Đồng dư thức và ứng dụng trong việc chứng minh tính chia hết và tìm số dư của phép chia

Hoàng Ngọc Tuất Tạp chí KHOA HỌC & CÔNG NGHỆ 135(05): 57 - 60 
57 
ĐỒNG DƯ THỨC VÀ ỨNG DỤNG TRONG VIỆC CHỨNG MINH 
TÍNH CHIA HẾT VÀ TÌM SỐ DƯ CỦA PHÉP CHIA 
Hoàng Ngọc Tuất*
 Trường Đại học Khoa học - ĐH Thái Nguyên 
TÓM TẮT 
Trong bài báo này chúng tôi cung cấp một số ứng dụng của lý thuyết đồng dư trong việc chứng 
minh các bài toán về quan hệ chia hết, tìm số dư của một phép chia và tìm các chữ số tận cùng của 
một số tự nhiên dạng an. Các vấn đề này hoàn toàn hữu ích cho các sinh viên đang theo học ngành 
toán cũng như cho các giáo viên dạy toán trung học phổ thông. 
Từ khóa: Đồng dư, môđun, chia hết cho, chia có dư, số nguyên, số tự nhiên, chữ số 
ĐẶT VẤN ĐỀ* 
Đồng dư thức là một trong những nội dung 
quan trọng của học phần Lý thuyết số trong 
chương trình đào tạo cử nhân Toán học. Để 
sinh viên và giáo viên Toán có thêm những 
ứng dụng về lý thuyết đồng dư, trong bài viết 
này chúng tôi đưa ra một vài ứng dụng của lý 
thuyết đồng dư trong việc chứng minh các tính 
chất chia hết và tìm số dư của các phép chia. 
Khái niệm đồng dư thức [5] 
Hai số nguyên a và b gọi là đồng dư theo 
modun m, m N*, nếu a - b chia hết cho m 
hay a và b khi chia cho m có cùng một số dư. 
Kí hiệu: a  b (mod m) là a đồng dư b theo 
modun m. 
Một số tính chất [3]: 
- Nếu a  b (mod m) a = mq + r và 
b = mq1 + r, với 0 r < b. 
- Nếu ai  bi (mod m), i = 1, 2, ..., n. 
 a1 + a2 + ... + an  b1 + b2 + ... + bn (mod m). 
- Nếu ai  bi (mod m), i = 1, 2, ..., n 
 a1.a2 ... an  b1.b2...bn (mod m). 
- Nếu a  b (mod m) 
 an  bn (mod m). 
- Nếu a  b (mod m) và d là ước chung dương 
của a, b, m 
  (mod ). 
- Định lý Ơle [2]: Nếu a Z, m N*, 
 (a, m) = 1, thì a
 (m)
  1 (mod m). 
Hệ quả (Định lý Fermat) [2]: Nếu p là một số 
nguyên tố, thì mọi số nguyên a không chia hết 
cho p ta có a
p - 1
  1 (mod p). 
*
 Tel: 0974 286206 
MỘT SỐ ỨNG DỤNG TRONG VIỆC 
CHỨNG MINH TÍNH CHIA HẾT VÀ TÌM 
SỐ DƯ TRONG PHÉP CHIA 
Chứng minh tính chia hết: 
Với a, b Z, b 0, ta nói a chia hết cho b, 
nếu tồn tại q Z sao cho a = bq. 
Ký hiệu a chia hết cho b bởi a b. 
Từ định nghĩa trên ta có a b 
 a  0 (mod b). 
Ví dụ 1: Chứng minh rằng với mọi số tự 
nhiên n 1, thì: 
+ 2 chia hết cho 11. 
Giải 
Ta có (3,11) = 1 3 (11)  1 (mod 11) 
 310  1 (mod 11); 
Vì (2,5) = 1 2 (5)  1 24  1 (mod 5) 
2
4n
  1 (mod 5) 24n+1  2 (mod 10) 24n+1 
= 10k + 2. 
Ta có: 3
10k+2
  32 (mod 11) 
hay 3
10k+2
  9 (mod 11) 
 310k+2 + 2  0 (mod 11), 
 nghĩa là 310k+2 + 2 11 
Vậy + 2 chia hết cho 11. 
Ví dụ 2: Chứng minh rằng: 
