Các tính chất phi cổ điển của trạng thái thêm và bớt một photon lên hai mode kết hợp chẵn

CÁC TÍNH CHẤT PHI Cổ ĐIÊN CỦA TRẠNG THÁI THÊM VÀ
BỚT MỘT PHOTON LÊN HAI MODE KET hợp chẵn
TRẦN THỊ THU 1, TRƯƠNG MINH ĐỨC 1, Hồ SỸ CHƯƠNG 2 1 Trường Đại học Sư phạm, Đại học Huế, Email: tmduc2009@gmail.com 2 Trường Đại học Đồng Nai, Email: hosichuong@gmail.com
Tóm tắt: Bài báo này trình bày việc khảo sát các tính chất phi cổ điển của trạng thái thêm và bớt một photon lên hai mode kết hợp chẵn. Bằng việc sử dụng điều kiện nén tổng và nén hiệu hai mode, kết quả thu được cho thấy trạng thái này là một trạng thái thể hiện tính nén tổng nhưng không nén hiệu. Sau đó chúng tôi đã khảo sát tính chất phản kết chùm hai mode và sự vi phạm bất đẳng thức Cauchy- Schwarz của trạng thái này. Kết quả cho thấy trạng thái thêm và bớt một photon lên hai mode kết hợp chẵn có tính chất phản kết chùm và hoàn toàn vi phạm bất đẳng thức Cauchy-Schwarz. Chúng tôi cũng đã khảo sát các điều kiện đan rối Hillery-Zubairy và đan rối Nha-Kim và thu được kết quả cho thấy trạng thái thêm và bớt một photon lên hai mode kết hợp chẵn đan rối hoàn toàn theo cả hai tiêu chuẩn đan rối Hillery-Zubairy và Nha-Kim.
Từ khóa: Nén tổng hai mode, nén hiệu hai mode, phản kết chùm, sự vi phạm bất đẳng thức Cauchy-Schwarz, tiêu chuẩn đan rối Hillery-Zubairy và đan rối Nha-Kim.
GIỚI THIỆU
Trong những nam gần đây, các lĩnh vực thông tin lượng tử, viễn tải lượng tử và máy tính lượng tử thu hút sự quan tâm rất lớn của các nhà khoa học và đang có những bước phát triển mạnh mẽ. Cùng với đó, việc nghiên cứu các trạng thái có tính phi cổ điển, đặc biệt là tính đan rối đóng vai trò quan trọng trong quá trình tạo ra các nguồn tài nguyên rối. Vào nam 1991, Agarwal và Tara đã đề xuất ý tưởng về trạng thái kết hợp thêm photon [1] và chứng minh được nó là một trạng thái phi cổ điển, thể hiện tính nén, tính phản kết chùm và tuân theo thống kê sub-Poisson. Việc thêm và bớt photon vào một trạng thái vật lý là một phưìng pháp quan trọng để tạo ra một trạng thái phi cổ điển mới. Bài báo này trình bày các nghiên cứu của chúng tôi về các tính chất phi cổ điển đối với trạng thái thêm và bớt một photon lên hai mode kết hợp chẵn sau
I vlúá, = Na/3 (at +	}b + \p IA) ;	(1)
trong đó N., = ||2 + 2 + 2a*^* + 2ap + 2|^|2 + (2a*^ + 2 + 2n p* + 2ap + 2£*a) X exp (—|a — |2) ]_ 2 là hệ số chuẩn hóa, a là toán tử sinh đối với mode a và & là toán Tạp chí Khoa học và Giáo dục, Trường Đại học Sư phạm, Đại học Huế
ISSN 1859-1612, Số 01(45)/2018: tr. 93-103
Ngày nhận bài:06/10/2017; Hoàn thành phản biện: 11/10/2017; Ngày nhận đăng: 23/10/2017 
tử hủy đối với mode b.
TÍNH CHẤT NÉN CỦA TRẠNG THÁI THÊM VÀ BỚT MỘT PHOTON LÊN HAI MODE KET hợp chẵn
Nén tổng hai mode
Nén tổng hai mode được Hillery [2] đưa ra vào nam 1989. Một trạng thái được
(	~ \2\
gọi là nén tổng nếu thỏa mãn bất đẳng thức ( ( Aip ) 2 < 4 (na + nb + 1) ; hay
/ / X \2\	1	
(2)
S = ( (AV'J } - 4 (na + nb + 1) < 0;
trong đó h(AV')2) = A '4; — (V')2, V' =	(ei'aibJi + e i'ab^, na = ayà và nb = byb.
