Bài giảng Xử lý ảnh - Chương 8: Các phép toán hình học

 94 
CHƯƠNG 8 
CÁC PHÉP TOÁN HÌNH HỌC 
8.1 GIỚI THIỆU 
Các phép toán hình học làm thay đổi mối quan hệ không gian giữa các đối tượng 
trong ảnh. Những phép toán như thế có thể được xem như di chuyển các vật khắp nơi 
trong ảnh. Tác đọng này cũng giống như khi in ảnh lên một tấm cao su, kéo giãn tấm cao 
su đó và ghim nó xuống tại những điểm khác nhau. Thực ra, một phép toán hình học 
được hiểu theo một nghĩa rộng hơn, bởi vì một điểm bất kỳ trong ảnh đầu vào nào cũng 
có thể di chuyển đến bất cứ vị trí của ảnh đầu ra. Một phép toán hình học không hạn chế 
như thế thường làm lộn xộn nội dung ảnh, do đó các phép toán hình học thường được 
giới hạn để giữ được một trật tự bề ngoài nào đó. 
Một phép toán hình học yêu cầu phải có hai thuật giải. Trước hết phải có một thuật 
giải định nghĩa sự biến đổi không gian. Phép toán này định rõ "sự chuyển động" của mỗi 
điểm ảnh khi nó "di chuyển" từ vị trí ban đầu đến vị trí kết thúc trong ảnh. Phép nội suy 
mức xám cũng đòi hỏi phải có một thuật giải. Nói chung, phép toán này là cần thiết bởi 
vì các vị trí x, y nguyên trong ảnh đầu vào ánh xạ đến các vị trí phân số (không nguyên) 
trong ảnh đầu ra và ngược lại. 
8.1.1 Sự biến đổi không gian 
Trong hầu hết các ứng dụng, người ta thường mong muốn bảo toàn tính liên tục của 
các đặc tuyến cong tuyến tính (curvilinear) và sự kết nối của các đối tượng trong ảnh. 
Một thuật giải biến đổi không gian ít hạn chế hơn có thể làm đứt đoạn các đường và các 
đối tượng và có khuynh hướng "làm bắn tung toé" nội dung ảnh. 
Người ta có thể hoàn toàn xác định được sự di chuyển của mỗi điểm ảnh trong ảnh, 
nhưng nó sẽ nhanh chóng trở nên khó di chuyển, thậm chí với cả những ảnh nhỏ. Để 
thuận tiện hơn thì ta nên xác định chính xác mối quan hệ không gian giữa các điểm trong 
ảnh vào và các điểm trong ảnh ra. Định nghĩa chung cho một phép toán hình học là 
 )],(),,([)','(),( yxbyxafyxfyxg (1) 
trong đó f(x,y) là ảnh đầu vàu và g(x,y) là ảnh đầu ra. Các hàm a(x,y) và b(x,y) xác 
định sự biến đổi không gian duy nhất. Nếu các hàm này liên tục thì tính liên kết trong 
ảnh sẽ được bảo toàn. 
8.1.2 Phép nội suy mức xám (Gray-Level Interpolation) 
Yêu cầu thứ hai đối với một phép toán hình học là một thuật giải cho phép nội suy 
các giá trị mức xám. Trong ảnh đầu vào f(x,y), các giá trị mức xám chỉ được xác định tại 
các giá trị tích phân của x và y. Tuy nhiên, biểu thức (1) nói chung sẽ chỉ ra rằng giá trị 
mức xám đối với ảnh g(x,y) có được từ các vị trí phân số (không nguyên) kết hợp của 
ảnh f(x,y). Nếu một phép toán hình học được xem là một ánh xạ từ f sang g, thì các điểm 
ảnh trên f có thể ánh xạ tới các vị trí giữa các điểm ảnh trên g và ngược lại. Với mục 
đích của phần thảo luận này,chúng ta quy định rằng các điểm ảnh phải được định vị 
chính xác tại các tạo độ giao nhau của lưới lấy mẫu (sampling grid). 
 95 
Để nói về sự biến đổi không gian và một thuật giải chophép nội suy mức xám, chúng 
ta sẽ thực hiện một phép toán hình học. Thông thường, một thuật giải nội suy mức xám 
được cài đặt cố định trong chương trình máy tính. Tuy nhiên, thuật giải xác định sự biến 
đổi không gian được định rõ duy nhất cho công việc sắp tới. Bởi vì thuật giải nội suy 
mức xám luôn giống nhau, hoặc một trong nhiều tuỳ chọn, nên sự biến đổi không gian là 
sự biến đổi không gian định nghĩa phép toán hình học cụ thể. 
8.1.3 Sự thực hiện 
Khi thực hiện một phép toán hình học, ta có thể đi theo một trong hai hướng trên. Ta 
có thể xem phép toán đó như là việc chuyển các mức xám từ ảnh đầu vào sang ảnh đầu 
ra, lần lượt từng điểm ảnh một. Nếu một điểm ảnh đầu vào ánh xạ đến một vị trí giữa 
bốn điểm ảnh đầu ra, thì mức xám của nó là một trong bốn điểm ảnh ra này, tuỳ thuộc 
vào quy tắc của phép nội suy. Chúng ta gọi nó là cách tiếp cận mang điểm ảnh sang 
(pixel carry-over) hay ánh xạ tiến (forward mapping). (Xem hình 8-1.) 
