Bài tập Phương pháp định giá dòng tiền chiết khấu

BÀI TẬP CHƯƠNG 4
Phương pháp định giá dòng tiền chiết khấu
1. Lãi đơn so với lãi kép. First City Bank chi trả 8 phần lãi đơn cho số dư tiền tài khoản tiết kiệm, trong khi Second City Bank trả 8 phần tram ghép lãi hàng năm. Nếu bạn gửi tiết kiệm $5.000 vào mỗi ngân hàng,, bạn sẽ kiếm được bao nhiêu tiền từ tài khoản tiết kiệm ở Second City Bank sau 10 năm nữa?
rFCB = 8% lãi đơn
rSCB = 8% lãi ghép
C0 = $5.000
T = 10 năm
Bài làm
Giá trị tương lai của 1 khoản đầu tư :
FV = C0 × ( 1+ r )T
FVFCB = C0 + ( C0 × rFCB × T ) = $5.000 + ($5.000 × 8% × 10) = $9.000
FVSCB = C0 × ( 1+ rFCB )T = $5.000 × (1+8%)10 = 10.795
ð Bạn sẽ kiếm thêm được 10.795 – 9.000 = $1.795
2. Tính giá trị tương lai. Hãy tính giá trị tương lai của $1.000 ghép lãi hàng năm cho:
a. 10 năm với lãi suất 5 phần trăm 
b. 10 năm với lãi suất 10 phần trăm 
c. 20 năm với lãi suất 5 phần trăm
d. Tại sao tiền lãi tiết kiệm được trong câu (c ) không gấp đôi số tiền kiếm được trong câu ( a ) ?
Bài làm
Giá trị tương lai của 1 khoản đầu tư :
FV = C0 × ( 1+ r )T
a. T = 10 năm , r = 5%
FV = $1.000 × (1+5%)10 = $1.628,89
b. T = 10 năm , r = 10%
FV = $1.000 × (1+10%)10 = $2.593,74
c. T = 20 năm , r = 5%
FV = $1.000 × (1+5%)20 = $2.653,30
d. Tiền lãi kiếm được trong câu (c) không gấp đôi số tiền kiếm được trong câu (a) vì phần lãi trên lãi câu a và c khác nhau.
3. Tính giá trị hiện tại. Hãy tính giá trị hiện tại cho các giá trị bảng sau:
Giá trị hiện tại
Năm
Lãi suất
Giá trị tương lai
6
%7
$13.827
9
15
43.852
18
11
725.380
23
18
590.710
Bài làm
Giá trị hiện tại:
PV = FV( 1+ r )n
PV = 13.827 ( 1+ 7% )6 = $9.213,51
PV = 43.852( 1+ 15% )9 = $12.465,48
PV = 725.380( 1+ 11% )18 = $110.854,15
PV = 590.710( 1+ 18% )23 = $13.124,66
4. Tính lãi suất. Tìm lãi suất chưa biết trong các câu sau:
Giá trị hiện tại
Năm
Lãi suất
Giá trị tương lai
$ 242
4
$ 307
410
8
896
51.700
16
162.181
18.750
27
483.500
Bài làm
Giá trị tương lai:
FV = PV × (1 + r ) n
ð r = (FVPV)1n – 1
r = (307242)14 – 1 =6,13%
r = (896410)18 – 1 = 10,27%
r = (162.18151.700)116 – 1 = 7,41%
r = (483.50018.750)127 – 1 = 12,79%
5. Tính số kỳ hạn. 
Giá trị hiện tại
Năm
Lãi suất
Giá trị tương lai
$ 625
9%
$ 1.284
810
11
4.341
18.400
17
402.662
21.500
8
173.439
Bài làm
Áp dụng công thức giá trị tương lai:
FV = PV × (1 + r ) n
625 × (1 + 9%)n = 1.284
ð n = 8,35 
810 × (1 + 11%)n = 4.341
ð n = 16,09
18.400 × (1 + 17%)n = 402.662
ð n = 19,65
21.500 × (1 + 8%)n = 173.439
ð n = 27,13
6. Tính số kỳ hạn
Ở mức lãi suất 8%, bạn mất bao lâu để gấp đôi số tiền của mình? Để gấp 4 lần số tiền đó?
Bài làm
FV = PV (1 + r)n 
ô Thời gian để được gấp đôi số tiền
ó FV = 2 = 1(1,08) n
ó n = 9,01 năm
ô Thời gian để được gấp 4 số tiền
ó FV = 4 = 1(1,08) n
ó n = 18,01 năm
7. Tính giá trị hiện tại
Imprudential Inc. có khoản nợ tiền hưu trí mà chưa trả (Unfunded pension liability) $630 triệu mà phải hoàn trả trong 20 năm nữa. Để đánh giá giá trị cổ phiếu của công ty , chuyên gia phân tích tài chính muốn chiết khấu khoản nợ này về hiện tại. Nếu lãi suất chiết khấu là 7,1% giá trị hiện tại cuat khoản nợ này là bao nhiêu?
FV = $630 
n = 20 năm 
r = 7,1%
Giá trị hiện tại của khoản nợ này là bao nhiêu?
Bài làm
Giá trị hiện tại:
PV = FV( 1+ r )n = 630(1 + 7,1%)20 = $159,79
8. Tính tỷ suất sinh lợi.
Mặc dù hấp dẫn đối với những người có thị hiếu tinh tế, các tác phẩm nghệ thuật nổi tiếng mà các nhà sưu tập truy tìm không phải lúc nào cũng mang lại lợi nhuận. Trong năm 2010, Deutscher- Menzies đã bán Arkies under the Shower, một bức tranh của một họa sỹ trứ danh người úc, Brett Whiteley tại một phiên đấu giá với giá $1.100.000. Thật không may cho người chủ cũ, ông ta đã mua bức tranh này 3 năm trước đây với giá $1.680.000. Tỷ suất sinh lợi hằng năm bức tranh này mang lại cho ông là bao nhiêu?
