),( 0 ∈∀= t∀
Giả sử ngoại lực tác dụng vào dây có hướng song song với trục với hàm mật độ 
, gọi là tỉ khối của sợi dây. 
Ou
),( txF )(xρ
Xét dao động của đoạn dây có độ dài là . dx
Theo định luật Newton ta có: 
 0 0" ( ) sin ( ) sin ( ) ( , )ttu x dx T x dx T x F x t dxρ α α= − + − + 
vì sin ( ) tg ( ) ( , ) ' ( , ) " ( , )x xxx dx x dx u x dx t u x t u x t dxx
α α ∂+ ≈ + = − + ≈ − −∂ 
và sin ( ) tg ( ) ' ( , )xx x u x tα α≈ = − . Vậy ),(")(" 0 txFuTxu xxtt +=ρ . 
Đặt 
)(
),(),(,
)(
02
x
txFtxf
x
Ta ρ=ρ= ta được: 
 (4.1) ),("" 2 txfuau xxtt +=
Gọi (4.1) là phương trình dao động của sợi dây hay gọi là phương trình truyền sóng một 
chiều. Bài toán xét dao động của một thanh đàn hồi cũng dẫn đến phương trình dạng trên. 
Tương tự gọi phương trình dưới đây là phương trình truyền sóng hai chiều: 
 ( ) ),,(""" 2 tyxfuuau yyxxtt ++= (4.2) 
Phương trình truyền sóng trong không gian (ví dụ: truyền âm): 
 ( ) ),,,("""" 2 tzyxfuuuau zzyyxxtt +++= (4.3) 
4.1.2. Các định nghĩa cơ bản 
a. Phương trình đạo hàm riêng 
Phương trình đạo hàm riêng là một phương trình liên hệ giữa hàm nhiều biến phải tìm 
, các đạo hàm riêng của chúng và các biến độc lập . ),...,,( 21 nxxxu nxxx ,...,, 21
 122
Chương 4: Phương trình đạo hàm riêng 
Các phương trình từ (4.1 ) đến (4.3) là các phương trình đạo hàm riêng mà các hàm phải tìm 
lần lượt là hàm của hai, ba và bốn biến. 
b. Cấp của phương trình đạo hàm riêng là cấp cao nhất của đạo hàm riêng có mặt trong 
phương trình đó. 
Vậy một phương trình đạo hàm riêng cấp m có dạng tổng quát sau đây: 
2 2
1 2
1 1 21 1
, , , , , , , , , , , , 0
m m
n m m
n n
u u u u u uF x x u
x x x xx x x
⎛ ⎞∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ =⎜ ⎟⎜ ⎟∂ ∂ ∂ ∂∂ ∂ ∂⎝ ⎠
" " " " (4.4) 
Trong phương trình trên có mặt ít nhất một đạo hàm riêng cấp m. 
c. Phương trình (4.4) gọi là tuyến tính nếu F là một hàm tuyến tính đối với hàm số phải 
tìm u và và các đạo hàm riêng của nó. Phương trình không tuyến tính gọi là phi tuyến, Nếu F là 
hàm phi tuyến nhưng tuyến tính đối với đạo hàm riêng cấp cao nhất thì gọi đó là phương trình á 
tuyến. 
Ví dụ 4.1: 0)(3cossin2 52
2
2
2
2
2
=−+∂
∂−∂
∂+∂
∂−∂∂
∂+∂
∂ uyx
y
ue
x
uy
y
uyx
yx
u
x
u xy là phương 
trình tuyến tính cấp 2. 
 0cos3cossin2
22
2
2
2
2
2
2
=+∂
∂−⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛
∂
∂+∂
∂−∂∂
∂+∂
∂ u
y
ue
x
uy
y
uyx
yx
u
x
u xy là phương trình á tuyến. 
d. Hàm số gọi là một nghiệm của (4.4) nếu thay nó vào phương trình 
sẽ được một đồng nhất thức đối với các biến trong một miền xác định nào đó. 
Chẳng hạn có thể dễ dàng kiểm tra được hàm số là một nghiệm của phương trình: 
),...,,( 21 nxxxuu =
nxxx ,...,, 21
22 yxu +=
02
22
2
2
=∂
∂−∂∂
∂+∂
∂
y
u
yx
u
x
u
. 
4.1.3. Điều kiện ban đầu và điều kiện biên 
 Nói chung các quá trình vật lý xảy ra là một quá trình không dừng, tức là không những 
phụ thuộc vào vị trí mà còn phụ thuộc vào thời gian. Yếu tố khởi đầu của quá trình đóng vai trò cơ 
bản vào cả quá trình. Mô hình toán học phản ánh điều đó thông qua dạng hệ thức giữa các giá trị 
của tham số đã biết và các đạo hàm riêng của chúng tại thời điểm ban đầu. Các hệ thức này gọi là 
các điều kiện ban đầu. Bài toán tìm nghiệm của phương trình với điều kiện ban đầu gọi là bài 
toán Cauchy. Chẳng hạn, bài toán về dao động của dây có thể cho điều kiện ban đầu là 
 gọi là dạng ban đầu của dây. )()0,( xxu ϕ=
 )()0,( x
t
xu ϕ=∂
∂ gọi là vận tốc ban đầu của dây. 
Quá trình vật lý xảy ra trong miền hữu hạn 3⊂Ω , đương nhiên nó phải quan hệ mật 
thiết với phần còn lại của không gian. Hệ thức mô tả quan hệ giữa các giá trị của tham số đã biết 
và các đạo hàm riêng của chúng trên biên của Ω gọi là các điều kiện biên. 