Một sự thực hiện luân phiên, và hiệu quả hơn, được hoàn thành nhờ thuật giải lấp đầy 
điểm ảnh (pixel filling) hay ánh xạ lùi (backward mapping). Trong trường hợp này, các 
điểm ảnh đầu ra được ánh xạ ngược lại thành ảnh đầu vào, từng điểm ảnh một, để thiết 
lập các mức xám của chung. Nếu một điểm ảnh ra nằm giữa bốn điểm ảnh vào thì mức 
xám của nó được xác định bằng phép nội suy mức xám (Hình 8-1). Sự biến đổi không 
gian lùi là nghịch đảo của biến đổi tiến. 
Thuật giải ánh xạ lùi có phần lãng phí, bởi vì nhiều điểm ảnh vào có thể ánh xạ đến 
các vị trí bên ngoài ảnh đầu ra. Hơn nữa, mỗi điểm ảnh ra có thể được đánh địa chỉ vài 
lần, cùng với các điểm ảnh đầu vào tập trung thành giá trị mức xám cuối cùng của nó. 
Nếu sự biến đổi không gian bao gồm cả sự thu nhỏ thì có thể có nhiều hơn bốn điểm ảnh 
đầu vào cùng tham gia. Nếu có sự phóng to thì tất nhiên một số điểm ảnh đầu ra sẽ bị 
mất khi không có điểm ảnh đầu vào nào ánh xạ đến các vị trí gần chúng. 
Tuy nhiên, thuật giải ánh xạ lùi tạo ra ảnh đầu ra theo từng điểm ảnh một, từng dòng 
một. Mức xám của mối điểm ảnh được xác định duy nhất bởi một bước nội suy giữa bốn 
điểm ảnh (đa số là như vậy). Dĩ nhiên, ảnh đầu vào phải được truy cập một cách ngẫu 
nhiên theo một cách mà được xác định bâừng sự biến đổi không gian, và việc này có thể 
rất phức tạp. Tuy nhiên, cách tiếp cận lấp đầy điểm ảnh là thuật giải thực tiễn hơn đối 
với công dụng chung. 
HÌNH 8-1 
Hình 8-1 Chuyển điểm ảnh 
 96 
8.2 PHÉP NỘI SUY MỨC XÁM 
Vì những điểm ảnh đầu ra ánh xạ đến những vị trí phân số trong ảnh đầu ra, cho nên 
chúng thường rơi vào khoảng giữa bốn điểm ảnh vào. Như vậy phép nội suy là cần thiết 
để xác định mức xám nào sẽ tương ứng với vị trí đó. 
8.2.1 Phép nội suy lân cận gần nhất (Nearest Neighbor) 
Sơ đồ nội suy đơn giản nhất được gọi là nội suy bậc không (zero order), hay lân cận 
gần nhất (nearest neighbor). Trong trường hợp này, mức xám của điểm ảnh đầu ra được 
lấy bằng mức xám của điểm ảnh đầu vào nằm gần nhất mà điểm ảnh ra ánh xạ sang. 
Phép nội suy này tính toán đơn giản và tạo ra những kết quả có thể chấp nhận trong 
nhiều trường hợp. Tuy nhiên, phép nội suy lân cận gần nhất có thể cho ra những đồ tạo 
tác (ý muốn nói là trông ảnh như phiến đá tạc của người cổ) trong những ảnh mang cấu 
trúc tinh vi, với mức xám thay đổi đáng kể từ điểm ảnh này sang điểm khác. Hình 8-2 
đưa ra một ví dụ các ảnh quay bằng phép nội suy lân cận gần nhất, với kết quả bị hiệu 
ứng răng cưa ở một cạnh nào đó. 
8.2.2 Phép nội suy song tuyến tính (Bilinear Interpolation) 
Phép nội suy bậc thứ nhất (first-order), hay song tuyến tính (binear) mang lại kết quả 
mong muốn hơn phép nội suy bậc không, mà việc lập trình chỉ hơi phức tạp và tốn thời 
gian một chút. Vì việc tạo một mặt phẳng đi qua bốn điểm là vấn đề quá khó khăn, phép 
nội suy bậc một trên hệ toạ độ vuông góc đòi hỏi phải có hàm song tuyến tính. 
Đặt f(x,y) là hàm hai biến đã biết tại đỉnh của hình khối vuông góc. Giả sử ta muốn 
thiết lập phép nội suy giá trị hàm f(x,y) tại một điểm tuỳ ý nằm bên trong hình vuông 
(Hình 8-3). Chúng ta cũng có thể thực hiện như vậy bằng sự điều chỉnh hyperbolic 
paraboloic, xác định bởi biểu thức song tuyến tính 
 dcxybyaxyxf ),( (2) 
đi qua bốn giá trị đã biết. 
