Bài giảng Xử lý ảnh - Chương 9: Lý thuyết hệ thống tuyến tính

 113 
PHẦN HAI 
Ch­¬ng 9 
LÝ THUYẾT HỆ THỐNG 
TUYẾN TÍNH 
9.1.GIỚI THIỆU 
Trong các chương trước, chúng ta đã nghiên cứu một vài tác dụng của các phép toán 
xử lý ảnh nào đó trên các ảnh. Những kết quả này có thể được giải thích bằng các phép 
toán đơn giản. Vì thế, chúng ta không đề cập đến các kết quả lấy mẫu, độ phân giải 
không gian hay các phép toán phổ biến được nói đến như tăng cường ảnh (image 
enhancement). Trong phần 2, chúng ta sẽ đưa ra những câu hỏi về vấn đề lấy mẫu, độ 
phân giải và lọc tuyến tính, một phương pháp tiếp cận phổ biến sử dụng cho việc tăng 
cường ảnh. Trong chương này và chương tiếp theo, chúng ta sẽ trình bày những công cụ 
phân tích yêu cầu cho công tác tiếp cận các vấn đề. 
Lý thuyết hệ thống tuyến tính là một lĩnh vực được phát triển toàn diện thường được 
sử dụng để mô tả hoạt động của mạch điện và các hệ thống quang học. Nó cung cấp một 
cơ sở toán học vững chắc để nghiên cứu các kết quả lấy mẫu, lọc và độ phân giải không 
gian. Lý thuyết hệ thống lấy mẫu cũng hữu dụng trong nhiều ứng dụng khác. 
9.1.1.Định nghĩa 
Trong nội dung của cuốn sách này, chúng ta coi một hệ thống là một cái gì đó đảm 
nhận một đầu vào và tạo ra một đầu ra tương ứng. Bởi vì chúng ta chỉ quan tâm tới mối 
quan hệ giữa đầu vào và đầu ra, nên chúng ta phải để ý chút ít đến những gì nằm bên 
trong hệ thống. Đầu vào và đầu ra có thể là một chiều, hai chiều hay nhiều chiều hơn. 
Tuy nhiên, trong việc phát triển ban đầu, chúng ta hạn chế các ví dụ ở hai trường hợp: 
các hàm một chiều về thời gian và các hàm hai chiều của các biến không gian. Điều này 
giữ cho ký hiệu đơn giản hơn và làm cho các phép phân tích có phần dễ hiểu hơn, vì sự 
phát triển bị các quá trình vật lý thực sự ràng buộc. Phép phân tích có thể được tổng quát 
hoá một cách dễ dàng với số chiều cao hơn khi cần thiết. Trong phần đầu của chương 
này, sự trình bày được thực hiện cho các hàm một chiều theo thời gian và tổng quát hóa 
đối với các ảnh hai chiều. 
Hình 9-1 và 9-2 cho thấy ký hiệu quy ước cho các hệ thống tuyến tính một hoặc hai 
chiều. Trong mỗi trường hợp, đầu vào hệ thống là một hàm một hoặc hai biến và nó tạo 
ra một hàm đáp ứng một hoặc hai biến tương tự từ hệ thống. 
 114 
HÌNH 9-1 
Hình 9-1 Ký hiệu hệ thống tuyến tính 
HÌNH 9-2 
Hình 9-2 Hệ thống tuyến tính hai chiều 
Tính tuyến tính. Các hệ thống tuyến tính có một đặc điểm mà đặc điểm này tạo ra 
tên gọi của chúng. Giả sử rằng, đối với một hệ thống riêng lẻ, một đầu vào x1(t) tạo ra 
một đầu ra y1(t): 
 )()( 11 tytx (1) 
 (Mũi tên đọc là “gây ra”) Cũng giả thiết rằng đầu vào thứ hai x2(t) tạo ra đầu ra y2(t): 
 )()( 22 tytx (2) 
Hệ thống là tuyến tính nếu và chỉ nếu nó có đặc tính 
 )()()()( 2121 tytytxtx (3) 
Tức là, tín hiệu đầu vào thứ ba là tổng của hai tín hiệu đầu tạo ra một tín hiệu đầu ra 
là tổng của hai tín hiệu ra ban đầu. Bất kỳ một hệ thống nào mà không tuân theo quy tắc 
này đều là phi tuyến. Phân tích hệ thống phi tuyến tạo ra nhiều kết quả trong các lĩnh 
vực khác nhau. Tuy nhiên, sự phân tích hệ thống phi tuyến phức tạp hơn nhiều so với sự 
phân tích các hệ thống tuyến tính và mục đích của chúng ta không đòi hỏi phức tạp 
thêm. tuy nhiên, chúng ta sẽ giới hạn vấn đề phân tích hệ thống tuyến tính của chúng ta. 
Định nghĩa hệ thống tuyến tính chỉ rõ rằng một đầu vào là tổng của hai tín hiệu tạo ra 
một đầu ra tổng của hai đầu ra, mà hai đầu ra này được tạo ra bởi mỗi một tín hiệu đầu 
vào hoạt động riêng lẻ. Từ đó, nếu một tín hiệu đầu vào được nhân với một số hữu tỷ 
(rational) thì đầu ra sẽ tăng hay giảm cùng một hệ số, tức là, 
 )()( 11 taytax (4) 
Ta coi nó như một tiên đề mà biểu thức (4) cũng đúng cho các số vô tỷ (irrational). 
