Giải pháp toán học cho việc phân phối chi phí trong độ tin cậy phần mềm

Tạp chí Khoa học công nghệ và Thực phẩm 13 (1) (2017) 121-132 
121 
GIẢI PHÁP TOÁN HỌC CHO VIỆC PHÂN PHỐI CHI PHÍ 
 TRONG ĐỘ TIN CẬY PHẦN MỀM 
Nguyễn Thị Thuỳ Trang, Phan Thị Ngọc Mai* 
 Trường Đại học Công nghiệp Thực phẩm TP.HCM 
*Email: maiptn@cntp.edu.vn 
Ngày nhận bài: 05/9/2017; Ngày chấp nhận đăng: 05/12/2017 
TÓM TẮT 
Bài báo đề xuất giải pháp toán học trong việc phân phối chi phí cho độ tin cậy phần 
mềm: ứng dụng quy hoạch nguyên nhị phân tìm độ tin cậy lớn nhất của các module mua và 
ứng dụng quy hoạch phi tuyến tìm độ tin cậy lớn nhất của các module phát triển trong công 
ty. Nghiên cứu này đã giải quyết bài toán tìm độ tin cậy lớn nhất không vượt quá giới hạn chi 
phí đã cho, và ngược lại tìm khoảng chi phí nhỏ nhất để phần mềm có độ tin cậy là một giá 
trị xác định trước. 
Từ khoá: Độ tin cậy phần mềm, module phát triển trong công ty, module tích hợp, module 
mua, phân phối chi phí. 
1. GIỚI THIỆU 
1.1. Định nghĩa 
Độ tin cậy phần mềm [1] là xác suất của hoạt động phần mềm không có lỗi trong một 
khoảng thời gian nhất định trong một môi trường được chỉ định. 
Trong bài báo này, cấu trúc của một phần mềm được tổ chức các module theo cấu trúc 
cây phân cấp và các module trong phần mềm được tồn tại dưới hai dạng: module đơn và 
module tích hợp [2]. 
Module đơn [2] là module được tạo ra từ chính nó. Module này có thể được mua từ bên 
ngoài thị trường và cũng có thể được phát triển trong công ty. 
Module mua là những module trong công ty không có đầy đủ điều kiện để phát triển 
hoặc chi phí mua có thể tiết kiệm hơn so với việc phát triển trong công ty. 
Module tích hợp là một module được tạo thành từ nhiều module đơn hoặc có thể từ các 
module đơn và module tích hợp khác. 
Với lý do phân bổ nguồn tài nguyên hợp lý để tạo ra phần mềm có tính tin cậy cao và 
tiết kiệm được chi phí (dựa vào nguồn lực hiện có của công ty) nhà quản lý quyết định phần 
module phát triển trong công ty, phần module mua, và phần module dùng lại. 
Một module được xem thích hợp để phát triển trong công ty khi trong công ty có đầy đủ 
điều kiện để phát triển và việc phát triển trong công ty có thể sẽ tiết kiệm hơn so với việc 
mua từ bên ngoài. Loại module này bao gồm module đơn và module tích hợp. 
Một module được xem là thích hợp để mua khi có nhiều version trên thị trường và trong 
công ty không có đầy đủ điều kiện để phát triển hoặc chi phí để mua có thể tiết kiệm hơn so 
với việc phát triển trong công ty. Loại module này là module đơn. 
Nguyễn Thị Thùy Trang, Phan Thị Ngọc Mai 
122 
Một module được xem là thích hợp dùng lại khi trong công ty đã có sẵn (do trong công 
ty phát triển hoặc đã mua trước đó) và việc dùng lại này rõ ràng không tốn chi phí. 
Vấn đề chính trong bài toán này là phân phối chi phí cho độ tin cậy phần mềm. Do đó, 
các mô hình phát triển phần mềm chỉ bao gồm các module mua và các module phát triển 
trong công ty, còn phần module dùng lại do không có sự tham gia của nhân tố chi phí cho 
nên sẽ không được xét đến. 
Ví dụ, trong Hình 1 dưới đây [2]: 
 Có 4 module đơn: Index-generator, Analyzer, Parse và Stemmer. 
 Index-generator và Analyzer là hai module đơn phát triển trong công ty. 
 Parse và Stemmer là hai module mua, mỗi module có hai version trên thị 
trường. 
 Hai module Keyword và Database-index là module tích hợp: 
 Module Keyword được được tích hợp từ hai module Analyzer và Stemmer 
 Module Database-index được tích hợp từ ba module: Parser, Keyword, Index-
generator. 
Hình 1. Phần mềm Database-indexing 
1.2. Độ tin cậy của các module 
1.2.1. Độ tin cậy của module đơn phát triển trong công ty 
Chọn hàm số mũ âm để tính độ tin cậy của các module phát triển trong công ty. Giả sử 
𝑥𝑖
(0)
 là chi phí cơ bản cần thiết để phát triển module i trong công ty. Chi phí cơ bản để phát 
triển module xi
(0)
 và độ tin cậy ban đầu là ri
(0)⁡
. Nếu chi phí được tăng lên độ tin cậy có thể 
được tăng thêm. Độ tin cậy tối đa có thể đạt được cho module i là 𝑟𝑖
(max⁡)
, độ tin cậy 
𝑟𝑖
(max⁡)
= 1 nhưng với mức độ đúng đắn 100% rất khó xảy ra, do đó 𝑟𝑖
(max⁡)
≤ 1
 .