Bốn hệ số, a đến d, được chọn để cho hàm f(x,y) điều chỉnh các giá trị đã biết tại bốn 
góc. Có một thuật giải đơn giản hơn để tạo ra một hàm nội suy song tuyến tính mà có thể 
điều chỉnh hàm f(x,y) tại các góc. Trước hết, chúng ta nội suy tuyến tính giữa hai điểm 
phía trên để thiết lập giá trị của 
 )]0,0()1,0([)0,0()0,( ffxfxf (3) 
Tương tự cho hai điểm ở phía dưới 
 )]1,0()1,1([)1,0()1,( ffxfxf (4) 
Cuối cùng, chúng ta nội suy tuyến tính theo phương thẳng đứng để xác định giá trị 
của 
 )]0,()1,([)0,(),( xfxfyxfyxf (5) 
Thay biểu thức (3) và (4) vào biểu thức (5), khai triển, ta được 
)0,0()]0,1()1,0()0,0()1,1([
)]0,0()1,0([)]0,0()0,1([),(
fxyffff
yffxffyxf
 (6) 
 97 
nó có cùng dạng với biểu thức (2) và vì thế nó là song tuyến tính. Khi thay vào,krõ 
ràng là biểu thức (6) điều chỉnh bốn giá trị đã biết của f(x,y) tại các góc của khối vuông 
góc. 
Lưu ý rằng nếu chúng ta cho x hoặc y là hằng số (không đổi) thì biểu thức (2) trở 
thành tuyến tính theo biến khác. Điều này làm sáng tỏ rằng hyperbolic paraboloic là một 
bề mặt giới hạn hai chiều; có nghĩa là nó cắt tất các mặt phẳng song song với mặt phẳng 
xz và tất cả các mặt phẳng song song với mặt phẳng yz theo một đường thẳng. 
Phép nội suy song tuyến tính có thể được thực hiện trực tiếp bằng biểu thức (6), hoặc 
thực hiện phép nội suy tam tuyến tính (triple linear) cho bởi biểu thức (3), (4) và (5). Vì 
biểu thức (6) bao gồm bốn phép nhân và tám phép cộng hoặc trừ nên các chương trình 
biến đổi hình học đặc thù được thực hiện sau, và nó chỉ yêu cầu ba phép nhân và sáu 
phép cộng hoặc trừ. 
Khi bốn điểm ảnh lân cận liền kề được nội suy bằng biểu thức song tuyến tính, bề 
mặt thu được phù hợp về độ rộng tại các đường biên lân cận, nhưng không phù hợp với 
độ nghiêng. Vì thế, một bề mặt được tạo bởi phép nội suy song tuyến tính là liên tục, 
nhưng nói chung đạo hàm của nó là không liên tục tại các biên lân cận. 
8.2.3 Phép nội suy bậc cao hơn (Higher Order) 
Trong các phép toán hình học, hiệu ứng làm trơn (smoothing effect) của phép nội suy 
mức xám song tuyến tính có thể làm suy giảm những chi tiết sắc xảo trong ảnh, đặc biệt 
là khi phóng to. Trong các ứng dụng khác, những điểm gián đoạn độ nghiêng của phép 
nội suy song tuyến tính có thể tạo ra những kết quả không mong muốn. Trong cả hai 
trường hợp trên, những kết quả tính toán thêm của phép nội suy bậc cao hơn có thể được 
chứng minh là đúng. Một hàm tương tự, nhưng phức tạp hơn, biểu thức (2) và có nhiều 
hơn bốn hệ số được thực hiện để điều chỉnh thông qua một trong các điểm lân cận. 
Nếu số hệ số bằng với số điểm thì có thể tạo ra một bề mặt nội suy để điều chỉnh tại 
từng điểm. Nếu số điểm lớn hơn số hệ số, một thủ tục điều chỉnh đường cong hay tối 
thiểu hoá lỗi sẽ được sử dụng. Các ví dụ về các hàm nội suy bậc cao hơn là các khối lập 
phương, các hàm Legendre tập trung và hàm sin( x)/ x. Hàm sau cùng đã được đề cập 
đến trong các chương trước. Phép nội suy bậc cao hơn thường được thực hiện bằng phép 
nhân chập. Phần 2 của tài liệu này sẽ đè cập đến điều này. 
8.3 PHÉP BIẾN ĐỔI KHÔNG GIAN 
Biểu thức (1) cho ta công thức tổng quát về phép biến đổi không gian. Chúng ta cần 
phải xem xét một số trường hợp đặc biệt ít phức tạp hơn trước khi đi vào các phép toán 
hình học chung. 
8.3.1 Các phép biến đổi đơn giản 
Nếu ta đặt 
 yyxbxyxa ),(),( (7) 
vào biểu thức (1), ta sẽ có phép toán số học, mà chie đơn thuần là sao chép f sang g 
không không thay đổi gì cả 
Nếu ta đặt 
 00 ),(),( yyyxbxxyxa (8) 
 98 
chúng ta sẽ có phép toán biến đổi, mà trong đó điểm x0,y0 được tịnh tiến về gốc toạ 
độ và các đặc điểm bên trong ảnh được chuyển đi một lượng 20
2
0 yx . Dùng công thức 
được là phối hợp đồng đều (homogeneous coordinate), chúng ta có thể xem mặt phẳng 
x-y là mặt phẳng z = 1 của không gian x, y, z ba chiều và viết lại biểu thức (8) dưới dạng 
mảtận như sau 
1100
10
01
1
),(
),(
0
0
y
x
y
x
yxb
yxa
 (9) 
Đặt 
 dyyxbcxyxa /),(/),( (10) 
sẽ phóng to ảnh với hệ ssó c theo hướng x và hệ số d theo hướng y. Gốc toạ độ của 
ảnh (thường là góc trên-trái) vẫn giữ nguyên khi nảh được “mở rộng”. Theo sự phối hợp 
đồng đều, biểu thức (10) được viết lại như sau 
1100
10
01
1
),(
),(
0
0
y
x
y
d
x
c
yxb
yxa
 (11) 
Đặt c = -1 ta được sự lệch hướng theo trục y, 
 yyxbxyxa ),(),( (12) 
và tương tự với d và trục x. 