Bài làm
PV = $1.680.000
FV = $1.100.000
n = 3 năm
FV = PV (1 + r)n 
ó $1.100.000 = $1.680.000 (1 + r)3
ó r = -13,17%
9. Dòng tiền đều vô hạn
Một nhà đầu tư mua một trái phiếu consol của Anh được quyền nhận thanh toán hằng năm từ chính phủ Anh cho đến mãi mãi. Giá của trái phiếu consol mà chi trả $150 mỗi năm là bao nhiêu nếu kỳ thanh toán kế tiếp sẽ là 1 năm sau kể từ ngày hôm nay? Lãi suất thị trường là 4,6%.
Bài làm
Hiện giá của dòng tiền đều vô hạn
PV = Cr = 1504,6% = $3.260,87
10. Ghép lãi liên tục Hãy tính giá trị tương lai của $1.900 ghép lãi liên tục cho:
a. 7 năm với lãi suất công bố theo năm 12%
b. 5 năm với lãi suất công bố theo năm 10%
c. 12 năm với lãi suất công bố theo năm 5%
d. 10 năm với lãi suất công bố theo năm 7%
Bài làm
Giá trị tương lai ghép lãi liên tục:
FV = PV × e r×T
a. FV = 1.900 × e 12%×7 = 4.401
b. FV = 1.900 × e 10%×5 = 3.133
c. FV = 1.900 × e 5%×12 = 3.462
d. FV = 1.900 × e 7%×10 = 3.826
11. Giá trị hiện tại và dòng tiền nhiều kỳ
Conoly Co. đã xác định 1 dự án đầu tư có dòng tiền sau đây. Nếu lãi suất chiết khấu là 10%, giá trị hiện tại của dòng tiền này là bao nhiêu? Giá trị hiện tại là bao nhiêu với mức lãi suất 18%? 24%?
Năm
Dòng tiền
1
$960
2
840
3
935
4
1350
Bài làm
0
1
2
3
4
PV
$960
840
935
1350
PV = C1(1 + r) + C2(1 + r)2 +  + Cn(1 + r)n
ô Lãi suất chiết khấu 10%
PV = 960(1+0.1)+8401+0.12 +935(1+0.1)3+ 1.350(1+0.1)4 = $3.191,49
ô Lãi suất chiết khấu 18%
PV = 960(1+0.18)+8401+0.182 +935(1+0.18)3+ 1.350(1+0.18)4 = $2.682,22
ô Lãi suất chiết khấu 24%
PV = 960(1+0.24)+8401+0.242 +935(1+0.24)3+ 1.350(1+0.24)4 = $2.381,91
12. Giá trị hiện tại và dòng tiền nhiều kỳ
Dự án đầu tư X đề nghị trả cho bạn $4.500 một năm trong 9 năm, trong khi dự án đầu tư Y đề nghị trả cho bạn $7.000 một năm trong 5 năm. Trong hai dòng tiền này, dòng tiền nào có giá trị hiện tại cao hơn nếu lãi suất chiết khấu 5%? Nếu lãi suất chiết khấu 12%?
Bài làm
X
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
PV
$4.500
$4.500
$4.500
$4.500
$4.500
$4.500
$4.500
$4.500
$4.500
Y
0
1
2
3
4
5
PV
$7.000
$7.000
$7.000
$7.000
$7.000
Giá trị hiện tại của dòng tiền đều:
PV = C × (1 - 1 + r -nr)
ô Lãi suất chiết khấu 5%
X: PV = 4.500 × (1 - 1 + 5% -95%) = $31.985,2
Y: PV = 7.000 × (1 - 1 + 5% -55%) = $30.306,34
ô Lãi suất chiết khấu 12%
X: PV = 4.500 × (1 - 1 + 12% -912%) = $23.977,12
Y: PV = 7.000 × (1 - 1 + 12% -512%) = $16.221,49
13. Tính giá trị hiện tại của dòng tiền đều.
Một dự án đầu tư đề nghị trả $5,900 một năm trong vòng 15 năm với kỳ thanh toán đầu tiên bắt đầu từ năm sau. Nếu tỷ suất sinh sinh lợi đòi hỏi là 8%, giá trị của dự án đầu tư này là bao nhiêu? Giá trị sẽ là bao nhiêu nếu các kỳ thanh toán sẽ kéo dài trong 40 năm? 75 năm? Mãi mãi.
Bài làm
Giá trị hiện tại của dòng tiền đều:
PV = C × (1 - 1 + r -nr)
PV15 năm = 4.900 × 1 - (1+8%)-158% = $41.941,45
PV40 năm = 4.900 × 1 - (1+8%)-408% = $58.430,6
PV75 năm = 4.900 × 1 - (1+8%)-758% = $61.059,3
PVmãi mãi = Cr = 4.9008% = $61.250
14. Tính giá trị dòng tiền của dòng tiền đều vô hạn.
The Perpetual Life Insurance Co. đang cố gắng bán cho bạn một chính sách đầu tư mà sẽ trả cho bạn và hậu duệ của bạn $15.000 một năm cho đến vĩnh viễn. Nếu tỷ suất sinh lợi đòi hỏi của chương trình đầu tư này là 5,2% bạn sẽ trả cho chính sách đầu tư này là bao nhiêu? Gỉa sử Perpetual Life Insurance Co. cho bạn biết giá của chính sách này là $320.000 . Ở mức lãi suất bao nhiêu thì chính sách đầu tư này mới là một thương vụ hợp lý?
