Đặc điểm hình học của những hình cùng diện tích và việc nhận dạng phân số

TẠP CHÍ KHOA HỌC ĐHSP TPHCM Trần Đức Thuận 
_____________________________________________________________________________________________________________ 
49 
ĐẶC ĐIỂM HÌNH HỌC CỦA NHỮNG HÌNH CÙNG DIỆN TÍCH 
VÀ VIỆC NHẬN DẠNG PHÂN SỐ 
TRẦN ĐỨC THUẬN * 
TÓM TẮT 
Trong chương trình Toán tiểu học, diện tích vừa có vai trò đối tượng kiến thức cần 
dạy học, vừa có vai trò công cụ hỗ trợ hình thành các kiến thức khác, trong đó có phân số. 
Bài viết này trình bày kết quả nghiên cứu về đặc điểm hình học của những hình có cùng 
diện tích với việc nhận dạng phân số. Phân số “một phần ba” được lựa chọn để khảo sát. 
Từ khóa: đặc điểm hình học, diện tích, phân số, công cụ, đối tượng. 
ABSTRACT 
Geometric characteristics of equivalent areas and the identification of fractions 
In mathematics program for elementary students, area has two roles: object of 
knowledge taught and learnt, and tools supporting other knowledge, including fractions. 
This article presents the results of research on the geometric characteristics of equavalent 
areas and the identification of fractions. Fraction "one third" was selected for this 
research. 
Keywords: geometric characteristics, area, fraction, tool, object. 
1. Đặt vấn đề 
Trong luận án Dạy học chủ đề phân số ở trường tiểu học thông qua hoạt động 
giải các bài toán, Dương Hữu Tòng (2014) ([7], tr. 80) đề cập đến mô hình diện tích 
trong cách tiếp cận “số phần / toàn thể”. Công trình trên chỉ ra diện tích, hình vẽ là một 
công cụ hữu ích giúp hình thành khái niệm phân số. Những hình ban đầu thường được 
chia thành nhiều phần bằng nhau về hình dạng (và hiển nhiên cùng diện tích) và tô màu 
các phần nhỏ theo cách lựa chọn khá đặc biệt: thẳng hàng hoặc thẳng cột. Dạng bài 
toán cho học sinh tự tô màu một phần tư hình vuông ([7], tr. 110) có thể đưa đến phần 
diện tích được học sinh tô màu có đặc điểm không đặc biệt như giáo viên mong đợi. 
Bài báo này đi tìm hiểu về trường hợp học sinh tự tô màu “một phần ba” với các công 
cụ didactics Toán như Lí thuyết Nhân học, Lí thuyết tình huống, Hợp đồng didactic 
(tham khảo [1]). 
2. Sơ nét về nội dung Diện tích và Phân số trong sách Toán tiểu học Việt Nam 
2.1. Diện tích 
Diện tích được đưa vào giảng dạy từ lớp 3, bài Diện tích của một hình [4, tr.150] 
nhằm giúp học sinh làm quen với khái niệm diện tích, dù là không có một định nghĩa 
chính thức nào về diện tích được đưa ra. 
Các đơn vị đo diện tích lần lượt được giới thiệu ở lớp 3 (cm2), lớp 4 (dm2, m2, 
km2), lớp 5 (dam2, hm2, mm2). 
* ThS, Trường Đại học Sư phạm TPHCM; Email: thuantd@hcmup.edu.vn 
TẠP CHÍ KHOA HỌC ĐHSP TPHCM Số 7(85) năm 2016 
_____________________________________________________________________________________________________________ 
50 
Các quy tắc (bằng lời) tính diện tích hình chữ nhật, hình vuông được hình thành ở 
lớp 3. Các công thức tính diện tích các hình tứ giác đặc biệt lần lượt được thiết lập ở 
lớp 4 (hình bình hành, hình thoi), lớp 5 (hình tam giác, hình thang). Công thức tính 
diện tích hình tròn cũng được giới thiệu ở lớp 5. 
