Các tính chất phi cổ điển của trạng thái hai mode kết hợp thêm hai photon tích SU (1,1)

CÁC TÍNH CHẤT PHI Cổ ĐIÊN CỦA TRẠNG THÁI
HAI MODE KẾT HƠP thêm hai photon tích
SU (1,1)
NGUYỄN NGỌC LẦM 1 TRƯƠNG MINH ĐỨC 1, TRAN quang đạt 2 1 Trường Đại học Sư phạm, Đại học Huế Email: tmduc2009@gmail.com 2 Phân hiệu trường Đại học GTVT tại TP HCM Email: quangdatsp08@gmail.com
Tóm tắt: Bài báo này trình bày kết quả khảo sát các tính chất phi cổ điển của trạng thái hai mode kết hợp thêm hai photon tích SU(1; 1). Đầu tiên, chúng tôi kiểm tra tính chất nén tổng, nén hiệu và nén bậc cao hai mode. Kết quả cho thấy trạng thái này chỉ thể hiện tính chất nén tổng mà không có tính chất nén hiệu. Sau đó, chúng tôi khảo sát tính chất phản kết chùm hai mode và sự vi phạm bất đẳng thức Cauchy-Schwarz. Như một sự kéo theo từ tính chất nén tổng, trạng thái hai mode kết hợp thêm hai photon tích SU(1; 1) cũng có tính chất phản kết chùm và vi phạm bất đẳng thức Cauchy-Schwarz. Cuối cùng, trong việc kiểm tra tính chất đan rối theo hai tiêu chuẩn Hillery-Zubairy và Mancini, một kết quả mong đợi khi trạng thái hai mode kết hợp thêm hai photon tích SU(1; 1) đều đan rối theo các tiêu chuẩn này.
Từ khóa: Nén tổng, nén hiệu, nén bậc cao, phản kết chùm, đan rối, thêm photon tích, trạng thái SU(1; 1).
GIỚI THIỆU
Các nhiệm vụ lượng tử hiện nay đòi hỏi phải sử dụng tới những tính chất phi cổ điển như nén, phản kết chùm và đan rối [1]. Những tính chất này không hề tồn tại sẵn trong các trạng thái tự nhiên mà có trong một số trạng thái lượng tử của trường. Chúng được xem là những trạng thái phi cổ điển. Do đó việc nghiên cứu những trạng thái phi cổ điển mới cùng với cách tạo ra chúng trong thực tiễn đóng vai trò hết sức quan trọng. Một trong số các thao tác sử dụng để tạo ra các trạng thái phi cổ điển mới được nghiên cứu trong thời gian gần đây là phép thêm hoặc hủy photon từ một trạng thái cổ điển hoặc phi cổ điển đã có [2]. Vấn đề này thực ra đã được Agarwal và Tara đã đề xuất khi nghiên cứu trạng thái kết hợp thêm photon vào năm 1991 [3]. Theo đó, thao tác thêm photon đã làm cho trạng thái mới xuất hiện các tính chất phi cổ điển. Phát triển cho trạng thái hai mode, trong bài báo này chúng tôi đánh giá hiệu ứng thêm photon trong trạng thái hai mode kết hợp
Tạp chí Khoa học và Giáo dục, Trường Đại học Sư phạm, Đại học Huế
ISSN 1859-1612, Số 01(45)/2018: tr. 57-67
Ngày nhận bài: 06/10/2017; Hoàn thành phản biện: 11/10/2017; Ngày nhận đăng: 23/10/2017
1
2
<ra|n + q,rì)ab,
(1)
thêm hai photon tích SU(1; 1) đối với các tính chất phi cổ điển như nén, phản kết chùm và đan rối. Trạng thái này được chúng tôi mở rộng từ trạng thái hai mode kết hợp SU(1; 1) [4] bằng cách thêm hai photon dạng tích, mỗi mode được thêm một photon. Trạng thái hai mode kết hợp SU(1; 1) được biết đến là một trong những trạng thái non-Gaussian đặc trưng có thể cho đóng góp rất lớn vào các nhiệm vụ lượng tử như viễn tải lượng tử, mã đậm lượng tử, chia sẻ bí mật lượng tử, viễn tạo trạng thái và đồng viễn tạo trạng thái. Với hy vọng cải thiện các tính chất phi cổ điển trong trạng thái này để có thể thực hiện cho hiệu quả cao hơn trong các quá trình lượng tử, chúng tôi tiến hành một thao tác non-Gaussian (tức thêm photon) lên nó. Trong không gian Fock, trạng thái hai mode kết hợp thêm hai photon tích SU(1; 1) được viết như sau
I,T,\ lotẫn-i	I^|2\ 1+q	r (n + q)!
