Giáo trình Hướng dẫn học tập Toán chuyên ngành - Lê Bá Long (Phần 1)

SÁCH HƯỚNG DẪN HỌC TẬP 
TOÁN CHUYÊN NGÀNH 
(Dùng cho sinh viên ngành ĐT-VT hệ đào tạo đại học từ xa) 
Lưu hành nội bộ 
HÀ NỘI - 2006 
 =====	===== 
HỌC VIỆN CÔNG NGHỆ BƯU CHÍNH VIỄN THÔNG 
HỌC VIỆN CÔNG NGHỆ BƯU CHÍNH VIỄN THÔNG 
SÁCH HƯỚNG DẪN HỌC TẬP 
TOÁN CHUYÊN NGÀNH 
Biên soạn : Ts. LÊ BÁ LONG 
LỜI NÓI ĐẦU 
Tiếp theo chương trình toán học đại cương bao gồm giải tích 1, 2 và toán đại số. Sinh viên 
chuyên ngành điện tử-viễn thông còn cần trang bị thêm công cụ toán xác suất thống kê và toán kỹ 
thuật. 
Để đáp ứng nhu cầu học tập của sinh viên chuyên ngành điện tử viễn thông của Học viện, 
chúng tôi đã biên soạn tập bài giảng Toán kỹ thuật từ năm 2000 theo đề cương chi tiết môn học 
của Học viện. Qua quá trình giảng dạy chúng tôi thấy rằng cần hiệu chỉnh và bổ sung thêm để 
cung cấp cho sinh viên những công cụ toán học tốt hơn. Trong lần tái bản lần thứ hai tập bài giảng 
được nâng lên thành giáo trình, nội dung bám sát hơn nữa những đặc thù của chuyên ngành viễn 
thông. Chẳng hạn trong nội dung của phép biến đổi Fourier chúng tôi sử dụng miền tần số f thay 
cho miền ω . Dựa vào tính duy nhất của khai triển Laurent chúng tôi giới thiệu phép biến đổi Z 
để biểu diễn các tín hiệu rời rạc bằng các hàm giải tích. Tuy nhiên do đặc thù của phương thức 
đào tạo từ xa nên chúng tôi biên soạn lại cho phù hợp với loại hình đào tạo này. 
 Tập giáo trình bao gồm 7 chương. Mỗi chương chứa đựng các nội dung thiết yếu và được 
coi là các công cụ toán học đắc lực, hiệu quả cho sinh viên, cho kỹ sư đi sâu vào lĩnh vực viễn 
thông. Nội dung giáo trình đáp ứng đầy đủ những yêu cầu của đề cương chi tiết môn học đã được 
Học viện duyệt. Trong từng chương chúng tôi cố gắng trình bày một cách tổng quan để đi đến các 
khái niệm và các kết quả. Chỉ chứng minh các định lý đòi hỏi những công cụ vừa phải không quá 
sâu xa hoặc chứng minh các định lý mà trong quá trình chứng minh giúp người đọc hiểu sâu hơn 
bản chất của định lý và giúp người đọc dễ dàng hơn khi vận dụng định lý. Các định lý khó chứng 
minh sẽ được chỉ dẫn đến các tài liệu tham khảo khác. Sau mỗi kết quả đều có ví dụ minh hoạ. 
Cuối cùng từng phần thường có những nhận xét bình luận về việc mở rộng kết quả hoặc khả năng 
ứng dụng chúng. Tuy nhiên chúng tôi không đi quá sâu vào các ví dụ minh hoạ mang tính chuyên 
sâu về viễn thông vì sự hạn chế của chúng tôi về lãnh vực này và cũng vì vượt ra khỏi mục đích 
của cuốn tài liệu. 
Thứ tự của từng Ví dụ, Định lý, Định nghĩa, được đánh số theo từng loại và chương. Chẳng 
hạn Ví dụ 3.2, Định nghĩa 3.1 là ví dụ thứ hai và định nghĩa đầu tiên của chương 3 Nếu cần 
tham khảo đến ví dụ, định lý, định nghĩa hay công thức nào đó thì chúng tôi chỉ rõ số thứ tự của ví 
dụ, định lý, định nghĩa tương ứng. Các công thức được đánh số thứ tự theo từng chương. 
Hệ thống câu hỏi ôn tập và bài tập của từng chương có hai loại. Loại trắc nghiệm đúng sai 
nhằm kiểm tra trực tiếp mức độ hiểu bài của học viên còn loại bài tập tổng hợp giúp học viên vận 
dụng kiến thức một cách sâu sắc hơn. 
Vì nhận thức của chúng tôi về chuyên ngành Điện tử Viễn thông còn hạn chế nên không tránh 
khỏi nhiều thiếu sót trong việc biên soạn tài liệu này, cũng như chưa đưa ra hết các công cụ toán học 
cần thiết cần trang bị cho các cán bộ nghiên cứu về chuyên ngành điện tử viễn thông. Chúng tôi rất 
mong sự đóng góp của các nhà chuyên môn để chúng tôi hoàn thiện tốt hơn tập tài liệu này. 
Tác giả xin bày tỏ lời cám ơn tới PGS.TS. Lê Trọng Vinh, TS Tô Văn Ban, đã đọc bản thảo 
và cho những ý kiến phản biện quý giá và đặc biệt tới KS Nguyễn Chí Thành người đã giúp tôi 
biên tập hoàn chỉnh cuốn tài liệu. 
Chương 1: Hàm biến số phức 
 4
Cuối cùng, tác giả xin bày tỏ sự cám ơn đối với Ban Giám đốc Học viện Công nghệ Bưu 
Chính Viễn Thông, Trung tâm Đào tạo Bưu Chính Viễn Thông 1 và bạn bè đồng nghiệp đã 
khuyến khích, động viên, tạo nhiều điều kiện thuận lợi để chúng tôi hoàn thành tập tài liệu này. 
 Hà Nội 5/2006 
 Tác giả 
Chương 1: Hàm biến số phức 
 5
CHƯƠNG I: HÀM BIẾN SỐ PHỨC 
PHẦN GIỚI THIỆU 
Giải tích phức là một bộ phận của toán học hiện đại có nhiều ứng dụng trong kỹ thuật. 