 115 
Tính chất được định nghĩa trong các biểu thức (1), (2), (3) và kết quả suy ra của nó 
trong biểu thức (4), phục vụ cho việc định nghĩa hệ thống tuyến tính. Khi sử dụng lý 
thuyết hệ thống tuyến tính để phân tích một quá trình, điều cần thiết để quá trình sẽ được 
mô hình hoá, ít nhất cũng phải xấp xỉ, là tuyến tính. Nếu hệ thống đang được nghiên cứu 
không đáp ứng tiêu chẩn tuyến tính, thì nó là phi tuyến và lý thuyết hệ thống tuyến tính 
sẽ tạo ra các kết quả sai và có thể làm cho sai lệch. Nếu hệ thống chỉ phi tuyến một chút 
thì nó có thể được giả thiết là tuyến tính để phục vụ cho mục đích phân tích, nhưng các 
kết quả phân tích sẽ chỉ gần đúng với giả thiết. 
Thường thường, các hệ thống gần phi tuyến được nghiên cứu bằng lý thuyết hệ thống 
tuyến tính bởi vì cách tiếp cận này dễ điều khiển một cách chính xác. Tuy nhiên, người 
ta thường phải cẩn thận khi giải quyết các hệ thống phi tuyến bởi vì lớp bảo vệ của lý 
thuyết hệ thống tuyến tính tan rã như giả thiết về tính tuyến tính. Nhà phân tích có trách 
nhiệm không những chỉ về toán học mà còn về giá trị của những giả thiết bên dưới. 
Bất biến dịch. Một đặc điểm quan trọng mà một hệ thống nào đó đưa ra gọi là bất 
biến dịch (shift invariance). Nó được minh hoạ dưới đây. Giả sử, đối với một hệ thống 
tuyến tính đặc biệt mà 
 )()( tytx (5) 
Giả sử bây giờ chúng ta dịch chuyển tín hiệu đầu vào theo thời gian đi một lượng T. 
Hệ thống là bất biến dịch nếu 
 )()( TtyTtx (6) 
Tức là, đầu ra được dịch chuyển một lượng giống như đầu vào, nhưng mặt khác 
không bị thay đổi. Vì thế, đối với một hệ thống bất biến dịch, việc dịch chuuển đầu vào 
đơn thuần là dịch chuyển cùng một lượng đối với đầu ra. Điểm quan trọng là bản chất 
của đầu ra không bị thay đổi do bước dịch chuyển tín hiệu đầu vào. Bất biến dịch không 
gian là bất biến dịch thời gian tương tự hai chiều (two dimensional analog): nếu ảnh đầu 
vào được dịch chuyển liên quan đến ảnh gốc thì ảnh đầu ra cũng tương tự như ảnh trước. 
Hầu hết sự phân tích trong vài chương tiếp theo hướng về các hệ thống tuyến tính bất 
biến dịch. Các giả thiết về tính tuyến tính và bất biến dịch có giá trị gần đúng nhất đối 
với các mạng điện (electrical networks), các mạng điện tử tuyến tính được thiết kế hoàn 
hảo và các hệ thống quang học-các thành phần cơ bản của hệ thống xử lý ảnh. 
9.2.TÍN HIỆU ĐIỀU HOÀ VÀ PHÂN TÍCH TÍN HIỆU PHỨC TẠP 
Theo cách sử dụng bình thường, các tín hiệu và các ảnh có thể được biểu diễn bằng 
các hàm thực của một và hai biến tương ứng. Giá trị hàm biểu diễn độ lớn của tham số 
vật lý nào đó, chẳng hạn như điện áp bằng hàm thời gian hay cường độ ánh sáng bằng 
một hàm hai toạ độ không gian. Tuy nhiên, sự phát triển các đặc điểm hệ thống tuyến 
tính tiến hành một cách trôi chảy hơn nhiều, nếu chúng ta cho phép đầu vào và đầu ra là 
các hàm phức. Bởi vì các hàm thực có thể xem là trường hợp đặc biệt của các hàm phức, 
mà không mất tính tỏng quát. sự thuận lợi trở nên rõ ràng trong suốt quá trình phát triển. 
9.2.1.Tín hiệu điều hoà 
Xem xét một tín hiệu điều hoà có dạng 
 )sin()cos()( tjtetx tj  (7) 
Trong đó f2 = -1. Gọi là tín hiệu điều hoà. Nó là hàm phức theo thời gian mà có thể 
xem xét như vec tơ đơn vị quay trong mặt phẳng phức với vận tốc góc  (Hình 9-3). Tần 
 116 
số góc , đơn vị radian/giây, quan hệ với f, tần suất số vòng quay hay số chu kỳ trên 
giây (Herzt) bởi  = 2 f. 
HÌNH 9-3 
Hình 9-3 Vec tơ tạo ra tín hiệu điều hoà 
9.2.2.Đáp ứng đầu vào điều hoà 
Giả sử một hệ thống tuyến tính bất biến dịch được cho với đầu vào điều hoà 
 tjetx  )(1 (8) 
Chúng ta có thể biểu diễn đáp ứng của hệ thống như sau 
 tjetKty  ),()(1 (9) 
Trong đó 
 tje
tytK


)(
),( 1 (10) 
Là hàm phức của  và t được chọn sao cho khi nhân với ejt, sẽ được y1(t). Vì vậy, 
luôn có K(,t). 
