Đề xuất phương pháp tổng quát khảo sát chuyển động song phẳng của vật rắn có dạng thanh

ISSN: 1859-2171 TNU Journal of Science and Technology 195(02): 103 - 109 
 Email: jst@tnu.edu.vn 103 
ĐỀ XUẤT PHƯƠNG PHÁP TỔNG QUÁT KHẢO SÁT 
CHUYỂN ĐỘNG SONG PHẲNG CỦA VẬT RẮN CÓ DẠNG THANH 
Dương Thị Hà*, Phạm Hữu Kiên, Nguyễn Hồng Lĩnh 
Trường Đại học Sư phạm – ĐH Thái Nguyên 
TÓM TẮT 
Trong bài báo này, một phương pháp tổng quát để khảo sát chuyển động song phẳng của vật rắn có 
dạng thanh được đề xuất. Phương pháp tổng quát được thực hiện qua ba bước sau: đầu tiên, chúng 
tôi xác định tọa độ và suy ra vận tốc, gia tốc của thanh rắn; sau đó, chúng tôi xác định vận tốc góc, 
gia tốc góc; cuối cùng xác định các đại lượng vật lý theo các yêu cầu của từng bài toán. Giá trị của 
phương pháp đề xuất trong bài báo được thể hiện qua việc giải cụ thể một số bài toán chuyển động 
của vật rắn dạng thanh, đặc biệt là việc khảo sát chuyển động ngay sau thời điểm ban đầu. Bài báo 
sẽ là một tài liệu tốt cho giáo viên, sinh viên và học sinh khi nghiên cứu về các chuyển động song 
phẳng của vật rắn có dạng thanh. 
Từ khóa: Thanh, vận tốc góc, gia tốc góc, chuyển động song phẳng, vật rắn. 
Ngày nhận bài: 23/01/2019; Ngày hoàn thiện: 12/02/2019; Ngày duyệt đăng: 28/02/2019 
GENERAL METHOD FOR INVESTIGATING PLANAR MOTION OF SOLID BARS 
Duong Thi Ha
*
, Pham Huu Kien, Nguyen Hong Linh 
TNU - University of Education 
ABSTRACT 
In this paper, we present general method to investigate the planar motion of solid bar. This 
method includes three steps. The first step is to determine the coordinates, deduce velocity 
and acceleration; the second is to calculate angular velocities and accelerations; the third is to 
find out the required physical quantities corresponding to each problem. This method is 
applied for studying the behavior of solid bars in the case of planar motion, especially the 
time after they start moving. 
Keywords: solid bar, angular velocity, angular acceleration, planar motion, solids. 
Received: 23/01/2019; Revised: 12/02/2019 ; Approved: 28/02/2019 
* Corresponding author: Tel: 0374.699.801; Email: duongha@dhsptn.edu.vn 
Dương Thị Hà và Đtg Tạp chí KHOA HỌC & CÔNG NGHỆ ĐHTN 195(02): 103 - 109 
 Email: jst@tnu.edu.vn 104 
MỞ ĐẦU 
Cơ học là một bộ phận của Vật lý học, nghiên 
cứu chuyển động, biến dạng của các vật và 
tương tác giữa chúng. Với những nghiên cứu 
đầu tiên từ thời Hy Lạp cổ đại, cơ học đã có 
rất nhiều các thành tựu quan trọng trong việc 
nghiên cứu, giải thích các hiện tượng tự 
nhiênvà là cơ sở cho sự phát triển các ngành 
khoa học kỹ thuật và công nghệ như chế tạo 
máy, xây dựng [1]. 
Trong cơ học, tùy thuộc vào đối tượng nghiên 
cứu mà có thể chia thành các phần khác nhau. 
Cơ học vật rắn là một phần của cơ học, 
nghiên cứu chuyển động của các vật có kích 
thước và hình dạng không đổi. Cơ học vật 
rắn, trong đó có chuyển động song phẳng của 
vật rắn, là một nội dung kiến thức tương đối 
khó trong chương trình vật lý phổ thông hiện 
nay được phân bổ trong chương trình Vật lý 
lớp 12 nâng cao, đồng thời cũng là nội dung 
kiến thức quan trọng trong chương trình Vật 
lý đại cương của bậc đại học, đặc biệt là các 
ngành Vật lý và kỹ thuật [1], [2]. 
Một vật rắn được gọi là chuyển động song 
phẳng nếu mỗi điểm thuộc vật rắn luôn di 
chuyển trong một mặt phẳng song song với 
một mặt phẳng cố định được chọn trước. 
Trong thực tế, có nhiều trường hợp vật rắn 
chuyển động song phẳng như bánh xe lăn trên 
một đường cong phẳng trong mặt phẳng chứa 
đường cong, cơ cấu tay quay thanh truyền, cơ 
cấu bốn khâu bản lề, ròng rọc động [2], [3]. 
Việc khảo sát chuyển động song phẳng của 
vật rắn là cơ sở quan trọng khi khảo sát 
chuyển động của các vật rắn có hình dạng 
dạng đặc biệt. 
Mặc dù chuyển động song phẳng của vật rắn 
là một nội dung kiến thức khó và quan trọng, 
nhưng hiện nay hầu hết các tài liệu chỉ trình 
bày cơ sở lý thuyết mà chưa đưa ra phương 
pháp tổng quát để khảo sát các vật rắn chuyển 
động song phẳng [2-5]. Điều này có thể gây 
nhiều khó khăn cho người học khi học nội 
dung kiến thức này đặc biệt là việc vận dụng 
các kiến thức lý thuyết và tự đi tìm định 
hướng giải các bài tập vật lý và kỹ thuật có 
liên quan. Bên cạnh đó, trong bối cảnh dạy 
học định hướng phát triển năng lực đang trở 
thành xu hướng giáo dục quốc tế, bài tập vật 
