Bài giảng Xử lý số tín hiệu - Chương 2: Biểu diễn tín hiệu và hệ thống rời rạc trong miền phức Z

Chương 2: 
BIỂU DIỄN TÍN HIỆU VÀ HỆ THỐNG RỜI RẠC TRONG MIỀN 
PHỨC Z
2.1 BIẾN ĐỔI Z 
2.2 CÁC TÍNH CHẤT BIẾN ĐỔI Z
2.3 BIẾN ĐỔI Z NGƯỢC
2.4 BIỂU DIỄN HỆ THỐNG TRONG MIỀN Z
1
• Nếu x(n) nhân quả thì : (*) (**)
• Ký hiệu:
x(n) X(z) hay X(z) = Z{x(n)}
X(z) x(n) hay x(n) = Z-1{X(z)} 
2.1 BIẾN ĐỔI Z
2.1.1 ĐỊNH NGHĨA BIẾN ĐỔI Z:

0n
nznxzX )()(
  Z
 
 1Z

Biểu thức (*) còn gọi là biến đổi Z hai phía
• Biến đổi Z của dãy x(n):
Biến đổi Z 1 phía dãy x(n):
(*)
(**)
Trong đó Z – biến số phức

n
nznxzX )()(
2
2.1.2 MIỀN HỘI TỤ CỦA BIẾN ĐỔI Z (ROC)
• Miền hội tụ của biến đổi Z - ROC (Region Of Convergence) 
là tập hợp tất cả các giá trị Z nằm trong mặt phẳng phức sao cho 
X(z) hội tụ.
 
)2()1()0()(
0
xxxnx
n
1)(lim
1
n
n
nx
00
Im(Z)
Re(z)
Rx+
Rx-• Để tìm ROC của X(z) ta áp dụng
tiêu chuẩn Cauchy
• Tiêu chuẩn Cauchy:
Một chuỗi có dạng:
hội tụ nếu:
3
Ví dụ 2.1.1: Tìm biến đổi Z & ROC của x(n)=anu(n)
n
n
az
0
1
11
1
az
)z(X
azazlim
nn
n
1
1
1

n
nz)n(x)z(X  
n
nn z)n(ua 
0n
nn z.a
Theo tiêu chuẩn Cauchy, 
X(z) sẽ hội tụ:
Nếu:
Vậy: a;
az
)z(X 
Z:ROC
1
1
1
0
ROC
Im(z)
Re(z)
/a/
4
m
m
za
1
1
azzalim
n
n
n
 1
1
1

n
nz)n(x)z(X  
n
nn z)n(ua 1 
1
n
nn z.a
 1
0
1 
m
m
za
 1
0
1 
n
m
za)z(X 11
1
az
0
ROC
Im(z)
Re(z)
/a/Theo tiêu chuẩn Cauchy, 
X(z) sẽ hội tụ:
Nếu:
Ví dụ 2.1.2: Tìm biến đổi Z & ROC của x(n)=-anu(-n-1)
5
2.2 CÁC TÍNH CHẤT BIẾN ĐỔI Z
2.2.1 Tuyến tính
 RROC : )()( 222   zXnx
Z
 RROC : )()( 111   zXnx
Z
)()()()( 22112211 zXazXanxanxa
Z   
• Nếu:
• Thì:
Ví dụ 2.2.1: Tìm biến đổi Z & ROC của 
x(n)=anu(n) - bnu(-n-1) với /a/</b/
ROC chứa R1 R2
6
Áp dụng tính chất tuyến tính, ta được:
11
1
)(
 
az
nua Zn
11
1
)1(
  
bz
nub Zn bzR :2
11 1
1
1
1
 1
  
bzaz
)n(ub)n(ua Znn
0
ROC
Im(z)
Re(z)/a/
0
ROC
Im(z)
Re(z)
/b/
azR :1
bzaRRR  :21
0
ROC
Im(z)
Re(z)
/b/
/a/
Theo ví dụ 2.1.1 và 2.1.2, ta có:
7
2.2.2 Dịch theo thời gian
a
az
nua Zn 
 