 123
Chương 4: Phương trình đạo hàm riêng 
Chẳng hạn đối với phương trình (4.1), điều kiện ở đầu mút bên trái có thể là: 
 0),(,0),( =∂
∂=
t
tautau : tức là đầu mút bên trái luôn buộc chặt. 
Bài toán với điều kiện biên cụ thể có các tên riêng, như bài toán Dirichlet. 
Bài toán gồm cả điều kiện ban đầu và điều kiện biên gọi là bài toán hỗn hợp. 
4.1.4. Khái niệm về tích phân tổng quát 
Như ta đã biết, đối với phương trình vi phân thường, tồn tại các nghiệm dạng tổng quát phụ 
thuộc vào một vài tham số mà một nghiệm riêng bất kỳ có thể nhận được bằng cách cho tham số 
của nghiệm tổng quát những giá trị cụ thể nào đó. Một vài dạng nghiệm tổng quát có thể tìm được 
bằng cách tích phân của phương trình. Đối với phương trình đạo hàm riêng cũng vậy, sẽ có 
nghiệm tổng quát bằng cách tính tích phân của phương trình. Tuy nhiên có sự khác nhau cơ bản 
so với phương trình vi phân thường, ở đây nghiệm tổng quát phụ thuộc vào các hàm số tuỳ ý chứ 
không phải các hằng số tuỳ ý như phương trình vi phân thường. Để minh họa điều này chúng ta 
hãy xét ví dụ sau 
Ví dụ 4.2: Xét phương trình: 
0
2
=∂∂
∂
yx
u (4.5) 
Phương trình (4.5) viết dưới dạng: )(0 x
x
u
x
u
y
ϕ=∂
∂⇒=⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛
∂
∂
∂
∂
. 
Vậy )()(),( ygdxxyxu +ϕ= ∫ 
 )()(),( ygxfyxu += (4.6) 
ở đây f(x), g(y) là các hàm tuỳ ý và gọi là tích phân tổng quát của phương trình (4.5). 
4.1.5. Ứng dụng của biến đổi Laplace để giải phương trình đạo hàm riêng 
Có thể sử dụng phép biến đổi Laplace để giải các bài toán biên của phương trình đạo hàm 
riêng tuyến tính cấp 2 dạng: 
 012
2
12
2
=+∂
∂+∂
∂+∂
∂+∂
∂ cu
x
ub
t
ub
x
ua
t
ua . (4.7) 
thuộc loại Hyperbolic hay Parabolic và các hệ số của phương trình chỉ phụ thuộc x chứ không 
phụ thuộc t (trong các bài toán thực tế biến số t là biến thời gian, ). 0≥t
Giả sử 2
2
,,),(
x
u
x
utxu ∂
∂
∂
∂ là các hàm gốc đối với biến t khi cố định biến x . Đặt: 
 (4.8) { } dttxuetxusxU st∫
∞ −==
0
),(),(),( L
Dựa vào tính hội tụ đều của tích phân suy rộng (4.8) ta chứng minh được: 
 124
Chương 4: Phương trình đạo hàm riêng 
)0,(),( xusxsU
t
u −=⎭⎬
⎫
⎩⎨
⎧
∂
∂L ; )0,()0,(),(22
2
x
t
uxsusxUs
t
u
∂
∂−−=⎪⎭
⎪⎬
⎫
⎪⎩
⎪⎨
⎧
∂
∂L (4.9) 
x
U
x
u
∂
∂=⎭⎬
⎫
⎩⎨
⎧
∂
∂L ; 2
2
2
2
x
U
x
u
∂
∂=⎪⎭
⎪⎬
⎫
⎪⎩
⎪⎨
⎧
∂
∂L (4.10) 
Thay (4.8)-(4.10) vào (4.7) ta được phương trình ảnh. Giải phương trình ảnh ta được 
nghiệm ảnh . Biến đổi Laplace ngược của là nghiệm của phương trình (4.7). ),( sxU ),( sxU
 Ví dụ 4.3: Tìm nghiệm của phương trình đạo hàm riêng: 
 0,2
2
2 >∂
∂=∂
∂ a
x
ua
t
u ; 0;0 ><< tlx 
 với điều kiện đầu xxu π= 2sin3)0,( và điều kiện biên . ⎩⎨
⎧
=
=
0),(
0),0(
tlu
tu
Giải: Thay (4.8)-(4.10) vào phương trình trên ta được phương trình ảnh 
xsU
x
Ua
x
UaxusU π−=−∂
∂⇒∂
∂=− 2sin3)0,( 2
2
2
2
2
2 (*) 
 Nếu xem là tham số thì phương trình ảnh (*) là phương trình tuyến tính cấp 2 đối với 
biến 
s
x có nghiệm tổng quát: 
x
as
eCeCsxU
x
a
sx
a
s
ππ+++=
−
2sin
4
3),(
2221
. 
Từ điều kiện biên { } 0),0(),0( == tusU L và { } 0),1(),1( == tusU L . Suy ra: 
0
0
0
21
21
21
=−=⇒
⎪⎩
⎪⎨
⎧
=+
=+
− CC
eCeC
CC
a
s
a
s . 
Do đó x
as
sxU ππ+= 2sin4
3),( 22 . 
Vậy . { } xesxUtxu ta π== π−− 2sin3),(),( 2241L
4.2. PHƯƠNG TRÌNH ĐẠO HÀM RIÊNG CẤP 1 
4.2.1. Phương trình tuyến tính cấp 1 thuần nhất 
Phương trình dạng 
 ∑
=
=∂
∂n
k k
nk x
uxxX
1
1 0),...,( (4.11) 
 125
Chương 4: Phương trình đạo hàm riêng 
gọi là phương trình tuyến tính thuần nhất cấp 1. 