2.2. Phân số 
Việc dạy học phân số ở tiểu học có thể chia thành hai giai đoạn. Giai đoạn chuẩn 
bị ở lớp 2, 3 có các bài một phần hai, một phần ba... Giai đoạn chính thức tập trung chủ 
yếu ở lớp 4 với các bài hình thành phân số (phân số có tử bé hơn mẫu số), mối liên hệ 
giữa phân số và phép chia số tự nhiên (nhằm bổ sung phân số có tử số lớn hơn mẫu số), 
so sánh phân số, quy đồng mẫu số, rút gọn phân số, các quy tắc thực hiện phép tính 
cộng, trừ, nhân, chia phân số Ở lớp 5, học sinh được ôn tập về phân số và sau đó 
chuyển sang học số thập phân. Do mục tiêu của bài báo này nhắm đến việc nhận dạng 
phân số tương ứng với phần diện tích được tô màu nên phần phân tích ở đây tập trung 
vào việc hình thành khái niệm phân số có tử số nhỏ hơn mẫu số. 
a) Một phần của đơn vị ở lớp 2, lớp 3 
Với chuỗi bài một phần của đơn vị, sách Toán 2 có các bài Một phần hai, Một 
phần ba, Một phần tư, Một phần năm liền ngay sau bài Bảng chia cho số tương ứng. 
Toán 3 không thiết kế thành các bài riêng biệt như Toán 2 mà chỉ giới thiệu một phần 
sáu, một phần bảy, một phần tám, một phần chín thông qua các bài tập. 
Các bài Một phần hai, Một phần ba, Một phần tư, Một phần năm ở lớp 2 có cấu 
trúc giống nhau với ba bài tập về nhận dạng hình sau phần hình thành kiến thức mới: 
Hình 1. Hình thành khái niệm một phần ba ([3], tr. 114) 
Phần hình thành khái niệm “một phần ba” ([3], tr. 114) ghi rõ: “Chia hình vuông 
thành ba phần bằng nhau. Lấy một phần, được một phần ba hình vuông”. Tuy nhiên, 
cả lớp 1 và lớp 2 đều không có bài nào giới thiệu về khái niệm các phần bằng nhau 
hoặc có bài tập liên quan đến các phần bằng nhau. Điều này có nghĩa giáo viên cần giải 
thích cho học sinh biết thế nào là các phần bằng nhau trong quá trình chia hình hoặc kế 
thừa vốn hiểu biết, kinh nghiệm sống sẵn có ở học sinh. 
b) Phân số có tử nhỏ hơn mẫu ở lớp 4 
Phân số có tử số nhỏ hơn mẫu số được chính thức hình thành ở lớp 4, qua bài 
Phân số ([5], tr. 114). Cụm từ “chia hình thành phần bằng nhau” tiếp tục được sử 
dụng, khai thác vốn kinh nghiệm sẵn có của học sinh về sự bằng nhau 
. 
TẠP CHÍ KHOA HỌC ĐHSP TPHCM Trần Đức Thuận 
_____________________________________________________________________________________________________________ 
51 
Hình 2. Hình thành khái niệm phân số ([5], tr. 114) 
3. Giả thuyết nghiên cứu 
Với m < n, ta có quy tắc hành động ứng với hai kiểu nhiệm vụ ngược nhau: 
- Kiểu nhiệm vụ tô màu m
n
 hình trắng: chia hình lớn thành n phần bằng nhau (gấp, 
kẻ đường phụ) chọn và tô màu m phần. 
- Kiểu nhiệm vụ nhận dạng phần đã tô màu có bằng m
n
 hình: 
 Khác n 
 n 
 Khác nhau 
 Bằng nhau 
 Khác m 
 m 
Từ phân tích cách hình thành phân số có tử số nhỏ hơn mẫu số trong sách giáo 
khoa, giả thuyết nghiên cứu H được hình thành: 
H: “Đặc điểm hình học của hình được chia, của phần diện tích được tô màu có 
thể ảnh hưởng đến việc nhận dạng phân số”, nghĩa là: tồn tại quy tắc hợp đồng: 
R: “Người nhận dạng phân số không có trách nhiệm chia lại hình ban đầu”, dù 
rằng máy photocopy chỉ bảo toàn đường kẻ mực, không bảo toàn nếp gấp ở hình gốc. 
