Bài thuyết trình Đường cong spline bậc ba

NHÓM 2 – ĐƯỜNG CONG SPLINE BẬC BA
 Nguyễn Việt Huy G0800800
 Nguyễn Văn Giáp Nhỏ G0804467
 Cao Tấn Công G0804079
 Ngô Hoàng Sang G0801780
 Dương Mười G0801290
ĐƯỜNG CONG THAM SỐ BẬC BA:
ĐƯỜNG CONG THAM SỐ BẬC BA:
 Hai phương trình thu được từ tọa độ 2 điểm đầu
và cuối của mỗi phân đoạn.
 Hai phương trình còn lại được xác định bằng các
véctơ tiếp tuyến tại một điểm đầu và cuối của mỗi
phân đoạn. (H.4.13)
ĐƯỜNG CONG THAM SỐ BẬC BA:
ĐƯỜNG CONG THAM SỐ BẬC BA:
 Giải hệ phương trình (4.26) và (4.28) ta thu được
hệ số đại số ai:
P(t)=(2t3-3t2+1)P(0)+(-2t3+3t2)P(1)+(t3-2t2+t)P’(0)+(t3-
t2)P’(1) (4.29)
4.5.3 BIỂU DIỄN DẠNG MA TRẬN
Các phương trình (4.24) và (4.30) có thể viết lại như sau:
với
Suy ra
Hoặc ở dạng rút gọn: P(t)=[t].[A] dạng đại số
P(t)=[t].[M].[G] dạng hình học
[t] và [M] không thay đổi với mọi đường cong bậc ba
[G] có thể thay đổi để tạo ra đường cong tham số bậc ba mới
[M] 4x4 là ma trận Hermit.Ký hiệu và khi đó:P(t)=[t]. . M H  HG  M H  HG
4.5.3 BIỂU DIỄN DẠNG MA TRẬN
 Ma trận [A] và có mối liên hệ [A]= . Và biến
đổi ngược lại: = .[A]
 Trong đó
 = và =
 VD:Cho P(0)=(1,1) ,P(1)=(3,2) ,P’(0)=(1,1) và P’(1)=(1,0).Xđ:
 a.Pt tham số đường cong
 b.Tọa độ điểm với t=0,5
 Giải: Pt tham số đường cong có dạng:
 HG  HG  M H
 HG  
1M
H
2 2 1 1
3 3 2 1
0 0 1 0
1 0 0 0
 M H   1M H
0 0 0 1
1 1 1 1
0 0 1 0
3 2 1 0
3 2
2 2 1 1 (0)
3 3 2 1 (1)
( ) [ 1]
0 0 1 0 '(0)
1 0 0 0 '(1)
P
P
P t t t t
P
P
3 2
2 2 1 1
3 3 2 1
( ) [ 1]
0 0 1 0
1 0 0 0
P t t t t
1 1
3 2
1 1
1 0
4.5.4.ĐƯỜNG CONG SPLINE BẬC 3
 Đường nối giữa 2 điểm liên tiếp là đường cong
tham số bậc 3(với tham số t thay đổi từ 0 đến 1)
 Đường cong Spline bậc 3 được biểu diễn bằng đa
thức bậc 3 có đạo hàm bậc 2 liên tục tại các điểm
nối chung giữa các phân đoạn
 Phương trình bậc k sẽ liên tục tai bậc k-1
 Liên tục tham số được biểu diễn bằng chữ C in hoa
có chỉ số trên đầu
 Tính liên tục C0, không có sự gián đoạn hoặc bước
nhảy trên đường cong
 Liên tục C1, đường cong sẽ có độ dốc hoặc đạo hàm
cấp 1 liên tục
 Ở mức độ C2, đường cong sẽ bị uốn
cong hoặc có đạo hàm bậc 2 liên tục
và tương tự như vậy ở mức độ cao hơn
 Trong Autodesk Inventer, để đảm bảo
tính liên tục thường sử dụng các ràng
buộc sau:
 Ràng buộc nối tiếp
C0(coincident):chọn lần lượt các điểm
cuối của đoạn thẳng và cung tròn để
chúng trùng nhau
 Ràng buộc tiếp xúc , liên tục
C1(tangent):tiếp tuyến 2 đối tượng
trùng nhau tại điểm nối, trong trường
hợp ít nhất 1 đối tượng chọn là đường
cong bậc 2
 Ràng buộc độ cong, liên tục
