Bài giảng Xử lý số tín hiệu - Chương 5: Tổng hợp bộ lọc số FIR

Chương 5: TỔNG HỢP BỘ LỌC SỐ FIR
5.1 KHÁI NiỆM TỔNG HỢP BỘ LỌC SỐ FIR 
5.2 ĐÁP ỨNG BIÊN ĐỘ CÁC LỌC SỐ LÝ TƯỞNG
5.3 CÁC TÍNH CHẤT TỔNG QUÁT LỌC SỐ FIR
5.4 CÁC ĐẶC TRƯNC BỘ LỌC FIR PHA TUYẾN TÍNH
5.5 TỔNG HỢP LỌC SỐ FIR = P2 CỬA SỔ
5.6 TỔNG HỢP LỌC SỐ FIR = P2 LẤY MẪU TẦN SỐ
5.7 TỔNG HỢP LỌC SỐ FIR = P2 LẶP (TỐI ƯU)
1
5.1 KHÁI NIỆM TỔNG HỢP BỘ LỌC SỐ FIR
• Lọc số là hệ thống làm biến dạng sự phân bố tần số các 
thành phần của tín hiệu theo các chỉ tiêu cho trước.
Các giai đoạn của quá trình tổng hợp lọc số:
- Xác định h(n) sao cho thỏa mãn các chỉ tiêu kỹ thuật đề ra
- Lượng tử hóa các thông số bộ lọc
- Kiểm tra, chạy thử trên máy tính
• Trong chương trình Tổng hợp Lọc số chỉ xét đến giai đọan
đầu, tức là xác định h(n) sao cho thỏa mãn các chỉ tiêu kỹ
thuật đề ra, thông thường các chỉ tiêu cho trước là các
thông số của Đáp ứng tần số.
2
ĐÁP ỨNG BIÊN ĐỘ CỦA BỘ LỌC SỐ THÔNG THẤP

0
s
1- p
1+ p
P s p
1
H(ej) Các chỉ tiêu kỹ thuật:
p – độ gợn sóng dải thông
s – độ gợn sóng dải chắn
P – tần số giới hạn dải thông
S – tần số giới hạn dải chắn 
Các phương pháp tổng hợp lọc số FIR:
Phương pháp cửa sổ
Phương pháp lấy mẫu tần số
Phương pháp tối ưu
3
1-p - c 0 c p 
H(ej)
a) Lọc thông thấp lý tưởng
1
-p - c 0 c p 
H(ej)
a) Lọc thông cao lý tưởng
1
-p -c2 -c1 0 c1 c2 p 
H(ej)
a) Lọc thông dải lý tưởng
1
-p -c2 -c1 0 c1 c2 p 
H(ej)
a) Lọc chắn dải lý tưởng
5.2 ĐÁP ỨNG BIÊN ĐỘ CÁC LỌC SỐ LÝ TƯỞNG
: Dải thông : Dải chắnKý hiệu:
4
Ví dụ 5.2.1: Tìm h(n) của lọc thông thấp lý tưởng, biết:
p
p
 
p
deeHnh njj )(
2
1
)( 
c
c
de nj


 
p2
1
khác :0
2
:1
 )(

p
 ccjeH
n
n
c
c

sin
2
1
1/p
1/2
h(n)
0 1 2 
n
1/5p
-1/3p
Đáp ứng xung của 
lọc số lý tưởng:
- Có độ dài vô hạn
- Không nhân quả
5
5.3 CÁC TÍNH CHẤT TỔNG QUÁT LỌC SỐ FIR
 
1
0
)()(
N
nn
nhnh
a. Bộ lọc số FIR luôn ổn định 
do độ dài L[h(n)]=N: 
b. Nếu h(n) không nhân quả, dịch h(n) sang phải n0 đơn vị 
thành h(n-n0), nhưng đáp ứng biên độ vẫn không đổi: 
])([arg
0
)(arg
00 )()()(
)()()( 




neHjjjjnF
eHjjjF
j
j
eeHeHennh
eeHeHnh
   
  
6
5.4 CÁC ĐẶC TRƯNG CỦA BỘ LỌC SỐ FIR 
CÓ PHA TUYẾN TÍNH
 Đáp ứng tần số của bộ lọc: )()()(  jjj eeAeH 
 


 
d
d )(
 Thời gian lan truyền tín hiệu:
  )(
 Để thời gian lan truyền 
không phụ thuộc vào  thì:
7
Trường hợp 1:  = 0, () = - 
 Đáp ứng tần số của bộ lọc:

1
0
)( )()()()(
N
n
njjjjjj enheeAeeAeH  
   
1
0
sincos)(sincos)(
N
n
j njnnhjeA   

1
0
cos)(cos)(
N
n
j nnheA  

1
0
sin)(sin)(
N
n
j nnheA  
8

1
0
1
0
cos)(
sin)(
cos
sin
N
n
N
n
nnh
nnh


 
 

1
0
1
0
sin)(coscos)(sin
N
n
N
n
nnhnnh   
  0sincoscossin)(
1
0
 
N
n
nnnh   
   0sin)(
1
0
 
N
n
nnh  
)nN(h)n(h
N
1
2
1
9
•Ví dụ 5.4.1: Hãy vẽ đồ thị h(n) của lọc số FIR có pha tuyến tính
 ()= - :
a) N=7; h(0)=1; h(1)=2; h(2)=3; h(3)=4
b) N=6; h(0)=1; h(1)=2; h(2)=3
• Tâm đối xứng: =(N-1)/2=3
• h(n) = h(6-n)
• h(0)=h(6)=1; h(1)=h(5)= 2
• h(2)=h(4)=3
0 1 2 3 4 5 6 7
4
3
2
1
n
h(n)
0 1 2 3 4 5 6 7
3
2
1
n
h(n)
• Tâm đối xứng: =(N-1)/2=2.5
• h(n) = h(5-n)
• h(0)=h(5)=1; h(1)=h(4)=2;
• h(2)=h(3)=3
10
Trường hợp 2:  0, () = -  + 
 Tương tự trường hợp 1, ta được:
   0sin)(
1
0
 
N
n
nnh  
)nN(h)n(h
N
1
2
1
Bộ lọc loại 1: h(n) đối xứng, N lẽ
Bộ lọc loại 2: h(n) đối xứng, N chẵn
Bộ lọc loại 3: h(n) phản đối xứng, N lẽ
Bộ lọc loại 4: h(n) phản đối xứng, N chẵn
11
5.5 PHƯƠNG PHÁP CỬA SỔ
5.5.1 KHÁI NiỆM
 Đáp ứng xung h(n) của lọc số lý tưởng là không nhân 
quả và có độ dài vô hạn không thể thực hiện được 
về mặt vật lý.
 Để bộ lọc thiết kế được thì đáp ứng xung hd(n) phải là 
nhân quả và hệ ổn định, bằng cách:
- Dịch h(n) đi n0 đơn vị -> h(n-n0): nhân quả
- Giới hạn số mẫu của h(n): hd(n)= h(n-n0). w(n)N 
-> hệ ổn định. 
12
5.5.2 MỘT SỐ HÀM CỬA SỔ 
 :0
01-N :1
)(
n
n
nwR
còn lại
 Cửa sổ chữ nhật:
 Cửa sổ tam giác (Bartlett):
:0
1-N
2
1-N
:
1
2
2
2
1-N
0 :
1
2
)( n
N
n
n
N
n
nwT
còn lại
0 1 (N-1)/2 N-1 
1
n
wT(n)
-1 0 1 2 N-1 N
1
n
wR(n)
13
 : 0
10 :
1
2
cos5,05,0
)(
n
Nn
N
n
nwHan
p
còn lại
 Cửa sổ Hanning:
 : 0
10 :
1
2
cos46,054,0
)(
n
Nn
N
n
nwHam
p
còn lại
 Cửa sổ Hamming:
0 1 (N-1)/2 N-1 
1
n
WHan(n)
0 1 (N-1)/2 N-1 
1
n
WHam(n)
14
 : 0
10 :
1
4
cos08,0
1
2
cos5,042,0
)(
n
Nn
N
n
N
n
nwB
pp
còn lại
 Cửa sổ Blackman:
0 1 (N-1)/2 N-1 
1
n
WB(n)
15
 Chọn 4 chỉ tiêu kỹ thuật: p, s,P ,S
 Chọn hàm cửa sổ w(n)N và độ dài N
 Chọn đáp ứng xung h(n) của lọc số lý tưởng có tâm 
đối xứng và dịch h(n) đi đơn vị để 
được h’(n)=h(n-n0) nhân quả.
 Nhân hàm cửa sổ w(n)N với h(n): hd(n)= h(n- n0). w(n)N
 Kiểm tra lại các chỉ tiêu kỹ thuật có thỏa mãn không, 
nếu không thì tăng N hoặc thay đổi hàm cửa sổ.
5.5.3 CÁC BƯỚC TỔNG HỢP LỌC FIR
CÓ PHA TUYẾN TÍNH BẰNG P2 CỬA SỔ
2
1 
N
2
1
0
N
n
16
Ví dụ 5.5.1: Hãy tổng hợp bộ lọc thông thấp FIR có pha
tuyến tính  ()= -  = - (N-1)/2 với các chỉ tiêu kỹ thuật:
p= p0 ; s= s0 ; p= p0 ; s= s0; c= (p0+ s0)/2=p/2 và
vẽ sơ đồ bộ lọc.
 Chọn 4 chỉ tiêu kỹ thuật: p=p0 ; s=s0 ; p= p0 ; s= s0
 Chọn hàm cửa sổ chữ nhật WR(n)9 với độ dài N=9:
 :0
08 :1
)(
n
n
nWR
còn lại
 Chọn bộ lọc thông thấp lý tưởng có tần số cắt c= p/2 và 
đáp ứng xung h(n) có tâm đối xứng tại = (N-1)/2 = 4. 
17
• Theo ví dụ 8.2.1, h(n) của lọc thông thấp lý tưởng có tâm 
đối xứng n=0 và
• Do pha tuyến tính ()= -  = - (N-1)/2 nên h(n) sẽ có 
tâm đối xứng tại = (N-1)/2=4, bằng cách dịch h(n) sang 
phải n0=4 đơn vị: 
• Nhân cửa sổ chữ nhật W9(n) với h(n-4) ta được hd(n): 
hd(n)=h(n-4) W9(n)
2/
2/sin
2
1
)(
n
n
nh
p
p
2/)4(
2/)4(sin
2
1
)4()('
n
n
nhnh
p
p
18
-1 0 1 2 3 4 8 9
1
n
W9(n)
-1 0 1 2 3 4 8 9
1/2
n
h(n-4)
1/p
-1/3p
1/5p
-1/3p
1/5p
-1 0 1 2 3 4 8 9
1/2
n
hd(n) 1/p
-1/3p-1/3p
19
• Thử lại xem Hd(e
j) có thỏa các chỉ tiêu kỹ thuật không? 
')()('
2
1
)(*)(')( )'(' 
p
p
 