4. Thực nghiệm 
4.1. Mục tiêu: Kiểm chứng giả thuyết H và quy tắc hợp đồng R nêu trên. 
4.2. Nội dung thực nghiệm: Nội dung thực nghiệm là các bài toán được cải biên từ 
hình A, bài tập 1 của bài “Một phần ba” ([3], tr. 114): 
Chia thành mấy phần? 
Các phần bằng nhau? 
Tô màu mấy phần? 
Có Không 
TẠP CHÍ KHOA HỌC ĐHSP TPHCM Số 7(85) năm 2016 
_____________________________________________________________________________________________________________ 
52 
Hình 3. Bài tập 1, bài Một phần ba ([3], tr. 114) 
Nội dung thực nghiệm: trả lời câu hỏi Nam đã tô màu 
1
3
 hình nào? bằng phương 
thức đánh dấu vào lựa chọn tương ứng (Có/Không) và giải thích Lí do lựa chọn trong 
mỗi trường hợp sau: 
 Hình A 
Hình B 
Hình C 
 Hình D 
Hình E 
Các biến và giá trị được lựa chọn: 
- Câu hỏi bài toán: sử dụng câu hỏi của dạng bài tập 1 ([3], tr. 114) Đã tô màu 
1
3
hình nào? thay vì câu hỏi của dạng bài tập 2 ([3], tr. 114) Hình nào có 
1
3
 số ô vuông 
được tô màu? Câu hỏi thực nghiệm không có từ “số” nhằm hạn chế tính toán. 
- Đặc điểm hình: tất cả các hình chữ nhật lớn đều có cùng kích thước, đều được tô 
màu một phần ba diện tích nhưng khác biệt về cách tô hoặc những đường kẻ phụ. Chỉ 
riêng hình E có cách tô màu khác biệt với những hình trước đó. Các hình A, B, C, D 
đều tô màu giống hệt nhau, nhưng khác nhau về cách chia hình chữ nhật, nghĩa là đặc 
điểm hình học của các hình khác nhau. Hình A chỉ được chia thành 02 phần không 
bằng nhau. Các phiếu photo khiến nếp gấp ở hình A không được bảo toàn. Hình B được 
chia thành 03 phần bằng nhau về diện tích; với 01 hình chữ nhật được tô và 02 hình 
TẠP CHÍ KHOA HỌC ĐHSP TPHCM Trần Đức Thuận 
_____________________________________________________________________________________________________________ 
53 
vuông không được tô. Hình C được chia thành 03 hình chữ nhật bằng nhau. Hình D, 
hình E được chia thành 12 hình vuông bằng nhau và tô màu 04 hình vuông. 
4.3. Phân tích tiên nghiệm 
 Các chiến lược nhận dạng phần tô màu có thể xuất hiện 
Để nhận dạng “một phần ba”, các chiến lược nhận dạng xoay quanh cách giới 
thiệu khái niệm “một phần ba” của sách giáo khoa: “hình được chia thành 3 phần bằng 
nhau và tô màu 1 phần” ([3], tr. 114). 
Nhóm chiến lược giữ nguyên cách chia hình (SG-) 
Chiến lược SG-0: chia thành n hình (không nhất thiết bằng nhau), chọn 1 hình thì 
được “một phần n”. Sự bằng nhau của các phần được chia không được quan tâm. 
Chiến lược SG-Đ: tuân theo định nghĩa (thuần hình học), quy trình nhận dạng ở 
mục 3 nêu trên mà không có sự phân chia lại hình. Khi đó, những hình không chia 
thành 3 phần (Hình A, Hình D, Hình E), hoặc 3 phần được chia không bằng nhau về 
hình dạng (Hình B) sẽ nhận được câu trả lời “Không”. 