Bây giờ giả sử chúng ta tạo ra tín hiệu đầu vào thứ hai bằng cách dịch x1(t). Sau đó, 
chúng ta có 
 )()( 1
)(
2 txeeeetx
TjtjTjTtj  (11) 
Lưu ý rằng x2(t) đơn thuần là x1(t) nhân với một hằng số phức. Điều này có được là 
do x1(t) là tín hiệu điều hoà. 
Đáp ứng của hệ thống tuyến tính với x2(t) bây giờ là 
 )(2 ),()(
TtjeTtKty  (12) 
biến đổi 
 tjTj eeTtKty  ),()(2 (13) 
hay 
 )(),()( 12 txeTtKty
Tj (14) 
Theo biểu thức (4), ta có thể viết 
 117 
 tjTjTj etKetyetxetx Tj   ),()()()( 112
 (15) 
Từ biểu thức (8), chúng ta xem hệ số mũ bên phải như x1(t). Ngoài ra, chúng ta biết 
rằng đáp ứng của biểu thức (15) phải là y2(t), bởi vì nó là đáp ứng của hệ thống với x2(t). 
Vì vậy chúng ta có thể viết 
 )(),()( 12 txtKety
tTj  (16) 
Là biểu thức thứ hai đối với đáp ứng của hệ thống với đầu vào điều hoà được dịch 
chuyển. 
Biểu thức (14) thu được bằng cách chèn một độ dịch chuyển thời gian vào biểu thức 
(9). Biểu thức (16) có được từ đặc điểm tuyến tính của biểu thức (4). Tuy nhiên, cả hai 
biểu thức trên đều là đáp ứng của hệ thống đối với đầu vào điều hoà chuyển dịch theo 
thời gian: vì thế, chúng phải bằng nhau. Kết hợp biểu thức (14) và biểu thức (16) ta được 
 )(),()(),( 11 txetKtxeTtK
tTjtTj   (17) 
và rõ ràng là 
 ),(),( tKTtK  (18) 
Phải đúng cho bất kỳ lượng chuyển dịch T nào. Tuy nhiên, biểu thức (18) chỉ có thể 
đúng nếu K(,t) độc lập với t. Vì vậy, biểu thức (9) có thể được viết lại dạng tổng quát 
như sau 
 )()()( txKty  (19) 
Hàm tổng quát có dạng như giả thiết trong biểu thức (10) thành ra hàm duy nhất một 
biến tần số, . Biểu thức (19) chỉ rõ đặc điểm quan trọng mà đáp ứng của hệ thống tuyến 
tính bất biến dịch với đầu vào điều hoà được nhân với một số phức phụ thuộc tần số. 
Chú ý rằng đầu vào điều hoà luôn luôn tạo ra đầu ra đơn giản tại cùng một tần số. 
9.2.3.Tín hiệu điều hoà và đường sin (sinusoid) 
Khi chúng ta sử dụng một hệ thống tuyến tính để mô phỏng hoạt động của một hệ 
thống vật lý thì các đầu vào và đầu ra được biểu diễn thuận tiện bằng các hàm thực. Vì 
thế, chúng ta có thể thêm một hạn chế khác vào hệ thống tuyến tính bất biến dịch sao 
cho chúng bảo toàn tính thực tế. Theo định nghĩa, điều này có nghĩa là một đầu thực chỉ 
có thể tạo ra một đầu ra thực. Từ đó, nó cũng có thể được xem là một hệ thống bảo toàn 
tính chất ảo và điều đó loại bỏ phần ảo của một đầu vào phức đơn thuần là loại bỏ phần 
ảo của đầu ra ảo tương ứng; tức là, 
 )}({)}({)()( tyetxetytx   (20) 
Về một ý nghĩa nào đó, phần thực và phần ảo của một đầu vào điều hoà thực hiện các 
phần khác hệ thống một cách độc lập. 
Sự giới hạn phần thực trên các hệ thống tuyến tính cho phép chúng ta định rõ phép 
phân tích. Ví dụ, nếu đầu vào là hàm cosin, chúng ta có thể thêm thành phần hàm sin ảo 
để tạo thành tín hiệu điều hoà (Xem lại biểu thức (7)), xác định đáp ứng của hệ thống 
với đầu vào điều hoà, sau đó loại bỏ phần ảo của đầu ra phức. Cách tiếp cận gián tiếp 
này được chứng minh bằng một quá trình đơn giản hoá trực tiếp phép phân tích. 
Một tín hiệu sin bất kỳ có thể được xem như phần thực của một tín hiệu điều hoà duy 
nhất. Cách tiếp cận cho phép chúng ta xuất phát từ đáp ứng của hệ thống tuyến tính với 
tín hiệu sin bằng cách (1) biểu diễn tín hiệu sin đầu vào bởi tín hiệu điều hoà, (2) xuất 
 118 
phát từ đáp ứng của hệ thống tuyến tính với đầu vào điều hoà, và (3) thực hiện phần thực 
để mang lại đầu ra thực sự. Theo cách thực hiện như vậy, chúng ta sẽ sử dụng phương 
pháp biến đổi để giải quyết; đó là, chúng ta biến đổi từ tín hiệu sin sang tín hiệu điều 
hoà, giải bài toán dưới dạng điều hoà, và sau đó biến đổi đầu ra điều hoà trở lại dạng sin. 
Kỹ thuật sử dụng logarit cho phép nhân là giống nhau: người ta biến đổi số nhân và 
số bị nhân sang logarit, cộng chúng vào kết quả phép nhân và sau đó biến đổi kết quả từ 
dạng logarit thành các số thập phân để có được tích số mong muốn. Giống như phép lấy 
logarit, phép biến đổi sang tín hiệu điều hoà làm đơn giản hoá một cách đáng kể phép 
phân tích hệ thống tuyến tính. 
