Đồng dư thức và ứng dụng trong việc chứng minh tính chia hết và tìm số dư của phép chia
TÓM TẮT
Trong bài báo này chúng tôi cung cấp một số ứng dụng của lý thuyết đồng dư trong việc chứng
minh các bài toán về quan hệ chia hết, tìm số dư của một phép chia và tìm các chữ số tận cùng của
một số tự nhiên dạng an. Các vấn đề này hoàn toàn hữu ích cho các sinh viên đang theo học ngành
toán cũng như cho các giáo viên dạy toán trung học phổ thông.
Từ khóa: Đồng dư, môđun, chia hết cho, chia có dư, số nguyên, số tự nhiên, chữ số
Bạn đang xem tài liệu "Đồng dư thức và ứng dụng trong việc chứng minh tính chia hết và tìm số dư của phép chia", để tải tài liệu gốc về máy hãy click vào nút Download ở trên
Tóm tắt nội dung tài liệu: Đồng dư thức và ứng dụng trong việc chứng minh tính chia hết và tìm số dư của phép chia
![Đồng dư thức và ứng dụng trong việc chứng minh tính chia hết và tìm số dư của phép chia Đồng dư thức và ứng dụng trong việc chứng minh tính chia hết và tìm số dư của phép chia](https://s1.tailieuvn.net/xb70nb5jd4llaq8g/thumb/2021/12/03/dong-du-thuc-va-ung-dung-trong-viec-chung-minh-tinh-chia-het_RTkR9T0f7E.jpg)
Hoàng Ngọc Tuất Tạp chí KHOA HỌC & CÔNG NGHỆ 135(05): 57 - 60 57 ĐỒNG DƯ THỨC VÀ ỨNG DỤNG TRONG VIỆC CHỨNG MINH TÍNH CHIA HẾT VÀ TÌM SỐ DƯ CỦA PHÉP CHIA Hoàng Ngọc Tuất* Trường Đại học Khoa học - ĐH Thái Nguyên TÓM TẮT Trong bài báo này chúng tôi cung cấp một số ứng dụng của lý thuyết đồng dư trong việc chứng minh các bài toán về quan hệ chia hết, tìm số dư của một phép chia và tìm các chữ số tận cùng của một số tự nhiên dạng an. Các vấn đề này hoàn toàn hữu ích cho các sinh viên đang theo học ngành toán cũng như cho các giáo viên dạy toán trung học phổ thông. Từ khóa: Đồng dư, môđun, chia hết cho, chia có dư, số nguyên, số tự nhiên, chữ số ĐẶT VẤN ĐỀ* Đồng dư thức là một trong những nội dung quan trọng của học phần Lý thuyết số trong chương trình đào tạo cử nhân Toán học. Để sinh viên và giáo viên Toán có thêm những ứng dụng về lý thuyết đồng dư, trong bài viết này chúng tôi đưa ra một vài ứng dụng của lý thuyết đồng dư trong việc chứng minh các tính chất chia hết và tìm số dư của các phép chia. Khái niệm đồng dư thức [5] Hai số nguyên a và b gọi là đồng dư theo modun m, m N*, nếu a - b chia hết cho m hay a và b khi chia cho m có cùng một số dư. Kí hiệu: a b (mod m) là a đồng dư b theo modun m. Một số tính chất [3]: - Nếu a b (mod m) a = mq + r và b = mq1 + r, với 0 r < b. - Nếu ai bi (mod m), i = 1, 2, ..., n. a1 + a2 + ... + an b1 + b2 + ... + bn (mod m). - Nếu ai bi (mod m), i = 1, 2, ..., n a1.a2 ... an b1.b2...bn (mod m). - Nếu a b (mod m) an bn (mod m). - Nếu a b (mod m) và d là ước chung dương của a, b, m (mod ). - Định lý Ơle [2]: Nếu a Z, m N*, (a, m) = 1, thì a (m) 1 (mod m). Hệ quả (Định lý Fermat) [2]: Nếu p là một số nguyên tố, thì mọi số nguyên a không chia hết cho p ta có a p - 1 1 (mod p). * Tel: 0974 286206 MỘT SỐ ỨNG DỤNG TRONG VIỆC CHỨNG MINH TÍNH CHIA HẾT VÀ TÌM SỐ DƯ TRONG PHÉP CHIA Chứng minh tính chia hết: Với a, b Z, b 0, ta nói a chia hết cho b, nếu tồn tại q Z sao cho a = bq. Ký hiệu a chia hết cho b bởi a b. Từ định nghĩa trên ta có a b a 0 (mod b). Ví dụ 1: Chứng minh rằng với mọi số tự nhiên n 1, thì: + 2 chia hết cho 11. Giải Ta có (3,11) = 1 3 (11) 1 (mod 11) 310 1 (mod 11); Vì (2,5) = 