Dáng điệu tiệm cận của mô hình dịch tễ sir với bước chuyển markov

 TẠP CHÍ KHOA HỌC CÔNG NGHỆ GIAO THÔNG VẬN TẢI SỐ 27+28 – 05/2018 
7 
DÁNG ĐIỆU TIỆM CẬN CỦA 
MÔ HÌNH DỊCH TỄ SIR VỚI BƯỚC CHUYỂN MARKOV 
ASYMPTOTIC BEHAVIOR OF A STOCHASTIC SIR MODEL UNDER 
MARKOVIAN SWITCHING 
Nguyễn Viết Dương1, Trần Đình Tướng2 
1Khoa Cơ bản 2, Học viện Công nghệ Bưu chính Viễn thông cơ sở tại TP. Hồ Chí Minh 
2Khoa Cơ bản, Trường Đại học Giao thông Vận tải TP. Hồ Chí Minh 
Tóm tắt: Bài báo nghiên cứu mô hình dịch tễ SIR với nhiễu trắng và nhiễu màu. Với những giả 
thiết thích hợp, điều kiện tồn tại và duy nhất nghiệm của hệ được chỉ ra. Hơn nữa, bài báo còn chỉ ra 
ngưỡng để xác định tính chất nghiệm của hệ khi thời gian đủ lớn. Các ví dụ và mô phỏng số được 
trình bày để minh họa kết quả lý thuyết. 
Từ khóa: Mô hình dịch tễ SIR, sự tuyệt chủng, bước chuyển Markov. 
Chỉ số phân loại: 1.1 
Abstract: This work is concerned with long - time behavior of a SIR epidemic model perturbed by 
both white noise and colour noise. The existence and unique solution are given. Further, a threshold 
value whose sign specifies whether or not the disease goes to extinct or survive permanently is 
provided. Finally, some numerical solutions to illustrate our results are presented. 
Keywords: SIR epidemic model; extintion; regime switching; markovian switching. 
Classification number: 1.1 
1. Giới thiệu 
Lịch sử nhân loại đã trải qua rất nhiều dịch 
bệnh nguy hiểm. Từ năm 165 – 180 dịch bệnh 
Antonine đã làm suy tàn đế chế La Mã từng 
hùng bá châu Âu, hơn 1/3 dân số châu Âu thời 
đó ước tính hơn 5 triệu người đã thiệt mạng do 
bệnh dịch này. Tới những năm 1338 – 1351 nỗi 
ám ảnh kinh hoàng của loài người phải nhắc 
đến đại dịch “cái chết đen” đã lấy đi sinh mạng 
hơn 75 triệu người. Ngày nay loài người cũng 
đã trải qua nhiều bệnh dịch nguy hiểm như 
bệnh HIV/AIDS, dịch bệnh tả, sởi, sốt rét, cúm 
gà H5N1, SARS,các đại dịch này đã lấy đi 
hàng triệu sinh mạng dẫn đến những tác động 
xấu đến kinh tế, xã hội. Với các thiệt hại nặng 
nề do bệnh dịch gây ra, các nhà toán học đã 
nghiên cứu mô hình của các bệnh dịch nhằm dự 
đoán được tốc độ phát triển, phát hiện các quy 
luật dịch tễ, các yếu tố phát triển dịch bệnh và 
đưa ra cơ sở toán trong y học, sinh học để xây 
dựng các biện pháp phòng tránh bệnh dịch cũng 
như giảm thiểu khả năng thiệt hại của bệnh tật. 
Trong những khoảng thời gian gần đây, 
Bernoulli đã dùng công cụ toán để nghiên cứu 
ảnh hưởng của việc tiêm phòng ngừa bệnh đậu 
mùa tới tuổi thọ trung bình của con người. Tiếp 
theo đó hai nhà toán học Kermack và 
Mckendrick đã đưa ra được mô hình dịch tễ để 
nghiên cứu tính chất mức độ ảnh hưởng của 
loại dịch bệnh và mô hình đó được đặt tên là 
SIR (Susceptible – Infected – Removed). Trong 
mô hình này các cá thể của quần thể được chia 
làm ba loại: (S ) lớp cá thể mẫn cảm dễ bị mắc 
bệnh, (I) lớp những cá thể bị nhiễm bệnh và có 
khả năng truyền bệnh đến cá thể khác, (R) lớp 
những cá thể nhiễm bệnh đã chết hoặc các cá 
thể bị nhiễm bệnh nhưng có khả năng hồi phục. 
Với mô hình như sau: 
[ ]( ) ( )
( ) ( ) ( ) (
( )
( ) [ ]
( ) [
)
( )] .( )
K S t S t
S t I t I t
dS
dt
R t d
t dt
dI t
dR I t tt
µ µ β
β µ
γ
ρ γ
µ
 =

