Bài giảng Xử lý tín hiệu số - Chương 1: Tín hiệu & hệ thống rời rạc

ĐHNN Hà nội
Khoa
CNTT
ĐỀ CƯƠNG MÔN HỌC – XỬ LÝ TÍN 
HIỆU SỐ
Chương 1: Tín hiệu & hệ thống rời rạc
Chương 2: Biểu diễn tín hiệu & hệ thống 
trong miền phức Z
Chương 3: Biểu diễn tín hiệu & hệ thống 
trong miền tần số liên tục
Chương 4: Biểu diễn tín hiệu & hệ thống 
trong miền tần số rời rạc
Chương 5: Tổng hợp bộ lọc số FIR
Chương 6: Tổng hợp bộ lọc số IIR
FITA- HUA
Chương 1: TÍN HIỆU & HỆ THỐNG RỜI RẠC
1.1 KHÁI NIỆM TÍN HIỆU VÀ HỆ THỐNG 
1.2 TÍN HIỆU RÒI RẠC
1.3 HỆ THỐNG TUYẾN TÍNH BẤT BIẾN
1.4 PHƯƠNG TRÌNH SAI PHÂN TUYẾN TÍNH HSH
1.5 SƠ ĐỒ THỰC HIỆN HỆ THỐNG
1.6 TƯƠNG QUAN CÁC TÍN HIỆU 
FITA- HUA
1.1 KHÁI NIỆM TÍN HIỆU VÀ HỆ THỐNG
1.1.1 KHÁI NiỆM VÀ PHÂN LOẠI TÍN HiỆU
Khái niệm tín hiệu
 Tín hiệu là biểu hiện vật lý của thông tin
 Tín hiệu được biểu diễn một hàm theo một hay nhiều 
biến số độc lập.
 Ví dụ về tín hiệu:
 Tín hiệu âm thanh, tiếng nói là sự thay đổi áp suất 
không khí theo thời gian
 Tín hiệu hình ảnh là hàm độ sáng theo 2 biến không gian 
và thời gian
 Tín hiệu điện là sự thay đổi điện áp, dòng điện theo thời 
gian
FITA- HUA
Phân loại tín hiệu
Tín hiệu
Tín hiệu liên 
tục
Tín hiệu rời rạc
Tượng 
tự
Lượng 
tử
Tín hiệu 
số
Tín hiệu lấy 
mẫu
FITA- HUA
 Tín hiệu liên tục: biểu diễn toán học có biến là liên tục
 Tín hiệu rời rạc: hàm biểu diễn có biến rời rạc
Tín hiệu 
tương 
tự
(analog)
Tín hiệu 
rời rạc
(lấy 
mẫu)
Tín hiệu 
lượng tử
Tín hiệu 
số
Hàm Liên tục Liên tục Rời rạc Rời rạc
Biến Liên tục Rời rạc Liên tục Rời rạc
Phân loại tín hiệu
FITA- HUA
Tín hiệu tương tự
xa(nTs)
n
0 Ts 2Ts 
xa(t)
t
0
xq(t)
t
0
9q
8q
7q
6q
5q
4q
3q
2q
q
Tín hiệu rời rạc
Tín hiệu lượng tử
xd(n)
n
0 Ts 2Ts 
9q
8q
7q
6q
5q
4q
3q
2q
q
Tín hiệu số
Phân loại tín hiệu
FITA- HUA
1.1.2 KHÁI NiỆM VÀ PHÂN LOẠI HỆ THỐNG
Khái niệm hệ thống
 Hệ thống đặc trưng toán tử T làm nhiệm vụ biến đổi tín 
hiệu vào x thành tín hiệu ra y
Tx y
Hệ thống
 Các hệ thống xử lý tín hiệu:
 Hệ thống tương tự: Tín hiệu vào và ra là tương tự
 Hệ thống rời rạc: Tín hiệu vào và ra là rời rạc
 Hệ thống số: Tín hiệu vào và ra là tín hiệu số
FITA- HUA
Phân loại các hệ thống xử lý tín 
hiệu rời rạc
• Ví dụ:
T là toán tử trễ :
Khi đó ta có : T[x(n)] = x(n-k) = y(n)
FITA- HUA
