Giáo trình Cơ sở toán học cao cấp

Cơ sở toỏn học cao cấp 
 i
Lời giới thiệu 
Do ảnh h−ởng của cuộc cách mạng thông tin và do sự phát 
triển nội tại của toán học, việc giảng dạy toán bậc đại học và cao 
học có nhiều thay đổi. Xu h−ớng chung là nhanh chóng cho học 
viên nắm bắt đ−ợc các kiến thức cơ bản về toán học và khả năng 
ứng dụng, đồng thời sử dụng đ−ợc các ch−ơng trình tính toán 
thực hành một cách thuần thục. 
Để đáp ứng nhu cầu đó, trên cơ sở đề tài khoa học Phần mềm 
Cơ sở Toán học của Trung tâm Khoa học tự nhiên và Công nghệ 
Quốc gia do Viện Toán học chủ trì thực hiện từ năm 1996 đến 
năm 1998, chúng tôi biên soạn bộ giáo trình Cơ sở Toán học Cao 
cấp giành cho sinh viên đại học và cao học. 
 Bộ giáo trình này đ−ợc biên soạn dựa theo nội dung ch−ơng 
trình toán cao cấp của các khoa cơ bản trong các tr−ờng đại học 
do Bộ Giáo dục và Đào tạo qui định, kết hợp với các giáo trình 
toán hiện đang đ−ợc giảng dạy trong các tr−ờng đại học ở Hà Nội 
và một số n−ớc tiên tiến trên thế giới. Mục đích của giáo trình là: 
1. Trình bày những khái niệm, những nguyên lý cơ bản và cần 
thiết nhất của toán học, với những chứng minh chặt chẽ, lô 
gic; 
2. Rèn luyện kỹ năng tính toán thực hành trên máy tính và khả 
năng áp dụng công cụ toán học trong việc giải quyết các bài 
toán thực tiễn; 
3. Giới thiệu một số h−ớng phát triển mới trong toán học hiện đại 
đang đ−ợc quan tâm trên thế giới. 
Để đáp yêu cầu thứ nhất, chúng tôi chủ tr−ơng tránh đ−a 
vào giáo trình những phần lý thuyết nặng nề và ít sử dụng đến 
sau này. Phần bài tập đ−ợc biên soạn với mục đích giúp học viên 
củng cố kiến thức lý thuyết, không sa vào những kỹ sảo tính toán 
phức tạp. 
Mục đích thứ hai đ−ợc thể hiện trong giáo trình bởi phần bài 
tập và tính toán thực hành biên soạn rất công phu cho từng 
ch−ơng. Nó giúp cho học viên tiếp cận một cách nhẹ nhàng và 
thoải mái với công việc tính toán cụ thể, lĩnh vực luôn bị xem là 
đáng ngại nhất đối với các học viên bậc đại học ở n−ớc ta x−a 
 ii
nay. Ng−ời học không chỉ có thể thử sức với những bài toán thách 
đố (để rèn luyện t− duy), mà còn biết sử dụng máy tính để giải 
một cách dễ dàng những bài toán hóc búa mà họ t−ởng chừng 
không thể nào giải nổi. Hi vọng rằng khi ra tr−ờng họ sẽ không 
còn phải ngại ngùng trong việc đ−a các công cụ toán học vào công 
việc của mình. Thực tế cho thấy, ở đâu toán học phát huy đ−ợc 
tác dụng thì ở đó th−ờng thu đ−ợc những kết quả bất ngờ. 
Công cụ tính toán thực hành giới thiệu trong giáo trình này 
là bộ ch−ơng trình Maple V. Đây là bộ ch−ơng trình tổng hợp, 
khá đồ sộ, nh−ng hiện nay đã có thể cài đặt trên máy tính cá 
nhân với cấu hình bình th−ờng (bộ nhớ tối thiểu là 8MB). Với khả 
năng biểu diễn và tính toán cực mạnh (kể cả trên các ký hiệu 
hình thức), nó hiện đang đ−ợc xem một trong những ch−ơng trình 
phổ biến nhất sử dụng trong công tác đào tạo ở các tr−ờng đại 
học trên thế giới. Nếu sử dụng đ−ợc Maple một cách thuần thục 
thì học viên cũng dễ dàng tiếp cận với các ch−ơng trình tính toán 
phổ biến khác nh−: Matematica, Matlab, Mathcad,.. Bằng các 
h−ớng dẫn cụ thể cho từng ch−ơng, giáo trình giúp ng−ời đọc tự 
mình từng b−ớc tiến hành công việc tính toán một cách nhẹ 
nhàng nh− bấm máy tính bỏ túi, không cần chuẩn bị gì đặc biệt 
về kiến thức lập trình. 
Để đạt đ−ợc mục đích thứ ba, chúng tôi đ−a vào giáo trình 
một số ch−ơng mục không kinh điển (không bắt buộc đối với học 
viên bậc đại học), giúp ng−ời đọc làm quen với những ý t−ởng mới 
trong toán học hiện đại, khích lệ sự tìm tòi phát triển những cái 
mà lâu nay đ−ợc xem nh− là bất di bất dịch trong toán học cổ 
điển. Phần này chắc chắn sẽ đem lại hứng thú và những gợi ý về 
mặt định h−ớng cho những ng−ời có nguyện vọng đ−ợc đào tạo 
cao hơn về toán học, nhất là những học viên cao học. 
Giáo trình này cũng đ−ợc thiết lập d−ới dạng siêu văn bản, 
rất thuận tiện cho việc đọc và tra cứu trên máy tính. Phần tính 
