Giáo trình Giải tích phức - Nguyễn Trường Thanh

Giải tích phức
Nguyễn Tr−ờng Thanh
Bộ môn Toán, Tr−ờng Đại Học Mỏ và Địa Chất
Đông Ngạc, Từ Liêm, Hà Nội
04/03/2009
Mục lục
1 Số Phức và Hàm Số Phức 4
1.1 Số phức và các phép toán đối với số phức . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4
1.1.1 Định nghĩa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4
1.1.2 Biểu diễn hình học của số phức-Mặt phẳng phức . . . . . . . . . . . . . . . 4
1.1.3 Dạng l−ợng giác của số phức . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
1.1.4 Các phép toán đối với số phức . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
1.2 Hàm số phức . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
1.2.1 Khái niệm về hàm phức . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
1.2.2 Các hàm sơ cấp cơ bản . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8
1.2.3 Bài tập ch−ơng 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
2 Đạo hàm và Vi Phân 12
2.1 Định nghĩa đạo hàm . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12
2.2 Điều kiện tồn tại đạo hàm . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
2.3 Vài ví dụ về đạo hàm . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
2.4 Tính chất hình học của Môdun và Argmen của đạo hàm . . . . . . . . . . . . . . . 14
2.5 Khái niệm hàm giải tích . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14
2.6 Vi phân hàm biến phức . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14
3 Tích phân đ−ờng 16
3.1 Tích phân đ−ờng hàm biến phức . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16
3.1.1 Định nghĩa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16
3.1.2 Cách tách phần thực và phần ảo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17
1
23.1.3 Các tính chất tích phân . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17
3.2 Điều kiện để tích phân không phụ thuộc vào đ−ờng lấy tích phân và định lí CôSi . 18
3.3 Công thức tính tích phân đối với hàm giải tích . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
3.3.1 Nguyên hàm . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
3.3.2 Nguyên hàm đối với hàm giải tích . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
3.3.3 Công thức tính tích phân với hàm giải tích . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
3.3.4 Công thức tính tích phân CôSi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
4 Chuỗi số và chuỗi hàm 23
4.1 Khái niệm cơ bản về chuỗi số phức . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
4.1.1 Định nghĩa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
4.1.2 Sự tách phần thực phần ảo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
4.1.3 Sự hội tụ tuyệt đối . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
4.2 Khái niệm tổng quát về chuỗi hàm . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
4.3 Chuỗi luỹ thừa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
4.4 Chuỗi Taylo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
4.5 Chuỗi Lô răng (Laurent) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
4.6 Điểm bất th−ờng cô lập . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
5 Lý thuyết thặng d− 30
5.1 Khái niệm thặng d− và Các định lí cơ bản của thặng d− . . . . . . . . . . . . . . . 30
5.1.1 Định nghĩa thặng d− . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30
5.1.2 Định lí cơ bản của thặng d− . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30
5.2 Cách tính thặng d− ứng với các cực điểm . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31
5.2.1 Thặng d− của cực điểm đơn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31
5.2.2 Thặng d− với cực điểm cấp m . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32
5.3 Thặng d− loga . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32
5.3.1 Không điểm của hàm giải tích . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32
5.3.2 Thặng d− loga . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32
5.4 Applications . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33
5.4.1 Tích phân hàm phức theo đ−ờng cong kín . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33
35.4.2 Tính tích phân xác định hàm số thực
b∫
a
f(x)dx : . . . . . . . . . . . . . . . 33
5.4.3 Tính tích phân suy rộng
+∞∫
−∞
f(x)dx . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34
5.4.4 Tính các tích phân suy rộng
+∞∫
−∞
f(x) cos(mx)dx và
+∞∫
−∞
f(x) sin(mx)dx . 36
6 Lý thuyết toán tử 38
6.1 Khái niệm về phép tính toán tử . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38
6.2 Toán tử Laplace . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38
6.3 Một số ví dụ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41
6.4 Định lí đồng dạng của toán tử Laplace . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42
6.5 Tính chất tuyến tính của toán tử Laplace . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42
6.6 Tính chất rời chỗ của toán tử Laplace . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42
6.7 Hàm tuần hoàn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43
6.8 Tính chất chậm trễ của toán tử Laplace . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43
6.9 Định lí vi phân và tích phân hàm gốc . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43
6.10 Định lí vi phân và tích phân hàm ảnh . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44
6.11 Các công thức nhân . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44
6.11.1 Nhân xếp hai hàm số (Tích chập) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44
6.11.2 Định lí về ảnh của tích xếp: (Công thức nhân ảnh) . . . . . . . . . . . . . 45
6.11.3 Công thức Duhamel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45
6.12 Toán tử Laplace ng−ợc . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45
6.12.1 Định nghĩa và Các định lí tìm hàm gốc . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45
6.12.2 Tr−ờng hợp riêng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46
6.13 Toán tử Fourier . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47
6.13.1 Định nghĩa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47
6.13.2 Tính chất của toán tử Fourier . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48
Ch−ơng 1
Số Phức và Hàm Số Phức
1.1 Số phức và các phép toán đối với số phức
1.1.1 Định nghĩa
• Đơn vị ảo là một số mà bình ph−ơng bằng −1 kí hiệu bởi i. Nói cách khác i2 = −1.
• Một biểu thức z = x+ iy, x, y ∈ R, đ−ợc gọi là một số phức. Ngoài ra, x gọi là phần thực
của z, kí hiệu bởi Re(z), y gọi là phần ảo của z, kí hiệu bởi Imz. Nếu x = 0 thì z = iy gọi
là thuần tuý ảo. T−ơng tự, nếu y = 0 thì z = x đ−ợc gọi là thuần tuý thực. Tâp hợp các số
phức đ−ợc kí hiệu bởi C := {z = x+ iy : x, y ∈ R}.