Cuói cùng, đặt 
 )sin()cos(),(  yxyxa (13) 
và 
 )cos()sin(),(  yxyxb (14) 
tạo ra một (cw rotation through) quay một góc  quanh gốc toạ độ. Biểu thức này có 
thể được viết theo toạ độ đồng nhất như sau 
1100
0)cos()sin(
0)sin()cos(
1
),(
),(
y
x
yxb
yxa


 (15) 
Rõ ràng chúng ta có thể kết hợp phép tịnh tiến với phép phóng đại để tạo ra ảnh "lớn 
thêm" một điểm nữa trừ gốc toạ độ. Cũng tương tự, chúng ta có thể kết hợp phép tịnh 
tiến với phép quay để tạo ra phép quay quanh một điểm tuỳ ý. 
Toạ độ đồng nhất cung cấp một cách tương tự để xác định công thức cho các phép 
tịnh tiến phức hợp. Ví dụ, phép quay xung quanh điểm x0, y0 được thực hiện bởi công 
thức 
 99 
1100
10
01
100
0)cos()sin(
0)sin()cos(
100
10
01
1
),(
),(
0
0
0
0
y
x
y
x
y
x
yxb
yxa


 (16) 
Trước tiên ảnh được tịnh tiến sao cho điểm x0, y0 trùng gốc toạ độ, sau đó được quay 
với góc , và sau đó được tịnh tiến về lại gốc ban đầu của nó. Thực hiện nhân biểu thức 
(16) cho ra một phương trình tịnh tiến gần đúng. Các phép tịnh tiến khác cũng có thể 
được xây dựng tương tự. Trong cấu trúc vế phải của biểu thức, phép toán được thực hiện 
từ trái sang phải. 
Thực hiện tách rời (Separable Inplementations). Nếu một ảnh được đưa ra đẻ 
quay hay phóng to [biểu thức (11)], thì các toạ độ điểm ảnh ra a(x,y) và b(x,y) chỉ phụ 
thuộc vào x và y tương ứng. Vì thế, có khả năng, và đôi khi cúng hiệu quả hơn, để thực 
hiện phép toán trong hai bước. Ví dụ, đầu tiên là thực hiện theo chiều ngang, tạo ra một 
ảnh trung gian. Sau đó thực hiện theo chiều dọc, sử dụng ảnh trung gian như đầu vào của 
nó để tạo ra kết quả cuối cùng. 
Catmull và Smith đã cho thấy là có khả năng để thực hiện một phép quay theo thủ tục 
hai bước tương tự. Giải biểu thức (13) theo x ta được 
)cos(
)sin(),(

yyxax (17) 
và thay vào biểu thức (14) dẫn đến 
)cos(
)sin(),(),(

 yyxayxb (18) 
Vì thế, chúng ta có thể sử dụng biểu thức (13), biểu thức tuyến tính trong x theo dòng 
quét bất kỳ, theo phép kết hợp với b(x,y) = y trong phần đầu (chỉ có chiều ngang) của 
phép toán. Sau đó chúng ta có thể dùng biểu thức (18), biểu thức tuyến tính trong y theo 
cột bất kỳ với a(x,y) = x trong phần hai (chỉ có chiều dọc) của phép toán. 
Trong phép quay loại này, các đặc điểm của ảnh được "nén" theo chiều x bởi hệ số 
cos() ở bước thứ nhất, và sau đó được "bung" theo chiều y bởi hệ số sin() ở bước thứ 
hai. Kỹ thuật này sẽ không có kết quả với những góc là bội của 900, khi đó cosin sẽ bằng 
0, và sai số sẽ hạn chế trong những góc nhỏ hơn. 
Đối với những ứng dụng ghi lại ảnh, góc quay yêu cầu thường nhỏ. Thậm chí điều 
này không phải như vậy, phép quay với góc bôi của 900 vẫn có thể thực hiện bằng cách 
hoán đổi hàng và cột đơn giản. Vì thế, có thể quay một ảnh theo một góc bất kỳ trong 
khi vẫn giữ góc quay thực sự giữa +450 và -450 và hệ số nén không nhỏ hơn 0.707. Sau 
đó, với giới hạn này phép tịnh tiến, phóng đại và quay có các phép thực hiên một chiều. 
8.3.2 Các phép biến đổi chung 
Đối với các phép biến đổi không gian đơn giản có liên quan, việc sử dụng một biểu 
thức giải tích cho biểu thức (1) có thể là thiết thực. Tuy nhiên, trong nhiều ứng dụng xử 
lý ảnh, phép biến đổi không gian mong muốn có quan hệ phức tạp và không tuân theo 
một biểu thức toán học thích hợp nào. Hơn thế nữa, phép tịnh tiến điển ảnh thường thu 
được từ kích thước thực sự của ảnh và nó xác định rõ phép toán hình học trong các số 
hạng này chứ không phải trong một dạng hà ... 