Độ tin cậy của một module i là ri [2]: 
𝑟𝑖 = {
𝑟𝑖
(𝑚)
− (𝑟𝑖
(𝑚)
− 𝑟𝑖
(0)
) 𝑒−𝛼𝑖(𝑥𝑖−𝑥𝑖
(0)
) 𝑥𝑖 ≥ 𝑥𝑖
(0)
0 𝑥𝑖 < 𝑥𝑖
(0)
⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡(1) 
trong đó ∝𝑖 là một thông số phản ánh độ nhạy của độ tin cậy module mỗi khi có sự thay đổi 
chi phí. Giá trị ∝𝑖 lớn sẽ tác động đến việc thay đổi chi phí 𝑥𝑖 . Do đó khi 𝑥𝑖 = 𝑥𝑖
(0)
 thì 
𝑟𝑖 = 𝑟𝑖
(0)
 và khi ix thì 𝑟𝑖 = 𝑟𝑖
(𝑚)
. 
Giải pháp toán học cho việc phân phối chi phí trong độ tin cậy phần mềm 
123 
Hình 2. Độ tin cậy của một module phần mềm 
Hình 2 được tham khảo từ Berman and Cutler (1998) biểu diễn độ tin cậy của công 
thức (1): 𝑟𝑖
(0)
= 0,3, 𝑟𝑖
(𝑚)
= 0,9,∝𝑖= 0,05, 𝑥𝑖
(0)
= 100. Trong trường hợp này, độ tin cậy 
bằng 0 khi chi phí nhỏ hơn 100 và 0.3 khi chi phí bằng 100. Độ tin cậy tăng đến giá trị lớn 
nhất là 0,9 khi ix [2]. 
1.2.2. Độ tin cậy của một module mua 
Một module i trong tập hợp các module mua được giả định có 
in version trên thị 
trường ( ). 
Cho 
ijy là một biến nhị phân biểu thị cho việc mua hay không mua version thứ j của 
module i . Nếu 1 ijy thì version j của module i được mua, ngược lại 0 ijy thì version 
j của module i không được mua. Với mục tiêu của mô hình là cực đại hóa độ tin cậy của 
phần mềm được ràng buộc trên tổng ngân sách đã cho (B). Do đó, để tiết kiệm chi phí mỗi 
module mua chỉ mua duy nhất một version trên thị trường, với điều kiện 1
1
 
in
j
ijy , độ tin 
cậy của module mua i là 
ir : 
𝑟𝑖 = ∑𝑟𝑖𝑗𝑦𝑖𝑗 ⁡⁡⁡⁡⁡⁡(2.1)
𝑛𝑖
𝑗=1
và chi phí để mua module i là: 
𝑐𝑖 = ∑𝑐𝑖𝑗𝑦𝑖𝑗 ⁡⁡⁡⁡⁡⁡(2.2)
𝑛𝑖
𝑗=1
1.2.3. Độ tin cậy của một module tích hợp 
Module Ti là một module tích hợp được tạo thành từ các module i1, i2, . . . , is. Độ tin 
cậy module Ti phụ thuộc vào độ tin cậy các module con của Ti. 
Cho 
)(m
Ti
r là độ tin cậy lớn nhất có thể đạt được của module tích hợp 
iT . Do đó, độ tin 
cậy tối đa có thể đạt được của module 
iT được tính theo công thức  
s
k iT
rr
i 1
(max)
. Tuy 
nhiên, trong quá trình tích hợp các module con có thể xảy ra những lỗi do có sự không tương 
thích giữa các module với nhau. Do đó, gọi 
)0(
iT
r là độ tin cậy nhỏ nhất có thể có của module 
iT (có thể nhỏ hơn hoặc bằng 
(max)
iT
r ). Cho )10( 
ii TT
qq là một hệ số phản ánh sự tương 
thích giữa các module. Vì vậy 
(max)
1
)0(
iiii TT
s
k iTT
rqrqr  . 
Nguyễn Thị Thùy Trang, Phan Thị Ngọc Mai 
124 
Tương tự module đơn được phát triển trong công ty, độ tin cậy của một module tích 
hợp Ti: 
𝑅𝑇𝑖 = {
𝑟𝑇𝑖
(𝑚)
− (𝑟𝑇𝑖
(𝑚)
− 𝑟𝑇𝑖
(0)
) 𝑒−𝛼𝑖(𝑥𝑖−𝑥𝑖
(0)
) 𝑥𝑖 ≥ 𝑥𝑖
(0)
0 𝑥𝑖 < 𝑥𝑖
(0)
⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡(3) 
trong đó ∝𝑖, 𝑥𝑖⁡, 𝑥𝑖
(0)
 đã được định nghĩa trong phần trước. 