Nhiều hiện tượng vật lý và tự nhiên đòi hỏi phải sử dụng số phức mới mô tả được. Trong chương 
này chúng ta tìm hiểu những vấn đề cơ bản của giải tích phức: Lân cận, giới hạn, hàm phức liên 
tục, giải tích, tích phân phức, chuỗi số phức, chuỗi lũy thừa, chuỗi Laurent Để nghiên cứu các 
vấn đề này chúng ta thường liên hệ với những kết quả ta đã đạt được đối với hàm biến thực. Mỗi 
hàm biến phức ( ) ( ) ( , ) ( , )w f z f x iy u x y iv x y= = + = + tương ứng với hai hàm thực hai biến 
( , )u x y , ( , )v x y . Hàm phức ( )f z liên tục khi và chỉ khi ( , )u x y , ( , )v x y liên tục. ( )f z khả vi 
khi và chỉ khi ( , )u x y , ( , )v x y có đạo hàm riêng cấp 1 thỏa mãn điều kiện Cauchy-Riemann. Tích 
phân phức tương ứng với hai tích phân đường loại 2 Mỗi chuỗi số phức tương ứng với hai 
chuỗi số thực có số hạng tổng quát là phần thực và phần ảo của số hạng tổng quát của chuỗi số 
phức đã cho. Sự hội tụ hay phân kỳ được xác định bởi sự hội tụ hay phân kỳ của hai chuỗi số thực 
này. 
 Từ những tính chất đặc thù của hàm biến phức chúng ta có các công thức tích phân 
Cauchy. Đó là công thức liên hệ giữa giá trị của hàm phức tại một điểm với tích phân dọc theo 
đường cong kín bao quanh điểm này. Trên cơ sở công thức tích phân Cauchy ta có thể chứng 
minh được các kết quả: Mọi hàm phức giải tích thì có đạo hàm mọi cấp, có thể khai triển hàm 
phức giải tích thành chuỗi Taylor, hàm giải tích trong hình vành khăn được khai triển thành chuỗi 
Laurent. 
Bằng cách tính thặng dự của hàm số tại điểm bất thường cô lập ta có thể áp dụng để tính các 
tích phân phức và tích phân thực, tính các hệ số trong khai triển Laurent và phép biến đổi Z 
ngược. 
Dựa vào tính duy nhất của khai triển Laurent ta có thể xây dựng phép biến đổi Z.Phép biến 
đổi Z cho phép biểu diễn dãy tín hiệu số rời rạc bằng hàm giải tích. 
Để học tốt chương này học viên cần xem lại các kết quả của giải tích thực. 
NỘI DUNG 
1.1. SỐ PHỨC 
1.1.1. Dạng tổng quát của số phức 
Số phức có dạng tổng quát z x iy= + , trong đó ,x y là các số thực; 12 −=i . 
x là phần thực của z , ký hiệu Re z . y là phần ảo của z , ký hiệu Im z . 
Khi 0y = thì z x= là số thực; khi 0x = thì z iy= gọi là số thuần ảo. 
Số phức x iy− , ký hiệu z , được gọi là số phức liên hợp với số phức z x iy= + . 
Chương 1: Hàm biến số phức 
 6
Hai số phức 1 1 1z x iy= + và 2 2 2z x iy= + bằng nhau khi và chỉ khi phần thực và phần ảo 
của chúng bằng nhau. 
1 2
1 1 1 2 2 2 1 2
1 2
, ;
x x
z x iy z x iy z z
y y
=⎧= + = + = ⇔ ⎨ =⎩
 (1.1) 
Tập hợp tất cả các số phức ký hiệu . 
1.1.2. Các phép toán 
Cho hai số phức 1 1 1z x iy= + và 2 2 2z x iy= + , ta định nghĩa: 
a) Phép cộng: Số phức ( ) ( )1 2 1 2z x x i y y= + + + được gọi là tổng của hai số phức 1z và 
2z , ký hiệu 1 2z z z= + . 
b) Phép trừ: Ta gọi số phức z x iy− = − − là số phức đối của z x iy= + . 
Số phức ( ) ( )1 2 1 2 1 2( )z z z x x i y y= + − = − + − được gọi là hiệu của hai số phức 1z và 2z , 
ký hiệu 1 2z z z= − . 
c) Phép nhân: Tích của hai số phức 1z và 2z là số phức được ký hiệu và định nghĩa bởi 
biểu thức: 
 ( )( ) ( ) ( )1 2 1 1 2 2 1 2 1 2 1 2 1 2z z z x iy x iy x x y y i x y y x= = + + = − + + . (1.2) 
d) Phép chia: Nghịch đảo của số phức 0z x iy= + ≠ là số phức ký hiệu 1
z
 hay 1z− , thỏa 
mãn điều kiện 1 1zz− = . Vậy nếu 1 ' 'z x iy− = + thì 
 2 2 2 2
' ' 1
' , '
' ' 0
xx yy x yx y
yx xy x y x y
− =⎧ −⇒ = =⎨ + = + +⎩ . (1.3) 
Số phức 1 1 2 1 2 1 2 1 21 2 2 2 2 2
2 2 2 2
x x y y y x x yz z z i
x y x y
− + −= = ++ + được gọi là thương của hai số phức 1z và 
2z , ký hiệu 1
2
zz
z
= ( 2 0z ≠ ). 
Ví dụ 1.1: Cho z x iy= + , tính 2 ,z zz . 
Giải: ( ) ( ) ( )22 2 2 2z x iy x y i xy= + = − + , 2 2zz x y= + . 
Ví dụ 1.2: Tìm các số thực ,x y là nghiệm của phương trình 
 ( )( ) ( )( )5 1 2 3 3 11x y i x i i i+ + − + + = − . 
Giải: Khai triển và đồng nhất phần thực, phần ảo hai vế ta được 
2 5 2 3 73,
4 5 6 11 5
x y
x y
x y
+ + =⎧ ⇒ = − =⎨ + − = −⎩ . 
Chương 1: Hàm biến số phức 
 7
Ví dụ 1.3: Giải hệ phương trình 
1
2 1
z iw
z w i
+ =⎧⎨ + = +⎩ . 
Giải: Nhân i vào phương trình thứ nhất và cộng vào phương trình thứ hai ta được 
( ) ( )( )1 2 21 2 4 32 1 2
2 5 5
i ii ii z i z
i
+ −+ ++ = + ⇒ = = =+ , 
( ) 1 3 31
5 5
i iw i z i − + +⎛ ⎞⇒ = − = = −⎜ ⎟⎝ ⎠ . 