Nghiên cứu bản đồ (cartography). Khoa học nghiên cứu bản đồ là sự liên quan đến 
việc tạo ra các bản đồ hai chiều của hình cầu hay khối elipxoit. điều này không phải là 
chuyện đơn giản, bởi vì không thẻ san phẳng bề mặt hình cầu mà không bị biến dạng. 
Các nhà nghiên cứu bản đồ giải quyết vấn đề bằng cách chiếu bề mặt hình cầu lên một 
mặt phẳng hoặc một hình trụ hay hình nón mà có thể "trải ra" để tạo thành một bề mặt 
bằng phẳng. 
HÌNH 8-11A 
HINH 8-11B 
Hình 8-11 Ánh xạ ảnh chụp: (a) "dấu chân" camera tàu vũ trụ; (b) phép 
chiếu bản đồ 
Các tính chất bản đồ (Map Properties). Có ba tính chất quan trọng mà một bản đồ 
đặc biệt có thể có hoặc không, tuỳ thuộc vào thế hệ.Một bản đồ được gọi là cách đều 
(equidistant) nếu tỷ lệ được duy trì theo các dòng nào đó. Điều này có nghĩa khoảng 
cách theo các dòng đó tỷ lệ với khoảng cách giữa các điểm tơng ứng trên mặt phẳng. 
Một bản đồ có tính chất tương đương(equivalence) nếu diện tích của một miền được bảo 
toàn trong phép chiếu. Các bản đồ kể trên có thể có thể sử dụng để so sánh diện tích của 
những đặc trưng khác nhau. Một bản đồ là hình thức (tạm dịch từ conformal) hay đồng 
dạng (tạm dịch từ orthomophic) nếu các góc được bảo toàn trong phép chiếu - tức là, 
nếu các dòng trên bề mặt giao nhau với cùng một góc như phép chiếu của trên bảm đồ. 
Một bản đồ phù hợp cũng bảo toàn hình dạng tại một điểm. Điều này có nghĩa là hình 
dạng của các đặc trưng nhỏ chỉ bị biến dạng không đáng kể lắm. 
Các phép chiếu theo thuật vẽ bản đồ (Cartographic Projections). Có ba loại bề 
mặt mà trên đó các đặc trưng bề mặt có thể được chiếu để tạo thành bản đồ hai chiều: 
 107 
mặt phẳng, hình trụ và hình nón. Hai bề mặt cuối phải được cắt theo một đường song 
songvới trục và "trải ra" để tạo thành một bản đồ phẳng. Có thể xem hình nón như 
trường hợp tổng quát, vì mặt phẳng có thể được xem như một hình nón với góc đỉnh 
1800 và hình trụ là hình nón với góc đỉnh là 00. 
Trong khi nhiều kiểu phép chiếu được xác định và sử dụng trong suốt bề dày lịch sử 
thuật vẽ bản đồ thì có bốn phép chiếu quan trọng nhất là: trực giao (orthographic), vẽ 
nổi (stereographic), Mercator và hình nón hình thức Lambert. Những phép chiếu này 
khác nhau về kỹ thuật tao ra chúng và những tính chất của chúng. Chúng được mô tả 
trong hình 8-12. 
HÌNH 8-12 
Hình 8-12 Các phép chiếu theo thuật vẽ bản đồ 
Trong phép chiếu trực giao, các đặc trưng bề mặt được chiếu lên một mặt phẳng tiếp 
xúc với hình cầu tại một điểm gọi là tâm chiếu (center of projection). Các đặc trưng 
được chiếu theo những đường song song đến mặt phẳng. Khi tâm chiếu là điểm cực thì 
tỷ lệ theo vĩ tuyến chạy song song là hằng số. Có một sự biến dạng nhỏ của các đặc 
trưng gần tâm chiếu. Chiếu song song với vĩ tuyến như các đường tròn đồng tâm có tâm 
trên điểm cực và phép chiếu kinh tuyến (meridian) như các đường thẳng giao nhau tại 
điểm cực. 
Phép chiếu vẽ nổi (stereographic) tương tự như phép chiếu trực giao, ngoại trừ các tia 
chiếu bắt nguồn từ một điểm phối cảnh (perspective point) định vị trực tiếp đối nhau với 
tâm chiếu. Trong trường hợp có cực, chiếu song song với vĩ tuyến như các đường tròn 
đồng tâm có tâm tại cực và chiếu kinh tuyến như các đường xuyên tâm giao nhau tại 
điểm cực. Tỷ lệ theo chiếu song song và theo chiếu kinh tuyến tăng dần từ cực. Tuy 
nhiên, chúng tăng một cách cân xứng để cho tại bất kỳ điểm nào các tỷ lệ kinh tuyến và 
vĩ tuyến là như nhau. Điều này khiến cho phép chiếu vẽ nổi là hình thức (conformal) và 
hình dạng được bảo toàn một cách cục bộ. Có một sự biến dạng nhỏ cho các đặc thông 
trưng gần tâm chiếu. 
Phép chiếu Mercator ánh xạ các đặc trưng bề mặt lên một hình trụ tròn xoay tiếp xúc 
với hình cầu tại xích đạo (equator). Trục hình trụ là cùng đương thẳng với trục cực của 
hình cầu. Các kinh tuyến ánh xạ đến các đường dọc cách đều và các đường chạy song 
song ánh xạ thành các đường tròng trên hình trụ, mà khi mở ra sẽ tạo tahnhs các đường 
ngang trên bản đồ. Tỷ lệ theo các đường vĩ tuyến tăng cùng với khoảng cách từ xích đạo. 