toán thực hành đ−ợc thực hiện dễ dàng và thuận tiện ngay trong 
khuôn khổ của giáo trình (học đến đâu thực hành đến đó), nhằm 
xoá nhoà ranh giới giữa học toán và làm toán. Bạn đọc có nhu 
cầu về giáo trình d−ới dạng siêu văn bản và thực hành tính toán 
trên Maple V xin liên hệ với các tác giả theo địa chỉ của Viện 
Toán học (Đ−ờng Hoàng Quốc Việt, Quận Cầu Giấy, Hà Nội). 
 iii
rong phần này chúng tôi giới thiệu với bạn đọc cuốn Giải tích I 
của các tác giả : Ts. Đinh Thế Lục (chủ biên), Ts. Phạm Huy 
Điển, Ts. Nguyễn Xuân Tấn, Pts. Tạ Duy Ph−ợng. Nội dung quyển 
sách bao gồm những kiến thức đòi hỏi học viên phải nắm đ−ợc về 
bộ môn Giải tích trong năm thứ nhất bậc đại học. 
Trong Ch−ơng 1 chúng tôi không trình bầy chi tiết về xây dựng 
tr−ờng số thực (để không làm lại phần việc của những ng−ời biên 
soạn giáo trình Số học), mà chỉ sử dụng lát cắt để chứng minh sự 
tồn tại biên của tập bị chặn, một tính chất quan trọng đ−ợc dùng 
nhiều lần trong ch−ơng trình Giải tích, đồng thời làm quen sinh 
viên với môn học Tô pô đại c−ơng thông qua các khái niệm trên 
đ−ờng thẳng thực. Ngoài việc sử dụng trong giáo trình này, nó giúp 
học viên hiểu rõ bản chất của những khái niệm trừu t−ợng trong lý 
thuyết Tô pô tổng quát. Bên cạnh những khái niệm kinh điển nh−: 
đạo hàm, vi phân, tích phân, chuỗi hàm,... chúng tôi giới thiệu 
(trong Ch−ơng 7) một số một khái niệm mới của Giải tích không 
trơn, một lĩnh vực đang đ−ợc quan tâm và ứng dụng. Ch−ơng 
ph−ơng trình vi phân (Ch−ơng 11) đ−ợc đ−a vào nhằm củng cố 
những kiến thức về đạo hàm, tích phân và phục vụ nhu cầu tìm hiểu 
các bài toán đặt ra trong cơ học, vật lý, hóa học, sinh học,... Chúng 
tôi không đi sâu vào lĩnh vực này (để tránh gây chồng tréo với 
những ng−ời biên soạn giáo trình ph−ơng trình vi phân) mà chỉ đặt 
mục đích giới thiệu khái niệm làm cơ sở cho việc thực hành tính 
toán. 
Để ng−ời đọc dễ tiếp thu, chúng tôi cố gắng trình bày giáo trình 
một cách gọn gàng, đơn giản nh−ng đầy đủ. Ngoại trừ những phần 
giành lại cho bộ môn khác, các vấn đề nêu ra trong khuôn khổ giáo 
trình giải tích đều đ−ợc chứng minh chặt chẽ và khúc triết. Phần 
bài tập và tính toán thực hành đ−ợc biên soạn công phu, có nội 
dung bao quát tất cả những chủ đề cơ bản. Chúng tôi hy vọng rằng 
giáo trình sẽ là một cẩm nang tốt cho sinh viên các tr−ờng kỹ thuật 
và tổng hợp. 
T
5 
Ch−ơng 1 
__________________
 Tập hợp và Số thực 
1.1. Khái niệm tập hợp
______________________________
1.1.1. Tập hợp 
Tập hợp, trong Toán học, đ−ợc xem là một khái niệm “khởi đầu” không định nghĩa. 
Nó đồng nghĩa với các từ họ, hệ, lớp,... và đ−ợc dùng để mô tả một quần thể của những 
đối t−ợng phân biệt đ−ợc mà chúng ta t− duy nh− một thể trọn vẹn. 
Thí dụ Khi ta nói: Họ các đ−ờng tròn đồng tâm, hệ các ph−ơng trình tuyến tính, lớp các hàm 
đa thức, cũng có nghĩa là tập hợp của các đối t−ợng nói trên. Tập hợp xe cơ giới của 
thành phố Hà Nội, tập hợp các sinh viên Việt Nam, tập hợp những đ−ờng phố xuất phát 
từ Hồ G−ơm, v.v... là những ví dụ điển hình về khái niệm tập hợp không chỉ trong 
Toán học, mà cả trong ngôn ngữ thông th−ờng. 
Những thành viên của tập hợp gọi là phần tử (hay điểm). Cho A là một tập, ta viết 
Ax∈ (đọc: x thuộc A) có nghĩa x là một phần tử của A, và viết Ax∉ (đọc: x không 
thuộc A) có nghĩa x không phải là phần tử của A. 
1.1.2. Diễn tả tập hợp 
Để diễn tả tập hợp ng−ời ta dùng dấu móc {...}. Trong dấu móc ta có thể liệt kê tất cả 
các phần tử của tập hợp },...,{ 1 nxx , hoặc nêu thuộc tính chung (P) của các phần tử tập 
hợp bằng cách viết {x : x thỏa mãn (P)}. 
Thí dụ A = {1, 2, 3, 4, 5} 
hoặc A = {1, 2,...,5} 
hoặc A = {x : x là số tự nhiên sao cho 1 ≤ x ≤ 5}. 
1.1.3. Tập rỗng 
Ta quy −ớc Tập rỗng (hay tập trống) là tập hợp không có một phần tử nào cả. Ng−ời ta 
th−ờng ký hiệu tập rỗng là ∅. 
Thí dụ Tập hợp các cầu thủ bóng đá Việt Nam đã đoạt giải Olympic năm 1996 là tập rỗng; tập 
hợp các số lẻ chia hết cho 4 là tập rỗng. 