Bài làm
Giá trị hiện tại của dòng tiền đều vô hạn:
PV = Cr = 15.0005,2% = $288.461,5385
ô Nếu PV = $320.000
ó 320.000 = 15.000r 
ó r = 4,69%
15. Tính EAR
Tìm EAR cho các trường hợp sau:
Lãi suất công bố (ARP)
Số lần ghép lãi
Lãi suất hiệu dụng (EAR)
7%
Hàng quý
16
Hàng tháng
11
Hàng ngày
12
Liên tục
Bài làm
EAR = ( 1 + Lãi suất công bốm )m-1
Hàng quý
EAR = ( 1 + 7%4 )4-1 = 7,19%
Hàng tháng
EAR = ( 1 + 16%12 )12-1 = 17,23%
Hàng ngày
EAR = ( 1 + 11%365 )365-1 = 11,63%
Liên tục
EAR = e r – 1 = 12,75%
16. Tính APR Tìm APR hay lãi suất công bố cho các trường hợp sau:
Lãi suất công bố (APR)
Số lần ghép lãi
Lãi suất hiệu dụng (EAR)
Bán niên
9,8%
Hàng tháng
19,6
Hàng tuần
8,3
Liên tục
14,2
Bài làm
EAR = ( 1 + APRm )m-1
ð APR = m ( 1 + EAR )1m -1
Bán niên
APR = 2 ( 1 + 9,8% )12 -1 = 9,57% 
Hàng tháng
APR = 12 ( 1 + 9,8% )112 -1 = 18,03% 
Hàng tuần
APR = 52 ( 1 + 9,8% )152 -1 = 7,98%
Liên tục
EAR = e APR – 1 = 14,2%
ð APR= 13,28%
17. Tính EAR. First National Bank tính 11.2 phần trăm ghép lãi hàng tháng cho các khoản vay của khách hàng doanh nghiệp. First United Bank tính 11.4 phần trăm ghép lãi bán niên. Là một người có khả năng phải đi vay., bạn sẽ đến ngân hàng nào để vay tiền?
Bài làm
EAR = ( 1 + APRm )m-1
ô First National Bank tính 11,2% ghép lãi hàng tháng:
ð EAR = ( 1 + 11,2%12 )12-1 = 11,79%
ô First United Bank tính 11,4% ghép lãi bán niên:
ð EAR = ( 1 + 11,4%2 )2-1 = 11,72%
ð Chọn ngân hàng First United Bank để vay tiền.
18. Lãi suất Một nhà báo tài chính nổi tiếng Andrew Tobias cho rằng ông có thể kiếm được 177 phần trăm một năm bằng cách mua rượu vang theo thùng. Cụ thể, ông giả định rằng ông có thể uống mỗi tuần một chai Bordeaux hảo hạng giá $10 trong vòng 12 tuần tới. Ông có thể hoặc mỗi tuần trả $10 cho mỗi chai rượu hoặc ngay hôm sau mua một thùng 12 chai. Nếu ông mua rượu theo thùng, ông sẽ được chiết khấu 10 phần trăm và bằng cách như vậy, ông có thể kiếm được 177 phần trăm. Giả sử ông mua rượu và tiêu thụ chai đầu tiên vào hôm nay. Bạn có đồng ý với phân tích của ông ấy không? Bạn có thấy vấn đề gì với các con số của ông ấy không?
Bài làm
Chi phí cho 1 thùng rượu được chiết khấu 10%
= 12 × $10 × (1 – 10%) = $108
0
1
2
12
$10
$10
$10
$10
$10
$10
$10
$10
$10
$10
-$108
Hiện giá của dòng tiền đều đầu kỳ:
PVĐK = PV × ( 1 + r )
= C × (1 - 1 + r -nr) × ( 1 + r )
ó 108 = 10 × (1 - 1 + r -12r) × ( 1 + r )
ó r = 1,98%/tuần
ð EAR = ( 1 + APRm )m-1 = ( 1 + 1,98% )52-1 = 177,2%
Vậy phân tích của ông ấy dường như là chính xác.
19. Tính số kỳ. Một trong những khách hàng của bạn không trả khoản phải trả người bán của mình. Các bạn đã đồng ý với nhau một biểu trả nợ $700 một tháng. Bạn sẽ tính lãi 1,3 phần trăm một tháng trên số dư nợ quá hạn. Nếu số dư hiện giờ là $21.500, phải mất bao lâu để trả dứt khoản nợ này?
Bài làm
0
1
2
?
–$21.500
$700
$700
$700
$700
$700
$700
$700
$700
$700
Giá trị hiện tại của dòng tiền đều:
PV = C × ( 1 - 1 + r -nr)
ó $21.500 = 700 × (1 - 1 + 1,3%-n1,3%) 
ó n = 39,46 tháng
20. Tính EAR. Friendly’s Quick Loans, Inc. đề nghi bạn “đổi ba lấy bốn, hoặc tôi sẽ gõ cửa nhà bạn”. Nghĩa là bạn sẽ nhận được $3 ngay trong hôm nay và hoàn trả $4 khi bạn lĩnh lương trong vòng 1 tuần(hay khác). Tỷ suất sinh lợi hiệu dụng Friendly kiếm được trong hoạt động cho vay này là bao nhiêu? Nếu bạn đủ dũng cảm đặt câu hỏi, APR mà Friendly nói bạn phải trả là bao nhiêu?
Bài làm
0
1
$3
$4
FV = PV (1 + r) 
ó 4 = 3 (1 + r)
ó r = 33,33%/tuần
ð APR = 33,33% × 52 = 17,3316%
EAR = ( 1 + APRm )m-1 = ( 1 + 33,33% )52-1 = 3.135.086,841%
21. Giá Trị Tương Lai Giá trị tương lai trong 6 năm nữa của $1.000 đầu tư vào một tài khoản với lãi suất công bố theo năm 9 phần trăm
a. Ghép lãi hàng năm
b. Ghép lãi bán niên
c. Ghép lãi hàng tháng
d. Ghép lãi liên tục
e. Tại sao giá trị tương lai lại tăng khi mà kỳ ghép lãi ngắn hơn?