Đối với trạng thái thêm và bớt một photon lên hai mode kết hợp chẵn, ta có
2
S = (V'2) - (V'\ - 4 (na + n + 1)
1 I A T |2r/r»l,l4|ri|2|^\ I / J I „14 I ol„|2 I oAl/')|2 I Í C\\ lO \4 I c ì /O Ì 2 I = 4I N>-pI { (2|a| I 5|o| + 2j + (4|a| + 8|a| + 3j |p| + (2|p| + 5|pI + 2j + (iI4 + 8IộI2 + 3)	+ 2	' + 4) (IộI2 + 1) Re[aộ] + 2 2	' + 2Iộ|2 + 6)
xRe[e~2i'a2ộ2] + 2 (2 I a 12 I ộ 12 + 2 I ộ 12 + 2 I a 12) Re[e“2i'aộ] + 4Re[e“2i'a3ộ3] + [2Re[(a*2ộ2 + 4a*ộ + 2) (ộ*a + 1)] + 2Re[(a*2ộ2 + 3a*ộ + 1) ộ*a] +2Re[aộ] (2 I a 12 I ộ 12 + 6Re[ộ *a] + 4) + 2Re[ộ*a] I a 12 I ộ 12 + 2 I a 12 Re[(a*ộ + 1) ộ *2] +2 Iộ 12Re[(a*ộ + 1) a2] + 2Re[(a*ộ + 1) (ộ*2a2 + ộ*a)] + 2 (2Re[a*ộ] + 6) xRe[e_2i'a2ộ2] + 2 I a 12 Re[e2i' (a*ộ + 2) ộ *2] + 2Re[e2i' (ộ *a + 2) a*2 ] I ộ 12 +2Re[e2i'ộ*2a*3ộ] + 2Re[e2i'a*2ộ*3a] + 4Re[e2i'ộ*3a*3]] exp {-1 a - ộ 12}}
1
, -|N.«IM2 Í2Ial2 + 21 ộ2 +	4Ì Re[e_i'aộ]	+ 2	Í2lal2IộI2	+	lal2	+ lộlI Re[ei']
{ 2 I 'do I {" y" I 44 I _I " I /V I _I	J-Ue Le CXyM J	“I Li	I Cx I I yo I	“I	I (-X I	“I I yo I	) J-Ue |_e	J
+4Re[e-i'a2ộ2] + [{2 (2Re[a*ộ] + 4) Re[e“i'aộ ] + 2 (2 I a 12 I ộ 12 + 2Re[aộ *]) Re[ei'] +4Re[ei'a*2ộ*2] + I a 122Re[ei'ộ*2] + I ộ 122Re[e“i'a2]] exp {-1 a - ộ 12}}]}2 — 4 I NapI {2 I a I + 21 ộ I + 4 +	(3 I a I + 6J I ộ I +	( I ộ I + 6J	I a	I
+ (21 a I 2 + 21 ộ I 2 + 4) 2Re[aộ ]	+ [4Re[a*2 ộ2 ]	+ 4	+ 2Re[(a*ộ	+ 6)	ộ *a]
+2Re[(a* ộ + ộ *a + 4) aộ ] + I a 122Re[ộ2 ] + I ộ 122Re[a2] + 2 I a 12 I ộ 12] x exp {-I a - ộ 12}};
(3) trong đó, I Nap I 2 = [2 I a 12+2+2a*ộ*+2aộ+2 Iộ 12+(2a*ộ + 2 + 2a*ộ* + 2aộ + 2ộ*a)x exp (— I a — ộ 12) ] 1.
Ta đặt a = ra exp(i'a) và ộ = rb exp(i'b) và ' = 'a — 'b rồi khảo sát tính nén tổng hai mode theo biên độ rb và pha dao động 'b với điều kiện khảo sát là ra = rb; 'a = 2'b; 0 < rb < 5 và 'b = %/2- Kết quả ở hình 1a cho thấy trạng thái thêm và bớt một photon lên hai mode kết hợp chẵn có tính nén tổng.
Nén hiệu hai mode
Nén hiệu hai mode cũng được Hillery đưa ra [2]. Một trạng thái gọi là nén hiệu / / - \2\
hai mode nếu thỏa mãn bất đẳng thức ( (AHU } < 4\na — nb\ [3], hay
/ / _í \2\	1,.
