Bài giảng Xử lý số tín hiệu (Digital Signal Processing) - Chương 7: Thiết kế bộ lọc số FIR

Xử lý số tín hiệu  
Chương 7: Thiết kế bộ lọc số FIR 
Khái niệm 
Thiết kế bộ lọc: xây dựng hàm truyền thỏa đáp ứng tần số cho trước. 
Thiết kế bộ lọc FIR: đầu ra là vector đáp ứng xung h = [h 0 , h 1 , h 2 , . ,h N ] 
Thiết kế bộ lọc IIR: đầu ra là các vector hệ số tử số và mẫu số của hàm truyền b = [b 0 , b 1 , , b N ] và a = [1, a 1 , a 2 ,, a N ] 
Khái niệm 
Thiết kế bộ lọc: 
Đáp ứng tần số mong muốn H( ) 
Giải thuật thiết kế 
Hàm truyền H(z ) 
Đáp ứng xung h = [h 0 , h 1 , h 2 , , h M ] 
Bộ lọc FIR 
Vector hệ số tử: b = [b 0 , b 1 , b 2 , , b N ] 
Vector hệ số mẫu: a = [a 0 , a 1 , a 2 , , a N ] 
1 
1/2 
|H()| 2 
0 
 /2 
 0 
 
Bộ lọc IIR 
Bộ lọc FIR v.s. Bộ lọc IIR 
FIR 
Ưu điểm: 
Pha tuyến tính 
Ổn định (không có các cực) 
Nhược điểm: 
Để có đáp ứng tần số tốt  chiều dài bộ lọc N lớn  tăng chi phí tính toán 
IIR 
Ưu điểm: 
Chi phí tính toán thấp 
Thực hiện hiệu quả theo kiểu cascade 
Nhược điểm: 
Có sự bất ổn định do quá trình lượng tử hóa các hệ số có thể đẩy các cực ra ngoài vòng tròn đơn vị 
Không thể đạt pha tuyến tính trên toàn khoảng Nyquist 
Thích hợp cho thiết kế các mạch lọc có đáp ứng tần số đơn giản, như các mạch lọc lý tưởng sau:. 
D( ) 
Chắn dải  (Band stop filter – BSF) 
(Band rejection filter – BRF ) 
- b 
 b 
- 
 a 
- a 
0 
 
D( ) 
Thông dải  (Bandpass filter – BPF) 
- b 
 b 
- 
- a 
 a 
0 
 
- 
D( ) 
Thông thấp  (Lowpass filter – LPF) 
- c 
 c 
0 
 
D( ) 
Thông cao (High pass filter – HPF) 
- c 
 c 
- 
0 
 
Phương pháp cửa sổ 
Phương pháp cửa sổ 
D( )/j 
Hilbert 
-1 
- 
0 
1 
 
D( )/j 
Sai phân 
- 
0 
 
Các bước thực hiện: 
Phương pháp cửa sổ 
Đáp ứng tần số lý tưởng D( ) 
DTFT ngược 
Đáp ứng xung lý tưởng d(n) 
(2 phía, dài vô hạn) 
Hàm cửa sổ w(n) 
Chiều dài bộ lọc N = 2M + 1 
d(k)k = -M, , M 
Làm trễ M mẫu 
h(k) = d(k - M) 
(nhân quả, chiều dài N) 
Các bước thực hiện: 
Phương pháp cửa sổ 
Đáp ứng tần số lý tưởng 
- 
D( ) 
- c 
 c 
0 
 
Đáp ứng xung lý tưởng 
DTFT ngược 
Cửa sổ chữ nhật chiều dài 41 
Các bước thực hiện: 
Phương pháp cửa sổ 
Đáp ứng xung lý tưởng 
Biến đổi DTFT ngược: 
Ví dụ: Bộ lọc thông thấp, tần số cắt ω c 
Phương pháp cửa sổ 
- 
D( ) 
- c 
 c 
0 
 