Bài làm
Giá trị tương lai:
FV = PV × (1 + r ) n
a. Ghép lãi hàng năm
FV = 1.000 × (1 + 9% )6 = $1.677,1
b. Ghép lãi bán niên
FV=$1,000× (1 + 9%2 )6×2= $1.695,88
c. Ghép lãi hàng tháng
FV=$1,000× (1 + 9%12 )6×12= $1.712,55
d. Ghép lãi liên tục
FV = PV × e r×T = 1.000 × e 9%×6 = $1.716,01
22. Lãi Đơn So Với Lãi Kép First Simple Bank trả lãi đơn 5 phần trăm trên tài khoản đầu tư vào ngân hàng này. Nếu First Complex Bank trả lãi cho tài khoản ở ngân hàng của mình ghép lãi hàng năm, lãi suất ngân hàng này tính sẽ là bao nhiêu nếu họ muốn bằng với First Simple Bank cho khoảng thời gian đầu tư là 10 năm?
Bài làm
Tổng tiền lãi mà First Simple Bank phải trả là lãi suất mỗi kỳ nhân với số chu kỳ. Nói cách khác, tiền lãi của First Simple Bank đã trả trong 10 năm sẽ là 5%×10 = 0,5
FV = PV × (1 + r ) n
First Complex Bank trả lãi ghép lãi hàng năm nên tiền lãi mà ngân này trả sẽ là (1 + r ) n
Họ muốn bằng tiền lãi với First Simple Bank cho khoảng thời gian đầu tư là 10 năm
ó 0,5 = (1 + r ) n – 1 
ó r = 4,14%
23. Tính Dòng Tiền Đều Bạn đang lập kế hoạch tiết kiệm để nghỉ hưu trong 30 năm nữa. Để thực hiện điều này, bạn sẽ phải đầu tư $800 một tháng vào tài khoản cổ phiếu ( stock account ) và $350 một tháng vào một tài khoản trái phiếu (bond account). Tỷ suất sinh lợi của tài khoản cổ phiếu được kỳ vọng sẽ là 11 phần trăm và tài khoản trái phiếu sẽ trả 6 phần trăm. Khi bạn nghỉ hưu, bạn sẽ gộp tiền của mình vào một tài khoản có lãi suất 8 phần trăm. Bạn có thế rút mỗi tháng bao nhiêu tiền từ tài khoản của mình giả sử cho một kỳ rút tiền dài 25 năm?
Bài làm
0
1
2
360
Cổ phiếu
$800
$800
$800
$800
$800
Trái phiếu
$350
$350
$350
$350
$350
361
362
660
C
C
C
C
C
C
Giá trị tương lai của dòng tiền đều:
FV = C × ( 1 + r n - 1r)
ô Giá trị tương lai của dòng tiền đầu tư vào cổ phiếu:
FVB = 800 × ( 1 + 11%12 360 - 111%12) = $2.243.615,79
ô Giá trị tương lai của dòng tiền đầu tư vào trái phiếu
FVS = 350 × ( 1 + 6%12 360 - 16%12) = $351.580,26
ô Tổng số tiền đưa vào tài khoản sau 30 năm = $2.243.615,79 + $351.580,26
= $2.595.196,05
ô Số tiền hàng tháng có thể rút được với kỳ 25 năm :
2.595.196,05 = C × ( 1 + 8%12 300 - 18%12)
ð C = $20.030,14
24. Tính Tỷ Suất Sinh Lời Giả sử một dự án đầu tư đề nghị trả gấp 4 lần số tiền bạn đầu tư trong vòng 12 tháng ( đừng có tin). Lãi suất một quý bạn được đề nghị là bao nhiêu?
Bài làm
FV = PV × (1 + r ) n
ó 4 = 1 × (1 + r ) 12/3
ó r = 41, 42%
25. Tính Tỷ Suất Sinh Lời Bạn đang cố gắng chọn giữa hai dự án đầu tư, cả hai cùng có chi phí ban đầu là $65.000. Dự án đầu tư G trả lại cho bạn là $125.000 sau 6 năm. Dự án đầu tư H trả lại cho bạn $185.000 sau 10 năm. Dự án nào có tỷ suất sinh lời cao hơn?
Bài làm
C0 = $ 65.000
FVG = $125.000 TG = 6 năm
FVH = $185.000 TH = 10 năm
FVG = C0 × (1+ rG )T 
ó 125.000 = $65.000 × (1+ rG) 6
ó rG = 11,52%
FVH = C0 × (1+ rH )T 
ó 185.000 = $65.000 × (1+ rH) 10
ó rH = 11,03%
26. Dòng tiền đều tăng trưởng ổn định vô hạn.
Mark Weinstein đã và đang nghiên cứu một công nghệ cao trong phẫu thuật laser mắt. Công nghệ của anh ấy sẽ xuất hiện trong thời gian ngắn nữa. Anh dự đoán rằng dòng tiền đầu tiên từ công nghệ này sẽ là $175.000, sẽ nhận được hai năm nữa kể từ hôm nay. Dòng tiền các năm sau đó sẽ tăng trưởng 3,5 phần trăm một năm cho đến vô hạn. Giá trị hiện tại của công nghệ này là bao nhiêu nếu lãi suất chiết khấu là 10 phần trăm?
Bài làm
C = 175.000
r = 0,1
g = 0,035
PV = Cr - g
 = 175.00010% - 3,5% = $2.692.307,69
Phương trình tính giá trị hiện tại của dòng tiền đều là tại một khoảng thời gian trước khi thanh toán đầu tiên. Trong trường hợp này, kể từ lần đầu tiên thanh toán trong hai năm, tính giá trị hiện tại một năm kể từ bây giờ. 