Ví dụ 1.4: Giải phương trình 2 2 5 0z z+ + = . 
Giải: ( ) ( ) ( ) ( )( )2 2 22 2 5 1 4 1 2 1 2 1 2z z z z i z i z i+ + = + + = + − = + − + + . 
Vậy phương trình có hai nghiệm 1 21 2 , 1 2z i z i= − + = − − . 
1.1.3. Biểu diễn hình học của số phức, mặt phẳng phức 
Xét mặt phẳng với hệ tọa độ trực chuẩn 
Oxy , có véc tơ đơn vị trên hai trục tương ứng là 
i
JG
 và j
JG
. Mỗi điểm M trong mặt phẳng này hoàn 
toàn được xác định bởi tọa độ ( ; )x y của nó thỏa 
mãn OM x i y j= +JJJJG JG JG . 
Số phức z x iy= + cũng hoàn toàn được 
xác định bởi phần thực x và phần ảo y của nó. 
Vì vậy người ta đồng nhất mỗi điểm có tọa độ 
( ; )x y với số phức z x iy= + , lúc đó mặt phẳng 
này được gọi là mặt phẳng phức. 
1.1.4. Dạng lượng giác của số phức 
Trong mặt phẳng với hệ tọa độ trực chuẩn 
Oxy , nếu ta chọn Ox
JJG
 làm trục cực thì điểm 
( ; )M x y có tọa độ cực ( );r ϕ xác định bởi 
( ), ,r OM Ox OMϕ= = JJG JJJJG 
thỏa mãn 
cos
sin
x r
y r
ϕ
ϕ
=⎧⎨ =⎩ 
Ta ký hiệu và gọi 
 2 2z r OM x y= = = + (1.4) 
 Argz 2 ,k π kϕ= + ∈  (1.5) 
là mô đun và argument của số phức z x iy= + . 
xx
My 
y 
O i
JJG
j
JJG
r ϕ 
x x 
M y 
y 
O i
JJG
j
JJG
Chương 1: Hàm biến số phức 
 8
Góc ϕ của số phức 0z x iy= + ≠ được xác định theo công thức sau 
⎪⎩
⎪⎨
⎧
+=ϕ
=ϕ
22cos
tg
yxx/
y/x
 (1.6) 
Giá trị của Argz nằm giữa π− và π được gọi là argument chính, ký hiệu arg z . Vậy 
arg zπ π− < ≤ . 
Từ công thức (1.4) ta có 
( )cos sinz x iy r iϕ ϕ= + = + (1.7) 
gọi là dạng lượng giác của số phức. 
Sử dụng khai triển Maclaurin có thể chứng minh được công thức Euler 
 cos sinie iϕ ϕ ϕ= + (1.8) 
Do đó cos , sin
2 2
i i i ie e e e
i
ϕ ϕ ϕ ϕ
ϕ ϕ
− −+ −= = . (1.9) 
Từ (1.7)-(1.8) ta có thể viết số phức dưới dạng mũ 
iz z e ϕ= (1.10) 
Các tính chất của số phức 
ƒ 1 11 2 1 2 1 2 1 2
2 2
; ; z zz z z z z z z z
z z
⎛ ⎞+ = + = =⎜ ⎟⎝ ⎠
 . (1.11) 
ƒ Re ; Im
2 2
z z z zz z
i
+ −= = . z z z∈ ⇔ = . (1.12) 
ƒ 1 2 1 21 2
1 2 1 2arg arg Arg Arg 2
z z z z
z z
z z z z k π
⎧ ⎧= =⎪ ⎪= ⇔ ⇔⎨ ⎨= = +⎪ ⎪⎩ ⎩
 (1.13) 
ƒ 2zz z= , 2
1
z
z
zz
z
z
== , 1 1 22
2 2
z z z
z z
= . (1.14) 
ƒ 111 2 1 2 1 2 1 2
2 2
, ,
zzz z z z z z z z
z z
= = + ≤ + . (1.15) 
ƒ ( ) 11 2 1 2 1 2
2
Arg Arg Arg , Arg Arg Argzz z z z z z
z
⎛ ⎞= + = −⎜ ⎟⎝ ⎠
 (1.16) 
ƒ iyxz += ⎪⎩
⎪⎨
⎧
≤
≤⇒
zy
zx
 và yxz +≤ (1.17) 
Chương 1: Hàm biến số phức 
 9
Ví dụ 1.5: a) Tập các số phức z thỏa mãn 2 3z − = tương ứng với tập các điểm có khoảng 
cách đến (2;0)I bằng 3, tập hợp này là đường tròn tâm I bán kính 3. 
b) Tập các số phức z thỏa mãn 2 4z z− = + tương ứng với tập các điểm cách đều 
(2;0)A và ( 4;0)B − đó là đường trung trực của đoạn AB có phương trình 1x = − . 
1.1.5. Phép nâng lũy thừa, công thức Moivre 
Lũy thừa bậc n của số phức z là số phức 
n
nz zz z=	
"
lÇn
Từ công thức (1.15)-(1.16) ta có công thức Moivre: 
( )cos sin , Arg 2nnz z n i n z kϕ ϕ ϕ π= + = + . (1.18) 
Đặc biệt, khi 1z = ta có 
( ) ( )cos sin cos sinni n i nϕ ϕ ϕ ϕ+ = + (1.18)' 
Ví dụ 1.6: Tính ( )101 3i− + . 
Giải: ( ) 1010 102 2 20 201 3 2 cos sin 2 cos sin3 3 3 3i i iπ π π π⎡ ⎤⎛ ⎞ ⎛ ⎞− + = + = +⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎢ ⎥⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎣ ⎦ 
 10 10 9 9
2 2 1 32 cos sin 2 2 32
3 3 2 2
i i iπ π ⎛ ⎞⎛ ⎞= + = − + = − +⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠
. 
1.1.6. Phép khai căn 
Số phức ω được gọi là căn bậc n của z , ký hiệu n z=ω , nếu zn =ω . 