z:ROC;
1
1
)(
1
az
az
azZ 
 
:
1 1
1
 RROC :   )z(X)n(x Z
 R'ROC : 00   
 )z(Xz)nn(x nZ
R
R
 R'
trừ giá trị z=0, khi n0>0
trừ giá trị z=∞, khi n0<0
Ví dụ 2.2.2: Tìm biến đổi Z & ROC của x(n)=anu(n-1)
Nếu:
Thì:
Với:
Theo ví dụ 2.1.1:
Vậy
:
x(n)=anu(n-1)=a.an-1u(n-1)
8
2.2.3 Nhân với hàm mũ an
aR'
az
)az(X)n(ua)n(xa Znn 
   
 z:;
1
1
1
1
 RROC : )()(   zXnx Z
RROC : )()( 1 azaXnxa Zn   
1 
   z)n(u)z(X)n(u)n(x
n
Z
Nếu:
Thì:
Ví dụ 2.2.3: Xét biến đổi Z & ROC của
x1(n)=u(n) và x2(n)=a
nu(n)
1z
1
1
1
:R;
z
9
2.2.4 Đạo hàm X(z) theo z
a
az
zXnuanx Zn 
   
z:ROC;
1
1
)()()(
1
 RROC : )()(   zXnx Z
RROC : )(  
dz
dX(z)
znxn Z
dz
)z(dX
z)z(G)n(nx)n(g Z   az
az
az
:
)1( 21
1
Nếu:
Thì:
Ví dụ 2.2.4: Tìm biến đổi Z & ROC của g(n)=nanu(n)
10
2.2.5 Đảo biến số
Nếu:
Thì:
a
az
zXnuanx Zn 
   
z:ROC;
1
1
)()()(
1
 RROC : )()(   zXnx Z
RXnx Z 1ROC : )(z)( -1   
 )()()(1)( nxnuanuany nn 
a/1z:ROC;
az1
1
za1
1
)z(X)z(Y
11
1 
Áp dụng tính chất đảo biến số:
Ví dụ 2.2.4: Tìm biến đổi Z & ROC của y(n)=(1/a)nu(-n)
11
2.2.6 Liên hiệp phức
 RROC : )()(   zXnx Z
RXnx Z   ROC : (z*)*)(*
2.2.7 Tích 2 dãy
 RRROC : d )(
2
1
)()( 21
1
1121  
  
 


 c
Z zXXnxnx
2.2.8 Định lý giá trị đầu
Nếu x(n) nhân quả thì: X(z) )0(
Z
Limx
 RROC : )()( 222   zXnx
Z
 RROC : )()( 111   zXnx
Z
Nếu:
Thì:
Nếu:
Thì:
12
Ví dụ 2.2.6: Tìm x(0), biết X(z)=e1/z và x(n) nhân quả
X(z) lim)0(
Z
x
2.2.9 Tổng chập 2 dãy
 RROC : )()( 222   zXnx
Z
 RROC : )()( 111   zXnx
Z
)()()(*)( 2121 zXzXnxnx
Z  :ROC có chứa R1  R2
1e lim 1/z 
 Z
Thì:
Nếu:
Theo định lý giá trị đầu:
13
50
501
1
50
1
.z:ROC;
z.
)z(X)n(u).()n(x Zn 
   