lý nói chung là công cụ quan trọng giúp giáo 
viên dạy học tích cực, giúp học sinh phát triển 
năng lực vận dụng kiến thức vào thực tiễn, 
giải quyết các vấn đề trong cuộc sống [6], [7]. 
Vì vậy, việc lựa chọn được các bài tập phù 
hợp và đưa ra được phương pháp giải tổng 
quát cho bài bài tập vật lý nói chung và việc 
đưa ra phương pháp tổng quát giải các bài tập 
về chuyển động song phẳng của vật rắn nói 
riêng là ciệc làm có ý nghĩa thực tiễn. 
Mục đích chính của bài báo này là đề xuất 
một phương pháp tổng quát khảo sát chuyển 
động song phẳng của vật rắn có dạng thanh 
qua một số bài toán cụ thể. Chúng tôi hy vọng 
bài báo sẽ là một tài liệu tham khảo tốt cho 
giáo viên, sinh viên, học sinh khi nghiên cứu 
chuyển động song phẳng nói riêng và chuyển 
động của vật rắn nói chung. 
PHƯƠNG PHÁP TÍNH TOÁN 
Xét một điểm M trên vật rắn chuyển động 
song phẳng. Chọn hệ Oxyz là hệ cố định, hệ 
O'x’y’z’ có O' là gốc (cực) hệ di động gắn 
chặt với vật rắn, vị trí của điểm M trên vật rắn 
được xác định bởi véc tơ bán kính (hình 1): 
 , (1) 
trong đó: . 
Hình 1. Điểm M trên vật rắn chuyển động 
song phẳng 
Dương Thị Hà và Đtg Tạp chí KHOA HỌC & CÔNG NGHỆ ĐHTN 195(02): 103 - 109 
 Email: jst@tnu.edu.vn 105 
Vận tốc của điểm M trên vật rắn [2-5]: 
, (2) 
với là vận tốc của gốc hệ di động , là 
véc tơ vận tốc góc của vật rắn chuyển động 
song phẳng có được do thay đổi về phương 
chiều;  không phụ thuộc vào việc chọn gốc 
(cực) O'. Do đó, hình chiếu của vận tốc của 
tất cả các điểm thuộc O’M lên OM đều bằng 
nhau. 
Gia tốc của điểm M trên vật rắn [2-5]: 
, (3) 
trong đó , với là gia tốc góc 
của vật rắn, không phụ thuộc vào việc chọn 
gốc O’, là gia tốc quay ; là 
gia tốc hướng trục. 
Tâm vận tốc tức thời của chuyển động song 
phẳng của vật rắn [2-5]: 
Trên vật rắn chuyển động song phẳng, luôn 
tìm được một điểm C để VC = 0, C gọi là tâm 
vận tốc tức thời (hình 1). Khi đó: 
(i) (4) 
(ii) Coi chuyển động song phẳng là chuyển 
động quay xung quanh một trục quay tức thời 
đi qua tâm vận tốc tức thời C, gia tốc 
 trong đó vuông góc với 
. 
Phương trình động lực học vật rắn [2-5]: 
; , (5) 
với , lần lượt là tổng ngoại lực và 
tổng mô men ngoại lực đối với điểm O của 
vật rắn. Khi O trùng với khối tâm C thì: 
; . (6) 
Năng lượng của vật rắn khi chuyển động 
song phẳng [2-5]: Khi chuyển động năng 
lượng của vật rắn gồm động năng T và thế 
năng U, 
, (7) 
phụ thuộc vào hệ qui chiếu. 
KẾT QUẢ VÀ THẢO LUẬN 
Áp dụng cho vật rắn có dạng thanh khi 
chuyển động song phẳng, chúng tôi đề xuất 
phương pháp tổng quát gồm các bước sau: (1) 
xác định tọa độ, suy ra vận tốc và gia tốc; (2) 
xác định vận tốc góc và gia tốc góc; bước (3) 
xác định các đại lượng theo các yêu cầu của 
từng bài toán. Để thấy được giá trị của 
phương pháp tổng quát khảo sát chuyển động 
song phẳng của vật rắn có dạng thanh, chúng 
tôi tiến hành giải cụ thể một số bài toán như 
được trình bày ở dưới đây: 
Bài toán 1: Một chiếc thang xếp gồm hai chân 
được gắn với nhau bởi một khớp nối ở đỉnh và 
một sợi dây nằm ngang ở gần đáy được đặt 
trên một bề mặt nằm ngang, chân thang tạo với 
bề mặt một góc bằng 600 như hình 2a. Biết 
rằng các chân là đồng đều, giống hệt nhau và 
bỏ qua mọi ma sát. Sợi dây đột nhiên bị cắt, 
hãy tính ngay sau khi dây bị cắt: 
1) Gia tốc của khớp nối, gia tốc góc quanh 
khối tâm của thanh. 
2) Áp lực tại chân thang. 
Hình 2. a) thang xếp, b) các lực tác dụng lên một 
chân thang 
Hướng dẫn: Do tính chất đối xứng các lực 
của hai chân thanh tác dụng lên nhau tại khớp 
nối A là nằm theo phương ngang và gia tốc 
 của điểm A hướng thẳng đứng xuống 
dưới, nên . 
Xét một chân của thang xếp. Các lực tác dụng 
lên nó được mô tả như hình 2b. Gọi L là chiều 
Dương Thị Hà và Đtg Tạp chí KHOA HỌC & CÔNG NGHỆ ĐHTN 195(02): 103 - 109 
 Email: jst@tnu.edu.vn 106 
dài của chân thang và aClà gia tốc của khối 
tâm C tại thời điểm tức thời dây bị cắt. Ta có: 
Suy ra: 
Tọa độ của điểm A theo tọa độ của điểm C 
, 
. (1.2) 
Tại thời điểm ngay sau khi cắt dây 
060 ; 0   , vì vậy ta có: 
(1.3) 
Xét điểm B: Ở thời điểm ngay khi sợi dây bị 
cắt, nó chỉ có thành phần gia tốc theo phương 
ngang, nên aBy = 0. Ta có: 
 (1.4) 
By Cy
1
a a L 0
4
  (1.5) 
Vậy tìm được: 
Cy Cx
1 3
a L ;a L
4 4
   (1.6) 
Từ (1.1), (1.3), (1.5) và (1.6), ta tìm được: 
A
3g 3
;a g.
4L 8
 