Các số ngẫu nhiên được chọn cho ví dụ [2]: 
𝑟11 = 0,7, ⁡𝑐11 = 5 
𝑟12 = 0,9, ⁡𝑐12 = 6 
𝑟21 = 0,87, ⁡𝑐21 = 7 
𝑟22 = 0,95, ⁡𝑐22 = 8 
𝑟3
(𝑚)
= 0,83, 𝑟3
(0)
= 0,53, 𝛼3 = 0,3, 𝑥3
(0)
= 2⁡ 
𝑟4
(𝑚)
= 0,9, 𝑟4
(0)
= 0,5, 𝛼4 = 0,4, 𝑥4
(0)
= 3,5⁡ 
𝑞5 = 0,7, 𝛼5 = 0,25, 𝑥5
(0)
= 4 
𝑞6 = 0,8, 𝛼6 = 0,3, 𝑥6
(0)
= 3 
Để tính toán độ tin cậy của hệ thống, đầu tiên tính độ tin cậy của các module mua (1) 
và (2) và các module đơn (3) và (4). 
r1 = r11y11 + r12y12 
r2 = r21y21 + r22y22 
r3 = {
0,83 − (0,83 − 0,52)e−0,3(x3−2) x3 ≥ 2
0 x3 < 2
r4 = {
0,9 − (0,9 − 0,5)e−0,4(x4−3,5) x4 ≥ 3,5
0 x4 < 3,5
Độ tin cậy của module tích hợp Keyword (5) là: 
𝑟5 = {
𝑟5
(𝑚)
− (𝑟5
(𝑚)
− 𝑟5
(0)
) 𝑒−0,25(𝑥5−4) 𝑥5 ≥ 4
0 𝑥5 < 4
trong đó 𝑟5
(0)
= 𝑟2𝑟4 và 𝑟5
(0)
= 0,8𝑟5
(𝑚)
 là độ tin cậy của module tích hợp Database-indexing (6) 
𝑟6 = {
𝑟6
(𝑚)
− (𝑟6
(𝑚)
− 𝑟6
(0)
) 𝑒−0,3(𝑥6−3) 𝑥6 ≥ 3
0 𝑥6 < 3
khi đó 𝑟6
(0)
= 𝑟1𝑟3𝑟5 và 𝑟6
(0)
= 0,8𝑟6
(𝑚)
Bài toán: 
max �̂� 
 S.T. 
𝑐11𝑦11 + 𝑐12𝑦12 + 𝑐21𝑦21 + 𝑐21𝑦21 + 𝑥3 + 𝑥4 + 𝑥5 + 𝑥6 ≤ 𝐵 
𝑦11 + 𝑦12 = 1 
𝑦21 + 𝑦22 = 1 
𝑥𝑖 ≥ 𝑥𝑖
(0)
, 𝑖 = 3, 4, 5, 6 
𝑦11, 𝑦12, 𝑦21, 𝑦22 = 0⁡ℎ𝑜ặ𝑐⁡1 
Thông qua việc sử dụng hàm Solver của công cụ Microsoft Excel. Sau khi giải bài 
toán thu được các kết quả sau: 
Giải pháp toán học cho việc phân phối chi phí trong độ tin cậy phần mềm 
125 
Bảng 1. Giải pháp cho những nguồn ngân sách khác nhau 
B y11 y12 y21 y22 x3 x4 x5 x6 
Độ tin cậy 
Tối ưu 
25 1 0 1 0 2,0000 4,0000 4,0000 3,0000 0,11826 
26 0 1 1 0 2,0000 4,0000 4,0000 3,0000 0,15205 
30 0 1 0 1 3,3816 5,6183 4,0000 3,0000 0,2518 
35 0 1 0 1 5,1168 6,9833 4,7556 4,1441 0,3491 
40 0 1 0 1 6,3842 7,9627 6,2414 5,4115 0,4269 
45 0 1 0 1 7,6511 8,9325 7,7371 6,6785 0,4870 
50 0 1 0 1 8,9178 9,8958 9,2410 9,9452 0,5316 
55 0 1 0 1 10,1842 10,8547 10,7494 9,2116 0,5639 
60 0 1 0 1 11,4505 11,8105 12,2610 10,4778 0,5868 
70 0 1 0 1 13,9826 13,7167 15,2906 13,0099 0,6140 
80 0 1 0 1 16,5145 15,6189 18,3246 15,5418 0,6270 
100 0 1 0 1 21,5779 19,4188 24,3978 20,6053 0,6361 
150 0 1 0 1 34,2205 28,9238 39,5821 33,2734 0,63863 
200 0 1 0 1 46,7863 37,8185 56,3336 45,0614 0,63868 
2. MÔ HÌNH TỔNG QUÁT 
Giả sử trong phần mềm tồn tại n module và các module này có thể được mua ở bên 
ngoài thị trường hoặc được phát triển trong công ty. Cho zi là một biến nhị phân, khi zi = 1 
thì module i là được phát triển trong công ty, ngược lại nếu zi = 0 thì module i được mua từ 
bên ngoài. Số version của những module i được mua bên ngoài thị trường là ni và mỗi 
module mua chỉ mua một version trong số các version của module đó. Từ một module có thể 
được phát triển trong công ty hoặc được mua từ bên ngoài thị trường, zi +  
in
j ij
y
1
=1. Gọi ri 
là độ tin cậy của module i được phát triển trong công ty với chi phí xi, ijij cr , là độ tin cậy và 
chi phí của một version j của module i. Do đó, đối với bất kỳ một module phần mềm i nào có 
độ tin cậy Ri được cho bởi: 

in
j
ijijiii yrzrR
1 
Tương tự, gọi 
iC là chi phí để thực hiện một module i: 

in
j
ijijiii yczxC
1 
Nguyễn Thị Thùy Trang, Phan Thị Ngọc Mai 
126 
Trong trường hợp này bài toán được phát biểu như sau: 
 𝑀𝑎𝑥⁡�̂� (GP1) 
 S.T. 