+ + chia hết cho 
102. [1] 
Giải 
Ta có: 
220  0 (mod 2); 220  1 (mod 3); 
220  -1 (mod 17); 
119  1 (mod 2); 119  -1 (mod 3); 
119  0 (mod 17); 
69  1 (mod 2); 69  0 (mod 3); 
69  1 (mod 17). 
Nitro PDF Software
100 Portable Document Lane
Wonderland
Hoàng Ngọc Tuất Tạp chí KHOA HỌC & CÔNG NGHỆ 135(05): 57 - 60 
58 
Từ đó  0 (mod 2); 
 1 (mod 2) ; 
  1 (mod 2). 
+ +  0 (mod 
2)(1) 
 1 (mod 3); 
 -1 (mod 3) ; 
  0 (mod 3) 
+ +  0 (mod 3) 
(2) 
 -1 (mod 17); 
 0 (mod 17) ; 
  1 (mod 17) 
+ +  0 (mod 17) 
(3) 
Từ (1), (2), (3) ta có 
+ +  0 (mod 102) 
Vậy chia 
hết cho 102. 
Ví dụ 3: Chứng minh rằng - chia 
hết cho 100. [1] 
Giải 
Ta có 9
 (10)
 = 9
4
  1 (mod 10) 
 98  1 (mod 10) 99  9 (mod 10) 
 99 = 10k + 9 = 910k +9. 
Vì 9
10
  1 (mod 100) 
 910k  1 (mod 100) 
 910k+9  99 (mod 100), 
do 9
9
  89 (mod 100) 
 910k+9  89 (mod 100) 
hay  89 (mod 100) (1). 
Mặt khác 
= 9
100q+89
  989 (mod 100), 
 từ 910  1 (mod 100) 
 989  99 (mod 100) 
vì 9
9
  89 (mod 100) 
  89 (mod 100) (2). 
Từ (1) và (2) ta có: 
Ví dụ 4:Cho p là một số nguyên tố, p > 3 và n 
= . 
Chứng minh rằng: 2n – 2 n. 
Giải 
Vì p nguyên tố, p > 3 (2, p) = 1 
  1 (mod p). 
Mặt khác  1 (mod 3) 
  1 (mod 3p) hay - 1 3p 
Ta có n - 1 = - 1= = 
 = 
 n -1 2p 2n-1 - 1 22p -1, vì n = 
 22p – 1 n 2n – 2 n. 
Các bài tương tự: 
Chứng minh rằng: [1] 
1) chia hết cho 23. 
2) + 21 chia hết cho 37. 
3) - 65 
 chia hết cho 100. 
Tìm số dư trong phép chia [4] 
Cho a, b Z, b 0, để tìm số dư trong phép 
chia a chia cho b, ta xét: a = bq + r, với 0 r 
< b . Điều này tương đương: 
Ví dụ 1: Tìm số dư trong phép chia 
2012
2013
 + 2013
2014
 + 2014
2015
 cho 13 
Giải 
Ta có 2012  -3 (mod 13) 
2013  -2 (mod 13) 
2014  -1 (mod 13) 
+) (2012, 13) = 1 
 2012 (13)  1 (mod 13) 
 201212  1 (mod 13) 
 20122004  1 (mod 13) 
 20122013  20129 (mod 13). 
Vì 2012  -3 (mod 13) 
 20129  (-3)9 (mod 13), 
vì (-3)
9
  -1 (mod 13) 
 20122013  -1 (mod 13) (1). 
+) (2013, 13) = 1 
 2013 (13)  1 (mod 13) 
 201312  1 (mod 13) 
 20132004  1 (mod 13) 
 20132014  201310 (mod 13). 
Vì 2013  -2 (mod 13) 
 201310  (-2)10 (mod 13), 
Nitro PDF Software
100 Portable Document Lane
Wonderland
Hoàng Ngọc Tuất Tạp chí KHOA HỌC & CÔNG NGHỆ 135(05): 57 - 60 
59 
(-2)
10
  10 (mod 13) 
 20132014  10 (mod 13) (2). 
+) (2014, 13) = 1 
 2014 (13)  1 (mod 13) 
 201412  1 (mod 13) 
 20142004  1 (mod 13) 
 20142015  201211 (mod 13). 
Vì 2014  -1 (mod 13) 
 201411  (-1)11 (mod 13), 
 (-1)
11
  -1 (mod 13) 
 20142015  -1 (mod 13) (3). 
Từ (1), (2), (3) ta có 
2012
2013
 + 2013
2014
 + 2014
2015
  8 (mod 13) 
Vậy số dư của số 
2012
2013
 + 2013