1 2 (5) 1 24 1 (mod 5) 2 4n 1 (mod 5) 24n+1 2 (mod 10) 24n+1 = 10k + 2. Ta có: 3 10k+2 32 (mod 11) hay 3 10k+2 9 (mod 11) 310k+2 + 2 0 (mod 11), nghĩa là 310k+2 + 2 11 Vậy + 2 chia hết cho 11. Ví dụ 2: Chứng minh rằng: + + chia hết cho 102. [1] Giải Ta có: 220 0 (mod 2); 220 1 (mod 3); 220 -1 (mod 17); 119 1 (mod 2); 119 -1 (mod 3); 119 0 (mod 17); 69 1 (mod 2); 69 0 (mod 3); 69 1 (mod 17). Nitro PDF Software 100 Portable Document Lane Wonderland Hoàng Ngọc Tuất Tạp chí KHOA HỌC & CÔNG NGHỆ 135(05): 57 - 60 58 Từ đó 0 (mod 2); 1 (mod 2) ; 1 (mod 2). + + 0 (mod 2)(1) 1 (mod 3); -1 (mod 3) ; 0 (mod 3) + + 0 (mod 3) (2) -1 (mod 17); 0 (mod 17) ; 1 (mod 17) + + 0 (mod 17) (3) Từ (1), (2), (3) ta có + + 0 (mod 102) Vậy chia hết cho 102. Ví dụ 3: Chứng minh rằng - chia hết cho 100. [1] Giải Ta có 9 (10) = 9 4 1 (mod 10) 98 1 (mod 10) 99 9 (mod 10) 99 = 10k + 9 = 910k +9. Vì 9 10 1 (mod 100) 910k 1 (mod 100) 910k+9 99 (mod 100), do 9 9 89 (mod 100) 910k+9 89 (mod 100) hay 89 (mod 100) (1). Mặt khác = 9 100q+89 989 (mod 100), từ 910 1 (mod 100) 989 99 (mod 100) vì 9 9 89 (mod 100) 89 (mod 100) (2). Từ (1) và (2) ta có: Ví dụ 4:Cho p là một số nguyên tố, p > 3 và n = . Chứng minh rằng: 2n – 2 n. Giải Vì p nguyên tố, p > 3 (2, p) = 1 1 (mod p). Mặt khác 1 (mod 3) 1 (mod 3p) hay - 1 3p Ta có n - 1 = - 1= = = n -1 2p 2n-1 - 1 22p -1, vì n = 22p – 1 n 2n – 2 n. Các bài tương tự: Chứng minh rằng: [1] 1) chia hết cho 23. 2) + 21 chia hết cho 37. 3) - 65 chia hết cho 100. Tìm số dư trong phép chia [4] Cho a, b Z, b 0, để tìm số dư trong phép chia a chia cho b, ta xét: a = bq + r, với 0 r < b . Điều này tương đương: Ví dụ 1: Tìm số dư trong phép chia 2012 2013 + 2013 2014 + 2014 2015 cho 13 Giải Ta có 2012 -3 (mod 13) 2013 -2 (mod 13) 2014 -1 (mod 13) +) (2012, 13) = 1 2012 (13) 1 (mod 13) 201212 1 (mod 13) 20122004 1 (mod 13) 20122013 20129 (mod 13). Vì 2012 -3 (mod 13) 20129 (-3)9 (mod 13), vì (-3) 9 -1 (mod 13) 20122013 -1 (mod 13) (1). +) (2013, 13) = 1 2013 (13) 1 (mod 13) 201312 1 (mod 13) 20132004 1 (mod 13) 20132014 201310 (mod 13). Vì 2013 -2 (mod 13) 201310 (-2)10 (mod 13), Nitro PDF Software 100 Portable Document Lane Wonderland Hoàng Ngọc Tuất Tạp chí KHOA HỌC & CÔNG NGHỆ 135(05): 57 - 60 59 (-2) 10 10 (mod 13) 20132014 10 (mod 13) (2). +) (2014, 13) = 1 2014 (13) 1 (mod 13) 201412 1 (mod 13) 20142004 1 (mod 13) 20142015 201211 (mod 13). Vì 2014 -1 (mod 13) 201411 (-1)11 (mod 13), (-1) 11 -1 (mod 13) 20142015 -1 (mod 13) (3). Từ (1), (2), (3) ta có 2012 2013 + 2013 2014 + 2014 2015 8 (mod 13) Vậy số dư của số 2012 2013 + 2013 2014 + 2014 2015 chia cho 13 là 8. Chứng minh là hợp số Để chứng minh một số tự nhiên là một hợp số, ta tìm cách chứng minh số đó chia hết cho một số nguyên lớn hơn 1 nào đó. Ví dụ: Chứng minh rằng + 3 là hợp số Giải Ta thấy + 3 > 11, do vậy + 3 có thể là bội của 11. Ta thấy (2, 11) = 1 2 (11) 1 (mod 11) 2 10 1 (mod 11). Mặt khác ta có 34 1 (mod 10) 34n 1 (mod 10) 34n+1 3 (mod 10) 34n+1 = 10q + 3. Từ đó ta có: 210q 1 (mod 11) 210q+3 8 (mod 11) 210q+3 + 3 0 (mod 11). Điều này chứng tỏ + 3 là hợp số. Các bài tương tự [1] Chứng minh rằng các số sau là hợp số 1) + 19; 2) + 5. Tìm các chữ số tận cùng của một số tự nhiên Để tìm một chữ số, hai chữ số, ba chữ số tận cùng của một số tự nhiên, ta đi tìm các số dư