Bài tập Toán kỹ thuật: Ôn tập về số phức. Chuỗi Fourier

Bài tập Toán kỹ thuật – Khoa Điện & Điện tử – ĐHBKTPHCM 1
Chương 0: Ôn tập về số phức
2 2 2 2
i 2 1 c d
2 5 5 c d c d
( a) b) i c) i d) i e) 1 f)Ans : 0.1 0.3i )
+ +
− + − − − − +
2
( 1 0; 1 / 2; 1 ; 1 / 2; 2 / 4; 
 2 / 4; 2 3 / 4; 2 3 / 4; 
A s
1
n
e
:
)
∠ ∠π ∠π ∠− π ∠π
∠− π ∠ π ∠− π ∠
P0.2: Biểu diễn các số phức sau ở dạng mũ r∠θ :
a) 1 b) i c) 1− d) i− e) 1 i+ f) 1 i−
g) 1 i− + h) 1 i− − 2+ii) e
P0.1: Biểu diễn các số phức sau ở dạng đại số a + ib :
1
2ia) 
1
2 ib) −
1
c id) c +
1 i
1 i) d
−
+ i
1
e
e) π
1 i
(3 i)(1 i)f) 
+
− −
Bài tập Toán kỹ thuật – Khoa Điện & Điện tử – ĐHBKTPHCM 2
Chương 0: Ôn tập về số phức
( a) 2i b) 32 32i c) 1 2i 
 d) 1.08 0.291i; 0.794 0.794i; 0.291 1.08i 
An :
)
s − + − +
+ − − − −
P0.4: Biểu diễn kết quả sau ở dạng đại số 
( 6Ans ): 4 −
( )168 3481 1 5i2 3i2 ++
P0.3: Biểu diễn các kết quả sau ở dạng đại số :
2 (1a) i)+ 11 (1) i)b + 3 4i
1 2i c)
+
−
3d) 1 i+
Bài tập Toán kỹ thuật – Khoa Điện & Điện tử – ĐHBKTPHCM 3
Chương 0: Ôn tập về số phức
2 2 236
6 6 3 7( a) 8 k b) 4 k c) 1 k )Ans :
π π π π∠ + ∠ ∠
P0.5: Tìm tất cả các số phức z ( dạng r∠θ) thỏa mãn:
6a z) 8 0+ = 3b z) 4 0− = 7c) z 1=
ik2 /5
1
e 1
( a) 2; 2i b) 1;1 3i Ans c) ,k 1,2,3: ,4 )π −± ± ± =
P0.6: Tìm nghiệm ( dạng a + ib) của phương trình phức :
4 z 0a) 16− = 3 2 z 3z 6z) 4b 0− + − = 5 5 (zc 1) z) + =
Bài tập Toán kỹ thuật – Khoa Điện & Điện tử – ĐHBKTPHCM 4
Chương 1: Chuổi Fourier
( )6 4n 6 4n0 n nn 3 n 3
( b) No c) 50 rad/s and 7.958 Hz 
 d) a 21.99V; a sin V; b 1 cos
Ans
V )
:
π π= = = −
P1.1: Cho tín hiệu tuần hoàn:
9π (V) (0 2 / 3)
u(t)
3π (V) (2 / 3 )
t T
T t T
< <
=  < <
T 125.66 ms=
a) Vẽ dạng u(t) theo t ?
b) Tín hiệu có tính đối xứng không ? 
c) Tính tần số cơ bản (theo rad/s và Hz ) ?
d) Xác định các hệ số chuổi Fourier a0, an và bn ?
Bài tập Toán kỹ thuật – Khoa Điện & Điện tử – ĐHBKTPHCM 5
Chương 1: Chuổi Fourier
{ }8 1 1 13 5 7(Ans: 2 cos cos3 cos5 cos 7 ... )+ − + − +t t t tπ
P1.2: Tìm chuổi Fourier
dạng sóng hài của tín hiệu
f(t) ?
2i inπt/2
nπ
, 0
( 2n : s )A e
∞
−∞ ≠
+ ∑
P1.3: Tìm chuổi Fourier dạng mũ phức của tín hiệu tuần hoàn
chu kỳ T = 4s và hàm mô tả trong một chu kỳ :
( ) (0 4)x t t t= < <
Bài tập Toán kỹ thuật – Khoa Điện & Điện tử – ĐHBKTPHCM 6
Chương 1: Chuổi Fourier
{ }1 2π 1 π 1 π2π 4 3 4 5 4( cos( t) cos(3 ) cos(A 5n ) ... )s: t t− − + −
P1.4: Cho hàm f(t) định nghĩa: f(t) = 0 ( 0 < t < 2) và f(t) = 1
( 2 < t < 4) . Vẽ dạng f(t) và tìm chuổi Fourier côsin biểu diễn
cho f(t) ?