p
deWeHeWeHeH jR
jj
R
jj
d
• Nếu không, ta cần tăng N và làm lại các bước từ đầu.
• Nếu tăng độ dài N mà không thỏa mãn thì chúng ta cần 
thay đổi hàm cửa sổ.
• Giả sử với N=9, các chỉ tiêu kỹ thật đã thỏa mãn, ta có:
)7(
3
1
)5(
1
)4(
2
1
)3(
1
)1(
3
1
)( 
 nnnnnnhd 
p

p

p

p
)7(
3
1
)5(
1
)4(
2
1
)3(
1
)1(
3
1
)( 
 nxnxnxnxnxny
pppp
20
)7(
3
1
)5(
1
)4(
2
1
)3(
1
)1(
3
1
)( 
 nxnxnxnxnxny
pppp
Z-1
+
x(n) y(n)
Z-1
Z-1
Z-1
Z-1
+
+
Z-1
Z-1
+
-1/3p
1/p
1/2
1/p
-1/3p
21
Đáp ứng biên độ của bộ lọc thông thấp thiết kế

0
s
1- p
1+ p
P c s p
1
/H(ej)/
N=9

0
s
1- p
1+ p
P c s p
1
/H(ej)/
N=61
22
5.5.4 SO SÁNH CÁC HÀM CỬA SỔ
 dB ,
)(
)(
log20
010
1
j
j
eW
eW 
 
 Các thông số đặc trưng cho phổ các hàm cửa số 
 Bề rộng đỉnh trung tâm của phổ cửa sổ : 
tỷ lệ với bề rộng dải quá độ 
 Tỷ số biên độ đỉnh thứ cấp đầu tiên và đỉnh trung tâm:
tỷ lệ với độ gợn sóng dải thông và dải chắn.
 Xét với cửa sổ chữ nhật: 
 :0
01-N :1
)(
n
n
nWR
còn lại
23
 e
ω
ωN
(eW(n)w
N-
-jω
jω
R
F
R
2
1
2
sin
2
sin
)  

