Bài giảng Xử lý tín hiệu số - Chương V: Biến đổi Fourier liên tục - Lê Vũ Hà

Chương V:BIẾN ĐỔI FOURIER LIÊN TỤC 
XỬ LÝ TÍN HIỆU SỐ 
2008 
Nội dung 
Biến đổi Fourier của tín hiệu liên tục 
Biến đổi Fourier của tín hiệu rời rạc 
Các tính chất của biến đổi Fourier 
Lấy mẫu tín hiệu 
Chuỗi Fourier của tín hiệu liên tục tuần hoàn 
Một tín hiệu tuần hoàn x ( t ) sẽ biểu diễn được một cách chính xác bởi một chuỗi Fourier nếu x ( t ) thỏa mãn các điều kiện Dirichlet sau đây : 
Số điểm không liên tục trong một chu kỳ của x ( t ) phải hữu hạn . 
Số điểm cực trị trong một chu kỳ của x ( t ) phải hữu hạn . 
Tích phân của | x ( t )| trong một chu kỳ phải hữu hạn . 
Chuỗi Fourier của tín hiệu liên tục tuần hoàn 
Biểu diễn chuỗi Fourier của tín hiệu tuần hoàn x ( t ) với chu kỳ T : 
Các hệ số { c k } được tính bằng công thức : 
Phổ mật độ công suất của tín hiệu liên tục tuần hoàn 
Tín hiệu tuần hoàn có năng lượng vô hạn nhưng luôn là tín hiệu công suất : 
Công thức Parseval cho tín hiệu công suất : 
Phổ mật độ công suất của tín hiệu liên tục tuần hoàn 
Giá trị | c k | 2 có thể coi là đại diện cho công suất của thành phần e j2 kt / T ( tín hiệu dạng sin phức có tần số kF 0 với F 0 = 1/ T ) trong tín hiệu x ( t ). 
Đồ thị của | c k | 2 theo các tần số kF 0 ( k = 0, 1, 2) thể hiện phân bố công suất của tín hiệu x ( t ) theo các tần số khác nhau phổ mật độ công suất . 
Biến đổi Fourier của tín hiệu liên tục không tuần hoàn 
Định nghĩa : biến đổi Fourier của x ( t ) 
Biến đổi Fourier ngược : 
Biến đổi Fourier của tín hiệu liên tục không tuần hoàn 
Quan hệ với biểu diễn chuỗi Fourier của tín hiệu tuần hoàn 
Biến đổi Fourier của tín hiệu liên tục không tuần hoàn 
Điều kiện cho sự tồn tại của biến đổi Fourier ( các điều kiện Dirichlet ): 
Số điểm không liên tục của x ( t ) phải hữu hạn . 
Số điểm cực trị của x ( t ) phải hữu hạn . 
Tích phân của | x ( t )| trong khoảng ( , + ) phải hữu hạn . 
Phổ mật độ năng lượng của tín hiệu liên tục không tuần hoàn 
Xét tín hiệu năng lượng x ( t ): 
Công thức Parseval cho tín hiệu không tuần hoàn có năng lượng hữu hạn : 
Phổ mật độ năng lượng của tín hiệu liên tục không tuần hoàn 
Giá trị | X ( F )| 2 có thể coi là đại diện cho năng lượng của thành phần e j2 Ft ( tín hiệu dạng sin phức có tần số F ) trong tín hiệu x ( t ). 
Đồ thị của | X ( F )| 2 theo F thể hiện phân bố năng lượng của tín hiệu x ( t ) theo tần số phổ mật độ năng lượng . 