=
 = −
− −
− +

+ (1) 
Trong đó µ cường độ chết tự nhiên của cá 
thể trong quần thể, ρ cường độ chết của cá thể 
bị nhiễm bệnh, β là hệ số truyền bệnh, γ là 
cường độ phục hồi của các cá thể đã bị nhiễm 
bệnh, hằng số K là sức chứa các cá thể trong 
quần thể. Tuy nhiên khi hệ sinh thái trên bị tác 
động các yếu tố bên ngoài, tính ổn định và cấu 
trúc hệ sinh thái có thể thay đổi. Khi đó đòi hỏi 
cần có nghiên cứu về dáng điệu tiệm cận của 
quần thể hay cụ thể hơn là điều kiện để hệ thoát 
li các mầm bệnh hay các cá thể bị nhiễm bệnh 
bị mất đi mà không để lại các yếu tố lan truyền 
8 
Journal of Transportation Science and Technology, Vol 27+28, May 2018 
bệnh tật khi môi trường bị tác động bởi các yếu 
tố ngẫu nhiên như vậy là bài toán đang được 
quan tâm. Nếu hệ số truyền bệnh β chịu tác 
động bởi “nhiễu trắng”. Khi đó hệ số truyền 
bệnh sẽ bị chịu thêm tác động của nhiễu trắng 
và hệ (1) trở thành: 
[ ]( )
( ) [
( ) ( )
( ) ( ) ( )
( ) ( ) (
) ( ) ( ) ( ) ( )
( )]
]
.( ) [ ( )
K S t S t
S t I t dB t
S t I t
I t dt S t I t dB t
R t dt
dS t dt
dI t
dR t I t
µ µ β
σ
β µ ρ
γ σ
µγ
− − =

−
 =


= −
+ +

− +

 (2) 
Trong một số trường hợp, ngoài tác động 
của nhiễu trắng, hệ sinh thái còn chịu tác động 
của nhiễu điện tín hay còn gọi là nhiễu màu. 
Chẳng hạn sự khác biệt về mùa mưa và mùa 
khô cũng gây nên ảnh hưởng đến hệ sinh thực 
vật của quần thể. Những tác động này có tính 
không nhớ (memoryless) và có thể minh hoạ 
như một bước chuyển Markov giữa ít nhất là 
hai trạng thái của môi trường. Hệ với bước 
chuyển Markov này đã được ứng dụng rộng 
khắp trong lý thuyết điều khiển, hệ sinh thái và 
toán tài chính. .. Ngày càng nhiều tác giả tập 
trung vào hướng nghiên cứu này (xem 
[1,3,4,7]). Trong bài báo này nhóm nghiên cứu 
dáng điệu nghiệm của mô hình: 
[ ]( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( ( ) ( )
( ))
( )
( ) [
]
(
( ) ( ) ( ) ( ) ( )
) [ ( ) ( ) ( ) .( ])
t t t
t
t t t
t t
t t
r K r S t r S t I t
r S t I t dB t
r S t I t r r
r I t dt r S t I t dB t
r r R
dS t dt
dI t
dR t I t tt dγ
µ µ β
σ
β µ ρ
γ σ
µ
− −
− +
+ +
 =

