Bài giảng Xử lý số tín hiệu - Chương 6: Tổng hợp bộ lọc số IIR

Chương 6: TỔNG HỢP BỘ LỌC SỐ IIR
6.1 KHÁI NiỆM TỔNG HỢP BỘ LỌC SỐ IIR 
6.2 CÁC PHƯƠNG PHÁP TỔNG HỢP LỌC SỐ TỪ BỘ 
LỌC TƯƠNG TỰ
6.3 CÁC BỘ LỌC TƯƠNG TỰ THÔNG THẤP
6.4 BIẾN ĐỔI TẦN SỐ
1
6.1 KHÁI NiỆM TỔNG HỢP BỘ LỌC SỐ IIR
• Tương tự với lọc số FIR, tổng hợp bộ lọc số IIR chỉ xét đến 
quá trình xác định các hệ số bộ lọc sao cho thỏa mãn các 
chỉ tiêu kỹ thuật trong miền tần số: p, s, P ,S
• Các phương pháp chính để chuyển từ lọc tương tự sang số:
+ Phương pháp bất biến xung
+ Phương pháp biến đổi song tuyến
+ Phương pháp tương đương vi phân
• Nội dung các phương pháp để tổng hợp bộ lọc số IIR trên
cơ sở bộ lọc tương tự, tức là tổng hợp bộ lọc tương tự
trước, sau đó dùng các phương pháp chuyển đổi tương
đương một cách gần đúng từ bộ lọc tương tự sang bộ số.
Nội dung tổng hợp các bộ lọc tương tự xem như đã được
học trong các học phần trước.
2
Ví dụ về cấu trúc mạch lọc số và mạch lọc tương tự
x(n) y(n)
+
z-1b
R
C
x(t) y(t)
Bộ lọc số thông thấp:
 Biến thời gian rời rạc
 Phương trình sai phân:
y(n) - by(n-1) = x(n)
 Mô tả trong mặt phẳng Z
Bộ lọc thông thấp analog:
 Biến thời gian liên tục
 Phương trình vi phân:
y(t) + RC.dy(t)/dt = x(t)
 Mô tả trong mặt phẳng S
• Có 3 phương pháp tổng hợp bộ lọc tương tự:
 Butterworth
 Chebyshev
 Elliptic
3
6.2.1 PHƯƠNG PHÁP BẤT BiẾN XUNG
 
N
i ci
i
a
ss
k
sH
1 )(
• Giả thiết hàm truyền đạt Ha(s) của bộ lọc tương tự có dạng:
• Hàm truyền đạt H(z) của bộ lọc số được chuyển tương
đương theo phương pháp bất biến xung sẽ là:
 
N
i
Ts
i
ze
k
zH
sci
1
1)1(
Nội dung phương pháp là xác định đáp ứng xung h(n) của
bộ lọc số bằng cách lấy mẫu đáp ứng xung của bộ lọc
tương tự ha(t):
nTstas
thnTh
 )(
6.2 CÁC PHƯƠNG PHÁP TỔNG HỢP LỌC SỐ 
TỪ LỌC TƯƠNG TỰ
4
SO SÁNH TÍNH ỔN ĐỊNH 
Bộ lọc tương tự Bộ lọc số
• Nếu tất cả các điểm cực
của Ha(s) nằm bên trái mặt
phẳng s thì hệ sẽ ổn định
• Nếu tất cả các điểm cực của
H(z) nằm bên trong vòng tròn
đơn vị thì hệ sẽ ổn định
0


sci
 Tính ổn định của bộ lọc
0
Im(z)
Re(z)1zci
5
 
N
i ci
i
a
ss
k
sH
1 )(
 
N
i
Ts
i
ze
k
zH
sci
1
1)1(
• Các điểm cực của Ha(s) cũng chính là các điểm cực H(z):
Hay các điểm cực sci=  + j của Ha(s) lọc tương tự được
chuyển thành các điểm cực zci= e
sciTs của H(z) lọc số:
 ssci TjTs
ci eez
   jci
TjT ezee ss
s
T
ci
T
ez s