 Bzxyc
n
i
iiij
n
i
n
j
ij
i
 
 11 1
 (GP2) 
 1
1
 
in
j
iji yz với ni ,,2,1  (GP3) 
 1,0, iji yz với ni ,,1 ; inj ,,1 (GP4) 
trong đó: 
 (GP1) cực đại hoá độ tin cậy. 
 (GP2) đảm bảo tổng các khoảng chi tiêu là không vượt ngân sách. 
 (GP3) đảm bảo có đúng một module i được phát triển trong công ty hoặc có duy 
nhất một version được mua trên thị trường cho module i. 
 (GP4) đảm bảo các biến 
iij zy , là các biến nhị phân. 
3. GIẢI QUYẾT BÀI TOÁN 
Trong giai đoạn thiết kế phần mềm, nhà quản lý sẽ ước lượng độ tin cậy của phần mềm 
dựa vào chi phí đã cho. Dựa vào các yếu tố hiện có của công ty, nhà quản lý có thể chủ động 
xây dựng kế hoạch phân phối chi phí giữa việc mua và phát triển các module một cách hợp 
lý để tạo ra phần mềm có độ tin cậy mong muốn. 
Để giải quyết bài toán, một giải pháp sử dụng phương pháp quy hoạch nguyên nhị phân 
[3] được đề xuất việc phân phối chi phí cho các module mua, kết hợp với phương pháp quy 
hoạch phi tuyến giải quyết hàm số mũ nhiều biến [4], để phân phối chi phí cho các module 
phát triển trong công ty. Thông qua việc kết hợp này, các hàm trong Matlab [5] được dùng 
để xây dựng hai giải pháp cho phép kết hợp giữa bài toán quy hoạch nguyên và quy hoạch 
phi tuyến một cách tự động thông qua việc phân hoạch bài toán như sau: 
Bước 1: Phân hoạch bài toán thành hai phần: module mua và module phát triển trong 
công ty. 
 Module mua: các biến trong module mua là các biến nguyên nhị phân (chỉ nhận giá 
trị: 0 hoặc 1) sẽ được thực hiện thông qua bài toán quy hoạch nguyên. 
 Phần module phát triển trong công ty: các biến trong module phát triển trong công 
ty là các biến thực. Hàm mục tiêu là một hàm nhiều biến, các điều kiện ràng buộc 
là các phương trình phi tuyến, bài toán quy hoạch phi tuyến cũng có thể dễ dàng 
thực hiện cho phần module phát triển trong công ty. 
Bước 2: Kết hợp hai bài toán lại thông qua đó tìm độ tin cậy lớn nhất có thể đạt được 
của phần mềm sao cho không vượt quá giới hạn ngân sách đã cho. 
Giải pháp toán học cho việc phân phối chi phí trong độ tin cậy phần mềm 
127 
Hình 3. Sự phân hoạch bài toán 
Do vấn đề đặc biệt này, có thể phân hoạch bài toán thành hai bài toán con để giải quyết. 
Giả sử kinh phí cung cấp cho dự án phần mềm này là B, sẽ trích ra phần B’ để mua các 
module, phần còn lại (B-B’) được dùng vào việc phát triển các module trong công ty. 
Vấn đề phân phối chi phí giữa module mua và module phát triển trong công ty là vấn đề 
rất quan trọng trong giải quyết bài toán tối ưu hóa phân phối chi phí cho độ tin cậy phần 
mềm. Hai vấn đề được thực hiện để tối ưu hoá bài toán là: (1) tìm ra độ tin cậy lớn nhất có 
thể có để không vượt quá giới hạn ngân sách đã cho; (2) tìm ra chi phí nhỏ nhất của phần 
mềm có độ tin cậy là một hằng số cho trước. Để giải quyết hai vấn đề nêu trên, cần thực hiện 
hai bài toán sau: 
3.1. Bài toán 1 
Tìm ra giải pháp phân phối chi phí để phần mềm có độ tin cậy lớn nhất mà không vượt 
quá giới hạn ngân sách đã cho, các bước để thực hiện bài toán: 
 Bước 1: (Khởi tạo) nhập vào các thông số của module phần mềm: 
 Số module phần mềm, số module mua, số module đơn phát triển trong công ty. 
