Giáo trình Giải tích 2

Nguyễn Thị Minh Ngọc Chương 1 – Toán 3 
1 
CHƯƠNG 1. HÀM SỐ NHIỀU BIẾN SỐ 
Đồ	thị	của	các	hàm	hai	biến	số	là	những	mặt	cong	và	mặt	phẳng,	kể	cả	những	hình	dạng	
như	hẻm	núi.	Tại	vòm	Phipps	ở	phía	Bắc	Utah,	bạn	có	thể	tìm	được	một	điểm	mà	tại	đó	là	vì	
trí	thấp	nhất	nếu	nhìn	theo	một	hướng	và	cao	nhất	nếu	
nhìn	theo	hướng	khác.	Ở	học	phần	trước	chúng	ta	đã	
nói	đến	các	hàm	một	biến	số.	Nhưng	trong	thực	tế,	các	
đại	lượng	vật	lý	thường	phụ	thuộc	vào	hai	hoặc	nhiều	
biến	 số,	 vì	 vậy	 trong	 chương	 này	 chúng	 ta	 quan	 tâm	
đến	các	hàm	nhiều	biến	và	đưa	ra	những	lý	thuyết	cơ	
bản	về	hàm	nhiều	biến	trong	giải	tích.	
1.1. Hàm nhiều biến 
Trong	phần	này	chúng	ta	nghiên	cứu	hàm	2	hay	nhiều	biến	từ	4	cách	tiếp	cận	sau: 
- 	Bằng	lời	nói	(hàm	số	được	diễn	đạt	bằng	từ	ngữ)	
- 	Bằng	số	liệu	(hàm	số	được	cho	bởi	một	bảng	giá	trị)	
- 	Bằng	đại	số	(hàm	số	cho	bởi	một	công	thức	xác	định)	
- 	Bằng	mắt	(hàm	số	cho	bởi	một	đồ	thị	hoặc	các	đường	mức).	
1.1.1. Hàm hai biến 
Nhiệt	độ	của	một	điểm	trên	bề	mặt	của	trái	đất	tại	bất	kỳ	thời	gian	nào	phụ	thuộc	vào	
kinh	độ	x	và	vĩ	độ	y	của	điểm	đó.	Chúng	ta	có	xem	đó	là	hàm	của	hai	biến	x	và	y,	hoặc	như	là	
hàm	của	một	cặp	(x,	y).	Chúng	ta	biểu	thị	sự	phụ	thuộc	này	bằng	cách	viết	T	=	f(x,	y).	
Thể	 tích	 V	 của	 hình	 trụ	 tròn	 phụ	 thuộc	 vào	 bán	 kính	 r	 và	 chiều	 cao	 h	 của	 nó,	 vì	
 = ℎ.	Chúng	ta	nói	rằng	V	là	hàm	của	r	và	h,	và	viết	(, ℎ) = ℎ.	
Định nghĩa:	M ột	hàm hai biến f 	(function f of two variables)	là	một	quy	luật	gán	mỗi	
cặp	số	thực	(x,y)	thuộc	tập	D	với	duy	nhất	một	số	thực	được	xác	định	bởi	f(x,y).	Khi	
đó	tập	D	là	 miền xác định (domain)	của	hàm	f	và	miền giá trị	(range)	của	nó	là	tập	
các	giá	trị	của	f	tức	là	{(, )	|	(, ) ∈  }.	
Ta	thường	viết	 = (, )	để	chỉ	rõ	giá	trị	được	xác	định	bởi	f 	tại	điểm	(x,y).	Biến	x	và	
y	là	các	biến độc lập	(independent variables)	và	z	là	biến	phụ	thuộc.	(So	sánh	điều	này	với	
ký	hiệu	 = ()	của	hàm	một	biến).	
M ột	hàm	hai	biến	 là	một	hàm	số	mà	miền	xác	định	của	
nó	là	tập	con	của	ℝ 	và	miền	giá	trị	của	nó	là	tập	con	của	ℝ .	Có	
thể	 hình	 dung	 một	 hàm	 số	 bằng	 sơ	 đồ	 mũi	 tên	 như	 hình	 1,	
trong	đó	miền	xác	định	D	của	hàm	số	được	thể	hiện	như	một	
tập	con	của	mặt	phẳng	tọa	độ	Oxy	và	miền	giá	trị	 là	một	tập	
các	số	trên	trục	số	thực	và	được	chỉ	ra	như	trục	Oz.	Ví	dụ	nếu	
Vòm Phipps 
Nguyễn Thị Minh Ngọc Chương 1 – Toán 3 
2 
(, )	biểu	thị	nhiệt	độ	của	một	điểm	(x,y)	trên	một	chiếc	đĩa	kim	loại	bằng	phẳng	có	hình	
dạng	D,	ta	có	thể	hiểu	trục	Oz	như	một	cái	nhiệt	kế	biểu	thị	các	giá	trị	nhiệt	độ	nhận	được. 
Nếu	một	hàm	số	f	được	cho	bởi	một	công	thức	và	miền	xác	định	chưa	được	chỉ	rõ	thì	
khi	đó	miền	xác	định	D	của	hàm	f	được	hiểu	là	tập	hợp	tất	cả	các	cặp	(x,y)	sao	cho	giá	trị	của	
biểu	thức	nhận	được	là	một	số	thực	xác	định.	
Ví dụ 1:	Với	mỗi	hàm	số	sau,	tính	giá	trị	(3,2),	tìm	và	mô	tả	miền	xác	định	của	nó.	
(a) 	(, ) =
   