−
 =


 = −
(3) 
Tiêu điểm và cấu trúc chính của bài báo 
được trình bày thành như sau. Mục 1 đề cập về 
tổng quan và hướng nghiên cứu bài báo. Mục 2 
trình bày những kết quả chính của bài báo. Đầu 
tiên chúng tôi chứng minh (3) tồn tại nghiệm 
dương duy nhất và tính bất biến của tập 2+ . 
Tiếp theo chúng tôi đưa ra ngưỡng λ mà theo 
đó ta có thể xác định dáng điệu nghiệm của hệ 
khi thời gian đủ dài. Sử dụng kỹ thuật tương tự 
như trong [8], chúng tôi chứng minh được khi 
0λ < hệ tuyệt chủng nghĩa là các cá thể bị 
nhiễm bệnh sẽ bị diệt vong. Mục 3 dành để tóm 
tắt những kết quả chính đã đạt được và trình 
bày những hướng nghiên cứu tiếp theo.
2. Kết quả chính 
Xét không gian xác suất 
0( ), ,,{ }t t P≥Ω   . Gọi ( )B t là quá trình 
Weiner một chiều được xác định trên không 
gian xác suất. Kí hiệu: 
2 2( , ) , 0, 0,x y x y+ = ∈ > > 
2 2{( , ) : };x y x y K+∆ = ∈ + < 
là không gian Euclide hai chiều và | . | là chuẩn 
Euclide thông thường. Gọi , 0tr t ≥ là xích 
Markov liên tục phải trên không gian xác suất 
đầy đủ nhận giá trị trên không gian hữu hạn 
trạng thái (1, 2,..., ); (1 )S N N= ≤ < ∞ với ma 
trận sinh ( )ij n nγ ×Γ = xác định bởi: 
{ }
 i
|
( ) khi
1 ( ) kh
j
i i=j
t t
ij
ii
P r j r i
o
o
δ
γ δ δ
γ δ δ
+ = =
+= 
+ +
≠

khi 0δ → . Do vậy, ijγ là cường độ chuyển từ 
i đến j và 0ijγ ≥ nếu i j≠ . Do vậy 
ii ijji
γ γ
≠
= −∑ . Giả sử rằng xích Markov tr 
luôn độc lập với tB . 
Bổ đề 2.1 (Lipschitz địa phương) Xét 
phương trình vi phân ngẫu nhiên với bước 
chuyển Markov có dạng: 
( )
( )
( ) ( ), , ( )
( ), , ( ) ( )
d x t f x t t r t dt
g x t t r t dW t
=
+
 (4) 
với 0t ≥ , giá trị ban đầu 20(0) ,x x= ∈ 
( )W t là chuyển động Brown m − chiều và hàm 
,gf được định nghĩa: 
, : n nf g S+× × → 
2 2
2
( , , ) ( , , ) ( , , ) ( , , )
k
f x t u f y t u g x t u g
l x
y u
y
t− ∨
≤ −
−
khi đó (4) tồn tại nghiệm dương địa phương 
duy nhất cực đại. 
Chứng minh. Xem [6]. 
Định lý 2.1 Với các giá trị ban đầu 
( ) 2(0), (0)S I +∈ , thì (3) có một nghiệm 
dương duy nhất ( ) 2( ), ( )S t I t +∈ với 0t ≥ và 
 TẠP CHÍ KHOA HỌC CÔNG NGHỆ GIAO THÔNG VẬN TẢI SỐ 27+28 – 05/2018 
9 
nghiệm này sẽ ở lại 2+ với xác suất 1, nghĩa 
là ( ) 2( ), ( )S t I t +∈ với mọi 0t ≥ hầu chắc 
chắn. 
Chứng minh. Với các hệ số của hệ phương 
trình là (3) là Lipschitz liên tục địa phương, 
theo Bổ đề 2.1 với bất kỳ giá trị ban đầu
( ) 2(0), (0)S I +∈ thì tồn tại duy nhất 
( )( ), ( )S t I t là nghiệm địa phương cực đại với 
[ )0, ,et τ∈ trong đó eτ là thời điểm nổ. Để 
chứng minh nghiệm trên là toàn cục ta cần 
chứng minh rằng eτ = ∞ hầu chắc chắn. Việc 
chứng minh phần còn lại khá cơ bản bằng việc 
xét hàm Lyapunov
( , ) 1 ln 1 lnV x y x x y y= − − + − − và để đảm 
bảo khuôn khổ bài báo nhóm nghiên cứu bỏ 
qua phần chứng minh còn lại, nếu quan tâm 
thêm có thể xem tài liệu [5]. ∎ 
Theo công thức Itô, gọi ngưỡng: 
2 2
1
1
( ): ( ) ( ( ) (
.
) ( ) )
2
( )
[ ] i
i
i
i
N
N
i Ki K i i i
i
σ
λ β µ ρ γ π
λ π
=
=
= − +
=
+ +∑
∑
(5) 
Định lí 2.2 Với 0λ < được xác định như 
trên và với điều kiện ban đầu 
(0), (0)I S ∈ ∆ , trạng thái i N∈ ta có: 
a) lim ( ) 0, limS( )
t t
I t t K
→∞ →∞
= = hầu chắc chắn. 
b) 
ln ( )lim 0
t
I t
t
λ
→∞
= < hầu chắc chắn. 
Để chứng minh Định lý 2.2 ta cần chứng 
minh hai bổ đề sau. 
Bổ đề 2.2 Nếu 0λ , 
tồn tại một 0δ > sao cho với mọi 
0 0( , , ) : ( , ] [0, ) ,s i i N K K Nδ δ δ∈ × = − × × 
với điều kiện ban đầu ( ) ( )0 00 ; 0S s I i= = 
 ta có { }lim I(t) 0 1 ,tP ε→∞ = ≥ −
{ }lim (t) 1 .tP S K ε→∞ = ≥ − 
Chứng minh. Với 0λ < , chúng ta có thể 
chọn 0k > đủ nhỏ sao cho:
( )( ) 0.j
j N
i kλ π
∈
+ <∑ Xét hàm Lyapunov 
2( , , ) ( ) pV x y i K x y= − + với (0,1)p∈ là 
hằng số cho trước. Bằng tính toán trực tiếp toán 
tử  tương ứng với (3) với ( , , )x y i N∈∆× ta 
được: 
2 2 2 2 2
2 2 2
2
2 2
2 2
2 2 2
( , , ) 2( )[ ( ) ( )( )]
( ) ( ) ( )
( ) ( )( ) ( )]
2 2
2 ( )( ) ( ) ( ( ) ( )
( )( ) ] (2( ) ( ) ( ))
[
2
[
( ) .
2
i
p
p
p
p
V x y i K x i xy i K x
py i x i i
i x p i x yi x y i
i K x py i x i i
i xi y K x i x x y i
p i x y
β µ
β µ ρ
σ σ
γ σ
µ β µ ρ
σ
γ β σ
σ
= − − − + −
+ − −
− − + +
≤ − − + − +
+ + + − +
+

