Giáo trình Dao động kĩ thuật

 1
BỘ GIAO THÔNG VẬN TẢI 
TRƯỜNG ĐH GTVT TP HCM 
KHOA CƠ KHÍ 
CỘNG HÒA XÃ HỘI CHỦ NGHĨA VIỆT NAM 
Độc lập – Tự do – Hạnh phúc 
-----o0o----- 
DAO ĐỘNG KĨ THUẬT 
(Dành cho sinh viên các khối cơ khí) 
 Người lập: GV-Kỹ sư Thái Văn Nông 
 TS Nguyễn Văn Nhanh 
HCM - 2012 
 2
LỜI NÓI ĐẦU 
Dao động là một hiện tượng phổ biến trong tự nhiên và trong kỹ thuật. Các 
máy, các phương tiện giao thông vận tải, các tòa nhà cao tầng, những cây cầu... đó 
là các hệ dao động. Dao động là một quá trình trong đó một đại lượng vật lý (hóa 
học, sinh học...) thay đổi theo thời gian mà có một đặc điểm nào đó lặp lại ít nhất 
1 lần. 
Các đại lượng dao động có thể là các vị trí, vận tốc, gia tốc, năng lượng của 
vật, dòng điện, điện thế, ứng suất, âm thanh. v. vHiện tượng dao động xảy ra và 
cũng được nghiên cứu để ứng dụng (nếu có lợi) hoặc hạn chế (nếu có hại) trong 
rất nhiều lĩnh vực kỹ thuật khác nhau. 
Môn “Dao động kĩ thuật” giúp cho sinh viên nắm được những kiến thức cơ 
bản về lý thuyết dao động, các dạng dao động tuyến tính hệ 1 bậc, 2 bậc hoặc n 
bậc tự do và các phương pháp tính toán, ứng dụng trong kỹ thuật. 
 3
MỤC LỤC 
LỜI NÓI ĐẦU .......................................................................................................................... 2 
MỤC LỤC ................................................................................................................................ 3 
Chương 1 - NHỮNG VẤN ĐỀ CHUNG VỀ DAO ĐỘNG ........................................................ 5 
I. KHÁI NIỆM CHUNG......................................................................................................... 5 
1. DAO ĐỘNG VÀ DAO ĐỘNG CƠ ......................................................................... 5 
2. QUY LUẬT DAO ĐỘNG ....................................................................................... 7 
3. CÁC ĐẠI LƯỢNG ĐẶC TRƯNG CHO DAO ĐỘNG CƠ HỌC ........................... 10 
II. CÁC CÁCH BIỂU DIỄN DAO ĐỘNG .......................................................................... 11 
III. TỔNG HỢP VÀ PHÂN TÍCH CÁC DAO ĐỘNG.......................................................... 13 
1. DAO ĐỘNG CÙNG PHA ..................................................................................... 13 
2. CÁC DAO ĐỘNG CÙNG TẦN SỐ ...................................................................... 14 
3. CÁC DAO ĐỘNG KHÁC PHA ............................................................................ 16 
IV. CÂU HỎI VÀ BÀI TẬP CHƯƠNG 1 ............................................................................ 19 
Chương 2- DAO ĐỘNG CỦA HỆ MỘT BẬC TỰ DO ........................................................... 22 
I. MÔ HÌNH VÀ PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN CỦA HỆ MỘT BẬC TỰ DO...................... 22 
1. MÔ HÌNH ............................................................................................................. 22 
2. CÁC YẾU TỐ CẤU THÀNH MÔ HÌNH .............................................................. 23 
3. PHƯƠNG TRÌNH DAO ĐỘNG ............................................................................ 32 
II. DAO ĐỘNG TỰ DO KHÔNG CÓ LỰC CẢN .............................................................. 35 
1. MÔ HÌNH ............................................................................................................. 35 
2. PHƯƠNG TRÌNH DAO ĐỘNG ............................................................................ 35 
3. DẠNG DAO ĐỘNG VÀ CÁC THÔNG SỐ DAO ĐỘNG ..................................... 36 
III. DAO ĐỘNG TỰ DO CÓ LỰC CẢN CỦA HỆ 1 BẬC TỰ DO ..................................... 41 
1. TRƯỜNG HỢP TRONG HỆ CÓ SỨC CẢN MA SÁT KHÔ ................................. 41 
2. TRƯỜNG HỢP TRONG HỆ CÓ SỨC CẢN NHỚT............................................... 45 
IV. ẢNH HƯỞNG CỦA LỰC CẢN ĐẾN BIÊN ĐỘ VÀ TẦN SỐ DAO ĐỘNG TỰ DO .... 49 
1. ẢNH HƯỞNG CỦA LỰC CẢN ĐẾN BIÊN ĐỘ DAO ĐỘNG ............................. 49 
2. ẢNH HƯỞNG CỦA LỰC CẢN ĐẾN TẦN SỐ DAO ĐỘNG ............................... 52 
V. DAO DỘNG CƯỠNG BỨC CỦA HỆ MỘT BẬC TỰ DO .......................................... 53 
1. MÔ HÌNH VÀ PHƯƠNG TRÌNH DAO ĐỘNG.................................................... 53 
2. DẠNG VÀ CÁC THÔNG SỐ CỦA DAO ĐỘNG ................................................. 54 
VI. HỆ SÔ KHUYẾCH ĐẠI BIÊN ĐỘ VÀ MỘT SỐ MÔ HÌNH THƯỜNG GẶP VỀ DAO 
ĐỘNG CƯỠNG BỨC CỦA HỆ MỘT BẬC TỰ DO .............................................................. 56 
1. MÔ HÌNH 1 .......................................................................................................... 57 
2. MÔ HÌNH 2 .......................................................................................................... 58 
3. MÔ HÌNH 3 .......................................................................................................... 65 
4. MÔ HÌNH 4 ........................................................................................................... 71 
VII. DAO ĐỘNG CƯỠNG BỨC KHI CÓ SỨC CẢN MA SÁT KHÔ ................................. 76 
1. MÔ HÌNH VÀ PHƯƠNG TRÌNH DAO ĐỘNG.................................................... 76 