Ta xét trường hợp phương trình (4.11) với giả thiết các hàm nkxxX nk ,1,),...,( 1 = là các 
hàm liên tục cùng các đạo hàm riêng của chúng tại lân cận điểm và không 
đồng thời triệt tiêu tại 
),...,( 001
0
nxxX =
0X , chẳng hạn 
( ) 00 ≠XX n . (4.12) 
Rõ ràng mọi hàm hằng Cxxu n =),...,( 1 (C là hằng số nào đó) là nghiệm của (4.11) . Ta 
gọi đó là nghiệm tầm thường. Sau đây ta sẽ tìm nghiệm không tầm thường của (4.11). 
Gọi hệ phương trình vi phân dạng đối xứng: 
n
n
X
dx
X
dx
X
dx === "
2
2
1
1 (4.13) 
là hệ đối xứng tương ứng với phương trình (4.11). 
Kết hợp với điều kiện (4.12), hệ (4.13) có thể viết dưới dạng chuẩn tắc sau: 
⎪⎪
⎪
⎩
⎪⎪
⎪
⎨
⎧
=
=
−−
n
n
n
n
nn
X
X
dx
dx
X
X
dx
dx
11
11
"""" (4.14) 
Hàm số ),...,( 1 nxxϕ=ϕ khả vi liên tục và không phải là hàm hằng được gọi là tích phân 
của (4.13) hay (4.14) nếu nó trở thành hàm hằng khi thay bởi bất kỳ một nghiệm riêng 
nào của hệ đó. 
11 ,..., −nxx
Định lý 4.1: a. Nếu ),...,( 1 nxxϕ=ϕ là tích phân của (4.13) thì hàm số ),...,( 1 nxxu ϕ= là 
một nghiệm của (4.11). 
b. Ngược lại, nếu ),...,( 1 nxxu ϕ= khác hằng số là một nghiệm của (4.11) thì 
),...,( 1 nxxϕ=ϕ là tích phân của (4.13). 
Như vậy việc tìm nghiệm của (4.11) đưa về việc tìm các tích phân của (4.13). Lý thuyết 
phương trình vi phân chỉ ra rằng hệ (4.13) có 1−n nghiệm độc lập. Vậy nếu tìm được 1−n tích 
phân độc lập của hệ (4.13) là 1,...,1;),...,( 1 −=ϕ=ϕ nixx nii . Khi đó hàm số: 
( )121 ,...,, −ϕϕϕΦ=ϕ n 
trong đó Φ là hàm số tuỳ ý khả vi liên tục, cũng là tích phân tổng quát của hệ (4.13). Vì vậy hàm 
số: 
 ( )121 ,...,, −ϕϕϕΦ= nu (4.15) 
là nghiệm tổng quát của (4.11). 
Ví dụ 4.4: Tìm nghiệm tổng quát của phương trình 
 126
Chương 4: Phương trình đạo hàm riêng 
0=∂
∂+∂
∂+∂
∂
z
uz
y
uy
x
ux 
Giải: Hệ đối xứng tương úng: 
z
dz
y
dy
x
dx == hay 
⎩⎨
⎧
=
=⇒
⎪⎪⎩
⎪⎪⎨
⎧
=
=
zCy
zCx
z
dz
y
dy
z
dz
x
dx
2
1 
trong đó là hằng số tuỳ ý. 21,CC
Dễ thấy 0;, 21 ≠=ϕ=ϕ zz
y
z
x là hai tích phân độc lập của hệ đối xứng trên, vậy nghiệm 
tổng quát của phương trình là: 
 ⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛Φ=
z
y
z
xu , 
với Φ là hàm khả vi liên tục bất kỳ. 
4.2.2. Phương trình tuyến tính không thuần nhất 
Phương trình dạng 
 ∑
=
=∂
∂n
k
n
k
nk uxxfx
uuxxX
1
11 ),,...,(),,...,( (4.16) 
gọi là phương trình tuyến tính không thuần nhất cấp 1. 
Ta xét trường hợp phương trình (4.16) với giả thiết các hàm ,),,...,( 1 uxxX nk nk ,1= và 
 là các hàm liên tục cùng các đạo hàm riêng của chúng tại lân cận điểm 
. Các hàm này không đồng thời triệt tiêu tại , chẳng hạn 
),,...,( 1 uxxf n
),,...,( 0001
0 uxxY n= 0Y ( ) 00 ≠YX n . 
Chúng ta sẽ tìm nghiệm của (4.16) dưới dạng ẩn: 0),,...,( 1 =uxxV n , trong đó khả vi 
liên tục và 
V
0)( 0 ≠∂
∂ Y
u
V . Theo định lý hàm ẩn suy ra ni
u
V
x
V
x
u i
i
,1; =
∂
∂
∂
∂
−=∂
∂
. Vậy 
 ∑
=
=∂
∂+∂
∂n
k
n
k
nk u
Vuxxf
x
VuxxX
1
11 0),,...,(),,...,( . (4.17) 
Đó là phương trình tuyến tính thuần nhất được trình bày ở đoạn trên. 
Gọi niuxx nii ,...,1;),,...,( 1 =ϕ=ϕ là các tích phân độc lập của hệ đối xứng tương ứng 
với (4.14). Khi đó nghiệm tổng quát của (4.17) là: 
( )nV ϕϕϕΦ= ,...,, 21 . 
 127
Chương 4: Phương trình đạo hàm riêng 
Suy ra tích phân tổng quát của (4.17) 
( ) 0,...,, 21 =ϕϕϕΦ n . 
Với Φ là hàm tuỳ ý khả vi liên tục. 