Chiến lược SG-S: vận dụng các tính toán số học như kiến thức về rút gọn phân số, 
hai phân số bằng nhau: 
4 1
12 3
 ; hoặc cách tìm phân số của một số, cụ thể: 
1
3
 của 12 ô 
vuông là 4 ô vuông để trả lời “Có” cho Hình D, E. 
Nhóm chiến lược thay đổi cách chia hình (ST-) 
Chiến lược ST-Đ: quan tâm đến phần (diện tích) được tô màu, tự điều chỉnh cách 
chia nhỏ hình (thay đổi / thêm / bớt các đường kẻ phụ) để hình ban đầu được chia thành 
3 phần bằng nhau với 01 phần được tô màu, sau đó trả lời dựa vào phần giới thiệu khái 
niệm ([3], tr. 114). Khi đó, các Hình A, B, C, D sẽ nhận được câu trả lời “Có”. 
 Dự kiến câu trả lời có thể xuất hiện 
Bảng 4. Dự kiến câu trả lời có thể xuất hiện 
Chiến lược Hình A Hình B Hình C Hình D Hình E 
SG-0 Không Có Có Không Không 
SG-Đ Không Không Có Không Không 
SG-S Có Có 
ST-Đ Có Có Có Có Không 
Hình A chỉ được chia thành 02 phần không bằng nhau. Dự đoán khả năng 
“Không” được chọn nhiều. 
Hình B được chia thành 03 phần bằng nhau về diện tích, với 01 hình chữ nhật 
được tô màu và 02 hình vuông không được tô màu. Dự đoán chọn “Không” nhiều. 
Hình C được chia thành 03 hình chữ nhật bằng nhau. Dự đoán khả năng “Có” 
được chọn nhiều. 
Hình D, Hình E được chia thành 12 hình vuông bằng nhau và tô màu 04 hình 
vuông. Dự đoán khả năng “Có” được chọn nhiều nhờ chiến lược SG-S. 
TẠP CHÍ KHOA HỌC ĐHSP TPHCM Số 7(85) năm 2016 
_____________________________________________________________________________________________________________ 
54 
4.4. Kết quả thực nghiệm, phân tích hậu nghiệm 
Kết quả khảo sát với 78 giáo viên tiểu học (GV), 94 học sinh tiểu học (HS) và 
100 sinh viên ngành giáo dục tiểu học (SV) như sau: 
Bảng 5. Các câu trả lời của đối tượng tham gia khảo sát 
Đối 
tượng 
Hình A Hình B Hình C Hình D Hình E 
C K C K C K C K C K 
78 
GV 
SL 22 56 23 53 78 0 75 3 72 6 
% 28,2% 71,8% 29,5% 69,7% 100% 0,0% 96,2% 3,8% 92,3% 7,7% 
94 
HS 
SL 11 83 46 47 92 2 46 48 31 63 
% 11,7% 88,3% 48,9% 50,0% 97,9% 2,1% 48,9% 51,1% 33,0% 67,0% 
100 
SV 
SL 25 75 28 72 100 0 72 28 62 38 
% 25,0% 75,0% 28,0% 72,0% 100% 0,0% 72,0% 28,0% 62,0% 38,0% 
Có 02 giáo viên và 01 học sinh không đưa ra câu trả lời cho hình B. 
