Bài giảng Xử lý tín hiệu số - Chương 2: Biến đổi Z và ứng dụng

FITA- HUA
Chương 2: BIẾN ĐỔI Z VÀ ỨNG DỤNG
2.1 BIẾN ĐỔI Z 
2.2 CÁC TÍNH CHẤT BIẾN ĐỔI Z
2.3 BIẾN ĐỔI Z NGƯỢC
2.4 HÀM TRUYỀN ĐẠT CỦA HỆ LTI RỜI RẠC
2.5 GIẢI PTSP DÙNG BIẾN ĐỔI Z 1 PHÍA
FITA- HUA
• Nếu x(n) nhân quả thì : (*) (**)
• Ký hiệu:
x(n) X(z) hay X(z) = Z{x(n)}
X(z) x(n) hay x(n) = Z-1{X(z)} 
2.1 BIẾN ĐỔI Z
2.1.1 ĐỊNH NGHĨA BIẾN ĐỔI Z:

0n
nznxzX )()(
  Z
 
 1Z

Biểu thức (*) còn gọi là biến đổi Z hai phía
• Biến đổi Z của dãy x(n):
Biến đổi Z 1 phía dãy x(n):
(*)
(**)
Trong đó Z – biến số phức

n
nznxzX )()(
FITA- HUA
2.1.2 MIỀN HỘI TỤ CỦA BIẾN ĐỔI Z 
(ROC)
• Miền hội tụ của biến đổi Z - ROC (Region Of Convergence) 
là tập hợp tất cả các giá trị Z nằm trong mặt phẳng phức sao 
cho X(z) hội tụ.
 
)2()1()0()(
0
xxxnx
n
1)(lim
1
n
n
nx
00
Im(Z)
Re(z)
Rx+
Rx-• Để tìm ROC của X(z) ta áp dụng
tiêu chuẩn Cauchy
• Tiêu chuẩn Cauchy:
Một chuỗi có dạng:
hội tụ nếu:
FITA- HUAVí dụ 2.1.1: Tìm biến đổi Z & ROC của:
Giải:
)()( nuanx n 
n
n
az
0
1
11
1
)(
az
zX
azaz
nn
n
1lim
1
1

n
nznxzX )()(  
n
nn znua )( 
0
.
n
nn za
0
ROC
Im(z)
Re(z)
/a/
Theo tiêu chuẩn Cauchy, 
X(z) sẽ hội tụ:
Nếu:
Vậy: a
az
zX 
Z:ROC;
1
1
)(
1
FITA- HUA
Ví dụ 2.1.2: Tìm biến đổi Z & ROC của:
Giải:
)1()( nuanx n
m
m
za
1
1
az 1lim
1
1 
n
n
n
za

n
nznxzX )()(  
n
nn znua )1( 
1
.
n
nn za
 1
0
1 
m
m
za
 1)(
0
1 
n
m
zazX 11
1
az
0
ROC
Im(z)
Re(z)
/a/Theo tiêu chuẩn Cauchy, 
X(z) sẽ hội tụ:
Nếu:
FITA- HUA
2.2 CÁC TÍNH CHẤT BIẾN ĐỔI Z
a) Tuyến tính
)1()()( nubnuanx nn
 RROC : )()( 222   zXnx
Z
 RROC : )()( 111   zXnx
Z
)()()()( 22112211 zXazXanxanxa
Z   
ba 
Giải:
• Nếu:
• Thì:
Ví dụ 2.2.1: Tìm biến đổi Z & ROC của:
với
ROC chứa R1 R2
FITA- HUA
Áp dụng tính chất tuyến tính, ta được:
11
1
)(
 
az
nua Zn
11
1
)1(
  
bz
nub Zn bzR :2
  Znn nubnua )1()(
11 1
1
1
1
 bzaz
0
ROC
Im(z)
Re(z)/a/
0
ROC
Im(z)
Re(z)
/b/
azR :1
bzaRRR  :21
0
ROC
Im(z)
Re(z)
/b/
/a/
Theo ví dụ 2.1.1 và 2.1.2, ta có:
FITA- HUA
b) Dịch theo thời gian
)1()( nuanx n
a
az
nua Zn 
 