Phép chiếu được thiết kế sao cho điểm phối cảnh chuyển lên trục với việc tăng vĩ tuyến, 
giữ cho các tỷ lệ vĩ tuyến và kinh tuyến bằng nhau và vì thế làm cho bản đồ có vẻ hình 
thức. Càng xa xích đạo, tỷ lệ càng được phóng đại, và các đặc trưng gần cực trở nên rất 
lớn. Bản thân các cực không thể tự ánh xạ. 
 108 
Vị trí các đường vĩ tuyến ngang được cho bởi 
 )
2
45tan(ln Ry (22) 
trong đó R là bán kính hành tinh trên bản đồ và  là vĩ độ. 
Về phương diẹn lịch sử, phép chiếu Mercator đã được sử dụng đối với ngành hàng 
hải bởi vì hướng la bàn chiếu thành một đường thẳng trên bản đồ. 
Trong phép chiếu hình nó hình thức Lambert, các đặc trưng bề mặt được chiếu lên 
một hình nón có cùmg trục với hành tinh. Hình nón giao với hình cầu tại hai đường song 
song gọi là đường song song tiêu chuẩn. Các kinh tuyến ánh xạ thành các đường thẳng 
còn các đường song song ánh xạ thành các đường tròn bên trong hình nón. Khi hình nón 
được trải ra, các đường song song trở thành các cung và các kinh tuyến đồng qui tại 
điểm cực. Khoảng cách giữa các đường song song được điều chỉnh để hoàn thành hình 
thức. Hai đường song song tiêu chuẩn chiếu theo tỷ lệ thực: tỷ lệ giảm bớt giữa chúng và 
được phóng đại bên ngoài chúng. 
8.4.5.1 Thực hiện 
1. Các bước cần thiết để chiếu một ảnh từ tàu vũ trụ đối với mục đíc vẽ bản đồ: 
2. Thiết lập hình ảnh hình học của camera trên tàu vũ trụ. 
3. xác định một biểu thức cho vị trí camera giống như một hàm vĩ độ và kinh độ của 
điểm tương ứng trên bề mặt hành tinh. 
4. Chọn các tham số chiếu bản đồ (kiểu chiếu, tâm chiếu,...) và thiết lập các cạnh 
của ảnh ra trên bản đồ. 
5. xác định một biểu thức cho vĩ độ và kinh độ của một điểm trên mặt hành tinh 
bằng các toạ độ điểm ảnh của điểm tương ứng trên bản đồ. 
6. Kết hợp kết quả của bước 2 và 4 để mang lại một biểu thức cho vị trí điểm ảnh 
camera giống như một hàm vị trí trên bản đồ đầu ra. 
7. Phủ chồng một lưới hiệu chỉnh thẳng (reclinear) lên trên bức tranh đầu ra. 
8. Sử dụng biểu thức của bước 5 để ánh xạ các điểm hiệu chỉnh đầ ra thành ảnh đầu 
vào, theo cách đó mà thiết lập lưới hiệu chỉnh đầu vào. 
9. Sử dụng kết quả của bước 7 trong phép toán hình học để thực hiện phép chiếu. 
Hình ảnh hình học từ tàu vũ trụ có thể đợc thiết lập với tham khảo trong hình 8-13. 
Trong hình này, tàu vũ trụ được định vị cách tâm hành tinh một khoảng RS. ngay điểm vĩ 
độ S và kinh độ S trên đầu. Điểm C là điểm phối cảnh biểu diễn cho điểm nút (tâm) 
thấu kính camera. Điểm p nằm trong ảnh camera và tương ứng với điểm p', điểm có kinh 
độ  và vĩ độ  trên mặt hành tinh. Hằng số f biểu diễn tiêu cự thấu kính và được phóng 
đại cho dễ nhìn trong hình. Vec tơ Q trải dài từ C đến p'. Chú ý rằng vec tơ 
f
y
x
P p
p
 (23) 
có các thành phần xp và yp là các toạ độ vị trí điểm ảnh camera. Vì P và Q là cùng 
nằm trên đường thẳng nên chúng liên quan với nhau bởi hệ số tỷ lệ: 
 Q
Q
fP
z
 (24) 
 109 
HÌNH 8-13 
Hình 8-13 Hình ảnh hình học từ tàu vũ trụ 
Từ hình 8-13, chúng ta thấy rằng 
 SRQ (25) 
mà chúng ta có thể viết lại dưới dạng ma trận như sau 
  
SS
SSS
SSS
z
y
x
RR
RR
RR
M
Q
Q
Q



sinsin
sincossincos
coscoscoscos
 (26) 
trong đó [M] là ma trân 3 3 biến đổi tâm hành tinh thành toạ độ tàu vũ trụ. 
Cuối cùng, biểu thức (24) cho thấy rằng 
 y
z
x
z
p QQ
fQ
Q
fx 
 py vµ (27) 
Vài tài liệu nghiên cứu bản đồ trình bày các phương trình tính vị trí bản đồ bằng vĩ độ 
và kinh độ trên bề mặt. Tuy nhiên, vì chúng ta phải làm ngược lại từ bản đồ đến hành 
tinh nên yêu cầu các đảo của các phương trình. 