Ch−ơng 1. Tập hợp và Số thực 
 6 
1.1.4. Tập trùng nhau 
Ta nói tập A và tập B trùng nhau (hay bằng nhau) và viết A = B (đọc: A bằng B) 
nếu chúng có cùng những phần tử, tức là Ax∈ khi và chỉ khi Bx∈ . Khi chúng 
không trùng nhau ta viết A ≠ B. 
Thí dụ A là tập gồm số 2 và số 4, còn B là tập các số chẵn d−ơng bé hơn 5. Ta có A = B. 
1.1.5. Tập hợp con 
Ta nói A là tập con của tập B nếu mọi phần tử của A là phần tử của B. Khi đó ta 
viết BA⊆ (đọc: A nằm trong B), hoặc AB ⊇ (đọc: B chứa A). Nếu BA ⊆ và 
A≠B ta nói A là tập con thật sự của B. Quy −ớc: Tập rỗng là tập con của mọi tập. 
Chú ý Mỗi phần tử x của A tạo thành tập con {x} của A. Cần phân biệt phần tử x của tập 
hợp A (viết là Ax∈ ) với tập con {x} của tập hợp A (viết là {x} ⊂ A) . 
1.2. Các phép toán
____________________________________ 
1.2.1. Hợp của hai tập 
Hợp của hai tập A và B đ−ợc ký hiệu BA∪ (đọc: A hợp B) là tập gồm tất cả các 
phần tử thuộc A hoặc thuộc B. Nghĩa là, BA∪ = {x : Ax∈ hoặc Bx∈ }. 
Thí dụ }},,{,102,1,{ baA = B = {a,2,{a,b}}, =∪ BA {1,2,10,{a,b},a}. 
Chú ý {a,b} là một tập nh−ng nó lại là một phần tử của A và của B. 
1.2.2. Giao của hai tập 
Giao của hai tập A và B đ−ợc ký hiệu BA∩ (đọc: A giao B) là tập gồm tất cả các 
phần tử vừa thuộc A lại vừa thuộc B. Vậy =∩ BA { Axx ∈ : và Bx∈ }. 
Thí dụ Với A = {a,b,c}, B = {{a},b,d}, thì }{bBA =∩ . 
1.2.3. Phần bù 
Phần bù của A trong B đ−ợc ký hiệu AB \ là tập gồm tất cả các phần tử thuộc B 
nh−ng không thuộc A. Đôi khi ng−ời ta gọi AB \ là hiệu của B và A. 
Vậy BxxAB ∈= :{\ và Ax∉ }. 
Thí dụ A = {1,5,10,b}, B = {5,b}. Khi đó ∅=AB \ . 
Minh họa hình học: 
Ch−ơng 1. Tập hợp và Số thực 
 7
1.2.4. Tính chất của các phép tính 
Cho A, B và C là ba tập hợp bất kỳ. Khi đó ta có: 
Tính kết hợp 
(1) CBACBA ∪∪=∪∪ )()( , 
(1’) CBACBA ∩∩=∩∩ )()( . 
Tính giao hoán 
(2) ABBA ∪=∪ , 
(2’) ABBA ∩=∩ . 
Tính phân phối 
(3) )()()( CABACBA ∪∩∪=∩∪ , 
(3’) )()()( CABACBA ∩∪∩=∪∩ , 
(4) ),\()\()(\ CABACBA ∩=∪ 
(4’) )\()\()(\ CABACBA ∪=∩ . 
Chứng minh Để chứng minh đẳng thức X = Y giữa hai tập X và Y ta chỉ ra rằng 
với Xx∈ thì suy ra Yx∈ tức là YX ⊆ , và ng−ợc lại với y ∈ Y thì suy ra y ∈ X, 
tức là XY ⊆ . 
Tr−ớc hết ta chứng minh (3). Cho x là phần tử bất kỳ của )( CBA ∩∪ . Khi đó Ax∈ 
hoặc )( CBx ∩∈ . Nếu Ax∈ thì BAx ∪∈ và CAx ∪∈ , có nghĩa là 
)()( CABAx ∪∩∪∈ . Nếu )( CBx ∩∈ thì Bx∈ và Cx∈ . Lúc đó BAx ∪∈ và 
CAx ∪∈ , có nghĩa là )()( CABAx ∪∩∪∈ . Ng−ợc lại, cho y là phần tử bất kỳ của 
)()( CABA ∪∩∪ . Khi đó BAy ∪∈ và CAy ∪∈ . Vậy hoặc Ay∈ tức là 
)( CBAy ∩∪∈ , hoặc Ay∉ . Nh−ng Ay∉ thì By∈ và Cy∈ , có nghĩa là 
CBy ∩∈ . Rút cuộc )( CBAy ∩∪∈ và (3) là đúng. 
Những đẳng thức khác chứng minh t−ơng tự. 
Chú ý 1) Dùng cách diễn tả, chứng minh trên có thể viết ngắn gọn nh− sau: 
AxxCBA ∈=∩∪ :{)( hoặc )}( CBx ∩∈ 
 Axx ∈= :{ hoặc Bx∈{ và }}Cx∈ 
 Axx ∈= {:{ hoặc }Bx∈ và Ax∈{ hoặc }}Cx∈ 
 CABA ∪∩∪= {}{ }. 
Ch−ơng 1. Tập hợp và Số thực 
 8 
2) Do tính kết hợp, với ba tập A, B, C cho tr−ớc ta có thể lấy hợp hai tập bất kỳ sau đó 
mới hợp với tập còn lại và kết quả đều cho ta một tập, đó là hợp CBA ∪∪ . T−ơng 
tự nh− thế đối với phép giao, cũng nh− phép hợp và phép giao của nhiều tập hơn. 
1.2.4. Tích của các tập hợp 
Cho 2 tập hợp A và B. Tập hợp tất cả các cặp điểm (a,b), với a ∈ A và b ∈ B, lập 
thành một tập hợp mới gọi là tích của hai tập A và B, và đ−ợc ký hiệu là A ì B. Nh− 
vậy, mỗi phần tử z của tập tích A ì B luôn biểu diễn d−ới dạng z=(a,b), với a ∈ A, b ∈ 
B, và ng−ời ta gọi a,b là các thành phần (hay toạ độ) của z. 
1.3. Phép ứng và lực l−ợng 
____________________________
1.3.1. Phép ứng 
Cho A và B là hai tập khác rỗng. Phép ứng từ A tới B là một quy tắc cho phép với mỗi 
phần tử Ax∈ chỉ ra đ−ợc một phần tử By∈ ứng với nó. Thông th−ờng ng−ời ta ký 
hiệu BAf → : có nghĩa f là phép ứng từ A tới B, và viết )(xfy = có nghĩa y đ−ợc 
ứng với x, hoặc x ứng với y (đôi lúc ta viết yx6 ). Tập A đ−ợc gọi là miền xác định 