PV = 2.692.307,69(1 + 10% )1 = $2.447.552,45
27. Dòng tiền đều vô hạn
Một ngân hàng đầu tư nổi tiếng đã thiết kế một chứng khoán mới  ...  V = $2666,38
Sau năm thứ 8 ( 96 tháng ) vẫn còn một khoản nợ vay 264 tháng ( 360 – 96 = 264 tháng ). Dư nợ của khoản vay phải được trả hết vào năm thứ 8 sẽ là giá trị hiện tại của các kỳ thanh toán còn lại ( 264 tháng ).
96
360
PV
$2666,38
$2666,38
$2666,38
$2666,38
$2666,38
$2666,38
PV = V × (1 - 1 + r -nr)
= 2666,38 × (1 - 1 + 6,1%12-(360-96)6,1%12) 
= $386.944,5367
31. Tính Chi Phí Lãi Vay: Bạn nhận được một thư mời chào khách hàng mở tài khoản thẻ tín dụng ( credit card application ) từ Shady Banks Savings and Loan với đề nghị lãi suất ban đầu 2,4 phần tram một năm, ghép lãi hằng tháng cho 6 tháng đầu tiên, sau đó tăng lên đến 18 phần tram ghép lãi tháng. Giả sử bạn chuyển số dư $7.500 từ thẻ tín dụng hiện có của bạn và không thực hiện bất kỳ chi trả nào sau đó, tiền lãi mà bạn sẽ nợ vào cuối năm thứ nhất là bao nhiêu?
Bài làm
6 tháng đầu: 
FV = PV × (1 + r ) n
= 7500 × ( 1 + (2,4%12) )6 = $7590,45
6 tháng sau: 
FV = PV × (1 + r ) n
= 7590,45 × ( 1 + (18%12) )6 = $8299,73
Tiền lãi nợ cuối năm 1: 8299,73 – 7500 = $799,73
32. Dòng Tiền Đều Vô Hạn : Barrett Pharmaceuticals đang xem xét một dự án dược phẩm mà hiện nay có chi phí $2,5 triệu và kỳ vọng sẽ tạo ra dòng tiền hằng năm vào cuối mỗi năm là $227.000 cho đến mãi mãi. Ở mức lãi suất chiếu khấu nào Barrett sẽ bang quang với việc chấp nhận hoặc từ chối dự án.
Bài làm
PV = $2.500.000
C = $227.000
Giá trị hiện tại của dòng tiền đều vô hạn:
PV = Cr 
ó $2.500.000 = 227.000r 
ó r = 9,08%
33. Dòng Tiền Đều Tăng Trường Ổn Định : Souther California Publishing Company đang cố gắng quyết định xem có chỉnh lại quyển sách giáo khoa phổ biến, Financial Psychoanalysis Made Simple không. Công ty này đã ước tính rằng việc chỉnh sửa sẽ tốn chi phí $75.000. Dòng tiền do doanh thu gia tăng sẽ là $21.000 trong năm đầu tiên. Dòng tiền này sẽ tăng khoản 4 phần tram một năm. Giả sử chi phí ban đầu hiện đã được chi và doanh thi được nhận vào cuối mỗi năm. Nếu công ty đòi hỏi tỷ suất sinh lợi 10 phần tram trên một dự án đầu tư như vậy, công ty có nên thực hiện chỉnh sửa quyển sách này không?
Bài làm
Công ty sẽ chấp nhận dự án nếu giá trị hiện tại của dòng tiền tăng lớn hơn chi phí. Vì vậy giá trị hiện tại là:
PV = C 1 - 1 + g1 + rTr - g
= 21.000 1 - 1 + 4%1 + 10%510% - 4% 
= $85.593,99 > Chi phí ước tính là $75,000 ð Chấp nhận dự án
 34. Dòng Tiền Đều Tăng Trường Ổn Định : Bạn chỉ được trả lương mỗi năm một lần cho toàn bộ công việc bạn thực hiện trong vòng 12 tháng trước. Hôm nay ngày 31 tháng 12 , bạn đã nhận tiền lương $65.000, và bạn dự định chi tiêu toàn bộ số tiền này. Tuy nhiên, kể từ năm tới bạn muốn bắt đầu tiết kiệm cho việc nghỉ hưu. Bạn đã quyết định rằng một năm nữa kể từ hôm nay, bạn sẽ bắt đầu gửi tiết kiệm 5 phần trăm tiền lương hằng năm của bạn vào một tài khoản trả lãi 10 phần trăm một năm. Tiền lương của bạn sẽ tăng 4%/ năm trong suốt cuộc đời làm việc của mình. Bạn sẽ có bao nhiêu tiền vào ngày nghỉ hưu 40 năm nữa kể từ bây giờ?
Bài làm 
Tiền lương vào năm sau = $65.000 (1 + 0,04) = $67.600
ð Khoản tiết kiệm gửi vào năm sau = 5%×$67.600 = $3.380
Hiện giá của khoản tiết kiệm tăng trưởng đều ổn định:
PV = C 1 - 1 + g1 + rTr - g
= 3.380 1 - 1 + 4%1 + 10%4010% - 4% 
= $50.357,59
Khoản tiền vào ngày nghỉ hưu 40 năm nữa kể từ bây giờ:
FV = PV × (1 + r ) n
= 50.357,59 × (1 + 10% ) 40
= $2.279.147,23
35. Giá Trị Hiện Tại Và Lãi Suất : Mối quan hệ giữa giá trị của một dòng tiền đều và lãi suất là gì? Giả sử bạn vừa mua một dòng tiền đều kỳ hạn 15 năm, $6.800 mỗi năm với mức lãi suất hiện hành 10 phần trăm 1 năm. Chuyện gì sẽ xảy ra cho giá trị của khoản đầu tư của bạn nếu lãi suất bất ngờ giảm xuống còn 5 phần trăm. Nếu lãi suất bất ngờ tăng lên đến 15 phần trăm thì sao?