(4)
D = / (aW'J \ - 4\na - nb\ < 0;
trong đó / (A XU A A — D IV2 E — DTV- E w — — c ei' n.h+ + e i' bE n- — h và, uiong dvj h yz—* k * ') / — F	'	I , '' ' — 2 y ao I e at/ J , na — a a vex
nb — h+h. Đối với trạng thái thêm và bớt một photon lên hai mode kết hợp chẵn, ta có
D — 4",	' + 3) 2Re[e2i'a2M*2] + (\M\2 + 3) 2	+ (IM\2 + 2)
x2Re[e2i'a*	Sự VI PHẠM BẤT ĐANG thức CAUCHY-SCHWARZ, TÍNH PHẢN KẾT CHÙM VÀ TÍNH ĐAN Rối CỦA TRẠNG THÁI THÊM VÀ BỚT MỘT PHOTON LÊN HAI MODE KẾT HỢP CHẴN
M] + ( 'I 2 + 2) 2Re[e2i'afi*3] + 2Re[e2i'a3M*]\M\2 + 2Re[e2i'M '•	\ a\2
+2R.e.[e2i'fí2a*2] ' I2 + 2Re[e2i'a2A*2]IM2 + 41' Sự vi phạm bất đẳng thức Cauchy-Schwarz
Bất đẳng thức Cauchy-Schwarz cho trạng thái hai mode có dạng
Ifì\2 + 41BI4 ' 2 + 161 fì\2IaI2
ee	j ee	j j j j j	j j
+2 \a\4 + 6 \a\2 + 6 \M\2 + 2 \M\4 + 2 (4 \M\2\ a \2 + 4 \M\2 + 4 \a\2 + 2) 2Re['M]
+ [2Re[(a*M + 3) (e2i' \M\4 + e~2i'\a\4)]
+2Re[(a*M + 2) (e2i'M*2 \M \2 + e~2i'a2\a\2)] + 2Re[e2i'M*a]\ M\4 + 2Re[e2i'a*M]\ a\4 +2Re[e2i'aM] (\a\ 4 + \ M \4) + 2Re[(2a*2Ổ2 + 7a*M + 6) M*a] + 2Re[M*2a2] + 2 +4 (\M\2\ a \2 + 2Re[a*M] + 1) Re['M] + \ M\2 \a \2 (2Re[a*M + 2) +2Re[(a*M + 1) M*2a2] + 2 \a \2Re[(M*a + 2) ỷ] + 2 \M\2Re[(a*M + 2) a2]] x exp { — \ a — M\ 2}} — (2\ Nap\ 2{2 (\ a\ 2 + 2) Re[ei'aM*] + 2 (\a \2 + 1) Re[ei'M*2] +2 (\M\2 + 2) Re[ei'a*M] + 2 (\M\2 + 1) Re[ei'a*2] + 2 \M\2Re[ei'a2] +2 \M \2Re[ei'aM*] + 2 \a \2Re[ei'Ổ2] + 2 \a \2Re[ei'Ổa*] + [2 (\M\2 + \ a \2) xRe[ei'] (2Re[a*M] + 2) + 2Re[(a*M + 1) (ei'M*2 + e“i'a2)]
+2Re[ei'aft] (\a \2 + \ M\2)] exp {-\ a - M\2}})2 - 4\	\ 2{2 \a \2 + 2 \M\2 + 2
+2Re[( \a \2 — \ M\ 2 + 1)	] — 2Re[M*a*2a] + 2Re[( \M\ 2 + 1)	] + [4Re[a*M]
+2Re[aM] (2Re[a*M] +4) — 2 \a\ 2Re[M2] — 2 \M\ 2Re[a2] + 2] exp { — \ a — M\ 2}}.
(ây2â2by2 h^ 2 / hybybh^
- 1 > 0.
(6)
 Ta đặt a — ra exp(i'a) và M — rb exp(i'b) và ' — 'a — 'b rồi khảo sát tính nén hiệu hai mode theo biên độ rb và pha dao động 'b với điều kiện khảo sát là ra — rb;'a — 2'b; 0 < rb < 2.5 và 'b — "2. Kết quả ở hình 1b cho thấy, trạng thái thêm một và bớt một photon lên hai mode kết hợp chẵn không có tính nén hiệu.
Hình 1: Sự phụ thuộc của tham số S và D vào biên độ kết hợp rb.
Với trạng thái thêm và bớt một photon lên hai mode kết hợp chẵn, ta có
I = ạ + 5|aI4 ■	■ ' + |ịI6 + 5|ị|4 + 4|ịI2 + |a|||2 + |ị	■ + 2(|ị|4
+2 Iị|2 + I a 14 + 2 I a 12)Re[aị] + 2[Re[a*3ị3] + 5Re[a*2ị2] + 4R,e[a*ị] + I ị 12Re[a*3ị] + 2 I ị 12Re[a2] + I a| 2Re[a*ị3] + 2 I a |2Re[ị2] + I ị 12 I a 12Re[aị *]] X exp {-| a - ị12}][Ia 12 |ị 14 + | ị 14 + | ị 16 + | ị 12 |a14 + | a14 + | a16 +2Re[aị]( Iị 14 + I a14) + 2[Re[(a*ị + 1) ị*2a2] + Re[ị*3a3] + I ị 12Re[ị*a3] + I a I Re[a*ị3]]exp -1 a - ị I }]}1/2{2 I a I I ị I +2 I a I I ị I +6 I a I I ị I + I a I + I ị +2Re[aị] (2 I a I 2 I ị 12 + I a 12 + I ị 12) + [(2Re[a*ị] + 6) I a 12 I ị 12 + 2Re[(ị *a + 1) ị2] X I a I 2 + 2Re[(a*ị + 1) a2] I ị I 2 + 2Re[a*ị ] ( I a 121 ị I 2 + 1)] exp { — I a — ị I 2} }_1 — 1.