 
	 	 (b)	(, ) = ( − )	
Lời giải: a)	(3, 2) =
√  
 
=
√

Biểu	thức	của	f	 	xác	định	nếu	mẫu	số	khác	0	và	biểu	thức	
dưới	dấu	căn	bậc	2	không	âm.	Do	đó	miền	xác	định	D	của	f	là:	
 = {(, )|	 +  + 1 ≥ 0,  ≠ 1}	
Bất	phương	trình	 +  + 1 ≥ 0	hay	 ≥ −  − 1	biểu	diễn	
tất	 cả	 các	 điểm	 thuộc	 đường	 thẳng	 và	 nằm	 phía	 trên	 đường	
thẳng	 = −  − 1	 với	 điều	 kiện	  ≠ 1	 nghĩa	 là	 các	 điểm	 thuộc	
đường	thẳng	 = 1	bị	loại	bỏ	khỏi	miền	xác	định	như	hình	2.	
b)	(3,2) = 3 ln(2 − 3) = 31 = 0	
Vì	 	( − )	 xác	 định	 khi	  −  > 0	 hay	  < ,	
miền	 xác	 định	 của	 hàm	 f là	 = {(, )	|	 < 	 }.	 Đây	 là	
tập	hợp	các	điểm	nằm	ở	phía	bên	trái	của	parabol	 = 	
(xem	hình	3).	
Không	 phải	 tất	 cả	 các	 hàm	 số	 đều	 được	 biểu	 diễn	
bởi	 một	 công	 thức	 rõ	 ràng.	 Hàm	 số	 trong	 ví	 dụ	 sau	 đây	
được	diễn	đạt	bằng	lời	và	bằng	số	liệu	các	giá	trị	của	nó. 
Ví dụ 2: Ở	những	vùng	có	thời	tiết	mùa	đông	khắc	nghiệt,	chỉ	số	gió	lạnh	(wind -chill	index)	
thường	được	sử	dụng	để	mô	tả	mức	độ	nghiêm	trọng	của	cái	lạnh.	Chỉ	số	W	này	là	nhi ệt	độ	
cảm	 nhận	 phụ	 thuộc	
vào	 nhiệt	 độ	 thực	 tế	 T	
và	 tốc	 độ	 gió	 v.	 Vì	 vậy,	
W	là	hàm	c ủa	T	và	v	và	
chúng	 ta	 có	 thể	 viết	
 = (, ).	 Bảng	 1	
ghi	 giá	 trị	 của	 W	 đư ợc	
biên	 soạn	 bởi	 Dịch	 vụ	
Thời	 tiết	 Quốc	 gia	 của	
Hoa	 K ỳ	 (National	
Weather	 Service)	 và	
Nguyễn Thị Minh Ngọc Chương 1 – Toán 3 
3 
Dịch	vụ	Khí	tượng	của	Canada.	
Ví	dụ,	bảng	cho	thấy	nếu	nhiệt	độ	là	-5oC	và	tốc	độ	gió	là	50	km/h,	thì	sẽ	cảm	thấy	lạnh	
như	nhiệt	độ	khoảng	-15oC	khi	không	có	gió.	Vì	vậy	(− 5, 50) = − 15.	
(Chỉ số Gió – Lạnh:	Một chỉ số Gió – Lạnh mới được giới thiệu vào tháng 11 năm 2001 
và chính xác hơn chỉ số cũ dùng để đo độ lạnh khi có gió, chỉ số mới phụ thuộc vào sự mất 
nhiệt nhanh như thế nào trên khuôn mặt của một người. Nó được phát triển thông qua những 
thử nghiệm đơn giản mà ở đó những người tình nguyện được đặt vào trong những nhiệt độ 
và tốc độ gió khác nhau trong một phòng lạnh).	
Ví dụ 3:	Năm	 1928	 Charles	Cobb	 và	Paul	Douglas	đã	công	bố	
một	 công	 trình	 nghiên	 cứu	 	 của	 họ	 về	 việc	 đưa	 ra	 công	 thức	
chuẩn	mẫu	của	sự	tăng	trưởng	nền	kinh	tế	M ỹ	giai	đoạn	1899-
1922.	Họ	đã	xem	xét	một	phương	diện	cơ	bản	của	nền	kinh	tế	
đó	 là	 lượng	sản	phẩm	sản	xuất	ra	được	quyết	định	bởi	nguồn	
lao	động	phức	tạp	và	nguồn	vốn.	Trong	khi	có	rất	nhiều	những	
nhân	tố	khác	ảnh	hưởng	đến	nền	kinh	tế.	Công	thức	họ	đưa	ra	
đã	được	chứng	minh	 là	hoàn	toàn	chính	xác.	Họ	đã	dùng	hàm	
số	có	dạng	như	sau	để	chỉ	ra	lượng	sản	phẩm	
1 	(,  ) =     	
Trong	đó	P	là	tổng	sản	phẩm	(tổng	giá	trị	tiền	tệ	của	tất	
cả	các	hàng	hóa	được	sản	xuất	trong	một	năm).	L	là	lượng	lao	
động	(tổng	số	nhân	công	làm	việc	trong	một	năm)	và	K	là	lượng	
vốn	(tổng	giá	trị	tiền	tệ	của	máy	móc,	thiết	bị	và	nhà	cửa).	
Cobb	và	Douglas	đã	sử	dụng	dữ	liệu	kinh	tế	được	công	
bố	 bởi	 chính	 phủ	 để	 lập	 bảng	 2.	 Họ	 đã	 	 lấy	 số	 liệu	 năm	 1899	
như	là	một	mốc	và	các	giá	trị	P,L,	K	của	năm	1899	đều	được	gán	
ứng	với	giá	trị	100.	Các	giá	trị	của	các	năm	khác	được	biểu	diễn	
như	là	phần	trăm	của	các	giá	trị	của	năm	1899.	Cobb	và	Douglas	đã	dùng	phương	pháp	bình	
phương	tối	thiểu	để	xấp	xỉ	quan	hệ	giữa	các	số	liệu	của	bảng	2	bởi	một	hàm	số	sau:	
2 	(,  ) = 1.01	. .	
Nếu	ta	sử	dụng	công	thức	được	đưa	ra	bởi	hàm	số	ở	phương	trình	(2)	để	tính	tổng	
sản	phẩm	trong	năm	1910	và	1920	thì	ta	được	giá	trị	
(147,208) = 1.01(147).(208). ≈ 161.9	
(194,407) = 1.01(194).(407). ≈ 235.8	
Các	giá	trị	này	chênh	lệch	một	ít	so	với	giá	trị	thực	tế	là	159	và	231.	
Hàm	tính	tổng	sản	phẩm	này	đã	được	sử	dụng	trong	nhiều	tại	liệu,	nhiều	lĩnh	vực	từ	
các	công	ty	nhỏ	lẻ	cho	tới	kinh	tế	toàn	cầu.	Hàm	số	này	được	biết	đến	như	là	hàm tổng sản 
Nguyễn Thị Minh Ngọc Chương 1 – Toán 3 
4 
phẩm Cobb – Douglas (Cobb – Douglas production function).	 Mi ền	 xác	 định	 của	 nó	 là	
{(,  )| ≥ 0,  ≥ 0}	bởi	vì	L,	K	biểu	diễn	cho	số	lao	động	và	số	vốn	nên	luôn	không	âm.	█ 	
Ví dụ 4: Tìm	miền	xác	định	và	miền	giá	trị	của	g(, ) =  9 −  − .	
Lời giải: Mi ền	xác	định	của	g	là	
	 	  = {(, )|	9 −  −  ≥ 0}= {(, )|	 +  ≤ 9}	
đó	là	đĩa	tròn	tâm	(0,	0)	bán	kính	bằng	3.	(Xem	Hình	4.)	
Mi ền	giá	trị	của	g	là	 	|	 =  9 −  − , (, ) ∈  	
Bởi	vì	9 −  −  ≤ 9	nên	 9 −  −  ≤ 3.	
Do	đó	miền	giá	trị	của	g	là	{	|	0 ≤  ≤ 3}= [0, 3].	 	
1.1.2. Đồ thị 
M ột	cách	khác	để	hình	dung	đặc	trưng	của	hai	biến	là	xem	xét	đồ	thị	của	nó.	
Định nghĩa: Nếu	f	là	hàm	hai	biến	có	miền	xác	định	là	D	thì	 đồ thị	(graph)	của	nó	là	
tập	tất	cả	các	điểm	(x,	y,	z)	 	R3	sao	cho	z	=	f(x,	y)	và	(x,	y)	 	D. 	
Như	 vậy,	 đồ	 thị	 của	 hàm	 một	 biến	 là	 đường	 cong	 với	 phương	
trình	y	=	f(x)	thì	đồ	thị	của	hàm	hai	biến	là	mặt	cong	với	phương	trình	
z	=	f(x,	y).	
Chúng	ta	có	thể	hình	dung	rằng	hình	chiếu	lên	mặt	phẳng	xy	của	
đồ	thị	S	của	hàm	f	chính	là	miền	D	(Hình	5).	 	
Ví dụ 5: Phác	họa	đồ	thị	hàm	f(x,	y)	=	6	–	3x	–	2y.	
Lời giải: Đồ	thị	của	f	có	phương	trình	z	=	6	–	3x	–	2y	hay	3x	+	2y	+	z	=	6,	đó	là	m ặt	phẳng.	Để	