4.2.3. Nghiệm của bài toán Cauchy đối với phương trình thuần nhất 
Xét bài toán Cauchy: Hãy tìm nghiệm ),...,,( 21 nxxxuu = của phương trình 
∑
=
=∂
∂n
k k
nk x
uxxX
1
1 0),...,( (4.18) 
Thoả mãn điều kiện: 
 (4.19) ),...,,(),,...,,( 121
0
121 −− ϕ= nnn xxxxxxxu
Trong đó niX i ,1; = liên tục cùng các đạo hàm riêng cấp 1 ở lân cận ( )002010 ,...,, nxxxX = và ϕ là hàm khả vi liên tục. 
Để giải bài toán (4.18) - (4.19) ta làm như sau: 
♦ Lập hệ đối xứng tương ứng của (4.18) và tìm 1−n tích phân độc lập của hệ đó: 
 1,...,1;),...,( 1 −=ϕ=ϕ nixx nii 
♦ Lập hệ phương trình với các ẩn số 121 ,...,, −nxxx
⎪⎩
⎪⎨
⎧
ϕ=ϕ
ϕ=ϕ
−−−
−
1
0
111
1
0
111
),,...,(
),,...,(
nnnn
nn
xxx
xxx
""""""""""" 
và giải hệ phương trình này được 
( )
( )⎪⎩
⎪⎨
⎧
ϕϕψ=
ϕϕψ=
−−−
−
1111
1111
,...,
,...,
nnn
n
x
x
"""""""""" 
♦ Thay 121 ,...,, −ϕϕϕ n bằng các hàm số 121 ,...,, −ϕϕϕ n ta được nghiệm của bài toán 
Cauchy (4.18)-(4.19): 
( )),...,,(,...,),...,,( 12111211 −−− ϕϕϕψϕϕϕψϕ= nnnu . (4.20) 
Thật vậy, theo (4.16) thì u là nghiệm của (4.18), chúng ta kiểm tra điều kiện (4.19). 
( ) ),...,,(),...,,(,...,),...,,( 121121112110 −−−−= ϕ=ϕϕϕψϕϕϕψϕ= nnnnxx xxxu nn . 
Nhận xét: 
 128
Chương 4: Phương trình đạo hàm riêng 
1. Trong các bài toán thực tế biến thứ biểu diễn sự phụ thuộc vào thời gian do đó thường 
được ký hiệu là t thay cho . Lúc đó điều kiện (4.19) của bài toán Cauchy được gọi là 
điều kiện đầu. 
n
nx
2. Quá trình tìm nghiệm của bài toán Cauchy đối với phương trình không thuần nhất là 
tương tự vì chúng ta đưa về phương trình thuần nhất (4.17). Thí dụ dưới đây sẽ minh họa 
điều đó. 
Ví dụ 4.5: Tìm nghiệm của bài toán Cauchy sau 
⎪⎩
⎪⎨
⎧
−=
=∂
∂++∂
∂
= 4),(
)(
2
2
yyxu
u
y
uxy
x
ux
x
Giải: Đưa về dạng thuần nhất (4.17): 0)( 2 =∂
∂+∂
∂++∂
∂
u
Vu
y
Vxy
x
Vx có nghiệm  ... 6 7257 7291 7324 7357 7389 7422 7454 7486 7517 7549 
0,7 7580 7611 7642 7673 7703 7734 7764 7794 7823 7852 
0,8 7881 7910 7939 7967 7995 8023 8051 8078 8106 8132 
0,9 8159 8186 8212 8238 8264 8289 8315 8340 8365 8389 
1,0 0,8413 8438 8461 8485 8508 8531 8554 8577 8599 8621 
1,1 8643 8665 8686 8708 8729 8749 8770 8790 8810 8830 
1,2 8849 8869 8888 8907 8925 8944 8962 8980 8997 9015 
1,3 9032 9049 9066 9082 9099 9115 9131 9147 9162 9177 
1,4 9192 9207 9222 9236 9251 9265 9279 9292 9306 9319 
1,5 0,9332 9345 9357 9370 9382 9394 9406 9418 9429 9441 
1,6 9452 9463 9474 9484 9495 9505 9515 9525 9535 9545 
1,7 9554 9564 9573 9582 9591 9599 9608 9616 9625 9633 
1,8 9641 9649 9656 9664 9671 9678 9686 9693 9699 9706 
1,9 9712 9719 9726 9732 9738 9744 9750 9756 9761 9767 
2,0 0,9773 9778 9783 9788 9793 9798 9803 9808 9812 9817 
2,1 9821 9826 9830 9834 9838 9842 9846 9850 9854 9857 
2,2 9861 9864 9868 9871 9875 9878 9881 9884 9887 9890 
2,3 9893 9896 9898 9901 9904 9906 9909 9911 9913 9916 
2,4 9918 9920 9922 9925 9927 9929 9931 9932 9934 9936 