Do tính liên tục của các hệ số, tính 
compact của tập N∆× và 1 0py − → khi 
0y → , ta có thể chọn (0,1)p∈ và 
1 (0, )Kδ ∈ sao cho với mỗi 1( , , )x y i Nδ∈ × , 
với 
1 1 1
: ( , ] [0, )K Kδ δ δ= − × , ta có 
2 2
2 2 2
2 2
( )( ) ( ( ) ( ) ( )
2
( )(2( ) ( ) ( ))
2
(
(
(
)
) ) .
p
p
p
i xpy i x i i i
p i x yy K x i x x y i
p i y
σ
β µ ρ γ
σ
β σ
λ κ
− + + +
+ − + +
≤ +
Khi p đủ nhỏ, ta có: 
2 22 ( )( ) ( ( ) )( ) .i K x p i K xµ λ κ− − ≤ + − 
Do vậy, 
( , , ) [ ( ) ] ( ,, , )iV x y i p i V x y iλ κ≤ + với mọi 
1
( , , )x y i Nδ∈ × . 
Theo [2, Định lý 3.4] với mỗi 0,ε > với 
điều kiện ban đầu ở trạng thái i N∈ 
( ) ( )0 00 ; 0S s I i= = , ta có 10 δ δ< < sao cho 
{ }lim(I(t) 0 1 ;tP ε→∞ = ≥ − { }lim( (t) 1 .tP S K ε→∞ = ≥ − 
∎ 
Với mỗi 0,δ > và điều kiện ban đầu ở 
trạng thái i N∈ , ( ) ( )0 00 ; 0S s I i= = , gọi thời 
điểm đầu tiên mà ( ( ), ( ))S t I t thuộc δ là 
inf{ 0 : ( ( ), ( )): }.t S t I tδ δτ = > ∈ 
10 
Journal of Transportation Science and Technology, Vol 27+28, May 2018 
Xét bổ đề sau: 
Bổ đề 2.3. Với mỗi 0,δ > và với điều kiện 
ban đầu ở trạng thái i N∈ , 
( ) ( )0 00 ; 0S s I i= = ta có δτ < ∞ hầu chắc 
chắn. 
Chứng minh. Xét hàm Lyapunov 
2
1( , , ) ( 1) ,
cU x y i c x= − + trong đó 1 2,c c là hai 
hằng số dương được xác định. Ta có 
2 2
2
2 2 22
( , , ) ( 1) [( 1)( ( )( )
1( ) ) ( ) ].
2
cU x y i c x x i K x
ci xy i x y
µ
β σ
−= − + + −
−
− +