Biểu đồ 6. Biểu đồ thể hiện tỉ lệ % trả lời “Có” tô màu một phần ba hình 
Bảng thống kê 5 và Biểu đồ 6 cho thấy: Trong số những hình có cùng phần diện 
tích được tô màu, thậm chí là tô màu giống hệt nhau, những hình có đặc điểm hình học 
phù hợp với cách giới thiệu khái niệm một phần ba như Hình C tạo điều kiện cho gần 
như toàn bộ người được khảo sát đưa ra câu trả lời đúng, đạt tỉ lệ xấp xỉ 100%. Việc 
thiếu vắng đường kẻ phụ như Hình A, hoặc đường kẻ phụ tạo ra các hình bằng nhau về 
diện tích nhưng khác nhau về hình dạng như Hình B gây nhiều khó khăn cho người 
nhận dạng. Ở cả ba nhóm giáo viên, học sinh, sinh viên, tỉ lệ khẳng định “Có tô màu 
một phần ba” đều dưới 50%, thậm chí dưới 30%. Dù đặc điểm hình học của Hình D, 
Hình E không trùng với cách giới thiệu khái niệm, nhưng sự xuất hiện của các ô vuông 
đơn vị nhìn chung đã tạo nhiều điều kiện thuận lợi cho câu trả lời “Có tô màu một phần 
ba”, trong đó tỉ lệ giáo viên thừa nhận “Có” đạt hơn 90%, tỉ lệ sinh viên thừa nhận 
0.0%
10.0%
20.0%
30.0%
40.0%
50.0%
60.0%
70.0%
80.0%
90.0%
100.0%
Hình A Hình B Hình C Hình D Hình E
GV
HS
SV
TẠP CHÍ KHOA HỌC ĐHSP TPHCM Trần Đức Thuận 
_____________________________________________________________________________________________________________ 
55 
“Có” đạt hơn 60%. Sự xuất hiện của lưới ô vuông đơn vị cũng tạo điều kiện cho tỉ lệ 
học sinh trả lời “Có” ở Hình D, Hình E nhiều hơn so với Hình B, Hình A. 
Đặc biệt, có 7 giáo viên (chiếm 9,0%), 13 học sinh (chiếm 13,8%), 7 sinh viên 
(chiếm 7,0%) đã có sự thay đổi phương án trả lời ở Hình A; với 5 giáo viên, 12 học 
sinh, 5 sinh viên thay đổi câu trả lời từ “Có” sang “Không”. Với hình B, có sự thay đổi 
câu trả lời ở 3 giáo viên (chiếm 3,8%), 13 học sinh (chiếm 13,8%), 9 sinh viên (chiếm 
9,0%); trong đó 2 giáo viên, 12 học sinh, 4 sinh viên quyết định chọn “Không” sau lựa 
chọn “Có” ban đầu. Tổng số câu trả lời có thay đổi phương án ở Hình D là 22 và ở 
Hình E là 12, hầu hết là đổi từ “Không” sang “Có”. Đặc điểm hình học “bất thường” 
của những hình được lựa chọn khảo sát đã gây lúng túng cho người nhận dạng, dù đó là 
học sinh, sinh viên hay thậm chí giáo viên. Có lẽ, nhiều người nhận dạng đã thay đổi 
câu trả lời khi họ nhận ra phải có một lời giải thích phù hợp theo một chiến lược nào đó 
chứ không chỉ lựa chọn “Có” / “Không” dựa vào trực giác, cảm tính. 
Bảng 7. Các chiến lược trả lời của 78 giáo viên tiểu học tham gia khảo sát 
Chiến lược Hình A Hình B Hình C Hình D Hình E Tổng 
SG-0 2 8 4 0 0 14 
SG-Đ 52 53 73 3 3 184 
SG-S 0 0 0 64 70 134 
ST-Đ 20 12 0 8 0 40 
Không rõ 4 5 1 3 5 18 
Tổng 78 78 78 78 78 390 
Chiến lược trả lời được xác định dựa vào phần giải thích Lí do lựa chọn. Kết quả 
cho thấy: Hầu hết giáo viên (trung bình 76,1%) dựa vào hình mẫu trong sách Toán 2 
([2], tr.114), chiến lược SG-Đ, để trả lời cho các Hình A, B, C. Tuy nhiên, khi có sự xuất 
hiện các ô vuông đơn vị (Hình D, E), chiến lược tính toán số học SG-S được hầu hết 
(85,9%) giáo viên sử dụng. Chỉ có trung bình khoảng 17,1% giáo viên gợi ý thêm / bớt 
các đường kẻ phụ, tạo ra ba phần bằng nhau trong các trường hợp Hình A, B, D để kết 
luận một phần ba hình chữ nhật được tô màu (chiến lược ST-Đ). Một số giáo viên thêm: 
Học sinh cần tô màu cùng một hàng ngang, không được tô màu khác hàng. 