2. DẠNG VÀ THÔNG SỐ CỦA DAO ĐỘNG .......................................................... 77 
VIII. CÂU HỎI ÔN TẬP CHƯƠNG II ................................................................................ 79 
Chương 3 - DAO ĐỘNG CỦA HỆ NHIỀU BẬC TỰ DO ....................................................... 83 
I. MÔ HÌNH CỦA HỆ NHIỀU BẬC TỰ DO VÀ PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN MÔ TẢ 
HỆ DAO ĐỘNG ..................................................................................................................... 83 
 4
1. MÔ HÌNH ............................................................................................................. 83 
2. PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN MÔ TẢ HỆ DAO ĐỘNG ........................................ 84 
II. DAO ĐỘNG TỰ DO CỦA HỆ NHIỀU BẬC TỰ DO .................................................. 90 
1. HỆ PHƯƠNG TRÌNH DAO ĐỘNG TỰ DO VÀ CÁCH GIẢI .............................. 90 
2. VÍ DỤ.................................................................................................................... 91 
III. DAO ĐỘNG CƯỠNG BỨC CỦA HỆ NHIỂU BẬC TỰ DO ......................................... 95 
1. MÔ HÌNH VÀ PHƯƠNG TRÌNH DAO ĐỘNG .................................................... 95 
2. DẠNG VÀ CÁC THÔNG SỐ CỦA DAO ĐỘNG ................................................. 96 
3. CÁC BÀI TOÁN ỨNG DỤNG ............................................................................ 100 
IV. CÂU HỎI VÀ BÀI TẬP CHƯƠNG 3 .......................................................................... 106 
PHỤ LỤC ............................................................................................................................. 108 
Bảng 1 - BẢNG THỨ NGUYÊN MỘT SỐ ĐẠI LƯỢNG .................................................. 108 
Bảng 2 - NHỮNG BỘI SỐ VÀ ƯỚC SỐ CỦA ĐƠN VỊ ĐO ............................................. 109 
TÀI LIỆU THAM KHẢO ..................................................................................................... 110 
 5
Chương 1 - NHỮNG VẤN ĐỀ CHUNG VỀ DAO ĐỘNG 
I. KHÁI NIỆM CHUNG 
1. DAO ĐỘNG VÀ DAO ĐỘNG CƠ 
a) Định nghĩa 
Trong cuộc sống cũng như trong kỹ thuật, chúng ta thường gặp các đại 
lượng có giá trị biến đổi theo thời gian, lặp đi lặp lại xung quanh một vị trí cân 
bằng. Ta nói các đại lượng đó dao động. 
Các đại lượng dao động có thể là các vị trí, vận tốc, gia tốc, năng lượng của 
vật, dòng điện, điện thế, ứng suất, âm thanh..v..vHiện tượng dao động xảy ra và 
củng được nghiên cứu để ứng dụng (nếu có lợi) hoặc hạn chế (nếu có hại ) trong 
rất nhiều lĩnh vực kỹ thuật khác nhau. Nhưng ở đây do hạn chế về nội dung và 
thời lượng củng như mục đích của giáo trình chúng ta chỉ quan tâm nghiên cứu 
dao động cơ đó là sự thay đổi vị trí của các vật (biểu hiện qua các chuyển vị) xung 
quanh vị trí cân bằng. 
- Nếu vật dao động tịnh tiến theo các trục thì chúng có chuyển vị đường, 
- Nếu vật lắc qua lắc lại xung quanh các trục thì chúng có chuyển vị góc. 
Vậy, Dao động là một quá trình, trong đó một đại lượng vật lý thay đổi 
theo thời gian, mà có một đặc điểm nào đó lặp lại ít nhất một lần. 
Hoặc Dao động là sự thay đổi vị trí của các vật xung quanh vị trí cân 
bằng. 
Trong kỹ thuật, dao động vừa có hại vừa có lợi. Lợi khi dao động được sử 
dụng để tối ưu hóa một số kỹ thuật như: dầm, kĩ thuật rung Hại khi dao động 
làm giảm độ bền của máy, gây ra hiện tượng mỏi của vật liệu, dẫn tới phá hủy, 
ảnh hưởng đến tuổi thọ của các công trình. 
Ví dụ dao động của con lắc (hình 1-1) có chuyển vị góc xung quanh trục đi 
qua điểm treo A còn dao động của một vật nặng treo trên lò xo có chuyển vị 
đường dọc theo trục đứng Z. 
 6
a) Dao động góc của con lắc 
b) Dao động đường của vật nặng 
c) Dầm chịu uốn 
d) Thanh đàn hổi chịu kéo nén 
Hình 1.1 – Các ví dụ về dạng dao động 
b) Phân loại dao động: 
* Căn cứ vào cơ cấu gây nên dao động: 
- Dao động tự do; 
- Dao động cưỡng bức; 
- Dao động tham số; 
- Tự dao động; 
- Dao động hỗn độn; 
- Dao động ngẫu nhiên. 
* Căn cứ vào số bậc tự do: 
- Dao động của hệ một bậc tự do; 
- Dao động của hệ nhiều bậc tự do; 
- Dao động của hệ vô hạn bậc tự do. 
 7
* Căn cứ vào phương trình chuyển động: 
- Dao động tuyến tính; 
- Dao động phi tuyến. 
* Căn cứ vào dạng chuyển động: 
- Dao động dọc; 
- Dao động xoắn; 
- Dao động uốn. 
2. QUY LUẬT DAO ĐỘNG 
Dao động có thể xảy ra theo nhiều quy luật khác nhau, nhưng ta thường gặp 
nhất là các quy luật sau đây: 
a. Dao động theo quy luật tuần hoàn: 
 q(t + T) = q(t) (1-1) 
Có nghĩa là cứ sau một thời gian T nhất định giá trị của q lại trở về trị số củ. 
Thời gian T nhỏ nhất (tính bằng giây) gọi là chu kỳ của dao động. 
Hình 1.2: Dao dộng theo quy luật tuần hoàn 
b. Dao động họ hình sin: là dao động xảy ra theo quy luật ; 
 q(t) = A(t)cos(t)t + B(t)sin(t)t (a) (1-2) 
 q(t) = qo(t)cos[(t)t + (t)] (b) 
trong đó: 
A, B, qo , , là những đại lượng biến đổi chậm theo thời gian. 
- A là giá trị lớn nhất của q đạt được trong một chu kỳ gọi là biên độ. 
-  gọi là tần số vòng, nó là số dao động thực hiện được trong 2 [s],  đo 
bằng Hectz ký hiệu là [Hz]=[1/s]=[s-1], 
 8
 gọi là pha ban đầu hay góc lệch pha đo bằng [rad]. 
Chu kỳ của dao động họ hình sin là chu kỳ của hàm số sin 