9.2.4.Hàm truyền đạt 
Hàm K() gọi là hàm truyền đạt của hệ thống tuyến tính và hoàn toàn có khả năng 
xác định rõ hệ thống. Đối với hệ thống tuyến tính bất biến dịch, hàm truyền đạt bao gồm 
tất cả những thông tin về hệ thống hiện có. 
Chúng ta có thể chuyển đổi K() về dạng cực để được 
 )()()(  jeAK (21) 
Trong đó A() hàm giá trị thực của tần số và số mũ phức là véc tơ đơn vị trong mặt 
phẳng phức – tức là, số phức có độ lớn đơn vị. 
Kết quả của hàm truyền đạt được minh hoạ dưới đây. Giả sử đầu vào là hàm cosin, 
biến đổi để được phần thực của tín hiệu điều hoà: 
 }{)cos()( ttjeettx   (22) 
Đáp ứng của hệ thống đối với đầu vào điều hoà là 
 )()()()(   tjttjjttj eAeeAeK (23) 
Cuối cùng, tín hiệu đầu ra thực là 
)cos()(
)]}sin())[cos(({})({)( )(

 
   
tA
tjtAeeAety tj
 (24) 
A() là hệ số tăng bội và biểu diễn mức độ mà hệ thống khuếch đại hay làm suy giảm 
tín hiệu vào. () là góc dịch pha. Kết quả duy nhất của nó là để dịch gốc thời gian của 
hàm vào điều hoà. 
Trong phần còn lại của quyển sách này. việc phân tích sẽ được thực hiện dưới dạng 
các tín hiệu điều hoà, với sự chuyển đổi thành tín hiệu sin như một bước thể hiện. 
Theo giả thiết, chúng ta đã trình bày ba đặc điểm quan trọng của hệ thống tuyến tính 
bất biến dịch: (1) Một đầu vào điều hoà luôn luôn tạo ra một đầu ra điều hoà ở cùng một 
tần số. (2) Hệ thống là hoàn toàn xác định bởi hàm truyền đạt của nó, hàm giá trị phức 
của tần số đơn lẻ. (3) Hàm truyền đạt chỉ tạo ra hai kết quả trên một đầu vào điều hoà-
một sự biến đổi theo biên độ và một độ dịch chuyển pha (dịch chuyển theo gốc thời 
gian). 
9.3.PHÉP TOÁN NHÂN CHẬP (CONVOLUTION OPERATION) 
Xét lại hệ thống đã cho trong hình 9-1. Nó sẽ có ích tạo ra một biểu thức quan hệ 
tổng quát giữa tín hiệu đầu ra, y(t), với tín hiệu đầu vào x(t). Chúng ta có thể nhận được 
sự quan hệ giống như trong cách dưới đây. Biểu thức hàm tuyến tính (tích phân chồng) 
 119 
  dxtfty )(),()( (25) 
Là đủ tổng quát để biểu diễn mối quan hệ giữa x(t) và y(t) đối với hệ thống tuyến tính 
bất kỳ. Hàm hai biến f(t,) có thể được chọn để khiến cho biểu thức (25) có hiệu lực đối 
với bất kỳ hệ thống tuyến tính nào; nhưng chúng ta thích biểu thị đặc điểm một hệ thống 
tuyến tính với một hàm duy nhất một biến. 
Bây giờ chúng ta lợi dụng sự bắt buộc bất biến dịch trong kết quả cuối cùng để đơn 
giản hoá biểu thức (25). Thay biểu thức (6) vào biểu thức (25) ta được 
  dTxtfTty )(),()( (26) 
Đổi biến bằng cách cộng thêm T vào cả t và . Kết quả là 
  dxTTtfty )(),()( (27) 
Nếu đem biểu thức (25) so sánh với biểu thức (27), ta thấy rằng 
 ),(),( TTtftf  (28) 
Phải đúng với mọi T. Nghĩa là f(t,) không thay đổi nếu ta thêm một lượng như nhau 
vào cả hai đối số của nó. Nói cách khác, f(t,) là hằng số miễn là hiệu số giữa t và  là 
hằng số. Vì thế chúng ta có thể định nghĩa một hàm mới cho hiệu số duy nhất này là 
 ),()(  tftg (29) 
Và biểu thức (25) trở thành 
  dxtgty )()()( (30) 
Biểu thức này tương tự như tích phân chập (convolution integral). Nó biểu diễn bằng 
ký hiệu mà đầu ra của một hệ thống tuyến tính bất biến dịch được cho bởi nhân chập tín 
hiệu vào với hàm g(t) đặc trưng của hệ thống đó (hình 9-4). Hàm đặc trưng này được gọi 
đáp ứng xung (impulse response) của hệ thống. Chú ý rằng hệ thống bảo toàn tính thực 
tế nếu và chỉ nếu g(t) là hàm giá trị thực. 
Bây giờ chúng ta có hai cách để xác định rõ mối quan hệ giữa  ... 
lý ảnh, chúng ta thường sử dụng năm hàm. Về vấn đề này, chúng ta sẽ giới thiệu năm 
hàm này và xuất phát từ một vài thuộc tính của chúng. Điều này sẽ đơn giản hoá sự phát 
triển và các ví dụ trong các chương còn lại. Trong phần còn lại của chương này, chúng ta 
sẽ tiếp tục sử dụng x như một biến độc lập, ngay cả cho các hàm một chiều. 