Đặt min{ ( ) : }.m i i Nµ µ= ∈ Do 
( 1) ( )( )x i K xµ δ+ − ≥ với mỗi [0, ],x K δ∈ − 
ta có thể tìm được 2c đủ lớn sao cho 
2 22
( 1) ( )( ) ( )
1 ( ) 0.5 ,
2 m
x i K x i xy
c x y i
µ β
σ µ δ
+ − −
−
+ ≥
với 0 0( , , ) , ,s i i N x K δ∈∆× ≤ − 
2( , , ) 0.5 mU x y i c µ δ≤ − 
trong đó ( , , ) ,x y i N x K δ∈∆× ≤ − 
Với điều kiện ban đầu ở trạng thái 
( ) ( )0 0, 0 ; 0i N S s I i∈ = = . Theo công thức 
Dynkin ta có 
0 0
0
0 0 2
( ( ), ( ), ) ( , , )
(( ( ), ( )), )
( , , ) 0.5 .
t
m
EU S I r U s i i
E U S t I t r dt
U s i i c E
δ
δ
δ δ τ
τ
δ
τ τ
µ δ τ
=
+
≤ −
∫  
Do U bị chặn trên trên miền 2+ , do vậy 
E δτ < ∞ . Điều này dẫn đến δτ < ∞ hầu chắc 
chắn. ∎ 
Chứng minh Định lý 2.2.a. 
Theo Bổ đề 2.2, ( ) 0I t → (trạng thái hết 
nhiễm bệnh) là ổn định địa phương. Mặt khác 
theo Bổ đề 2.3, với mọi 0δ > cho trước, và 
điều kiện ban đầu ở trạng thái 
( ) ( )0 0, 0 ; 0i N S s I i∈ = = , thời điểm đầu tiên 
để δ ∈ ( ( ), ( ))S t I t là vô cùng. Kết hợp với 
tính Markov mạnh của hệ, ta có: 
{ }lim I(t) 0 1 ;tP ε→∞ = ≥ − { }lim (t) 1 .tP S K ε→∞ = ≥ − 
Do vậy ta có 
 lim ( ) 0, limS( )
t t
I t t K
→∞ →∞
= = ( 12) 
hầu chắc chắn trong đó ( , , ) .x y i N∈∆× 
Kết quả Định lý 2.2.b. được suy ra trực tiếp 
từ việc áp dụng công thức Itô cho phương trình 
của các cá thể bị nhiễm bệnh. ∎ 
Ví dụ minh họa 
Để minh họa kết quả trên chúng tôi xét ví 
dụ sau. Giả sử rằng xích Markov liên tục 
{ 0},tr t ≥ chỉ nhận hai giá trị của trạng thái 
{1,2}N = nghĩa là khi 1tr = chúng ta xét ở 
trạng thái 1 và 2tr = chúng ta xét ở trạng thái 2. 
Cường độ để chuyển từ trạng thái 1 sang trạng 
thái 2 là 12 0.5v = và chuyển từ trạng thái 2 
sang trạng thái 1 là 21 0.8v = , thì phân phối 
dừng ( )1 2
8 5,
13 13
,π π π  = =  
 