 Số version của mỗi module mua, chi phí và độ tin cậy của từng version. 
 Chi phí khởi tạo, độ tin cậy lớn nhất, độ tin cậy nhỏ nhất, thông số phản ánh độ 
nhạy của module đơn phát triển trong công ty. 
 Chi phí khởi tạo, thông số phản ánh sự tương thích của các module con, thông số 
phản ánh độ nhạy của module tích hợp, các module con của module tích hợp, 
chuyển sang bước 2. 
 Bước 2: Nhập chi phí để phát triển phần mềm ( B ). Nếu  
m
i
n
mi
ii xcB
1 1
)0((min)
thì yêu cầu nhập lại B , ngược lại chuyển sang bước 3. 
 Bước 3: Nhập tổng chi phí để mua các module mua 'B . Nếu 

m
i
i
m
i
i cBc
1
(max)
1
(min) ' và 
n
mi
ixBB
1
)0(' thì yêu cầu nhập lại 'B , ngược lại 
chuyển sang bước 4. 
 Bước 4: Tính độ tin cậy và chi phí cho từng module mua, chuyển sang bước 5. 
 Bước 5: Thiết lập mối quan hệ, những điều kiện ràng buộc giữa các module đơn và 
module tích hợp và chuyển sang bước 6. 
Nguyễn Thị Thùy Trang, Phan Thị Ngọc Mai 
128 
 Bước 6: Tìm độ tin cậy lớn nhất của các module trong phần mềm và chi phí của 
từng module ứng với độ tin cậy đó. Nếu độ tin cậy không thỏa mãn yêu cầu thì 
chuyển sang bước 7, ngược lại chuyển sang bước 8. 
 Bước 7: Nhập giai đoạn hiệu chỉnh. Khi Y = 0 thì chuyển sang bước 1 và thực hiện 
lại bài toán, khi Y = 1 thì chuyển sang bước 2, khi Y = 2 thì chuyển sang bước 3. 
 Bước 8: (Kết thúc) Xuất ra kết quả: độ tin cậy của phần mềm, độ tin cậy của các 
module, chi phí của các module. 
3.2. Bài toán 2 
Tìm chi phí nhỏ nhất để phần mềm có độ tin cậy lớn hơn hoặc bằng độ tin cậy đã định 
sẵn, các bước để thực hiện bài toán: 
 Bước 1: (Khởi tạo) nhập vào các thông số: 
 Số module phần mềm, số module mua, số module đơn phát triển trong công ty. 
 Số version của mỗi module mua, chi phí và độ tin cậy của từng version. 
 Chi phí khởi tạo, độ tin cậy lớn nhất, độ tin cậy nhỏ nhất, thông số phản ánh độ 
nhạy của module đơn phát triển trong công ty. 
 Chi phí khởi tạo, thông số phản ánh sự tương thích của các module con, thông số 
phản ánh độ nhạy của module tích hợp, các module con của module tích hợp, 
chuyển sang bước 2. 
 Bước 2: Nhập tổng chi phí để mua các module ( 'B ). Nếu 
m
i
i
m
i
i cBc
1
(max)
1
(min) ' 
thì chuyển sang bước 4, ngược lại yêu cầu nhập lại. 
 Bước 3: Nhập độ tin cậy phần mềm, chuyển sang bước 4. 
 Bước 4: Tính ra độ tin cậy và chi phí cho từng module mua, chuyển sang bước 5. 
 Bước 5: Thiết lập mối quan hệ và các ràng buộc giữa các module đơn và module 
tích hợp, chuyển sang bước 6. 
 Bước 6: Tìm chi phí nhỏ nhất của các module trong phần mềm và độ tin cậy của 
các module ứng với chi phí đó. Nếu tìm ra chi phí thỏa mãn điều kiện thì chuyển 
sang bước 8, ngược lại chuyển sang bước 7. 
 Bước 7: Nhập giai đoạn hiệu chỉnh. Khi Y = 0 thì chuyển sang bước 1 và thực hiện 
lại bài toán, khi Y = 1 thì chuyển sang bước 2, khi Y = 2 thì chuyển sang bước 3. 
 Bước 8: (Kết thúc) Xuất ra kết quả: tổng chi phí của phần mềm, độ tin cậy của các 
module, chi phí của các module. 
4. THỬ NGHIỆM 
Trong nghiên cứu này, ngôn ngữ được chọn để viết và kiểm nghiệm đó là ngôn ngữ 
MATLAB [4]. MATLAB cung cấp một công cụ tính toán toán học và lập trình bậc cao dễ sử 
dụng, hiệu quả và thân thiện với người dùng. 
