Bài tập Xử lý số tín hiệu - Chương 3: Các hệ thống thời gian rời rạc

Bài tập Xử lý số tín hiệu 
Chương 3: Các hệ thống thời gian rời rạc 
Bài 3.1 
Xác định tính chất tuyến tính, bất biến của hệ thống 
y(n) = 3x(n) + 5 
y(n) = x 2 (n-1) + x(2n) 
y(n) = e x(n) 
y(n) = nx(n – 3) + 3x(n) 
y(n) = n + 3x(n) 
Giải câu 1 (các câu còn lại tương tự) 
Kiểm tra tính tuyến tính: 
Gọi y 1 (n), y 2 (n) là đầu ra tương ứng với đầu vào x 1 (n), x 2 (n) 
	y 1 (n) = 3x 1 (n) + 5 
	y 2 (n) = 3x 2 (n) + 5 
Khi đầu vào là x(n) = a 1 x 1 (n) + a 2 x 2 (n) thì đầu ra là 
	y(n) = 3x(n) + 5 
	 = 3(a 1 x 1 (n) + a 2 x 2 (n)) + 5 
	 = a 1 .3x 1 (n) + a 2 . 3x 2 (n) + 5	(1) 
 - Tổ hợp của y 1 (n) và y 2 (n) là 
a 1 .y 1 (n) + a 2 .y 2 (n) = a 1 [3x 1 (n) + 5] + a 2 [3x 2 (n) + 5]	 
	 = a 1 .3x 1 (n) + a2.3x 2 (n) + 5(a 1 + a 2 ) (2) 
So sánh (1) và (2) thì y(n) khác a 1 .y 1 (n) + a 2 .y 2 (n) nên hệ thống không có tính tuyến tính 
Bài 3.1 
Bài 3.1 
Kiểm tra tính bất biến 
Cho tín hiệu vào là x D (n) = x(n – D), gọi đầu ra tương ứng là y D (n): 
	y D (n) = 3x D (n) + 5 = 3x(n – D) + 5 
Đầu ra y(n) làm trễ đi D mẫu là 
	y(n – D) = 3x(n – D) + 5 
y D (n) = y(n – D) hệ thống có tính bất biến 
Bài 3.2 
Xác định đáp ứng xung nhân quả của hệ thống LTI có pt I/O sau: 
 	y(n) = 4x(n) + x(n – 1) + 4x(n – 3) 
Giải 
	Cho đầu vào x(n) = (n) đầu ra y(n) = h(n) 
	Vậy: h(n) = 4 (n) + (n – 1) + 4(n – 3) 
 hay: h = [4; 1; 0; 4] 
Bài 3.3 
Xđ đáp ứng xung nhân quả h(n) khi n ≥ 0 của hệ thống LTI có: y(n) = - 0.81y(n – 2) + x(n) 
Giải 
Cho x(n) = (n) => y(n) = h(n) 
Thay vào pt I/O suy ra: h(n) = - 0.81h(n – 2) + (n) 
Nhân quả nên h(n) = 0 với n < 0 
h(0) = - 0.81h(-2) + (0) = 1 
h(1) = - 0.81h(-1) + (1) = 0 
h(2) = - 0.81h(0) = - 0.81 
h(3) = - 0.81h(1) = 0 
Bài 3.3 
Tóm lại 
h(n) = 0 với n < 0 
Với n ≥ 0 thì: 
	h(n) = 0 	với n lẻ 
	h(n) = (-0.81) n/2 	với n chẵn 
Bài 3.4 
Xác định pt I/O đối với hệ thống LTI có đáp ứng xung 
	h(n) = (-0.6) n u(n) 
Giải 
h(n) = [1 -0.6 (-0.6) 2 (-0.6) 3  ] 
Áp dụng công thức tích chập: 
y(n) = h(n)*x(n) = h(0)x(n) + h(1)x(n – 1) + h(2)x(n – 2) +  
y(n) = x(n) + (-0.6)x(n – 1) + (-0.6) 2 x(n – 2) +  
 = x(n) + (-0.6)[x(n – 1) + (-0.6)x(n – 2) + 
	 (-0.6) 2 x(n – 3) + ] 
Bài 3.4 
Mà y(n – 1) = h(0)x(n – 1) + h(1)x(n – 2) + h(2)x(n – 3) +  
	 = x(n – 1) + (-0.6)x(n-2) + (-0.6) 2 x(n – 3) +  
y(n) = x(n) + (-0.6)y(n – 1) 
Vậy phương trình vi sai I/O của hệ thống là: 
	 y(n) = - 0.6y(n – 1) + x(n)