2,5 0,9938 9940 9941 9943 9945 9946 9948 9949 9951 9952 
2,6 9953 9955 9956 9957 9959 9960 9961 9962 9963 9964 
2,7 9965 9966 9967 9968 9969 9970 9971 9972 9973 9974 
2,8 9974 9975 9976 9977 9977 9978 9979 9979 9980 9981 
2,9 9981 9982 9982 9983 9984 9984 9985 9985 9986 9986 
t 3,0 3,1 3,2 3,3 3,4 3,5 3,6 3,7 3,8 3,9 
)(tΦ 0,9987 9990 9993 9995 9996 9997 9998 9999 9999 9999 
x
)(tΦ 
t 
Phụ lục 
PHỤ LỤC B: Báng tóm tắt các tính chất cơ bản của phép biến đổi 
Fourier 
l 2( ) ( )i ftX f e x tπ
∞
−
−∞
= ∫ dt 
Tính chất Hàm )(tx Biến đổi Fourier l( )X f 
1. Tuyến tính )()( 21 tBxtAx + l l1 2( ) ( )AX f BX f+ 
2. Đồng dạng )(atx l ( )1 /| | X f aa 
3. Liên hợp )(tx l( )X f− 
4. Đối ngẫu l( )X t )( fx − 
5. Trễ )( dTtx − l2 ( )di Te Xπ− f 
6. Dịch chuyển ảnh )(02 txe tfi π l 0( )X f f− 
7. Điều chế tftx 02cos)( π l l0 01 1( ) (2 2 )X f f X f f− + + 
8. Đạo hàm n
n
dt
txd )(
 ( ) l2 (ni f X fπ ) 
9. Tích phân ∫
∞−
t
duux )( l l1 1( ) (0) ( )
2 2
X f X
i f
δπ + f 
10. Đạo hàm ảnh )(txt n ( ) l( )2 nn nd X fi f dfπ
−− 
11. Tích chập 1 2 1 2( )* ( ) ( )* ( )x t x t x u x t u du
∞
−∞
= −∫ l l1 2( ) ( )X f X f 
12. Tích )()( 21 txtx l l1 2( )* ( )X f X f 
 229
Phụ lục 
PHỤ LỤC C: Báng tóm tắt các tính chất cơ bản của phép biến đổi Laplace 
∫
∞ −=
0
)()( dttxesX ist 
Tính chất Hàm )(tx Biến đổi Laplace )(sX
1. Tuyến tính )()( 21 tBxtAx + )()( 21 sBXsAX + 
2. Đồng dạng )(atx ⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛
a
sX
a
1
3. Dịch chuyển ảnh )(txe ta )( asX − 
4. Trễ )()( atatx −− η )(sXe as− 
5. Đạo hàm 
dt
tdx )(
 )0()( xssX − 
6. Đạo hàm n
n
dt
txd )(
 )0()0()(
)1(1 −− −− nnn xxssXs "
7. Đạo hàm ảnh )(txt n ( ) n
n
n
ds
sXd )(1− 
8. Tích phân ∫
t
duux
0
)( 
s
sX )(
9. Tích phân 
( )∫∫∫ −−=
−t nt
n
t
duux
n
utduux
0
1
00
)(
)!1(
)("
n
sX )(
s
10. Tích phân ảnh 
t
tx )(
 ∫
∞
s
duuX )( 
11. Tích chập 1 2( )* ( )x t x t )()( 21 sXsX 
12. Duhamel 1 2 1 2(0) ( ) ' ( )* ( )x x t x t x t+ )()( 21 sXssX 
13. Tuần hoàn )()( txTtx =+ 
sT
T
st
e
dttxe
sX −
−
−=
∫
1
)(
)( 0 
 230
Phụ lục 
14. ∫
∞ −
0
4 )(1
2
duuxe
t
t
u
π 
( )
s
sX
15. ∫
∞
0
0 )()2( duuxutJ ⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛
s
f
s
11
16. ∫
∞ −
0
22 )()2( duuxutJut n
nn
 ⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛
+ sfsn
11
1 
17. ∫ −
t
duuxutuJ
0
0 )())(2( ⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛ ++ ssfs
1
1
1
2 
18. )(tx 2 ∫
∞ −−
0
42
3
)(
2
1
2
duuXeu u
s
π 
19. ∫
∞
+Γ
0
)1(
)( du
u
uxtu
( )
ss
sf
ln
ln
20. ta
n
k ke
aQ
aP∑ )(' )(k k=1 
)(
)(
sQ
sP
Bậc P(s) < bậc Q(s), Q(s) chỉ có các 
nghiệm đơn là naa ,...,1
 231
Phụ lục 
PHỤ LỤC D: Biến đổi Laplace của các hàm thường gặp 
∫
∞ −=
0
)()( dttxesX ist 
TT Ảnh biến đổi Laplace )(sX Hàm gốc )(tx
1. 
s
1
 1 
2. ...,3,2,1;
1 =n
sn
)!1(
1
−
−
n
t n
3. 0;
1 >ααs )(
1
α
α
Γ
−t
4. 