Bảng 8. Các chiến lược trả lời của 94 học sinh tiểu học tham gia khảo sát 
Chiến lược Hình A Hình B Hình C Hình D Hình E Tổng 
SG-0 43 34 36 25 24 162 
SG-Đ 30 44 43 18 18 153 
SG-S 4 4 6 25 27 66 
ST-Đ 5 4 0 9 2 20 
Không rõ 12 8 9 17 23 69 
Tổng 94 94 94 94 94 470 
TẠP CHÍ KHOA HỌC ĐHSP TPHCM Số 7(85) năm 2016 
_____________________________________________________________________________________________________________ 
56 
Học sinh có xu hướng dựa vào cách giới thiệu dựa vào cách giới thiệu khái niệm 
để trả lời (153 lượt học sinh theo chiến lược SG-Đ). Tuy nhiên, có đến 162 lượt học sinh 
không chú ý đến sự bằng nhau của các phần sau khi chia (chiến lược SG-0), đưa đến lời 
giải thích chưa thật sự chính xác. Sự thiếu quan tâm đến tính “bằng nhau” của các phần 
cho phép giải thích nguyên nhân có đến gần 50% học sinh chọn phương án “Có” cho 
trường hợp Hình B. Như vậy, giáo viên cần chú ý hơn đến việc hướng dẫn học sinh 
kiểm tra lại sự bằng nhau của các phần sau khi chia. 
Sự xuất hiện của lưới ô vuông cũng tạo điều kiện cho 52 lượt học sinh thực hiện 
chiến lược SG-S ở Hình D, E. Điều đáng chú ý là 14 lượt học sinh đã cố gắng thực hiện 
sự tính toán số học ở các Hình A, B, C. Chỉ có 20 lượt học sinh (chiếm tỉ lệ trung bình 
5,3%) thực hiện chia lại các được kẻ phụ để hình thành ba phần bằng nhau (chiến lược 
ST-Đ) ở các Hình A, B, D, E. 
Bảng 7. Các chiến lược trả lời của 100 sinh viên giáo dục tiểu học tham gia khảo sát 
Chiến lược Hình A Hình B Hình C Hình D Hình E Tổng 
SG-0 1 10 2 0 0 13 
SG-Đ 74 72 98 26 32 302 
SG-S 0 0 0 59 62 121 
ST-Đ 24 16 0 13 2 55 
Không rõ 1 2 0 2 4 9 
Tổng 100 100 100 100 100 500 
Số lượt sinh viên chia lại hình bằng cách thêm / bớt các đường kẻ phụ (chiến lược 
ST-Đ) là 55 lượt, chiếm tỉ lệ trung bình 13,8%. Hầu hết sinh viên bám sát định nghĩa để 
trả lời, thể hiện qua 302 lượt (chiếm tỉ lệ 60,4%) lựa chọn chiến lược SG-Đ. Sự xuất hiện 
lưới ô vuông đơn vị ở Hình D, E cũng tạo điều kiện cho 121 lượt sinh viên chọn chiến 
lược SG-S để tính toán số học, xác định cần tô màu 4 ô vuông hoặc xác định hai phân số 
bằng nhau. Đáng chú ý, có sinh viên thực hiện chia Hình B thành 6 hình chữ nhật bằng 
nhau và thực hiện rút gọn “hai phần sáu” thành “một phần ba”. Một số sinh viên sau 
khi tìm ra cần tô màu 4 ô vuông ở Hình D, E có lưu ý thêm cần tô màu cùng một hàng 
ngang, không được tô màu khác hàng. 
Nhìn chung, người tham gia nhận dạng sử dụng chiến lược SG-Đ trong 3 trường 
hợp đầu và chuyển sang chiến lược SG-S khi có sự xuất hiện của các ô vuông đơn vị. Tỉ 
lệ thực hiện chia lại hình thấp, những trường hợp khác thường (A, B, D, E) đều gây 
lúng túng cho người nhận dạng, cho phép hợp thức hóa quy tắc hợp đồng R và giả 
thuyết nghiên cứu H. 