z:ROC;
1
1
)(
1
)1()( nuanx n )1(. 1 nuaa n az
az
azZ 
 
:
1 1
1
 RROC : )()(   zXnx Z
 R'ROC : )()( 00   
 zXZnnx nZ
R
R
 R'
trừ giá trị z=0, khi n0>0
trừ giá trị z=∞, khi n0<0
Ví dụ 2.2.2: Tìm biến đổi Z & ROC của:
Nếu:
Thì:
Với:
Giải:
Theo ví dụ 2.1.1:
Vậy:
2.2 CÁC TÍNH CHẤT BIẾN ĐỔI Z
FITA- HUA
c) Nhân với hàm mũ an
)()(1 nuanx
n 
aR'
az
azXnuanxa Znn 
   
 z:;
1
1
1
1
)()()(
 RROC : )()(   zXnx Z
RROC : )()( 1 azaXnxa Zn   
)()(2 nunx 
1)()()()( 
   znuzXnunx
n
Z
Giải:
Nếu:
Thì:
Ví dụ 2.2.3: Xét biến đổi Z & ROC của:
và
1:;
1
1
1
zR
z
2.2 CÁC TÍNH CHẤT BIẾN ĐỔI Z
FITA- HUA
d) Đạo hàm X(z) theo z
)()( nunang n 
a
az
zXnuanx Zn 
   
z:ROC;
1
1
)()()(
1
 RROC : )()(   zXnx Z
RROC : )(  
dz
dX(z)
znxn Z
dz
zdX
zzGnnxng Z
)(
)()()(   az
az
az
:
)1( 21
1
Giải:
Theo ví dụ 2.1.1:
Nếu:
Thì:
Ví dụ 2.2.4: Tìm biến đổi Z & ROC của:
2.2 CÁC TÍNH CHẤT BIẾN ĐỔI Z
FITA- HUA
e) Đảo biến số
Nếu:
Thì:
 )(1)( nuany n 
a
az
zXnuanx Zn 
   
z:ROC;
1
1
)()()(
1
 RROC : )()(   zXnx Z
RXnx Z 1ROC : )(z)( -1   
 )()()(1)( nxnuanuany nn 
a/1z:ROC;
az1
1
za1
1
)z(X)z(Y
11
1 
• Ví dụ 2.2.5: Tìm biến đổi Z & ROC của:
• Giải: Theo ví dụ 2.1.1:
Áp dụng tính chất đảo biến số:
2.2 CÁC TÍNH CHẤT BIẾN ĐỔI Z
FITA- HUA
f) Liên hiệp phức
 RROC : )()(   zXnx Z
RXnx Z   ROC : (z*)*)(*
g) Tích 2 dãy
 RRROC : d )(
2
1
)()( 21
1
1121  
  
 


 c
Z zXXnxnx
h) Định lý giá trị đầu
Nếu x(n) nhân quả thì: X(z) )0(
Z
Limx
 RROC : )()( 222   zXnx
Z
 RROC : )()( 111   zXnx
Z
Nếu:
Thì:
Nếu:
Thì:
2.2 CÁC TÍNH CHẤT BIẾN ĐỔI Z
FITA- HUA
• Ví dụ 2.2.5: Tìm x(0), biết X(z)=e1/z và x(n) nhân quả
• Giải:
X(z) lim)0(
Z
x
i) Tích chập 2 dãy
 RROC : )()( 222   zXnx
Z
 RROC : )()( 111   zXnx
Z
)()()(*)( 2121 zXzXnxnx
Z  ;ROC có chứa R1  R2
1e lim 1/z 
 Z
Thì:
Nếu:
Theo định lý giá trị đầu:
FITA- HUA
5.0:;
5.01
1
)()()5.0()(
1
   