với:
Nếu:  <0 haycác điểm cực của Ha(s) sẽ nằm bên trái mặt
phẳng s /zci / <1 hay các điểm cực của H(z) sẽ nằm bên
trong vòng tròn đơn vị. Như vậy điều kiện ổn định vẫn được
đảm bảo khi chuyển Ha(s) thành H(z)
6
0Im(z)
Re(z)1zci
0


sci
 >0 < 0
- /Ts
 /Ts
7
•Ví dụ 6.2.1: Hãy chuyển sang mạch số bằng phương
pháp bất biến xung, biết mạch điện tương tự cho như sau:
)()/1(
/1
)(
)(
)(
1
1
1
2
c
a
ss
k
RCs
RC
sU
sU
sH
R
CU1 U2
• Hàm truyền đạt của mạch tương tự:
RC
s
RC
k c
1
 ;
1
11 Với:
 hàm truyền đạt của mạch số tương ứng là:
)1(
/1
)1(
)(
1
11
1
1
ze
RC
ze
k
zH
s
sc T
RC
Ts
8
)1(
)1(
/1
)(
1
1
0
1
1 
za
b
ze
RC
zH
sT
RC
sT
RCe
RC
b
1
10 a ;
1 
 Với:
)()1()( 01 nxbnyany Phương trình sai phân:
x(n) y(n)
b0
+
z-1
- a1
Sơ đồ thực hiện hệ thống:
9
6.2.2 PHƯƠNG PHÁP BiẾN ĐỔI SONG TUYẾN
)1(
)1(
.
2
1
1
z
z
T
s
s
 Hàm truyền đạt của bộ lọc số H(z) có thể nhận được từ 
hàm truyền đạt bộ lọc tương tự Ha(s), nếu ta thay:
 Hay quan hệ giữa các hàm truyền đạt Ha(s) và H(z) là:
Nội dung phương pháp là phép ánh xạ mặt phẳng s của bộ
lọc tương tự sang mặt phẳng z của bộ lọc số.
)1(
)1(
.
2
1
1)()(
z
z
T
s
a
s
sHzH
10
•Ví dụ 6.3.1: Hãy chuyển sang mạch số bằng phương
pháp biến đổi song tuyến, biết mạch điện tương tự cho:
1
1
)(
)(
)(
1
2
RCssU
sU
sHa
R
CU1 U2
• Hàm truyền đạt của mạch tương tự:
 hàm truyền đạt của mạch số tương ứng là:
1
1
1
1
)
2
(11
)1(
)1(2
.
1
)(
z
K
RCT
z
K
T
K
T
z
z
T
RC
zH
s
ss
s
sTRCK 2Với:
11
1
1
1
10
1
)(
za
zbb
zH
K
RCT
a
K
T
b
K
T
b sss
2
 ; ; 110
 Với:
)1()()1()( 101 nxbnxbnyanyPhương trình sai phân:
Sơ đồ thực hiện hệ thống:
x(n) y(n)
b0
+
z-1
- a1
+
z-1
b1
12
6.2.3 PHƯƠNG PHÁP TƯƠNG ĐƯƠNG VI PHÂN
sT
z
s
11 
 Hàm truyền đạt của bộ lọc số H(z) có thể nhận được từ 
hàm truyền đạt bộ lọc tương tự Ha(s), nếu ta thay:
 Hay quan hệ giữa các hàm truyền đạt Ha(s) và H(z) là:
Nội dung phương pháp là chuyển phương trình vi phân của
bộ lọc tương tự tương đương thành phương trình sai phân
của bộ lọc số.
sT
z
s
a sHzH 11)()( 
13
•Ví dụ 6.4.1: Hãy chuyển sang mạch số bằng phương
pháp tương đương vi phân, biết mạch điện tương tự cho:
1
1
)(
)(
)(
1
2
RCssU
sU
sHa
R
CU1 U2
• Hàm truyền đạt của mạch tương tự:
 hàm truyền đạt của mạch số tương ứng là:
1
1
1
/
1
)1(
.
1
)(
z
K
RC
KT
T
z
RC
zH s
s
sTRCK Với:
14
1
1
0
1
)(
za
b
zH
K
RC
a
K
T
b s 10 ;Với:
)()1()( 01 nxbnyany Phương trình sai phân:
Sơ đồ thực hiện hệ thống:
x(n) y(n)
b0
+
z-1
- a1
15
1/Ha(j)/
0 p s 
1-p
s
6.3 CÁC BỘ LỌC TƯƠNG TỰ THÔNG THẤP 
 Đáp ứng biên độ phải thỏa mãn điều kiện:
Trong dải thông: 1- ≤ /H(j)/ ≤1 hay 1/(1+ 2)1/2 ≤ /H(j)/ ≤1
Trong dải chắn: /H(j)/ ≤ p hay /H(j)/ ≤ 1/A 
6.3.1 QUI ĐỊNH ĐỐI VỚI CÁC BỘ LỌC THÔNG THẤP 
TƯƠNG TỰ 
1
/Ha(j)/
0 p s 
1/A
2
1
1 
16
 Bộ lọc tương tự Butterworth là bộ lọc thông thấp có đáp 
ứng biên độ giảm đơn điệu trong dải thông và dải chắn. 
Bình phương đáp ứng biên độ được định nghĩa: 
2
2
1
1
a N
c
H ( j )
/