1.1.2 Biểu diễn hình học của số phức-Mặt phẳng phức
• Một số phức z = x+ iy t−ơng ứng 1− 1 với điểm M(x, y) trong hệ toạ độ Đề Các, do đó
toàn bộ mặt phẳng goi là Mặt phẳng phức.
• Những điểm nằm trên trục hoành có toạ độ (x, 0) ứng với số phứ z = x+ i0 = x là số thực
thuần tuý, do đó trục hoành đ−ợc gọi là trục thực. T−ơng tự, trục tung gọi là trục ảo.
4
5Hình 1.1: Mặt phẳng phức
1.1.3 Dạng l−ợng giác của số phức
• Mỗi điểm M(x, y) đ−ợc xác định bởi véc tơ −−→OM có mô đun bằng r và tạo với trục −→0x một
góc bằng ϕ. Do đó, điểm Mcó thể xác định theo cặp số (r.ϕ). Hơn thế,
z = x+ iy = r cos(ϕ) + ir sin(ϕ)
gọi là dạng l−ợng giác của số phức z.
• Chúng ta qiu −ớc |z| := r =
√
x2 + y2, Arg(z) := ϕ, z := x − iy t−ơng ứng đ−ợc gọi là
Mô đun, Argumen và số phức liên hợp của số phức z.
1.1.4 Các phép toán đối với số phức
1. Bằng nhau: Hai số phức z1 = x1 + iy1, z2 = x2 + iy2 đ−ợc gọi là bằng nhau nếu x1 =
x2, y1 = y2.
2. Số phức liên hợp: z = x− iy = r(cos(ϕ)− i sin(ϕ)) = r(cos(−ϕ) + i sin(−ϕ)).
3. Phép cộng- Phép trừ: {
z1 + z2 = (x1 + x2) + i(y1 + y2),
z1 − z2 = (x1 − x2) + i(y1 − y2).
Tính chất:
6Hình 1.2: Dạng l−ơng giác của số phức
(a) z + z = 2Re(z), z − z = 2Imz.
(b) |z1 + z2| ≤ |z1|+ |z2|.
(c) |z1 − z2| ≥ |z1| − |z2|.
4. Phép nhân hai số phức:
z1.z2 = (x1x2 − y1y2) + i(x1y2 + x2y1) = r1r2(cos(ϕ1 + ϕ2) + sin(ϕ1 + ϕ2))
Do đó:
|z1z2| = |z1||z2|, arg(z1z2) = arg(z1) + arg(z2).
Tính chất:
(a) |z1||z2| = |z2||z1|, (Giao hoán).
(b) z1(z2 + z3) = z1z2 + z1z3, (Phân phối đối với phép cộng).
(c) z1(z2z3) = (z1z2)z3, (Kết hợp).
(d) zz = |z|2 = (x2 + y2).
5. Phép chia hai số phức:
(a) Phép nghịch đảo:
1
z
=
1
r
(cos(−ϕ) + i sin(−ϕ)) = x
x2 + y2
− i y
x2 + y2
.
7(b) Phép chia hai số phức:
z1
z2
=
x1x2 + y1y2
x22 + y
2
2
− ix1y2 − x2y1
x22 + y
2
2
=
r1
r2
(cos(ϕ1 − ϕ2) + i sin(ϕ1 − ϕ2)).
Tính chất:
i. | z1
z2
| = |z1|
|z2|
.
ii. Arg( z1
z2
) = Arg(z1)− Arg(z2).
6. Phép nhân lên luỹ thừa:
zn = (x+ iy)n =
n∑
k=0
Cknx
k(iy)n−k = rn[cos(nϕ) + i sin(nϕ)].
7. Phép khai căn:
• Định nghĩa: n√z là số phức ω saôch ωn = z.
• ω = n√r(cos ϕ+2kpi
n
+ sin ϕ+2kpi
n
), k = 0, n − 1.
1.2 Hàm số phức
1.2.1 Khái niệm về hàm phức
1. Định nghĩa:
• ω = f(z), z : là đối số, ω : hàm số, f : quy luật.
• Miền xác định của hàm f :={ω: sao cho theo quy luật f có thể xác định giá trị t−ơng
ứng của ω}:=Df .
• Miền xác định của f :={ Mọi giá trị của ω khi đối số z chạy khắp miền xác định }:=Rf .
2. Sự tách phần thực và phần ảo trong quan hệ hàm: Cho hàm số ω = f(z), z = x+ iy. Khi
đó ta có thể biểu diễn, ω := u(x, y) + iv(x, y), trong đó u, v là các hàm số thực hai biến.
3. Tính chất hình học của quan hệ hàm: ω = f(z) là một phép biến hình trên mặt phẳng phức.
8Hình 1.3: Phép biến hình
Ví dụ 1.1. Cho ω = z2. Tìm ảnh của miền tròn đơn vị.
Miền D := {z = x+ iy : x2+y2 ≤ 1}. Ph−ơng trình biên miền D là {(x, y) : x2+y2 = 1}.
Xét quan hệ ω = z2 = (x2 − y2) + i2xy. Ta thấy (x2 − y2)2 + (2xy)2 = 1, 2xy có miền giá
trị là đoạn thẳng [−1, 1] khi (x, y) chạy trên biên miền D, do đó quan hệ ω = z2 biến hình
tròn đơn vị thành chính nó.
Ví dụ 1.2. Tìm nghịch ảnh của đ−ờng tròn (u− 1
2
)2 + (v + 1
2
)2 = (1
2
)2 qua phép biến hình
ω = 1
z
.