của phép ứng và tập B đ−ợc gọi là miền giá trị của phép ứng. Khi B là một tập hợp số 
nào đó ng−ời ta còn gọi f là hàm số. 
Chú ý Có thể nhiều phần tử của B đ−ợc ứng với một phần tử của A và có thể một phần tử của 
B đ−ợc ứng với nhiều phần tử của A. 
Đơn ứng là một phép ứng cho phép với mỗi phần tử của A chỉ ra đ−ợc một và chỉ một 
phần tử của B ứng với nó. (Điều này không loại trừ khả năng nhiều phần tử của A cùng 
đ−ợc ứng với 1 phần tử của B). 
Phép ứng từ A tới B đ−ợc gọi là phép ứng 1-1 (hay phép tiêm) nếu 2 phần tử khác nhau 
trong A thì đ−ợc ứng với 2 phần tử khác nhau trong B. 
Toàn ứng là một phép ứng mà mỗi phần tử của tập B đều đ−ợc ứng với (ít nhất) một 
phần tử trong A. 
Song ứng từ A tới B là một phép ứng mà mỗi Ax∈ chỉ ứng với một By∈ và mỗi 
By∈ chỉ đ−ợc ứng với một Ax∈ . Nh− vậy, song ứng vừa là toàn ứng, vừa là phép 
ứng 1-1. 
Thí dụ a) A = {a,b,c,d}, B = {1,2,3}. 
Phép ứng 2vĂ 6666 dcba 1,1,1 không phải song ứng từ A tới B. 
b) A = {1,2,...,n,...}, B = {2,4,...,2n,...}. 
Phép ứng nn 26 là một song ứng từ A tới B. 
Chú ý Nếu có một song ứng f từ A tới B thì ta có thể xây dựng một song ứng từ B tới A 
bằng cách với mỗi By∈ ta cho ứng với Ax∈ mà yxf =)( . Song ứng này có tên gọi 
là song ứng ng−ợc của f và th−ờng đ−ợc ký hiệu là 1−f . 
Ch−ơng 1. Tập hợp và Số thực 
 9
1.3.2. T−ơng đ−ơng 
Hai tập A và B gọi là t−ơng đ−ơng nếu có thể xây dựng đ−ợc một song ứng giữa A và B. 
Khi đó ta viết BA ∼ . 
Thí dụ a) Với A là tập hợp các số thực d−ơng, B là tập hợp các số thực âm, thì BA ∼ vì phép 
ứng aa −6 là một song ứng. 
b) ,...2,1{,...},2,1{ ±±== BA } . 
Khi đó BA ∼ vì phép ứng nn −62 và nn 612 − là song ứng. 
Chú ý Nếu A và B hữu hạn thì BA ∼ khi và chỉ khi số phần tử của A bằng số phần tử của B. 
1.3.3. Lực l−ợng 
Những tập t−ơng đ−ơng thì đ−ợc gọi là cùng lực luợng. 
Khi A có hữu hạn phần tử thì ng−ời ta th−ờng xem lực l−ợng của A là số phần tử của 
nó và ký hiệu là card(A) (đọc là cac-đi-nal của A) . 
Thí dụ a) Tập A rỗng thì card(A) = 0. 
b) A = {1,a,{10,b}} thì card ;3)( =A 
Khi A có vô hạn phần tử thì ta nói lực l−ợng của A là vô hạn (hay siêu hạn), và viết 
∞=)(Acard . 
1.3.4. Tập đếm đ−ợc 
Ký hiệu tập số tự nhiên là ². Đây là tập vô hạn. 
Tập A gọi là đếm đ−ợc nếu nó hữu hạn hoặc t−ơng đ−ơng với ². 
Định lý Tập con của tập đếm đ−ợc là tập đếm đ−ợc. 
Chứng minh Dùng phép song ứng ta chỉ cần chứng tỏ tập con của ² là tập đếm 
đ−ợc. Cho ⊆A ². Ký hiệu 1a là phần tử đầu của A, 2a là phần tử đầu của \A { 1a }, 
v.v... na là phần tử đầu của \A { 11 ,..., −naa }. Nếu nh− đến số n nào đó 
\A { 11 ,..., −naa } không có phần tử nào thì A hữu hạn (nó chỉ chứa (n-1) phần tử) và, 
theo định nghĩa, nó là đếm đ−ợc. Nếu với mọi n tập ∅≠− },...,{\ 11 naaA thì ta thiết lập 
đ−ợc phép ứng nanf =)( với mọi n = 1,2,... Nó là một song ứng từ ² tới A. Thật 
vậy, với mỗi n ∈ ², f(n) là phần tử đầu của \A { 11 ,..., −naa } nên số này là duy nhất. 
Ng−ợc lại với mỗi Aa∈ , ta biết đ−ợc số các phần tử đứng tr−ớc nó, thí dụ là k, vậy 
akf =+ )1( . Song ứng f chỉ ra rằng A ∼ ² khi A không hữu hạn. 
Chú ý Không phải tập vô hạn nào cũng đếm đ−ợc. 
Thí dụ a) Họ các cặp số tự nhiên {(m,n)}: m,n ∈ ² } là tập đếm đ−ợc. 
Thật vậy, xếp cá ... +t*x^2=t^2,{x(t)}); 
1)(
2
1)(
222 CeIterfIettx tt −− ++= π . 
Hàm erf đ−ợc định nghĩa là π
∫ −
=
x
t dte
xerf 0
2
2
)( . 
4. Ph−ơng trình Bernouli 
dx
dt
p t q t x+ =( ) ( ) α 
Thí dụ Giải ph−ơng trình Bernouli với 
2
1=α , tức là xtx
dt
dxt 24 =− . 
[> dsolve(t*D(x)(t)-4*x=t^2*sqrt(x),{x(t)}); 
t C e
x t
t= −_
( )
1 2 . 
5. Ph−ơng trình Riccati )()()( 2 tRxtQxtP
dt
dx ++= 
Ph−ơng trình Riccati giải đ−ợc bằng cầu ph−ơng 
Thí dụ Giải ph−ơng trình Riccati cx
t
x
t
a
dt
dx ++=
2
12 . 
[> dsolve(D(x)(t)=(a/t)*x^2+(1/(2*t))*x+c,{x(t)}); 
)2sin()2cos(1(
)2cos()2sin(1()(
tactacCac
tactacCtctx +
−= . 
Thí dụ Giải ph−ơng trình Riccati 22 −+= btax
dt
dx
 . 
[> dsolve(D(x)(t)=a*x^2+b*t^(-2),{x(t)}); 
14
14
1)(2arctan
2 −