(7) Ta đặt a = ra exp (i'a), ị = rb exp (i'b) và ' = 'a — 'b, rồi khảo sát sự vi phạm bất đẳng thức Cauchy-Schwarz theo biên độ rb và pha dao động 'b với điều kiện khảo sát là ra = rb; 'a = 2'b; 0 < rb < 2 và 'b = %/2- Kết quả ở hình 2 cho thấy trạng thái này vi phạm bất đẳng thức Cauchy-Schwarz.
Tính phản kết chùm
Trạng thái hai mode trong trường bức xạ có tính phản kết chùm khi
/ây(l+1)â(l+1) by(p~ 1) b(p_1A + / ây(p_1)â(p_1)by(l+1)b(l+1)\
(ayialbypbp^ + âtpâpbyi&ộ
Rab (l; p) = -	 - 1 p > 0 và na = â, nb = bb . Nếu tham số R (l,p) càng âm thì tính phản kết chùm hai mode thể hiện càng mạnh. Đối với trạng thái thêm và bớt một
Hình 2: Sự phụ thuộc của tham so I vào biên độ kết hợp rb.
photon lên hai mode kết hợp chẵn, chúng tôi tính được
+ [2Re[(a*(l+1)pl+1 + (2l + 1) a*lpl + l2a l 1 p(l“1)) p*pap] +2Re[(a*(l+1)pl + la l p(l“1)) p*(p+1)ap] + 2Re[a*la(p+1)plp*(p+1)] +2Re[(a*lpl+1 + la l 1 pl) p*pa(p+1)]] exp {-1 a - p |2} ;
DàypàpbyiblE = (|a |2(p+1) + (2p + 1) | a |2p + p21 a |2(p_1)) | p| 2l
2(p+1)	2p . 2	2(p—1)	2l	2p	2(l+1)	2p	2(l+1)
+ p + Izn + I) p + p	a + a p + p a
+ | p |	+ (Z,p + ) | p | + p | p |	| a | + | a | | p |	+ | p | | a
2p	2l	2(p—1)	2l	2p	2l	2(p—1)	2l
+2 1	| p p | a |	+ p | p |	’ | a |	+	| a p | p |	+ p | a |	’	| p |	) Re[ap]
+ [2Re[(a*(p+1)pp+1 + (2p + 1) a*ppp + p2a*(p-1)p(p-1)) p*lal] +2Re[(a*(p+1)pp + pa*pp(p-1)) p*(l+1)al] + 2Re[a*pa(l+1)ppp*(l+1)] +2Re[(a*ppp+1 + pa*(p-1)pp) p*la(l+1)]] exp {-1 a - p |2} ;
(10) ^ây(l+1)â(l+1)by(p-1)b(p-1ộ = {(| a |2(l+2) + (2l + 3) | a |2(l+1) + (l + 1)2 |a |2(l)) X | p 12(p-1) + (|p |2(l+2) + (2(l + 1) + 1) | p |2(l+1) + (l + 1)2 |p |2(l)) | a |
2(l+1)	2(p)	2(l+1)	2(p)	2(l+1)	2(p—1)
+ a p + p a + 2Helan I p a
I | ex |	| | I | px |	| ex |	I J- ce |p_-X px J I | px |	| ex |
+ (l + 1) | p |2(l) | a |	+ | a |2(l+1) | p |	+(l + 1) | a |2(l) | p |	!	(11)
X [2Re[(a*(l+2)pl+2 + (2(l + 1) + 1) a*(l+1)pl+1 +(l + 1)2a*(l)p(l))
Xp*(p-1)ap-1] + 2Re[(a*(l+2)pl+1 + (l + 1)a*(l+1)p(l)) p*(p)ap11] +2Re[a*(l+1)a(p)pl+1p*(p)] + 2Re[(a*(l+1)pl+2 + (l + 1)a*(l)pl+1) p*(p-1)a(p)]] X exp { — | a — p| 2} ;
/ Íí,t(p— 1) ~ (p— 1) í+ (Z+1) I (Z+1) \ í I I2p I í 'p í-^. i\ I i \ I 12(p— 1) I /	-i\2| |2(p—2) \
( aT(p 1)à(p 1) 6T(Z+1) 6(Z+1M = I IaI + (2(p — 1) + 1) IaI	+ (p - 1) N )