Mab = NàyU(1 -|<|2)
n=0 I-
trong đó N = h(1 — |£|2)1+q P (ra±q)! |€|2n(- + q + 1)(n + 1)] 2 là hệ số chuẩn hóa, ẫy(ẫ) L	n=0	q	-I
và ẫy(b) là toán tử sinh (hủy) photon của mode ẫ và mode b, Ệ = — tanhre_i' với V;'
thực, là trạng thái Fock và q là một số nguyên dương.
TÍNH CHẤT NÉN CỦA TRẠNG THÁI HAI MODE KET hợp thêm hai photon TÍCH SU(1,1)
Nén là một tính chất phi cổ điển quan trọng có ứng dụng rất nhiều trong các kỹ thuật chính xác cao hiện nay. Tính chất này được sử dụng như một công cụ làm giảm nhiễu, nâng cao tính chính xác của tín hiệu nhận được. Việc nghiên cứu cách thức cải thiện độ nén có vai trò quan trọng trong lý thuyết về quang lượng tử.
Nén tổng hai mode
Nén tổng hai mode được Hillery đưa ra vào năm 1989 [5]. Cho một toán tử trực giao hai mode
xí cos[2(ộ + ')]tanh2r(m + 3)(m + q + 2)(m + q + 3) + (m + q + 1)(m + 1)2Ì
c2^2(1- tanh2 r)1+« X (m + q)! tanh2m r(m + +1)
2jy (1 — I an ' )	/ 	ị—ị— I an	r (m + q + 1)
m=0	'q'
2
X cos(ộ + ')(— tanh r)(m + q + 2)(m + 2)1 ).	(4)
Kết quả khảo sát của tham số nén tổng cho thấy rằng, trong khoảng giá trị r > 0.5 trạng
r
Hình 1: Sự phụ thuộc của tham số nén tổng hai mode S vào r đối với trạng thái hai mode kết hợp SU(1; 1) và trạng thái hai mode kết hợp thêm hai photon tích SU(1; 1)(**), cho q = 0; 1 và cos(^ + ') = 0.
thái hai mode kết hợp thêm hai photon tích SU(1; 1) xuất hiện nén tổng. Khi r và q tăng lẽn thì mức độ nén tổng tăng lên (xem hình 1). Tuy nhiên ở giá trị bé của r (r < 0.5) thì hiệu ứng nén tổng biến mất. Chúng tôi cũng so sánh tham số nén tổng của trạng thái này với trạng thái hai mode kết hợp SU(1; 1). Rõ ràng phép thêm photon đã làm cải thiện tích chất nén tổng (cũng xem hình 1).
Nén hiệu hai mode
Nén hiệu hai mode cũng được Hillery đưa ra trong [5]. Một trạng thái gọi là nén hiệu hai mode nếu thỏa mãn bất đẳng thức h(AIT^) i < 4\na — nb|, hay
21
D = h(AW) }- 4\n - nb\ < 0;	(5)
trong đó Wộ = (e^àễd + e_i^âyb)/2, với ộ là góc hợp bởi Vộ và trục thực của mặt phẳng phức. Đối với trạng thái hai mode kết hợp thêm hai photon tích SU(1; 1), ta có
D = 1 f e 2i'à2b'2 + e 2i'à'2/, 2 + 2àaàb + 2nbi - (<e^àốy + e~iộàyài)2) .	(6)
Một số giá trị trung bình lượng tử trong trạng thái hai mode kết hợp thêm hai photon tích SU(1; 1) của các số hạng ở phương trình (6) là
. 'I' e ■ b by2\'ab = ba{'\e~2iộày2 b2\'iab = 0;
ba ' v'àb ' ab = bah'\e_i^àt à\T)ab = 0; do đó giá trị của tham số nén hiệu D thu được là
(7)
D = 2 f a-b + hb
Phương trình (7) cho thấy tham số nén hiệu D > 0 nên trạng thái hai mode kết hợp thêm hai photon tích SU(1; 1) không có nén hiệu.