 2
 T 
Như vậy sau một chu kỳ, do A(t), (t), (t) biến đổi đại lượng dao động họ 
hình sin không trở về trị số củ nữa. 
 Dao động họ hình sin chỉ có biên độ biến đổi theo thời gian gọi là dao 
động họ hình sin biến biên. Loại dao động này có nhiều ứng dụng trong kỹ thuật. 
Ví dụ dao động có biên độ giảm theo hàm số e jt gọi là dao động tắt dần 
xảy ra khi dập tắt các dao động bằng giảm chấn ( hình 1-3), dao động có biên độ 
biến đổi theo hàm số sin được sử dụng nhiều trong kỷ thuật điện và vô tuyến điện. 
Hình 1.3: Dao động họ hình sin 
a -Dao động tắt dần (biến biên) b-Dao động tần số thay đổi (biến tần) 
Dao động họ hình sin chỉ có tần số biến đổi theo thời gian gọi là dao động 
họ hình sin biến tần. Loại dao động này cũng được ứng dụng nhiều trong kỹ thuật 
điện và vô tuyến. 
a. Dao động điều hoà: là dao động họ hình sin có A, , đều là hằng số, 
quy luật của nó là: 
q(t) = A.cos t + B. sint (a) (1-3) 
 = qo .cos(t + ) (b) 
 Dao động điều hoà là dao động họ hình sin nhưng cũng có các tính 
chất của dao động tuần hoàn vì sau một chu kỳ nó lại trở về trị số cũ. 
 9
+ chu kỳ của dao động điều hoà là 