của số đó cho 10, 100, 1000. Ví dụ 1: Tìm 2 chữ số tận cùng của số . Giải Để tìm 2 chữ số tận cùng về bên phải của số ta đi tìm số dư của chia cho 100. Ta có (3,100) = 1 3 (100) 1 (mod 100) 3 40 1 (mod 100). Bây giờ ta biểu diễn số 21930 qua 40. Giả sử ta có 21930 x (mod 40). Đặt x = 4r, ta có 2 1927 .8 8r (mod 8.5) 21927 r (mod 5). Ta có 24 1 (mod 5) 21920 1 (mod 5) 21927 27 (mod 5), vì 27 3 (mod 5) 21927 3 (mod 5) 21930 24 (mod 40) hay 2 1930 = 40k + 24. Ta có: = 340k+24 324 (mod 100). Ta có 3 8 61 (mod 100) 324 613 (mod 100), vì 613 = 81 (mod 100) 324 81 (mod 100) hay 81 (mod 100). Vậy hai chữ số tận cùng của số đã cho là 81. Ví dụ 2: Tìm 3 chữ số tận cùng của số . Giải Ta có (9, 1000) = 1 9 (1000) = 9400 1 (mod 1000) 92015 915 (mod 1000). Do 9 5 49 (mod 1000) 915 493 (mod 1000), vì 49 3 649 (mod 1000) 915 649 (mod 1000) hay 9 2015 649 (mod 1000) 92015 = 1000k + 649. Vậy bài toán được đưa về tìm 3 chữ số tận cùng của số 21000k+649. Giả sử 21000k+649 x (mod 1000). Đặt x = 8r 21000k+649 8r (mod 8.125) 21000k+646 r (mod 125). Ta có 2 (125) = 2 100 1 (mod 125) 21000k 1 (mod 125) 21000k+646 2646 (mod 125), vì 2 100 1 (mod 125) 2600 1 (mod 125) 2646 246 (mod 125). Ta có 2 10 24 (mod 125) 240 244 (mod 125) 246 26.244 (mod 125), Nitro PDF Software 100 Portable Document Lane Wonderland Hoàng Ngọc Tuất Tạp chí KHOA HỌC & CÔNG NGHỆ 135(05): 57 - 60 60 vì 2 6 .24 4 39 (mod 125) 2646 39 (mod 125) 21000k+646 39 (mod 125) 21000k+649 8.39 (mod 1000) 21000k+649 312 (mod 1000). Vậy ba chữ số tận cùng của số đã cho là 312. Các bài tương tự: 1. Tìm 2 chữ số tận cùng của số: . 2. Tìm 3 chữ số tận cùng của số: . TÀI LIỆU THAM KHẢO 1. Nguyễn Duy Hiền, Nguyễn Hữu Hoan. Bài tập đại số và lý thuyết số, tập 1. Nhà xuất bản Sư phạm Hà Nội, 2005. 2. Nguyễn Hữu Hoan, Lý thuyết số. Nhà xuất bản Đại học Sư phạm, 2007. 3. Nguyễn Tiến Tài, Nguyễn Hữu Hoan, Số học. Nhà xuất bản Giáo dục, 1998. 4. Lại Đức Thịnh, Giáo trình Số học. Nhà xuất bản Giáo dục, 1977. 5. George E. Andrews. Number Theory, 1994. SUMMARY ON CONGRUENCES AND APPLICATIONS IN PROVING THE DIVISIBILITY AND FINDING THE REMAINDERS OF DIVISIONS Hoàng Ngọc Tuất* College of Science - TNU In this paper we give some applications of the theory of congruence in proving divisibility problems, finding the remainder in the division and finding the digit numbers of the end of a natural number of the a n , where a, n are natural numbers. These problems are very useful for students in mathemtics and teachers of maths teaching at high schools. Keywords: Congruence, modules, divisible, remainder of division, integers, natural number, digit Ngày nhận bài:20/12/2014; Ngày phản biện:27/01/2015; Ngày duyệt đăng: 31/5/2015 Phản biện khoa học: PGS.TS Lê Thị Thanh Nhàn – Trường Đại học Khoa học - ĐHTN * Tel: 0974 286206 Nitro PDF Software 100 Portable Document Lane Wonderland Nguyễn Đình Dũng Tạp chí KHOA HỌC & CÔNG NGHỆ 135(05): 61 - 65 61 REGULARIZATION FOR A COMMON SOLUTION OF A SYSTEM OF ILL- POSED EQUATIONS INVOLVING LIPSCHITZ CONTINUOUS AND ACCRETIVE MAPPINGS WITH PERTURBATIVE DATA Nguyen Dinh Dung * Thai Nguyen University SUMMARY The purpose of this paper is to give a regulization method of Browder-Tikhonov type for solving a system of ill-posed equations involving Lipschitz continuous and accretive mappings