Nén bậc cao hai mode
Định nghĩa nén bậc cao trong một trường điện từ hai mode a và b đã được giới thiệu bởi Nguyen Ba An [6] với tham số nén hai mode Sab(N, ộ) có dạng
Sab(N; ộ) = 4 {e2i^]+<(ay+ay)N (a + a)N i - 2 < [<(â + a)N	g;	(8) trong đó <(z) ký hiệu cho phép toán lấy phần thực của số phức z, N là một số nguyên dương. Một trạng thái hai mode có nén bậc N theo hướng ộ nếu Sab(N, ộ) < 0. Từ đó, tham số nén bậc cao đối với trạng thái hai mode kết hợp thêm hai photon tích SU(1; 1) trong trường hợp N chẵn được tính là
Sab(N; ộ)	E'lvAl - Ie|2)1+q X—	q)! cos[2(ộ - N')]
b	4(N !)2	^0 m!q!	2
N
X tanh2mr(—tanhNr)(m + N + q + 1)(m + N + 1) n (m + q + j)) j=1
-2 ,	2 \ II q X—''í	N!	\ 2 V—(m + q)!	2.m
+ N2(1 - tanh2r)1+qX ( 2n!(N L n)!) V n=0	v	m=0
n	N—n
X (m + q + 1)(m + 1) n (m + q + 2 — j) Ị Ị (m + 2 - j)
j=1	j=1
/	(N)! N2(1 _ IAI2)1+? V (m + q)! s(ộ _ N')tanh2mr
2N (1 Ie 1 ) Aí, m!q! cos(ộ T')tanh r
y Ụ	m=0
N/2	2
X (—tanhN/2r)(m + N/2 + q + 1)(m + N/2 + 1) Y (m + q + j)} ■	(9)
j=1
Tuy nhiên trong trường hợp N lẻ thì
Sab(N; ộ) =-(|N)2N2(1 - K|2)1+q V (m + q)! cos[2(ộ - N')] b	4(N !)2	v	E	m!q!	2
N
X tanh2mr(—tanhNr)(m + N + q + 1)(m + N + 1)	(m + q + j))
j=1
+ N2(1	tanh2r)1+« V (	N!	. ì2 V (m + q)!tanh2mr
+ N (1 tanh 21	-	m!q! tanh r
n=0	m=0
n	N—n
X (m + q + 1)(m + 1)	(m + q + 2 — j)	(m + 2 - j).	(10)
j=1	j=1
Kết quả khảo sát tham số nén bậc cao cho thấy có sự tương đồng với nén tổng đã được
- 10;
- 20 L:
0.0
r
q = 0
q = 1
(**);q = 0
(**);q = 1
0.1	0.2	0.3	0.4	0.5	0.6
0
200
400
600
"ạí - 800
oẵ -1000
-1200
- 1400
0.0	0.1	0.2	0.3	0.4	0.5	0.6
r
Hình 2: Sự phụ thuộc của tham số nén bậc cao hai mode Sab(N; ộ) vào r đối với trạng thái hai mode kết hợp SU(1; 1) và trạng thái hai mode kết hợp thêm hai photon tích SU(1; 1)(**), cho q = 0; 1; N = 2; 4 và cos(ộ + ') = 0.
khảo sát trước đó. Có điều khác biệt là giá trị biên của r đối với nén bậc cao dịch về phía giá trị r nhỏ hơn và do đó kéo theo mức độ nén bậc cao là "sâu" hơn so với nén tổng hai mode (xem hình 2). Như vậy, vai trò của thêm photon đối với tính chất nén trong trạng thái hai mode kết hợp thêm hai photon tích SU(1; 1) là quan trọng trong việc cải thiện tích chất phi cổ điển này. Chúng tôi kỳ vọng thao tác thêm photon này cũng có thể cải thiện một số tính chất phi cổ điển khác.