9.4.1.Xung vuông 
Chúng ta biểu thị xung vuông bởi 
 
l¹i cßn 
,0
2
1,
2
1
2
1
2
1,1
)( x
x
x (50) 
Xung vuông có chiều cao A và độ rộng a được cho trong hình 9-10. Hàm này thường 
sử dụng cho việc mô phỏng cửa sổ lấy mẫu vuông góc và các hàm san bằng. 
HÌNH 9-10 
 127 
Hình 9-10 Xung vuông 
9.4.2.Xung tam giác 
Chúng ta biểu thị xung tam giác bởi 
 
1,0
1,1
)(
x
xx
x
 (51) 
Hàm này được đưa ra trong hình 9-11. Những ứng dụng của nó tương tự với những 
ứng dụng của xung vuông. Việc nhân chập hai xung vuông giống nhau tao ra một xung 
tam giác. 
HÌNH 9-11 
Hình 9-11 Xung tam giác 
9.4.3.Hàm Gauss 
Hàm Gauss được cho bởi 
22 2/ xe (52) 
Và được trình bày trong hình 9-12. Miền bên dưới hàm Gauss là 
2
2/
2
122
 
 
 dxe x (53) 
Theo lý thuyết xác suất, phân bố bình thường với giá trị trung bình x0 được cho bởi 
22
0 2/)(
22
1)( 
 
xxexp (54) 
đây là hàm Gauss điều chỉnh thành miền thống nhất. Ký hiệu 2 gọi là độ biến thiên 
(variance) và  được xem như là độ lệch tiêu chuẩn (standard deviation). Bảng 9-1 liệt 
kê những giá trị Gauss tại vài điểm. 
Hàm Gauss có một đặc tính rất hữu ích, đã nói đến trong chương 7; Phép nhân chập 
hai hàm Gauss luôn tạo ra một hàm Gauss khác. Đặc biệt, 
2
3
22
2
22
1
2 2/)(2/)(2/)(  cxbxax ABeBeAe (55) 
 128 
HÌNH 9-12 
Hình 9-12 Hàm Gauss 
BẢNG 9-1 CÁC GIÁ TRỊ CỦA HÀM GAUSS 
 ______________________________
______________________________
______________________________
0111.00.3
1353.00.2
2500.02177.1
3247.05.1
5000.0177.1
6065.00.1
8825.05.0
10
22 2/







xex 
Trong đó 
 22
2
1
2
3  vµbac (56) 
Vì thế, kết quả của hàm Gauss được mở rộng. Độ lệch tiêu chuẩn là căn bậc hai trung 
bình bình phương hai độ lệch tiêu chuẩn ban đầu và khoảng trống (offset) của nó là tổng 
hai khoảng trống ban đầu. Biên độ đỉnh là tích các biên độ hai đỉnh ban đầu. 
Tính chất nhân chập này của hàm Gauss rất hữu ích cho việc nghiên cứu các hệ thống 
tuyến tính. Hơn nữa, hình thù đơn thức (unimodal), bằng phẳng của hàm Gauss làm cho 
nó gần đúng đối với việc mô hình hoá các xết lấy mẫu, các vết hiển thị và sự đa dạng 
của các thực thể khác bắt gặp trong xử lý ảnh số và phân tích các hệ thống quang học. 
Vài tính chất có ích hơn của hàm Gauss được trình bày trong chương tiếp theo. Các tính 
chất này giải thích cách sử dụng thường xuyên của hàm Gauss trong phân tích hệ thống 
tuyến tính. 
9.4.4.Xung (impulse) 
Xung, hay hàm đenta Dirac, không phải là một hàm theo định nghĩa truyền thống 
hàm. Mà là một hàm ký hiệu định nghĩa bởi tính chất tích phân của nó, 
 1)()( 


 dxxdxx (57) 
Trong đó  là một số nhỏ hơn 0 tuỳ ý. Lưu ý rằng (x) = 0 với x 0; xung không xác 
định tại gốc. 
 129 
Bởi vì (x) không phải là một hàm nên sự sử dụng của nó giống như có phần làm suy 
yếu mức độ chính xác của chúng ta. Có một cách tiếp cận chính xác xem xét xung như 
một khái niệm theo lý thuyết phân phối, nó tạo ra các kết quả tương tự trong khi sử dụng 
ký hiệu phức tạp. Chúng ta sẽ bám chặt vào công việc thực tiến phổ biến và xem xét (x) 
như là một hàm, nhưng phải lưu ý đến những tính chất đặc biệt của nó. 
Xung có thể được xem như là một hạn chế của xung vuông hẹp 
 )(1lim)(
0 a
x
a
x
a
 
 (58) 
Như trình bày trong hình 9-13. Khi a trở thành nhỏ hơn, xung cũng trở nên hẹp hơn, 
nhưng cao hơn, để bảo toàn diện tích. Theo sự hạn chế, xung trở nên cao vô hạn với 
chiều rộng nhỏ vô cùng. Ký hiệu cho xung không có đơn vị diện tích dịch đợc cho trong 
hình 9-14. 
HÌNH 9-13 
Hình 9-13 Xung vuông mô phỏng của xung 
HÌNH 9-14 
Hình 9-14 Ký hiệu cho xung được dịch 
Từ biểu thức (57), chúng ta có thể viết 
 AdxxA 
)( (59) 
Và hơn nữa, 
 130 
 )0()()( fdxxxf 
 (60) 
Bởi vì xung khác 0 với x 0. Tính chất tích phân tổng quát hơn này được thực hirnj 
phổ biến như định nghĩa về xung. 