Trên mặt phẳng phức u, v, đ−òng tròn C : (u− 1
2
)2 + (v + 1
2
)2 = (1
2
)2, có tâm I(1
2
;−1
2
), bán
kính 1
2
. Ta thấy,
ω =
1
z
=
x
x2 + y2
− i y
x2 + y2
, u =
x
x2 + y2
, v = − y
x2 + y2
,
trong đó (u, v) ∈ C. Từ đây, (x− 2)2 + (y − 2)2 = 4 (nghịch ảnh của C).
1.2.2 Các hàm sơ cấp cơ bản
1. Hàm lũy thừa: Có dạng
ω = zn = (x+ iy)n =
n∑
k=1
Cknx
k(iy)n−k = [r(cosϕ+ i sinϕ)]n = rn[cos(nϕ) + i sin(nϕ)].
92. Hàm mũ: Có dạng ω = ez với định nghĩa nh− sau: nếu z = x+ iy thì
ω = ex.eiy = ex(cos y + i sin y).
• ez1ez2 = ez1+z2 .
• ez1
ez2
= ez1−z2 .
• (ez)n = enz.
• ez+2pii = ez.
3. Các hàm l−ợng giác: Ta kí hiệu
sin z :=
eiz − e−iz
2i
; cos z :=
eiz + e−iz
2
;
tgz :=
sin z
cos z
=
1
i
e2zi − 1
e2zi + 1
; cotgz :=
cos z
sin z
= i
e2zi + 1
e2zi − 1 .
4. Hàm Logarit:
• Định nghĩa: Logarit của số phức z là số ω sao cho eω = z và đựoc kí hiệu ln z := ω.
• Nếu z = r(cosϕ+ i sinϕ) = eiϕ thì ω = ln z = r+ iϕ = ln|z|+ iArg(z). (Chú ý: ln z
là hàm đa trị.)
• Tính chất:
ln(z1.z2) = ln(z1) + ln(z2); ln(
z1
z2
) = ln(z1)− ln(z2); ln(zz21 ) = z2 ln z1;
• zz = ezlnz
5. Các hàm số l−ợng giác ng−ợc:
• Hàm ω = arcsinz : Gọi arcsinz là số phức ω sao cho sinω = z. Khi đó,
ω = arcsinz =
1
i
ln(iz +
√
1− z2).
• Hàm ω = arccosz : Gọi arccosz là số phức ω sao cho cosω = z. Khi đó,
ω = arccosz =
1
i
ln(z +
√
1− z2).
10
• Hàm ω = arctgz : Gọi arctgz là số phức ω sao cho tgω = z. Khi đó,
ω = arctgz =
1
2i
ln(
1 + iz
1− iz ).
• Hàm ω = arccotgz : Gọi arccotgz là số phức ω sao cho cotgω = z. Khi đó,
ω = arccotgz =
1
2i
ln(
z + i
z − i).
1.2.3 Bài tập ch−ơng 1
1. .....
2. .....
3. .....
4. .....
5. .....
6. .....
7. .....
8. .....
9. .....
10. .....
11. .....
12. .....
13. .....
14. .....
15. .....
11
16. .....
17. .....
18. .....
19. .....
20. .....
21. .....
22. .....
23. .....
24. .....
25. .....
26. .....
Ch−ơng 2
Đạo hàm và Vi Phân
2.1 Định nghĩa đạo hàm
Xét hàm số f(z) xác định trong miền D và một điểm z0 = x0 + iy0 ∈ D. Cho z0 = x0 + iy0
một số gia ∆z = ∆x+∆y, t−ơng ứng có số gia của hàm số f :
∆f = f(z0 +∆z)− f(z0) = f((x0 +∆x) + i(y0 +∆y))− f(x0 + iy0).
Nếu tỉ số ∆f
∆z
tồn tại giới hạn khi ∆z → 0 thì giới hạn đó đ−ợc gọi là đạo hàm của f(z) tại điểm
z0. Kí hiệu f ′(z0) =
df
dz
|z=z0 = lim
∆z→0
∆f
∆z
.
Chú ý:
1. Giá trị lim
∆z→0
∆f
∆z
luôn là duy nhất theo mọi cách tiến đến 0 của ∆z.
2. Giả sử f(z) = u(x, y) + iv(x, y) và ∆z = ∆x+∆y. Khi đó
f ′(z0) = lim
∆z→0
∆f
∆z
= lim
∆x→ 0
∆y → 0
∆u+ i∆v
∆x+∆y
.
12
13
2.2 Điều kiện tồn tại đạo hàm
1. Điều kiện cần: Nếu hàm f(z) = u(x, y) + iv(x, y) tồn tại đạo hàm tại điểm z = x + iy thì
tại điểm đó phải tồn tại các đạo hàm riêng của u, v và{
∂u
∂x
= ∂v
∂y
,
∂u
∂y
= − ∂v
∂x
,
(Điều kiện CôSi-Riman).
Chứng minh. Xét giới hạn ∆f
∆z
khi z + ∆z tiến tới z theo chiều song song với trục thực và
trục ảo. Sau đó từ tính duy nhất của giới hạn đạo hàm ta có điều phải chứng minh.
2. Điều kiện đủ: Cho hàm f(z) = u(x, y) + iv(x, y). Nếu hai hàm thực hai biến u, v khả vi (?)
và chúng thỏa mãn điều kiện C − R thì hàm f(z) tồn tại đạo hàm tại z.
Chứng minh. (?).
2.3 Vài ví dụ về đạo hàm
Ví dụ 2.1. Cho f(z) = z2. Giả sử z = x + iy, ta có f(z) = (x2 − y2) + 2xyi. Do đó u =
x2− y2, v = 2xy. Hai hàm u, v đều khả vi liên tục và thoả mãn điều kiện C −R tại mọi cặp điểm
(x, y). Vậy f(z) = z2 tồn tại đạo hàm tại mọi điểm z. Ngoài ra,
f ′(z) =
∂u
∂x
+ i
∂v
∂x
= 2x+ i2y = 2z.