|n|2(Z+1) . (|n|2(p) . /ft/	I \ I I \ |n|2(p—1) . /	-1 \ 2 in 12(p— 2) \ I |2(Z+1)
1/51' ' + I I5 P’ + (2(p - 1) + 1) I5 p ' + (p - 1) l/jp J I a I
+I„I2(p~1) i5i2(z+2) + |J|2(p-1)|a|2(l+2)
I .) (I n |2(p— 1) I |2(Z+1) I (	1\|/Q |2(p—2) I |2(Z+1) I I I 2(p— 1) in 12(Z+1)
+ 2 I 5 a v + in — I) 5 v-r ' a v + a v-r 5 v +^\ 1 5 1	1 a 1	+ (p -Ụ 1 5 1	1 a 1	+ 1 a 1	1 5 1
+ (p - 1)I a 12(p_2) I 512(Z+1)) Re[a5] + 2Re[a*(p-1)a(z+2)5^5*(z+2)] + [2Re[(a*(p)5p + (2(p - 1) + 1) a*(p-1)5p-1 + (p - 1)2a*(p-2)5(p-2)) x5*(z+1)az+1] + 2Re[(a*(p)5p-1 + (p - 1)a*(p-1)ổ(p-2)) 5*(z+2)az+1] +2Re[(a*(p_1)5p + (p - 1)a*(p-2) 5p-1) 5 *(z+1)a(z+2)]] X exp {-I a - 5 12}}.
’	(12)
Ta tiếp tục đặt a = ra exp (i'a), 5 = rb exp (i'b) và ' = 'a — 'b, và tiến hành khảo sát tính phản kết chùm của trạng thái này với ra = rb; 'a = 0;'b = 4 theo các trường hợp sau:
Trường hợp l = p, đồ thi ở hình 3a cho thấy l = p càng lớn thì tính phản kết chùm càng mạnh.
Trường hợp l — p>0, khi l — p = 1, đồ thi ở hình 3b cho ta thấy l;p càng tang thì tính phản kết chùm càng mạnh. Khi l — p = 2, đồ thi ở hình 3c cho thấy khi l; p tang thì tính phản kết chùm tang chậm và gần như bằng nhau. Khi l — p = 3, đồ thi ở hình 3d cho ta thấy khi l,p tang thì tính phản kết chùm giảm.
Tính đan rối
Tính đan rối Hillery-Zubairy
Theo Hillery-Zubairy [3], nếu một trạng thái hai mode thỏa mãn điều kiện sau thì ta kết luận trạng thái đó bi đan rối.
<H
= ỘV;.\/p - àbT^
< 0.
(13)
Đối với trạng thái thêm và bớt một photon lên hai mode kết hợp chẵn thì
2
 r nl „. 14 I /■■> 12 I nl „ 12 I /■■> 14 I n I _ 12 I /-> 12 I I 12 I I n 12
<H = I I {2 1 a 1 1 5 1 +2 1 a 1 1 5 1 +6 1 a 1 1 5 1 + 1 a 1 + 1 5 1
+2 (21 a121 51 2 + I a I 2 + I 51 2) Re[a5] + [2Re[(aT252 + 3aT5 + 1) 5Ta] +2RehaT5 + 1) 52|a|2] + 2ReRbTa + 1) a 2 512] + 2Re[la|21512aT5]]
X exp { — I a — 5 I }} _ I I {( I a I + I 5 I +2) a5 * + ( I a I + I 5 I +2) 5a*
+ ( I a 12 + 1) 5*2 + a2 15 12 + ( 15 12 + 1) a*2 + 52 I a 12 + [(a*5 + 2) I 5 12
+ (a*5 + 1) 5*2 + 525*a + 55*2a + (5*a + 2) I a 12 + (5*a + 1) a*2 + a2a*5 +aa*25] exp { — I a — 5 12}}{( I a I 2 + I 5 12 + 2) a* 5 + ( I a 12 + I 51 2 + 2) 5 *a + ( I a 12 + 1) 52 + a*21 5 12 + ( 15 12 + 1) a2
(14)
+5*21 a 12 + [(a5* + 2) I 5 12 + (a5* + 1) 52 + 5*25a* + 5*52a* + (5a* + 2) I a 12 + (5a* + 1) a2 + a*2a5* + a*a25*] exp { — I a — 51 2}}.