 2
 T [s] (1-4) 
+ số nghịch đảo của chu kỳ gọi là tần số, kí hiệu là f và tính bằng hectz: 
T
f
1
 (1-5) 
+ Như vậy tần số vòng : 
 = 2 f [Hz] (1-6) 
Là số dao động thực hiện được trong thời gian 2 giây. 
+ qo là giá trị lớn nhất mà đại lượng q có thể đạt được trong một chu kỳ: 
qo = 22 BA (1-7) 
ứng với khi cos(t + ) = 1 gọi là biên độ của dao động . 
+ (t + ) [rad] gọi là pha của dao động . (1-8) 
+ [rad] gọi là pha ban đầu hay góc lệch pha. (1-9) 
Tất cả các thông số trên của dao động điều hoà đều là hằng số theo thời 
gian. Hình 1-4 biểu diễn quy luật dao động điều hoà (1-3) trên toạ độ q(t) ta cũng 
thấy được ý nghĩa của các thông số nói trên. 
Hình 1.4 : Dao động điều hoà 
Dao động điều hoà cũng là loại dao động được nghiên cứu nhiều nhất, bởi 
vì một dao động theo quy luật tuần hoàn q(t) bất kỳ có thể phân tích thành tổng 
của các dao động điều hoà theo công thức Fourier: 
 10
q(t) = A + 
 1n
(An cosnt + Bn sinnt) (1-10) 
Do hạn chế về nội dung và thời gian trong giáo trình này chúng ta cũng chỉ 
có thể đi sâu nghiên cứu các dao động họ hình sin và dao động điều hoà mà thôi. 
3. CÁC ĐẠI LƯỢNG ĐẶC TRƯNG CHO DAO ĐỘNG CƠ HỌC 
3.1. Chu kỳ dao động T[s] – là khoảng thời gian ngắn nhất để vật thực hiện 
được một dao động toàn phần hay là khoảng thời gian ngắn nhất để trạng thái dao 
động được lặp lại như cũ. 
Nếu trong khoảng thời gian t, vật thực hiện được N dao động thì ta có chu kỳ 
N
t
T
 [s] 
3.2. Tần số dao động f [Hz] là số lần dao động trong một đơn vị thời gian 
(tức là 1 giây). Nó là đại lượng nghịch đảo của chu kỳ dao động. 
T
f
1
 [Hz] 
3.3. Tần số vòng (gốc)  [rad/s] là số dao động mà vật thực hiện được 
trong thời gian 2 giây. 
f
T
 2
2
 [rad/s] 
3.4. Ly độ, vận tốc và gia tốc của vật 
- Ly độ của vật dao động: )cos(0  tqq [m, cm, mm] 
- Vận tốc của vật dao động : )sin(0
'  tqqV [m/s, cm/s, mm/s] 
- Gia tốc của vật dao động : qtqVqa 220
''' )cos(   [m/s2, cm/s2, 
mm/s2] 
3.5. Năng lượng trong dao động 
Định luật bảo toàn năng lượng: Trong quá trình dao động thì động năng 
và thế năng có sự biến đổi qua lại, động năng tăng thì thế năng giảm và ngược 
lại, nhưng tổng của chúng là cơ năng (tức năng lượng toàn phần) luôn được 
 11
bảo toàn. 
constWWW tđ 
Trong đó : W - cơ năng toàn phần; 
đW - động năng; 
tW - thế năng. 
Ví dụ một vật dao động điều hòa có PTDĐ như sau )cos(0  tqq 
Động năng )(sin)(sin
2
1
2
1 222
0
22   tWtqmmVWđ 
Thế năng )(cos)(cos
2
1
2
1 222
0
222   tWtqmqmWt 
Cộng 2 vế của 2 phương trình trên ta được: 
constqmWWW tđ 
2
0
2
2
1
 
II. CÁC CÁCH BIỂU DIỄN DAO ĐỘNG 
Chúng ta có thể biểu diễn dao động bằng phương trình đại số như phương 
trình (1-3) hay bằng đồ thị như hình 1.2, 1. 3, 1.4 đã giới thiệu. 
Qua đó tính toán được các đặc trưng cơ bản của chúng như biên độ, tần số, 
góc lệch pha theo các công thức nêu trên. 
Ở đây chúng ta làm quen với các phương pháp biểu diễn dao động bằng số 
phức và véctơ quay là những phương pháp hay dùng để nghiên cứu dao động sau 
này. 
Nếu chúng ta cộng thêm vào vế phải của phương trình biểu diễn dao động 
điều hoà (1-3) một lượng phức tương ứng là j.qo sin(t + ), thì vế phải của nó sẽ 
trở thành một số phức : 
q(t) = qo cos(t + ) + j qo sin(t + ) (a) (1-11) 
 = qo e
j(t+ ) = qo e
jt .ej 
Với j là đơn vị ảo : j2 = -1. 
Biểu diễn trên mặt phẳng số q sẽ là một véctơ có độ dài A = qo và làm với 
 12
trục thực góc (t + ) (Hình 1. ...  thời điểm t lò xo sau có độ nhún Z1 còn lò xo trước có độ nhún Z2 
hình 3-3 thì ta viết được 2 phương trình cân bằng lực và mô men: 
 0zF 
02211
..
 ZCZCZm (a) 
 0zM 
0.. 222111
..
 sZCsZCJ (b) 
Thay Z1=Z-s1. 
 Z2= Z+s2. 
Phương trình trở thành: 
0)s(Z)s-(Z 2211
..
 CCZm 
0)s(Zs)s-(Zs 222111
..
 CCJ 
Hay 
0)s(-)ZCC( 112221
..
 sCCZm 
0)s(-)ZsC(C 211
2
221122
..
 sCCsJ 
Dưới dạng ma trận : 
0
0
)()(
)()(
0
0
2
22
2
112211
221121
..
..
Z
sCsCsCsC
sCsCCCZ
J
m
Nếu C1s1= C2s2 thì 2 phương trình sẽ độc lập với nhau, và do đó 2 dạng dao 
động cũng độc lập với nhau. Điều kiện này có nghĩa là trọng tâm của xe trùng với 
tâm dao động. 
Ví dụ 2: 
Xác định tần số và dạng dao động tự do của các vật thể m1,m2 của toa xe 
trong mô hình 3-3. bởi vì các giảm chấn không ảnh hưởng nhiều đến tần số nên ta 
 93
có thể bỏ qua. Mô hình dao động này sẽ đơn gian hơn như ( hình 3-4). 
Phương trình dao động theo (3-3) với 
 0K là: 
0
0
)(0
0
2
1
211
11
..
2
..
1
2
1
Z
Z
CCC
CC
Z
Z
m
m
 (3-12) 
Tìm nghiệm dưới dạng (3-6): 
tj
o
ot
o eZ
Z
eZZ  
2
1.
j 
Thì ZjZ 
..
Thay vào (3-12) ta được : 
0
0
0
)(
)(
2
12
211
112 
 tjo
tj
o eZm
m
CCC
CC
eZMC   
Bởi vì ejt không triệt tiêu nên : 
 94
0
0
0
)( 2
12
211
11 
oZm
m
CCC
CC
 (3-13) 
Hệ phương trình đại số này sẽ lhông có nghiệm tầm thường khi : 
0
0
0
)(
det
2
12
211
11 
m
m
CCC
CC
 