Phân loại các hệ thống xử lý tín hiệu rời rạc
 Hệ thống tuyến tính & phi tuyến
Tx(n)
Hệ thống
y(n)
 Hệ tuyến tính: T[a1x1(n)+a2x2(n)]=a1T[x1(n)]+a2T[x2(n)]
 Hệ phi tuyến: không thoả tính chất trên
 Hệ thống bất biến & thay đổi theo thời gian
 Hệ bất biến theo thời guan: nếu tín hiệu vào dịch đi k
đơn vị x(n-k) thì tín hiệu ra cũng dịch đi k đơn vị y(n-k)
 Hệ thay đổi theo thời gian: không thoả tính chất trên
FITA- HUA
 Hệ thống nhân quả & không nhân quả
 Hệ nhân quả: Tín hiệu ra chỉ phụ thuộc tín hiệu vào ở 
thời điểm quá khứ và hiện tại
 Hệ không nhân quả: không thoả tính chất trên
 Hệ thống ổn định & không ổn định
 Hệ thống ổn định: nếu tín hiệu vào bị chặn |x(n)| < ∞ 
thì tín hiệu ra cũng bị chặn |y(n)| < ∞ 
 Hệ thống không ổn định: không thoả tính chất trên
Phân loại các hệ thống xử lý tín hiệu rời rạc
FITA- HUA
1.3 TÍN HIỆU RỜI RẠC
1.3.1 BIỂU DIỄN TÍN HIỆU RỜI RẠC
 Tín hiệu rời rạc được biểu diễn bằng một dãy các giá trị
với phần tử thứ n được ký hiệu x(n).
Với Ts – chu kỳ lấy mẫu và n – số nguyên
Tín hiệu rời rạc
xs(nTs)  x(n)
Lấy mẫuTín hiệu liên tục
xa(t) Ts=1t = nTs
 Tín hiệu rời rạc có thể biểu diễn bằng một trong các
dạng: hàm số, dãy số & đồ thị.
FITA- HUA
 Dãy số: x (n )= {1↑ ,
1
2
,
1
4
,
1
8}  - Gốc thời gian n=0
 Đồ thị:
 Hàm số:
(0 .5 )n : 0≤ n≤ 3
0:
¿
x (n )= ¿{¿¿¿
¿
n còn lại
n
x(n)
0 1 2 3 4
1
0.5
0.25
0.125
FITA- HUA
1.2.2 MỘT SỐ DÃY RỜI RẠC CƠ BẢN
 Dãy xung đơn vị:
1 : n= 0
0 :
¿
δ( n)= ¿{¿¿¿
¿
n còn lại -2 -1 0 1 2
1
n
(n)
 Dãy nhảy bậc đơn vị:
1: n≥ 0
0 : n< 0
¿
u (n)= ¿{¿¿¿
¿ -2 -1 0 1 2 3
1
n
u(n)
 Dãy chữ nhật:
-2 -1 0 1 N-1 N
1
n
rectN(n)
1 : N-1≥ n≥ 0
0 :n
¿
rect N (n )= ¿{¿¿¿
¿
còn lại
FITA- HUA
 Dãy dốc đơn vị:
 Dãy sin:
s( n)= sin(ω0n )
n : n≥ 0
0 :n< 0
¿
r (n)= ¿{¿¿¿
¿
-2 -1 0 1 2 3
3
2
1 n
r(n)
0 1 2 3 4
1
n
s(n)
-1
0=2 /8
1.2.2 MỘT SỐ DÃY RỜI RẠC CƠ BẢN
FITA- HUA
 Dãy hàm mũ thực:
a
n
: n≥ 0
0 :n< 0
¿
e (n )= ¿{¿¿¿
¿
1.2.2 MỘT SỐ DÃY RỜI RẠC CƠ BẢN
FITA- HUA
1.2.3 CÁC PHÉP TOÁN TRÊN TÍN HiỆU
a. Cộng 2 dãy:
Cộng các mẫu 2 dãy với nhau 
tương ứng với chỉ số n
b. Nhân 2 dãy:
Nhân các mẫu 2 dãy với nhau 
tương ứng với chỉ số n
x1( n)= {1,2↑ ,3}; x2(n )= {2,3↑ ,4}Cho 2 dãy:
x1( n)+ x2( n)= {3,5↑ ,7}
x1( n) x2 (n)= {2, 6↑ ,12}
FITA- HUA
1.2.3 CÁC PHÉP TOÁN TRÊN TÍN HiỆU