Nếu viết dưới dạng lượng giác: )sin(cos,)sin(cos θ+θρ=ωϕ+ϕ= iirz thì 
⎪⎩
⎪⎨
⎧
π+ϕ=θ
=ρ
⇔⎪⎩
⎪⎨⎧ ∈π+ϕ=θ
=ρ⇔ω=
n
k
r
kkn
rz
n
n
n
2,2 
. (1.19) 
Vì Argument của một số phức xác định sai khác một bội số nguyên của π2 nên với mỗi số 
phức 0≠z có đúng n căn bậc n . Các căn bậc n này có cùng mô đun là n r , Argument nhận 
các giá trị 
n
k
n
π+ϕ=θ 2 ứng với 1,...,1,0 −= nk , vì vậy nằm trên đỉnh của n-giác đều nội tiếp 
trong đường tròn tâm O bán kính n r . 
Ví dụ 1.7: Giải phương trình 014 =+z 
Giải: Nghiệm của phương trình là căn bậc 4 
của π+π=− sincos1 i tương ứng là: 
x 
y 
0z 1z 
2z 3z 
O 1 
i 
4
π
Chương 1: Hàm biến số phức 
 10
2
1
4
sin
4
cos0
iiz +=π+π= , 
2
1
01
iizz +−== , 
2
1
02
izz −−=−= , 
2
1
03
iizz −=−= . 
1.1.7. Các khái niệm cơ bản của giải tích phức 
1.1.7.1. Mặt cầu phức 
Trong 1.1.3 ta đã có một biểu diễn hình học của tập các số phức  bằng cách đồng nhất 
mỗi số phức iyxz += với điểm M có tọa độ );( yx trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy . Mặt 
khác nếu ta dựng mặt cầu )(S có cực nam tiếp xúc với mặt phẳng Oxy tại O, khi đó mỗi điểm z 
thuộc mặt phẳng Oxy sẽ tương ứng duy nhất với điểm ω là giao điểm của tia Pz và mặt cầu 
)(S , P là điểm cực bắc của )(S . 
Vậy mỗi điểm trên mặt phẳng Oxy được xác định bởi một điểm trên mặt cầu )(S ngoại trừ 
điểm cực bắc P. 
Ta gán cho điểm cực bắc này số phức vô cùng ∞ . Tập hợp số phức  thêm số phức vô 
cùng được gọi là tập số phức mở rộng  . Như vậy toàn bộ mặt cầu )(S là một biểu diễn hình 
học của tập số phức mở rộng. 
Quy ước: ∞=−∞∞=∞+≠∞=∞≠∞= zzzzzz ,,)0(,)0(
0
. 
1.1.7.2. Lân cận, miền 
a. Lân cận 
Khái niệm −ε lân cận của ∈0z được định nghĩa hoàn toàn tương tự với −ε lân cận 
trong 2 , đó là hình tròn có tâm tại điểm này và bán kính bằng ε . 
 ( ) { }ε<−∈=ε 00 zzzzB  (1.23) 
−N lân cận ∈∞ : ( ) { } { }∞∪>∈=∞ NzzBN  (1.23)’ 
b. Điểm trong, tập mở 
Giả sử E là một tập các điểm của mặt phẳng phức hoặc mặt cầu phức. Điểm 0z được gọi 
là điểm trong của E nếu tồn tại một lân cận của 0z nằm hoàn toàn trong E . 
Tập chỉ gồm các điểm trong được gọi là tập mở. 
• 
• ω 
z x 
O y 
P 
)(S 
Chương 1: Hàm biến số phức 
 11
c. Điểm biên 
Điểm 1z , có thể thuộc hoặc không thuộc E , được gọi là điểm biên của E nếu mọi lân cận 
của 1z đều có chứa các điểm thuộc E và các điểm không thuộc E . 
Tập hợp các điểm biên của E được gọi là biên E , ký hiệu E∂ . 
Hình tròn mở { }rzzz −∈ 0 là các 
tập mở có biên lần lượt là { }rzzz =−∈ 0 và { } { }∞∪=−∈ rzzz 0 . 
Hình tròn đóng { }rzzz ≤−∈ 0 không phải là tập mở vì các điểm biên rzz =− 0 
không phải là điểm trong. 
d. Tập liên thông, miền 
Tập con D của mặt phẳng phức hay mặt cầu phức được gọi là tập liên thông nếu với bất kỳ 
2 điểm nào của D cũng có thể nối chúng bằng một đường cong liên tục nằm hoàn toàn trong D . 
Một tập mở và liên thông được gọi là miền. 
Miền D cùng biên D∂ của nó được gọi là miền đóng, ký hiệu DDD ∂∪= . Miền chỉ có 
một biên được gọi là miền đơn liên, trường hợp ngược lại gọi là miền đa liên. 
Ta qui ước hướng dương trên biên của miền là hướng mà khi ta đi trên biên theo hướng đó 
thì miền D ở bên tay trái. 
Miền D được gọi là bị chặn nếu tồn tại 0>R sao cho DzRz ∈∀≤ , . 
1.2. HÀM B ... n
nn n
d z
1
2
n
J z z Y z J
zdz zπ
+ +
+ +
⎛ ⎞= − = −⎜ ⎟⎝ ⎠ z− − 
1
2
1 1
2 2
2 cos( ) ; ( ) ( 1) ( )
( )
nn n
nn n
d z
1
2
n
J z z Y z J
zdz zπ
+
− − − − +
⎛ ⎞= ⎜ ⎟⎝ ⎠ z= − (3.72) 
 108
Chương 3: Các hàm số và các phương trình đặc biệt 
3.5.7. Ứng dụng hàm Bessel tính các tích phân Fresnel 
Tích phân cosin Fresnel 
 ∫
α π=α
0
2
2
cos)(C dtt (3.73) 
Tích phân sin Fresnel 
∫
α π=α
0
2
2
sin)(S dtt (3.74) 
Đặt zt =π
2
2
 và chú ý đến các công thức (3.70), (3.71) nhận được 
2 2
2 2
1
0 0
1 2 1C( ) ( )
2 2
cos
2
zdz J z dz
z
πα πα
α π −= =∫ ∫ 
2 2
2 2
1
0 0
1 2 1S( ) sin ( )
2 2 2
zdz J z dz
z
πα πα
α π= =∫ ∫ 
Từ công thức (3.58) suy ra: 
1 2 5 2 9 2
2
3 2 7 11 2
C( ) ( ') ( ') ( ')
.S( ) ( ') ( ') ( ') ; '
2
J J J
J J J
α α α α
π αα α α α α
= + + +
= + + + =
"
"
 (3.75) 
3.5.8. Hàm Bessel cấp nguyên 
Xét hàm số 
1( )
2 22 .
z zztt
t te e e
−− = 
"" +⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛++⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛++=⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛= ∑∞
=
n
n
n
nzt zt
n
ztzttz
n
e
2!