as −
1
 ate 
5. ...,3,2,1;
)(
1 =− nas n 
at
n
e
n
t
)!1(
1
−
−
6. 0;
)(
1 >− ααas 
atet
)(
1
α
α
Γ
−
7. 22
1
as + a
atsin
8. 22 as
s
+ atcos 
9. 22)(
1
abs +− a
atebt sin
10. 22)( abs
bs
+−
−
 atebt cos 
11. 22
1
as − a
atsh
12. 22 as
s
− atch 
 232
Phụ lục 
13. 22)(
1
abs −− a
atebtsh
14. 22)( abs
bs
−−
−
 atebtch 
15. ( )22 2
1
s a+
32
cossin
a
atatat −
16. ( )22 2
s
s a+
a
att
2
sin
17. ( )
2
22 2
s
s a+
a
atatat
2
cossin +
18. ( )
3
22 2
s
s a+
 atatat sin
2
1cos − 
19. ( )
2 2
22 2
s a
s a
−
+
 t atcos 
20. ( )22 2
1
s a−
32
shch
a
atatat −
21. ( )22 2
s
s a−
a
att
2
sh
22. ( )
2
22 2
s
s a−
a
atatat
2
chsh +
23. ( )
3
22 2
s
s a−
 atatat sh
2
1ch + 
24. ( )
2 2
22 2
s a
s a
+
−
 att ch 
25. ( )32 2
1
s a+
5
22
8
cos3sin)3(
a
atatatta −−
 233
Phụ lục 
26. ( )32 2
s
s a+
3
2
8
cossin
a
atatatt −
27. ( )
2
32 2
s
s a+
3
22
8
cossin)1(
a
atatatta −+
28. ( )
3
32 2
s
s a+
a
atatatt
8
cossin3 2+
29. ( )
4
32 2
s
s a+
a
atatatta
8
cos5sin)3( 22 +−
30. ( )
5
32 2
s
s a+
8
sin7cos)8( 22 atatatta −−
31. ( )
2 2
32 2
3s a
s a
−
+
a
att
2
sin2
32. ( )
3 2
32 2
3s a s
s a
−
+
 att cos
2
1 2 
33. ( )
4 2 2
42 2
6s a s a
s a
− +
+
4
 att cos
6
1 3 
34. ( )
3 2
42 2
s a s
s a
−
+
a
att
24
sin3
35. ( )32 2
1
s a−
5
22
8
ch3sh)3(
a
atatatta −+
36. ( )32 2
s
s a−
3
2
8
shch
a
attatat −
37. ( )
2
32 2
s
s a−
3
22
8
sh)1(ch
a
attaatat −+
38. ( )
3
32 2
s
s a−
a
atatatt
8
chsh3 2+
 234
Phụ lục 
39. ( )
4
32 2
s
s a−
a
atatatta
8
ch5sh)3( 22 ++
40. ( )
5
32 2
s
s a−
8
sh7ch)8( 22 atatatta ++
41. ( )
2 2
32 2
3s a
s a
+
−
a
att
2
sh2
42. ( )
3 2
32 2
3s a s
s a
+
−
 att ch
2
1 2 
43. ( )
4 2 2
42 2
6s a s a
s a
+ +
−
4
 att ch
6
1 3 
44. ( )
3 2
42 2
s a s
s a
+
−
a
att
24
sh3
45. 33
1
as + ⎭⎬
⎫
⎩⎨
⎧ +− − 2/32
2/
2
3cos
2
3sin3
3
at
at
eatat
a
e
46. 33 as
s
+
⎭⎬
⎫
⎩⎨
⎧ −+ − 2/3
2/
2
3cos
2
3sin3
3
at
at
eatat
a
e
47. 
33
2
as
s
+ ⎟
⎟
⎠
⎞
⎜⎜⎝
⎛ +−
2
3cos2
3
1 2/ atee atat 
48. 33
1
as − ⎭⎬
⎫
⎩⎨
⎧ −−
−
2
3cos
2
3sin3
3
2/3
2
2/ atate
a
e atat 
49. 33
1
as − ⎭⎬
⎫
⎩⎨
⎧ +−
−
2/3
2/
2
3cos
2
3sin3
3
at
at
eatat
a
e
50. 
33
2
as
s
− ⎟
⎟
⎠
⎞
⎜⎜⎝
⎛ + −
2
3cos2
3
1 2/ atee atat 
51. 44 4
1
as + { }atatatata shcoschsin4
1
3 − 
 235
Phụ lục 
52. 44 4as
s
+ 22
shsin
a
atat
53. 
44
2
4as
s
+ 
{ }atatatat
a
shcoschsin
2
1 + 
54. 
44
3
4as
s
+ 
atat chcos 
55. 44
1
as − { }atata sinsh2
1
3 − 
56. 44 as
s
− { }atata cosch2
1
2 − 
57. 
44
2
as
s
− 
{ }atat
a
sinsh
2
1 + 
58. 
44
3
as
s
− 
{ }atat
a
cosch
2
1 + 
59. 
bsas +++
1
3)(2 tab
ee atbt
π−
− −−
60. 
ass +
1
a
aterf
61. 
)(
1
ass − a
ateaterf
62. 
bas +−
1
 ⎭⎬
⎫
⎩⎨
⎧ − )erfc(1 2 tbbe
t
e tbat π 
63. 22
1
as +
 )(atJ0 
64. 22
1
as −
 )(atI0 
65. 1;
22
22
−>
+
⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛ −+
n
as
sas
n
 )(atJa n
n 
 236
Phụ lục 
66. 1;
22
22
−>
−
⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛ −−
n
as
ass
n
 )(atIa n
n 
67. 
2 2( )
2 2
b s s ae
s a
− +
+
 ))2(( bttaJ +0 
68. 
22
22
as
e asb
+
+−
 )()( 22 btaJbt −−η 0 
69. 322 )(
1
as +
a
attJ )(1 
70. 322 )( as
s
+
 )(attJ0 
71. 322
2
)( as
s
+
 )()( 10 attJatJ − 
72. 
)1()1(
1
s
s
s es
e
es −
−
−=− 
...,2,1,0,1,)( =+<≤= nntnntx 
73. 
)1()(
1
s
s
s res
e
res −
−
−=− 
[ ] [ ]trtx t
k
k ;)(
1
∑
=
= là phần nguyên của t 
74. 
)1(
1
)(
1
s
s
s
s
res
e
res
e
−
−
−
−=−
−
 ...,2,1,0,1,)( =+<≤= nntnrtx n 
75. 
s
e as /−
t
at
π
2cos
76. 
3
/
s
e as−
a
at
π
2sin
77. 1;1
/
−>+
−
ααs
e as
 )2(
2/
atJ
a
t α
α
⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛ 
78. 
s
e sa−
 t
a
e
t
4
2
1 −
π 
 237
Phụ lục 
79. sa−e t
a
e
t
a 4
3
2
2
−
π
80. 
s
e sa−−1
 ⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛
t
a
2
erf 
81. 
s
e sa−
 ⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛
t
a
2
erfc 
82. 