x (n )= {1, 2↑ ,3}Cho dãy:
c. Dịch: x(n) ->x(n-no)
n0>0 – dịch sang phải
n0<0 – dịch sang trái
x (n− 1)= {1↑ ,2,3}; x (n+ 1)= {1,2, 3↑}
d. Gập tín hiệu: x(n) ->x(-n)
Lấy đối xứng 
qua trục tung
x (n )= {1, 2↑ ,3} ⇒x (− n )= {3, 2↑ ,1}
FITA- HUA
1.2.4 NĂNG LƯỢNG VÀ CÔNG SUẤT TÍN HiỆU
E x= ∑
n= − ∞
∞
x( n)
2
a. Năng lượng dãy x(n):
b. Công suất trung bình dãy x(n):
P x= Lim
N →∞
1
( 2N+ 1 )
∑
n= − N
N
x (n )2
Nếu ∞>Ex>0 thì x(n) gọi 
là tín hiệu năng lượng
Ở đây | | là modul 
Nếu ∞>Px>0 thì x(n) gọi 
là tín hiệu công suất
FITA- HUA
Ví dụ 1.2.1: Cho
Các tín hiệu trên tín hiệu nào là công suất, năng lượng? 
P x= Lim
N →∞
1
( 2N+ 1 )
∑
n= 0
9
rect 10(n )
2
E x= ∑
n= − ∞
∞
x( n)2
x (n )= rect 10(n ) ; y( n)= u(n )
= Lim
N →∞
10
(2N+ 1 )
= 0
P y= Lim
N →∞
1
(2N+ 1)
∑
n= 0
N
u( n)2
E y= ∑
n= − ∞
∞
y( n)
2
= Lim
N →∞
N+ 1
(2N+ 1 )
=
1
2
= ∑
n= 0
9
rect 10( n)
2= 10
= ∑
n= 0
∞
u (n)
2
= ∞
FITA- HUA
1.3 HỆ THỐNG TUYẾN TÍNH BẤT BiẾN
1.3.1 ĐÁP ỨNG XUNG CỦA HỆ THỐNG
a. Biểu diễn tín hiệu theo các xung đơn vị
x (n )= x(− 2)δ(n+ 2 )+ x(− 1)δ (n+ 1 )+ x(0 )δ(n )
 + x (1)δ ( n− 1 )+ x( 2)δ (n− 2)
x (n )= ∑
k= − ∞
∞
x (k )δ (n− k )Tổng quát:
Ví dụ 1.3.1: Biểu diễn dãy
theo các xung đơn vị 
x (n )= {1,2,3
↑
,4,5}
x (n )= 1δ (n+ 2 )+ 2δ( n+ 1 )+ 3δ (n )+ 4δ( n− 1 ) 
 + 5δ (n− 2 ) 
FITA- HUA
b. Đáp ứng xung của hệ thống tuyến tính bất biến
y (n )= T [x (n )]= T [∑k= − ∞
∞
x (k )δ(n− k )]
T
x(n) y(n)=T[x(n)]
Đáp ứng xung của hệ thống là đáp ứng khi tín hiệu vào
là dãy xung đơn vị, ký hiệu h(n)
(n) h(n)=T[(n)]
x (n )= ∑
k= − ∞
∞
x (k )δ (n− k )
= ∑
k= − ∞
∞
x ( k )T [δ (n− k )]
y (n )= ∑
k= − ∞
∞
x (k )h( n− k )= x ( n)h( n)
Với , suy ra:
Phép tích chập 2 
dãy x(n) và h(n)
FITA- HUA
c. Cách tìm tích chập
y (n )= x (n )h(n )= ∑
k= − ∞
∞
x ( k )h (n− k )
• Đổi biến số n ->k: x(k) & h(k)
• Gập h(k) qua trục tung, được h(-k)
• Dịch h(-k) đi n đơn vị: sang phải nếu n>0, sang trái 
nếu n<0 được h(n-k)
• Nhân các mẫu 2 dãy x(k) và h(n-k) và cộng lại
h(n)x(n) y(n)= x(n) * h(n)
 h(n) đặc trưng hòan tòan cho hệ thống trong miền n 
b. Đáp ứng xung của hệ thống tuyến tính bất biến
FITA- HUA
 Đổi biến số n->k:
 Gập h(k) qua trục tung:
 Xác định h(n-k):
Ví dụ 1.3.2: Cho 2 dãy
Hãy tìm y(n) = x(n)*h(n)
x (n )= {2
↑
,3,4}và h (n)= {1, 2
↑
,3}Ư