Hình 3: Đồ thị khảo sát sự phụ thuộc của Rab(l,p) vào biên độ rb ứng với các cặp giá trị (l,p) khác nhau.
Bằng cách đặt a = ra exp(i'a),	= rb exp(i'b) và ' = 'a — 'b, chúng tôi khảo sát <
theo biên độ rb và pha dao động 'b với điều kiện khảo sát là ra = 2rb; 'a = 2'b; 0 < rb < 1 và 'b = ^/3. Kết quả ở hình 4a cho thấy trạng thái thêm và bớt một photon lên hai mode kết hợp chẵn bị đan rối theo tiêu chuẩn đan rối Hillery-Zubairy khi rb không quá bé.
Tính đan rối Nha-Kim
Theo Nha-Kim [4], một trạng thái hai mode gọi là đan rối nếu trạng thái đó thỏa mãn bất đẳng thức [1 + 4(ALy)2] [1 + 4(ALx)2] < (1 + {N+})2 + 16 (AKxAKyiS ; hay
< V = 1 - (a+2b2 + a2b+2 - a+abb+ - aa+b+b) + ha+b - ab+Ý
X "1 + ha+2b2 + a2b+2 + a+abb+ + aa+b+bi - ha+b - ab+Ý	(15)
—16c-1 (a+a+bb — a,ab+b+\ — 1 ta+b + ab+ ta+b — ab+\ì2
2i hi	co i h^o	co i I
-(1 + (a+a + b+bi)2 < 0.
Mức đan rối càng tang khi <N càng âm. Đối với trạng thái thêm và bớt một photon lên hai mode kết hợp chẵn, chúng tôi tính được <N = <1 + <2 + <3; trong đó
<1 = {1 - 2|Naị3|2Re[{(|a|2 + 3) a*2/2 + (|a|2 + 2) a*/3 +	'*/2 + a*2/*/3
+ (|/|2 + 3) a2/*2 + (|/12 + 2) 03/* + /*30*a2 + / 2O o3 + [(a*/ + 3) o 1 + (a*2/ + 2a*) a3 + a*3/*a2 + a*2/*a3 + (/*a + 3) |/14 + (/*2a + 2/*) /3 +/*3a*/2 + /*2a*ộ3] exp {-|a - /|2}}] - \Na/ỉ|2{(|a|4 + 3|a|2 + 1) (|/12 + 1) + (|/|4 + 3|/|2 + 1) (|a|2 + 1) + |/|2 (|a|4 + |a|2) + |a|2 (|ộ|4 + |/| ) +4 (|a|2 + 1) (|/12 + 1) Re[a/] + [2Re[(a*2/2 + 3a*/ + 1) (/*a + 1)] +4Re[(a*/2 + /) (/*a2 + a)] + 2Re[/*a (a*2/2 + a*/)]] exp { — |a — /12} + (|a|4 + 4|a|2 + 2) |/12 + (|/|4 + 4|/12 + 2) |a|2 + 4 (|0|2|/12 + |/12 + |0|2) Re[a/] + (|a|2 + 1) |/14 + (|/12 + 1) |a|4 + [2Re[(a*2/2 + 4a*/ + 2)/*a]
+2Re[(a*/2 + 2/) /*a2] + 2Re[(a*/ + 1) /*2a2] + 2Re[(a*/2 + 2/) /*a2]
+2Re[(a*/ + 1) /*2a2] + 2Re[(a*2/ + 2a*) /*2a]] exp { — |a — /12}}
—4|N„3|4[Im[(|a|2 + 2) a*/ + a*2|/12 + (|a|2 + 1) /2 + a*/*/2
+ (|/|2 + 2) a/* + /*2|a|2 + (|/|2 + 1) a2 + /*a*a2;
<2 = [(a*/ + 2) |a|2 + a*2/* a + (a*/ + 1) a2 + a*/*a2 + (/*a + 2) |/12 + /*2a*/ + (/*a + 1) /2 + /*a*/2] exp {-|a - /|2}]]2} X {1 + 2 |N„31 2Re[{(|a |2 + 3) a*2/2 + (|a |2 + 2) a*/3 + a*3/*/2 + a*2/*/3 + (|/1 2 + 3) a2/*2 + (|/ |2 + 2) a3/* +/*3a*a2 + /*2a*a3 + [(a*/ + 3) | a |4 + (a*2/ + 2a*) a3 + a*3/*a2 + a*2/*a3 + (/*a + 3) | / |4 + (/*2a + 2/*) /3 + /*3a*/2 + /*2a*/3] exp 1 a - / |2}}] + |n„3| 2{( |a| 4 + 31 a| 2 + 1) (|/ 12 + 1) + (|/ 14 + 31 / 12 + 1) (|a | + 1) + | / 12 (|a 14 + | a 12) + |a |2 (|/1 4 + | / |2) + 4 (|a |2 + 1) (|/|2 + 1) Re[a/] + 2[Re[(a*2/2 + 3a*/ + 1) (/*a + 1)] +2Re[(a*/2 + /) (/*a2 + a)] + Re[/*a (a*2/2 + a*/)]] exp { — | a — /1 2}