2014
 + 2014
2015
chia cho 13 là 8. 
Chứng minh là hợp số 
Để chứng minh một số tự nhiên là một hợp 
số, ta tìm cách chứng minh số đó chia hết cho 
một số nguyên lớn hơn 1 nào đó. 
Ví dụ: Chứng minh rằng + 3 là hợp số 
Giải 
Ta thấy + 3 > 11, do vậy + 3 
có thể là bội của 11. 
Ta thấy (2, 11) = 1 2 (11)  1 (mod 11) 
2
10
  1 (mod 11). 
Mặt khác ta có 34  1 (mod 10) 
 34n  1 (mod 10) 34n+1  3 (mod 10) 
 34n+1 = 10q + 3. 
Từ đó ta có: 210q  1 (mod 11) 
 210q+3  8 (mod 11) 
 210q+3 + 3  0 (mod 11). 
Điều này chứng tỏ + 3 là hợp số. 
Các bài tương tự [1] 
Chứng minh rằng các số sau là hợp số 
1) + 19; 
2) + 5. 
Tìm các chữ số tận cùng của một số tự 
nhiên 
Để tìm một chữ số, hai chữ số, ba chữ số tận 
cùng của một số tự nhiên, ta đi tìm các số dư 
của số đó cho 10, 100, 1000. 
Ví dụ 1: Tìm 2 chữ số tận cùng của số 
. 
Giải 
Để tìm 2 chữ số tận cùng về bên phải của số 
 ta đi tìm số dư của chia cho 100. 
Ta có (3,100) = 1 3 (100)  1 (mod 100) 
3
40
  1 (mod 100). 
Bây giờ ta biểu diễn số 21930 qua 40. Giả sử ta 
có 21930  x (mod 40). Đặt x = 4r, ta có 2
1927
.8 
 8r (mod 8.5) 
 21927  r (mod 5). 
Ta có 24  1 (mod 5) 
 21920  1 (mod 5) 
 21927  27 (mod 5), vì 27  3 (mod 5) 
 21927  3 (mod 5) 
 21930  24 (mod 40) 
hay 2
1930
 = 40k + 24. 
Ta có: = 340k+24  324 (mod 100). Ta có 
3
8
  61 (mod 100) 
 324  613 (mod 100), 
vì 613 = 81 (mod 100) 
 324  81 (mod 100) 
hay  81 (mod 100). 
Vậy hai chữ số tận cùng của số đã cho là 81. 
Ví dụ 2: Tìm 3 chữ số tận cùng của số 
. 
Giải 
Ta có (9, 1000) = 1 
 9 (1000) = 9400  1 (mod 1000) 
 92015  915 (mod 1000). 
Do 9
5
  49 (mod 1000) 
 915  493 (mod 1000), 
vì 49
3
  649 (mod 1000) 
 915  649 (mod 1000) 
 hay 9
2015
  649 (mod 1000) 
 92015 = 1000k + 649. 
Vậy bài toán được đưa về tìm 3 chữ số tận 
cùng của số 21000k+649. 
Giả sử 21000k+649  x (mod 1000). 
Đặt x = 8r 21000k+649  8r (mod 8.125) 
 21000k+646  r (mod 125). 
Ta có 2
 (125) 
 = 2
100
  1 (mod 125) 
 21000k  1 (mod 125) 
 21000k+646  2646 (mod 125), 
vì 2
100  1 (mod 125) 
 2600  1 (mod 125) 
 2646  246 (mod 125). 
Ta có 2
10
  24 (mod 125) 
 240  244 (mod 125) 
 246  26.244 (mod 125), 
Nitro PDF Software
100 Portable Document Lane
Wonderland
Hoàng Ngọc Tuất Tạp chí KHOA HỌC & CÔNG NGHỆ 135(05): 57 - 60 
60 
vì 2
6
.24
4  39 (mod 125) 
 2646  39 (mod 125) 
 21000k+646  39 (mod 125) 
 21000k+649  8.39 (mod 1000) 
 21000k+649  312 (mod 1000). 
Vậy ba chữ số tận cùng của số đã cho là 312. 
Các bài tương tự: 
1. Tìm 2 chữ số tận cùng của số: 
. 
2. Tìm 3 chữ số tận cùng của số: 
. 
TÀI LIỆU THAM KHẢO 
1. Nguyễn Duy Hiền, Nguyễn Hữu Hoan. Bài tập 