x (k )= {2
↑
,3,4}và h(k )= {1,2
↑
,3}Ư
h (− k )= {3, 2
↑
,1}Ư
-2 -1 0 1 2
3
n
h(-k)
-1 0 1 2 3
3
n
h(1-k)
0 1 2 3 4
3
n
h(2-k)
-1 0 1 2 3
3
n
x(k)
-3 -2 -1 0 1
3
n
h(-1-k)
0 1 2 3 4
3
n
h(3-k)
FITA- HUA
 Nhân các mẫu 2 dãy x(k) & h(n-k) và cộng lại được y(n)
h (1− k )= {3
↑
,2,1}Ư
h (2− k )= {0
↑
,3,2,1}Ư
h (3− k )= {0
↑
,0,3,2,1}Ư
  Ư
n>0 dịch 
sang phải
h (− 1− k )= {3,2,1
↑
}Ư
h (− 2− k )= {3,2,1, 0
↑
}Ư
  Ư
n<0 dịch 
sang trái
y (0)=∑
k
x (k )h (0− k )= 7Ư
y (1 )= ∑
k
x (k )h(1− k )= 16Ư
y (2)=∑
k
x (k )h (2− k )= 17Ư
y (3)= ∑
k
x (k )h(3− k )= 12
y (− 1 )= ∑
k
x( k )h(− 1− k )= 2
  Ư
y (− 2)=∑
k
x (k )h(− 1− k )= 0
  Ư
y (n )= {2, 7
↑
,16 ,17 ,12}Ơ
FITA- HUA
d. Các tính chất của tích chập
 Giao hoán: y(n) = x(n)*h(n)=h (n)*x(n)
 Kết hợp: y(n) = x(n)*[h1(n)*h2(n)]
= [x(n)*h1(n)]*h2(n)
 Phân phối: y(n) = x(n)*[h1(n) +h2(n)]
= x(n)*h1(n)+x(n)*h2(n)
FITA- HUA
1.3.2 TÍNH NHÂN QUẢ & ỔN ĐỊNH CỦA HỆ TTBB
Định lý 1: Hệ thống TTBB là nhân quả  h(n)=0: n<0
Ví dụ 1.3.3: Xét tính nhân quả các hệ thống cho bởi:
a) y(n)=x(n-1)+2x(n-2) b) y(n)=x(n+1)+2x(n)+3x(n-1)
Thay x(n)=(n), ta được biểu thức h(n) các hệ:
a) h(n)= (n-1)+2(n-2)
Do h(n)=0: n hệ nhân quả
b) h(n)=(n+1)+ (n)+3(n-1):
Do h(-1)=1 -> hệ không nhân quả
Định nghĩa : HTTTBB gọi là nhân quả nếu đáp 
ứng ra của nó ở một thời điểm bất kỳ n = no 
hoàn toàn độc lập với kích thích của nó ở thời 
điểm tương lai 
FITA- HUA
1.3.2 TÍNH NHÂN QUẢ & ỔN ĐỊNH CỦA HỆ TTBB
Định lý 2: Hệ thống TTBB là ổn định  ∑
n= − ∞
∞
h(n )< ∞
Ví dụ 1.3.4: Xét tính ổn định của hệ thống: h(n)=anu(n)
 |a| S=1/(1-|a|) : hệ ổn định
 |a| 1 ->S=∞: hệ không ổn định
S= ∑
n− ∞
∞
h (n)= ∑
n= − ∞
∞
anu( n)= ∑
n= 0
∞
a
n
Định nghĩa : HTTTBB gọi là ổn định, nếu đầu vào 
của dãy là giới hạn thì đáp ứng đầu ra cũng giới 
hạn. Tức là thì với n bất kỳ |)(| nx y (n)< ∞
FITA- HUA
1.4 PHƯƠNG TRÌNH SAI PHÂN TTHSH
1.4.1 PHƯƠNG TRÌNH SAI PHÂN TUYẾN TÍNH
∑
k= 0
N
ak (n ) y (n− k )= ∑
r= 0
M
br (n ) x (n− r )
Với: N – gọi là bậc của phương trình sai phân: N,M>0
ak(n), br(n) – các hệ số của phương trình sai phân
1.4.2 PHƯƠNG TRÌNH SAI PHÂN TUYẾN TÍNH HSH
∑
k= 0
N
ak y (n− k )= ∑
r= 0
M
br x (n− r )
Với: ak , br – không phụ thuộc vào biến số n
FITA- HUA
a. Nghiệm của PTSP thuần nhất: yh(n)