Đây chính là phương trình tần số. 
Thực hiện phép tính trong ngoặc ta được: 
0
)(
det
2
2
211
11
2
1 
mCCC
CmC


Hay (c1-
2m1)(c1+c2-
2m2)-c1
2 =0 
m1m2
4- m1(c1+c2)
2-c2m2
2=0 
Từ đó : 4- 0
.
.
)(
21
212
22
2
1
1 1 
mm
cc
m
c
m
c
m
c
 
Đây là một phương trình bậc 4 đối với . Giải phương trình này ta được 4 
trị số của , trong đó hai trị số âm không có ý nghĩa. 
Uj 
2
1
2
2
1
12
12 2
1
m
c
m
c
m
c
 = 
2
2
1
2
2
1
1
4
1
m
c
m
c
m
c (3-14) 
Với các ký hiệu: 
1
1
11 m
c
  ((a) (3-15) 
T’ou
2
2
22 m
c
  ku ((b) 
2
1
21 m
c
  (c) 
Ta tìm được 2 trị số >0 thỏa mãn điều kiện của bài toán: 
2
22
2
11
22
22
2
21
2
11
2
22
2
21
2
112.1 .)(4
1
)(
2
1
 (3-1((3-16) 
 95
Trong trường hợp này dao động tự do của hệ sẽ có 2 tần số khác nhau. 
Nếu 1 < 2 thì 1 gọi là tần số thấp, còn 2 gọi là tần số cao. 
Nghiệm của hệ (3-12) sẽ biểu diễn dạng dao động tự do của các vật thể. 
Để tìm nghiệm này ta cần giải hệ phương trình đại số (3-13), để tìm các 
vectơ riêng biểu diễn biên độ của các dao động thành phần. 
- Thay 1 vào hệ (3-13) rồi giải ra ta tìm được vectơ riêng: 
1
1
01 B
A
Z 
- Thay 2 vào hệ (3-13) rồi giải ra ta tìm được vectơ riêng: 
2
2
02 B
A
Z 
Như vậy mỗi vật thể sẽ đồng thời tham gia dao động với 2 tần số khác nhau 
02
2
01
1 ZeZeZ tjtj  
Hay là: 
tjtj eAeAZ 22
1
11
 (a) (3-17) 
tjtj eBeBZ 22
1
12
 (b) 
Từ (3-13) ta thấy các dao động có cùng tần số thì tỉ số các biên độ sẽ là 
hằng số: 
- Đối với các dao động có tần số thấp: 
2
11
2
1
1
1
2
11
1
1
1
2 1
.


c
mC
A
B
Z
Z (a). 
- Đối với dao động có tần số cao: 
2
11
2
2
1
1
2
21
2
2
1
2 1


c
mc
A
B
Z
Z (b) (3-18) 
III. DAO ĐỘNG CƯỠNG BỨC CỦA HỆ NHIỂU BẬC TỰ DO 
1. MÔ HÌNH VÀ PHƯƠNG TRÌNH DAO ĐỘNG 
Dao động cưỡng bức là dao động của hệ dưới tác dụng của các lực kích 
thích vào 1 hay nhiều vật thể trong hệ. Mô hình của nó như đã nói ở trên là một 
 96
hay nhiều vật thể liên hệ với nhau cùng dao động dưới tác dụng của các lực kích 
thích. Phương trình dao động thường là 1 hệ phương trình vi phân cấp 2 không 
thuần nhất, khi viết dưới dạng ma trận theo (3-1) là: 
 FqCqKqM  
 Trong đó các ý nghĩa của các đại lượng trong vế trái chúng ta đã hiểu biết 
qua công thức (3-4) khi nghiên cứu dao động tự do. 
 Vế phải là vectơ lực kích thích, nó phải có ít nhất một phần tử khác 
không, đó là các lực hay mômen kích thích dao động. 
Lực kích thích vào các vật thể có thể theo nhiều qui luật khác nhau, do 
khuôn khổ của giáo trình này chúng ta chỉ nghiên cứu trường hợp kích thích điều 
hòa. 
 Khi F có dạng: 
 tjtjjtj eFeeFeFF   *00
)(
0 .
 