vẽ	mặt	phẳng,	ta	tìm	các	giao	điểm.	Cho	y	=	z	=	0,	ta	nhận	được	x	=	2	là	
giao	với	 trục	Ox.	Tương	tự,	giao	với	Oy	tại	y	=	3	và	giao	với	Oz	tại	 	z	
bằng	6.	Điều	này	giúp	chúng	 ta	phác	họa	phần	của	đồ	 thị	nằm	trong	
phần	tám	đầu	tiên	của	không	gian	(first	octant)	như	trong	Hình	6.	
Hàm	trong	Ví	dụ	5	là	trường	hợp	đặc	biệt	của	hàm	
f(x,	y)	=	ax	+	by	+	c, 	
nó	được	gọi	là	hàm tuyến tính	(linear function).	Đồ	thị	của	các	hàm	có	phương	trình	
	 	 	 	 z	=	ax	+	by	+	c	hay	ax	+	by	 –	z	+	c	=	0	
là	các	mặt	phẳng.	Tương	tự	như	hàm	tuyến	tính	một	biến,	hàm	tuyến	tính	hai	biến	đóng	vai	
trò	rất	quan	trọng	trong	các	phép	toán	vi	phân	và	tích	phân.	
Ví dụ 6: Phác	họa	đồ	thị	của	hàm	g(, ) =  9 −  − .	
Lời giải: Đồ	 thị	 có	 phương	 trình	  =  9 −  − .	 Bình	 phương	 hai	 vế	 ta	 nhận	 được	
 = 9 −  − 	 hay	 + 	 +  = 9,	 đó	 chính	 là	 phương	 trình	 của	 mặt	 cầu	 tâm	 tại	 gốc	
Nguyễn Thị Minh Ngọc Chương 1 – Toán 3 
5 
tọa	độ	và	bán	kính	bằng	3.	Nhưng	vì	z	 	0	nên	đồ	thị	của	hàm	g	chỉ	 là	
nửa	phía	trên	của	mặt	cầu.	
Chú ý: Toàn	bộ	mặt	cầu	không	thể	biểu	thị	bởi	một	hàm	hai	biến	x	và	y.	
Như	trong	Ví	dụ	6,	bán	cầu	(hemisphere)	trên	được	biểu	thị	bởi	phương	
trình	 	 (, ) =  9 −  − ,	 còn	 bán	 cầu	 dưới	 được	 biểu	 thị	 bởi	
phương	trình	ℎ(, ) = −  9 −  − .	
Ví dụ 7: Sử	dụng	máy	tính	để	vẽ	đồ	thị	của	hàm	Cobb-Douglas	(,  ) = 1.01. .	
Lời giải: Hình	8	biểu	thị	đồ	thị	của	P	theo	các	giá	trị	của	nhân	
công	L	 và	vốn	K	trong	phạm	vi	 từ	0	đến	300.	Máy	 tính	đ ã	vẽ	
mặt	cong	bằng	cách	vẽ	ra	các	vết	dọc.	Chúng	ta	 thấy	rằng	giá	
trị	 của	hàm	P	 tăng	 theo	cả	hai	sự	 tăng	của	L	 và	K,	 như	 là	 dự	
đoán.	Trong	MATLAB,	chúng	ta	s ử	dụng	các	câu	lệnh	sau:	
x	=	0:10:300;	y	=	x;	
[X,Y]	=	meshgrid(x,y);	
Z	=	1.01.*X.^0.75.*Y.^0.25;	
surf(X,Y,Z)	
Ví dụ 8: Tìm	miền	xác	định,	miền	giá	trị	và	vẽ	đồ	thị	hàm	số	ℎ(, ) = 4 + .	
Lời giải: Mi ền	xác	định	của	h	là	toàn	bộ	mặt	phẳng	R2.	Mi ền	giá	trị	là	[0,	
+ ).	 Đồ	 thị	 của	 nó	 có	 phương	 trình	  = 4 + ,	 đây	 chính	 là	 một	
paraboloid	elliptic.	Các	vết	cắt	ngang	là	các	ellipse,	các	vết	cắt	dọc	là	các	
parabola	(Hình	9).	
	 Các	chương	trình	máy	tính	cho	phép	vẽ	đồ	thị	của	hàm	hai	biến.	
Trong	hầu	hết	các	chương	trình	như	vậy,	các	vết	dọc	trong	các	mặt	phẳng	
x	=	k	và	y	=	k	được	vẽ	với	các	giá	trị	cách	đều	nhau	của	k	và	một	phần	của	
đồ	thị	được	loại	bỏ	bằng	cách	sử	dụng	loại	bỏ	dòng	ẩn.	
	 Hình	10	biểu	thị	các	đồ	thị	của	một	số	hàm	được	vẽ	bởi	máy	tính.	Chú	ý	rằng	chúng	
ta	có	thể	nhận	được	những	hình	ảnh	tốt	hơn	khi	chúng	ta	sử	dụng	việc	quay	hình	và	chọn	
điểm	quan	sát	thích	hợp.	
	 Trong	các	hình	(a)	và	(b),	đồ	thị	rất	phẳng	và	bám	sát	vào	mặt	phẳng	xy,	ngoại	trừ	
gần	lân	cận	của	gốc	tọa	độ,	bởi	vì	 
 	là	rất	nhỏ	khi	x	hoặc	y	là	đủ	lớn.	
Nguyễn Thị Minh Ngọc Chương 1 – Toán 3 
6 
1.1.3. Đường mức 
Từ	trước	tới	giờ	ta	có	hai	phương	pháp	để	minh	họa	cho	hàm	số	là	sơ	đồ	mũi	tên	và	
đồ	thị.	Có	một	phương	pháp	thứ	ba	đó	là	dùng	bản	đồ	chu	tuyến,	trên	bản	đồ	chu	tuyến	thì	
tập	hợp	các	điểm	có	cùng	một	cao	độ	xác	định	sẽ	nằm	trên	một	đường	chu	tuyến	hay	còn	gọi	
là	một	đường	mức.	
Định nghĩa:	Các	đường mức	(level curves)	của	một	hàm	số	hai	biến	f	là	các	đường	
cong	có	phương	trình	(, ) = 	trong	đó	k	 là	một	hằng	số	(k	thuộc	miền	giá	 trị	
của	hàm	số	f).	
M ỗi	 đường	 mức	 f(x,	
y)	 =	 k	 là	 tập	 tất	 cả	 các	
điểm	 trên	 miền	 xác	 định	
của	 f	mà	tại	 đó	f	nhận	giá	
trị	 k.	 Nói	 khác	 đi,	 nó	 biểu	
thị	 những	 chỗ	 mà	 đồ	 thị	
của	f	có	chiều	cao	là	k.	
Từ	 Hình	 11,	 chúng	 ta	
có	 thể	 thấy	 mối	 quan	 hệ	
giữa	 đường	 mức	 và	 các	
Nguyễn Thị Minh Ngọc Chương 1 – Toán 3 
7 
vết	ngang.	
	Đường	 mức	 f(x,	
y)	 =	 k	 như	 là	 giao	
tuyến	 của	 đồ	 thị	
của	f	với	mặt	phẳng	
ngang	 z	 =	 k	 được	
chiếu	 xuống	 mặt	
phẳng	xy.	
M ột	 ví	 dụ	
quen	 thuộc	 của	
đường	 mức	 là	
chúng	 xuất	 hiện	
trong	 bản	 đồ	 địa	
hình	của	một	khu	vực	miền	núi,	như	bản	đồ	trong	Hình	12.	Đường	mức	là	mức	độ	cao	so	với	
mặt	nước	biển.	Nếu	bạn	đi	bộ	dọc	theo	một	trong	những	đường	cong,	bạn	không	lên	cũng	
không	xuống.	
M ột	 ví	 dụ	 quen	 thuộc	 nữa	 là	 hàm	 nhiệt	 độ	 được	 giới	 thiệu	 trong	 đoạn	 mở	 đầu	 của	
phần	này.	Ở	đây	các	đường	cong	độ	được	gọi	là	đẳng nhiệt	(isothermals)	và	chúng	kết	nối	
các	miền	có	cùng	một	nhiệt	độ.	Hình	13	là	một	bản	đồ	thời	tiết	của	thế	giới	cho	thấy	nhiệt	độ	
trung	 bình	 trong	 tháng	 Giêng	 (đơn	 vị	 độ	 C).	 Các	 đường	 đẳng	 nhiệt	 là	 những	 đường	 cong	
phân	cách	các	dải	màu.	
Ví dụ 9: 	Hình	14	biểu	 thị	bản	đồ	đường	mức	của	hàm	 f.	Sử	
dụng	nó	để	ước	lượng	các	giá	trị	f(1,	3)	và	f(4,	5).	
Lời giải:	Điểm	(1,	3)	thuộc	phần	giữa	hai	đường	mức	với	các	
giá	trị	70	và	80,	vì	vậy	ta	ước	lượng	f(1,	3)	 	73.	Tương	tự	f(4,	
5)	 	56.	
Ví dụ 10: Phác	họa	đường	mức	của	hàm	f(x,	y)	=	6	–	3x	–	2y	với	
các	giá	trị	k	=	-6,	0,	6,	12.	
Lời giải: Các	đường	mức	là	6	–	3x	–	2y	=	k	hay	3x	+	2y	+	(k	 –	6)	=	
0	
Đây	là	họ	các	đường	thẳng	với	độ	dốc	−