Ảnh từ tàu vũ trụ thường đòi hỏi cả hai phép hiệu chỉnh hình học và chiếu bản đồ, 
xem như là hai phép toán hình học liên tiếp. Tuy nhiên, phép nội suy điểm ảnh thực hiện 
hai lần làm giảm chi tiết trong ảnh, hai phép toán hình học thương được kết hợp vào một 
hành động đến nỗi mà cả hai đều có thể hiệu chỉnh và chiếu ảnh. 
8.4.5.2 Ví dụ về phép chiếu bản đồ 
Hình 8-14 minh hoạ các bước sử dụng trong quá trình tạo ra một ảnh bản đồ. Phần (a) 
là ảnh Sao Thuỷ (Mercury) từ Mariner 10 trước khi hiệu chỉnh quang trắc và độ biến 
dạng hình học. Trong (b), ảnh đợc áp dụng phép toán hình học để tạo ra một phép chiếu 
trực giao. Trong (c), vài phép chiếu trực giao lân cận cũng được kết hợp để tạo thành 
một hình nổi. Cuối cùng, trong (d), một lưới vĩ tuyến và kinh tuyến được chồng lên hình 
nổi trực giao đó. 
HÌNH 8-14 
 110 
Hình 8-14 Ví dụ vè phép chiếu bản đồ của Mariner 10: (a) ảnh gốc; (b) chiếu trực 
giao; (b) làm nổi với nhiều phép chiếu; (d) lưới bản đồ phủ chồng 
Hình 8-15 đưa ra một cực trong phép chiếu trực giao ảnh Sao Hoả (Mars) chụp từ 
Mariner 6 và Mariner 7. Hình nổi có độ phân giải cao, các ảnh góc hẹp được chèn vào 
hình nổi góc rộng, các ảnh phân giải thấp. Hình 8-16 trình bày quả cầu đường kính 4 
foot (khoảng 1.2 mét) với 2,000 phép chiếu trực giao của ảnh Sao Hoả từ Mariner 9. 
8.4.6 Phép biến hình (Morphing-viết tắt của metamorphosing) 
Vài kết quả đặc biệt mà đã trở nên phổ biến trong công nghiệp ảnh chuyển động và 
TV đựa trên các phép toán hình học. Phép biến hình (morphing) là một kỹ thuật cho 
phép một đối tượng biến đổi từ từ thành đối tợng khác. 
Giả sử chúng ta có hai ảnh mà chúng ta muốn tạo ra một chuỗi các khung film. Chuỗi 
đó miêu tả phép biến đổi một đối tượng trong cảnh thứ nhất thành đói tượng của cảnh 
thứ hai. Một ví dụ là quá trình biến đổi khuôn mặt một con mèo thành mặt con hổ. Trong 
sự mờ chồng (dissolve), ảnh thứ nhất được làm mờ dần khi đưa ảnh thứ hai vào dần. Kỹ 
thuật này hiếm khi tạo ra phép biến đổi trông có vẻ thực tế. Tuy nhiên, biến hình trong 
lúc làm mờ các điểm trên đối tượng làm tăng thêm độ biến dạng từ tư thế ban đầu thành 
tư thế cuối cùng của chúng, tạo ra một kết quả gây ấn tượng hơn. 
Hình 8-17 đưa ra bốn khung hình từ chuỗi biến hình. Hình 8-17a và 8-17d ảnh ban 
đầu và ảnh cuối cùng. Hình 8-17b và 8-17c thể hiện 40% và 70% tương ứng trong chuỗi. 
Tại mỗi một bước trong chuỗi, cả ảnh đầu lẫn ảnh cuối được làm biến dạng sao cho 
các điểm hiệu chỉnh của chúng ánh xạ thành các vị trí trung gian giữa vị trí đầu và vị trí 
cuối. Bước này tạo ra hai chuỗi đánh dấu các đặc trưng di chuyển dần dần từ các vị trí 
ban đầu sang các vị trí cuối cùng. Sự mờ chồng giữa hai chuỗi này làm cho phép toán 
biến hình trọn vẹn. 
HÌNH 8-15 
Hình 8-15 Bản đồ chiếu trực giao cực Sao Hoả 
Quá trình biến hình cũng có thể được thực hiện giữa hai chuỗi phim. Ở đây, vì các 
đối tượng chuyển động nên các điểm hiệu chỉnh phải được thiết kế riêng cho từng khung 
hình trong từng chuỗi. Phổ biến nhất là các điểm hiệu chỉnh chỉ đươck định rõ cho một 
vài khung hình nào đó cung cấp cho nó phép nội suy không gian. Tại mỗi khung trong 
chuỗi, hai ảnh đươc biến dạng sao cho các điểm hiệu chỉnh có thể sắp thẳng hàng. Vị trí 
của cặp điểm hiệu chỉnh được ánh xạ xuất phát gần vị trí ảnh ban đầu và di chuyển dần 
dần về phía vị trí ảnh cuối cùng. 
 111 
Trong thực tiễn, thường chỉ có một đối tượng trong một cảnh được biến đổi thực sự, 
với phần còn lại phía sau không thay đổi. Đối tượng quan tâm được làm mờ đi tương 
phản với nền đen. Chuỗi biến hình kết thúc sau khi chèn vào một cảnh chứa nền thích 
hợp. 