Trong đó: 
tjeFF  .0
*
0 là vectơ biên độ phức của các lực kích thích: 
F : Vectơ biên độ của các lực kích thích. 
 : tần số vòng của lực hay mômenkích thích. 
2. DẠNG VÀ CÁC THÔNG SỐ CỦA DAO ĐỘNG 
 Ta tìm nghiệm riêng của (3-1) biểu diễn dao động cưỡng bức của hệ dưới 
dạng: 
 tjtjjtj eqeeqeqq   *
00
)(
0
. (3-12) 
Trong đó cũng như ở trên: 
tjeqq  .
0
*
0
 là vectơ biên độ phức của dao động; 
0
q - vectơ biên độ của dao động. 
Khi đó các đạo hàm: qjq   (a) (3-21) 
 97
Và qq 2  (b) 
Thay vào phương trình dao động: 
tjtj eFeqKjMC    0
.
0
.
2 )( 
Khử tje  ta được hệ phương trình đại số dạng phức: 
0
.
0
.
2 )( FeqKjMC tj    
Từ đó: 0
.
12
.
0 )( FKjMCq   
 (3-22) 
Ma trận: 12 )()(    KMCjH (3-23) 
Là ma trận có các phần tử là số phức được gọi là hàm truyền của hệ. 
Viết lại (3-22) có chú ý đến (3-23) ta được công thức tính biên độ phức của 
hệ dao động cưỡng bức: 
.
0
.
)( FJHq  (3-24) 
Như vậy theo (3-20) dao động cưỡng bức của hệ là những dao động điều 
hòa có tần số bằng tần số Ωcủa lực kích thích, còn biên độ phức của chúng (bao 
gồm biên độ và góc lệch pha) thì xác định bằng công thức (3-24) thông qua tích 
của Hàm truyền và biên độ phức của lực kích thích. 
1. Ví dụ: Giải hệ phương trình (3-3): 
 0
0 2
1
m
m
 ..1
..
2
Z
Z
 + 
1
21
1
)(
K
KK
K
K
1
2
Z
Z

 + 
1
21
1
2 )(
c
cc
c
c 
 1
2
Z
z = 

0
tj
O eF
để tìm dao động của các vật thể m1, m2.trong mô hình toa xe hình 3-2. 
Hệ phương trình có thể viết ngắn gọn dưới dạng (3-1). 
 FZCZKZM 
...
Ta tìm nghiệm của hệ dưới dạng: 
 tjeZZ  0 (3-25) 
 98
Trong đó: 
0Z là vectơ biên độ phức của nghiệm: Z0= 
 tj
tj
eZ
eZ
1
0
2
0
 (3-26) 
Khi đó: ZZ  
.
 và ZZ 2  
Thay vào phương trình dao động (3-1) ta được: 
[
tjtj eFeZKjMC    0
.
0
.
2 ))( 
Khử tje  ở cả 2 vế, ta đi đến một hệ phương trình đại số dạng phức: 
0
.
0
.
2 ))( FzKjMC   (3-27) 
Ta cần giải hệ phương trình này để tìm vectơ biên độ phức 10z 
Đây là một hệ phương trình đại số tuyến tính dạng phức, không thuần nhất, 
có vế phải khác không. Có nhiều phương pháp để giải hệ này. 
Ký hiệu ma trận hệ số ((phần trong ngoặc vuông) là A . Sauk hi thực hiện 
phép tính ta thấy nó là một ma trận vuông cấp 2 với 4 phần tử phức: 
 A 
  
   
  
 
)(
)()(
)(
)(
11
212
2
21
11
2
1
11
KJC
kkjmCC
KJmC
KJC (3-28) 
Thay các phần tử bằng ký hiệu có thể viết gọn hơn: 
 A 
 12
22
11
21
A
A
A
A
 (3-29) 
* Đối với những hệ có nhiều bậc tự do ta cần tính hàm số truyền H (j ) 
bằng cách tính ma trận nghịch đảo của A : 
 H (j ) = 1 A 
Khi đã có hàm số truyền ta tính được: 
 99
 0
.
Z H (j )
.
0F
Tuy vậy ma trận A là một ma trận phức nên công việc này tương đối khó 
khăn, đòi hỏi phải có những phần mềm chuyên dụng mới nghịch đảo được. 
 Trong trường hợp đang xét, số bậc tự do nhỏ, ta có thể tính 
nghiệm của hệ phương trình đại số 
.
00
.
FZA theo công thức Cramer. 
A
A
F
A
Z
A
AF
detdet
det
12
0
0
01
12
220 
 (a) (3-30) 
A
A
F
A
Z
F
A
A
detdet
det
11
0
0
02
0
11
21 
 (b) 
Thay  1112 KjCA
12
11 )(
 jeKC  
Vào 
1
1
1 C
K
arctg

22
1
2
1
2
111
2
111 )()()(
 jeKmCKjmCA     
Với 
1
2
1
1
2 mC
K
arctg
 

 detA=A11A22 –A12A21 =L+jN = 322 jeNL (3-31) 
Với 
L
N
arctg 3 
Trong đó : 
L = 2211
2
12
2
2
2
1 ))((     KKmCmCmC (a) (3-32) 
N = ( ))()( 2
2
1
2
211
2
12 mmCKmCK    (b) 
Thay giá trị của AAA det, ,1211 vào (3-30) ta tính được các phần tử của vectơ 
biên độ phức. 
 100
)(
22
2
1
2
1
001
3)( 
 
 je
NL
KC
FZ (a) (3-33) 
)(
22
2
1
22
11
002
32
)()( 
  
 je
NL
KmC
FZ (b) 
Nghiệm của phương trình dao động sẽ là: 
)(
22
2
1
2
1
01
32
)( 
 