Bài toán 2: Thanh đồng chất AB dài 2L, 
trọng lượng P. Đầu A tựa trên sàn nằm ngang 
nhẵn và lập với sàn góc 600, đầu B được treo 
bằng sơi dây BD thẳng đứng không dãn, 
không trọng lượng (hình 3). Tại một thời 
điểm nào đó dây bị đốt đứt và thanh bắt đầu 
chuyển động. 
1) Xác định áp lực của thanh lên sàn ở thời 
điểm thanh bắt đầu chuyển động. 
2) Tính vận tốc khối tâm C của thanh phụ 
thuộc độ cao h so với sàn. 
Hình 3. Thanh AB trước và sau khi dây đứt 
Hướng dẫn: 
1) Áp lực của thanh lên sàn 
Chọn hệ trục tọa độ có trục thẳng đứng đi qua 
khối tâm C. Các lực tác dụng lên thanh AB 
gồm trọng lực và phản lực (hình 3). 
Phương trình động lực học cho vật với trục 
quay đi qua khối tâm C: 
yma N P 
(2.1) 
21NLsin I mL
3
  
(2.2) 
Khối tâm C chuyển động dọc theo trục 0y, tọa 
độ khối tâm C tại thời điểm bất kì 
C Cy Lcos v L sin    
2
C ya a L sin L cos     
(2.3) 
Ở thời điểm ban đầu: t = 0; β = 300; β’=0. 
Suy ra: N(0)=4/7P. 
2) Vận tốc của khối tâm C theo h: 
Dùng định lý động năng: 
2 2 C
d C C C
1 1 v
W mv I. ;
2 2 Lsin
   