HÌNH 8-16 
Hình 8-16 Ảnh Sao Hỏa nổi từ Mariner 9 
HÌNH 8-17 
Hình 8-17 Chuỗi ảnh biến hình: (a) ảnh ban đầu; (b) 40% điểm; (c) 70% 
điểm: (d) ảnh cuối cùng 
8.5 TỔNG KẾT NHỮNG ĐIỂM QUAN TRỌNG 
1. Phép toán hình học cần có công cụ để xác định phép biến đổi không gian và một 
thuật toán nội suy mức xám. 
2. Phép toán hình học có thể được xem như một ánh xạ giữa một điểm ảnh đầu ra 
với điểm ảnh đầu vào tương ứng, trong đó giá trị mức xám được xác định bằng 
phép toán nội suy. 
3. Phép toán nội suy mức xám song tuyến tính thông thường lớn hơn phép nội suy 
lân cận lớn nhất. 
4. Một phép biến đổi không gian có thể được định rõ bởi một cặp lưới hiệu chỉnh, 
một cái được định nghĩa trong ảnh vào và một cái được định nghĩa trong ảnh ra. 
5. Các điểm hiệu chỉnh đầu vào ánh xạ đến các điểm hiệu chỉnh đầu ra tương ứng. 
6. Giữa các điểm hiệu chỉnh, phép biến đổi không gian thu được từ phép nội suy. 
 112 
7. Nội suy song tuyến tính thường sử dụng cho phép nội suy điểm không hiệu chỉnh. 
8. Các phép toán hình học thường được sử dụng cho phép điều chỉnh bộ số hoá, 
phép sửa chữa hiển thị, ghi nhận ảnh, phép chiếu bản đồ, định dạng lại ảnh đối 
với hiển thị và các hiệu ứng thị giác đặc biệt. 
BÀI TẬP 
1. Đặt F(221,396) = 18, F(221,397) = 45, F(222,396) = 52 và F(222,397) = 36. 
F(221.3,396.7) thu được từ phép nội suy lân cận gần nhất bằng bao nhiêu? bằng 
nội suy song tuyến tính? Viết biểu thức song tuyến tính (biểu thức (2)), đưa ra giá 
trị các hệ số. Vẽ đồ thị tương tự hình 8-3. 
2. Đặt F(109,775) = 113, F(109,776) = 109, F(110,775) = 105 và F(110,776) = 103. 
F(110.27,776.44) thu được từ phép nội suy lân cận gần nhất bằng bao nhiêu? 
bằng nội suy song tuyến tính? Viết biểu thức song tuyến tính (biểu thức (2)), đưa 
ra giá trị các hệ số. Vẽ đồ thị tương tự hình 8-3. 
3. Viết phép toán hình học yêu cầu để quay ảnh một góc 330 ngược chiều kim đồng 
hồ (counter-clockwise) quang điểm x, y = 207.421. Giả sử rằng 0.0 là điểm trê 
bên trái. 
4. Giả sử bạn có hai ảnh số hoá vách núi chụp cách nhau 100 năm và bạn muốn phát 
hiện những thay đổi do xói mòn bằng phép trừ ảnh. bạn thấy một cục đá tại vị trí 
303, 467 trong ảnh thứ nhất và tại vị trí 316, 440 trong ảnh thứ hai, và một gốc 
cây tại vị trí 298, 227 trong ảnh thứ nhất và tại vị trí 311, 200 trong ảnh thứ hai. 
Có bất kỳ (a) phép tịnh tiến, (b) phép quay, và (c) tỷ lệ thay đổi nào không? Có 
bao nhiêu? viết phép toán hình học cần thiết để ghi nhận ảnh thứ hai với ảnh thứ 
nhất rước khi trừ. Giả sử rằng không có sự biến dạng hình học nào ngoại trừ phép 
tịnh tiến, phép quay và tỷ lệ thay đổi. 
DỰ ÁN 
Những dự án này yêu cầu một trạm xử lý ảnh với việc số hoá và phép biến đổi hình 
học tổng quát tương thích. 
1. Số hoá ảnh một người bạn chụp bằng thấu kính mắt cá có góc trông rộng. Phát 
triển phương trình mô tả sự biến dạng và sử dụng phép làm cong đa thức để hiệu 
chỉnh nó. 
2. Số hoá ảnh một người bạn chụp bằng thấu kính mắt cá. Sử dụng các đối tượng 
tuyến tính như chuẩn đánh dấu và sử dụng phép biến đổi hình học để hiệu chỉnh 
ảnh. 
3. Số hoá ảnh một người bạn chụp bằng thấu kính mắt cá. Chụp một ảnh lưới thứ hai 
từ camera cùng một vị trí, và sử dụng phép toán hình học để hiệu chỉnh ảnh. 
4. Số hoá ảnh hành lang hình cầu và sử dụng phép biến đổi hình học để sửa chữa 
ảnh. Sử dụng các đối tượng tuyến tính trong ảnh như các dấu hiệu chuẩn. 
5. Phát triển một chương trình xử lý ảnh có thể sử dụng để dự đoán kết quả giải 
phẫu thẩm mỹ và phẫu thuật khôi phục. Sử dụng chương trình để xác định phẫu 
thuật thẩm mỹ có thể cải thiện diện mạo của bạn hay của một người bạn hoặc một 
nhân vật nổi tiếng. 
6. Soạn một chuỗi ảnh để sử dụng phương pháp biến hình một ảnh khuôn mặt bạn 
thành khuôn mặt một nhân vật nổi tiếng.