TÍNH CHẤT PHẢN KET chùm và Sự VI phạm bất đang thức CAUCHY- SCHWARZ Của trạng thái hai mode kết hợp thêm hai photon tích SU (1,1)
Tính chất phản kết chùm của trạng thái hai mode kết hợp thêm hai photon tích SU(1,1)
Phản kết chùm là một tính chất phi cổ điển có ứng dụng rất lớn trong việc tạo ra các trạng thái đơn photon. Để phát hiện sự tồn tại của phản kết chùm trong các trạng thái đa mode người ta có thể sử dụng các tiêu chuẩn phản kết chùm đơn mode và hai mode. ở đây chúng tôi sử dụng tiêu chuẩn Lee [7, 8] để khảo sát tính chất phản kết chùm của trạng thái hai mode kết hợp thêm hai photon tích SU(1; 1). Theo Lee
/f(,z+1)f(p_1)\ + (n (,p_1)n(z+1b
Aab(l,p) =
(11)
\fa	fb i + \f a	fb	i
/f.(.z)f.(p)\ + In (p)f.(z)\
\fa fb i + \fa fb i
trong đó (hX^i = \hx(nx — 1)...(nx — i + 1)i = (xyiúi, các số nguyên l và p thỏa mãn điều kiện l > p > 1. Tính chất phản kết chùm hai mode tồn tại nếu Aab(l;p) < 0. Ta cóhệ số phản kết chùm hai mode đối với trạng thái hai mode kết hợp thêm hai photon tích SU (1; 1) là
AUl r>) = X (m + q)! tanh2m r(m + n + 1)(m + 1)
jAữb(l; p)	tanh / (ím I q I 1)(mm I 1)
m=0	'q'
/1+1	p-1	p-1	l+1	\
X í Y	(m	+ q + 2 - j) n	(m	+ 2 - j)	+ n (m + q +	2 -	j) n (m + 2	-	j) J
S=1	j=1	j=1	j=1	2
X f X (m + q)' tanh2mr(m + q + 1)(m + 1)	(m + q + 2 — j)
\íỉ. 0	'q'	'j=1
p	p	I	W~1
X Y (m + 2 - j) + Y(m + q + 2 - j) Y (m + 2 - j)H	- 1.	(12)
j=1	j=1	j=1	2 2
Nhìn chung, trạng thái được khảo sát đều thể hiện tính chất phản kết chùm ở các bậc
Hình 3: Sự phụ thuộc của hệ số phản kết chùm hai mode Aab(l,p) vào r đối với đối với trạng thái hai mode kết hợp SU(1,1) và trạng thái hai mode kết hợp thêm hai photon tích SU(1,1)(**), cho q = 0, 3 và l = 2, 3; p =1.
khác nhau khi r lớn. Theo khía cạnh q, nếu q = 0 hệ số phản kết chùm nhận giá trị âm hoàn toàn với mọi giá trị r, p, và l (xem hình 3). Khi tham số q nhận giá trị cao hơn, tính phản kết chùm giảm và thậm chí xuất hiện không kết chùm khi r nhỏ. Theo khía cạnh thêm photon, một điều khá thú vị khi việc thêm photon lại làm giảm tính chất kết chùm. Điều này trái ngược với tính chất nén trước đây. Việc lựa chọn các bậc l; p cũng ảnh hưởng đến hệ số phản kết chùm. Khi chênh lệch giữa hai tham số này lớn, tham số phản kết chùm thể hiện giá trị âm hoàn toàn với mọi r = 0.