 
(2.4) 
Dương Thị Hà và Đtg Tạp chí KHOA HỌC & CÔNG NGHỆ ĐHTN 195(02): 103 - 109 
 Email: jst@tnu.edu.vn 107 
Suy ra: 2
d C2
1 1
W m 1 v
2 3sin
 
 (2.5) 
Ở thời điểm đầu: Wd(0)= 0. 
Trọng lực thực hiện công 
 0A P h h (2.6) 
Áp dụng định lý biến thiên động năng, ta có: 
 2C 02
1 1
m 1 v P h h
2 3sin
 
 (2.7) 
Và 
2 2
2
2
L h
sin
L
 
Tính toán được: 
 2 20
C 2 2
6g h h L h
v
4L 3h
 (2.8) 
Bài toán 3: Các quả cầu m1 và m2, m2 và m3 
được nối với nhau bởi các thanh cứng nhẹ 
cùng chiều dài L và được bố trí như hình 4. 
Khối lượng của các quả cầu m1 và m2 là m, 
khối lượng của quả cầu m3 là 4m. Góc giữa 
hai thanh có thể thay đổi tự do. Ban đầu giữ 
hệ nằm trong mặt phẳng thẳng đứng và góc 
giữa hai thanh bằng 900. Xác định gia tốc của 
quả cầu 4m ngay sau khi thả hệ. 
Hình 4. Hệ vật rắn của bài toán 3 
Hướng dẫn: Theo phương ngang ngoại lực 
bằng không nên khối tâm của hệ không thay 
đổi theo phương ngang. Chọn hệ tọa độ có trục 
Oy đi qua khối tâm của hệ, chiều dương trục 
nằm ngang Ox ứng với chuyển động của các 
vật. Gọi là góc hợp bởi thanh nối quả cầu 
với trục Oy (hình 4). Tọa độ của các vật là: 
, , 
. (3.1) 
Suy ra: 
, 
, 
. (3.2) 
. 
Áp dụng định lý động năng 
Với , 
). (3.3) 
Suy ra: 
 0 03 2
0
gsin cos g
x 0
5cos 2 9
Bài toán 4: Hai thanh đồng chất giống nhau, 
mỗi thanh có khối lượng M, chiều dài L được 
nối khớp với nhau và tạo thành hình chữ V 
lộn ngược như hình 5. Đầu dưới của thanh 
bên trái được gắn với sàn qua một bản lề, đầu 
bên phải có thể trượt không ma sát trên sàn. 
Ban đầu giữ hệ sao cho θ = 450. Thả nhẹ hệ, 
bỏ qua mọi ma sát. 
1) Tính phản lực của sàn lên thanh bên phải 
ngay sau khi thả. 
2) Tính tốc độ góc của mỗi thanh khi chúng 
lập với sàn góc θ (0 < θ <450). 
Hướng dẫn: Chọn hệ tọa độ Oxy như hình vẽ 
5. Tọa độ của trọng tâm G1 và G2 của hai 
thanh lần lượt là: 
, 
Dương Thị Hà và Đtg Tạp chí KHOA HỌC & CÔNG NGHỆ ĐHTN 195(02): 103 - 109 
 Email: jst@tnu.edu.vn 108 
Hình 5. Hình vẽ minh họa bài toán 4 
Gọi a là gia tốc của G1 (có thành phần nằm 
ngang và thành phần thẳng đứng 
). Tại thời điểm ngay sau khi thả, G2 có 
gia tốc a2, với và 
. Độ lớn gia tốc góc của hai 
thanh bằng nhau. 
Các lực tác dụng lên các thanh được biểu diễn 
trên hình 5. Phương trình chuyển động quay 
của thanh 1 quanh A: 
2
0L mLmg cos 45 QLcos
2 3
  . (4.1) 
Phương trình chuyển động quay của thanh 2 
quanh G2 
2
0L L mLN cos 45 Q sin
2 2 12
  . (4.2) 
Phương trình định luật II Newton cho chuyển 
động của khối tâm của thanh 2 theo phương 
ngang và phương thẳng đứng là: 
xQcos m3a (4.3) 
ymg Qsin N ma (4.4) 
0
x y
2 L
a a a cos 45 a ;a
2 2

 . (4.5) 
Từ (4.1) đến (4.5) suy ra: 
7mg
N
10
 . 
2) Sử dụng định luật bảo toàn cơ năng cho hệ 
ta sẽ tìm được: 
 1 2 2
1
sin
3g 2
L 1 3sin
  