−
+
= ba
ba
ttax
Cet . 
Thí dụ Giải ph−ơng trình Riccati 2
2
t
cx
t
bax
dt
dx ++= . 
[> dsolve(D(x)(t)=a*x^2+b*(x/t)+c/t^2,{x(t)}); 
t Ce
ax t b
ac b b
ac b b=
+ +
− − −






− − −
2
2 1
4 1 2
4 1 2
2
2
arctan
( )
 . 
Thí dụ Giải ph−ơng trình Riccati 2
2 1
t
x
dt
dx += . 
[> dsolve(D(x)(t) =x^2+1/t^2,{x(t)}); 
( )
t Ce
x t t= +




2
3
3
1
3
2 1 3arctan ( )
 . 
Bài tập và tính toán thực hành Ch−ơng 12 
 229
Thí dụ Giải ph−ơng trình vi phân 42 −+= tx
dt
dx
 . 
[> dsolve(D(x)(t)=x^2+t^(-4),{x(t)}); 


+




+

+

−


−=
tt
C
tt
t
t
C
t
Ct
tx
1cos1sin
1sin1cos1cos1sin
)( . 
Ph−ơng trình Riccati không giải đ−ợc bằng cầu ph−ơng 
Thí dụ Giải ph−ơng trình Riccati cx
t
x
t
a
dt
dx ++= 12 . 
[> dsolve(D(x)(t)=(a/t)*x^2+(1/t)*x+c,{x(t)}); 
)2,1(1)2,1(11(
)2,0(1)2,0(11()(
tacJBesseltacYBesselCa
tacJBesseltacYBesselCacttx +
+= . 
Trong đó, ),(1),(1 xvJBesselxvYBessel là các hàm Bessel loại 1 và loại 2, tức chúng là 
nghiệm của ph−ơng trình vi phân 
0)('" 222 =−++ yvxxyyx . 
6. Ph−ơng trình không giải đ−ợc qua đạo hàm 
 0),,( =t
dt
dxxF 
Thí dụ Giải ph−ơng trình vi phân 0=+
dt
dx
dt
dx
 . 
[> dsolve(D(x)(t)+abs(D(x)(t))=0,{x(t)}); 
 x(t) = RealRange(-infinity, 0) t + _C1, 
nghĩa là nghiệm của ph−ơng trình có dạng Catx += với mọi 0<a và C bất kỳ. Tuy 
nhiên, máy giải thiếu nghiệm Ctx +−= 2 khi 0≤t . 
Thí dụ Giải ph−ơng trình vi phân 0)(
2
=++−

 xt
dt
dxtx
dt
dx
 . 
[>dsolve((D(x)(t))^2-(x+t)*D(x)(t)+x*t,{x(t)}); 
Cttx += 2
2
1)( và x t Cet( ) = . 
Ph−ơng trình Clairaut )(
dt
dxgt
dt
dxx += 
[> dsolve(x=D(x)(t)*t+g(D(x)(t)),{x(t)}); 
Bài tập và tính toán thực hành Ch−ơng 12 
 230 






−=
−=
)()()(
)(
Tg
T
TTgtx
Tg
T
t
∂
∂
∂
∂
 và tCCgtx += )()( 
2.2. Ph−ơng trình vi phân bậc cao 
Ghi nhớ Đạo hàm bậc hai của y theo x đ−ợc ký hiệu là D(D(y)(x). 
Nghiệm tổng quát của ph−ơng trình vi phân bậc hai phụ thuộc vào 2 tham số tự do. 
Các b−ớc giải ph−ơng trình vi phân bậc cao giống nh− giải ph−ơng trình vi phân bậc nhất. 
Thí dụ Giải ph−ơng trình vi phân tuyến tính cấp hai 
06'5" =++ yyy 
với điều kiện khởi đầu: 1)0(',0)0( == yy . 
B−ớc 1: Ta gán tên diff_eq1 cho ph−ơng trình cần giải 
[> diff_eq1:=D(D(y))(x)+5*D(y)(x)+6*y(x)= 0; 
Sau dấu chấm phẩy (;), ấn phím "Enter", trên màn hình sẽ hiện ph−ơng trình vi phân 
cần giải: 
diff_eq1 := (D(2))(y)(x) + 5 D(y)(x) + 6 y(x) = 0 . 
B−ớc 2: Nhập điều kiện khởi đầu bằng lệnh 
[> init_con:=y(0)=0,D(y)(0)=1; 
Sau dấu (;) đánh lệnh [Enter] sẽ hiện ra công thức mô tả điều kiện đầu: 
init_con := y(0) = 0, D(y)(0) = 1 
B−ớc 3: Giải ph−ơng trình vi phân bằng lệnh 
[> dsolve({diff_eq1,init_con},{y(x)}); 
Sau dấu ";", đánh lệnh "Enter", trên màn hình sẽ hiện công thức nghiệm của ph−ơng 
trình vi phân cần giải: 
 xx eexy 32)( −− −= . 
Thí dụ Giải ph−ơng trình vi phân tuyến tính cấp hai: 
)cos(3)sin(103 xxyyy +=−′−′′ 
với điều kiện khởi đầu 1)0(',1)0( == yy . 
B−ớc 1: Nhập ph−ơng trình bằng lệnh: 
[> diff_eq3:=D(D(y))(x)-3*D(y)(x)-10*y=sin(x)+3*cos(x); 
)cos(3)sin(10))((3))()((:3_ 2 xxyxyDxyDeqdiff +=−−= . 
B−ớc 2: Vào dữ liệu điều kiện đầu: 
[> init_con:= y(0)=1,D(y)(0)=1; 
1)0)((,1)0(:_ === yDyconinit . 
Bài tập và tính toán thực hành Ch−ơng 12 
 231
B−ớc 3: Giải ph−ơng trình: 
[> dsolve({diff_eq3,init_con},{y(x)}); 
Sau khi thực hiện lệnh, máy cho công thức nghiệm của ph−ơng trình vi phân cần giải 
xx eexxxy 25
7
5
91
47)sin(
13
2)cos(
13
3)( −++−−= . 
Ta có thể dùng ký hiệu diff(y(x),x,x) "lấy đạo hàm bậc hai của y theo x " để thay thế 
cho lệnh D(D(y))(x) trong các thí dụ trên. 
Maple có thể giải các ph−ơng trình vi phân với nghiệm mô tả qua các hàm đặc biệt. 
Thí dụ Giải ph−ơng trình 0)(5)(2
2
2 =