Giả thiết  n là nghiệm của PTSP thuần nhất:
Phương trình đặc trưng có dạng:
1.4.3 GiẢI PHƯƠNG TRÌNH SAI PHÂN TUYẾN TÍNH HSH
 Tìm nghiệm của PTSP thuần nhất: yh(n)
 Tìm nghiệm riêng của PTSP: yp(n)
 Nghiệm tổng quát của PTSP: y(n) = yh(n) + yp(n)
∑
k= 0
N
ak y (n− k )= 0
a0 α
N
+ a1 α
N − 1
+  + aN− 1α
1
+ aN = 0
FITA- HUAa. Nghiệm của PTSP thuần nhất (tt)
 Phương trình đặc trưng có nghiệm đơn 1, 2, N
 Phương trình đặc trưng có nghiệm 1 bội r
yh( n)= A1α1
n
+ A2 α2
n
+  + AN αN
n
yh( n)= (A0+ A1n+  + Ar− 1n
r− 1 )α1
n+ A2 α2
n+  + AN αN
n
b. Nghiệm riêng của PTSP: yp(n)
 Thường chọn yp(n) có dạng giống với x(n)
FITA- HUA
Ví dụ 1.4.1: Giải PTSP: y(n)- 3y(n-1) + 2y(n-2) = x(n) (*)
với n 0, biết y(n)=0: n<0 và x(n)=3n
 Tìm nghiệm của PTSP thuần nhất yh(n)
yh(n) là nghiệm của phương trình:
y(n) - 3y(n-1) + 2y(n-2) = 0
Phương trình đặc tính:  2 - 3 + 2 = 0 1=1; 2=2
 yh(n) = (A11
n + A22
n )
 Tìm nghiệm riêng của PTSP yp(n)
Chọn yp(n) có dạng yp(n)=B3
n , thay vào PTSP (*) :
B3n - 3B3n-1 +2 B3n-2 = 3n B = 9/2
 Nghiệm tổng quát của PTSP:
y(n) = yh(n) + yp(n) = (A11
n + A22
n )+ 4.5 3n
FITA- HUA
 Nghiệm tổng quát của PTSP:
y(n) = (A11
n + A22
n )+ 4.5 3n
Dựa vào điều kiện đầu: y(n)=0: n<0:
Từ: y(n)= 3y(n-1) - 2y(n-2) + x(n) với x(n)=3n
 y(0)=3y(-1)-2y(-2)+30 =1=A1+A2+4.5
 y(1)= 3y(0)-2y(-1)+31=6=A1+2A2+4,5.3
1
Vậy: y(n) = 0.5 1n - 4 2n + 4,5 3n : n 0
A1=0.5
A2=- 4
FITA- HUA1.5 SƠ ĐỒ THỰC HIỆN HỆ THỐNG 
y (n )= ∑
r= 0
M
br x (n− r ): a0= 1
 Hệ thống không đệ qui là hệ thống đặc trưng bởi PTSP 
TTHSH bậc N=0
1.5.1 HỆ THỐNG ĐỆ QUI & KHÔNG ĐỆ QUI
a. Hệ thống không đệ qui
h (r )= br ⇒y (n )= ∑
r= 0
M
h(r ) x( n− r )
 Hệ thống không đệ qui còn gọi là hệ thống có đáp ứng 
xung độ dài hữu hạn – FIR (Finite Impulse Response)
L [h(r )]= M+ 1
FITA- HUA
 Hệ thống không đệ qui luôn luôn ổn định do:
S= ∑
r= 0
∞
h(r )= ∑
r= 0
M
br< ∞
 Hệ thống đệ qui còn gọi là hệ thống có đáp ứng xung độ 
dài vô hạn – IIR (Infinite Impulse Response)
b. Hệ thống đệ qui
 Hệ thống đệ qui là hệ thống đặc trưng bởi PTSP TTHSH 
bậc N>0
∑
k= 0
N
ak y (n− k )= ∑
r= 0
M
br x (n− r )
 Hệ thống đệ qui có thể ổn định hoặc không ổn định
FITA- HUA
 n=0 -> y(0) =(0) + y(-1) = 1
 n=1 -> y(1)= (1) + ay(0) = a
 n=2 -> y(2)= (2) + ay(1) = a2
 n=3 -> y(3)= (3) + ay(2) = a3
.