1
2!2
1
2
1
2!
1 2
0
2 
"" +⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛−+−⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛+−=⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛−= ∑∞
=
−− nn
n
n
nn
t
z
t
z
nt
z
t
ztz
n
e
2!
1)1(
2!2
1
2
1
2!
)1( 2
0
2 
Hai chuỗi hội tụ tuyệt đối với t ≠ 0. Thực hiện phép nhân chuỗi. Hệ số của là chuỗi luỹ 
thừa của chính là còn hệ số của chính là 
nt
z ( )zJn nt − ( )zJ n− . 
Thật vậy ∑∑ ∞
=
∞
=
−− +=
00
22
n
n
n
n
n
n
t
zzt
tBtAee 
∑∑ ∞
=
++−∞
=
++
⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛
+
−⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛=⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛
+
−⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛=
0
)(2
0 2)!(!
)1(
22)!(
)1(
2!
1
k
nknkn
k
nknkk
n
z
nkk
zz
nk
z
k
A 
 109
Chương 3: Các hàm số và các phương trình đặc biệt 
 ( )zJz
nrr
z
n
r
rrn
−
∞
=
−
=⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛
−
−⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛= ∑
0
2
2)!(!
)1(
2
. 
( )zJz
nkk
zz
nk
z
k
B n
k
kkn
k
nkkk
n =⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛
+
−⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛=⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛
+⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛−= ∑∑ ∞
=
∞
=
+
0
2
0 2)!(!
)1(
22)!(
1
2!
)1( . 
Do đó 
1( )
2
0 1 1
1 1( ) ( ) ( ) ( ) ( )
z t
nt
n nne J z tJ z t J z J z J zt t
−
− −= + + + + + + + +" " " " 
Vì: ( ) ( )zJzJ nnn −−= )1( 
nên có: 
1( )
2
0
1
( 1)( ) ( )
z nt
nt
n n
n
e J z J z t
t
∞−
=
⎧ ⎫−= + +⎨ ⎬⎩ ⎭∑ (3.76) 
Hàm số 
1( )2( , )
z t tF t z e
−= gọi là hàm sinh đối với hàm Bessel loại 1 cấp nguyên, nó được 
biểu diễn qua chuỗi (3.76) hội tụ tuyệt đối với mọi z và với mọi 0≠t . 
Đặt và thay vào (3.76) sẽ có: θ= iet
{ }θ−θ∞
=
θ −++= ∑ innin
n
n
iz eezJzJe )1()()(
1
0
sin 
 θ−+θ+= ∑∑ ∞
=
−
∞
=
)12sin()(22cos)(2)(
1
12
1
20 kzJikzJzJ
k
k
k
k
So sánh các phần thực và phần ảo hai vế nhận được: 
 2cos)(2)()sincos(
1
20 ∑∞
=
θ+=θ
k
k kzJzJz (3.77) 
∑∞
=
− θ−=θ
1
12 )12sin()(2)sinsin(
k
k kzJz (3.78) 
Thay θ bởi 
2
π−θ vào các công thức trên sẽ có 
∑∞
=
θ−+=θ
1
20 2cos)()1(2)()coscos(
k
k
k kzJzJz (3.79) 
2 1
1
sin( cos ) 2 ( 1) ( )cos(2 1)k k
k
z J z kθ θ∞ −
=
= − − −∑ (3.80) 
Như vậy chúng ta đã nhận được khai triển Fourier các hàm số , ( )θcoscos z ( )θcossin z , 
, ( )θsincos z ( )θsinsin z . Từ đó suy ra: 
 110
Chương 3: Các hàm số và các phương trình đặc biệt 
∫
π
θθθπ= 0
2 2cos)sincos(
1)( dkzzJ k ; ∫
π
− θθ−θπ= 0
12 )12sin()sinsin(
1)( dkzzJ k 
Vì rằng: 
0 0
sin(2 1) sin 2 0 , cos 2 cos(2 1) 0;m k d m k d
π π
θ θ θ θ θ θ− = − =∫ ∫ m∀
Theo (3.77) - (3.78) ta có: 
 ∫ ∫
π π
=θθ−θπ=θθθπ 0 0
0)12cos()sincos(1;02sin)sinsin(1 dkzdkz 
Cuối cùng nhận được: { }∫
π
θθθ+θθπ= 0
sin)sinsin(cos)sincos(1)( dnznzzJn . 
∫
π
θθ−θπ= 0
)sincos(1)( dznzJn (3.81) 
Gọi vế phải của (3.81) là tích phân Bessel 
3.5.9. Biểu diễn hàm Bessel Jα(z) qua tích phân xác định 
Từ (3.25 ), (3.26) nhận được θθθΓΓ=+Γ
−
π
−∫ dqpqp qp 12
2
0
12 sincos
)()(
2
)(
1
Đặt 
2
1,
2
1 +α=+= qrp ta được 
2
2 2
0
1 2 cos sin
1 1( 1)
2 2
r d
r r
π
αθ θ θα α
=Γ + + ⎛ ⎞ ⎛ ⎞Γ + Γ +⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠
∫ 
Thay 
)1(
1
+α+Γ r vào biểu thức của ( )zJα và π
−=⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛ +Γ r
rr
2
)12.....(3.1
2
1
Khi đó 
2 2
2 2
0 0
2 ( 1)( ) cos sin
1 2 1.3...(2 1).2.4...2
2
r r
r
r
z zJ z d
r r
π
α
αα θ θ θ
π α
∞
=
−⎛ ⎞= ⎜ ⎟ −⎛ ⎞ ⎝ ⎠Γ +⎜ ⎟⎝ ⎠
∑ ∫ 
2 22
2
00
2 ( 1)sin
1 2 (2 )
2
r r r
r
z z d
r
π
α
α θcos
!