+



xy
x
xy
x
x ∂
∂
∂
∂
 . 
[>dsolve(x^2*diff(y(x),x,x)+5*diff(y(x),x)=0,y(x)); 
))5,1(5(
5
21 x
EixeCCy x −++= 
Ei n x( , ) là ký hiệu hàm tích phân mũ: 
dt
t
exnEi n
xt∫
∞ −
=
1
),( . 
2.3. Hệ ph−ơng trình vi phân th−ờng 
Ghi nhớ Các b−ớc giải ph−ơng trình hệ vi phân t−ơng tự nh− giải ph−ơng trình vi phân bậc nhất. 
Nghiệm tổng quát của hệ 2 ph−ơng trình vi phân bậc nhất phụ thuộc vào 2 tham số tự do. 
Thí dụ Giải hệ ph−ơng trình vi phân th−ờng bậc hai (không có điều kiện khởi đầu) sau: 
)())()(( 2 xzxyD = , 
)())()(( 2 xyxzD = . 
B−ớc 1: Gán tên sys (viết tắt của chữ system - hệ) cho hệ ph−ơng trình cần giải: 
[>sys:=(D@@2)(y)(x)=z(x),(D@@2)(z)(x)=y(x); 
)())()((),())()((: 22 xyxzDxzxyDsys === . 
B−ớc 2: Giải hệ ph−ơng trình vi phân bằng lệnh 
[> dsolve({sys},{y(x),z(x)}); 
+−++= −− xxx eCxCeCeCxy 2_
4
1)cos(1_
2
11_
4
11_
4
1)({ )( 
)cos(3_
2
13_
4
13_
4
1)sin(2_
2
12_
4
1 xCeCeCxCeC xxx −+++ − 
,4_
4
14_
4
1)sin(4_
2
1 xx eCeCxC −−+− 
xxxx eCeCxCxCeCeCxz −− −+−−+= 2_
4
12_
4
1)sin(2_
2
1)cos(1_
2
11_
4
11_
4
1)( 
)}sin(4_
2
14_
4
14_
4
1)cos(3_
2
13_
4
13_
4
1 xCeCeCxCeCeC xxxx ++−+++ −− . 
Bài tập và tính toán thực hành Ch−ơng 12 
 232 
Thí dụ Giải hệ ph−ơng trình vi phân 
)()(),()( xyxz
x
xzxy
x
== ∂
∂
∂
∂
với điều kiện khởi đầu 2)0(,0)0( == zy . 
B−ớc 1: Gán tên sys cho hệ: 
[> sys:={diff(y(x),x)=z(x),diff(z(x),x)=y(x),y(0)=0,z(0)=2}; 
}2)0(,0)0(),()(),()({: ===== zyxyxz
x
xzxy
x
sys ∂
∂
∂
∂
B−ớc 2: Gán tên cho nghiệm: 
[> fcns:={y(x),z(x)}; 
)}(),({: xzxyfcns = . 
B−ớc 3: Giải hệ ph−ơng trình vi phân: 
[> dsolve(sys,fcns); 
})(,)({ xxxx eexzeexy +=−= −− . 
2.4. Giải và tìm nghiệm theo các ph−ơng pháp tuỳ chọn 
Không phải ph−ơng trình nào cũng có nghiệm d−ới dạng biểu thức giải tích thông 
th−ờng, cho nên không có gì đáng ngạc nhiên khi ta thấy MAPLE "không chịu" cho ta 
kết quả đối với một số ph−ơng trình nào đó. Hãy xem xét 
Thí dụ Giải ph−ơng trình )sin()()( 5 xxxfxf
dx
d =+ . 
Để giải nó ta đ−a vào dòng lệnh 
[> dsolve(diff(f(x),x)+f(x)^5*x=sin(x),f(x); 
Sau khi ra lệnh giải (ấn phím “Enter” sau dấu chấm phẩy “;”), ta thấy máy có chạy 
nh−ng không đ−a ra kết quả gì. Tuy nhiên, xin đừng thất vọng, MAPLE vẫn làm việc 
"không chê vào đâu đ−ợc" nếu nh− ta biết dạy nó làm việc một cách hợp lý. 
Lệnh giải ph−ơng trình vi phân có cú pháp tổng quát là: 
[> dsolve(deqns,vars,keyword); 
Trong đó deqns là các ph−ơng trình vi phân, vars là các biến nghiệm, phần 
keyword cho phép ta xác định ph−ơng pháp giải và dạng biểu diễn nghiệm. Cách 
biểu diễn mặc định là "chính xác " (exact). Nếu chọn cách biểu diễn nghiệm nh− vậy 
ta sẽ không phải cho giá trị ở phần keyword. Nếu cách biểu diễn ấy không thành (nh− 
ta thấy trong thí dụ trên đây), hoặc không phải là ý ta muốn, thì ta có thể yêu cầu máy 
cho ta một trong các cách biểu diễn sau đây: 
♦ Với keyword đ−ợc cho d−ới dạng type=series thì máy sẽ cho ta nghiệm 
d−ới dạng chuỗi. 
Bài tập và tính toán thực hành Ch−ơng 12 
 233
♦ Với keyword đ−ợc cho d−ới dạng type=numeric thì máy sẽ cho nghiệm 
d−ới dạng một hàm t−ợng tr−ng mà ta có thể biết đ−ợc giá trị số của nó tại bất kỳ 
điểm nào. 
♦ Với keyword đ−ợc cho d−ới dạng ouput=basic thì máy sẽ cho ta tập hàm 
cơ sở mà tập nghiệm đ−ợc căng trên đó (nh− một bao tuyến tính). Nếu ph−ơng 
trình không phải là thuần nhất thì máy sẽ cho ta thêm một nghiệm riêng, để mọi 
nghiệm bất kỳ đều có thể biểu diễn qua tập nghiệm cơ sở và nghiệm riêng này. 
Thông th−ờng, nghiệm có thể đ−ợc cho d−ới dạng một hàm ẩn (tức là một ph−ơng 
trình biểu thị mối liên hệ giữa hàm số y và biến phụ thuộc x không thông qua các đạo 
hàm), hoặc d−ới dạng các biến phụ thuộc tham số. Nếu ta muốn bắt nó phải cho ta 
nghiệm d−ới dạng hiển (tức là một hàm số của y theo x ) thì ta cho keyword d−ới 
dạng explicit=true. (Vì khả năng này th−ờng khó có thể thực hiện đ−ợc nên 
ng−ời ta th−ờng cho giá trị mặc định là explicit=false ). 
Muốn biểu diễn đ−ợc nghiệm thông qua các hàm đặc biệt kiểu Dirac(.), 
Heaviside(.),... thì ta phải cho keyword là method=laplace. 
Trong thí dụ nêu trên, với điều kiện đầu là 
2
1)0( =f , nếu ta cho máy tìm nghiệm d−ới 
dạng chuỗi, nó sẽ cho kết quả ngay lập tức: 
[>dsolve({f(0)=1/2,diff(f(x),x)+f(x)^5*x=sin(x)},f(x), 
series); 
)(
12288
977
64
31
2
1)( 642 xOxxxf +−+= . 
Thí dụ Giải hệ 