Sự vi phạm bất đẳng thức Cauchy-Schwarz
Sự vi phạm bất đẳng thức Cauchy - Schwarz cũng được đánh giá là một tính chất phi cổ điển. Nếu một trạng thái hai mode vi phạm bất đẳng thức này thì
(13)
((ât2â2)(i>t2ý2))1/2	1 < 0.
|(âyââyâ)|
Biểu thức của I đối với trạng thái hai mode kết hợp thêm hai photon tích SU(1; 1) là ^2 (m + q). tanh2m r(m + q + 1)2(m + 1) 1=0	q
X (m + q)' tanh2m r(m + q + 1)(m + 1)2m)^
' ''m=0	'q'	'
(14)
1 X (m + q)! tanh2m r(m + q + 1)2(m + 1)2| X — 1 X 7 m!q! tanh r(m + q + 1) (m + 1) I 1
Hình 4 cho thấy rằng trạng thái hai mode kết hợp thêm hai photon tích SU(1; 1) luôn
Hình 4: Sự phụ thuộc của tham số I vào r đối với trạng thái hai mode kết hợp SU(1; 1) và trạng thái hai mode kết hợp thêm hai photon tích SU(1; !)(**), cho q = 0; 2.
vi phạm bất đẳng thức Cauchy-Schwarz. Với giá trị của r và q càng nhỏ thì mức độ vi phạm bất đẳng thức Cauchy-Schwarz càng mạnh. Việc thêm photon đã làm giảm mức độ vi phạm bất đẳng thức này. Như vậy, điều này cũng tương đồng với mức độ phản kết chùm mà chúng tôi đã thảo luận ở trên.
TÍNH CHẤT ĐAN ROI của trạng thái hao mode KET hợp thêm hai PHOTON TÍCH SU(1,1)
Rối là một tính chất phi cổ điển đa mode mà không thể tìm thấy được trong vật lý cổ điển. Mặc dù đã được nghiên cứu vào các thập niên 30 của thế kỷ trước nhưng những ứng dụng của nó thực sự mới được đề cập trong thời gian gần đây. Việc ứng dụng tính chất này trong các nhiệm vụ lượng tử thường đòi hỏi các trạng thái phi cổ điển có mức độ đan rối cao. Thao tác thêm hay hủy photon để cải thiện độ rối là cách thức dễ thực hiện và đang được nghiên cứu sâu hơn. Chúng tôi kỳ vọng rằng, việc thêm photon trong trạng thái được nghiên cứu cũng có đóng góp đáng kể trong việc cải thiện tính chất đan rối nói chung. Để đánh giá tính chất đan rối trong trạng thái hai mode kết hợp thêm hai photon tích SU(1; 1), chúng tôi sử dụng hai tiêu chuẩn được nghiên cứu khá phổ biến là tiêu chuẩn Hillery-Zubairy và tiêu chuẩn Mancini.
4.1 Tiêu chuẳn Hillery-Zubairy
Theo tiêu chuẩn đan rối Hillery-Zubairy trong [9], một trạng thái hai mode a và b là đan rối nếu thỏa mãn bất đẳng thức
E = {ayial}ậbkbki - Ihâlbki|2 < 0;	(15)
trong đó l; k > 1. Trường hợp l = k = h với h là một số nguyên dương, ta có hệ số đan rối đối với trạng thái hai mode kết hợp thêm hai photon tích SU(1; 1) là
E = (n2(1 — tanh2r)1+q) X (m + q)tanh2mr
m=0	'q'
h
X (m + q + 1)(m + 1) n (m + q + 2 — j)
j=i
TX (m + q)!tah2mr(m + + 1)(m + 1) Y (m + 2 — j)
X	tanh r (m + q + 1)(m + 1)	(m + 2 — j)
m=0	iqi	j=1
— (W2(1 — tanh2r)1+q X (m + q)'tanh2mr(—tanhhr)
m=0	'q'
(16)
h2
X (m + h + q + 1)(m + h + 1)	(m + q + j)! .