C
 A	o	X..O	z .	. A	o	X..O	Z..0..0	..o	..Ox
|4 I JI I2 I nA 1012 I Zlo|4 I /ílo|2 I L.|2 I j/l„l^^')|2 I io|2 I l^.RAT^r/Ti
a + 4 a + 2 / + / + 4 / + 2 a + 4 a j/ + / + a Re[a/] + (| a |2 + 1) | / |4 + (| / |2 + 1) | a |4 + 2[Re[(a*2/2 + 4a*/ + 2) /*a] + Re[(a*/2 + 2/) /*a2] +Re[(a*/ + 1) /*2a2] + Re[(a*2/ + 2a*) /*2a]] exp { — | a — /1 2}} -4 |N„3 |4[Re[(| a |2 + 2) a*/ + a*2 |/ |2 + (|a |2 + 1) /2 + a*/*/2 + (|/ |2 + 2) a/* +/*21 a| 2 + (|/|2 + 1) a2 + /*a*a2 + [(a*/ + 2) | a |2 + a*2/*a + (a*/ + 1) a2 + a*/*a2 + (/*a + 2) | / |2 + /*2a*/ + (/*a + 1) /2 + /*a*/2] exp {-1 a - / |2}]]2};
A	o	o	.0.0	Z. .O	. .o	\
ri |4 I |/')|4|i-)|/')|2|i-)i |2ir»l,i2|/')|2|^i n/l-.|2 I I n 12 I n \ T') _ r „ -D <3 — _[1 + \NafíI {|a| + IPI + 3|PI + 3|a| + 2|a| IPI +2 + 2 (Ja| + IPI + 2J Re[aP] + [(2Re[a*2p2]) + 6Re [a* P] + 2 (2Re [a* P] + 2) Ren;' + 2 + 2 n 2 IP |2] exp { — |a — p |2 } + (|a|2 + 1) IP I2 + (IPI2 + 1) In I2 + 2Re[a*P*2p] + 2Re[P*a*2a] + In I4 + IP |4 + [2Re[(a*P + 1) p*a] + 2Re[P*2a2] + 2|P|2Re[a2] + 2|a|2Re[P2]] exp { — |a — p|2}g]2 16|N^.12Im[{(Ia|2 + 3) a*2p2 + (|a|2 + 2) a*p3 + a*3p*p2 + a*2p*p3 + (IPI2 + 3) a2p*2 + (iPi2 + 2) a3p* + p*3a*a2 + p*2a*a3 + [(a*p + 3) |a|4 + (a*2p + 2a*) a3 + a*3p*a2 +a*2p*a3 + (P*a + 3) IP|4 + (P*2a + 2p*) p3 + p*3a*p2 + p*2a*p3] exp {-|a - p|2}g] + N. |4Re[{(|a|2 + 2) a*p + a*2|P|2 + (Ia|2 + 1) p2 +	a*p*p2 +	(IP|2 + 2) aP* + p*2|a|2
+ (IP 12 + 1) a2 + p*a*a2 + [(a*p + 2) I a |2	+ a*2p*a +	(a*p + 1)	a2 + a*p*a2
+ (P*a + 2) IP|2 + p*2a*p + (P*a + 1) p2 + p*a*p2] exp { — |a — p12}] xIm[{(|a|2 + 2) a*p + a*2|P|2 + (|a|2 + 1) p2 + a*p*p2 + (IP|2 + 2) aP* + p*2|a|2 + (|p|2 + 1) a2 + p *a*a2 + [(a*p + 2) I a |2	+ a*2p *a +	(a*p + 1)	a2 + a*p *a2
+ (p *2a + 2p *) p + p *2a*p + (P * a + 1) p2	+ p *a*p2] exp {-|a -	p |2}]]2.
Với cách đặt a — ra exp(i'a), p — rb exp(i'b) và ' — 'a — 'b, chúng tôi khảo sát
Hình 4: Dồ thị khảo sát sự phụ thuộc của và vào biên độ kết hợp rb.
khảo sát theo biên độ rb và pha dao động 'b với điều kiện khảo sát là ra — 2rb, 'a — 2'b, 0 < rb < 1 và 'b — p/4. Kết quả ở hình 4b cho thấy trạng thái thêm và bớt một photon lên hai mode kết hợp chẵn bị đan rối hoàn toàn theo tiêu chuẩn đan rối Nha-Kim.