. Giả sử rằng 
10;K = (1) 1.3;µ = (2) 1;µ = (1) 8;β =
(2) 4;β = (1) 1;σ = (2) 1,2;σ = (1) 1;γ = 
(2) 2.γ = Bằng tính toán trực tiếp ta có 
2.3 0λ = − < , bởi vậy với t →∞ thì ( ) 0I t → 
và ( )S t K→ , cho ta kết quả minh họa bởi hình 
1. 
Hình 1. Quỹ đạo của ( )I t trong trường hợp 0λ < 
(đường màu xanh). 
Trong hình 1 ta thấy rằng khi t →∞ thì 
( ) 0I t → có nghĩa là các cá thể bị nhiễm bệnh 
bị tuyệt chủng. Trong khi đường màu đỏ thể 
hiện sự dịch chuyển giữa hai trạng thái của hệ. 
 TẠP CHÍ KHOA HỌC CÔNG NGHỆ GIAO THÔNG VẬN TẢI SỐ 27+28 – 05/2018 
11 
Hình 2. Quỹ đạo của ( )S t trong trường hợp 0λ < 
(đường màu xanh). 
Trong hình 2 ta thấy rằng khi t →∞ thì 
1( 0)S t K→ = là sức chứa của hệ. Kết quả mô 
phỏng phù hợp với kết quả bài báo. 
3. Kết luận 
Bài báo nghiên cứu tính chất nghiệm của 
mô hình dịch tễ SIR chịu cả nhiễu trắng và 
nhiễu màu. Bằng việc xây dựng ngưỡng để 
nghiên cứu dáng điệu tiệm cận của quần thể, 
bài báo này chỉ ra khi ngưỡng 0λ < các cá thể 
bị nhiễm bệnh sẽ bị diệt vong. Khi đó các cá thể 
còn lại sẽ tồn tại ổn định tới sức chứa tối đa của 
môi trường. Do sự giới hạn về khuôn khổ của 
tạp chí, nhiều tính chất và chứng minh chi tiết 
chưa được trình bày ở đây. Những bài toán lý 
thú của hệ như trong trường hợp 0λ > thì dáng 
điệu tiệm cận hệ sẽ như thế nào, tính chất điều 
khiển của tập nghiệm cũng như sự tác động đột 
ngột gây sốc của môi trường sẽ được nghiên 
cứu trong các bài báo tiếp sau. 
4. Lời cảm ơn 
Bài báo này được tài trợ một phần từ đề tài 
“Nghiên cứu dáng điệu tiệm cận của mô hình 
dịch tễ với bước chuyển Markov” với mã số 
KH1702. Nhóm tác giả xin bày tỏ lòng biết ơn 
đến TS. Nguyễn Thanh Diệu đã giúp đỡ và đưa 
ra những lời nhận xét xác đáng để bài báo của 
chúng tôi hoàn thiện hơn. Ngoài ra chúng tôi 
xin cảm ơn tới Khoa Cơ bản 2, Học viện Công 
nghệ Bưu chính viễn thông; Khoa Cơ bản, 
Trường Đại học Giao thông vận tải thành phố 
Hồ Chí Minh đã tạo điều kiện tốt nhất cho 
chúng tôi hoàn thành bài báo này. Lời cuối 
cùng, chúng tôi xin chân thành các phản biện đã 
dày công đọc và góp nhiều ý kiến xác đáng, giá 
trị nhằm tăng cướng chất lượng bài báo 
Tài liệu tham khảo 
[1] B. Cloez and M. Hairer, Exponential ergodicity for 
Markov processes with random switching, Bernoulli 
21 (2015), 505-536. 
[2] N. H. Dang, G. Yin, Stability of Regime-Switching 
Diffusion Systems with Discrete States Belonging to 
a Countable Set, submitted, (2017). Available at 
https://arxiv.org/abs/1710.02887. 
[3] N. H. Du and N. H. Dang, Dynamics of Kolmogorov 
systems of competitive type under the telegraph 
noise, J. Differential Equations, 250 (2011), 386-
409. 
[4] N. H. Du and N. H. Dang, Asymptotic behavior of 
Kolmogorov systems with predator-prey type in 
random environment, Commun. Pure Appl. Anal. 
13 (2014), no. 6, 2693-2712. 
[5] Y. Guo, The Behavior of an SIR Epidemic Model 
with Stochastic Perturbation, Physica A 479, (2017) 
1–11. 
[6] C. Ji, Daqing J., Ningzhong S., Stochastic 
population dynamics under regime switching, 
Stochastic Analysis and Applications, (2012) 755-
773. 
[7] M. Pinsky and R. Pinsky, Transience recurrence 
and central limit theorem behavior for diffusions 
in random temporal environments, Ann. Probab., 
21, (1993) 433-452. 
[8] T. D. Tuong, Dang H. Nguyen, N. T. Dieu, Ky 
Tran, Extinction and permanence in a stochastic 
SIRS model in regime-switching with general 
incidence rate, (submitted), 2018. 
 Ngày nhận bài: 28/2/2018 
 Ngày chuyển phản biện: 2/3/2018 
 Ngày hoàn thành sửa bài: 23/3/2018 
 Ngày chấp nhận đăng: 29/3/2018