đại số và lý thuyết số, tập 1. Nhà xuất bản Sư 
phạm Hà Nội, 2005. 
2. Nguyễn Hữu Hoan, Lý thuyết số. Nhà xuất bản 
Đại học Sư phạm, 2007. 
3. Nguyễn Tiến Tài, Nguyễn Hữu Hoan, Số học. 
Nhà xuất bản Giáo dục, 1998. 
4. Lại Đức Thịnh, Giáo trình Số học. Nhà xuất bản 
Giáo dục, 1977. 
5. George E. Andrews. Number Theory, 1994.
SUMMARY 
ON CONGRUENCES AND APPLICATIONS IN PROVING 
THE DIVISIBILITY AND FINDING THE REMAINDERS OF DIVISIONS 
Hoàng Ngọc Tuất* 
College of Science - TNU 
In this paper we give some applications of the theory of congruence in proving divisibility 
problems, finding the remainder in the division and finding the digit numbers of the end of a 
natural number of the a
n
, where a, n are natural numbers. These problems are very useful for 
students in mathemtics and teachers of maths teaching at high schools. 
Keywords: Congruence, modules, divisible, remainder of division, integers, natural number, digit 
Ngày nhận bài:20/12/2014; Ngày phản biện:27/01/2015; Ngày duyệt đăng: 31/5/2015 
Phản biện khoa học: PGS.TS Lê Thị Thanh Nhàn – Trường Đại học Khoa học - ĐHTN 
*
 Tel: 0974 286206 
Nitro PDF Software
100 Portable Document Lane
Wonderland
Nguyễn Đình Dũng Tạp chí KHOA HỌC & CÔNG NGHỆ 135(05): 61 - 65 
61 
REGULARIZATION FOR A COMMON SOLUTION OF A SYSTEM OF ILL-
POSED EQUATIONS INVOLVING LIPSCHITZ CONTINUOUS AND 
ACCRETIVE MAPPINGS WITH PERTURBATIVE DATA 
Nguyen Dinh Dung
* 
Thai Nguyen University 
SUMMARY 
The purpose of this paper is to give a regulization method of Browder-Tikhonov type for solving a 
system of ill-posed equations involving Lipschitz continuous and accretive mappings in real 
reflexive and strictly convex Banach space with a uniformly Gâteaux differentiable norm under 
perturbative operators and right hand side. 
Key words: accretive mappings, Browder-Tikhonov regularization, systems of ill-posed equations 
INTRODUCTION
 *
Let X be real reflexive and strictly convex 
Banach space with an uniformly Gâteaux 
differentiable norm with scalar product and 
norm of X denoted by the symbols .,. and 
X
. respectively. Let 
1A be a lipschitz 
continuous and accretive mapping and let jA 
be a j - cocoercively accretive mapping from 
X to X for 2,...,j N . ( )jD A X for 
1,...,j N . 
Consider the following problem: Find an 
0x X such that 
0 , 1,...,j jA x f j N , (1) 
where jf is given in jY a priori. Set 
  NjfxAXxS jjj ,...,1,: , 
j
N
j SS 1  . 
Here, suppose that S  . We are specially 
interested in the situation where the data jf 
is not exactly known, we have only the 
approximations jf