Bài làm
PV = C × (1 - 1 + r -nr)
ð PV tăng khi r giảm, ngược lại, PV giảm khi r tăng
FV = C × ( 1 + r n - 1r)
ð FV tăng khi r tăng, ngược lại, FV giảm khi r giảm
ô r = 10%
 PV = 6.800 × (1 - 1 + 10% -1510%) = $51.721,34
ô r = 5%
 PV = 6.800 × (1 - 1 + 5% -155%) = $70.581,67
ô r = 15%
 PV = 6.800 × (1 - 1 + 15% -1515%) = $39.762,12
36. Tính số kỳ thanh toán Bạn sẵn sang thực hiện gửi $350 hàng tháng, bắt đầu vào cuối tháng này, vào một tài khoản chi trả lãi suất 10 % ghép lãi hàng tháng. Bạn sẽ phải gửi bao nhiêu lần để số dư tài khoản đạt được mức $35.000?
Bài làm
0
1
2
?
–$35.000
$350
$350
$350
$350
$350
$350
$350
$350
$350
Giá trị tương lai của dòng tiền đều:
FV = C × ( 1 + r n - 1r)
ó $35.000 = 350 × ( 1 + 10%12n- 110%12)
ó n = 73,04 lần
37. Tính giá trị hiện tại của dòng tiền đều Bạn muốn vay $65.000 từ ngân hàng địa phương để mua một chiếc thuyền buồm mới. Bạn có khả năng trả hàng tháng $1.320, nhưng không hơn. Giả sử ghép lãi tháng, APR cao nhất bạn có thể chi trả đối với một khoản vay 60 tháng là bao nhiêu?
Bài làm
PV = C × (1 - 1 + r -nr)
ó 65.000 = 1.320 × (1 - 1 + r -60r)
ó r = 0,672%
Ghép lãi hàng tháng ð APR = 0,672% × 12 = 8,07%
38. Tính các kỳ trả nợ vay Bạn cần một khoản vay cầm cố lãi suất cố định, kỳ hạn 30 năm để mua một căn nhà mới có giá $250.000. Ngân hàng cầm cố của bạn sẽ cho bạn vay tiền với APR 5,3% cho khoản vay 360 tháng này. Tuy nhiên, bạn chỉ có thể chi trả hàng tháng $950, vì thế bạn đề nghị trả dứt số dư nợ vay còn lại vào ngày đáo hạn khoản nợ dưới dạng thanh toán dồn cục (balloon payment). Các khoản thanh toán dồn này sẽ phải là bao nhiêu để giữ cho các khoản chi trả hàng tháng của bạn ở mức $950 ?
Bài làm
t = 360 tháng
APR= 5,3%/năm= 5,3%12/tháng
Mỗi tháng chỉ có thể chi trả được 950$, vậy số tiền thanh toán được trong 30 năm là: 
Áp dụng công thức dòng tiền đều ta có: 
0
1
2
360
PV
$950
$950
$950
$950
$950
$950
$950
$950
$950
PV = C × (1 - 1 + r -nr)
= 950 × 1 - ( 1 + 5,3%12 )-3605,3%12 
= $171.077,26
Do khoản vay căn nhà là 250.000$ nhưng bởi chỉ trả được số tiền cố định hằng tháng là 950$ và trong 30 năm thì thanh toán được 171.077,26$ cho nên số nợ vay còn lại là 250.000 – 171.077,26 = $78.922,74
0
1
360
$78.922,74
FV
Khoản thanh toán dồn cục hay khoản thanh toán cuối kỳ tại năm 30 được thực hiện bằng cách tính FV của số tiền còn thiếu phải tiếp tục trả để cho đủ khoản vay 250,000$ là:
FV = PV × (1 + r ) n
= 78,922.74 × (1 + 5,3%12)360= $385.664,73
39. Giá trị hiện tại và tương lai Giá trị hiện tại của dòng tiền sau là $7.300 khi chiết khấu với lãi suất 8% hàng năm. Giá trị của dòng tiền bị bỏ trống là bao nhiêu? 
Năm
Dòng tiền
1
$1.500
2
FV2
3
2.700
4
2.900
Bài làm
PV = FV(1 + r )n
ð PV1 = 1.500(1 + 8% )1 = $1.388,89
PV3 = 2.700(1 + 8% )3 = $2.143,35
PV4 = 2.900(1 + 8% )4 = $2.131,59
PV2 = 7.300 – ($1.388,89 + $2.143,35 + $2.131,59) = $1.636,18
ð FV2 = PV × (1 + r ) n = 1.636,18 × (1 + 8% ) 2 = $1.908,44
40. Tính Giá Trị Hiện Tại	 Bạn vừa trúng xổ số TVM Lottery. Bạn sẽ nhận được $1 triệu hôm nay cộng với 10 kỳ thanh toán khác mà tăng thêm $275.000 mỗi năm. Do vậy, năm sau bạn sẽ nhận được $1,275 triệu. Sau 2 năm bạn sẽ nhận. được $1,55 triệu, và cứ thế. Nếu lãi suất phù hợp là 9 phần trăm, giá trị hiện tại của giải thưởng này là bao nhiêu?
Bài làm
PV = 1.000.000 + 1.27.000 / 1.09 + 1.550.000 / 1.092 + 1.825.000 / 1.093 + 2.100.000 / 1.094 + 2.375.000 / 1.095 + 2.650.000 + 1.096 + 2.925.000 / 1.097 + 3.200.000 / 1.098 + 3.475.000 / 1.09 9 + 3.750.000 / 1.0910 
= 15.885.026,33 
41. EAR So Với APR Bạn vừa mua một nhà kho mới. Để tài trợ cho việc mua nhà kho này, bạn thu xếp một khoản vay cầm cố kỳ hạn 30 năm với giá trị bằng 80 phần trăm giá mua kho $4.500.000. Mỗi tháng bạn phải trả nợ cho khoản vay này $27.500. APR của khoản vay này là bao nhiêu? EAR?