)( bss
e sa
+
−
 ⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛ ++
t
atbe abtb
2
erfc)( 
83. 1;1
/
−>+
−
ααs
e sa
 ∫
∞ −
+
0
2412 )2(
1 2
2
duuJeu
at
ta
u
αααπ 
84. ⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛
+
+
bs
asln 
t
ee atbt −− −
85. ⎟⎟⎠
⎞
⎜⎜⎝
⎛ +
2
22
ln
2
1
a
as
s
 )(Ci at 
86. ⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛ +
a
as
s
ln1 )(Ei at 
87. 
s
sln+− γ tln ; γ là hằng số Euler 
88. ⎟⎟⎠
⎞
⎜⎜⎝
⎛
+
+
22
22
ln
bs
as
t
btat )cos(cos2 −
89. 
s
s
s
22 )ln(
6
++ γπ t2ln ; γ là hằng số Euler 
90. 
s
sln
 )(ln γ+− t 
91. 
s
s2ln
6
)(ln
2
2 πγ −+t 
92. 1
)1()1(
+
+Γ−+Γ
α
αα
s
s
; 1−>α tt lnα 
 238
Phụ lục 
93. ⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛
s
aarctg 
t
atsin
94. ⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛
s
a
s
arctg1 )(Si at 
95. ( )/ erfc /a se a s
s
t
e at
π
2−
96. ( )2 2/ 4 erfc / 2s ae s a 222 taea −π 
97. ( )2 2/ 4 erfc / 2s ae s
s
a
 ( )aterf 
98. ( )erfcase as
s
)(
1
at +π 
99. )(Ei aseas at +
1
100. 
a
asasasas )(Cisin)(Si
2
cos −⎭⎬
⎫
⎩⎨
⎧ −π
 22
1
at + 
101. )(Cicos)(Si
2
sin asasasas +⎭⎬
⎫
⎩⎨
⎧ −π 22 at
t
+ 
102. 
s
asasasas )(Cisin)(Si
2
cos −⎭⎬
⎫
⎩⎨
⎧ −π
)/(acrtg at 
103. 
s
asasasas )(Cicos)(Si
2
sin +⎭⎬
⎫
⎩⎨
⎧ −π
 ⎟⎟⎠
⎞
⎜⎜⎝
⎛ +
2
22
ln
2
1
a
at
104. )(Ci)(Si
2
2
2
asas +⎭⎬
⎫
⎩⎨
⎧ −π ⎟⎟⎠
⎞
⎜⎜⎝
⎛ +
2
22
ln1
a
at
t
105. 1 )(tδ - hàm Dirac 
106. ase− )( at −δ 
 239
Phụ lục 
107. 
s
e as−
 )( at −η 
108. as
xs
s sh
sh1
 ∑∞
=
−+
1
cossin)1(2
n
n
a
tn
a
xn
na
x ππ
π 
109. as
xs
s ch
sh1
a
tn
a
xn
nn
n
2
)12(sin
2
)12(sin
12
)1(4
1
ππ
π
−−
−
−∑∞
=
110. as
xs
s sh
ch1
 ∑∞
=
−+
1
sincos)1(2
n
n
a
tn
a
xn
na
t ππ
π 
111. as
xs
s ch
ch1
a
tn
a
xn
nn
n
2
)12(cos
2
)12(cos
12
)1(41
1
ππ
π
−−
−
−+ ∑∞
=
112. as
xs
s sh
sh1
2 ∑
∞
=
−+
1
22 cossin
)1(2
n
n
a
tn
a
xn
n
a
a
xt ππ
π 
113. as
xs
s ch
sh1
2 2
1
2
8 ( 1) (2 1) (2 1)sin cos
2 2(2 1)n
na n xx
a an
n tπ π
π
∞
=
− −+ −∑
− 
114. as
xs
s sh
ch1
2 
2
2 2
1
2 ( 1) cos 1 cos
2
n
n
t a n x n t
a an a
π π
π
∞
=
− ⎛ ⎞+ −⎜ ⎟⎝ ⎠∑ 
115. as
xs
s ch
ch1
2 2
1
2
8 ( 1) (2 1) (2 1)cos sin
2 2(2 1)n
na n xt
a an
n tπ π
π
∞
=
− −+ −∑
− 
116. 
sa
sx
sh
sh
 ∑∞
=
−−
1
/
2 sin)1(
2 222
n
atnn
a
xnne
a
ππ π 
117. 
sa
sx
ch
ch
2 2
1
(2 1)
21 4
2
(2 1)
(2 1)( 1) cos
2n
n t
n a nn
xe
aa
ππ π∞
=
−−
− −−−∑ 
118. 
sa
sx
s ch
sh1
2 2
1
(2 1)
21 4 (2 1)2 ( 1) sin
2n
n t
n a n xe
a a
π π∞
=
−−
− −−∑ 
119. 
sa
sx
s sh
ch1
2 2
1
21 2 ( 1) cos
2n
n t
n a n xe
a a a
π π∞
=
−
+ −∑ 
 240
Phụ lục 
120. 
sa
sx
s sh
sh1
2 2
1
22 ( 1) sin
2n
n t
a n
nx xe
a n
π
a
π
π
∞
=
−−+ ∑ 
121. 
sa
sx
s ch
ch1
2 2
1
1)(2
24 (2 1)4 ( 1)1 co
2 1 2n
n t
a n
n
s xe
n a
π π
π
∞
=
−− −−+ −∑ 
122. 
sa
sx
s sh
sh1
2 
2 2
2
2
2
1
2 ( 1) (1 )sin2 2
n t
a
n
nnxt a e
a an
π
xπ
π
−∞
=
−+ −∑ 
123. 
sa
sx
s ch
ch1
2 
2 2
2
2
1
1)(2
24 (2 1)
2 2 16 ( 1) cos32 2(2 1)n
n t
a n
na a xt e
an
π
π
∞
=
−− −− −+ −
−∑
x π 
124. 