Biến đổi DTFT ngược của D( ω ): 
Phương pháp cửa sổ 
Phương pháp cửa sổ 
Mạch lọc thông cao: 
Mạch lọc thông dải: 
Mạch lọc chắn dải: 
Nhận xét: với các mạch lọc trên: 
Đáp ứng xung là hàm chẵn theo k, thực (đối xứng) 
Đáp ứng tần số thực và chẵn theo ω 
Phương pháp cửa sổ 
Mạch lọc sai phân lý tưởng 
Mạch lọc Hilbert: 
Nhận xét: với các mạch lọc trên: 
Đáp ứng xung là hàm lẻ theo k và thực (phản đối xứng) 
Đáp ứng tần số ảo và lẻ theo ω 
Cửa sổ chữ nhật 
Chọn chiều dài N = 2M + 1 M = (N – 1)/2 
Tính N hệ số d(k) 
Làm trễ để tạo nhân quả 
Ví dụ: Xđ đáp ứng xung cửa sổ chữ nhật, chiều dài 11, xấp xỉ bộ lọc thông thấp lý tưởng tần số cắt ω C = π /4 
 N = 11 M = 5 
Bộ lọc thông thấp: 
Cửa sổ chữ nhật 
Làm trễ tạo nhân quả: 
Hàm truyền của bộ lọc vừa thiết kế: 
Ta có: 
Mà: 
Đáp ứng tần số của bộ lọc được thiết kế: 
Đáp ứng tần số 	 
Trường hợp d(k) thực & đối xứng: 
	=> là thực & chẵn theo ω 
	Đặt : 
 Thật vậy: 
Đặc tính pha tuyến tính	 
Trường hợp d(k) thực & đối xứng: 
Đáp ứng biên độ: 
Đáp ứng pha: 
Pha tuyến tính theo ω theo từng đoạn 
Khi đổi dấu => pha thay đổi π 
Đặc tính pha tuyến tính	 
Trường hợp d(k) thực & phản đối xứng: 
	=> là thuần ảo 
	Đặt : 
	=> 
Đặc tính pha tuyến tính	 
Trường hợp d(k) thực & đối xứng: 
Đáp ứng biên độ: 
Đáp ứng pha: 
Pha tuyến tính theo ω theo từng đoạn 
Khi đổi dấu => pha thay đổi π 
Đặc tính pha tuyến tính	 
Chất lượng của bộ lọc 
Mong muốn: 
Thực tế: 
N tăng: tại vùng liên tục của D( ω ) 
Tại vùng chuyển tiếp: Hiện tượng Gibbs: không thể giảm độ gợn 
Để giảm độ gợn do hiện tượng Gibbs 
Cửa sổ Hamming chiều dài N : 
Cửa sổ Hamming 
Cửa sổ Hamming 
So sánh với cửa sổ chữ nhật (N=81): 
Cửa sổ Kaiser 
Đáp ứng tần số thực tế: 
Dải chắn (Stop band) 
Dải thông (pass band) 
Bộ lọc lý tưởng mong muốn |D(f)| 
Bộ lọc thiết kế được |H(f)| 
f C 
f Chắn 
f stop 
f pass 
A stop 
A pass 
δ stop 
1+ δ pass 
1- δ pass 
Cửa sổ Kaiser 
 I 0 (x): hàm Bessel sửa đổi loại 1, bậc 0. 
 α : hệ số hình dạng 
 N = 2M + 1: chiều dài cửa sổ 
Cửa sổ Kaiser 
Các bước thiết kế mạch lọc thông thấp, biết { f stop , f pass , A stop , A pass } 
	1. Tính f c và Δ f 
	 Tính ω C : 
Cửa sổ Kaiser 
2. Tính δ pass và δ stop : 
3. Tính δ = min( δ pass , δ stop ) 
 Suy ra: 
	(dB)	 
Cửa sổ Kaiser 
4. Tính α và N: 
	 với	 
 Làm tròn N lên số nguyên lẻ gần nhất 
Cửa sổ Kaiser 
5. M = (N – 1)/2 
Tính hàm cửa sổ w(n), n = 0, 1, , N - 1 
6. Tính các hệ số đáp ứng xung: 
	 h(n) = w(n)d(n – M)