 
N - bậc của bộ lọc 
c - tần số cắt
+ /H(0)/2 =1
+ /H(c)/
2 =1/2 
+ /H()/2 ->0 khi N-> 
8
1
/Ha(j)/
2
N=2
N=3
N=4
0 c 
1/2
6.3.2 BỘ LỌC BUTTERWORTH
17
6.3.3 BỘ LỌC CHEBYSHEV
 Bộ lọc tương tự Chebyshev có 2 loại:
- Loại 1: đáp ứng biên độ gợn sóng trong dải thông, giảm 
đơn điệu trong dải chắn
- Loại 2: đáp ứng biên độ giảm đơn điệu trong dải thông, 
gợn sóng trong dải chắn 
2
2 2
1
1
a
N c
H ( j )
T /

 
a. Bộ lọc Chebyshev loại 1
Bình phương đáp ứng biên độ được định nghĩa:
• - Thông số xác định độ gợn sóng trong dải thông 
• TN(/p) - Đa thức Chebyshev bậc N
• c - Tần số cắt
18
cos N 
ch N x 
p p
N p
p p
arccos / :
T ( / )
arcch / :
   
 
   
o Đa thức Chebyshev TN(/p) bậc N được định nghĩa:
/TN(/p / ≤ 1 khi // ≤ p
/TN(/p)/ tăng đơn điệu khi //>p
Do
: gợn sóng khi // ≤ p
/Ha( / giảm đơn điệu khi //>p
2
2
1
1
1
aH ( )
1
2
1
1
1
  
o Thông số liên quan đến độ gợn trong dải thông:
2
2
1
1
1
1 
19
Đáp ứng biên độ của bộ lọc Chebyshev loại 1
1
/Ha(j)/
2
0 c 
2
1
1 
N lẽ 
(N=5)
1
/Ha(j)/
2
0 c 
2
1
1 
N chẵn
(N=6)
20
2
22
1
1
a
N s c N s
H ( j )
T / T /

   
b. Bộ lọc Chebyshev loại 2
Bình phương đáp ứng biên độ được định nghĩa:
• N - Bậc của bộ lọc
• - Thông số xác định độ gợn sóng trong dải thông 
• TN - đa thức Chebyshev bậc N. 
• c - Tần số cắt
• s - Tần số giới hạn dải chắn
21
Đáp ứng biên độ của bộ lọc Chebyshev loại 2