)(
)(1 0
siaJ
sixJ
s 0
2 2/
0
11
( /1 2
( )
n t a
n
n nn
e J x
J
λ λ
λ λ
−∞
=
− ∑ )a 
...,, 21 λλ là các nghiệm dương của 0)(0 =λJ 
125. 
)(0 siaJs
)(1 0
2
sixJ
2 2/2 2
2 0
3
1 1
( /2
4 ( )
n t a
n
n n n
e J xx a t a
J
λ λ
λ λ
−∞
=
− + + ∑ )a 
...,, 21 λλ là các nghiệm dương của 0)(0 =λJ 
126. )
2
(th12
as
as
 241
127. )(th1 as
2s
128. )
2
(ch222
as
sa
a
π
π
+ 
129. 
)1)(( 222 asesa
a
−−+π
π
130. 
)1(
1
2 as
as
es
e
as −
−
−− 
t1−
1
a a2 a3 a4 
0 
1
a2 a4 
t
0 
1
a2 a3 
a
t
0 
1
a2 a3 
a
t
0 
1
a2 a3 
a
Phụ lục 
131. )1( bs
as
e
s
e −− − )()( batat −−−− ηη 
132. 
)1(
1
ases −− ( ) ([ ]∑ )
∞
=
−−−−
1
)1(
n
natantn ηη 
133. 2
2
)1( s
ss
es
ee
−
−−
−
+
 ( ) ([ ]∑ )∞
=
+−−−
0
2 )1(
n
ntntn ηη 
134. 2)1(
1
as
s
res
e
−
−
−
−
 ( ) ([ ]∑ )∞
=
+−−−
0
)1(
n
n ntntr ηη 
135. 
222
)1(
π
π
+
+ −
sa
ea as
 ( )
a
tatt πηη sin)()( −− 
 242
Tài liệu tham khảo 
 243
TÀI LIỆU THAM KHẢO 
1. Lê Bá Long, Tài liệu hướng dẫn học tập môn xác suất thống kê cho hệ đào tạo từ xa 
chuyên ngành điện tử viễn thông. 
2. Vũ Gia Tê, Lê Bá Long, Giáo trình toán chuyên ngành cho sinh viên hệ chính quy chuyên 
ngành điện tử viễn thông. Học viện Công Nghệ Bưu Chính Viễn Thông, 2006. 
3. Nguyễn Phạm Anh Dũng, Các hàm và xác suất ứng dụng trong viễn thông. Trung Tâm 
Đào Tạo Bưu Chính Viễn Thông 1, 1999. 
4. Nguyễn Quốc Trung, Xử lý tín hiệu và lọc số. NXB Khoa học và Kỹ thuật, Hà Nội, 2004 
5. Nguyễn Duy Tiến (và tập thể), Các mô hình xác suất và ứng dụng, tập 1, 2, 3. NXB Đại 
Học Quốc Gia Hà Nội, 2000. 
6. D. L. (Paul) Minh, Applied probability models, Duxbury, Thomson Learning 2001. 
7. A. Angot, Compéments de mathématiques a l’usage des ingénieurs de l’eslektrotechnique 
et des tétécommunications. Paris, 1957. 
8. A. V. Bitsadze, Equations of Mathematical Physics, Mir Publishers Moscow, 1980. 
9. P.J. Buker, 1976. Proof of a conjecture on the interarrival-time distribution in an M/M/1 
queue with feedback. IEEE Transactions on Communications, COM-24, 575-576. 
10. L. W. Couch, II, Digital and Analog Communication Systems. 6th ed, Prentice Hall, 2001. 
11. V. Ditkine et A. Proudnikov, Calcul opérationnel. Dịch ra tiếng Pháp bởi Djilali Embarex, 
Mir 1979. 
12. V. Ditkine et A. Proudnikov, Transformation intégrales et calcul opérationnel. Dịch ra 
tiếng Pháp bởi Djilali Embarex, Mir 1978. 
13. Charles Dixon, Applied Mathematics of science & Engineering. John Wiley & Sons: 
London, New York, Sydney, Toronto 1980. 
14. J. L. Doob, 1953. Stochastic Processes. Willey and Sons, New York. 
15. B.A. Fukxơ và B. V. SaBat, Hàm biến phức và ứng dụng. Bản dịch tiếng Việt của Tràn 
Gia Lịch, Lê Văn Thành và Ngô Văn Lược, NXB Khoa học Hà Nội, 1969. 
16. S. Haykin, 1988. Digital communications. John Willey and Sons. 
17. S. Karlin, 1966. A first Course in Stochastic Processes. Academic Press, New York and 
London. 
18. P. Quinn; B. Andrrews & H. Parsons, 1991. Allocating telecommunications resources at 
L. L. Bean. Inc., Interfaces, 21, 75-91. 
19. M. R. Spiegel, PhD, Theory and Problems of Laplace Transform. Schaum's outline series. 
Mc Graw - Hill Book company, Inc. 1986. 
20. E. J. Savant JR, Fundamentals of the Laplace Transformation. Mc Graw - Hill Book 
company, Inc. 1962. 
Tài liệu tham khảo 
 244
21. C. E. Shannon, Mathematical Theory of Communication. The Bell System Technical 
Journal 1948, Vol. 27, pp. 379 - 423, 623 - 656. 
22. R. E. Ziemer & R. L.Peterson, Introduction to digital communication, Macmillan 
Publishing Company, 1992. 
TOÁN CHUYÊN NGÀNH 
Mã số : 491TNC214 
Chịu trách nhiệm bản thảo 
TRUNG TÂM ÐÀO TẠO BƯU CHÍNH VIỄN THÔNG 1 
(Tài liệu này được ban hành theo Quyết định số : /QĐ-TTĐT1, 
ngày /07/2006 của Giám đốc Học viện Công nghệ Bưu chính Viễn thông)