.	Bốn	đường	
mức	riêng	ứng	với	k	=	-6,	0,	6	và	12	là	3x	+	2y	 –	12	=	0,	3x	+	2y	
–	6	=	0,	3x	+	2y	=	0	và	3x	+	2y	+	6	=	0. 	
	Chúng	được	phác	họa	trên	Hình	15.	Các	 đường	mức	là	
song	song	và	cách	đều	nhau	bởi	đồ	thị	của	f	là	mặt	phẳng.	
Ví dụ 11: Phác	thảo	các	đường	mức	của	hàm	(, ) =  9 −  − 	với	k	=	0,	1,	2,	3.	
Nguyễn Thị Minh Ngọc Chương 1 – Toán 3 
8 
Lời giải: Đường	mức	là	 9 −  −  = 	hay	 +  = 9 − .	
Đây	 là	 họ	 các	 đường	 tròn	 đồng	 tâm	 với	 tâm	 (0,	 0)	 bán	 kính	
√9 − .	
Các	 trường	hợp	 k	=	0,	1,	 2,	 3	được	biểu	 thị	 trên	Hình	16.	
Hãy	 thử	 hình	 dung	 những	 đường	 cong	 này	 được	 nâng	 lên	 tạo	
thành	một	mặt	cong	và	so	sánh	với	đồ	thị	của	một	bán	cầu	trong	
Hình	7.	
Ví dụ 12: Phác	thảo	các	đường	mức	của	hàm	(, ) = 4 +  + 1.	
Lời giải: Đường	 mức	 là	
4 +  + 1 = 	hay	