{ }2π π 1 π 1 π 1 π 1 ππ 4 4 3 4 5 4 3 4 7 4( sin( t) sin(2 t) sin(3 ) sin(5 ) sin(6 ) sin(A 7 )...s n : )t t t t− + + − +
P1.5: Cho hàm f(t) định nghĩa: f(t) = 0 ( 0 < t < 2) và f(t) = 1
( 2 < t < 4) . Vẽ dạng f(t) và tìm chuổi Fourier sin biểu diễn cho
f(t) ?
Bài tập Toán kỹ thuật – Khoa Điện & Điện tử – ĐHBKTPHCM 7
Chương 1: Chuổi Fourier
2 2 1 3 1 5
2 2 3 2 5 2( f(t) [sin t sin t sin sin ...An : ] s )t t
π π π π
π= − − + + +
P1.6: Tìm chuổi Fourier của tín hiệu
tuần hoàn chu kỳ T = 4s và:
1 ( 2 1)
f(t) 0 ( 1 1)
1 (1 2)
t
t
t
− < < −
= − < <
− < <
4i nπ
n nπ 4( C [1An 3cos ]; n odd)s: = − +
P1.7: Xác định hệ số
chuổi Fourier dạng mũ
phức Cn cho tín hiệu f(t)
đối xứng nửa sóng :
i(t), A
t(ms)
0
T/2
8
-2
4 12
20 28
36
2
- 8
Bài tập Toán kỹ thuật – Khoa Điện & Điện tử – ĐHBKTPHCM 8
Chương 1: Chuổi Fourier
P1.8: Cho tín hiệu f(t):
a) Tìm hệ số a2 và b2 của
chuổi Fourier dạng
lượng giác ?
b) Xác định biên độ và pha của thành phần hài có tần số ω = 10
rad/s ?
c) Dùng 4 thành phần hài khác 0 đầu tiên trong chuổi Fourier
để tính f(π/2) ?
d) Chứng minh rằng :
Bài tập Toán kỹ thuật – Khoa Điện & Điện tử – ĐHBKTPHCM 9
Chương 1: Chuổi Fourier
P1.9: Cho tín hiệu tuần hoàn f(t):
a) Cho biết tính đối xứng của tín hiệu ?
b) Tìm hệ số a3 và b3 của chuổi Fourier dạng lượng giác ?
c) Tìm trị hiệu dụng của tín hiệu dùng 5 hài khác 0 đầu tiên
trong chuổi Fourier của f(t) ?
(Ans: a) lẻ b) 0 , – 0.04503 c) 0.383 ) 
Bài tập Toán kỹ thuật – Khoa Điện & Điện tử – ĐHBKTPHCM 10
Chương 1: Chuổi Fourier
P1.10: Đối với mỗi tín hiệu sau, xác định các hệ số chuổi Fourier
dạng lượng giác ? Vẽ phổ biên độ và phổ pha của tín hiệu ?
(Đáp số: xem trang sau)
Bài tập Toán kỹ thuật – Khoa Điện & Điện tử – ĐHBKTPHCM 11
Chương 1: Chuổi Fourier
(Đáp số: P1.10)
Bài tập Toán kỹ thuật – Khoa Điện & Điện tử – ĐHBKTPHCM 12
Chương 1: Chuổi Fourier
P1.11: Cho tín hiệu tuần hoàn chu kỳ 2π có hàm mô tả trong chu
kỳ: f(t) = t ( – π < t < π).
a) Tìm chuổi Fourier phức của f(t) ?
b) Tìm chuổi Fourier dạng lượng giác của f(t) ?
c) Dùng câu b) chứng tỏ rằng:
n 1π ( 1)
4 (2n 1)
n 1
+
∞
−
−
=
=∑
n n 1i( 1) 2( 1)int
n n
, 0 1
( (a) (b) sin(nt s: )An ) e
+
∞ ∞
− −
−∞ ≠
∑ ∑
Bài tập Toán kỹ thuật – Khoa Điện & Điện tử – ĐHBKTPHCM 13
Chương 1: Chuổi Fourier
n 1
2 2
2 4 ( 1)
3 π n
1
A( (a) cos(nπt) n )s:
+
∞
−+ ∑
P1.12: Cho tín hiệu tuần hoàn chu kỳ T = 2 có hàm mô tả trong
chu kỳ: f(t) = 1 – t2 ( – 1 < t < 1).
a) Tìm chuổi Fourier dạng lượng giác của f(t) ?
b) Tìm chuổi Fourier phức của f(t) ?