2
21
1
12
1
   
z:ROC;
z
)z(H)n(u)n(h Zn
250
21
1
501
1
11
z,:ROC;
)z(
.
)z.(
)z(H)z(X)z(Y
250
21
1
3
4
501
1
3
1
11
z,:ROC;
)z(
.
)z.(
.
)1(2
3
4
)()5.0(
3
1
)(*)()( nununhnxny nn
Z-1
Ví dụ 2.2.7: Tìm y(n) = x(n)*h(n), biết
x(n)=(0.5)nu(n) và h(n)=-2nu(-n-1)
14
TỔNG KẾT CÁC TÍNH CHẤT BIẾN ĐỔI Z
x(n) X(z) R
a1x1(n)+a2x2(n) a1X1(z)+a2X2(z) Chứa R1  R2
x(n-n0) Z
-n0 X(z) R’
an x(n) X(a-1z) R
nx(n) -z dX(z)/dz R
x(-n) X(z -1) 1/R
x*(n) X*(z*) R
x1(n)x2(n) R1  R2
x(n) nhân quả x(0)=lim X(z ->∞)
x1(n)*x2(n) X1(z)X2(z) Chứa R1  R2
dvv
v
z
XvX
j C
1
21 )(
2
1 
15
BIẾN ĐỔI Z MỘT SỐ DÃY THÔNG DỤNG
x(n) X(z) ROC
(n) 1 z
u(n) /z/ >1
-u(-n-1) /z/ <1
an u(n) /z/ > /a/
-an u(-n-1) /z/ < /a/
nan u(n) /z/ > /a/
-nan u(-n-1) /z/ < /a/
cos(on)u(n) (1-z
-1coso)/(1-2z
-1coso+z
-2) /z/ >1
sin(on)u(n) (z
-1sino)/(1-2z
-1coso+z
-2) /z/ >1
11
1
 z
11
1
 az
21
1
)1( 
 az
az
16
2.3 BIẾN ĐỔI Z NGƯỢC
2.3.1 CÔNG THỨC BIẾN ĐỔI Z NGƯỢC
C
n dzz)z(X
j
)n(x 1
2
1
Với C - đường cong khép kín bao quanh gốc tọa độ trong
mặt phẳng phức, nằm trong miền hội tụ của X(z), theo
chiều (+) ngược chiều kim đồng hồ
 Trên thực tế, biểu thức (*) ít được sử dụng do tính chất
phức tạp của phép lấy tích phân vòng
• Các phương pháp biến đổi Z ngược:
 Thặng dư
 Khai triển thành chuỗi luỹ thừa
 Phân tích thành tổng các phân thức tối giản
(*)
17
2.3.2 PHƯƠNG PHÁP THẶNG DƯ
b) Phương pháp:
• Theo lý thuyết thặng dư, biểu thức biến đổi Z ngược theo tích 
phân vòng (*) được xác định bằng tổng các thặng dư tại tất cả 
các điểm cực của hàm X(z)zn-1 :
• Thặng dư tại điểm cực Zci bội r của F(z) được định nghĩa:
   
cici ZZ
r
cir
r
ZZ zzzF
dz
d
r
zFs
 ))((
)!1(
1
)(Re
)1(
)1(
• Thặng dư tại điểm cực đơn Zci của F(z) được định nghĩa:
   
cici ZZciZZ
zzzFzFs
 ))(()(Re
a) Khái niệm thặng dư của 1 hàm tại điểm cực:
18
)2(
)(
z
z
zX
C
n dzzzX
j
nx 1)(
2
1
)(
• Zci – các điểm cực của X(z)z
n-1 nằm trong đường cong C
• Res[X(z)zn-1]z=zci - thặng dư của X(z)zn-1 tại điểm cực zci
Trong đó:
 Tổng cộng các thặng dư tại tất cả các điểm cực, ta
được x(n)
 
ciZZ
n
i
zzXs 
  1)(Re
Ví dụ 2.3.1: Tìm biến đổi Z ngược của
(*)
C
n dzzzX
j
nx 1)(
2
1
)(
C
n dzz
)z(
z
j
1
22
1
 
)z(
z n
2
Res
Thay X(z) vào (*), ta được
19
• n 0:
)2(
)( 1
z
z
zzX
n
n
có 1 điểm cực đơn Zc1=2
Thặng dư tại Zc1=2:
2
)2(
Res
Z
n
z
z
2
)2(
)2(
Z
n
z
z
z n2 
• n<0:
n
n
zz
zzX
)2(
1
)( 1 Zc1=2 đơn,
Zc2=0 bội m
mzz )2(
1
Với: Zc1=2
2
)2(
1
Res
Z
mzz m2
1
2
)2(
)2(
1
Z
m
z
zz
 Chọn C là đường cong khép kín nằm bên ngoài vòng 
tròn có bán kính là 2
0
ROC
Im(z)
Re(z)2
C
20
m
mm
m )2(
)1()!1(
)!1(
1 1
m2
1
Vậy, với n<0: 