in real reflexive and strictly convex Banach space with a uniformly Gâteaux differentiable norm under perturbative operators and right hand side. Key words: accretive mappings, Browder-Tikhonov regularization, systems of ill-posed equations INTRODUCTION * Let X be real reflexive and strictly convex Banach space with an uniformly Gâteaux differentiable norm with scalar product and norm of X denoted by the symbols .,. and X . respectively. Let 1A be a lipschitz continuous and accretive mapping and let jA be a j - cocoercively accretive mapping from X to X for 2,...,j N . ( )jD A X for 1,...,j N . Consider the following problem: Find an 0x X such that 0 , 1,...,j jA x f j N , (1) where jf is given in jY a priori. Set NjfxAXxS jjj ,...,1,: , j N j SS 1 . Here, suppose that S . We are specially interested in the situation where the data jf is not exactly known, we have only the approximations jf , satisfying j j j Y f f . (2) It is well known in [2] that each equation in (1), in general, is ill-posed, by this we mean that the solutions do not depend continuously on the data jf . Consequently, the system of * Tel: 0915 212787; Email: nddungictu@gmail.com equations is ill-posed, in general. Many practical inverse problems are naturally formulated in such a way and some methods are studied for solving (1), when jA is continuous and weakly closed (see [3], [7], [8], [9], [10], [11]). In 2009, Buong and Dung in [5] constructed a regularization solution on the base of minimizing the Tikhonov functional 2 2 * 1 min j N j j XY X j A x f x x where *x is element in jSX \ , 0 is the small parameter of regularization. Recently, they proposed a new regularization method for finding a common solution of a finite system of ill-posed operator equations involving Lipschitz continuous and accretive mappings in a real reflexive and strictly convex Banach space with a uniformly Gâteaux differentiate norm, when data jf is not exactly known (see [6]). In this paper, we are interested in the situation where the data jf and jA are not exactly in the know. We have only h jA of jA satisfying ( ) j h j j XY A x A x hg x , (3) where, ( )g t is a bounded nonnegative function. h jA have the same properties as jA . We propose a regularization method, that consists of the following operator equation. Nitro PDF Software 100 Portable Document Lane Wonderland Nguyễn Đình Dũng Tạp chí KHOA HỌC & CÔNG NGHỆ 135(05): 61 - 65 62 1 * 1 2 ( ) ( ) ( ) N h h j j j A x A x f x x f , (4) where, (0,1) is a fixed number. In the next section, we consider the strong convergence of the solution hx of (4). All terminologies and some facts will be used in this paper that are given in [6]. MAIN RESULTS Now, we list some facts that will be used to prove our results. Let *X be the dual of a Banach space X . Then a multivalued mapping * : 2XU X is said to be a (normalized) duality mapping if * 2 2 *( ) { : , || || || || }U x u X x u x u . Let be a continuous linear functional on and ,...),( 21 aa . We denote )( kk a instead of ,...)),(( 21 aa . We recall that is a Banach limit when satisfies 1)1( k and )()( 1 kkkk aa for each ,...),( 21 aa (see [1], [6]). For a Banach limit , we know that kkkkkk aaa suplim)(inflim for all ,...),( 21 aa . If ,...),( 21 aaa , ,...),( 21 bbb and cak (respectively, 0 kk ba ) as k , we have caakk )()( (respectively, )()( kkkk ba ). Lemma (see [6]). Let C be a convex subset of a Banach space X whose norm is uniformly Gâteaux differentiable. Let kx be a bounded subset of X , let z be an element of C and is a Banach limit. Then, 2 2 mink k v C k kx z x v if and only if 0)(, zxUzv kk for all v C . It is well-known in [4] that an accretive and Lipschitz continuous mapping on X is m- accretive. For an m-accretive mapping A in X and any fixed element f X , we can define a mapping ( )fv T x by ( )A v v f x (5) for each x X . Since A is m-accretive, the existence of fT is asserted. It is not difficult to verify that fT has the following properties: (i) ( )fD T X ; (ii) fT is nonexpansive; (iii) ( )fFix T S , where ( )fFix T denotes the set of fixed points of fT . Under the assumptions on h jA , Theorem 1 will show that problem (4) has a unique solution hx and hx converges strongly to an element 0x S as , 0h . Theorem 1. Let X be a real reflexive and strictly convex Banach space with a uniformly Gâteaux differentiable norm. Assume that h jA have the same properties as jA for 0h and 1,2,...,j N , with the condition in (3). Then, we have: (i) For each 0 and any jf X , equation (4) has a unique solution hx . (ii) If parameter is chosen such that 0 h as 0 , then hx converges strongly to an element 0x S , satisfying 0 * 0, ( ) 0,x x U x z z S . Proof (i) Since h jA are Lipschitz continuous and accretive with ( )jD A X for 1,...,j N . The mapping 1 * 2 (.) ( (.) ) ( ) N h h j j j A A f I x is Lipschitz continuous and - accretive mapping, define on X . So, equation (4) has a unique solution hx for each 0 . (ii) Without any loss of generality, we can assume that ( 1) 1N . From (4), we have the following equality: Nitro PDF Software 100 Portable Document Lane Wonderland Nguyễn Đình Dũng Tạp chí KHOA HỌC & CÔNG NGHỆ 135(05): 61 - 65 63 1 1 2 ( ) ( ) ( ( ) ( )) N h h h h h h j j j A x A z A x A z *( ), ( ) h hx x U x z 1 1 2 ( ), ( ) N h j j j f f f f U x z + 1 1 2 ( ) ( ) ( ( ) ( ), ( ) , N h h h j j j A z A z A z A z U x z z S , hence * 1 1 1 , ( ) , ( )h h hx x U x z f f U x z + 1 2 ( ), ( ) N h j j j f f U x z + 1 1 1 ( ) ( )h hA z A z x z 1 2 ( ) ( ) N h h j j j A z A z x z Because each h jA is accretive, therefore 2 * , ( ) h hx z x z U x z (|| ||) 2 ,h hg z x z z S . It means that there exists a positive constant 1M such that 1 hx M for all , , 0h , satisfying 0 h and 2 * , ( ) h hx z x z U x z + 1 (|| ||) 2 ( || ||), hg z M z z S . (6) From (4) and ( 1) 1N , it follows that 1 1 *|| ( ) || || || h h hA x f x x 2 || ( ) ( ) || [1 ( 1) ] N h h j j j A x A z N * 2 || || || ( ) ( ) || N h h h h j j j x x A x A x 2 || ( ) ( ) ||+2 N h h j j j A x A z *|| || (|| ||) h hx x hg x 2 1 || || 2 N h j j x z * 1 2 1 || || ( || ||) 2 N h m j j x x hg M z , where, 1sup{ ( ) : (0, )},mg g s s M , 0 h . Hence , 0 1 1lim || ( ) || 0 h h h A x f , (7) from (3), we obtain that , 0 1 1lim || ( ) || 0 h h A x f . (8) Now, we prove that , 0lim || ( ) || 0 h h j jA x f for 2,...,j N . Because 1A is accretive and jA is j - inverse strongly accretive, therefore 2 2 2 || ( ) || ( ) , ( ) N N h h h j j j j j j j A x f A x f U x z 2 ( ) , ( ) N h h h j j j A x f U x z 2 ( ) ( ) , ( ) N h h h h j j j j j A x A x f