9.4.4.1.Các tính chất của xung 
Xung có tính chất chọn lọc (sifting) bởi vì khả năng tách một điểm đơn ra khỏi đồ thị 
của nó. Điều này được biểu diễn bởi 
 )()()()()( 000 xfdxxxxfdxxxxf 
 (61) 
Khi ta nhân một hàm với xung dịch của nó và tích phân kết quả, ta chỉ được giá trị 
của hàm tại vị trí xung. Chúng ta có thể chứng minh biểu thức (61) bằng cách thay thế x 
– x0 = , bao hàm dx = d. Thay vào biểu thức (61) ta được 
  dxfdxxxxf )()()()( 00 (62) 
Từ biểu thức (60), ta có 
 )()()()( 000 xfxfdxf 
  (63) 
điều phải chứng minh. 
Hàm đenta tỏ ra khá tỉ mỉ đối với sự thay đổi tỷ lệ của toạ độ trong một hệ thống toạ 
độ Đề-các vuông góc, 
 )(1)( x
a
ax  (64) 
Biểu thức (64) cho rằng một thay đổi tỷ lệ toạ độ thực sự sẽ tạo ra một thay đổi tỷ lệ 
của tung độ. Tính chất này phải được nghĩ đến trong khi thực hiện các thao tác đại số đối 
với xung. Chúng ta có thể chứng minh biểu thức (64) bằng cách đặt f(x) bằng một hàm 
tuỳ ý và viết 
 )0(1)()(1)()( f
a
d
a
f
a
dxxfax 


 (65) 
Trong đó ax = , x = /a và dx= (1/a)d. với a < 0, các giới hạn trao đổi lẫn nhau sẽ 
làm dấu trừ mất tác dụng và, vì thế, đòi hỏi các ký hiệu giá trị tuyệt đối. Bây giờ chúng 
ta có thể viết 
 dxxfx
a
dxxfx
a
f
a
dxxfax )()(1)()(1)0(1)()(  (66) 
Vì f(x) là hàm tuỳ ý nên nó chỉ đúng nếu biểu thức (64) đúng. Chú ý rằng với cách đặt 
a = -1 sẽ chứng minh rằng hàm đenta là đối xứng qua gốc. 
9.4.4.2.Đáp ứng xung của hệ thống tuyến tính 
Chú ý rằng 
 )()()()()()( 0 xfxfdxfxfx 
  (67) 
 131 
Có nghĩa xung là hàm đồng nhất đối với phép nhân chập. Do nguyên nhân này, hàm 
đặc trưng của hệ thống tuyến tính được gọi là đáp ứng xung của hệ thống. Đáp ứng xung 
là kết quả đầu ra của hệ thống mà đầu vào là một xung. 
9.4.5.Hàm nhảy bậc (step function) 
Hàm nhảy bậc là hàm gián đoạn tại x = 0 và được cho bởi 
0,0
0,
2
1
0,1
)(
x
x
x
xu
 (68) 
Và tính chất tích phân của nó 
0
)()()( dxxfdxxfxu (69) 
Trong đó f(x) là hàm tuỳ ý. Hàm nhảy bậc dịch u(x - x0) được cho trong hình 9-15. 
Lưu ý rằng hàm nhảy bậc là tích phân của xung: 
HÌNH 9-15 
Hình 9-15 Hàm nhảy bậc 
0
0
00 ,0
,1
)()(
xx
xx
dxxxu
x
 (70) 
Ngoài ra, như ta đã nói, xung là đạo hàm của hàm nhảy bậc 
 )()()(' x
dx
xduxu  (71) 
Chúng ta có thể chứng minh biểu thức (71) theo cách dưới đây. Đầu tiên chúng ta tích 
phân từng phần biểu thức 
 dxxfxuxfxudxxfxu )(')()()()()(' (72) 
Trong đó f(x) là hàm tuỳ ý tiến đến 0 khi x = . Với giới hạn này, biểu thức (72) rút 
gọn thành 
 132 
 dxxfxudxxfxu )(')()()(' (73) 
Áp dụng định nghĩa của hàm nhảy bậc, ta có thể viết 
 )0()]0()([)(')(')(
0
fffdxxfdxxfxu 
 (74) 
vì f( ) = 0. Sử dụng định nghĩa xung, ta có thể viết 
 dxxfxfdxxfxu )()()0()()('  (75) 
phải đúng đối với hàm f(x) được chọn tuỳ ý. Nhưng điều này chỉ đúng nếu biểu thức 
(71) đúng. 
9.5.LỌC NHÂN CHẬP 
Phép nhân chập thường dùng để thực hiện các phép toán tuyến tính trên tín hiệu và 
ảnh. Phần này minh hoạ khái niệm trên với một số ví dụ. 
9.5.1.Làm nhẵn (smoothing) 
Hình 9-16 trình bày sự sử dụng phép nhân chập để lằm nhẵn hàm nhiễu f(x). Xung 
vuông g(x) là đáp ứng xung của bộ lọc làm nhẵn. Giống như các hành động của phép 
nhân chập, xung vuông di chuyển từ trái sang phải, tạo ra h(x), tại từng điểm, là trung 
bình cục bộ của f(x) trên một đơn vị bề rộng bên trong. Trung bình cục bộ có tác dụng 
khử nhiễu biến thiên tần số cao trong khi vẫn bảo toàn hình dạng cơ bản của hàm vào. 