, satisfying 
j
j j Y
f f   . (2) 
It is well known in [2] that each equation in 
(1), in general, is ill-posed, by this we mean 
that the solutions do not depend continuously 
on the data jf . Consequently, the system of 
*
 Tel: 0915 212787; Email: nddungictu@gmail.com 
equations is ill-posed, in general. Many 
practical inverse problems are naturally 
formulated in such a way and some methods 
are studied for solving (1), when jA is 
continuous and weakly closed (see [3], [7], 
[8], [9], [10], [11]). 
In 2009, Buong and Dung in [5] constructed a 
regularization solution on the base of 
minimizing the Tikhonov functional 
2 2
*
1
min
j
N
j j XY X
j
A x f x x 
  
where *x is element in jSX \ , 0 is the 
small parameter of regularization. Recently, 
they proposed a new regularization method 
for finding a common solution of a finite 
system of ill-posed operator equations 
involving Lipschitz continuous and accretive 
mappings in a real reflexive and strictly 
convex Banach space with a uniformly 
Gâteaux differentiate norm, when data jf is 
not exactly known (see [6]). 
In this paper, we are interested in the situation 
where the data jf and jA are not exactly in 
the know. We have only 
h
jA of jA satisfying 
( )
j
h
j j XY
A x A x hg x , (3) 
where, ( )g t is a bounded nonnegative 
function. 
h
jA have the same properties as 
jA . We propose a regularization method, 
that consists of the following operator 
equation. 
Nitro PDF Software
100 Portable Document Lane
Wonderland
Nguyễn Đình Dũng Tạp chí KHOA HỌC & CÔNG NGHỆ 135(05): 61 - 65 
62 
1 * 1
2
( ) ( ) ( )
N
h h
j j
j
A x A x f x x f   
  , (4) 
where, (0,1) is a fixed number. In the 
next section, we consider the strong 
convergence of the solution 
hx  of (4). All 
terminologies and some facts will be used in 
this paper that are given in [6]. 
MAIN RESULTS 
Now, we list some facts that will be used to 
prove our results. 
Let 
*X be the dual of a Banach space X . 
Then a multivalued mapping 
*
: 2XU X is 
said to be a (normalized) duality mapping if 
* 2 2
*( ) { : , || || || || }U x u X x u x u . 
Let  be a continuous linear functional on 
  and ,...),( 21 aa . We denote )( kk a 
instead of ,...)),(( 21 aa . We recall  that 
is a Banach limit when  satisfies 
1)1( k and )()( 1 kkkk aa  for 
each 
 ,...),( 21 aa (see [1], [6]). For a 
Banach limit  , we know that 
kkkkkk aaa suplim)(inflim  
for all 
 ,...),( 21 aa . If 
 ,...),( 21 aaa , 
 ,...),( 21 bbb and cak (respectively, 
0 kk ba ) as k , we have 
caakk )()(  (respectively, )()( kkkk ba  ). 
Lemma (see [6]). Let C be a convex subset 
of a Banach space X whose norm is 
uniformly Gâteaux differentiable. Let kx be 
a bounded subset of X , let z be an element 
of C and  is a Banach limit. Then, 
2 2
mink k v C k kx z x v  
if and only if 0)(, zxUzv kk for all 
v C . 
It is well-known in [4] that an accretive and 
Lipschitz continuous mapping on X is m-
accretive. For an m-accretive mapping A in 
X and any fixed element f X , we can 
define a mapping ( )fv T x by 
( )A v v f x (5) 
for each x X . 
Since A is m-accretive, the existence of 
fT 
is asserted. It is not difficult to verify that 
fT 
has the following properties: 
(i) ( )fD T X ; 
(ii) fT is nonexpansive; 
(iii) ( )fFix T S , where ( )fFix T denotes 
the set of fixed points of fT . 
Under the assumptions on 
h
jA , Theorem 1 
will show that problem (4) has a unique 
solution 
hx  and 
hx  converges strongly to an 
element 
0x S as , 0h  . 
Theorem 1. Let X be a real reflexive and 
strictly convex Banach space with a uniformly 
Gâteaux differentiable norm. Assume that 
h
jA 
have the same properties as jA for 0h 
and 1,2,...,j N , with the condition in (3). 
Then, we have: 
(i) For each 0 and any jf X
 , 
equation (4) has a unique solution 
hx  . 
(ii) If parameter is chosen such that 
0
h
 as 0 , then hx  converges 
strongly to an element 
0x S , satisfying 
0 * 0, ( ) 0,x x U x z z S  . 
Proof 
(i) Since 
h
jA are Lipschitz continuous and 
accretive with ( )jD A X for 1,...,j N . 
The mapping 
1 *
2
(.) ( (.) ) ( )
N
h h
j j
j
A A f I x  
  