Ví dụ 2.2. Cho f(z) = ez. Giả sử z = x+ iy, khi đó
f(z) = ex+iy = ex(cosx+ sin y), u = ex cos y, v = ex sin y.
Ta thấy u, v thoả mãn điều kiện C − R, do đó hàm f(z) tồn tại đạo hàm tại mọi điểm và
f ′(z) =
∂u
∂x
+ i
∂v
∂x
= ex cos y + ex sin y = ez.
Ví dụ 2.3. Cho hàm f(z) = z.Imz.Rez. Ta thấy f(z) = x2y + xy2. Điều kiện C − R thoả mãn
khi x = y = 0. Do đó, hàm f(z) chỉ có đạo hàm tại z = 0,
14
2.4 Tính chất hình học của Môdun và Argmen của đạo hàm
• Cho hàm f(z), giả sử tại z nào đó tồn tại f ′(z) 6= 0. Đoạn MN nối từ điểm z tới điểm
z+∆z, đoạn M1N1 nối từ điểm f(z)tới điểm f(z)+∆f. Các vec tơ
−−→
MN,
−−−→
M1N1 t−ơng ứng
với số phức ∆z, ∆f. Ta thấy
lim
M→N
|−−−→M1N1|
|−−→MN |
= lim
∆→0
|∆f
∆z
| = |f ′(z)|.
Vậy mô đun của đạo hàm đặc tr−ng cho sự thay đổi kích th−ớc tuyến tính tại điểm z thông
qua hàm f(z).
Ví dụ 2.4. Cho f(z) = z2 + z+3. Ta thấy f ′(z) = 2z+1, do đó |f ′(1)| = 3. Vậy hàm f(z)
làm thay đổi kích th−ớc tuyến tính tại điểm z = 1 lên 3 lần.
• T−ơng tự,
lim
∆z→0
[arg(∆f)− arg(∆z)] = lim
∆z→0
arg
∆f
∆z
= argf ′(z)
2.5 Khái niệm hàm giải tích
• Định nghĩa 1: Hàm f(z) giải tích trong một miền D nếu đơn trị và có đạo hàm liên tục trên
D.
Đôi khi ta nói hàm f(z) giải tích ...  2za + 1
; z1] = 4pi
1
z2 + 2za + 1
|z=z1 =
2pi√
a2 − 1 .
5.4.3 Tính tích phân suy rộng
+∞∫
−∞
f(x)dx
• Tr−ờng hợp 1: Nếu hàm f(x) có đặc điểm là khi thay đổi biến thực x bằng biến phức z thì
trở thành hàm phức f(z) có những tính chất sau:
1. lim
z→∞
zf(z) = 0.
2. Hàm f(z) giải tích trên toàn bộ trục thực.
3. Nửa mặt phẳng trên, f(z) chỉ có một số hữu hạn điểm bất th−ờng cô lập.
Khi đó,
+∞∫
−∞
f(x)dx = 2pii
n∑
k=1
Res[f(z); zk].
Chứng minh. Ta vẽ một nửa đ−ờng tròn CR tâm 0 bán R ở nửa mặt phẳng trên sao cho chu
tuyến C = CR + [−R,R] bao tất cả các điểm bất th−ờng cô lập của f. Ngoài ra, f(z) giải
tích bên trong miền D có chu tuyến C trừ ra các điểm bất th−ờng. Theo đinh lí 5.1,∮
C
f(z)dz = 2pii
n∑
k=1
Res[f(z); zk].
Ta thấy
| ∫
CR
f(z)dz| ≤ | ∫
CR
f(z)z
z
dz| ≤ max
z∈CR
| f(z)z
z
|.piR
≤
max
z∈CR
|f(z)z|
R
.piR = max
z∈CR
|f(z)z|.pi→ 0, khi R→∞.
35
Do ∮
C
f(z)dz =
∫
[−R,R]
f(z)dz +
∫
CR
f(z)dz =
R∫
−R
f(z)dz +
∫
CR
f(z)dz
với R lớn tuỳ ý, dẫn tới
+∞∫
−∞
f(x)dx = 2pii
n∑
k=1
Res[f(z); zk].
Ví dụ 5.7. Tính I =
+∞∫
−∞
1
(x2+1)2
dx.
Cách giải
Trong nửa mặt phẳng trên hàm f(z) = 1
(x2+1)2
chỉ có một điểm bất th−ờng cô lập cấp hai
z = i, thoả mãn các tính chất của định lí, do đó,
I = 2piiRes[f(z); i] = 2pii lim
z→i
[
1
(z + i)2
]′ =
pi
2
.
Ví dụ 5.8. Tính
+∞∫
0
x2
x4+1
= 1
2
+∞∫
−∞
x2
x4+1
?
• Tr−ờng hợp 2: Nếu hàm f(z) có đặc điểm, khi thay x bằng z hàm f(z) có các tính chất sau
1. lim
z→∞
zf(z) = 0.
2. Trên trục thực hàm f(z) có một số hữu hạn điểm bất th−ờng cô lập đơn là a1, a2, . . . , as.
3. Nửa mặt phẳng trên, f(z) có hữu hạn điểm bất th−ờng cô lập là z1, z2, . . . , zn.
Khi đó,
+∞∫
−∞
f(x)dx = 2pii
n∑
k=1
Res[f(z); zk] + pii
s∑
j=1
Res[f(z); aj].