KẾT LUẬN
Bài báo này đã trình bày kết quả nghiên cứu các tính chất nén tổng và nén hiệu hai mode, sự vi phạm bất đẳng thức Cauchy-Schwarz, tính phản kết chùm và tính đan rối của trạng thái thêm và bớt một photon lên hai mode kết hợp chẵn. Đầu tiên, chúng tôi đã tính toán và đưa ra biểu thức tường minh cho tham số nén tổng S và nén hiệu D của hai mode tổng quát; biểu thức tham số I đặc trưng cho sự vi phạm bất đẳng thức Cauchy-Schwarz; biểu thức tham số Rab(l,p) đặc trưng cho mức độ thể hiện tính phản kết chùm của trạng thái; biểu thức tham số và < V đặc trưng cho mức độ the hiện tính đan rối của trạng thái hai mode theo Hillery-Zubairy [3] và Nha-Kim [4]. Sau đó, chúng tôi đã khảo sát các tính chất phi cổ điển của trạng thái thêm và bớt một photon lên hai mode kết hợp chẵn bằng cách vẽ đồ thi sự phụ thuộc của các tham số nêu trên theo biên độ kết hợp ra và rb. Kết quả cho thấy, trạng thái thêm và bớt một photon lên hai mode kết hợp chẵn có tính nén tổng nhưng không nén hiệu; hoàn toàn vi phạm bất đẳng thức Cauchy-Schwarz; thể hiện tính phản kết chùm mạnh; thể hiện tính đan rối theo tiêu chuẩn Hillery-Zubairy khi rb không quá bé và tính đan rối hoàn toàn theo tiêu chuẩn Nha-Kim. Như vậy, trạng thái thêm và bớt một photon lên hai mode kết hợp chẵn thể hiện mạnh các tính chất phi cổ điển, đặc biệt là tính đan rối. Trong tương lai, chúng tôi sẽ tiếp tục tìm thêm các trạng thái đa mode mới the hiện tính phi cổ điển và tính đan rối cao, đồng thời nghiên cứu khả nang ứng dụng chúng vào thông tin lượng tử.
TÀI LIỆU THAM KHẢO
Agarwal. G. S. and Tara. K. (1991), "Nonclassical properties of states generated by the excitation on a coherent state", Physical Review A, 43, pp. 492-497.
Hillery. M. (1989), "Sum and diffrence squeezing of the eletromagnetic field", Physical Review A, 40, pp. 3147-3155.
Hillery M. and Zubairy M. S. (2006), "Entanglement conditions for two - mode states: Applications", Phys. Rev. A, 74(3), pp. 332-333.
Hyunchul Nha and Jeawan Kim (2006), "Entanglement criteria via the uncertainty relations in SU(2) and SU(1,1) algebras: Detection of non - Gaussian entangled states", The American Physical Society, 74, pp. 312-317.
Sivakumar. S. (1999), "Photon - added coherent states as nonlinear coherent states", J. Phys. A: Math. Gen, 32, pp. 34-41.
Truong Minh Duc, Nguyen Thi Xuan Hoai and Nguyen Ba An (2014), "Sum squeezing, difference squeezing, higher-order antibunching and entanglement of twomode photon-added displaced squeezed states", International Journal of Theoretical Physics, 53, pp. 899-910.
Dodonov V. V., Malkin I. A. and Man’ko V. I. (1974), "Even and odd coherent states and excitations of a singular oscillator", Phys, 72, pp. 597-615.
Nguyễn Thanh Cư và Trương Minh Đức (2011), "Tiêu chuẩn đan rối Hyunchul Nha và Jaewan Kim và áp dụng cho trạng thái đan rối hai mode",Tạp chí Khoa học và Giáo dục, Trường Đại học Sư phạm Huế, 17, 01, tr. 29-35.
Title: THE NONCLASSICAL PROPERTIES OF THE ONE-PHOTON-ADDED AND SUBTRACTED TWO-MODE EVEN COHERENT STATE
Abstract: This paper aim at presenting the study of the nonclassical properties of the one - photon - added and subtracted two mode even coherent states. First, we applied the two-mode sum and difference squeezing conditions and detected that the state is sum squeezing but not difference squeezing. Then, we examined the antibunching and violation of the Cauchy-Schwarz inequality that may arise in the state. The results show that the state is antibunching and completely violates the Cauchy-Schwarz inequality. Finally, we examined the Hillery-Zubairy and the Nha-Kim entanglement criteria and the obtained results show that the one-photon-added and subtracted two-mode even coherent state is completely entangled.