Giải pháp toán học cho việc phân phối chi phí trong độ tin cậy phần mềm 
129 
Bảng 2. Giải pháp cho những nguồn ngân sách khác nhau cho bài toán 1 
B B’ 
2221
1211
yy
yy
[x3 . . . x6] [r3 . . . r5] 
Độ tin cậy 
tối ưu (
6r ) 
25 12 1010 [2,0000, 4,0000, 4,0000, 3,0000] 0,5300, 0,5725, 0,3985 0,1183 
26 13 0110 [2,0000, 4,0000, 4,0000, 3,0000] 0,5300, 0,5725, 0,3985 0,1521 
30 14 0101 [3,3822, 5,6178, 4,0000, 3,0000] 0,6318, 0,7285, 0,5537 0,2519 
35 14 0101 [5,0354, 6,9367, 4,8520, 4,1759] 0,7093, 0,7988,0,6362 0,3491 
40 14 0101 [6,1630, 7,9788, 6,3025, 5,5557] 0,7093, 0,7988, 0,6362 0,4267 
45 14 0101 [7,0692, 9,0706, 7,9018, 6,9584] 0,7093, 0,7988, 0,6362 0,4863 
50 14 0101 [8,9192, 9,8961, 9,2542, 7,9305] 0,7924, 0,8690 0,7812 0,5317 
55 14 0101 [10,186, 10,8559, 10,8019, 9,1562] 0,8043, 0,8789 0,8045 0,5639 
60 14 0101 [11,4559, 11,8187, 12,3789, 10,3465] 0,8124, 0,8856, 0,8206 0,5868 
80 14 0101 [16,6108, 15,6124, 18,6015, 15,1754] 0,8263, 0,8969, 0,8476 0,6270 
100 14 0101 [16,0927, 30,7139, 23,2710, 15,9224] 0,8256, 0,9000, 0,8536 0,6317 
150 14 0101 [35,6548, 65,0458, 16,9591, 18,3404] 0,8300, 0,9000, 0,8483 0,6324 
200 14 0101 [49,2676, 89,9183, 22,2423, 24,5718] 0,8300, 0,9000, 0,8532 0,6372 
Bảng 3. Giải pháp cho những nguồn ngân sách khác nhau cho bài toán 2 
Độ tin cậy 
phần mềm 
(
6r ) 
B’ 
2221
1211
yy
yy
 [r3 . . . r5] [x3 . . . x6] 
Tổng chi phí 
tối ưu (B) 
0,1183 12 1010 [0,5300, 0,5727, 0,3986] [2,0000, 4,0013, 4,0000, 3,0000] 25,0013 
0,2 12 1010 [0,6687, 0,7621, 0,5304,] [4,0674, 6,1620, 4,0000, 3,0947] 29,3241 
0,25 13 0110 [0,6608, 0,7550, 0,5255] [3,9086, 6,0367, 4,0000, 3,0000] 29,9453 
0,3 14 0101 [0,6847, 0,7764, 0,5901] [4,4172, 6,4370, 4,0000, 3,4445] 32,2987 
0,35 14 0101 [0,7127, 0,8011, 0,6355] [5,1295, 6,9932, 4,7705, 4,1570] 35,0502 
0,4 14 0101 [0,7372, 0,8224, 0,6787] [5,9117, 7,5989, 5,6860, 4,9391 38,1356 
0,45 14 0101 [0,7596, 0,8415, 0,7193] [6,8300, 8,3047, 6,7667, 5,8568] 41,7582 
0,5 14 0101 [0,7801, 0,8588, 0,7577] [7,9797, 9,1827, 8,1267, 7,0065] 46,2957 
0,55 14 0101 [0,7992, 0,8747, 0,7942] [9,5842, 10,4007, 10,0340, 8,6112] 52,6301 
0,6 14 0101 [0,8170, 0,8894, 0,8290] [12,4556, 12,5681, 13,4632, 11,4833] 63,9701 
Nguyễn Thị Thùy Trang, Phan Thị Ngọc Mai 
130 
Bảng 4. Giải pháp cho những nguồn ngân sách khác nhau cho bài toán 1 có 22 module 
B B’ ijy [x5 . . . x22] [r5 . . . r21] 
Độ tin cậy 
tối ưu 
( 22r ) 
145 26 
0 0 0 1 0 1 
0 0 1 0 0 0 
1 
 [4,00, 3,00, 5,00,7,00, 8,00, 6,00, 
5,00, 7,50, 6,50, 6,00, 6,50, 8,00, 
6,50, 6,00, 8,00, 7,00, 9,00,10,00] 
 [0,30, 0,56, 0,49, 0,50, 0,35, 
0,55, 0,46, 0,35, 0,21, 0,13, 
0,05, 0,27, 0,02, 0,09, 0,26, 
0,04, 0,09] 
0,0035 
200 35 
0 0 0 1 0 1 
0 0 1 0 0 0 
1 
 [4,00, 9,52, 12,40,7,00, 16,20, 
14,37, 11,67, 15,16, 6,50, 6,00, 
6,50, 8,00, 6,50, 6,90, 8,00, 7,28, 
9,00, 10,00] 
 [0,30, 0,93, 0,98, 0,50, 0,93, 
0,86, 0,96, 0,94, 0,24, 0,22, 
0,17, 0,89, 0,08, 0,80, 0,81, 
0,75, 0,75] 
0,55 
250 35 
0 0 0 1 0 1 
0 0 1 0 0 0 