Chứng minh. Để cho đơn giản chứng minh ta giả thiết trên trục thực hàm f(z) chỉ có một
điểm bất th−ờng a. Vẽ trên nửa mặt phẳng trên, nửa đ−ờng tròn CR tâm 0 với R đủ lớn và Cr
36
tâm a với bán kính r đủ nhỏ sao cho miền D có biên C = CR+Cr+ [−R, a− r] + [a+ r,R]
bao quanh các điểm bất th−ờng z1, z2, . . . , zn. Trong miền D, hàm f(z) giải tích trừ các điểm
z1, z2, . . . , zn. Theo định lí cơ bản của thặng d− ta có
∮
C
f(z)dz = 2pii
n∑
k=1
Res[f(z); zk] =
∫
CR
f(z)dz+
∫
Cr
f(z)dz+
a−r∫
−R
f(z)dz+
R∫
a+r
f(z)dz. (4.1)
Do a là cực điểm đơn, ta có biểu diễn f(z) = ϕ(z) + a−1(z − a)−1, trong đó ϕ(z) là hàm
giải tích tại a. Hơn thế ta có,∫
Cr
f(z)dz =
∫
Cr
ϕ(z)dz +
∫
Cr
a−1(z − a)−1dz =
∫
Cr
ϕ(z)dz + a−1(−pii).
Từ tính giải tích của ϕ(z), cho r → 0 ta có
lim
r→0
∫
Cr
f(z)dz = −piia−1.
Mặt khác, lim
R→∞
∫
CR
f(z)dz = 0 (tr−ờng hợp 1). Kết hợp với công thức 4.1, khi cho R →
∞, r → 0 ta có điều phải chứng minh.
5.4.4 Tính các tích phân suy rộng
+∞∫
−∞
f(x) cos(mx)dx và
+∞∫
−∞
f(x) sin(mx)dx
• Tr−ờng hơp 1: Nếu hàm f(x) có đặc điểm khi thay x bằng z thì đựoc một hàm biến phức
f(z) có những tính chất sau
1. lim
z→∞
f(z) = 0.
2. Hàm f(z) giải tích trên toàn bộ trục thực.
3. Nửa mặt phẳng trên , f(z) chỉ có một số hữu hạn điểm bất th−ờng cô lập là z1, z2, . . . , zn.
Khi đó ,
+∞∫
−∞
f(x)eimxdx = 2pii
n∑
k=1
Res[f(z)eimx; zk].
37
Chứng minh. .......
Ví dụ 5.9. Tính các tích phân sau
+∞∫
−∞
cosx
x2+1
dx,
+∞∫
−∞
sinx
x2+1
dx.
Chứng minh
Hàm f(z) = 1
z2+1
thỏa mãn các điều kiện của định lí, do đó
+∞∫
−∞
cos x
x2 + 1
dx+ i
+∞∫
−∞
sinx
x2 + 1
dx = 2piiRes[
eiz
1 + z2
; i] =
pi
e
.
Từ đây,
+∞∫
−∞
cos x
x2+1
dx = pi
e
.
• Tr−ờng hợp 2: Hàm f(z) có hữu hạn cực điểm đơn a1, a2, . . . , as trên trục thực. Khi đó,
+∞∫
−∞
f(x)eimxdx = 2pii
n∑
k=1
Res[f(z)eimx; zk] + pii
s∑
j=1
Res[f(z)eimx; aj].
Chứng minh. .......
Ch−ơng 6
Lý thuyết toán tử
6.1 Khái niệm về phép tính toán tử
• Cho hai tập hợp A và B. Một phép toán T cho ứng mỗi phần tử x ∈ A với phần tử Tx ∈ B
đ−ợc gọi là một toán tử. Phần tử Tx ∈ B đ−ợc gọi là ảnh của phần tử x ∈ A, phần tử x đ−ợc
gọi là gốc (hay nghịch ảnh) của phần tử Tx.
• Một vài ví dụ:
1. Nếu tập A,B là hai tập các số thực thì toán tử T gọi là hàm số thực.
2. Nếu A là tập các hàm số liên trên (a, b) hữu hạn. Khi đó phép toán
b∫
a
f(x)dx đ−ợc gọi
là toán tử tích phân,cho ứng mỗi hàm f liên tục trên (a, b) với một phần tử Tf là một
số thực.
3. Nếu A là tập hợp các vectơ trong không gian thì phép toán −→a .−→b0 , (−→a ,−→b ∈ A), −→b0 cố
định, là toán tử vô h−ớng.
6.2 Toán tử Laplace
1. Định nghĩa: Cho hàm số thực f(t)xác định với t ≥ 0. Xét tích phân
38
39
∞∫
0
f(t)e−àtdt, (2.1)
trong đó à là một tham số. Giá trị tích phân sẽ phụ thuộc vào tham số à. Do đó khi cho số
phức à biến thiên thì giá trị tích phân 2.1 sẽ là một hàm của à. Ta gọi hàm đó là hàm số
phức F (à). Phép toán 2.1 đ−ợc gọi là toán tử Laplace cho ứng mỗi hàm gốc f(t) với một
hàm phức F (à, ) kí hiệu
F (à) = L[f(t)] =
∞∫
0
f(t)e−àtdt (2.2)
Vì phép toán 2.1 là một tích phân suy rộng cận vô hạn nên một vấn đề cần đặt ra là liệu khi
nào tích phân đó hội tụ, hàm thực f(t) và tham số phức à cần điều kiện gì?
2. Điều kiện để tồn tại toán tử Laplace
(a) Hàm gốc f(t) :
i. Vì toán tử Laplace là một tích phân trên đoạn nửa vô hạn [0,+∞], do đó ta có thể
coi f(t) ≡ 0, t < 0, mà không làm ảnh h−ởng đến giá trị tích phân 2.1
ii. Ta gọi hàm
1(t) =
{
0 với t < 0,
1 với t ≥ 0.