 tje
NL
KC
FZ (a) (3-34) 
)(
22
2
1
22
1
02
321
)()( 
  
 je
NL
KmC
FZ (b) 
3. CÁC BÀI TOÁN ỨNG DỤNG 
 BÀI TOÁN 1: Trục quay là bộ máy thường gặp trong kỹ thuật như trục có 
gắn bánh răng, pu-li hay bánh đà, mô hình của nó là một đĩa tròn có trọng tâm S 
không trùng với tâm hình học O được gắn chặt trên một trục xuyên qua tâm hình 
học và vuông góc với mặt phẳng của đĩa, vị trí của đĩa ở giữa trục. 
Trục quay thường được dẫn động từ những nguồn động lực, do đó nó có 
năng lượng dự trữ. Trong những điều kiện nhất định nguồn năng lượng đó có thể 
biến thành dao động uốn làm cho chuyển động của trục trở nên mất ổn định nhất 
là khi trọng tâm của đĩa không trùng với trục quay. Giả sử đĩa có khối lượng m đặt 
tại D lệch tâm với trục hình học một khoảng e. Khi quay với vận tốc  nó sinh ra 
lực quán tính F=-m2e làm cho trục bị uốn. 
 101
Nếu hình chiếu của độ uốn trên các trục Z và Y là a và b (hình 3-6) thì tọa 
độ trọng tâm của đĩa trên hệ trục là: 
Zs = a+ e cos 
Ys = b+ esin 
Phương trình vi phân chuyển động của đĩa theo các trục đó là: 
m sz
..
+ Ca= 0 
 m sY
..
+ Cb= 0 
Ca,Cb : là hình chiếu của các lực đàn hồi trên các trục Z và Y. 
C: là độ cứng chống uốn của trục. 
Thay giá trị đạo hàm bậc 2 của Zs và Ys vào, ta có: 
m
..
a + Ca = me 2 cos t 
m
..
b + Cb = me 2 sin t 
Nghiệm của các phương trình này là: 
a= te 


cos
12
2
 vaø b = te 


sin
12
2
Khi  sẽ xảy ra cộng hưởng làm cho biên độ tăng lên. Vận tốc quay đó 
gọi là vận tốc quay tới hạn. Từ điều kiện th =  ta có: 
 102
m
c
th  
Vận tốc tới hạn th chỉ phụ thuộc vào các tham số của hệ, th càng lớn khi 
trục càng cứng và đĩa càng nhẹ. 
Với một vận tốc quay nhất định, tâm O1 của đĩa sẽ chuyển động trên một 
vòng tròn bán kinh: 
 r =
1
2
2


e 
Khi đó tâm quay O,tâm O1 của đĩa và trọng tâm S sẽ nằm trên một đường 
thẳng. 
a- Khi  th 
Hình 3.6 - Vị trí tương đối của các điểm O, O1, S 
Vị trí tương đối giữa các điểm O , O1 và S (hình 3-6) sẽ khác nhau, tùy 
thuộc vào tỷ số /. 
-Khi  , trọng tâm S nằm ngoài đoạn OO1 (hình a), 
-Khi  , trọng tâm S nằm trong đoạn OO1 (hình b). 
Hình 3-7 biểu diễn quan hệ giữa r/e (gọi là độ uốn tương đối) với tỉ số các 
 103
tần số vòng /, ta nhận thấy: 
* Khi quay chậm ( nhỏ) thì độ uốn bé,  tăng lên thì độ uốn cũng tăng 
lên. 
 Khi trọng tâm S cách xa tâm quay hơn tâm hình học (nằm ngoài OO1). 
* Khi  = th 1 
 thì độ uốn 
e
r -> 
* Sau miền tới hạn, khi  > th độ uốn trở về hữu hạn, nhưng có hướng 
ngược lại với độ lệch tâm (r và e trái dấu), trọng tâm S nằm trong đoạn OO1. 
* Khi  rất lớn, trục quay rấ nhanh, trọng tâm S của đĩa có xu hướng trở về 
gần tâm quay O. Khi  thì r -e, nghĩa là ở tốc độ quay rất lớn sẽ xãy ra 
hiện tượng tự định tâm của đĩa. 
Hình 3.7 - Đồ thị độ uốn tương đối 
Hình 3.8 -Dao động xoắn của trục
BÀI TOÁN 2: Giảm chấn thủy lực: 
Khi một đĩa tròn mômenquán tính J2 gắn trên một đoạn trục có độ cứng 
chống xoắn 2C (hình 3-S), khi chịu kích thích bởi moment: 
Mkt =Me
j t 
Sẽ có dao động cưỡng bức biểu diễn bởi phương trình : 
J2
..
 + 2C = M0e
 j t 
Dạng của dao động này theo (2-74) là: 
 104
 2 20 e
 j t - 
Trong đó: 
22
02
2
02
02
0
2
02
0
1
02
0
20 .1
1
.
 