Bài làm
Giá trị khoản vay = 4.500.000 × 80% = $3.600.000
Sử dụng công thức giá trị hiện tại của dòng tiền đều:
PV = C × (1 - 1 + r -nr)
ó PV = 27.500 × (1 - 1 + r -360r) = 3.600.000 
ð r = 0,702%
Vậy APR = 0,702% × 12= 8,43%
EAR = (1 – 0,702%)12 – 1 = 8,76% 
42. Giá Trị Hiện Tại Và Lãi Suất Hoà Vốn	Xét một doanh nghiệp có một hợp đồng bán một tài sản với giá $115.000 trong 3 năm nữa kể từ bây giờ. Chi phí sản xuất ra tài sản này hôm nay là $76.000. Giả sử lãi suất chiết khấu phù hợp của tài sản này là 13 phần trăm, với tài sản này, công ty có lãi không? Ở mức lãi suất bao nhiêu thì công ty hoà vốn?
Bài làm
PV = FV(1 + r )n = 115.000(1 + 13% )3 = $79.700,77
ð Lãi = 79.700,77 – 76.000 = $3.700,77
Công ty hoà vốn:
PV = FV(1 + r )n = 115.000(1 + 13% )3 = $76.000
ð r = 14,81%
43. Giá Trị Hiện Tại Và Dòng Tiền Nhiều Kỳ	 Giá trị hiện tại của $5.000 một năm ở mức lãi suất chiết khấu 6 phần trăm, nếu kỳ thanh toán đầu tiên được nhận 6 năm kể từ bây giờ và kỳ thanh toán cuối cùng được nhận 25 năm kể từ bây giờ?
Bài làm
0
1
2
3
4
5
6
25
PV
$5.000
$5.000
$5.000
$5.000
Phương trình tính giá trị hiện tại của dòng tiền đều là tại một khoảng thời gian trước khi thanh toán đầu tiên nên có tổng cộng 20 kỳ thanh toán.
Giá trị hiện tại của dòng tiền đều tại năm 5:
PV = C × ( 1 - 1 + r -nr) = 5.000 × ( 1 - 1 + 6% -236%) = $ 57.349,61
Đây là giá trị của một kỳ trước lần thanh toán đầu tiên, hoặc năm 5. Vì vậy, giá trị của dòng tiền ngày hôm nay là:
PV = FV(1 + r )n = 73.269,22(1 + 7% )5 = $ 42.854,96
44. Lãi Suất Biến Đổi Một dòng tiền đều kỳ hạn 15 năm trả $1.500 một tháng, và các kỳ thanh toán được thực hiện vào cuối mỗi tháng. Nếu lãi suất là 12 phần trăm ghép lãi hàng tháng cho 7 năm đầu tiên, và 6 phần trăm ghép lại hàng tháng cho giai đoạn sau đó, giá trị hiện tại của dòng tiền đều này là bao nhiêu?
Bài làm
0
1
180
$1.500
$1.500
$1.500
$1.500
$1.500
$1.500
$1.500
$1.500
$1.500
Giá trị hiện tại của dòng tiền đều của 7 năm kể từ bây giờ ( 8 năm sau )
PV = C × ( 1 - 1 + r -nr)
= 1.500 × (1 - 1 + 6%12-966%12) = $114.142,83
Giá trị hiện tại của dòng tiền đều
PV = $114.142,83(1 + 12%12)84 + 1.500 × (1 - 1 + 12%12-8412%12) = $134.455,36
45. So Sánh Các Dòng Tiền Bạn phải lựa chọn hai cơ hội đầu tư. Cơ hội đầu tư A là dòng tiền đều kỳ hạn 15 năm có đặc điểm chi trả $1.500 cuối mỗi tháng và có lãi suất 8,7 phần trăm ghép lãi hàng tháng. Cơ hội đầu tư B là một dự án đầu tư nhận lại một lần (lump-sum) lãi suất 8 phần trăm ghép lãi liên tục, cũng có kỳ hạn 15 năm. Bạn cần đầu tư vào cơ hội B bao nhiêu tiền ngày hôm nay để 15 năm sau dự án này có giá trị bằng cơ hội đầu tư A?
Bài làm 
0
1
180
$1.500
$1.500
$1.500
$1.500
$1.500
$1.500
$1.500
$1.500
$1.500
FV
Giá trị tương lai của dòng tiền đều:
FV = C × ( 1 + r n - 1r)
= 1.500 × ( 1 + 8,7%12180- 18,7%12)
= $552.490,07
Ghép lãi liên tục
FV = PV × e r×T
ó $552.490,07 = PV × e 8%×15
ó PV = $166.406,81
46. Tính Giá Trị Hiện Tại Của Một Dòng Tiến Đều Vô Hạn Giả sử lãi suất là 6,1 phần trăm một năm, giá trị vào thời điểm t = 7 của một dòng tiền đều vô hạn $2.500 một năm bắt đầu vào thời điểm t = 15 là bao nhiêu?
Bài làm
0
1
7
14
15
∞
PV
$2.500
$2.500
$2.500
$2.500
Giá trị hiện tại của dòng tiền đều vô hạn
PV = Cr = $2.5006,1% = $40.983,61
0
1
7
14
PV
$40.983,61
Vì giá trị hiện tại của dòng tiền đều vô hạn cung cấp PV một khoảng thời gian trước lần đầu tiên thanh toán nên PV = $40.983,61 là giá trị tại t = 14. Để tìm giá trị tại t = 7, ta chiết khấu PV = $40.983,61 về t = 7.