Khi đó luôn có thể coi hàm gốc là hàm
1(t)f(t) =
{
0 với t < 0,
f(t) với t ≥ 0.
iii. Vì tích phân 2.1 theo biến t trên [0,+∞) nên tr−ớc tiên cần đòi hỏi hàm f(t) phải
giải tích trên [0,+∞). Trong giải tích đã biết thì hàm f(t) phải liên tục và có đạo
hàm f ′(t) liên tục trên [0,+∞) trừ ra một số hữu hạn điểm gián đoạn loại một (nếu
có).
iv. Hàm d−ới dấu tích phân là f(t)e−àt do đó để tích phân 2.1 hội tụ thì hàm f(t)
không đ−ợc tăng nhanh hơn hàm mũ nào đó. Nói cách khác,
|f(t)| ≤ Mes0t, (2.3)
với M, s0 là hằng số. Hằng số s0 gọi là chỉ số tăng của hàm f(t).
40
Vậy hàm gốc f(t) cần phải thoả mãn hai điều kiện iii, iv.
(b) Hàm ảnh F (à) :
i. Ta giả thiết hàm gốc f(t) có chỉ số tăng là s0. Do đó để cho tích phân 2.1 hội tụ thì
giá trị à cần phải lấy sao cho hàm e−àt tăng nhanh hơn so với f(t) khi t → +∞.
Giả sử số phức à = s + iω. Ta sẽ chứng tỏ rằng nếu Reà = s > s0 thì tích phân
2.1 hội tụ (không những thế còn hội tụ tuyệt đối).
Chứng minh. Ta thấy
|
+∞∫
0
f(t)e−àtdt| ≤
+∞∫
0
|f(t)e−àt|dt ≤
+∞∫
0
|e−àt||Mes0t|dt
= M
+∞∫
0
|e−stes0t|dt = M
s−s0
< +∞.
Vậy điều kiện tồn tại hàm F (à) là Reà > s0.
ii. Hàm F (à) = L[f(t)] là hàm giải tích trong toàn bộ miền Reà > s0.
Chứng minh. T−ơng tự chứng minh trong (b), ta có
|
∞∫
0
−te−àtf(t)dt| ≤ M
(s0 − s)2 < +∞.
Mặt khác,
F (à+∆à)− F (à)
ƈ
=
+∞∫
0
e−àtf(t)
[e−∆àt − 1]
ƈ
dt.
Ta thấy với |∆à| < δ nào đó,
+∞∫
0
|e−àt|.|Mes0t|.t.et|∆à|dt
hội tụ đều với mọi |∆à| 0 cho tr−ớc, chọn a ∈ R đủ
lớn sao cho
+∞∫
a
|e−àt|.|Mes0t|.t.et|∆à|dt < ε,
|
+∞∫
a
e−àtf(t)(−t)| < ε.
41
Cố định a, cho ∆à→ 0, ta thấy
|
a∫
0
e−àtf(t) [e
−∆àt−1]
ƈ
dt−
a∫
0
e−àtf(t)(−t)dt| ≤ ε,
và
|
+∞∫
a
e−àtf(t) [e
−∆àt−1]
ƈ
dt| ≤
+∞∫
a
|e−àt|.|Mes0t|.t.et|∆à|dt < ε.
Từ dây,
|F (à+∆à)− F (à)
ƈ
−
+∞∫
0
e−àtf(t)(−t)dt| ≤ 3ε
Do ε chọn bất kì, dẫn tới F ′(à) =
+∞∫
0
e−àtf(t)(−t)dt.
6.3 Một số ví dụ
Ví dụ 6.1. Hàm đơn vị
1(t) =
{
0 với t < 0
1 với t ≥ 0
Ta có |1(t)| ≤ 1.e0t. Vậy F (à) = L[1(t)] =
∞∫
0
e−àtdt = 1
à
, ∀Reà > 0.
Ví dụ 6.2. Hàm sin t, hàm gốc f(t) = 1(t) sin t. Ta thấy |f(t)| ≤ 1.e0t, do đó ảnh F (à) xác định
với Resà > 0. Bằng tích phân từng phần ta có,
F (à) =
1
1 + à2
.
T−ơng tự,
L[1(t) cos t] =
à
à+1
,
L[1(t)e−t] =
1
à + 1
,
trong đó Resà > 0.
42
6.4 Định lí đồng dạng của toán tử Laplace
Định lý 6.1. Cho a > 0 bất kì. Khi đó, nếu L[f(t)] = F (à) thì L[f(at)] = 1
a
F (à
a
).
Ví dụ 6.3. a) 1(t) sin t→ 1
1+à2
=⇒ 1(t) sin at→ 1
a
1
1+(à
a
)2
= a
a2+à2.
b) 1(t) cos t→ à
1+à2
=⇒ 1(t) cos at→ à
a2+à2.
c) 1(t)e−t → à
1+à
=⇒ 1(t)e−at → 1
a+à.
6.5 Tính chất tuyến tính của toán tử Laplace
Định lý 6.2. Nếu f(t) =
n∑
k=1
ckfk(t), ck = constant, k = 1, n thì L[f(t)] =
n∑
k=1
ckL[fk(t)].
Ví dụ 6.4.
L[1(t)(3 sin 4t− 2 cos 5t)] = 3L[1(t) sin 4t]− 2L[1(t) cos 5t] = 3. 4
42 + à2
− 2 à
à2 + 52
.
.
6.6 Tính chất rời chỗ của toán tử Laplace
Định lý 6.3. Cho λ ∈ C bất kì. Nếu L[1(t)f(t)] = F (à) thì L[1(t)e∓λtf(t)] = F (à± λ).