( )
+

 
=
1,	 ở	 đây	 với	 k	 >	 1,	 bi ểu	 thị	 một	 họ	
các	 ellipse	 với	 các	 bán	 trục	
(semiaxes)	là	

√ − 1	và	√ − 1.	
Hình	 17(a)	 cho	 thấy	 một	 bản	
đồ	đồng	mức	của	h	được	vẽ	bởi	máy	
tính.	 Hình	 17(b)	 cho	 thấy	 những	
đường	mức	được	nâng	tới	đồ	thị	của	
h	(một	paraboloid	elliptic),	ở	đó	chúng	trở	thành	các	vết	ngang.	
Ví dụ 13: Vẽ	đường	mức	của	hàm	Cobb-Douglas	trong	Ví	dụ	3.	
Lời giải: Trong	Hình	18,	các	đường	đồng	mức	của	hàm	Cobb-Douglas	P(L,	K)	=	1.01L0.75K0.25	
được	vẽ	bởi	máy	tính.	
Các	đường	mức	được	gán	nhãn	theo	các	giá	trị	của	sản	phẩm	P.	Ví	dụ,	đường	mức	có	
nhãn	140	biểu	thị	 tất	cả	các	giá	 trị	của	nhân	công	L	và	đầu	tư	K	để	có	sản	phẩm	P	=	140.	
Chúng	ta	thấy	rằng,	đối	với	một	giá	trị	cố	định	của	P,	thì	L	tăng	K	
giảm,	và	ngược	lại.	
Tùy	theo	mục	đích,	một	bản	đồ	đồng	mức	hữu	ích	hơn	một	
đồ	thị.	Đó	là	chắc	chắn	đúng	trong	Ví	dụ	13.	(So	sánh	Hình	18	với	
Hình	8.)	 Nó	cũng	đúng	 trong	việc	ước	 tính	giá	 trị	 của	hàm,	như	
trong	Ví	dụ	9.	
Hình	19	cho	thấy	một	số	đường	mức	được	máy	tính	tạ ... 
 = 0

 = 0
(, ) = 0
⟺ 
2 − 2 + 2 = 0
2 − 2 + 2 = 0
 +  = 4
⟺
⎩
⎨
⎧− √2, − √2,  = −
1
√2
− 1
√2, √2,  =
1
√2
− 1
Xét	dấu	∆ = 	 ∆,	thông	qua	xét	dấu	d2F	
 = 
  + 
  + 2
  = (2 + 2)( + )	
Tại	M 1	có	d2F	<	0	nên	hàm	số	đạt	cực	đại	có	điều	kiện,	() = 5 + 4√2.	
Tại	M 2	có	d2F	>	0	nên	hàm	số	đạt	cực	tiểu	có	điều	kiện,	() = 5 − 4√2.	
Ví dụ 2:	Tìm	cực	trị	của	u	=	x	–	2y	+	2z	với	điều	kiện	g(x,	y,	z)	=	x2	+	y 2	+	z2	–	1	=	0.	
Lời giải: 
Cách 1:	u'x	=	1,	u'y	=	–	2,	u’z	=	2,	g'x	=	2x,	g'y	=	2y,	g’z	=	2z	
∇⃗ (, , ) = ∇⃗ (, , ) ⟺
1
2
= −
2
2
=
2
2
⟺ 2 = −  = 	
Giải	hệ	phương	trình	
2 = −  = 
 +  +  − 1 = 0
,	các	điểm	tới	hạn	là	
 
1
3
, −
2
3
,
2
3
 ,  −
1
3
,
2
3
, −
2
3
	
Để	xét	xem	M 1	có	là	điểm	cực	trị	không,	ta	cho	x,	y,	z	những	số	gia	tương	ứng	là	 x,	 y,	
 z	đủ	nhỏ	và	xét	dấu	của	số	gia	 u,	
Δ = 
1
3
+ Δ − 2 −
2
3
+ Δ + 2 
2
3
+ Δ − 
1
3
− 2. −
2
3
+
2.2
3
 = Δ − 2Δ + 2Δ	
M ặt	khác	ta	phải	có	