is Lipschitz continuous and - accretive 
mapping, define on X . So, equation (4) has a 
unique solution 
hx  for each 0 . 
(ii) Without any loss of generality, we can 
assume that ( 1) 1N  . From (4), we 
have the following equality: 
Nitro PDF Software
100 Portable Document Lane
Wonderland
Nguyễn Đình Dũng Tạp chí KHOA HỌC & CÔNG NGHỆ 135(05): 61 - 65 
63 
1 1
2
( ) ( ) ( ( ) ( ))
N
h h h h h h
j j
j
A x A z A x A z   
  
*( ), ( )
h hx x U x z  
1 1
2
( ), ( )
N
h
j j
j
f f f f U x z    
  
+ 1 1
2
( ) ( ) ( ( ) ( ), ( ) ,
N
h h h
j j
j
A z A z A z A z U x z  
  
z S , 
hence 
* 1 1
1
, ( ) , ( )h h hx x U x z f f U x z    
+
1
2
( ), ( )
N
h
j j
j
f f U x z   
  
+ 
1 1
1
( ) ( )h hA z A z x z 
1
2
( ) ( )
N
h h
j j
j
A z A z x z  
  
Because each 
h
jA is accretive, therefore 
2
* , ( )
h hx z x z U x z  
(|| ||)
2 ,h
hg z
x z z S 

  . 
It means that there exists a positive constant 
1M such that 1
hx M for all , , 0h  , 
satisfying 0
h
 and 
2
* , ( )
h hx z x z U x z  + 
1
(|| ||)
2 ( || ||),
hg z
M z z S

  . (6) 
From (4) and ( 1) 1N  , it follows that 
1 1 *|| ( ) || || ||
h h hA x f x x  
2
|| ( ) ( ) || [1 ( 1) ]
N
h h
j j
j
A x A z N   
  
*
2
|| || || ( ) ( ) ||
N
h h h h
j j
j
x x A x A x    
  
2
|| ( ) ( ) ||+2
N
h h
j j
j
A x A z  
  
*|| || (|| ||)
h hx x hg x  
2
1
|| || 2
N
h
j j
x z  
 
  
* 1
2
1
|| || ( || ||) 2
N
h
m
j j
x x hg M z  
 
  , 
where, 
1sup{ ( ) : (0, )},mg g s s M 
, 0
h 
 . Hence 
, 0 1 1lim || ( ) || 0
h h
h A x f

 , (7) 
from (3), we obtain that 
, 0 1 1lim || ( ) || 0
h
h A x f

 . (8) 
Now, we prove that 
, 0lim || ( ) || 0
h
h j jA x f

 for 2,...,j N . 
Because 
1A is accretive and jA is j - 
inverse strongly accretive, therefore 
2
2 2
|| ( ) || ( ) , ( )
N N
h h h
j j j j j
j j
A x f A x f U x z   
  
2
( ) , ( )
N
h h h
j j
j
A x f U x z   
  
2
( ) ( ) , ( )
N
h h h h
j j j j
j
A x A x f f U x z    
 
1
* , ( )
h hx x U x z   
+
(|| ||)
( 1)( ) hm
hg z
N hg x z 


1 1
* 1
(|| ||)
|| || ( 1)( ) ( || ||)m
hg z
x z N hg M z 

 
which together with , 0
h
 and 
(0,1) , we imply 
, 0
lim || ( ) || 0hh j jA x f

 
 . 
Next, we put :j jT I A and :
jf
j jT T f . 
It is easy to see that z S if and only if 
1 ( )
jfN
jz fix T . Since jA is accretive, the 
mapping j
f
T is a pseudocontractive mapping 
on X and together with (6), (7) we obtain that 
Nitro PDF Software
100 Portable Document Lane
Wonderland
Nguyễn Đình Dũng Tạp chí KHOA HỌC & CÔNG NGHỆ 135(05): 61 - 65 
64 
, 0
lim || ( ) || 0j
f h
h I T x