N lẽ 
(N=5)
1
/Ha(j)/
2
1/A

N chẵn 
(N=6)
1
/Ha(j)/
2
1/A
22
6.3.4 BỘ LỌC ELLIPTIC
2
2 2
1
1
a
N c
H ( )
U /

 
 Bộ lọc Elliptic là bộ lọc thông thấp có đáp ứng biên độ
gợn sóng trong dải thông và dải chắn.
Bình phương đáp ứng biên độ được định nghĩa:
• c - Tần số cắt
• UN(/p) - Hàm Jacobian 
elliptic 
8
1
/Ha()/
2
N=4
0 p s 
23
6.4.1 BiẾN ĐỔI TẦN SỐ TRONG MiỀN TƯƠNG TỰ
 Ở phần trước chúng ta đã xem xét các dạng bộ lọc tương
tự thông thấp mà chưa đề cập đến các bộ lọc thông cao,
thông dải, chắn dải.
 Thực chất chúng ta không cần phương pháp riêng để tổng
hợp các bộ lọc này mà chỉ cần dùng phương pháp biến
đổi tần số để chuyển gần đúng từ bộ lọc thông thấp ban
đầu sang thông thấp, thông cao, thông dải và chắn dải với
các chỉ tiêu mong muốn.
 Gọi : Ha(s) – Hàm truyền đạt của lọc tương tự thông thấp
Ha(s’) – Hàm truyền đạt của lọc tương tự mong muốn
Nghĩa là sẽ thay thế biến s bởi 1 hàm theo biến số s’
s = f(s’)
6.4 BiẾN ĐỔI TẦN SỐ
24
Bảng biến đổi tần số từ bộ lọc thông thấp cơ bản
Biến đổi tần 
số
s = f(s’) Tần số cắt mới
Thông thấp
Thông cao
Thông dải
Chắn dải
c
'
c
s s'


'
c cs
s'
 
2
1 2
2 1
' '
c c
c ' '
c c
s'
s
s'( )
 

 
2 1
2
1 2
' '
c c
c ' '
c c
s'( )
s
s'
 

 
'
c
'
c
1 2
' '
c c ,  
1 2
' '
c c ,  
25
6.4.2 BiẾN ĐỔI TẦN SỐ TRONG MiỀN SỐ
 Cũng giống như các bộ lọc tương tự, các bộ lọc số thông
thấp, thông cao, thông dải, chắn dải mong muốn sẽ nhận
được bằng cách biến đổi tần số từ mạch lọc số thông thấp
 Gọi : Ha(z
-1) – Hàm truyền đạt của lọc số thông thấp
Ha(z’
-1) – Hàm truyền đạt của lọc số mong muốn
Nghĩa là sẽ thay thế biến z-1 bởi 1 hàm theo biến số z’-1
z-1 = f(z’-1)
26
Bảng biến đổi tần số từ bộ lọc thông thấp cơ bản
Biến đổi tần 
số
z-1 = f(z’-1) Các thông số thiết kế
Thông thấp
’c - tần số cắt mới
Thông cao
’c - tần số cắt mới
1
1
11
'
'
z
z
z
1
1
11
'
'
z
z
z
2
2
'
c c
'
c c
sin [( ) / ]
sin [( ) / ]
 
 
2
2
'
c c
'
c c
cos[( ) / ]
cos[( ) / ]
 
 
27
Bảng biến đổi tần số từ bộ lọc thông thấp cơ bản
Biến đổi tần 
số
z-1 = f(z’-1)
và các thông số thiết kế
Thông dải
’c1 và ’c2 – các tần số cắt mới
Chắn dải
’c1 và ’c2 – các tần số cắt mới
2 1
2 1
2
2
' '
c c
' '
c c
cos[( ) / ]
cos[( ) / ]
 
 
2 1 2 2
' '
c c ccotg[( ) / ].tg( / )    
   
   
2 1
1
2 1
2 1 1 1
1 1 2 1 1
' '
' '
z / ( ) z ( ) / ( )
z
( ) / ( ) z / ( ) z
    
   
1 2
1 2
2
2
' '
c c
' '
c c
cos[( ) / ]
cos[( ) / ]
 
 
2 1 2 2
' '
c c ctg[( ) / ].tg( / )    
   
   
2 1
1
2 1
2 1 1 1
1 1 2 1 1
' '
' '
z / ( ) z ( ) / ( )
z
( ) / ( ) z / ( ) z
   
  
28