C
M
C
M
y
C
M 
2
02
02 J
C
  và 0 arctgO 
Để dập tắt dao động này ta nối tiếp vào đĩa J2 một đoạn trục có độ cứng 
1C và một đĩa có mômen quán tính tính J1 (hình 3-9). 
Khi đó hệ sẽ trở thành 2 bậc tự do có phương trình dao động là: 
J1
..
1 + 0)( 211 C (a)
 J2 2
..
 - tJ02022101 eM.)(
 CC (b) 
Hay dưới dạng ma trận: 
 0
0 2
1
j
J
 ..
..
1
2
Z
Z
 + 
02
0201
01
02 )(
C
CC
C
C 
 1
2
= 

0
eM tJ0
 105
Hệ phương trình này có dạng giống như (3-12) khi ma trận giảm chấn 
0 K . 
Nghiệm của nó tương tự như (3-34), với K1=K2=0 dẫn đến các góc lêch pha 
bằng 0 và N=0, ta có: 
L
C
Mo 011 e
 j t (a) 
tje
L
JC
Mo 
 
2
101
2 e
 j t (b) 
Theo (3-32): 
1
2
012
2
022
2
01 ))(( JCJCJCL    
Nếu L ≠ 0 chúng ta chọn 0)( 1
2
01  JC thì 02 nghĩa là đĩa J2 sẽ hoàn 
toàn không dao động. Đó là nguyên lý của giảm chấn động lực. 
 106
 IV. CÂU HỎI VÀ BÀI TẬP CHƯƠNG 3 
1. Thành lập mô hình và viết PTDĐ của hệ 2 và nhiều bậc tự do. 
Hình BT3.1 -Nối toa xe 
2. Đối với hệ dao động tự do cũng như dao động cưỡng bức 
nhiều bậc tự do cần nắm vững cách: 
* Thành lập mô hình. 
* Viết phương trình dao động. 
* Cách giải hệ phương trình dao động 2 bậc tự do bằng phương pháp 
giải tích. 
* Cách giải hệ phương trình và xét điều kiện xảy ra mất ổn định bằng bài 
toán giá trị riêng trên máy tính. 
Hình BT3.2- Mô hình ôtô 
 107
3. Khi dồn toa (hình BT3-1) một toa tàu chuyển động với vận tốc V đến 
mốc vào một toa khác đứng yên .Xác định quy luật chuyển động tương đối của 
các toa sau khi móc nối biết khối lượng của các toa bằng m1,m2 và độ cứng 
mốc nối là C bỏ qua ma sát của bánh xe và mặt đường. 
Hình BT3.3 -Giảm chấn động lực 
4. Mô hình ô tô 2 bậc tự do chạy trên mặt đường gồ ghề lượn sóng biểu 
diễn trên hình BT.3-2 .Biết khối lượng thùng xe m1=800kg, khối lượng bánh 
xe m2= 200kg, Tổng độ cứng hệ treo C=5.10
4N/m,Tổng độ cứng các lốp xe 
C=6.104N/m. 
 Hãy viết phương trình dao động của cơ hệ , tính các tần số dao động 
tự do và tính tốc độ tới hạn xảy ra cộng hưởng. Biết mặt đường hình sóng có 
L=1m và h=2m 
 5. Để dập tắt dao động của một khối lượng m1 (hình BT3-3) đặt trên lò 
xo C1 do lực kích thích F= tSinF 0 gây ra người ta treo vào nó một khối lượng 
m2 qua lò xo C2. 
Tính toán các giá trị của m2 và độ cứng lò xo C2 đó để dao động của m1 là 
nhỏ nhất. 
 108
PHỤ LỤC 
Bảng 1 - BẢNG THỨ NGUYÊN MỘT SỐ ĐẠI LƯỢNG 
Thường dùng khi tính toán dao động 
T 
Đại lượng Ký hiệu Đơn vị Ghi chú 
Chuyển vị : - Đường 
 - Mặt 
Z, X, Y m 
 , ,  rad 
Lực F N, kN 
Mô men lực M Nm 
Thời gian t s 
Khối lượng M, m G, kg Kg=Ns2/m 
 Tấn Tấn = 1000kg 
Mômen quán tính khối lượng J Nms2 
Tấn m2 Tấn=kNms2 
Vận tốc : - Dài 
 - Góc 
V, Z m/s 
 Rad/s Rad/s=1/s 
Gia tốc - Dài 
 - Góc 
Z m/s2 
  Rad/s2 Rad/s2=1/s 
Độ cứng - Đường 
 - Góc 
C N/m 
C Nm/rad 
0 
Hệ số cản - Đường 
Dao động : - Góc 
K Ns/m 
K Nms/rad 
1 
Tần số f Hz Hz = 1/s 
Tần số vòng ,  Hz 
2 
Chu kỳ T s 
 109
Bảng 2 - NHỮNG BỘI SỐ VÀ ƯỚC SỐ CỦA ĐƠN VỊ ĐO 
Bội số của đơn vị đo Ước số của đơn vị đo 
Tên gọi Ký hiệu Độ lớn so 
với đơn vị 
Tên gọi Ký hiệu Độ lớn so 
với đơn vị 
deka da- 10 deci- d- 10 1 
Hecto- h- 102 Centi- c- 102 
Kilo- k- 103 Mili- m- 103 
Mega- M- 106 Mikro- - 10-6 
Giga- G- 109 
Tera- T- 1012 
 110
TÀI LIỆU THAM KHẢO 
[1]. Nguyễn Văn Khang – Dao động kỹ thuật - Nhà xuất bản KHKT - 1998; 
[2]. Nguyễn Văn Khang – Bài tập Dao động kỹ thuật - Nhà xuất bản KHKT 
- 1998; 
[3]. Lê Huy Cận (dịch) – Lý thuyết dao động - Nhà xuất bản KHKT; 
[4]. Nguyễn Đông Anh (dịch) – Dao động tuyến tính - Nhà xuất bản KHKT.