)2(
Res
z
z n
0
2
1
2
1
mm
suy ra 0:2)( nnx n hay )(2)( nunx n 
Với: Zc2=0 bội m:
0
)2(
1
Res
Z
mzz
0
1
1
)2(
1
)!1(
1
Z
m
mm
m
z
zzdz
d
m
21
2.3.3 PHƯƠNG PHÁP KHAI TRIỂN CHUỖI LUỸ THỪA
Giả thiết X(z) có thể khai triển: 
n
n
nzazX )(
Theo định nghĩa biến đổi Z 
n
nznxzX )()(
(*)
(**)
Đồng nhất (*) & (**), rút ra: nanx )(
Ví dụ: 2.3.2: Tìm x(n) biết X(z) = z2 + 2z + 3 - 4z-1 - 5z-2
ROC: 0</z/<∞
21012
2
2
21012 
  z)(xz)(xz)(xz)(xz)(xz)n(x)z(X
n
n
Suy ra: ,-4,-5}3{1,2,)(

 nx
22
 .............. 
1 21 1 z
Ví dụ: 2.3.3: Tìm x(n) biết: 2:
21
1
)(
1
z
z
zX
Do ROC của X(z) là /z/>2, nên x(n) sẽ là dãy nhân quả
và sẽ được khai triển thành chuỗi có dạng:
 
  22110
0
zazaaza)z(X
n
n
n
Để có dạng (*), thực hiện phép chia đa thức dưới đây:
(*)
-12z-1 1
 2 1 z
12 z
 z2-2 -221 z
 z2 -22
222 z  

0
2)(
n
nn zzX
)(20:2)( nunnx nn  
23
 .............. 
1111 2 21 zz 
2:
21
1
)(
1
z
z
zX
Do ROC của X(z) là /z/<2, nên x(n) sẽ là dãy phản nhân
quả và sẽ được khai triển thành chuỗi có dạng:
 
  332211
1
zazazaza)z(X
n
n
n
Để có dạng (**), thực hiện phép chia đa thức dưới đây:
(**)
1z2- 1 -11 
 2 11 z 
222 z 
 z2-2 2-211 z 
 z2 2-2
332 z  

1
2)(
n
nn zzX
)1(20:2)(  nunnx nn
Ví dụ: 2.3.4: Tìm x(n) biết:
24
2.3.4 PHƯƠNG PHÁP PHÂN TÍCH THÀNH TỔNG
CÁC PHÂN THỨC TỐI GIẢN
Xét X(z) là phân thức hữu tỉ có dạng:
)(
)(
)(
zB
zD
zX 
01
1
1
01
1
1
...
...
bzbzbzb
dzdzdzd
N
N
N
N
K
K
K
K
 với: K, N >0
• Nếu K>N, thực hiện phép chia đa thức:
)(
)(
)(
zB
zD
zX 
)(
)(
)(
zB
zA
zC 
01
1
1
01
1
1
...
...
)(
bzbzbzb
azazaza
zC
N
N
N
N
M
M
M
M
Ta được C(z) là đa thức và phân thức A(z)/B(z) có bậc M N
• Nếu K N, thì X(z) có dạng giống phân thức A(z)/B(z)
Việc lấy biến đổi Z ngược đa thức C(z) là đơn giản, vấn đề
phức tạp là tìm biến đổi Z ngược A(z)/B(z) có bậc M N
25
Xét X(z)/z là phân thức hữu tỉ có bậc M N :
)(
)()(
zB
zA
z
zX
Xét đến các điểm cực của X(z)/z, hay nghiệm của B(z) là
đơn, bội và phức liên hiệp
01
1
1
01
1
1
...
...
bzbzbzb
azazaza
N
N
N
N
M
M
M
M
a) Xét X(z)/z có các điểm cực đơn: Zc1, Zc2, Zc3,. ZcN,
)(
)()(
zB
zA
z
zX
)())((
)(
21 cNccN zzzzzzb
zA

Theo lý thuyết hàm hữu tỉ, X(z)/z phân tích thành:
)(
)()(
zB
zA
z
zX
)()()( 2
2
1
1
cN
N
cc zz
K
zz
K
zz
K
  
N
i ci
i
zz
K
1 )(
Với hệ số Ki xác định bởi:
ciZZ
cii zz
z
zX
K
 )(
)(
hay
ciZZ
i
zB
zA
K
)('
)(
26
Suy ra X(z) có biểu thức:
)1()1()1(
)(
11
2
2
1
1
1
zz
K
zz
K
zz
K
zX
cN
N
cc
 