 
 , for 
2,...,j N . 
We first observe that the mapping 2 j
f
I T 
has a nonexpansive inverse, denoted by 
1: (2 )j
f
j I T
  . Indeed, 
2 j
f
j jI T I A f 
That is 1-strongly accretive on X . So, 
(2 )j
f
R I T X . From (5), 
(2 ) ( )j
f
j jI T x I A x f . 
The mapping (.) (.)j j jA A f is m-
accretive, 
1( )jI A is nonexpansive, it 
follows that j is nonexpansive. Clearly, 
( )jfix  = ( )
jffix T = jS . Thus, 
(2 )j j
f fh h h hx T x I T x x    = 
1 h h
j x x
 
  and 1 h hj j x x
 
   . 
Consequently, 
1|| || || ||h h h hj j j jx x x x
   
     
1|| || || ( ) ||j
fh h h
j x x I T x
  
  , 
hence 
|| || 0h hjx x
 
  as , 0
h 
 . 
Further, let { }kx be any subsequence of 
{ }hx  with , 0
k k
k
k
h 
 as k . We 
consider the functional 
2( ) || || ,k kx x x x X  , 
we see that ( )x as || ||x and 
( )x is continuous and convex, so as X is 
reflexive, there exists z X such that 
( ) min ( )x Xz x . Hence, the set 
* : { : ( ) min ( )}x XC u X u x  . 
It is easy to see that 
*C is a bounded, closed, 
and convex subset of X (see [1]). Since 
|| || 0k j kx x  , we have that 
2 2( ) || || || ||j k k j k j k jz x z x z     
2|| || ( )k kx z z , 
which implies that 
* *, 1,2,...,jC C j N  . 
Now, we show that 
*C contains a common 
fixed point of 1{ }
N
j j  . Since X is a strictly 
convex and reflexive Banach space, 
*C is a 
Chebyshev set (see [12]) in X , hence, for a 
point 1 ( )
N
j jz fix   , there exists a unique 
*z C such that *|| || inf || ||x Cz z z x . 
By jz z  , 
*
j z C , we have 
|| || || || || ||j j jz z z z z z    , 
hence j z z . So, there exists a point 
*
1 ( )
N
j jz fix C    . 
From Lemma, we have that 
2 2|| || min || ||k k x X k kx z x x  
if and only if 
, ( ) 0k kx z U x z . (9) 
In (9), we take 
*x x , we have that 
* , ( ) 0.k kx z U x z 
In (6), we take z z and , 0k kk
k
h 
 , 
we obtain 
2
* , ( ) || ||k kx z U x z x z . 
Hence, 
2|| || 0k kx z . Further, from 
Banach limit  , we have that 
2 2liminf || || || || 0k k k kx z x z . 
Because { }kx is weakly compact in 
reflexive and strictly convex Banach space, 
there exists a subsequence { }
mk
x of 
{ }kx such that 
2 2lim || || liminf || ||
mm k k k
x z x z . 
So, { }
mk
x strongly converges to z as 
m . 
From (6) and the norm-to-weak continuous 
property of the normalized duality mapping 
U on bounded subsets of X , as 
, 0
h 
 , we obtain that 
Nitro PDF Software
100 Portable Document Lane
Wonderland
Nguyễn Đình Dũng Tạp chí KHOA HỌC & CÔNG NGHỆ 135(05): 61 - 65 
65 
* 1, ( ) 0, ( )
N
j jz x U z z z fix    . (10) 
Since ,z z belong to 1 ( )
N
j jfix   , a closed 
and convex subset, by replacing z in (10) by 
(1 )sz s z , (0,1)s and using the well-
known property 
( ( )) ( )U s z z sU z z for 0s , 
dividing by s and taking 0s , we obtain 
*, ( ) 0,z x U z z z S  . 
The uniqueness of 
0x guarantees that 0z x 
and { }hx  converges strongly to 0x as 
, 0
h 
 . This completes the proof. 
REFERENCES 
1. Agarwal, R.P., O'Regan.D. and Sahu.D.R. 
(2009), Fixed point theory for Lipschitz type 
mappings with applications, Springer. 