1 
[4,00, 16,23, 24,49, 7,00, 19,06, 
20,23, 14,21, 18,50, 6,50, 6,00, 
6,50, 9,31, 6,50, 11,09, 11,54, 
11,67, 11,53, 10,64] 
 [0,30, 0,96, 0,99, 0,50, 0,96, 
0,89, 0,98, 0,96, 0,24, 0,22, 
0,17, 0,93, 0,08, 0,89, 0,87, 
0,86, 0,83] 
0,71 
300 35 
0 0 0 1 0 1 
0 0 1 0 0 0 
1 
[4,00, 17,80, 28,33, 7,00, 23,14, 
26,21, 21,02, 20,11, 6,50, 6,00, 
6,50, 16,52, 6,50,14,53, 15,69, 
14,51, 5,29, 15,35] 
 [0,30, 0,96, 0,99, 0,50, 0,97, 
0,90, 0,99, 0,97, 0,24, 0,22, 
0,17, 0,95, 0,08, 0,91, 0,89, 
0,90, 0,85] 
0,77 
400 35 
0 0 0 1 0 1 
0 0 1 0 0 0 
1 
 [4,00, 34,63, 49,65, 7,00, 29,58, 
34,46, 19,64, 31,98, 6,50, 6,00, 
6,50, 20,00, 6,50, 21,01, 23,57, 
22,67, 22,33, 18,97] 
 [0,30, 0,96, 0,99, 0,50, 0,97, 
0,90, 0,99, 0,97, 0,24, 0,22, 
0,17, 0,95, 0,08, 0,92, 0,89, 
0,91, 0,86] 
0,7856 
500 35 
0 0 0 1 0 1 
0 0 1 0 0 0 
1 
 [4,00, 46,04, 62,22, 7,00, 35,48, 
41,33, 23,38, 38,70, 6,50, 6,00, 
6,50, 37,30, 6,50, 20,67, 32,59, 
24,98, 33,11, 32,70] 
 [0,30, 0,96, 0,99, 0,50, 0,97, 
0,90, 0,99, 0,97, 0,24, 0,22, 
0,17, 0,95, 0,08, 0,92, 0,89, 
0,91, 0,86] 
0,7882 
Bảng 5. Giải pháp cho những nguồn ngân sách khác nhau cho bài toán 2 có 22 module 
Độ tin 
cậy phần 
mềm 
( 22r ) 
B’ ijy [x5 . . . x22] [r5 . . . r21] 
Tổng chi 
phí (B) 
0,0035 26 
1 0 0 0 
1 0 
1 0 0 
1 0 0 0 
[4,00, 3,00, 5,00, 7,00, 8,00, 
6,00, 5,00, 7,50, 6,50, 6,00, 
6,50, 8,00, 6,50, 6,00, 8,00, 
7,00, 9,00,10,00] 
[0,30, 0,56, 0,49, 0,50, 0,35, 
0,55, 0,46, 0,35, 0,21, 0,13, 
0,05, 0,27, 0,02, 0,09, 0,26, 
0,04, 0,09] 
135,00 
0,1 35 
0 0 0 1 
0 1 
0 0 1 
 0 0 0 1 
[4,00, 4,20, 7,84, 7,00, 10,32, 
6,34, 6,82, 9,77, 6,50, 6,00, 
6,50, 8,00, 6,50, 6,00, 8,00, 
7,00, 9,00, 30,33] 
[0,30, 0,71, 0,87, 0,50, 0,69, 
0,58, 0,76, 0,72, 0,24, 0,22, 
0,17, 0,61, 0,08, 0,40, 0,49, 
0,29, 0,34] 
154,78 
0,2 35 
0 0 0 1 
0 1 
0 0 1 
 0 0 0 1 
[4,00, 5,21, 8,76, 7,00, 11,43, 
7,77, 7,74, 10,78, 6,50, 6,00, 
6,50, 8,00, 6,50, 6,00, 8,00, 
7,00, 9,00, 38,21] 
[0,30, 0,79, 0,91, 0,50, 0,78, 
0,68, 0,84, 0,80, 0,24, 0,22, 
0,17, 0,71, 0,08, 0,53, 0,60, 
0,42, 0,47] 
161,19 
Giải pháp toán học cho việc phân phối chi phí trong độ tin cậy phần mềm 
131 
Độ tin 
cậy phần 
mềm 
( 22r ) 
B’ ijy [x5 . . . x22] [r5 . . . r21] 
Tổng chi 
phí (B) 
0,3 35 
0 0 0 1 
0 1 
0 0 1 
 0 0 0 1 
[4,00, 6,15, 9,59, 7,00, 12,49, 
9,17, 8,59, 11,72, 6,50, 6,00, 
6,50, 8,00, 6,50, 6,00, 8,00, 
7,00, 9,00, 38,66] 
[0,30, 0,85, 0,94, 0,50, 0,84, 
0,74, 0,88, 0,86, 0,24, 0,22, 
0,17, 0,78, 0,08, 0,62, 0,68, 
0,53, 0,57] 
167,23 
0,5 35 
0 0 0 1 
0 1 
0 0 1 
 0 0 0 1 
[4,00, 8,59, 11,63, 7,00, 15,24, 
12,89, 10,77, 14,16, 6,50, 6,00, 
6,50, 8,00, 6,50, 6,00, 8,00, 
7,00, 9,00, 43,05] 
[0,30, 0,92, 0,97, 0,50, 0,92, 
0,84, 0,95, 0,93, 0,24, 0,22, 
0,17, 0,87, 0,08, 0,76, 0,79, 
0,70, 0,72] 
182,78 
0,7 35 
0 0 0 1 
0 1 
0 0 1 
 0 0 0 1 
[4,00, 12,54 
 14,84, 7,00, 19,75, 19,14, 
14,30, 18,11, 6,50, 6,00, 6,50, 
9,02, 6,50, 10,57, 11,01, 10,86, 
10,85, 47,95] 
[0,30, 0,95, 0,98, 0,50, 0,96, 