N
1i
1
ci
i
)zz1(
K
)1(
)(
1 
zz
K
zX
ci
i
i
• Nếu ROC: /z/ > /zci/ )()()( nuzKnx
n
ciii 
• Nếu ROC: /z/ < /zci/ )1()()( nuzKnx
n
ciii
• Vậy: 
N
i
i nxnx
1
)()(
Xét:
27
)3)(2(
52
zz
z
)3()2(
21
z
K
z
K
65
52)(
2 
zz
z
z
zX
Với các hệ số được tính bởi:
2
1 )2(
)(
Z
z
z
zX
K 1
)3(
52
2
 Z
z
z
3
2 )3(
)(
Z
z
z
zX
K 1
)2(
52
3
 Z
z
z
)3(
1
)2(
1)(
zzz
zX
)31(
1
)21(
1
)(
11 
zz
zX
ROC : a) /z/>3, b) /z/<2, c) 2</z/<3
65
52
)(
2
2
zz
zz
zXVí dụ: 2.3.5: Tìm x(n) biết
28
Với các miền hội tụ:
)31(
1
)21(
1
)(
11 
zz
zX
a) /z/ > 3 : )n(u3)n(u2)n(x nn 
b) /z/ < 2 : )1n(u3)1n(u2)n(x nn 
c) 2</z/<3 : )1n(u3)n(u2)n(x nn 
29
b) Xét X(z)/z có điểm cực Zc1 bội r và các điểm cực đơn:
Zc(r+1),,ZcN,
)(
)()(
zB
zA
z
zX
)()()(
)(
)1(1 cNrc
r
cN zzzzzzb
zA
 
Theo lý thuyết hàm hữu tỉ, X(z)/z phân tích thành:
r
c
r
cc zz
K
zz
K
zz
K
z
zX
)()()(
)(
1
2
1
2
1
1 

N
rl cl
l
r
i
i
i
zz
K
zz
K
11 1 )()(
Với hệ số Ki xác định bởi:
1cZZ
r
1c)ir(
)ir(
i )zz(
z
)z(X
dz
d
)!ir(
1
K
clZZ
cll zz
z
zX
K
 )(
)(
)()( )1(
1
cN
N
rc
r
zz
K
zz
K
 
30
Vậy ta có biểu thức biến đổi Z ngược là:
Với giả thiết ROC của X(z): /z/ > max{ /zci/ }: i=1N,
biến đổi Z ngược của thành phần Ki/(z-zci)
r sẽ là:
)(
)!1(
)2)...(1( 11
nu
i
ainnn
az
z inZ
i 
 
)()()(
)!1(
)2)...(1(
)(
1
1
1
nuzKnu
i
ainnn
Knx
N
rl
n
cll
inr
i
i 
Ví dụ: 2.3.6: Tìm x(n) biết 2z:ROC 
12
452
2
23
 ,
)z()z(
zzz
)z(X
)1()2(
452)(
2
2
zz
zz
z
zX
)1()2()2(
3
2
21
z
K
z
K
z
K
31
Vậy X(z)/z có biểu thức là:
Với các hệ số được tính bởi:
)1(
1
)2(
2
)2(
1)(
2 
zzzz
zX
1
)1(
452
2
2
 Z
z
zz
dz
d
2
2
)12(
)12(
1 )2(
)(
)!12(
1
Z
z
z
zX
dz
d
K
2
)1(
452
2
2
 Z
z
zz
2
2
)22(
)22(
2 )2(
)(
)!22(
1
Z
z
z
zX
dz
d
K
1
3 )1(
)(
Z
z
z
zX
K 1
)2(
452
1
2
2
 Z
z
zz
)1(
1
)21(
2
)21(
1
)(
121
1
1 
zz
z
z
zX 2: zROC
)()(2)(2)( nununnunx nn 
32
c) Xét X(z)/z có cặp điểm cực Zc1 và Z*c1 phức liên hiệp,
các điểm cực còn lại đơn: Zc3,,ZcN,
)(
)()(
zB
zA
z
zX
)())()((
)(
3
*
11 cNcccN zzzzzzzzb
zA

X(z)/z được phân tích thành:
)()()()(
)(
3
3
*
1
2
1
1
cN
N
ccc zz
K
zz
K
zz
K
zz
K
z
zX
 