θ θ
π α
∞
=
−⎛ ⎞= ⎜ ⎟⎛ ⎞ ⎝ ⎠Γ +⎜ ⎟⎝ ⎠
∑∫ 
∫
π
αα θθθ⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛
⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛ +αΓπ
=
2
0
2 )coscos(sin
2
2
1
2 dzz 
 111
Chương 3: Các hàm số và các phương trình đặc biệt 
Đặt thì θ= cosu
( )∫ −>α−⎟⎠⎞⎜⎝⎛⎟⎠⎞⎜⎝⎛ +αΓπ
= −α
α
α
1
0
2
1
2
2
1,cos1
2
2
1
2)( zuduuzzJ (3.82) 
3.5.10. Biểu diễn hàm Jα(z) qua tích phân Cauchy 
Thay )1( ++αΓ r bởi tích phân Cauchy (3.22) vào công thức (3.38) của hàm ( )zJα sẽ 
nhận được 
2
2 4
1 1
0
( 1) 1( )
2 2 ! 4 2 2
ztrr t t
r C C
z e z zJ z dt dt
i r t t i t
α α
α α απ π
−∞
+ +
=
⎛ ⎞−⎛ ⎞ ⎛ ⎞= =⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎝ ⎠∑ ∫v
e∫v (3.83) 
Chu tuyến C đã nói rõ ở mục 3.3.3. 
3.5.11. Các phương trình vi phân đưa về phương trình Bessel 
3.5.11.1. Phương trình dạng 
01 2
2
2
2
2
=⎟⎟⎠
⎞
⎜⎜⎝
⎛ α−++ y
x
k
dx
dy
xdx
yd . 
Đổi biến kxz =
dz
dyk
dx
dz
dz
dy
dx
dy ==⇒ , tương tự 2
2
2
2
2
dz
ydk
dx
yd = . 
Thay vào phương trình trên dẫn đến phương trình Bessel 
011 2
2
2
2
=⎟⎟⎠
⎞
⎜⎜⎝
⎛ α−++ y
zdz
dy
zdz
yd 
khi đó nghiệm tổng quát sẽ là: 
( ) ( ) ( )( ) ( )⎩⎨
⎧
=α+
≠α+=
αα
α−αα nkxBYkxAJ
nkxBJkxAJ
kxZ
nÕu
nÕu
Ví dụ 3.5: Giải phương trình 0''' =++ byy
x
ay , trong đó a, b là hằng số. 
Thay biến sẽ có: uxy α= [ ]{ } 0)1(')2(" 221 =+α+α−+α++ α−α−αα ubxxauxaux 
Chọn 
2
1 a−=α để , ta được: 12 =α+a 01 2
2
''' =⎟⎟⎠
⎞
⎜⎜⎝
⎛ α−++ u
x
bu
x
u . 
Nghiệm tổng quát là: )(
2
12
1
bxZxy a
a
−
−
= 
Ví dụ 3.6: Giải phương trình )0(,0)( 2
''' ≥=−++ cy
x
cbxy
x
ay m . 
 112
Chương 3: Các hàm số và các phương trình đặc biệt 
Tương tự trên đặt: 
2
1, auxy −=α= α và thay biến 12 +=
m
xt sẽ nhận được phương trình 
01
)2(
4)1(
)2(
41
22
2
2
''' =⎟⎟⎠
⎞
⎜⎜⎝
⎛
+
+−−+++ utm
ca
m
bu
t
u . 
Nghiệm tổng quát: ⎟⎟⎠
⎞
⎜⎜⎝
⎛
+= α tm
bZu
2
2
' 
⎟⎟
⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎜
⎝
⎛
+=⇒
+
α
−
2
2
'2
1
2
2
ma
x
m
bZxy với 
2(1 ) 4
' , (
2
a c m
m
α − + 2)= ≠ −+ 
Chẳng hạn phương trình: 016'5'' 4 =−+ yxy
x
y có nghiệm ⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛= − 3
3
2
2
3
4 ixZxy 
Các trường hợp riêng của ví dụ 3.6: 
a. 0'' 2 =⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛ ++ y
x
Cbxy m cho nghiệm tổng quát dưới dạng: 
2
41,
2
2 2
2
+
−=α⎟⎟
⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎜
⎝
⎛
+=
+
α m
Cx
m
bZxy
m
. 
b. 0)1('' 2 =⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛ +−+ y
x
ppby có nghiệm tổng quát ( )bxZxy
p
2
1+= . 
c. có nghiệm tổng quát 0'' =+ ybxy m ⎟⎟
⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎜
⎝
⎛
+=
+
+
2
2
2
1 2
2
m
m
x
m
bZxy . 
d. có nghiệm tổng quát 0'' =+bxyy ⎟⎟
⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎜
⎝
⎛
= 2
3
3
1 3
2 xbZxy . 
e. 0''' =++ ybxy
x
ay m có nghiệm tổng quát ⎟⎟
⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎜
⎝
⎛
+=
+
+
−
−
2
2
2
12
1
2
2
m
m
a
a
x
m
bZxy . 
Ví dụ 3.7: 0.d dyx bx y
dx dx
α β⎛ ⎞ + =⎜ ⎟⎝ ⎠ 
Dẫn đến phương trình e. với α−β=m và α=a . 
Nhận xét: Khi phương trình trong ví dụ 3.6 dẫn đến phương trình Euler: 2−=m
 . 0'''2 =++ kyaxyyx
 113
Chương 3: Các hàm số và các phương trình đặc biệt 
Bằng cách đặt sẽ dẫn đến phương trình hệ số hằng: uex = 0)1(2
2
=+−+ ky
du
dya
du
yd . 
3.5.11.2. Phương trình dạng 
 0'12'' 2
2
=⎟⎟⎠
⎞
⎜⎜⎝
⎛ α−++⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛ ++ y
xx
aby
x
ay (3.84) 
Đặt: sẽ nhận được phương trình uey ax−=
 01 2
2
2''' =⎟⎟⎠
⎞
⎜⎜⎝
⎛ α−−++ u
x
abu
x
u . (3.85) 
a. Khi nghiệm tổng quát có dạng: 2ab ≠ ⎭⎬
⎫
⎩⎨
⎧ −= α− xabZey ax 2 
b. Khi và , (3.66)' là phương trình Euler có hai nghiệm độc lập và 
. Vậy nghiệm tổng quát của (3.66): 
2ab = 0≠α α= xu1
α−= xu2 ( )α−α− += BxAxey ax ; A,B là hằng số tuỳ ý. 
c. Khi và , (3.66)' có nghiệm tổng quát 2ab = 0≠α xBAu ln+= . Vậy (3.66) có 
nghiệm tổng quát ; A,B là hằng số tuỳ ý. )ln( xBAey ax += −
3.5.11.3. Phương trình dạng 
 0)()(')(1')(21'' 22
2
=
⎥⎥⎦
⎤
⎢⎢⎣
⎡ −−+α−−⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡ −+ y
x
xgxgxg
x
yxg
x
y (3.86) 
Nghiệm tổng quát có dạng: . )()( xZey dxxg α∫=
Ví dụ 3.8: 0tg'tg21'' 2
2
=⎟⎟⎠
⎞
⎜⎜⎝
⎛ +α+⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛ −+ y
x
x
x
yx
x
y 
Có nghiệm )(
cos
1 xZ
x
y α= . 