   
 
Bài toán 5: Một thanh mảnh đồng chất có 
chiều dài L = 2m và khối lượng m được dựng 
thẳng đứng trên mặt phẳng nhẵn nằm ngang. 
Sát đầu dưới của thanh có một vật nhỏ cùng 
khối lượng m (hình 6). Thanh bắt đầu đổ 
xuống theo chiều như hình vẽ. Tìm vận tốc 
lớn nhất của vật nhỏ. 
Hình 6. Hệ vật rắn của bài toán 5 
Hướng dẫn: Trong quá trình đổ xuống, khi 
còn chưa tách khỏi thanh thì vận tốc của vật 
nhỏ bằng vận tốc của đầu A. Khi vận tốc của 
vật đạt giá trị lớn nhất thì vật tách khỏi A. 
Kí hiệu G là khối tâm của hệ AG = L/4. Do 
không có ngoại lực tác dụng lên hệ theo 
phương ngang nên G chỉ chuyển động theo 
phương thẳng đứng. 
Xét hệ khi thanh lập với phương ngang góc α. 
Tọa độ khối tâm theo phương thẳng đứng là: 
G
G G
L
y sin
4
L L
v y cos cos
4 4
  
(5.1) 
Áp dụng định luật bảo toàn cơ năng: 
2
2G GL 2mv I2mg 1 sin
4 2 2
  . (5.2) 
Tính mô men quán tính của hệ đối với G, ta 
tìm được: 
 2
G 2
1 sin cos3gL
v
2 3cos 5
. (5.3) 
Dương Thị Hà và Đtg Tạp chí KHOA HỌC & CÔNG NGHỆ ĐHTN 195(02): 103 - 109 
 Email: jst@tnu.edu.vn 109 
Dọc theo phương GA, ta có: 
G Av sin v cos .(5.4) 
Từ đó tìm được: 
 2
A 2
1 sin sin3gL
v .
2 8 3sin
 (5.5) 
Bằng cách tính đạo hàm, tìm cực trị, tìm được 
vận tốc cực đại tại A là: 
0
Av 0,82m / s; 45,4 . 
KẾT LUẬN 
Chuyển động song phẳng của vật rắn dạng 
thanh có thể được khảo sát bằng phương pháp 
tổng quát với ba bước: xác định tọa độ, suy ra 
vận tốc và gia tốc; xác định vận tốc góc, gia 
tốc góc; cuối cùng xác định các đại lượng 
theo các yêu cầu của từng bài toán. 
Sử dụng phương pháp này chúng ta có thể giải 
được các bài toán về chuyển động song phẳng 
của vật rắn dạng thanh, là cơ sở để học sinh, 
sinh viên các ngành vật lý và kỹ thuật khi 
nghiên cứu về chuyển động song phẳng của 
vật rắn cũng như khảo sát chuyển động của các 
chi tiết máy có chuyển động song phẳng. 
TÀI LIỆU THAM KHẢO 
1. Đào Văn Phúc, Phạm Viết Trinh (1990), Cơ 
học, Nxb Giáo dục Việt Nam. 
2. Đỗ Sanh, Nguyễn Văn Vượng (2009), Cơ học 
ứng dụng, Nxb Giáo dục Việt Nam. 
3. Vũ Thanh Khiết (2005), Bồi dưỡng học sinh 
giỏi Vật lý Trung học phổ thông, Bài tập cơ nhiệt, 
Nxb Giáo dục Việt Nam. 
4. Beatty M. F. (1986), Kinematics of Rigid 
Body Motion, In: Principles of Engineering 
Mechanics. Mathematical Concepts and 
Methods in Science and Engineering, vol 32. 
Springer, Boston, MA. 
5. Jens Wittenburg, Rigid Body Kinematics 
(2007), In: Dynamics of Multibody Systems. 
Springer, Berlin, Heidelberg, pp. 9-36. 
6. Nguyễn Lăng Bình, Đỗ Hương Trà, Nguyễn 
Phương Hồng (2010), Cao Thị Thặng, Dạy và học 
tích cực – Một số phương pháp và kỹ thuật dạy 
học, Nxb Đại học Sư phạm. 
7. Lê Thị Thu Hiền, Lê Hoàng Phước Hiền (2017), 
“Xây dựng và sử dụng bài tập gắn với thực tiễn 
trong dạy học vật lý nhằm phát triển năng lực vận 
dụng kiến thức của học sinh trung học phổ 
thông”, Tạp chí Giáo dục, số 405, pp.53-56. 
  Email: jst@tnu.edu.vn 110