C2(smooth):độ cong 2 đối tượng trùng
nhau tại đểm nối, trong trường hợp ít
nhất 1 đối tượng chọn là đường con 
bậc 3 spline
 Phương trình tham số của đường con spline bậc 3 
cho mỗi phân đoạn, có dạng
 Hoặc P(t)=[t].[M]H[G]H
 Đối với các phân đoạn thì ma trận [t] và [G]H
không đổi
 Ma trận hình học [G]H khác nhau trong từng
phân đoạn của đường con Spline bậc 3
XÁC ĐỊNH TIẾP TUYẾN TẠI CÁC ĐIỂM
ĐƯỜNG SPLINE
 Đường cong spline phải thỏa mãn tính liên tục của đạo hàm bậc
2.Do đó tại mỗi điểm pi của phân đoạn đạo hàm bậc hai: 
 Thay biểu thức 4.40 vào 4.38
 Thay các giá trị a2 và a3 từ pt 4.31 vào pt 4.41
XÁC ĐỊNH TIẾP TUYẾN TẠI CÁC ĐIỂM
ĐƯỜNG SPLINE
 Sử dụng phương pháp lặp nhiều lần phương trình 4.43 
XÁC ĐỊNH TIẾP TUYẾN TẠI CÁC ĐIỂM
ĐƯỜNG SPLINE
 Hoặc dạng ma trận:
 Ta cần xác định m vectơ tiếp tuyến nên phải có thêm 2 ràng
buộc:
 Biết các vectơ tiếp tuyến p’0 và p’m-1 tại các điểm cuối.
 Đạo hàm bậc hai tại hai điểm cuối p0 và pm-1 đều bằng 0 (đường
cong spline bậc 3 tự nhiên). 
TRƯỜNG HỢP 1 :
BIẾT CÁC VÉCTƠ TIẾP TUYẾN P’0 VÀ P’M-1
 Khi biết các véctơ tiếp tuyến P’0 và P’m-1 tại các
điểm cuối ta có hệ phương trình :
TRƯỜNG HỢP 1 :
BIẾT CÁC VÉCTƠ PHÁP TUYẾN P’0 VÀ P’M-1
 Hoặc biểu diễn dạng ma trận như sau :
(4.45)
TRƯỜNG HỢP 1 :
BIẾT CÁC VÉCTƠ PHÁP TUYẾN P’0 VÀ P’M-1
 Giải phương trình ma trận này sẽ tính được tất cả
các véctơ tiếp tuyến :
(4.46)
 Hoặc [P’i]=[M]-1[G] (4.47)
TRƯỜNG HỢP 2 :
ĐƯỜNG CONG SPLINE BẬC 3 TỰ NHIÊN
 Phương trình (4.44) được sử dụng lần nữa và đạo
hàm bậc 2 được gán bằng 0 tại 2 điểm đầu và cuối
của đường cong spline bậc 3.
TRƯỜNG HỢP 2 :
ĐƯỜNG CONG SPLINE BẬC 3 TỰ NHIÊN
 Tại điểm đầu tiên, P0 (tham số t=0), đạo hàm bậc 2 
theo phương trình (4.40) trở thành:
2a2i=0 hoặc a2i=0 (4.48)
Thay giá trị a2i từ phương trình (4.31) vào phương
trình (4.48):
3(P1 – P0) – 2P’0 – P’1 = 0 (4.49a)
Hoặc 2P’0 – P’1 = 3(P1 – P0) (4.49b)
TRƯỜNG HỢP 2 :
ĐƯỜNG CONG SPLINE BẬC 3 TỰ NHIÊN
 Gán giá trị của đạo hàm bậc 2 tại điểm cuối, P’’m-1
(tham số t=1), bằng 0, sau đó thay vào phương
trình (4.40):
6a3(m-1) + 2a2(m-1) = 0
Hoặc 3a3(m-1) + a2(m-1) = 0
Thay a3 và a2 từ phương trình (4.31) và rút gọn ta 
thu được:
P’m-2 + 2P’m-1 = 3(Pm-1 – Pm-2) (4.50)
TRƯỜNG HỢP 2 :
ĐƯỜNG CONG SPLINE BẬC 3 TỰ NHIÊN
 Do đó tiếp tuyến của đường cong tại các điểm xác
định theo hệ phương trình:
(4.51)
TRƯỜNG HỢP 2 :
ĐƯỜNG CONG SPLINE BẬC 3 TỰ NHIÊN
 Hệ m phương trình với m ẩn số có thể biểu diễn ở
dạng ma trận:
(4.52)
TRƯỜNG HỢP 2 :
ĐƯỜNG CONG SPLINE BẬC 3 TỰ NHIÊN
 Từ đây suy ra:
(4.53)
TÓM TẮT