3. Kết luận 
Kết quả nghiên cứu ở bài báo này đã chỉ ra một số điểm đáng lưu ý như sau: 
 Diện tích là một công cụ, phương tiện hữu ích trong dạy học phân số. 
 Sách giáo khoa Toán ở Việt Nam sử dụng khái niệm “hai phần bằng nhau” 
TẠP CHÍ KHOA HỌC ĐHSP TPHCM Trần Đức Thuận 
_____________________________________________________________________________________________________________ 
57 
nhưng không có sự giới thiệu chính thức nào về “hai phần bằng nhau”, “hai hình bằng 
nhau”. Kết quả khảo sát cũng cho thấy hơn 34% lượt học sinh tham gia thực nghiệm 
không chú ý đến việc kiểm tra sự bằng nhau của các phần, trong khi chỉ 3% lượt giáo 
viên hiện tại và tương lai không đề cập đến việc kiểm tra các phần bằng nhau. Giáo 
viên cần nhắc nhở học sinh lưu ý hơn trong việc kiểm tra sự bằng nhau của các phần 
sau khi chia hình thành các phần. 
 Người học không có trách nhiệm phân chia lại hình ban đầu. Do đó, đặc điểm 
hình học của hình được chia, của phần diện tích được tô màu ảnh hưởng đến việc nhận 
dạng phân số. Những hình chia sẵn thành các phần bằng nhau, sự xuất hiện của lưới ô 
vuông đơn vị tạo điều kiện dễ dàng nhận dạng hơn. 
 Nếu sử dụng bài tập cho phép học sinh tự tô màu, giáo viên nên chia sẵn thành 
các phần bằng nhau như hình C, hoặc lưu ý học sinh vẽ đúng các đường kẻ phụ, tô màu 
thẳng hàng hoặc thẳng cột, tránh trường hợp lệch cột như Hình E. 
 Nhiều học sinh tiểu học tham gia khảo sát chưa học phân số bằng nhau, quy 
tắc rút gọn phân số nên tỉ lệ học sinh tiểu học có xu hướng tính toán số học, rút gọn 
phân số thấp hơn so với sinh viên, giáo viên; 14% (học sinh) so với 24% (sinh viên) và 
34% (giáo viên). Có thể nhờ tính toán số học, rút gọn phân số để nhận ra kết quả mà tỉ 
lệ giáo viên, sinh viên linh hoạt chia lại hình (10%) để hợp thức hóa kết quả trong 
phạm vi hình học cũng cao hơn so với học sinh (4%). 
TÀI LIỆU THAM KHẢO 
1. Annie Bessot - Claude Comiti, Lê Thị Hoài Châu, Lê Văn Tiến (2009), Những yếu tố 
cơ bản của Didactic Toán, Nxb Đại học Quốc gia TP Hồ Chí Minh. 
2. Đỗ Đình Hoan (chủ biên) (2005), Toán 1, Nxb Giáo dục. 
3. Đỗ Đình Hoan (chủ biên) (2005), Toán 2, Nxb Giáo dục. 
4. Đỗ Đình Hoan (chủ biên) (2005), Toán 3, Nxb Giáo dục. 
5. Đỗ Đình Hoan (chủ biên) (2006), Toán 4, Nxb Giáo dục. 
6. Đỗ Đình Hoan (chủ biên) (2008), Toán 5, Nxb Giáo dục. 
7. Dương Hữu Tòng (2014), Dạy học chủ đề phân số ở trường tiểu học thông qua hoạt 
động giải các bài toán, Luận án Tiến sĩ, Trường Đại học Sư phạm TPHCM. 
(Ngày Tòa soạn nhận được bài: 07-3-2016; ngày phản biện đánh giá: 09-4-2016; 
ngày chấp nhận đăng: 22-7-2016)