Ví dụ 6.5.
L[1(t)e±λt sin at] =
a
a2 + (à∓ λ)2 ,
L[1(t)e±λt cos at] =
à∓ λ
a2 + (à∓ λ)2 ,
L[f(t) sinωt] = L[f(t)
eiωt − e−iωt
2i
] =
1
2i
[F (à− iω)− F (à+ iω)].
43
6.7 Hàm tuần hoàn
Định lý 6.4. Nếu hàm gốc f(t) là hàm tuần hoàn chu kì T thì F (à) =
T∫
0
f(t)e−àtdt
1−e−àT
.
Chứng minh. ......
6.8 Tính chất chậm trễ của toán tử Laplace
Định lý 6.5. Cho τ > 0 bất kì. Khi đó, L[(t− τ )f(t− τ )] = e−τ tàF (à).
Ví dụ 6.6. Cho hàm gốc
f(t) =


0 với t < 0,
1 với 0 ≤ t ≤ τ,
0 với t > τ.
Ta thấy f(t) = 1(t)− 1(t− τ ), do đó L[f(t)] = 1
à
− e−τà 1
à
.
Ví dụ 6.7. Cho hàm gốc
f(t) =


0 với t < 0,
sin t với 0 ≤ t ≤ pi,
0 với t > pi.
Ta thấy f(t) = 1(t) sin t+ 1(t− pi) sin(t− pi), do đó L[f(t)] = 1
1+à2
+ e−pià 1
1+à2
.
6.9 Định lí vi phân và tích phân hàm gốc
Định lý 6.6. Giả sử f(t) là hàm gốc có f ′(t) cũng là hàm gốc. Khi đó, nếu L[f(t)] = F (à) thì
L[f ′(t)] = àF (à)− f(0).
Hệ quả 6.1. Nếu f(t) có tồn tại đạo hàm tới cấp n và đều là hàm gốc thì
L[f (n)(t)] = ànF (à)− àn−1f(0) − àn−2f ′(0) − ã ã ã − f (n−1)(0).
Định lý 6.7. Nếu L[f(t)] = F (à) thì L[
t∫
0
f(t)dt] = F (à)
à
.
44
Ví dụ 6.8. Ta thấy L[1(t).1] = 1
à
, do đó L[1(t)
t∫
0
1dξ] =
1
à
à
= 1
à2
= L[1(t)t]. T−ơng tự ta có,
L[1(t)
tn
n!
] =
1
àn+1
, ∀n ∈ N.
6.10 Định lí vi phân và tích phân hàm ảnh
Định lý 6.8. Nếu L[f(t)] = F (à) thì L[−tf(t)] = F ′(à).
Ví dụ 6.9.
L[1(t) sin at] =
a
a2 + à2
=⇒ L[1(t)t sinat] = −( a
a2 + à2
)′ =
2aà
(a2 + à2)2
.
L[1(t) cos at] =
à
a2 + à2
=⇒ L[1(t)t cos at] = −( à
a2 + à2
)′ =
à2 − a2
(a2 + à2)2
.
Định lý 6.9. Nếu L[f(t)] = F (à) thì
∞∫
à
F (z)dz hội tụ, đồng thời L[ f(t)
t
] =
∞∫
à
F (z)dz.
Ví dụ 6.10.
L[
sin at
t
] =
∞∫
à
a
a2 + z2
dz =
pi
2
− arctg(à
a
).
L[1(t)
1− eat
t
] =
∞∫
à
(
1
z
− 1
z − a)dz = ln
à − a
à
.
6.11 Các công thức nhân
6.11.1 Nhân xếp hai hàm số (Tích chập)
• Định nghĩa: Cho hai hàm số f(t), g(t). Biểu thức tích phân
t∫
0
f(ξ)g(t−ξ)dξ là một hàm theo
cận trên t, đ−ộcgị là tích chập của hai hàm f(t) và g(t). Kí hiệu,
f ∗ g(t) =
t∫
0
f(ξ)g(t− ξ)dξ.
45
• Tính chất: Tích chập có tinh giao hoán: f ∗ g = g ∗ f.
• Chú ý: Khi định nghĩa tích chập ta không đòi hỏi f(t), g(t) là hàm gốc. Nh−ng nếu f(t), g(t)
là hàm gốc thì f ∗ g(t) cũng là hàm gốc.
6.11.2 Định lí về ảnh của tích xếp: (Công thức nhân ảnh)
Định lý 6.10. Nếu L[f(t)] = F (t), L[g(t)] = G(t) thì L[f ∗ g(t)] = F (à)G(à).
Chứng minh. ........
Ví dụ 6.11. Tìm hàm gốc của 1
à(1+à)
.
Ta thấy 1
à(1+à)
= 1
à
1
1+à2
= F (à).G(à) = L[1(t)].L[1(t) sin t]. Do đó,
f(t) = 1 ∗ sin t =
t∫
0
sin(t− ξ)dξ = (1− cos t).
6.11.3 Công thức Duhamel
Định lý 6.11. Nếu L[f(t)] = F (t), L[g(t)] = G(t) thì L[f(0)g(t) + f ′ ∗ g(t)] = àF (à)G(à).
Chứng minh. ....
6.12 Toán tử Laplace ng−ợc
6.12.1 Định nghĩa và Các định lí tìm hàm gốc
Ta thừa nhận không chứng minh công thức sau đây cho cách tìm hàm gốc f(t) khi đã biết hàm
ảnh.
Định lý 6.12 (Công thức Mellin). Giả sử hàm F (à) là hàm biến phức thoả mãn các điều
kiện
1. F (à) giải tích trong phần mặt phẳng Reà > s0.
2. lim
à→∞
F (à) = 0.