2. Alber,Ya. I. (1975), On solution by the method 
of regularization for operator equation of the first 
kind involving accretive mappings in Banach 
spaces, Differ. Equations SSSR 11, 2242–2248. 
3. Baumeister,J., Kaltenbacher,B., Leitao,A. 
(2010), On Levenberg-Marquardt Kaczmarz 
methods for regularizing system of nonlinear ill-
posed equations, Inverse Problems and Imaging,4, 
335-350. 
4. Buong,Ng. (2004), Convergence rates in 
regularization for nonlinear ill-posed equations 
under m-accretive perturbations, Zh. Vychisl. Mat. 
i Mat. Fiziki SSSR 44(3), 397-402. 
5. Buong,Ng., Dung,N.D. (2009), Regularization 
for a Common Solution of a System of Nonlinear 
Ill-posedEquations, Int. Journal of Math. Analysis, 
3(34), 1693 - 1699. 
6. Buong,Ng., Dung,N.D. (2014), A regularized 
parameter choice in regularization for a common 
solution of a finite system of ill-posed equations 
involving Lipschitz continuous and accretive 
mappings, Computational Mathematics and 
Mathematical Physics, 54(3), 397 - 406. 
7. Buong,Ng., Dung,N.D. (2011), Regularization 
for a common solution of a system of ill-posed 
equations involving linear bounded mappings, 
Applied Mathematical Sciences, 5(76), 3781 - 
3788. 
8. Buong,Ng., Dung,N.D. (2012), Convergence 
Rates in Regularization for Nonlinear Ill-Posed 
Equations with Perturbative Data, Applied 
Mathematical Sciences, 6(127), 6301 - 6310. 
9. Cezaro,A.D., Haltmeier,M., Leitao,A., 
Scherzer,O. (2008), On steepest-descent-
Kaczmarz method for regularizing systems of 
nonlinear ill-posed equations, Applied 
Mathematics and Computations,202(2), 596-607. 
10. Dung,N.D., Buong,Ng. (2011), Regularization 
for a common solution of a system of ill-posed 
equations involving linear bounded mappings with 
perturbative data, Thai Nguyen University Journal 
of Science and Technology, 83(7), 73 - 79. 
11. Haltmeier,M., Kowar,R., Leitao,A., 
Scherzer,O. (2007), Kaczmarz methods for 
nonlinear ill-posed equations I: convergence 
analysis, Inverse Problem and Imaging, 1(2) 
(2007) 289-298, II: Applications, 1(3), 507-523. 
12. Konyagin,C.V. (1980), On approximative 
properties of closed sets in Banach spaces and the 
characteristics of strongly convex spaces, Dokl. 
Acad. Nauk SSSR, 251(2), 276-280.
TÓM TẮT 
HIỆU CHỈNH TÌM NGHIỆM CHO HỆ PHƯƠNG TRÌNH TOÁN TỬ U- ĐƠN ĐIỆU 
VÀ LIÊN TỤC LIPSCHITZ KHI CÓ NHIỄU ĐẶT LÊN TOÁN TỬ VÀ VẾ PHẢI 
Nguyễn Đình Dũng* 
 Đại học Thái Nguyên 
Trong bài báo này, chúng tôi đưa ra phương pháp hiệu chỉnh Browder-Tikhonov xấp xỉ nghiệm 
của hệ phương trình toán tử U- đơn điệu và liên tục Lipschitz trên không gian Banach phản xạ và 
lồi chặt với chuẩn khả vi Gâteaux đều khi hệ có nhiễu cho cả toán tử và vế phải. 
Từ khóa: Toán tử accretive, Hiệu chỉnh Browder-Tikhonov, Hệ phương trình đặt không chỉnh 
Ngày nhận bài:31/3/2015; Ngày phản biện:27/4/2015; Ngày duyệt đăng: 31/5/2015 
Phản biện khoa học: TS. Trần Thị Ngân – Trường Đại học Công nghệ Thông tin & Truyền thông - ĐHTN
*
 Tel: 0915 212787; Email: nddungictu@gmail.com 
Nitro PDF Software
100 Portable Document Lane
Wonderland