+ Δ

+ −


+ Δ

+ 


+ Δ

= 1	
⟺
1
9
+
2
3
Δ + (Δ) +
4
9
−
4
3
Δ + (Δ) +
4
9
+
4
3
Δ + (Δ) = 1	
2
3
( x	–	2 y	+	2 z)	=	–( x2	+	 y2	+	 z2).	
Do	đó	 u	=	–
3
2
( x2	+	 y2	+	 z2)	<	0	n ếu	các	số	gia	không	đồng	thời	bằng	0.	
Vậy	M 1	là	điểm	cực	đại	và	u(M 1)	=	3.	Tương	tự,	M 2	là	điểm	cực	tiểu	và	u(M 2)	=	–	3.	
Nguyễn Thị Minh Ngọc Chương 1 – Toán 3 
51 
Cách 2: Áp dụng phương pháp nhân tử Lagrange:	
F	(x,	y,	z,	)	=	x	–	2y	+	2z	+	 (	x2	+	y 2	+	z2	–	1)	
⎩
⎨
⎧

 = 0

 = 0

 = 0
(, , ) = 0
⟺ 
 
1
3
, −
2
3
,
2
3
 ,  = −
3
2
 −
1
3
,
2
3
, −
2
3
 ,  =
3
2
Xét	dấu	∆ = 	 ∆,	thông	qua	xét	dấu	d2F	
 = 
  + 
  + 
 + 2
  + 2
  + 2
 	
= 2( +  + )	
Tại	M 1	có	d2F	<	0	nên	hàm	số	đạt	cực	đại	có	điều	kiện	
Tại	M 2	có	d2F	>	0	nên	hàm	số	đạt	cực	tiểu	có	điều	kiện	
Ví dụ 3:	M ột	hình	hộp	chữ	nhật	làm	từ	1	miếng	bìa	các	tông	12 .	Tìm	giá	trị	cực	đại	thể	
tích	của	cái	hộp.	
Lời giải:	Như	trong	ví	dụ	6,	ta	gọi	x,	y	và	z	tương	ứng	là	chiều	dài,	chiều	rộng	và	chiều	cao	
của	cái	hộp	theo	đơn	vị	mét.	Khi	đó	ta	tìm	GTLN	của	
 = 	
với	ràng	buộc	
(, , ) = 2 + 2 +  = 12	
Sử	dụng	phương	pháp	nhân	tử	Lagrange,	ta	tìm	các	giá	trị	x,	y,	z	và		sao	cho	∇⃗  = ∇⃗ 	
và	g(x,y,z)	=	12.	Dẫn	đến	hệ	phương	trình	
⎩
⎨
⎧

 = 


 = 


 = 

2 + 2 +  = 12
	Tương	đương	với	
2 	 = (2 + )	
3 	 = (2 + )	
4 	 = (2 + 2)	
5 	2 + 2 +  = 12	
Không	có	quy	tắc	chung	để	giải	một	hệ	phương	trình.	Đôi	khi	phải	dựa	vào	sự	khéo	léo.	
Ở	ví	dụ	này	ta	phải	chú	ý	rằng	nếu	nhân	hai	vế	của	(2)	với	x,	hai	vế	của	(3)	với	y,	và	hai	vế	
của	(4)	với	z,	thì	các	vế	trái	của	hệ	phương	trình	này	sẽ	giống	hệt	nhau.	Khi	đó	ta	có	
6 	 = (2 + )	
7 	 = (2 + )	
8 	 = (2 + 2)	
Ta	thấy	 ≠ 0	vì	nếu	 = 0	thì	từ	(2),	(3)	và	(4)	suy	ra	 =  =  = 0,	mâu	thuẫn	
với	(5).	Do	đó,	từ	(6)	và	(7)	ta	có	
2 +  = 2 + 	
Nguyễn Thị Minh Ngọc Chương 1 – Toán 3 
52 
suy	ra	 = .	Nhưng	 ≠ 0	(từ	z	=	0	sẽ	được	V	=	0),	vậy	x	=	y.	Từ	(7)	và	(8)	ta	có	
2 +  = 2 + 2	
suy	ra	2 = 	va	do	đó	(từ	 ≠ 0)	y	=	2z.	Nếu	thay	x	=	y	=	2z	vào	(5),	ta	được	
4 + 4 + 4 = 12	
Do	x,	y	và	z	đều	dương,	ta	có	z	=	1	và	vì	vậy	x	=	2	và	y	=	2.	
(Cách	khác	để	giải	hệ	phương	trình	(2	–	5)	là	rút		từ	các	phương	trình	(2)	(3)	(4)	rồi	
lập	hệ	phương	trình	với	x,	y,	z)	∎ 	
Ví dụ 4: Tìm	các	cực	trị	của	hàm	(, ) =  + 2	trên	đường	tròn	 +  = 1.	
Lời giải:	 Ta	 tìm	 cực	 trị	 của	 f	 với	 rang	 buộc	 (, ) =  +  = 1,	 sử	 dụng	 nhân	 tử	
Lagrange,	ta	giải	hệ	phương	trình	∇⃗  = . ∇⃗ 	và	g(x,y)	=	1,	có	thể	viết	như	sau 