Chuỗi Fourier của tín hiệu rời rạc tuần hoàn 
Biểu diễn chuỗi Fourier của tín hiệu tuần hoàn x ( n ) với chu kỳ N : 
Các hệ số { c k } được tính bằng công thức : 
Phổ mật độ công suất của tín hiệu rời rạc tuần hoàn 
Công suất trung bình của tín hiệu rời rạc x ( n ) tuần hoàn với chu kỳ N : 
Công thức Parseval cho tín hiệu công suất rời rạc tuần hoàn : 
Biến đổi Fourier của tín hiệu rời rạc không tuần hoàn 
Định nghĩa : biến đổi Fourier của x ( n ) 
Biến đổi Fourier ngược : 
Biến đổi Fourier của tín hiệu rời rạc không tuần hoàn 
Quan hệ với biểu diễn chuỗi Fourier của tín hiệu rời rạc tuần hoàn 
Biến đổi Fourier của tín hiệu rời rạc không tuần hoàn 
Điều kiện hội tụ : 
Biến đổi Fourier của tín hiệu rời rạc không tuần hoàn 
Quan hệ với biến đổi Z: thay z = | z | e j  
Biến đổi Fourier chính là biến đổi Z trên đường tròn đơn vị trong mặt phẳng Z biến đổi Fourier tồn tại nếu miền hội tụ của biến đổi Z chứa đường tròn đơn vị . 
Phổ mật độ năng lượng của tín hiệu rời rạc không tuần hoàn 
Xét tín hiệu năng lượng x ( n ): 
Công thức Parseval cho tín hiệu rời rạc không tuần hoàn có năng lượng hữu hạn : 
Phổ mật độ năng lượng của tín hiệu rời rạc không tuần hoàn 
Giá trị | X (  )| 2 có thể coi là đại diện cho năng lượng của thành phần e j n ( tín hiệu dạng sin phức có tần số góc  ) trong tín hiệu x ( n ). 
Đồ thị của | X (  )| 2 theo  thể hiện phân bố năng lượng của tín hiệu x ( n ) theo tần số phổ mật độ năng lượng . 
Các tính chất của biến đổi Fourier 
Tuyến tính : 
Dịch thời gian : 
Lật : 
Các tính chất của biến đổi Fourier 
Biến đổi Fourier của tích chập : 
Biến đổi Fourier của tương quan : 
S x 1 x 2 (  ) được gọi là phổ mật độ năng lượng chéo của 2 tín hiệu x 1 ( n ) và x 2 ( n ). 
Các tính chất của biến đổi Fourier 
Dịch tần số : 
Điều chế : 
Đạo hàm trong miền Fourier: 
Lấy mẫu tín hiệu 
Tín hiệu x ( t ) có năng lượng hữu hạn bề rộng phổ hữu hạn tồn tại một tần số cao nhất trong tín hiệu , F a :  F > F a thì X ( F ) = 0. 
Rời rạc hóa x ( t ) với tần số lấy mẫu F s x ( n ). x ( t ) sẽ được khôi phục chính xác từ x ( n ) theo công thức sau nếu F s = 2 F a : 
Lấy mẫu tín hiệu 
Định lý lấy mẫu (Shannon): một tín hiệu liên tục có bề rộng phổ hữu hạn với tần số cao nhất ( bề rộng phổ ) F a có thể được khôi phục một cách chính xác từ các mẫu của tín hiệu đó nếu tần số lấy mẫu thỏa mãn điều kiện : F s 2 F a . 
Tần số F s = 2 F a được gọi là tần số Nyquist . 
Lấy mẫu tín hiệu 
Quan hệ giữa tần số của tín hiệu liên tục và tín hiệu lấy mẫu : xét tín hiệu liên tục x ( t ) có bề rộng phổ là F a 
Nếu F s = 2 F a : phổ của x ( n ) trong [ , ] có dạng đúng như phổ của x ( t ) trong [ F a , F a ] và lặp lại với chu kỳ 2 . 
Nếu F s > 2 F a : phổ của x ( t ) trong [ F a , F a ] được nén vào 1 khoảng bên trong [ , ] và lặp lại với chu kỳ 2 . 
Lấy mẫu tín hiệu 
Nếu F s < 2 F a : xảy ra hiện tượng chồng phổ ( phổ của x ( t ) trong [ F a , F a ] bị giãn ra trong 1 khoảng rộng hơn [ , ] nên bị chồng giữa các chu kỳ phổ bị biến dạng ).