=
−−=
y
dx
dz
xyz
dx
dy
với giá trị khởi đầu 1)0(,0)0( == zy . 
1) Theo ph−ơng pháp mặc định: 
[> sys:=diff(y(x),x)=z(x)-y(x)-x,diff(z(x),x)=y(x): 
fcns:={y(x),z(x)}: 
[> dsolve({sys,y(0)=0,z(0)=1},fcns); 



=++−= 

 −

 +−
)(,15
5
15
5
1)(
)15(
2
1)15(
2
1
xyxeexz
xx



−−++− 

 +−

 −

 −

 +− xxxx
eeee
)15(
2
1)15(
2
1)15(
2
1)15(
2
1
2
1
2
115
10
15
10
1
2) Tìm nghiệm d−ới dạng chuỗi (với điều kiện đầu là y(0) = 0, z(0) = 1 ) 
[> dsolve({sys,y(0)=0,z(0)=1},fcns, type=series); 
Bài tập và tính toán thực hành Ch−ơng 12 
 234 
),(
15
1
24
5
2
1)({ 65432 xOxxxxxxy ++−+−= 
)}(
24
1
8
1
3
1
2
11)( 65432 xOxxxxxz +−+−+= . 
3) Với điều kiện đầu nh− trên, tìm nghiệm bằng ph−ơng pháp số, và yêu cầu máy cho 
biết giá trị của nghiệm tại các điểm x = 1, x = 1.5, x = 1.7 : 
[> F:=dsolve({sys,y(0)=0,z(0)=1},fcns,type=numeric); 
F := proc(rkf45_x) ... end 
[> F(1); 
[x = 1, y(x) = .343731408276753914, z(x) = 1.25897207653682308] 
[> F(1.5); 
[x = 1.5, y(x) = .237649509495644756, z(x) = 1.40935827136441327] 
[> F(1.7); 
[x = 1.7, y(x) = .163416733680997378, z(x) = 1.44974926864546538] 
Thí dụ Giải ph−ơng trình vi phân bậc 2 
yxy 32"= 
bằng ph−ơng pháp số (với ch−ơng trình mang tên dverk78 ) và cho giá trị của nghiệm 
và đạo hàm của nó tại các điểm x = 1, x = 1.5, x = 1.7 d−ới dạng bảng số liệu: 
[> sys2:={(D@@2)(y)(x)=2*x^3*y(x),y(0)=1,D(y)(0)=1}: 
[> s:=dsolve(sys2,{y(x)},type=numeric,method=dverk78, 
value=array([1.0,1.5,1.7])); 























=
874470275797212217519944271039854666999999669999999991
406990236391691658704137226826796624000000050000000001
1791480936037883115314170170132435221
)(),(,
:
. ..
. ..
. ..
xyxxyx
s
∂
∂
Ta có thể lấy ra từng số liệu của bảng (ma trận) này, thí dụ nh−: 
[> s[1,1][3]; 
)(xy
x∂
∂
 , 
[> s[2,1][2,3]; 
8.36391691654069902 . 
Thí dụ Giải ph−ơng trình vi phân tuyến tính bậc 2 không thuần nhất 
xyyxy =++ 3'"2 
và cho biết hệ cơ sở của tập nghiệm (cùng một nghiệm riêng) 
[> solve(2*x*diff(y(x),x$2)+diff(y(x),x)+3*y=x,y(x), 
output=basis); 
Bài tập và tính toán thực hành Ch−ơng 12 
 235