Đây là ứng dụng điển hình cho việ sử dụng các bộ lọc đáp ứng xung không âm để làm 
nhẵn dữ liệu nhiễu. Chúng ta có thể sử dụng xung tam giác hay xung Gauss như hàm 
làm nhẵn. 
9.5.2.Làm nổi cạnh (edge enhancement) 
Hình 9-17 minh hoạ một kiểu lọc khác, lần này là để làm nổi cạnh. Hàm cạnh f(x) 
biến đổi biên độ thấp đến cao khá chậm. Đáp ứng xung g(x) là đỉnh dương với những 
vấu sườn (side lobe) âm. Giống như phép nhân chập tiến hành, g(x) di chuyển từ trái 
sang phải, với các vấu sườn và các vấu chính biến đổi cạnh lên từng nấc. Đầu ra của 
bộlọc chỉ ra là h(x). 
Bộ lọc làm nổi cạnh trong hình có hai kết quả. Thứ nhất, nó tiến tới làm giảm độ dốc 
biến đổi tại cạnh. Thứ hai, nó tăng cường phía khác của cạnh. Đây là tác dụng phổ biến 
của các bộ lọc làm nổi cạnh. 
HÌNH 9-17 
 133 
Hình 9-17 Làm nổi cạnh, ví dụ 1 
Xem xét đáp ứng xung như ví dụ thứ hai của phép làm nổi cạnh, 
22 2/)(2)(  xexxg (76) 
Và được trình bày trong hình 9-18. Chú ý rằng 
2222 2/2/ )()(2)()(2)(  xx exfxfexfxxfgfh (77) 
Vì vậy, đầu ra chỉ đơn thuần là gấp đôi đầu vào, không có đầu vào nhân chập với hàm 
Gauss. Việc nhân chập với hàm Gauss sẽ làm mờ cạnh, như minh hoạ trong hình. Ngoài 
ra, hình dạng của cạnh cũng bị cường điệu. 
Bài tập này chỉ ra rằng phép trừ một ảnh ban đầu cho một ảnh bị mờ có tác dụng làm 
nổi cạnh. Phép toán gợi lại kỹ thuật chụp ảnh phòng tối gọi là mặt nạ không nhọn 
(unsharp masking). 
9.5.3.Giải chập 
Thường thường, khi một ảnh thu được, nó đã được thực hiện trên một hay nhiều hệ 
thống tuyến tính không có sự điều khiển của chúng ta. Nhiều suy biến do thị giác, các bộ 
cảm nhận, các máy ghi nhận và hiển thị có thể bị mô hình hoá như các phép nhân chập. 
Kỹ thuật thiết kế một phép nhân chập để xoá bỏ (undo) tác dụng của một phép nhân 
chập khác gọi là giải chập (deconvolution). Chủ đề này được đưa ra trong chương 16. 
HÌNH 9-18 
Hình 9-18 Làm nổi cạnh, ví dụ 2 
9.6.KẾT LUẬN 
Trong chương này, chúng ta đã thiết lập một cơ cấu phân tích hành động của các hệ 
thống quang học, các bộ cảm nhận ảnh, các mạch điện và các phép toán lọc số. Điều này 
hầu như kiểm soát hoàn toàn các thành phần bên trong các hệ thống xử lý ảnh. trong 
chương 10, chúng tôi sẽ trình bày một công cụ mạnh khác đối với việc phân tích hệ 
thống tuyến tính: biến đổi Fourier. Phần còn lại của phần 2, chúng tôi cung cấp những 
công cụ này để phát triển các phương pháp ngắn gọn cho việc biểu diễn các kết quả mà 
các hệ thống số hoá, các hệ thống hiển thị và các phép toán xử lý ảnh có thể có trên ảnh. 
 134 
9.7.TỔNG KẾT NHỮNG ĐIỂM QUAN TRỌNG 
1. Khi đầu vào một hệ thống tuyến tính là tổng của hai tín hiệu thì đầu ra cũng là 
tổng của hai đầu ra được tạo bởi mỗi tín hiệu hoạt động đơn lẻ. 
2. Thay đổi thời gian (hay không gian) đầu vào một hệ thống bất biến dịch ban đầu 
đơn thuần chỉ dịch chuyển đầu ra cùng một lượng. 
3. Tín hiệu điều hoà được sử dụng để biểu thị cho tín hiệu sin do chúng đơn giản 
hoá việc phân tích các hệ thống tuyến tính. 
4. Các đầu vào điều hoà (sin) của một hệ thống tuyến tính bất biến dịch tạo ra các 
đầu ra điều hoà. 
5. Một hệ thống tuyến tính bất biến dịch được xác định hoàn toàn bởi hàm truyền 
đạt của nó. 
6. Hàm truyền đạt là một hàm tần số có giá trị phức và có quan hệ với biên độ và 
pha của đầu vào và đầu ra điều hoà. 
7. Đầu vào điều hoà nhân với giá trị của hàm truyền đạt tại tần số đầu vào cho ta 
đầu ra của hệ thống tuyến tính bất biến dịch. 
8. Phép nhân chập hai hàm bao gồm làm lệch và dịch chuyển một hàm và sau đó 
tích phân tích số của chúng. Đầu ra là giá trị của phép tích phân như hàm độ dịch 
chuyển. 