 = 
 ;	
 = 
 ;	(, ) = 1	
Hay	
9 	2 = 2	
10 	4 = 2	
11 	 +  = 1	
Từ	 (9)	 ta	 có	 x	 =	 0	 hoặc	  = 1.	 Nếu	 x	 =	 0	 thì	 từ	 (11)	 được	
 = ±1.	Nếu	 = 1	thì	y	=	0	từ	(10),	vậy	từ	(11)	được	 = ±1.	Do	
đó	f	có	thể	có	cực	trị	tại	các	điểm	(0,1),	(0,-1),	(1,0)	và	(-1,0).	Tính	
các	giá	trị	của	f	tại	các	điểm	này,	ta	tìm	được	
(0,1) = 2;	(0, − 1) = 2;	(1,0) = 1;	(− 1,0) = 1	
Do	 đó	 GTLN	 của	 f	 trên	 đường	 tròn	  +  = 1	 là	
(0, ±1) = 2	và	GTNN	là	(±1,0) = 1.	Đối	chiếu	với	hình	2,	ta	thấy	
các	giá	trị	này	là	phù	hợp.	
(Trong	biểu	diễn	hình	học	cho	thấy	các	điểm	cao	nhất	và	thấp	nhất	trên	đường	cong	C	
trong	 hình	 2	 nằm	 trên	 paraboloid	  =  + 2	 và	 ở	 phía	 trên	 ràng	 buộc	 là	 đường	 tròn	
 +  = 1)	∎ 	
Ví dụ 5: Tìm	các	cực	trị	của	(, ) =  + 2	trên	hình	tròn	 +  ≤ 1.	
Lời giải:	Ta	so	sánh	các	giá	trị	của	 f	tại	các	điểm	tới	hạn	với	các	
giá	 trị	 tại	 các	 điểm	 trên	 biên.	 từ	 
 = 2	 và	 
 = 4,	 chỉ	 có	 một	
điểm	tới	hạn	là	(0,0).	Ta	so	sánh	giá	trị	của	f	tại	điểm	đó	với	các	
cực	trị	trên	biên	từ	ví	dụ	2:	
(0,0) = 0;	(±1,0) = 1;	(0, ±1) = 2	
Do	 đó	 GTLN	 của	 f	 trên	 hình	 tròn	  +  ≤ 1	 là	 (0, ±1) = 2	 và	
GTNN	là	f(0,0)	=	0.	
(Hình	3	mô	tả	về	phương	diện	hình	học	của	Ví	dụ	2.	Các	cực	trị	của	f	(x,	y)	=	x2	+	2y 2	
tương	ứng	với	các	đường	mức	mà	tiếp	xúc	với	đường	tròn	 +  = 1)	∎ 	
Ví dụ 6: Tìm	các	điểm	trên	mặt	cầu	 +  +  = 4	gần	nhất	và	xa	nhất	so	với	điểm	(3,1,-1).	
Hình 2 
Hình 3 
Nguyễn Thị Minh Ngọc Chương 1 – Toán 3 
53 
Lời giải:	Khoảng	cách	từ	một	điểm	(x,y,z)	đến	điểm	(3,1,-1)	là	
 =  ( − 3) + ( − 1) + ( + 1)	
Nhưng	biểu	thức	đại	số	sẽ	đơn	giản	hơn	nếu	ta	thay	GTLN	
và	GTNN	bằng	bình	phương	khoảng	cách	
 = (, , ) = ( − 3) + ( − 1) + ( + 1)	
Ràng	buộc	là	điểm	(x,y,z)	nằm	trên	mặt	cầu	sao	cho	
(, , ) =  +  +  = 4	
Theo	 phương	 pháp	 nhân	 tử	 Lagrange,	 ta	 giải	 ∇⃗  = . ∇⃗ ,
 = 4.	Ta	được	
12 	2( − 3) = 2	
13 	2( − 1) = 2	
14 	2( + 1) = 2	
15 	 +  +  = 4	
Cách	đơn	giản	nhất	để	giải	hệ	này	là	rút	x,	y,	z	theo		từ	(12),	(13),	(14),	và	thay	các	giá	
trị	này	vào	(15).	Từ	(12)	ta	có	 − 3 = 	hay	(1 − ) = 3	hay	 =

 
.	
[Chú	ý	rằng	1 −  ≠ 0	vì	từ	(12)	không	thể	có	 = 1].	Dễ	thấy	từ	(13)	và	(14)]	
 =
1
1 − 
;	 = −
1
1 − 
Do	đó	từ	(15)	ta	có	
3
(1 − )
+
1
(1 − )
+
(− 1)
(1 − )
= 4	
Suy	ra	(1 − ) =


;	1 −  = ±
√

,	vậy	
 = 1 ±
√11
2
Các	giá	trị	này	của		tương	ứng	với	các	điểm	(x,y,z):	
(

√
,

√
, −

√
)	và	(−

√
, −

√
,

√
)	
Dễ	thấy	giá	trị	của	f	tại	điểm	thứ	nhất	nhỏ	hơn,	vậy	điểm	gần	nhất	là	(

√
,

√
, −

√
)	và	
điểm	xa	nhất	là	−

√
, −

√
,

√
.	
(Hình	4	thể	hiện	mặt	cầu	và	điểm	gần	nhất	P	trong	ví	dụ	6.	Làm	thế	nào	để	tìm	được	
tọa	độ	của	P	mà	không	cần	tính?) 
2. Hai ràng buộc 
Hình 4 
Nguyễn Thị Minh Ngọc Chương 1 – Toán 3 
54 
Giả	sử	 ta	 muốn	 tìm	GTLN	và	GTNN	của	hàm	f(x,y,z)	
với	hai	ràng	buộc	(hai	điều	kiện)	g(x,y,z)	=	k	và	h(x,y,z)	=	c.	
Về	phương	diện	hình	học,	điều	này	có	nghĩa	 là	ta	tìm	các	
giá	 trị	 cực	 trị	 của	 f	 khi	 (x,y,z)	 bị	 giới	 hạn	 nằm	 trên	 giao	
tuyến	C	của	các	mặt	g(x,y,z)	=	k	và	h(x,y,z)	=	c.	(Xem	hình	
5).	Giả	sử	f	có	một	cực	trị	tại	điểm	(, , . ).	Ta	biết	từ	
phần	 đầu	 của	 phần	 này	 là	 ∇⃗ 	 là	 vuông	 góc	 với	 C	 tại	 P.	
Nhưng	ta	cũng	biết	rằng	∇⃗ 	vuông	góc	với	g(x,y,z)	=	k	và	
∇⃗ ℎ	vuông	góc	với	h(x,y,z)	=	c,	vậy	∇⃗ 	và	∇⃗ ℎ	cùng	vuông	góc	với	C.	Điều	này	nghĩa	là	vectơ	
gradient	∇⃗ (, , )	nằm	trên	mặt	phẳng	được	xác	định	bởi	∇⃗ (, , )	và	∇⃗ ℎ(, , )	
(ta	giả	sử	các	vectơ	gradient	này	khác	0	và	không	song	song).	Vì	vậy	có	các	số		và		(gọi	là	
các	nhân	tử	Lagrange)	sao	cho	
16 	 ∇⃗ (, , ) = ∇⃗ (, , ) + ∇⃗ ℎ(, , ) 	
Trong	trường	hợp	này	phương	pháp	Lagrange	dùng	để	tìm	các	giá	trị	cực	trị	bằng	cách	
giải	hệ	5	phương	trình	5	ẩn	x,	y,	z,		và	.	Hệ	phương	này	có	được	bằng	cách	viết	phương	
trình	(16)	ra	các	thành	phần	và	sử	dụng	các	phương	trình	ràng	buộc:	