Ví dụ 3.9: 0cotg'cotg21'' 2
2
=⎟⎟⎠
⎞
⎜⎜⎝
⎛ −α−⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛ ++ y
x
x
x
yx
x
y 
Có nghiệm )(
sin
1 xZ
x
y α= . 
TÓM TẮT 
Khai triển tiệm cận 
 114
Chương 3: Các hàm số và các phương trình đặc biệt 
Chuỗi hàm "" +++++ nnz
a
z
a
z
aa 2
21
0 trong đó ( i = 0, 1, 2,...) là các hằng số phức, 
gọi là khai triển tiệm cận của hàm số 
ia
( )zf nếu thoả mãn hai điều kiện dưới đây : 
 { }lim ( ) lim ( ) 0nnz zR z z f z S→∞ →∞• = − n n= , ( cố định) 
Trong đó : n
n
n
z
a
z
aaS +++= "10 là tổng riêng thứ . n
 không dần đến 0 khi ( ) nSzf −• ∞→n với z cố định. 
Các hàm số tích phân 
Ei( ) , 0
t
x
ex dt x
t
∞ −
= ∫ > đọc là hàm tích phân mũ của x. 
0
sinSi( ) , 0
x tx dt x
t
= ∫ > đọc là hàm tích phân sin của x. 
cosCi( ) , 0
x
tx dt
t
∞
= − >∫ x đọc là hàm tích phân cosin của x. 
Ngoài ra ký hiệu: sinsi( )
x
tx dt
t
∞
= −∫ cũng đọc là tích phân sin của x. 
Hàm số Gamma 
))...(2)(1(
!lim)(
mzzzz
mmz
z
m +++=Γ ∞→ ",2,1,0 −−≠z (công thức Gauss) 
Công thức Weierstrass: m
z
m
z e
m
zze
z
−∞
=
γ ⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛ +Π=Γ 1.)(
1
1
Công thức Euler: nếu . ∫
∞ −−=Γ
0
1)( dttez zt 0Re >z
Hàm Bêta 
Hàm số biểu diễn dưới dạng tích phân phụ thuộc hai tham số thực 0, >qp
 dxxxqpB qp 1
1
0
1 )1(),( −− −= ∫
gọi là hàm Beta. ∫
π
−− θθθ=
2
0
1212 sincos2),( dqpB qp , 
)(
)().(),(
nm
nmnmB +Γ
ΓΓ= . 
 115
Chương 3: Các hàm số và các phương trình đặc biệt 
Hàm lỗi ∫ −π=
x t dtexerf
0
22)( . ( )xx Φ=+⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛ 21
2
erf . 
Phương trình Bessel cấp α 
Phương trình vi phân tuyến tính thuần nhất 0)1(1 2
2
2
2
=α−++ y
zdz
dy
zdz
yd . 
Hàm Bessel loại 1: 
r
r
r z
rr
zzJ
2
0 2)1(!
)1(
2
)( ⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛
++αΓ
−⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛= ∑∞
=
α
α ; ∑∞
=
α−
α− ⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛
α−+Γ
−⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛=
0
2
2)1(!
)1(
2
)(
r
rr z
rr
zzJ . 
Hàm Bessel loại 2: ( )
cos . ( ) ( )
sin
lim ( )
n
J z J z n
Y z
Y z n
α α
α
ββ
πα απα
α
−
→
−⎧ ≠⎪= ⎨⎪ =⎩
 nÕu 
 nÕu 
Khai triển Fourier - Bessel 
 Nếu biểu diễn dưới dạng thì nói rằng hàm số đó khai triển 
được thành chuỗi Fourier– Bessel. Trong đó 
)(xf ∑∞
=
α λ=
1
)()(
i
ii xJaxf
 ,,,1 iλλ là nghiệm của phương trình ( ) 0=α xJ 
và ∫ =λλ= αα
1
0
2 ...,2,1;)().(.)('
2 idxxJxfx
J
a i
i
i là các hệ số Fourier-Bessel. 
CÂU HỎI ÔN TẬP VÀ BÀI TẬP 
3.1 Khai triển tiệm cận là khai triển Laurent của hàm số tại ∞ . 
Đúng Sai . 
3.2 Các hàm tích phân mũ, tích phân cosin, tích phân sin có đạo hàm mọi cấp. 
Đúng Sai . 
3.3 Nếu "" +++++ nnz
a
z
a
z
aa 2
21
0 là khai triển tiệm cận của thì )(zf ∑∞
=
=
0
)(
n
n
n
z
a
zf . 
Đúng Sai . 
3.4 Các hàm tích phân là các hàm sơ cấp. 
Đúng Sai . 
3.5 Hàm Gama chỉ xác định với mọi số phức . 0Re >z
Đúng Sai . 
3.6 Hàm Bêta là hàm thực hai biến xác định với mọi . ),( qp 0,0 >> qp
Đúng Sai . 
3.7 Hàm Bessel là nghiệm của phương trình Bessel. 
 116
Chương 3: Các hàm số và các phương trình đặc biệt 
Đúng Sai . 
3.8 Hàm Bessel loại I và loại II luôn luôn độc lập tuyến tính. )(zJα )(zYα
Đúng Sai . 
3.9 Hàm Bessel loại I và luôn phụ thuộc tuyến tính. )(zJα )(zJ α−
Đúng Sai . 
3.10 Nếu hàm khai triển thành chuỗi Fourier-Bessel thì là hàm tuần hoàn. )(xf )(xf
Đúng Sai . 
3.11. Áp dụng phép biến đổi Laplace suy ra các công thức khai triển sau: 
 ∑∑ ∞
=
∞
=
+ −++γ=++
−+−γ−=
0
2
0
1
)!2(2
)1(ln)(Ci;
)!1(1
)1(ln)(Ei
n
nn
n
nn
n
x
n
xx
n
x
n
xx . 
3.12. Tính 
 a. 