j=1
Hình 5 cho thấy trạng thái hai mode kết hợp thêm hai photon SU(1; 1) thể hiện đan rối
	 q = 1	ỵ
	(**);q = 0	\
	(**);q = 1	‘\
0
-1
2
3
4
5
0.0	0.1	0.2	0.3	0.4
Hình 5: Sự phụ thuộc của hệ số đan rối E vào r đối với trạng thái hai mode kết hợp SU(1; 1) và trạng thái hai mode kết hợp thêm hai photon tích SU(1; 1)(**), cho h = 2; cos(2') = 1 và q = 0; 1.
theo tiêu chuẩn Hillery-Zubairy trong miền giá trị lớn r. Cũng trong miền này, việc thêm photon đã làm tăng tính chất rối. Tính chất này cũng được cải thiện rất đáng kể khi tăng biên độ kết hợp r hoặc tham số q. Tuy nhiên, khi giá trị của biên độ kết hợp r bé, nếu q lớn thì xuất hiện vùng không có đan rối theo tiêu chuẩn Hillery-Zubairy. Có thể nói, tiêuchuẩn đan rối Hillery-Zubairy tập trung vào việc không chia tách được của các hệ đa mode theo phương diện "số photon". Các kết quả khảo sát của chúng tôi đã thể hiện rằng trạng thái hai mode kết hợp thêm hai photon tích SU(1; 1) có đan rối theo phương diện này. Tuy nhiên, để có sự nhìn đầy đủ về đan rối trong trạng thái của chúng tôi, một tiêu chuẩn đan rối khác sẽ được chúng tôi sử dụng. Đây là tiêu chuẩn để phát hiện đan rối theo kiểu epr.
Tiêu chuẳn Mancini
Theo Mancini [10], điều kiện để một trạng thái lượng tử thể hiện tính chất đan rối giữa các mode thỏa mãn bất đẳng thức sau:
(17)
 < 1;
ở đây u = xa + xb, v = pa — pb, xk(pk) là toán tử tọa độ (xung lượng) của mode k với xk = (k + ky)/p2 và pk = (k — ky)/ip2. Đặt R = h(Au)2X(AV)2) — 1, một trạng thái sẽ đan rối nếu R < 0. Hệ số đan rối R đối với trạng thái hai mode kết hợp thêm hai photon tích SU(1; 1) tính được là
R = (1 + 2N2(1 — tanh2 r)1+q X (m + q)' (m + q + 1)
m=0	'q'
X (m + q + 2)(m + 2)tanh2mr(— tanh r) cos '
+ A/"2(1 _tanh2 r)1+q X (m + q)! tanh2mr
m!q!
m=0
(18)
2
X (m + q + 1)(m + 1)((m + q + 1) + (m + 1))) — 1.
Hình 6 cho thấy cả hai trạng thái hai mode kết hợp SU(1; 1) và trạng thái hai mode kết
Hình 6: Sự phụ thuộc của hệ số đan rối R vào r đối với trạng thái hai mode kết hợp SU(1,1) và trạng thái hai mode kết hợp thêm hai photon tích SU(1, !)(**), cho q = 0, 3 và cos(') = 1.
hợp thêm hai photon tích SU(1; 1) đều thể hiện tính đan rối theo tiêu chuẩn Mancini khi r lớn. Tính chất đan rối càng thể hiện rõ hơn khi r càng cao. Có những điều thú vị ở các kết quả khảo sát của chúng tôi khi so sánh với tiêu chuẩn đan rối Hillery-Zubairy. Thứ nhất, việc thêm photon đã không làm tăng tính chất đan rối kiểu EPR. Điều này có thể suy ra rằng việc thêm photon lên trạng thái kết hợp hai mode SU(1; 1) đã làm giảm tương quan EPR. Thứ hai, sự gia tăng của tham số q cũng đã làm giảm biểu hiện của tính chất đan rối theo tiêu chuẩn Mancini. Trong trường hợp r nhỏ, các trạng thái được xét không biểu hiện tính đan rối theo tiêu chuẩn này.