PV = C(1 + r )n = $40.983,61(1 + 6,1% )7 = $27.077,12
47. Tính EAR Một công ty tài chính địa phương niêm yết lãi suất cho các khoản vay 1 năm là 16 phần trăm. Vì thế, nếu bạn vay $26.000, tiền lãi của cả năm sẽ là $4.160. Do bạn phải hoàn trả $30.160 sau một năm, công ty tài chính này yêu cầu bạn trả $30.160/12 hay $2.513,33 một tháng trong vòng 12 tháng tới. Lãi suất của khoản vay này có phải là 15 phần trăm? Lãi suất công bố hợp lệ phải là bao nhiêu? Lãi suất hiệu dụng là bao nhiêu?
Bài làm
0
1
12
-$26.000
$2.513,33
$2.513,33
$2.513,33
$2.513,33
$2.513,33
$2.513,33
Giá trị hiện tại của dòng tiền đều:
PV = C × (1 - 1 + r -nr)
ó $26.000 = $2.513,33× (1 - 1 + r -12r) 
ó r = 2,36%/tháng
ð APR = 2,36% x 12= 28,33%
EAR = ( 1 + Lãi suất công bốm )m-1
= ( 1 + 2,36% )12-1 = 32,3%
48. Tính Giá Trị Hiện Tại	 Một dòng tiền đều có kỳ hạn 5 năm gồm 10 kỳ thanh toán bán niên $5.300 sẽ bắt đầu sau 9 năm nữa, có kỳ thanh toán đầu tiên vào 9,5 năm nữa kể từ bây giờ. Nếu lãi suất chiết khấu là 12 phần trăm ghép lãi hàng tháng, giá trị của dòng tiền đều này sau 5 năm nữa kể từ bây giờ là bao nhiêu? Giá trị sau 3 năm nữa kể từ bây giờ là bao nhiêu? Giá trị hiện tại của dòng tiền đều này là bao nhiêu?
Bài làm
0
1
18
19
28
$5.300
$5.300
$5.300
Lãi suất hiệu dụng bán niên:
EAR = ( 1 + Lãi suất công bốm )m-1
= ( 1 + 12%12)6-1
= 6,15%
Hiện giá của dòng tiền đều
PV = C × (1 - 1 + r -nr)
= 5.300 × 1 - ( 1 + 6,15% )-106,15% 
= $38.729,05
Vì hiện giá của dòng tiền đều cung cấp PV một khoảng thời gian trước lần đầu tiên thanh toán nên PV = $38,729.05 là giá trị tại t = 9. Vì vậy, giá trị tại các thời điểm khác nhau mà câu hỏi yêu cầu sử dụng giá trị PV tại t = 9 năm chiết khấu về.
ô Sau 5 năm nữa:
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
PV
$38.729,05
Lãi suất hiệu dụng theo năm
EAR = ( 1 + Lãi suất công bốm )m-1
= ( 1 + 12%12)12-1
= 12,68%
PV = C(1 + r )n = $38.729,05(1 + 12,68% )4 = $24.024,23
ô Sau 3 năm nữa:
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
PV
$38.729,05
PV = C(1 + r )n = $38.729,05(1 + 12,68% )6 = $18.918,99
ô Hiện giá của dòng tiền đều
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
PV
$38.729,05
PV = C(1 + r )n = $38.729,05(1 + 12,68% )9 = $13.222,95
49. Tính Dòng Tiến Đều Đầu Kỳ	 Giả sử bạn sẽ nhận được $20.000 một năm trong 5 năm. Lãi suất phù hợp là 7 phần trăm.
a. Giá trị hiện tại của các kỳ thanh toán là bao nhiêu nếu những kỳ thanh toán này ở dưới dạng của một dòng tiền đều bình thường? Giá trị hiện tại là bao nhiêu nếu các kỳ thanh toán là dòng tiền đều đầu kỳ.
b. Giả sử bạn dự định đầu tư các kỳ thanh toán này cho 5 năm. Giá trị tương lại là bao nhiêu nếu các kỳ thanh toán là dòng tiền đều bình thường? Còn nếu các kỳ thanh toán là dòng tiền đều đầu kỳ thì sao?
c. Dòng tiền đều bình thường hay dòng tiền đều đầu kỳ có giá trị hiện tại cao hơn? Dòng tiền nào có giá trị tương lai cao hơn? Điều này có luôn đúng không?
Bài làm
0
1
2
3
4
5
$20.000
$20.000
$20.000
$20.000
$20.000
$20.000
PV
a. Hiện giá của dòng tiền đều bình thường
PV = C × (1 - 1 + r -nr)
= 20.000 × 1 - ( 1 + 7% )-57% 
= $82.003,95
Hiện giá của dòng tiền đều đầu kỳ
PVĐK = PV × ( 1 + r )
= 82.003,95 × ( 1 + 7% )
= $87.744,23
b. 
0
1
2
3
4
5
$20.000
$20.000
$20.000
$20.000
$20.000
FV
Giá trị tương lai của dòng tiền đều:
FV = C × ( 1 + r n - 1r)
= 20.000 × ( 1 + 7% 5 - 17%) = $115.014,78
Giá trị tương lai của dòng tiền đều đầu kỳ
FVĐK = FV × ( 1 + r )
= 115.014,78× ( 1 + 7% )
= $123.065,81
50. Tính Dòng Tiền Đều Đầu Kỳ Bạn muốn mua một chiếc xe hơi thể thao mới từ Muscles Motors với giá $73.000. Hợp đồng này là dưới dạng một dòng tiền đều đầu kỳ 60 tháng, lãi suất APR 6,45 phần trăm. Hàng tháng bạn phải chi trả bao nhiêu?
Bài làm
0
1
2
58
59
60
–$73.000
C
C
C
C
C
C
C
C
C
Ta có: PV = C × (1 - 1 + r -nr)
Dòng tiền đều đầu kỳ: 
PVĐK = PV × ( 1 + r )
= C × (1 - 1 + r -nr) × ( 1 + r )
ó $73.000 = C × (1 - 1 + 6,45%12 -606,45%12) × ( 1 + 6,45%12 )
ó C = $1.418,99