( )
⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛Γ
⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛ΓΓ
2
11
2
53
 b. ⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛−Γ
2
1
 c. ⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛−Γ
2
5
 d. ⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛Γ⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛−Γ
4
1
4
1
. 
3.13. Sử dụng hàm Gamma tính các tích phân sau: 
 a. b. 
0
3∫
∞ − dxex x ∫
∞ −
0
26 dxex x
3.14. Sử dụng hàm Gamma tính các tích phân sau: 
 a. ∫
∞ −
0
3
dyey y b. ∫
∞ −
0
4 23 dtt
3.15. Chứng minh: ∈+
−= +∫ nm
ndxxx n
n
nm 
)1(
!)1()(ln 1
1
0
² 1,, −>∈ mm  . 
3.16. Áp dụng hàm Beta tính các tích phân sau: 
 a. ∫ b. −
1
0
34 )1( dxxx ∫ −
2
0
2
2 x
dxx c. ∫ −
2
0
3 38 dxxx 
3.17. Áp dụng hàm Beta tính các tích phân sau: 
a. ∫
π
θθθ
2
0
54 cossin d b. ∫
π
θθ
2
0
6cos d c. ∫
π
θθ
2
0
tg d 
 117
Chương 3: Các hàm số và các phương trình đặc biệt 
3.18. Chứng minh: 
⎪⎪⎩
⎪⎪⎨
⎧
−
−π
=θθ=θθ ∫∫
ππ
lÎ nÕu
ch½n nÕu
n
n
n
n
n
n
dd nn
!!
!)!1(
!!
!)!1(
2sinsin
2
0
2
0
 (2k+1)!! = 1.3.5...(2k+1). 
 (2k)!! = 2.4.6...(2k). 
3.19. Đặt ∫∫
ππ
>==
2
0
2
2
0
2 0p ,2sin J , sin xdxxdxI pp 
 a. Chứng minh: I = J 
 b. Chứng minh: 
1)(2p
2
1(2
J ; 
)1(2
)
2
1(
2
12
+Γ
⎭⎬
⎫
⎩⎨
⎧ +Γ
=+Γ
π+Γ
=
− p
p
p
I
p
 c. Suy ra công thức nhân đôi của hàm Gamma: 
 )2(
2
1)(2 12 pppp Γπ=⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛ +ΓΓ− . 
3.20. Chứng minh rằng: 
a. ( ) ( )ppdx
x
x p −ΓΓ=+∫
∞ −
1
10
1
 , 10 << p . 
b. ⎟⎟⎠
⎞
⎜⎜⎝
⎛ −Γ⎟⎟⎠
⎞
⎜⎜⎝
⎛ +Γ=+∫
∞
ppx
dx
p
1111
10
 , . 1>p
3.21. Tính các tích phân sau 
a. ∫
∞
+0 4 1
dx
x
dx b. ∫
∞
+0 6 1x
xdx c. ∫
∞
+0 4
2
1x
dxx . 
3.22. Chứng minh các công thức truy toán đối với hàm Bessel 
 );()(2)( )1 11 zJzJz
zJ −αα+α −α= );()()( )2 1 zJzzJz zJ' α−αα α−= 
 );()()( )3 1 zzJzJzzJ' +ααα −α= { };)()(2
1)( )4 11 zJzJz J' +α−αα −= 
 );())(( )5 1 zJzzJzdz
d −αααα = );())(()6 1 zJzzJzdz
d +αα−αα− −= 
 118
Chương 3: Các hàm số và các phương trình đặc biệt 
));((
)(
)1()(z ));((
)(
)(z )7 n-n- zJz
zdz
dzJzJz
zdz
dzJ n
n
n
nn
n
n αα−+αα−αα−−αα −==
 ∫ αα−αα =
z
z z
z
zJzdzzJz
0 0
1 )()( )8 ∫ αα−+αα− −=
z
z z
z
zJzdzzJz
0 0
1 )()( )9 
 { }∫ ++= +α+αα
z
zJzJdzzJ
0
31 )()(2)( )10 "
3.23. Tính các tích phân không xác định: 
 a. ∫ b. − dxxJx nn )(1 ∫ + dxx
J
n
x
n
)(
1 c. ∫ dxxJx )(14 
3.24. Tính theo và 1( )J x 0( )J x
 a. b. 3( )J x dxxJ )(31∫ c. ∫ xdxxJ sin)(0 
3.25. Chứng minh: 
 a. 0 2 41 ( ) 2 ( ) 2 ( )J x J x J x= + + +"
 b. 1 3 5 7
1( ) ( ) ( ) ( ) sin
2
J x J x J x J x x− + − + =" . 
3.26. Chứng tỏ rằng 
 a. 10,
)(
)(
8
1
1 1
3
0
2
<<λλ
λ=− ∑∞
=
x
xJ
xJx
n nn
n . 
Trong đó là nghiệm thực dương của phương trình nλ 0)(0 =λJ . 
 b. 10,
)('
)()8(2
1 1
3
1
2
3 <<λλ
λλ−= ∑∞
=
x
xJ
xJ
x
n nn
nn . 
Trong đó là nghiệm thực dương của phương trình nλ 0)(1 =λJ . 
3.27. Chứng minh rằng nếu ; trong đó là nghiệm thực 
dương của phương trình thì . 
10,)()(
1
0 <<λ= ∑∞
=
xxJaxf
n
nn nλ
0)(0 =λJ ( ) ∑∫ ∞
=
λ=
1
2
1
2
1
0
2 )()(
n
nn Jadxxfx
3.28. a. Chứng tỏ rằng 10,
)(
)(
1 2
1 <<λλ
λ= ∑∞
=
x
xJ
xJ
x
n nn
n . Trong đó nλ là nghiệm thực dương 
của phương trình 0)(1 =λJ . 
 119
Chương 3: Các hàm số và các phương trình đặc biệt 
 b. Sử dụng bài 27. và a. chứng tỏ 
4
11
1
2 =λ∑
∞
=n n
. 
3.29. Chứng tỏ rằng phương trình: 0)(1 2
2
2
2
2
=α−++ y
x
k
dx
dy
xdx
yd 
có nghiệm tổng quát: )()( kxBYkxAJy αα += 
3.30. Giải các phương trình sau: 
 a. zy" + y' + ay =0 b. 4zy" + 4y' + y =0 
 c. zy" + 2y' + 2y = 0 d. y" + z2y = 0. 
 120