9. Đầu ra của hệ thống tuyến tính bất biến dịch được cho bởi phép nhân chập đầu 
vào với hàm đáp ứng xung của hệ thống đó. 
10. Đáp ứng xung của một hệ thống tuyến tính bất biến dịch riêng biệt là duy nhất và 
hoàn toàn xác định hệ thống. 
11. Phép nhân chập mô hình hoá kết quả của vết mẫu có trên ảnh. 
12. Phép nhân chập có thể thực hiện số (digital) phép lọc tuyến tính trên các tín hiệu 
và ảnh số hoá. 
13. Thực hiện số phép lọc tuyến tính có thể sử dụng cho phép giải chập, giảm nhiễu 
và tăng cường đặc tính. 
14. Bởi vì phép nhân chập không thể tiến hành trên tất cả các biên ảnh nên điều quan 
trọng là tránh đặt các thông tin quan trọng tại đó. 
15. Nhân chập hai hàm Gauss tạo ra một hàm Gauss khác rộng hơn. 
16. Xung (x) là hàm đồng nhất dưới phép nhân chập [biểu thức (67)]. 
17. Thay đổi tỷ lệ toạ độ sẽ làm ảnh hưởng đến cường độ của xung [biểu thức (64)]. 
18. Xung là đạo hàm của hàm nhảy bậc. 
19. Đáp ứng xung của bộ lọc làm nổi cạnh điển hình có một đỉnh dương ở gốc được 
các vấu sườn âm bao quanh. 
20. Các bộ lọc làm nổi cạnh thường tạo ra đồ tạo tác (artifact) gọi là cường điệu hay 
đường nét. 
BÀI TẬP 
1. Chứng minh biểu thức (4). 
2. Kiểm tra biểu thức (39). 
3. Kiểm tra biểu thức (40). 
4. Chứng minh rằng (t) (t) = (t). 
5. Kiểm tra biểu thức (55) và (56). 
6. Trong một hệ thống riêng biệt, f1(t) cos2(2 f0t) và 2f1(t) 1 + cos2(4 f0t). 
Hệ thống này có tuyến tính không? Tại sao? 
7. Trong một hệ thống riêng biệt, ( t) cosech(2 t) và ( (t - a)) 
cosech(2 at). Hệ thống này có bất biến dịch? Tại sao? 
 135 
8. Trong một hệ thống riêng biệt, ( t) sech2(2 t) và ( (t - a)) sech2(2 (t 
– a)). Hệ thống này có bất biến dịch? Tại sao? 
9. Trong một hệ thống riêng biệt, f2(t) (2t) và 2f2(t) (t). Hệ thống này có 
tuyến tính không? Tại sao? 
10. Trong một hệ thống riêng biệt, f3(t) cos(2 t) và f3(t - /2) sin(2 t). Hệ 
thống này có bất biến dịch không? Tại sao? 
11. Trong một hệ thống riêng biệt, (t) 1/[1 + (t/2)2] và [4(t - 2)] 1/(t2 – 4t + 
8). Hệ thống này có tuyến tính không? Có bất biến dịch không? Tại sao? 
12. Trong một hệ thống riêng biệt, 2u(t) là hàm nhảy bậc, 
 và . Hệ 
thống này có tuyến tính khong? Có bất biến dịch không? Tại sao? 
13. Chứng minh rằng sech( t) * sech( t) = 2t cosech( t). 
14. Đầu ra sẽ như thế nào nếu hàm Gauss có biên độ 100, độ lệch tiêu chuẩn là 4 và 
tập trung tại t = 8 được đặt vào hệ thống tuyến tính bất biến dịch có đáp ứng 
xung là hàm Gauss có biên độ 2 và độ lệch tiêu chuẩn tập trung tại gốc? Phác hoạ 
đầu vào và đầu ra trên cùng một đồ thị. 
15. Một hệ thống tuyến tính bất biến dịch có đáp ứng xung 
 2
2
2
1)(2)(
t
ettg
 
 Và đầu vào của nó là 
 8
2
10)(
t
etx
 Phác hoạ đầu vào và đầu ra trên cùng một đồ thị. 
16. Nếu cần giảm nhiễu ngẫu nhiên của tín hiệu, bạn sẽ sử dụng đáp ứng xung của nó 
trong bài tập 14 hay bài tập 15? Tại sao? Nếu bạn cần làm rõ các cạnh, bạn sẽ sử 
dụng đáp ứng xung nào? Tại sao? 
DỰ ÁN 
1. Sử dụng một hệ thống máy tính và gói phần mềm với khả năng hiển thị và nhân 
chập ảnh, xử lý để giảm nhiễu ảnh mặt một người bị nhiễu. Thí nghiệm với kích 
thước và hình dạng của nhân phép nhân chập để thu được toàn bộ kết quả thoả 
mãn nhất. Viết một bài ngắn mô tả điều gì sẽ xảy ra khi nhân quá nhỏ, điều gì sẽ 
xảy ra khi nhân quá lớn và bạn thu được kích thước hoàn hảo như thế nào. In cả 
kết quả ảnh đã xử lý vào trong bài viết. 
2. Phát triển một chương trình tạo các nhân phép nhân chập từ các tham số đã xác 
định và ghi chúng ở dạng sao cho một gói phần mềm xử lý ảnh nào đó có thể 
đọc. Chạy thử chương trình trên ảnh số hoá để khẳng định rằng nó hoạt động. 
)]2(2tanh[)2/1(1)(2 ttu )]11(2tanh[22)9(4 ttu