 = 
 + ℎ
 	
 = 
 + ℎ
 	
 = 
 + ℎ
 	
(, , ) = 	ℎ(, , ) = 	
Chú ý:	 Trường	 hợp	 có	 hai	 ràng	 buộc,	 ta	 có	 thể	 tìm	,	,	 x0,	 y0,	 z0	 thoả	 mãn	 hệ	 năm	
phương	trình	
⎩
⎪
⎨
⎪
⎧

(, , ) + 
 (, , ) + ℎ
 (, , ) = 0

(, , ) + 
 (, , ) + ℎ
 (, , ) = 0

(, , ) + 
 (, , ) + ℎ
 (, , ) = 0
(, , ) = 0
ℎ(, , ) = 0
Ví dụ 7:	Tìm	GTLN	của	hàm	(, , ) =  + 2 + 3	trên	đường	cong	là	giao	tuyến	của	mặt	
phẳng	 −  +  = 1	và	mặt	trụ	 +  = 1.	
Lời giải:	 Ta	 tìm	 GTLN	 của	 hàm	 (, , ) =  + 2 + 3	 với	 các	
ràng	 buộc	 (, , ) =  −  +  = 1	 và	 ℎ(, , ) =  +  = 1.	
Điều	 kiện	 Lagrange	 là	 ∇⃗  = ∇⃗  + ∇⃗ ℎ,	 vậy	 ta	 giải	 hệ	 phương	
trình	
17 	1 =  + 2	
18 	2 = −  + 2	
19 	3 = 	
20 	 −  +  = 1 
21 	 +  = 1	
Hình 5 
Hình 6 
Nguyễn Thị Minh Ngọc Chương 1 – Toán 3 
55 
Thế	 = 3	(từ	(19))	vào	(17)	ta	được	2 = − 2,	vậy	 = −


.	Tương	tự,	từ	(18)	được	
=


	.	Thế	vào	(21)	ta	được	


+


= 1	
Và	do	đó	 =


;	 = ±
√

.	Khi	đó	 = ±

√
,  = ±

√
,	và	từ	(20),	 = 1 −  +  =
1 ±

√
.	Các	giá	trị	tương	ứng	của	f	là	∓

√
+ 2 ±

√
 + 3 1 ±

√
 = 3 ± √29	
Do	đó	GTLN	của	f	trên	đường	cong	là	3 + √29.	
Trong	hình	6,	mặt	 trụ	 +  = 1	giao	với	mặt	phẳng	x	–	y	+	z	=	1	theo	một	đường	
elip,	 trong	 ví	 dụ	 7	 ta	 đã	 tìm	 được	 giá	 trị	 nhỏ	 nhất	 của	 f	 	 khi	 (x,y,z)	 bị	 hạn	 chế	 nằm	 trên	
đường	elip.	∎ 	
Nguyễn Thị Minh Ngọc Chương 1 – Toán 3 
56 
Nguyễn Thị Minh Ngọc Chương 1 – Toán 3 
MỤC LỤC 
CHƯƠNG	2. 	 ĐẠO	HÀM	RIÊNG 	...........................................................................	Error! Bookmark not defined.	
2.1.	 Hàm	nhi ều	biến	......................................................................................................................................................	1	
2.1.1.	 Hàm hai biến...................................................................................................................................................	1	
2.1.2.	 Đồ thị	.................................................................................................................................................................	4	
2.1.3.	 Đường mức	.....................................................................................................................................................	6	
2.1.4.	 Hàm ba hoặc nhiều biến	.............................................................................................................................	9	
2.2.	 Giới	hạn	và	sự	liên	tục	.......................................................................................................................................10	
2.2.1.	 Giới hạn	..........................................................................................................................................................10	
2.2.2.	 Sự liên tục	......................................................................................................................................................14	
2.3.	 Đạo	hàm	riêng	.......................................................................................................................................................15	
2.3.1.	 Định nghĩa và cách tính	............................................................................................................................15	
2.3.2.	 Ý nghĩa của các đạo hàm riêng	..............................................................................................................18	
2.3.3.	 Hàm nhiều hơn hai biến	...........................................................................................................................20	
2.3.1.	 Đạo hàm cấp cao	............................................................................	Error! Bookmark not defined.	
2.4.	 M ặt	phẳng	tiếp	diện	............................................................................................................................................22	
2.4.1.	 Mặt phẳng tiếp diện	...................................................................................................................................22	
2.4.2.	 Vi phân	............................................................................................................................................................24	
2.4.3.	 Các hàm ba hoặc nhiều biến	...................................................................................................................25	
2.5.	 Quy	tắc	dây	chuyền	.............................................................................................................................................25	
2.5.1.	 Đạo hàm của hàm hợp	..............................................................................................................................25	
2.5.2.	 Đạo hàm hàm ẩn	.........................................................................................................................................29	
2.6.	 Đạo	hàm	theo	hướng	và	véc	tơ	gradient	....................................................................................................31	
2.6.1.	 Đạo hàm theo hướng	.................................................................................................................................31	
2.6.2.	 Véc tơ gradient	............................................................................................................................................33	
2.6.3.	 Hàm ba biến	..................................................................................................................................................34	
2.6.4.	 Giá trị lớn nhất của đạo hàm theo hướng	.........................................................................................35	
2.6.5.	 Mặt phẳng tiếp diện của mặt mức	........................................................................................................37	
2.6.6.	 Ý nghĩa của vectơ gradient	.....................................................................................................................39	
2.7.	 Giá	trị	lớn	nhất	và	giá	trị	nhỏ	nhất	...............................................................................................................39	
2.7.1.	 Cực trị không điều kiện	.............................................................................................................................39	
2.7.2.	 Giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất.	.....................................................................................................45	
2.7.3.	 Cực trị có điều kiện	.....................................................................................................................................47