0,88, 0,98, 0,96, 0,24, 0,22, 
0,17, 0,92, 0,08, 0,87, 0,86, 
0,85, 0,82] 
222,50 
5. KẾT LUẬN 
Tự động hóa quá trình phân phối chi phí để đánh giá độ tin cậy phần mềm là một bài 
toán mở, nhiều phương pháp đã được đưa ra để giải quyết. Phương pháp kết hợp quy hoạch 
nguyên và quy hoạch phi tuyến của hàm nhiều biến là một giải pháp được đề xuất để giải 
quyết vấn đề này. Đứng trên góc độ của một công trình nghiên cứu, bài báo đã đưa ra hai 
giải pháp nhằm cung cấp thêm một cách thức để giải quyết bài toán tối ưu hoá phân phối chi 
phí cho độ tin cậy phần mềm: Một là tìm ra độ tin cậy lớn nhất có thể có để không vượt quá 
giới hạn ngân sách đã cho; Hai là tìm ra chi phí nhỏ nhất của phần mềm có độ tin cậy là một 
hằng số cho trước. 
Tuy nhiên, để có thể xây dựng một giải pháp hữu hiệu hơn cho bài toán này, cần thực 
hiện các nghiên cứu mở rộng như: Xây dựng các mô hình khác mô hình số mũ để giải quyết 
việc phân phối chi phí cho độ tin cậy phần mềm; Xây dựng hàm quy hoạch phi tuyến tồn tại 
cả biến nguyên và biến thực giải quyết bài toán một cách tối ưu nhất; Lấy dữ liệu thực từ các 
hãng phần mềm ứng dụng vào mô hình. 
TÀI LIỆU THAM KHẢO 
1. Hoang Pham - Software reliability, Springer – Verlag Singapore Pte.Ltd, 2000. 
2. Berman O., Cutler M. - Cost allocation for software reliability, in: Recent advances in 
reliability and quality engineering, vol.2, Series on Quality, Reliability & Engineering 
Statistics, Editor Hoang Pham, Word Scientific, 2001. 
3. John W. Chinneck - Practical optimization: A gentle introduction, Systems and 
Computer Engineering, Carleton University, Ottawa, Ontario, Canada. 
4. Jonathan F. Bard - Practical bilevel optimization: Algorithms and applications, Springer, 
1999. 
5. Nguyễn Nhật Lệ, Phan Mạnh Dần - Giải bài toán tối ưu hoá ứng dụng bằng MATLAB-
MAPLE tối ưu hoá tĩnh và điều khiển tối ưu, NXB Khoa học Kỹ thuật, Hà Nội, 2005. 
Nguyễn Thị Thùy Trang, Phan Thị Ngọc Mai 
132 
ABSTRACT 
MATHEMATICAL SOLUTIONS TO THE COST ALLOCATION 
OF SOFTWARE RELIABILITY 
Nguyen Thi Thuy Trang, Phan Thi Ngoc Mai* 
 Ho Chi Minh city University of Food Industry 
*Email: maiptn@cntp.edu.vn 
In this paper, two mathematical solutions to the cost allocation of software reliability 
are proposed, including application of binary integer programming to find the greatest 
reliability of the purchased modules, and use of nonlinear programming to find the greatest 
reliability of the module development in the company. This study finds the greatest possible 
reliability of the software without exceeding the given cost limit and the smallest cost so that 
the software reliability is a predetermined value. 
Keywords: Software reliability, in-house developed module, integation module, purchased 
module, cost allocation. 
Giấy phép xuất bản số 435/GP-BTTTT, ngày 23 tháng 10 năm 2013. 
In tại Công ty TNHH Sản xuất Thương mại Dịch vụ Khang Hưng Phú. 
Số lượng 250 cuốn, khổ 19 x 27 cm. In xong và nộp lưu chiểu tháng 12 năm 2017.