zROC
z
zXnunx Zn
2:;
21
1
)()1(2)(
1
   
zROC
z
zHnunh Zn
25,0:;
)21(
1
.
)5.01(
1
)()()(
11
zROC
zz
zHzXzY
25,0:;
)21(
1
.
3
4
)5.01(
1
.
3
1
11
zROC
zz
)1(2
3
4
)()5.0(
3
1
)(*)()( nununhnxny nn
Z-1
• Ví dụ 2.2.6: Tìm y(n) = x(n)*h(n), biết:
)()5.0()( nunx n )1(2)( nunh n
• Giải:
FITA- HUA
TỔNG KẾT CÁC TÍNH CHẤT BIẾN ĐỔI Z
x(n) X(z) ROC
a1x1(n)+a2x2(n) a1X1(z)+a2X2(z) Chứa R1  R2
x(n-n0) Z
-n0 X(z) R’
an x(n) X(a-1z) R
nx(n) -z dX(z)/dz R
x(-n) X(z -1) 1/R
x*(n) X*(z*) R
x1(n)x2(n) R1  R2
x(n) nhân quả x(0)=lim X(z ->∞)
x1(n)*x2(n) X1(z)X2(z) Chứa R1  R2
dvv
v
z
XvX
j C
1
21 )(
2
1 
FITA- HUA
BIẾN ĐỔI Z MỘT SỐ DÃY THÔNG DỤNG
x(n) X(z) ROC
(n) 1 z
u(n) |z| >1
-u(-n-1) |z| <1
an u(n) |z| > |a|
-an u(-n-1) |z| < |a|
nan u(n) |z| > |a|
-nan u(-n-1) |z| < |a|
cos(on)u(n) (1-z
-1coso)/(1-2z
-1coso+z
-2) |z| >1
sin(on)u(n) (z
-1sino)/(1-2z
-1coso+z
-2) |z| >1
11
1
 z
11
1
 az
21
1
)1( 
 az
az
FITA- HUA
2.3 BIẾN ĐỔI Z NGƯỢC
2.3.1 CÔNG THỨC BIẾN ĐỔI Z NGƯỢC
C
n dzz)z(X
j
)n(x 1
2
1
Với C - đường cong khép kín bao quanh gốc tọa độ trong
mặt phẳng phức, nằm trong miền hội tụ của X(z), theo
chiều (+) ngược chiều kim đồng hồ
 Trên thực tế, biểu thức (*) ít được sử dụng do tính chất
phức tạp của phép lấy tích phân vòng
• Các phương pháp biến đổi Z ngược:
 Thặng dư
 Khai triển thành chuỗi luỹ thừa
 Phân tích thành tổng các phân thức tối giản
(*)
FITA- HUA
2.3.2 PHƯƠNG PHÁP KHAI TRIỂN 
THÀNH CHUỖI LUỸ THỪA
Giả thiết X(z) có thể khai triển: 
n
n
nzazX )(
Theo định nghĩa biến đổi Z 
n
nznxzX )()(
(*)
(**)
Đồng nhất (*) & (**), rút ra: nanx )(
Ví dụ: 2.3.1: Tìm x(n) biết: )321)(1()(
212 zzzzX
Giải:
Khai triển X(z) ta được:
 zROC 0:
212 3242)( zzzzzX 
2
2
)(
n
nznx
Suy ra: ,-2,3}4{1,-2,)(

 nx
FITA- HUA
 .............. 
1 21 1 z
Ví dụ: 2.3.2: Tìm x(n) biết: 2:
21
1
)(
1
z
z
zX
Giải:
Do ROC của X(z) là /z/>2, nên x(n) sẽ là dãy nhân quả
và sẽ được khai triển thành chuỗi có dạng:

0
)(
n
n
nzazX  
 2
2
1
10 zazaa
Để có dạng (*), thực hiện phép chia đa thức dưới đây:
(*)
-12z-1 1
 2 1 z
12 z
 z2-2 -221 z
 z2 -22
222 z  