f U x z 1 * , ( ) h hx x U x z + (|| ||) ( 1)( ) hm hg z N hg x z 1 1 * 1 (|| ||) || || ( 1)( ) ( || ||)m hg z x z N hg M z which together with , 0 h and (0,1) , we imply , 0 lim || ( ) || 0hh j jA x f . Next, we put :j jT I A and : jf j jT T f . It is easy to see that z S if and only if 1 ( ) jfN jz fix T . Since jA is accretive, the mapping j f T is a pseudocontractive mapping on X and together with (6), (7) we obtain that Nitro PDF Software 100 Portable Document Lane Wonderland Nguyễn Đình Dũng Tạp chí KHOA HỌC & CÔNG NGHỆ 135(05): 61 - 65 64 , 0 lim || ( ) || 0j f h h I T x , for 2,...,j N . We first observe that the mapping 2 j f I T has a nonexpansive inverse, denoted by 1: (2 )j f j I T . Indeed, 2 j f j jI T I A f That is 1-strongly accretive on X . So, (2 )j f R I T X . From (5), (2 ) ( )j f j jI T x I A x f . The mapping (.) (.)j j jA A f is m- accretive, 1( )jI A is nonexpansive, it follows that j is nonexpansive. Clearly, ( )jfix = ( ) jffix T = jS . Thus, (2 )j j f fh h h hx T x I T x x = 1 h h j x x and 1 h hj j x x . Consequently, 1|| || || ||h h h hj j j jx x x x 1|| || || ( ) ||j fh h h j x x I T x , hence || || 0h hjx x as , 0 h . Further, let { }kx be any subsequence of { }hx with , 0 k k k k h as k . We consider the functional 2( ) || || ,k kx x x x X , we see that ( )x as || ||x and ( )x is continuous and convex, so as X is reflexive, there exists z X such that ( ) min ( )x Xz x . Hence, the set * : { : ( ) min ( )}x XC u X u x . It is easy to see that *C is a bounded, closed, and convex subset of X (see [1]). Since || || 0k j kx x , we have that 2 2( ) || || || ||j k k j k j k jz x z x z 2|| || ( )k kx z z , which implies that * *, 1,2,...,jC C j N . Now, we show that *C contains a common fixed point of 1{ } N j j . Since X is a strictly convex and reflexive Banach space, *C is a Chebyshev set (see [12]) in X , hence, for a point 1 ( ) N j jz fix , there exists a unique *z C such that *|| || inf || ||x Cz z z x . By jz z , * j z C , we have || || || || || ||j j jz z z z z z , hence j z z . So, there exists a point * 1 ( ) N j jz fix C . From Lemma, we have that 2 2|| || min || ||k k x X k kx z x x if and only if , ( ) 0k kx z U x z . (9) In (9), we take *x x , we have that * , ( ) 0.k kx z U x z In (6), we take z z and , 0k kk k h , we obtain 2 * , ( ) || ||k kx z U x z x z . Hence, 2|| || 0k kx z . Further, from Banach limit , we have that 2 2liminf || || || || 0k k k kx z x z . Because { }kx is weakly compact in reflexive and strictly convex Banach space, there exists a subsequence { } mk x of { }kx such that 2 2lim || || liminf || || mm k k k x z x z . So, { } mk x strongly converges to z as m . From (6) and the norm-to-weak continuous property of the normalized duality mapping U on bounded subsets of X , as , 0 h , we obtain that Nitro PDF Software 100 Portable Document Lane Wonderland Nguyễn Đình Dũng Tạp chí KHOA HỌC & CÔNG NGHỆ 135(05): 61 - 65 65 * 1, ( ) 0, ( ) N j jz x U z z z fix . (10) Since ,z z belong to 1 ( ) N j jfix , a closed and convex subset, by replacing z in (10) by (1 )sz s z , (0,1)s and using the well- known property ( ( )) ( )U s z z sU z z for 0s , dividing by s and taking 0s , we obtain *, ( ) 0,z x U z z z S . The uniqueness of 0x guarantees that 0z x and { }hx converges strongly to 0x as , 0 h . This completes the proof. REFERENCES 1. Agarwal, R.P., O'Regan.D. and Sahu.D.R. (2009), Fixed point theory for Lipschitz type mappings with applications, Springer. 