0 2p/N 1 4p/N
N
/ WR(e
j) /
 R = 4p/N
 1= 3p/N
 R = 4p/N
24
Loại cửa sổ Bề rộng đỉnh trung tâm  Tỷ số 
Chữ nhật 4p/N -13
Tam giác 8p/N -27
Hanning 8p/N -32
Hamming 8p/N -43
Blackman 12p/N -58
CÁC THÔNG SỐ ĐẶC TRƯNG PHỔ CÁC HÀM CỬA SỔ 
 Để mạch lọc làm việc tốt thì cả 2 thông số  và  đều 
cần phải nhỏ, nhưng theo bảng ở trên thì thường 2 thông 
số này là tỉ lệ nghịch, nên chúng ta cần chọn hàm cửa sổ 
nào cho phù hợp với yêu cầu đề ra.
25
5.6 PHƯƠNG PHÁP LẤY MẪU TẦN SỐ
5.6.1 KHÁI NiỆM
 Phương pháp cửa sổ có hạn chế là thường độ dài N
của bộ lọc lớn, hơn nữa để tìm hàm cửa sổ thỏa các chỉ
tiêu kỹ thuật là không đơn giản.

k
N
N
jN
k
Nd
j
d e
k
N
N
kH
N
eH
p


p

2
11
0 )
2
sin(
2
sin
)(
1
)(
 Gọi: hd(n) - đáp ứng xung của lọc số thiết kế
Hd(e
j) - đáp ứng tần số của lọc số thiết kế 
Hd(k) - DFT của hd(n)
 Theo mối quan hệ giữa FT và DFT:
26
)(
1
0
2
1
)(
)
2
sin(
2
sin
)(
1
)( 
p

p

jj
d
k
N
jN
k
Nd
N
j
j
d eeAe
k
N
N
kH
N
eeH 

 Trong phương pháp lấy mẫu tần số, chúng ta sẽ làm
gần đúng H(ej) của lọc số lý tưởng bằng 1 hàm Hd(e
j)
của lọc số thiết kế, Hd(e
j) nhận được từ các mẫu H(k)
bằng cách lấy mẫu H(ej) tại các tần số k=2pk/N

2
1
)(
)
2
sin(
2
sin
)(
1
)(
1
0
N
e
k
N
N
kH
N
eA
k
N
jN
k
Nd
j
d

p

p

27
5.7 PHƯƠNG PHÁP LẶP (TỐI ƯU)
5.7.1 KHÁI NIỆM
 Phương pháp lặp cho phép chúng ta thiết kế bộ lọc với
bậc N tối thiểu, nhờ phép tính gần đúng các hệ số của
đáp ứng xung.
 Độ lớn của đáp ứng tần số bộ lọc thiết kế có thể được
biểu diễn bởi tích của 2 hàm:
j j j
dA ( e ) Q( e ).P( e )
   
 Trong đó: Q(ej) - là 1 hàm cố định
P(ej) - đối với các bộ lọc FIR có dạng sau: 
0
os
R
j
n
P( e ) ( n )c ( n ) 
 
28
Độ lớn đáp ứng tần số của 4 loại lọc số FIR 
Loại bộ lọc Q(ej) P(ej)
1 1
2 cos(/2)
3 sin()
4 sin(/2)
j j j
dA ( e ) Q( e ).P( e )
   
1 2
0
os
( N )/
n
a ( n )c ( n )
 
2 1
0
os
( N / )
n
b ( n )c ( n )
 
[ 1 2]-1
0
os
( N )/
n
c ( n )c ( n )
 
2 1
0
os
( N / )
n
d ( n )c ( n )
 
29
5.7.2 TỐI ƯU THEO CHEBYSHEV
1
Ad(e
j)
0 p c s 
1-p
s
1+p
- s
 Theo Chebyshev, cần tìm các hệ số (n) của P(ej) sao
cho sai số giữa (độ lớn) đáp ứng biên độ của bộ lọc thiết
kế và bộ lọc lý tưởng là nhỏ nhất
30
Wj j j jdE( e ) ( e ) A( e ) A ( e )
    
 Sai số giữa bộ lọc thiết kế và lý tưởng được đánh giá:
Trong đó: E(ej) – Hàm sai số
W(ej) – Hàm trọng số
A(ej) – Độ lớn đáp ứng tần số của lọc lý tưởng
Ad(e
j) – Độ lớn đáp ứng tần số của lọc thiết kế
Wj j j jˆˆE( e ) ( e ) A( e ) P( e )    
 Nếu thay Ad(e
j) = Q(ej).P(ej) vào hàm sai số, ta được:
Với: W W và 
j
j j j j
j
A( e )ˆˆ ( e ) ( e ).Q( e ) A( e )
Q( e )

   

31
 axj jE( e ) min m E( e )  
 Tối ưu theo Chebyshev là tìm các hệ số (n) sao cho tối 
thiểu hóa giá trị sai số tuyệt đối lớn nhất theo biểu thức:
Trong đó: /E(ej)/ – Sai số tuyệt đối
//E(ej)// – Giá trị nhỏ nhất của sai số tuyệt đối 
cực đại
32