0
2)(
n
nn zzX
)(20:2)( nunnx nn  
FITA- HUA
 .............. 
1111 2 21 zz 
Ví dụ: 2.3.3: Tìm x(n) biết: 2:
21
1
)(
1
z
z
zX
Giải:
Do ROC của X(z) là /z/<2, nên x(n) sẽ là dãy phản nhân
quả và sẽ được khai triển thành chuỗi có dạng:

1
)(
n
n
nzazX  
3
3
2
2
1
1 zazaza
Để có dạng (**), thực hiện phép chia đa thức dưới đây:
(**)
1z2- 1 -11 
 2 11 z 
222 z 
 z2-2 2-211 z 
 z2 2-2
332 z  

1
2)(
n
nn zzX
)1(20:2)(  nunnx nn
FITA- HUA
2.3.3 PHƯƠNG PHÁP PHÂN TÍCH THÀNH
TỔNG CÁC PHÂN THỨC TỐI GIẢN
Xét X(z) là phân thức hữu tỉ có dạng:
)(
)(
)(
zB
zD
zX 
01
1
1
01
1
1
...
...
bzbzbzb
dzdzdzd
N
N
N
N
K
K
K
K
 0, NKvới:
• Nếu K>N, thực hiện phép chia đa thức, ta được:
)(
)(
)(
zB
zD
zX 
)(
)(
)(
zB
zA
zC 
01
1
1
01
1
1
...
...
)(
bzbzbzb
azazaza
zC
N
N
N
N
M
M
M
M
Ta được C(z) là đa thức và phân thức A(z)/B(z) có bậc M N
• Nếu K N, thì X(z) có dạng giống phân thức A(z)/B(z)
Việc lấy biến đổi Z ngược đa thức C(z) là đơn giản, vấn
đề phức tạp là tìm biến đổi Z ngược A(z)/B(z) có bậc M N
FITA- HUA
Xét X(z)/z là phân thức hữu tỉ có bậc M N :
)(
)()(
zB
zA
z
zX
Xét đén các điểm cực của X(z)/z, hay nghiệm của B(z) là
đơn, bội và phức liên hiệp
01
1
1
01
1
1
...
...
bzbzbzb
azazaza
N
N
N
N
M
M
M
M
a) Xét X(z)/z có các điểm cực đơn: Zc1, Zc2, Zc3,. ZcN,
)(
)()(
zB
zA
z
zX
)())((
)(
21 cNccN zzzzzzb
zA

Theo lý thuyết hàm hữu tỉ, X(z)/z phân tích thành:
)(
)()(
zB
zA
z
zX
)()()( 2
2
1
1
cN
N
cc zz
K
zz
K
zz
K
  
N
i ci
i
zz
K
1 )(
Với hệ số Ki xác định bởi:
ciZZ
cii zz
z
zX
K
 )(
)(
hay
ciZZ
i
zB
zA
K
)('
)(
FITA- HUA Suy ra X(z) có biểu thức:
)1()1()1(
)(
11
2
2
1
1
1
zz
K
zz
K
zz
K
zX
cN
N
cc
 