2. Alber,Ya. I. (1975), On solution by the method of regularization for operator equation of the first kind involving accretive mappings in Banach spaces, Differ. Equations SSSR 11, 2242–2248. 3. Baumeister,J., Kaltenbacher,B., Leitao,A. (2010), On Levenberg-Marquardt Kaczmarz methods for regularizing system of nonlinear ill- posed equations, Inverse Problems and Imaging,4, 335-350. 4. Buong,Ng. (2004), Convergence rates in regularization for nonlinear ill-posed equations under m-accretive perturbations, Zh. Vychisl. Mat. i Mat. Fiziki SSSR 44(3), 397-402. 5. Buong,Ng., Dung,N.D. (2009), Regularization for a Common Solution of a System of Nonlinear Ill-posedEquations, Int. Journal of Math. Analysis, 3(34), 1693 - 1699. 6. Buong,Ng., Dung,N.D. (2014), A regularized parameter choice in regularization for a common solution of a finite system of ill-posed equations involving Lipschitz continuous and accretive mappings, Computational Mathematics and Mathematical Physics, 54(3), 397 - 406. 7. Buong,Ng., Dung,N.D. (2011), Regularization for a common solution of a system of ill-posed equations involving linear bounded mappings, Applied Mathematical Sciences, 5(76), 3781 - 3788. 8. Buong,Ng., Dung,N.D. (2012), Convergence Rates in Regularization for Nonlinear Ill-Posed Equations with Perturbative Data, Applied Mathematical Sciences, 6(127), 6301 - 6310. 9. Cezaro,A.D., Haltmeier,M., Leitao,A., Scherzer,O. (2008), On steepest-descent- Kaczmarz method for regularizing systems of nonlinear ill-posed equations, Applied Mathematics and Computations,202(2), 596-607. 10. Dung,N.D., Buong,Ng. (2011), Regularization for a common solution of a system of ill-posed equations involving linear bounded mappings with perturbative data, Thai Nguyen University Journal of Science and Technology, 83(7), 73 - 79. 11. Haltmeier,M., Kowar,R., Leitao,A., Scherzer,O. (2007), Kaczmarz methods for nonlinear ill-posed equations I: convergence analysis, Inverse Problem and Imaging, 1(2) (2007) 289-298, II: Applications, 1(3), 507-523. 12. Konyagin,C.V. (1980), On approximative properties of closed sets in Banach spaces and the characteristics of strongly convex spaces, Dokl. Acad. Nauk SSSR, 251(2), 276-280. TÓM TẮT HIỆU CHỈNH TÌM NGHIỆM CHO HỆ PHƯƠNG TRÌNH TOÁN TỬ U- ĐƠN ĐIỆU VÀ LIÊN TỤC LIPSCHITZ KHI CÓ NHIỄU ĐẶT LÊN TOÁN TỬ VÀ VẾ PHẢI Nguyễn Đình Dũng* Đại học Thái Nguyên Trong bài báo này, chúng tôi đưa ra phương pháp hiệu chỉnh Browder-Tikhonov xấp xỉ nghiệm của hệ phương trình toán tử U- đơn điệu và liên tục Lipschitz trên không gian Banach phản xạ và lồi chặt với chuẩn khả vi Gâteaux đều khi hệ có nhiễu cho cả toán tử và vế phải. Từ khóa: Toán tử accretive, Hiệu chỉnh Browder-Tikhonov, Hệ phương trình đặt không chỉnh Ngày nhận bài:31/3/2015; Ngày phản biện:27/4/2015; Ngày duyệt đăng: 31/5/2015 Phản biện khoa học: TS. Trần Thị Ngân – Trường Đại học Công nghệ Thông tin & Truyền thông - ĐHTN * Tel: 0915 212787; Email: nddungictu@gmail.com Nitro PDF Software 100 Portable Document Lane Wonderland
File đính kèm:
dong_du_thuc_va_ung_dung_trong_viec_chung_minh_tinh_chia_het.pdf