Ví dụ 1.5.1: Xét tính ổn định của hệ thống cho bởi:
y(n) - ay(n-1) = x(n), biết y(n)=0:n<0
h (n)= y (n)x (n)= δ (n) ⇒h(n )= y (n )= δ (n )+ ay (n− 1 )
h (n)= a
n
: n≥ 0
S= ∑
n= 0
∞
h(n )= ∑
n= 0
∞
a
n
:  |a| S=1/(1-|a|): hệ ổn định
 |a| 1 ->S=∞: hệ không ổn định
FITA- HUA1.5.2 SƠ ĐỒ THỰC HIỆN HỆ THỐNG
a. Các phần tử thực hiện hệ thống
 Bộ trễ: Dx(n) y(n)=x(n-1)
 Bộ cộng:
x1(n)
+x2(n)
xM(n)
y (n )= ∑
i= 1
M
xi (n)
 Bộ nhân: x(n) y(n) = x(n)
FITA- HUA
b. Sơ đồ thực hiện hệ thống không đệ qui
y (n )= ∑
r= 0
M
br x (n− r )
= b0 x (n )+ b1 x (n− 1)+  + bM x( n− M )
+
D
+
+
D
D +
x(n) y(n)
b0
b1
b2
bM
FITA- HUA
Ví dụ 1.5.2: Hãy vẽ sơ đồ thực hiện hệ thống cho bởi:
y(n) = x(n) - 2x(n-1) + 3x(n-3)
+x(n) y(n)
D
+
- 2
D
D
3
FITA- HUA
c. Sơ đồ thực hiện hệ thống đệ qui
y (n )= ∑
r= 0
M
br x (n− r )− ∑
k= 1
N
ak y( n− k ): a0= 1
+
D
+
+
D
D +
x(n) y(n)
b0
b1
b2
bM
+
D
D
D
- a1
- a2
- aN
+
+
+
FITA- HUA
D3
+
Ví dụ 1.5.3: Hãy vẽ sơ đồ thực hiện hệ thống cho bởi:
y(n) - 3y(n-1) + 2y(n-2) = 4x(n) - 5x(n-2)
y(n) = 4x(n) - 5x(n-2) + 3y(n-1) - 2y(n-2)
+
D
D
x(n) y(n)
4
- 5
+
D- 2
FITA- HUA1.6 TƯƠNG QUAN CÁC TÍN HIỆU
x(n)
y(n)
 Nếu có mục tiêu:
y(n) = A x(n-n0) + (n)
 Nếu không có mục tiêu:
y(n) = (n)
Với: A - hệ số suy hao
(n) - nhiễu cộng
 Tương quan các tín hiệu dùng để
so sánh các tín hiệu với nhau
FITA- HUA1.6.1 TƯƠNG QUAN CHÉO 2 TÍN HIỆU 
r xy( n)= ∑
m= − ∞
∞
x (m) y (m− n )
1.6.2 TỰ TƯƠNG QUAN TÍN HIỆU 
r xx( n)= ∑
m= − ∞
∞
x (m) x (m− n )
 Tương quan chéo 2 dãy năng lượng x(n) & y(n) định nghĩa:
 Tự tương quan của dãy x(n) được định nghĩa:
 Tự tương quan của dãy x(n) nhận giá trị lớn nhất tại n=0