N
i ci
i
cc zz
K
zz
K
zz
K
z
zX
3
*
1
2
1
1
)()()(
)(
Với các hệ số K1, Ki được tính giống điểm cực đơn:
Ni:)zz(
z
)z(X
K
ciZZ
cii  
1
33
Xét :
Do các hệ số A(z), B(z) là thực, nên K2=K1
*
)zz(
*K
)zz(
K
z
)z(X
*
cc 1
1
1
11
)zz(
*K
)zz(
K
)z(X
*
cc
1
1
1
1
1
1
1
11 
 Nếu gọi:
jeKK 11 
 j
cc ezz 11 
Và giả thiết ROC: /z/>max{/zci/}:
   )n(uzKzKnx n*c*nc 11111 
)n(u)ncos(zK
n
c  112
 )n(uzK)ncos(zK)n(x
N
i
n
cii
n
c



 
 3
112  Vậy:
34
2:
)1)(22(
)(
2
 z
zzz
z
zXVí dụ: 2.3.7: Tìm x(n) biết:
)1)(22(
1)(
2 
zzzz
zX
   )1()1()1(
1
zjzjz
    )1()1()1(
3
*
11
z
K
jz
K
jz
K
  2
1
)1()1(
1
1
1 
 jZ
zjz
K
)()()
4
cos()2()( nununnx n 
1
)22(
1
1
23
 Z
zz
K
    )1(
1
)1(1
2/1
)1(1
2/1
)(
111 
zzjzj
zX 2 z
35
2.4 BIỂU DIỄN HỆ THỐNG TRONG MIỀN Z
2.4.1 ĐỊNH NGHĨA HÀM TRUYỀN ĐẠT
h(n)x(n) y(n)=x(n)*h(n)Miền n:
Miền Z: H(z)X(z) Y(z)=X(z)H(z)
Z
h(n) Z H(z): gọi là hàm truyền đạt H(z)=Y(z)/X(z)
 Trong miền phức Z, H(z) đặc trưng hoàn toàn cho hệ thống
36
2.4.2 HÀM TRUYỀN ĐẠT ĐƯỢC BIỂU DIỄN THEO 
CÁC HỆ SỐ PHƯƠNG TRÌNH SAI PHÂN

M
r
k
N
k
k rnxbknya
00
)()(

M
r
r
k
N
k
k
k zbzXzazY
00
)()(


N
k
k
k
M
r
r
r
za
zb
)z(X
)z(Y
)z(H
0
0
• Phương trình sai phân TTHSH có dạng:
• Lấy biến đổi Z 2 vế PTSP & áp dụng tính chất dịch theo t/g:
37
Ví dụ: 2.4.1: Tìm H(z) và h(n) của hệ thống nhân quả cho bởi:
y(n) - 5y(n-1) + 6y(n-2) = 2x(n) - 5x(n-1)
21
1
651
52
)(
)(
)(
zz
z
zX
zY
zH
)3()2(
21
z
K
z
K
)31(
1
)21(
1
)(
11 
zz
zH
Lấy biến đổi Z hai vế PTSP và áp dụng tính chất dịch theo t/g:
   121 52)(651)( zzXzzzY
65
52
2
2
zz
zz
)3)(2(
52)(
zz
z
z
zH
Do hệ thống nhân quả nên: h(n) = ( 2n + 3n ) u(n)
1
2)3(
52
1 
zz
z
K 1
3)2(
52
2 
zz
z
K
38
2.4.3 HÀM TRUYỀN ĐẠT CÁC HỆ THỐNG GHÉP NỐI
a. Ghép nối tiếp
 Miền Z:
h2(n)x(n) y(n)h1(n)
x(n) y(n)h(n)=h1(n)*h2(n)

 Miền n:
H2(z)X(z) Y(z)H1(z)
X(z) Y(z)H(z)=H1(z)H2(z)

Theo tính chất tổng chập: h1(n)*h2(n)
Z H1(z)H2(z)
39
b. Ghép song song
 Miền Z:

h2(n)
x(n) y(n)
h1(n)
+
x(n) y(n)h1(n)+h2(n)
 Miền n:

H2(z)
X(z) Y(z)
H1(z)
+
X(z) Y(z)H1(z)+H2(z)
40
Ví dụ: 2.4.2: Tìm H(z) của hệ thống, biết h1, h2, h3, h4
h2(n)
x(n) y(n)
h3(n)
+h1(n)
h4(n)
Giải: H(z)=H1(z)[ H2(z) + H3(z)H4(z) ]
H2(z) + H3(z)H4(z)H1(z)
41
2.4.4 TÍNH NHÂN QUẢ & ỔN ĐỊNH CỦA HỆ THỐNG
a. Tính nhân quả
Hệ thống TTBB là nhân quả h(n) = 0 : n<0 Miền n:
Do h(n) là tín hiệu nhân quả, nên miền hội tụ H(z) sẽ là:
)())((
)(
)(
21 cNccN zzzzzzb
zA
zH

 cNccc zzzzz ,,,max 21
max
 
Hệ thống TTBB 
là nhân quả
 Miền Z:
 cNccc zzzzz ,,,max 21
max
 
ROC của H(z) là:
Re(z)
0
ROC
Im(z)
/zc/
max
42
Hệ thống TTBB là ổn định
b. Tính ổn định
 Miền n: 
 n
nh )(
 Miền Z:

n
nznhzH )()( 
n
nznh )( n
n
znh 
 )( 

n
nhzH )()( : khi 1 z
Hệ thống TTBB
là ổn định
ROC của H(z) 
có chứa /z/=1
Theo đ/k ổn định (*), nhận thấy H(z) cũng sẽ hội tụ với /z/=1
(*)
43
Re(z)
0
ROC
Im(z)
/zc/
max
c. Tính nhân quả và ổn định
Hệ thống TTBB 
là nhân quả cNccc zzzzz ,,,max 21
max
 
ROC của H(z) là:
Hệ thống TTBB
là ổn định
ROC của H(z) có chứa /z/=1
Hệ thống TTBB 
là nhân quả 
và ổn định 
và
ROC của H(z) là:
max
czz 1
max
 cz
/z/=1
44
)2()2/1(
21
z
K
z
K
  )21(
1
)2/1(1
1
)(
11 
zz
zH
)2)(2/1(2
54)(
zz
z
z
zH
a. Hệ thống nhân quả (/z/>2): h(n)=[(1/2)n + 2n] u(n)
Ví dụ: 2.4.3: Tìm h(n) của hệ thống, biết
a. Để hệ thống là nhân quả
b. Để hệ thống là ổn định
c. Để hệ thống là nhân quả và ổn định
)2(
1
)2/1(
1
zz
b. Hệ thống ổn định (1/2</z/<2): h(n)=(1/2)n u(n) - 2n u(-n-1)
c. Hệ thống nhân quả và ổn định:
ROC: /z/>2 không thể chứa /z/=1 không tồn tại h(n)
45
2.4.5 GIẢI PTSP DÙNG BIẾN ĐỔI Z 1 PHÍA
)( kny 
k
r
krk zryzYz
1
)()(
Z
1 phía
)1( ny
z
1 phía
 
 21
0
)1()0()1()1( zyzyyzny n
n
  11 )1()0()1( zyyzy
)()1( 1 zYzy 
)2( ny
z
1 phía
 
 21
0
)0()1()2()2( zyzyyzny n
n
  121 )1()0()1()2( zyyzzyy
)()1()2( 21 zYzzyy 
46
Ví dụ 2.4.4: Hãy giải PTSP dùng biến đổi Z 1 phía
y(n) – 3y(n–1) +2 y(n-2) = x(n) : n 0
biết: x(n)=3n-2u(n) và y(-1)=-1/3; y(-2)= -4/9
Lấy biến đổi Z 1 phía hai vế PTSP:
Y(z) - 3[y(-1)+z-1Y(z)] + 2[y(-2)+y(-1)z-1+z-2Y(z)] = X(z) (*)
Thay y(-1)=-1/3; y(-2)= -4/9 và X(z)=3-2/(1-3z-1) vào (*), rút ra:
)3(
1
.
2
1
)1(
1
.
2
1
)3)(1(
1)(
zzzzz
zY
)31(
1
.
2
1
)1(
1
.
2
1
)(
11 
zz
zY
  )(13
2
1
)( nuny n 
47