N
1i
1
ci
i
)zz1(
K
)1(
)(
1 
zz
K
zX
ci
i
i
• Nếu ROC: |z| > |zci| )()()( nuzKnx
n
ciii 
• Nếu ROC: |z| < |zci| )1()()( nuzKnx
n
ciii
• Vậy: 
N
i
i nxnx
1
)()(
Xét:
FITA- HUA
Ví dụ: 2.3.3: Tìm x(n) biết:
65
52
)(
2 
zz
zz
zX
Giải:
với các miền hội tụ: a) |z|>3, b) |z|<2, c) 2<|z|<3
)3)(2(
52
zz
z
)3()2(
21
z
K
z
K
65
52)(
2 
zz
z
z
zX
Với các hệ số được tính bởi:
2
1 )2(
)(
Z
z
z
zX
K 1
)3(
52
2
 Z
z
z
3
2 )3(
)(
Z
z
z
zX
K 1
)2(
52
3
 Z
z
z
)3(
1
)2(
1)(
zzz
zX
)31(
1
)21(
1
)(
11 
zz
zX
FITA- HUA
Với các miền hội tụ:
)31(
1
)21(
1
)(
11 
zz
zX
a) |z|>3 : )(3)(2)( nununx nn 
b) |z|> < 2 : )1(3)1(2)( nununx nn
c) 2<|z|<3 : )1n(u3)n(u2)n(x nn 
FITA- HUA
b) Xét X(z)/z có điểm cực Zc1 bội r và các điểm cực đơn:
Zc(r+1),,ZcN,
)(
)()(
zB
zA
z
zX
)()()(
)(
)1(1 cNrc
r
cN zzzzzzb
zA
 
Theo lý thuyết hàm hữu tỉ, X(z)/z phân tích thành:
r
c
r
cc zz
K
zz
K
zz
K
z
zX
)()()(
)(
1
2
1
2
1
1 

N
rl cl
l
r
i
i
i
zz
K
zz
K
11 1 )()(
Với hệ số Ki xác định bởi:
1cZZ
r
1c)ir(
)ir(
i )zz(
z
)z(X
dz
d
)!ir(
1
K
hay clZZ
cll zz
z
zX
K
 )(
)(
)()( )1(
1
cN
N
rc
r
zz
K
zz
K
 
FITA- HUA
Vậy ta có biểu thức biến đổi Z ngược là:
Với giả thiết ROC của X(z): |z|> max{ |zci| }: i=1N,
biến đổi Z ngược của thành phần Ki/(z-zci)
r sẽ là:
)(
)!1(
)2)...(1( 11
nu
i
ainnn
az
z inZ
i 
 
)()()(
)!1(
)2)...(1(
)(
1
1
1
nuzKnu
i
ainnn
Knx
N
rl
n
cll
inr
i
i 
Ví dụ: 2.3.4: Tìm x(n) biết:
)1()2(
452
)(
2
23
zz
zzz
zX 2: zROC
Giải:
)1()2(
452)(
2
2
zz
zz
z
zX
)1()2()2(
3
2
21
z
K
z
K
z
K
FITA- HUA
Vậy X(z)/z có biểu thức là:
Với các hệ số được tính bởi:
)1(
1
)2(
2
)2(
1)(
2 
zzzz
zX
1
)1(
452
2
2
 Z
z
zz
dz
d
2
2
)12(
)12(
1 )2(
)(
)!12(
1
Z
z
z
zX
dz
d
K
2
)1(
452
2
2
 Z
z
zz
2
2
)22(
)22(
2 )2(
)(
)!22(
1
Z
z
z
zX
dz
d
K
1
3 )1(
)(
Z
z
z
zX
K 1
)2(
452
1
2
2
 Z
z
zz
)1(
1
)21(
2
)21(
1
)(
121
1
1 
zz
z
z
zX
2: zROC
)()(2)(2)( nununnunx nn 
FITA- HUA
c) Xét X(z)/z có cặp điểm cực Zc1 và Z*c1 phức liên hiệp,
các điểm cực còn lại đơn: Zc3,,ZcN,
)(
)()(
zB
zA
z
zX
)())()((
)(
3
*
11 cNcccN zzzzzzzzb
zA

X(z)/z được phân tích thành:
)()()()(
)(
3
3
*
1
2
1
1
cN
N
ccc zz
K
zz
K
zz
K
zz
K
z
zX
 