KẾT LUẬN
Bài báo này đã trình bày kết quả nghiên cứu các tính chất nén tổng, nén hiệu và nén bậc cao hai mode, sự vi phạm bất đẳng thức Cauchy-Schwarz, tính chất phản kết chùm và tính chất đan rối của trạng thái hai mode kết hợp thêm hai photon tích SU(1; 1). Các kết quả khảo sát cho thấy rằng, nhìn chung trạng thái này mang các hiệu ứng phi cổ điển trong miền giá trị của r lớn. Việc thêm photon đã làm tăng biểu hiện nén, sự vi phạm bất đẳng thức Cauchy-Schwarz cũng như đan rối với tiêu chuẩn Hillery-Zubairy. Tuy nhiên, thao tác non-Gaussian này lại làm giảm tính âm của các tham số phản kết chùm và đan rối theo Mancini. Hầu hết, trong miền giá trị rất bé của r các hiệu ứng phi cổ điển xuất hiện với biên độ khá nhỏ hoặc thậm chí biến mất theo các tiêu chuẩn được khảo sát. Bên cạnh việc khảo sát cho trạng thái được đề xuất, chúng tôi cũng so sánh với trạng thái kết hợp thêm photon SU(1; 1). Có thể nhận thấy rằng biểu hiện của trạng thái gốc này đối với các tính chất phi cổ điển phần lớn tương tự với trạng thái được mở rộng nhưng với cường độ nhìn chung thấp hơn. Với việc mang các hiệu ứng phi cổ điển quan trọng như nén và đan rối, các trạng thái này hoàn toàn phù hợp cho các nhiệm vụ lượng tử như viễn tải lượng tử hoặc đồng viễn tạo trạng thái. Đây là những điều có thể mở rộng trên cơ sở các kết quả của chúng tôi và sẽ kỳ vọng cho hiệu quả hết sức khả quan.
TÀI LIỆU THAM KHẢO
Clark J. B., Lecocq F., Simmonds R. W., Aumentado J., and Teufel J. D. (2017), Nature, 541(7636), pp. 191 - 195.
Wang S., Hou L. L., Chen X. F., and Xu X. F. (2015), Physical Review A, 91(6), pp. 063832-1 - 063832-12.
Agarwal G. S., and Tara K. (1991), Physical Review A, 43(1), pp. 492 - 497.
Perelomov A. M. (1972), Communications in Mathematical Physics, 26(3), pp. 222 - 236.
Hillery M. (1989), Physical Review A, 40, pp. 3147 - 3155.
Nguyen Ba An (2002), Journal of Optics B: Quantum and Semiclassical Optics, 4(3), pp. 222 - 227.
Lee C. T. (1990), Physical Review A, 41(3), pp. 1569 - 1575.
Lee C. T. (1990), Physical Review A, 41(3), pp. 1721 - 1723.
Hillery M., and Zubairy M. S. (2006), Physical Review Letters, 96(5), pp. 050503-1 - 050503-4.
Mancini S., Giovannetti V., Vitali D., and Tombesi P. (2002), Physical review letters, 88(12), pp. 120401 - 120401.
Title: THE NONCLASSICAL PROPERTIES OF THE MULTIPLIED-TWO-PHOTON- ADDED TWO-MODE COHERENT STATE SU(1; 1)
Abstract: This paper presents the investigation of the non-classical properties of the multiplied-two-photon-added two-mode coherent state SU(1; 1). Firstly, we verify the properties of the two-mode sum squeezing, two-mode difference squeezing and two-mode higher- order squeezing. The results show that such state occurs the two-mode sum squeezing but does not occurs the two-mode difference squeezing. Then, we investigate the antibunching and the violation of the Cauchy-Schwarz inequality. It shows that the multiplied-two- photon-added two-mode coherent state SU(1; 1) indicates the antibunching and violation of the Cauchy-Schwarz inequality. Finally, we show that the multiplied-two-photon-added two-mode coherent state SU(1; 1) is entangled according to the Hillery-Zubairy and the Mancini criteria.
Keywords: sum squeezing, difference squeezing, higher-order squeezing, antibunching, entangled, multiplied-two-photon-added, coherent state SU(1; 1).