46
3.
a+i∞∫
a−i∞
F (à)dà hội tụ với mọi a > s0.
Khi đó
f(t) =
1
2pii
a+i∞∫
a−i∞
F (à)eàtdà, (a > s0).
Định lý 6.13. Nếu hàm F (à) thỏa mãn các điều kiện của công thức Mellin thì
f(t) =
1
2pii
a+i∞∫
a−i∞
F (à)eàtdà =
n∑
k=1
Res[F (à)età;àk],
trong đó àk, k = 1, n là các điểm bất th−ờng cô lập nằm ở nửa mặt phẳng Reà < s0.
Chứng minh. ....
6.12.2 Tr−ờng hợp riêng
Nếu F (à) = A(à)
B(à)
, trong đó A(à), B(à) là những đa thức không có ngiệm chung, bậc ở tử nhỏ
hơn ở mẫu và các điểm {àk} là các không điểm đơn của B(à) thì
f(t) =
n∑
k=1
A(àk)
B ′(àk)
eàkt.
Ví dụ 6.12. Tìm hàm gốc của hàm số F (à) = 1
à(à+a)(à+b)
, a, b > 0.
f(t) =
1
ab
e0t +
1
a(a− b)e
−at +
1
b(b− a)e
−bt.
Định lý 6.14. Nếu hàm F (à) giải tích tại điểm à =∞, nghĩa là khai triển hàm F (à) ở lân cận
điểm à =∞ có dạng
F (à) =
c1
à
+
c2
à2
+ ã ã ã =
∞∑
n=1
cn
àn,
thì F (t) là ảnh của hàm gốc 1(t)f(t), trong đó
f(t) =
∞∑
n=1
cn
(n− 1)! t
n−1.
47
6.13 Toán tử Fourier
6.13.1 Định nghĩa
• Với toán tử Laplace, ta đã cho ứng các hàm gốc 1(t)f(t) với ảnh F (à). Toán tử F (à) là
một hàm phức xác định với mọi Reà > s0, và giải tích trên nửa mặt phẳng phức ở bên phải
đ−ờng thẳng Reà = s0. Tuy nhiên nếu ta kéo dài ảnh Laplace F (à) ra toàn bộ mặt phẳng
phức thì trên nửa mặt phẳng bên trái đ−ờngthẳng Reà = s0, hàm F (à) sẽ có những điểm bất
th−ờng cô lập, và sự phân bố của những điểm này lại xác định hàm gốc (định lí 6.13). Vậy
sau khi xác định đ−ợc ảnh Laplace F (à), ta coi F (à) là hàm trên toàn bộ mặt phẳng phức.
Do đó mỗi một ảnh F (à) khi cho à = iλ (thuần tuý ảo) sẽ cho một hàm F (iλ) xác định trên
trục ảo. Ta gọi F (iλ) là ảnh Fourier của hàm gốc 1(t)f(t).
• Trong tr−ờng hợp nếu hàm f(t) có chỉ số tăng s0 < 0 thì ta có thể xác định ảnh Fourierbangè
công thức tích phân Laplace trong đó lấy à = iλ,
F (iλ) =
∞∫
0
f(t)e−iλtdt. (13.4)
Tích phân này hội tụ vì Re(iλ) = 0 > s0, và đựoc gọi là toán tử Fourier.Mặt khác vì s0 < 0
nên trong công thức Mellin ta có thể lấy a = 0 > s0, khi đó tích phân lấy theo trục ảo từ
d−ới và à = λi. Do đó:
1(t)f(t) =
1
2pii
+∞∫
−∞
F (iλ)eiλtd(iλ) =
1
2pi
+∞∫
−∞
F (iλ)eiλtd(λ), (13.5)
gọi là toán tử Fourier ng−ợc.
• Trong tr−ờng hơp s0 > 0 thì ta không thể dùng toán tử Fourier để xác định ảnh fourier của
1(t)f(t) vì khi đó tích phân 13.5 không hội tụ. Trong tr−ờng hợp này sẽ tìm ảnh Laplace
F (à) xác định với mọi Reà > s0 rồi mở rộng ảnh này xét trên toàn bộ mặt phẳng phức. Từ
đó ta xác định ảnh Fourier theo công thức:
F (λi) = lim
à→iλ
F (à).
48
Tất nhiên trong tr−ờng hơp này mà ta dùng ảnh Fourier để đi tìm hàm gốc thì sẽ bỏ sót
những thành phần của gốc ứng với những điểm bất th−ờng cô lập của F (à) nằm bên phải
trục ảo.
• Dùng ảnh Fourier sẽ đơn giản hơn ảnh Laplace trong việc biểu diễn hình học và khảo sát
nó bởi vì F (iλ) chỉ xác định trên trục ảo còn F (à) xác định trên toàn mặt phẳng phức.
6.13.2 Tính chất của toán tử Fourier
Ta có thể coi Fourier là một tr−ờng hợp riêng của Laplace do đó có thẻ chứng ming t−ơng tự
một số định lí:
• Định lí chậm trễ: 1(t)f(t)→ F (iλ) t−ơng ứng với 1(t− τ )f(t− τ )→ F (iλ)e−iλτ .
• Định lí đạo hàm gốc: 1(t)f(t)→ F (iλ) t−ơng ứng với 1(t)f ′(t)→ iλF (iλ)− f(0).
• Định lí tích phân gốc: 1(t)f(t)→ F (iλ) t−ơng ứng với 1(t)
t∫
0
f(ξ)dξ → F (iλ)
iλ
.
• Định lí tích chập gốc: f1 ∗ f2 → F1(iλ)F2(iλ).
Tài liệu tham khảo
[1] .....
[2] .....
[3] .....
49