N
i ci
i
cc zz
K
zz
K
zz
K
z
zX
3
*
1
2
1
1
)()()(
)(
Với các hệ số K1, Ki được tính giống điểm cực đơn:
Ni:)zz(
z
)z(X
K
ciZZ
cii  
1
FITA- HUA
Xét :
Do các hệ số A(z), B(z) là thực, nên K2=K1
*
)(
*
)(
)(
*
1
1
1
11
cc zz
K
zz
K
z
zX
)1(
*
)1(
)(
1*
1
1
1
1
1
1 
zz
K
zz
K
zX
cc
Nếu gọi:
jeKK 11 
 j
cc ezz 11 
Và giả thiết ROC: /z/>max{/zci/}:
   )n(uzKzKnx n*c*nc 11111 
)n(u)ncos(zK
n
c  112
 )n(uzK)ncos(zK)n(x
N
i
n
cii
n
c



 
 3
112  Vậy:
FITA- HUA
2:
)1)(22(
)(
2
 z
zzz
z
zXVí dụ: 2.3.7: Tìm x(n) biết:
Giải:
)1)(22(
1)(
2 
zzzz
zX
   )1()1()1(
1
zjzjz
    )1()1()1(
3
*
11
z
K
jz
K
jz
K
  2
1
)1()1(
1
1
1 
 jZ
zjz
K
)()()
4
cos()2()( nununnx n 
1
)22(
1
1
23
 Z
zz
K
    )1(
1
)1(1
2/1
)1(1
2/1
)(
111 
zzjzj
zX 2 z
FITA- HUA
2.4 HÀM TRUYỀN ĐẠT CỦA HỆ THỐNG 
TTBB

M
r
k
N
k
k rnxbknya
00
)()(
2.4.1 Định nghĩa hàm truyền đạt
h(n)x(n) y(n)=x(n)*h(n)Miền n:
Miền Z: H(z)X(z) Y(z)=X(z)H(z)
Z
h(n) Z H(z): gọi là hàm truyền đạt H(z)=Y(z)/X(z)
2.4.2 Hàm truyền đạt được biểu diễn theo các hệ số PTSP

M
r
r
k
N
k
k
k zbzXzazY
00
)()(
Z
)(
)(
)(
zX
zY
zH 
N
k
k
k
M
r
r
r zazb
00
FITA- HUA
Ví dụ: 2.4.1: Tìm H(z) và h(n) của hệ thống nhân quả cho bởi:
Giải: y(n) - 5y(n-1) + 6y(n-2) = 2x(n) - 5x(n-1)
21
1
651
52
)(
)(
)(
zz
z
zX
zY
zH
)3()2(
21
z
K
z
K
)31(
1
)21(
1
)(
11 
zz
zH
Lấy biến đổi Z hai vế PTSP và áp dụng tính chất dịch theo t/g:
   121 52)(651)( zzXzzzY
65
52
2
2
zz
zz
)3)(2(
52)(
zz
z
z
zH
Do hệ thống nhân quả nên: h(n) = ( 2n + 3n ) u(n)
1
2)3(
52
1 
zz
z
K 1
3)2(
52
2 
zz
z
K
FITA- HUA
2.4.3 Hàm truyền đạt của các hệ thống ghép nối
a. Ghép nối tiếp
 Miền Z:
h2(n)x(n) y(n)h1(n)
x(n) y(n)h(n)=h1(n)*h2(n)

 Miền n:
H2(z)X(z) Y(z)H1(z)
X(z) Y(z)H(z)=H1(z)H2(z)

Theo tính chất tổng chập: h1(n)*h2(n)
Z H1(z)H2(z)
FITA- HUA
2.4.3 Hàm truyền đạt của các hệ thống ghép nối (tt)
b. Ghép song song
 Miền Z:

h2(n)
x(n) y(n)
h1(n)
+
x(n) y(n)h1(n)+h2(n)
 Miền n:

H2(z)
X(z) Y(z)
H1(z)
+
X(z) Y(z)H1(z)+H2(z)
FITA- HUA
2.4.4 Tính nhân quả và ổn định của hệ TTBB rời rạc
a. Tính nhân quả
Hệ thống TTBB là nhân quả h(n) = 0 : n<0 Miền n:
Do h(n) là tín hiệu nhân quả, nên miền hội tụ H(z) sẽ là:
)())((
)(
)(
21 cNccN zzzzzzb
zA
zH

 cNccc zzzzz ,,,max 21
max
 
Hệ thống TTBB 
là nhân quả
 Miền Z:
 cNccc zzzzz ,,,max 21
max
 
ROC của H(z) là:
Re(z)
0
ROC
Im(z)
/zc/
max
FITA- HUA
Hệ thống TTBB là ổn định
2.4.4 Tính nhân quả và ổn định của hệ TTBB rời rạc (tt)
b. Tính ổn định
 Miền n: 
 n
nh )(
 Miền Z:

n
nznhzH )()( 
n
nznh )( n
n
znh 
 )( 

n
nhzH )()( : khi 1 z
Hệ thống TTBB
là ổn định
ROC của H(z) 
có chứa /z/=1
Theo đ/k ổn định (*), nhận thấy H(z) cũng sẽ hội tụ với /z/=1
(*)
FITA- HUA
Re(z)
0
ROC
Im(z)
/zc/
max
c. Tính nhân quả và ổn định
Hệ thống TTBB 
là nhân quả cNccc zzzzz ,,,max 21
max
 
ROC của H(z) là:
Hệ thống TTBB
là ổn định
ROC của H(z) có chứa /z/=1
Hệ thống TTBB 
là nhân quả 
và ổn định 
và
ROC của H(z) là:
max
czz 1
max
 cz
/z/=1
FITA- HUA
Ví dụ: 5.4.1: Tìm h(n) của hệ thống, biết:
Giải:
)2()2/1(
21
z
K
z
K
  )21(
1
)2/1(1
1
)(
11 
zz
zH
252
54
)(
2
2
zz
zz
zH
)2)(2/1(2
54)(
zz
z
z
zH
a. Hệ thống nhân quả (/z/>2): h(n)=[(1/2)n + 2n] u(n)
a. Để hệ thống là nhân quả
b. Để hệ thống là ổn định
c. Để hệ thống là nhân quả và ổn định
)2(
1
)2/1(
1
zz
b. Hệ thống ổn định (1/2</z/<2): h(n)=(1/2)n u(n) - 2n u(-n-1)
c. Hệ thống nhân quả và ổn định:
ROC: /z/>2 không thể chứa /z/=1 không tồn tại h(n)
FITA- HUA
2.5 GIẢI PTSP DÙNG BIẾN ĐỔI Z 1 PHÍA
)( kny 
Tổng quát, biến đổi Z 1 phía của y(n-k):

k
r
krk zryzYz
1
)()(
Z
1 phía
)1( ny
z
1 phía
 
 21
0
)1()0()1()1( zyzyyzny n
n
  11 )1()0()1( zyyzy
)()1( 1 zYzy 
)2( ny
z
1 phía
 
 21
0
)0()1()2()2( zyzyyzny n
n
  121 )1()0()1()2( zyyzzyy
)()1()2( 21 zYzzyy 
FITA- HUA
Ví dụ 5.5.1: Hãy giải PTSP dùng biến đổi Z 1 phía
y(n) – 3y(n–1) +2 y(n-2) = x(n) : n 0
biết: x(n)=3n-2u(n) và y(-1)=-1/3; y(-2)= -4/9
Giải:
Lấy biến đổi Z 1 phía hai vế PTSP:
Y(z) - 3[y(-1)+z-1Y(z)] + 2[y(-2)+y(-1)z-1+z-2Y(z)] = X(z) (*)
Thay y(-1)=-1/3; y(-2)= -4/9 và X(z)=3-2/(1-3z-1) vào (*), rút ra:
)3(
1
.
2
1
)1(
1
.
2
1
)3)(1(
1)(
zzzzz
zY
)31(
1
.
2
1
)1(
1
.
2
1
)(
11 
zz
zY
  )(13
2
1
)( nuny n