+−



x
x
xx
x
xx
3
1
9
1,
6
)6sin(,
6
)6cos( 4141
. 
MAPLE còn có thể biến đổi một hệ ph−ơng trình vi phân th−ờng bậc cao về hệ ph−ơng 
trình vi phân bậc nhất bằng lệnh convertsys. Hơn nữa, lệnh dsolve của MAPLE còn 
có thể giải rất nhiều ph−ơng trình vi phân bằng ph−ơng pháp số, sử dụng các ph−ơng 
pháp cổ điển, ngoại suy một và nhiều b−ớc, công cụ giải ph−ơng trình vi phân th−ờng 
Livermore Stiff... 
2.5. Vẽ đồ thị nghiệm của ph−ơng trình vi phân 
Để vẽ đồ thị nghiệm của ph−ơng trình vi phân, ta nhập các dòng lệnh sau 
[> with(DEtools): 
[>DEplot(deqns,vars,trange,inits,eqns); 
hoặc 
[>DEplot(deqns,vars,trange,inits,xrange, yrange, eqns); 
Trong đó: 
deqns - bảng các ph−ơng trình vi phân bậc nhất hoặc một ph−ơng trình vi phân bậc cao. 
vars - biến phụ thuộc hoặc bảng các biến phụ thuộc. 
trange - miền thay đổi của biến độc lập. 
inits - điều kiện khởi đầu xác định đ−ờng cong nghiệm cần vẽ. 
yrange - miền thay đổi của biến phụ thuộc thứ nhất. 
xrange - miền thay đổi của biến phụ thuộc thứ hai. 
eqns - các tuỳ chọn (màu, tiêu đề, độ đậm nhạt của đồ thị,...). 
Thí dụ Vẽ đồ thị của nghiệm của ph−ơng trình vi phân 
xy
dx
dy
dx
yd
dx
ydx −=+− π2
23
)cos( 
với điều kiện khởi đầu ,1)0( =y ,2)0( =′y 
1)0(" =y , biến độc lập x thay đổi trong đoạn [-
2.5,1.4], biến phụ thuộc y thay đổi trong đoạn [-
4,5], chọn b−ớc là 0.05. 
[>DEplot({cos(x)*diff(y(x),x$3)-
diff(y(x),x$2)+Pi* 
diff(y(x),x)=y(x)-x},{y(x)},x=-2.5..1.4,[[y(0)=1, 
D(y)(0)=2,(D@@2)(y)(0)=1]],y=-4..5,stepsize=.05); 
Hình 12.1 
Bài tập và tính toán thực hành Ch−ơng 12 
 236 
Thí dụ Vẽ đồ thị của nghiệm của hệ ph−ơng trình 



−=
−=
−=
2'
'
'
yxz
xzy
zyx
với điều kiện khởi đầu 1)0( =x , 0)0( =y , 
2)0( =z , biến độc lập t thay đổi trong đoạn [-
2,2], biến phụ thuộc y thay đổi trong đoạn [-
4,5], chọn b−ớc: 0.05, yêu cầu máy cho biểu 
diễn của 2 thành phần [z(t), x(t)] của nghiệm. 
[> DEplot({D(x)(t)=y(t)- 
z(t),D(y)(t)=z(t)-x(t),D(z)(t)= x(t)-
y(t)*2},{x(t),y(t),z(t)},t=-2..2,[[x(0)=1, 
y(0)=0,z(0)=2]],stepsize=.05,scene=[z(t),x(t)]); 
Với ph−ơng trình vi phân bậc nhất hoặc hệ ph−ơng trình vi phân bậc nhất 2 ẩn thì 
máy không chỉ vẽ cho ta nghiệm mà vẽ cả tr−ờng vectơ. 
Thí dụ Vẽ đồ thị của nghiệm của ph−ơng trình vi 
phân 
 )4(
2
1 2 yxx
dx
dy +−−= , 
biến độc lập x thay đổi trong đoạn [-3,3], 
biến phụ thuộc y thay đổi trong đoạn [-3,2]. 
(Khi không cho điều kiện dầu thì máy không 
cho ra một nghiệm cụ thể nào, mà chỉ cho 
một tr−ờng vectơ). 
[> DEplot(diff(y(x),x)=1/2*(-x -
(x^2+4*y(x))^(1/2)),y(x), x=-3..3,y=-3..2, 
title=`Restricted domain`); 
Thí dụ Vẽ đồ thị của nghiệm của hệ ph−ơng trình 
vi phân 


−=
−=
)1(3.0'
)1('
xyy
yxx
, biến độc lập t 
thay đổi trong đoạn [-7,7]. Với các điều 
kiện khởi đầu là [x(0)=1.2, y(0)=1.2] và 
[x(0)=1, y(0)=0.7], máy sẽ cho ta từng 
nghiệm t−ơng ứng. 
[> DEplot({diff(x(t),t)=x(t)* 
(1-y(t)),diff(y(t),t)=.3* 
y(t)*(x(t)-1)},[x(t), 
y(t)],t=-7..7, [[x(0)=1.2, 
y(0)=1.2],[x(0)=1, 
y(0)=.7]],stepsize=.2, title=`Lotka-Volterra model`); 
Hình 12.2 
Hình 12.3 
Hình 12.4 
Bài tập và tính toán thực hành Ch−ơng 12 
 237
Thí dụ Vẽ đồ thị của nghiệm của ph−ơng trình vi phân 
2' xyy −−= , biến độc lập x thay đổi trong 
đoạn [-1,2.5]. Các điều kiện khởi đầu là 
[y(0)=0], [y(0)=1], [y(0)=-1], và tiêu đề: 
‘Asymptotic solution’ (Nghiệm tiệm cận). 
[>DEplot(D(y)(x)=-y(x)-x^2, 
y(x),x=1..2.5,[[y(0)=0], 
[y(0)=1],[y(0)=-1]], 
title=`Asymptotic solution`); 
Hình 12.5