Bài giảng Vật lý đại cương và vật lý hiện đại - Chương 3: Phương trình Schrödinger - Lê Công Hảo

Chương 3 PHƯƠNG TRÌNH SCHRÖDINGER
PGS.TS. Lê Công Hảo
Năm 1926, nhà vật lý người Áo Erwin
Schrödinger đã đưa ra một phương trình cho phép
xác định được hàm sóng mô tả trạng thái của một
hệ lượng tử.
Erwin Schrödinger (1887-1961)
Phương trình này đóng một vai trò căn bản trong cơ học
lượng tử, tương tự như phương trình Newton trong cơ học cổ
điển.
Khi giải phương trình Schrödinger, chúng ta có thể tìm được
hàm sóng  và từ đó ta có thể tính được xác suất để hệ có các
tọa độ, động lượng, v.v.. nào đó.
GIỚI THIỆU
3.1. PHƯƠNG TRÌNH SCHRÖDINGER
3.1.1. Phương trình Schrödinger phụ thuộc thời gian
➢ Hạt có khối lượng m, di chuyển trong một trường lực
➢ Ở mỗi thời điểm và ứng với mỗi vị trí hạt có một thế năng
nào đó, U = U(x, y, z, t).
➢ Phương trình Schrödinger cho phép ta tìm được hàm sóng
khi biết hàm thế năng này.
− + =


2
2m
x y z t U x y z t i
x y z t
t
  ( , , , ) . ( , , , )
( , , , )

i là số phức. là toán tử Laplace. 
 
  
= + +






2
2
2
2
2
2x y z
Trong hệ tọa độ Descartes, 
3.1.1. Phương trình Schrödinger phụ thuộc thời gian
Trong trường hợp một chiều, khi hàm sóng chỉ phụ thuộc vào tọa độ x 
và thời gian t
− + =


2 2
22m
x t
x
U x t x t i
x t
t






( , )
( , ) ( , )
( , )
Khi U(x, t) = 0, hạt chuyển động không chịu tác động của trường thế
nào ta bảo hạt chuyển động tự do:
− =


2 2
22m
x t
x
i
x t
t




( , ) ( , )
3.1.2. Điều kiện của hàm sóng
o Hữu hạn, nếu không thì điều kiện chuẩn hóa không được thỏa mãn,
o Đơn trị, vì ứng với mỗi trạng thái, tại một vị trí và tại một thời điểm
chỉ có một xác suất tìm thấy hạt,
o Đạo hàm bậc hai của  phải hữu hạn, muốn vậy thì  và đạo hàm
bậc nhất của nó theo tọa độ phải liên tục.
3.1.3. Phương trình Schrödinger không phụ thuộc thời gian (trạng
thái dừng)
Thế năng U của hạt không phụ thuộc tường minh vào t, thì có thể viết
thế năng dưới dạng U = U(x, y, z).
( ) ( ) 
−=

iEt
zyxtzyx exp.,,,,, 
Tách (x, y, z, t) thành hai thành phần
− + =
2
2m
x y z U x y z E x y z ( , , ) . ( , , ) ( , , ) 
Phương trình Schrödinger cho trạng thái dừng
( ) ( ) ( )xExxU
dx
d
m2 2
22
=+

−
   ( ) 0xUEm2
dx
d
22
2
=−+


Hạt chuyển động một chiều
3.2. HẠT TRONG HỐ THẾ MỘT CHIỀU
Bên ngoài U lớn nên hạt không thể nhảy ra
→ hạt chỉ tồn tại bên trong
( ) 0xE
m2
dx
)x(d
22
2
=+


2
2 mE2k

=( ) 0xk
dx
)x(d 2
2
2
=+

( ) )cos(.)sin(. kxBkxAx +=Nghiệm tổng quát
3.2. HẠT TRONG HỐ THẾ MỘT CHIỀU
1. Sin(x) vaø Cos(x) höõu haïn
2. Lieân tuïc: ψ(0) = ψ(a) = 0
ψ(0) = A sin(k0) + B cos(k0) = 0 B = 0 ψ(x) = A sin(kx)
ψ(a) = A sin(ka) = 0 sin(ka) = 0 k = πn/a, n = 1, 2, 3, 
Điều kiện của hàm sóng
Hằng số A được xác định từ điều kiện chuẩn hóa của hàm sóng
( ) =
a
0
2
1dxx = 
a
0
22 1dx)a/x..n(sinA
a/2A =
)a/x..nsin(a/2)x(n =
−= n4
]n2sin[a
2
a
dx)a/x..n(sin
a
0
2
Hàm sóng trong giếng thế phụ thuộc vào n 
3.2. HẠT TRONG HỐ THẾ MỘT CHIỀU
( )
2
2 2n
n n 2
2 2 2
2 2
n 2 2
2mE
k n k n
a a
h
E n n
2ma 8ma
=  = 
= = 
Năng lượng của hạt bị lượng tử hóa Hạt chỉ có thể có những
năng lượng xác định chứ
không thể có mọi năng
lượng tùy ý
n = 1 (trạng thái cơ bản) ta có
giá trị năng lượng bé nhất
2
22
1
ma2
E
 
=
Mật độ xác suất tìm thấy hạt trong hố 
thế ứng với hàm sóng n
( ) 
=
a
xn
a
xn
 2
2
sin
2
)12(
2 2
22
1 +=−= + n
ma
EEE nn
 
Khoảng cách giữa 2 mức liên tiếp
Giải bài toán hạt chuyển động vượt qua rào thế có U cao hơn
năng lượng của nó.
Theo cô hoïc löôïng töû E < Uo, ta thaáy haït vaãn coù khaû
naêng xuyeân qua raøo theá theo moät hieäu öùng goïi laø:
Hieäu öùng ñöôøng ngaàm.
3.3. RÀO THẾ - HIỆU ỨNG ĐƯỜNG NGẦM
Mieàn I & III:
Mieàn II:
Phöông trình Schrodinger 
3.3. RÀO THẾ - HIỆU ỨNG ĐƯỜNG NGẦM
E
m2
k,0k
dx
d
2
2
1
2
12
2

==+

 EUm2k,0k
dx
d
02
2
2
2
22
2
−==−


xik
1
xik
1I
11 eBeA
−+=
xk
2
xk
2II
22 eBeA += −
)ax(ik
3
)ax(ik
3III
11 eBeA
−−− +=
Nghiệm của của các phương 
trình vi phân 
Hàm eikx mô tả một sóng
truyền từ trái sáng phải
ñaëc tröng cho soùng truyeàn qua raøo theá
moâ taû soùng phaûn xaï töø voâ cöïc trôû veà.
Caùc haèng soá : A
i
, B
i
ñöôïc goïi laø caùc bieân ñoä soùng.
Vì raèng ôû voâ cöïc khoâng coù söï phaûn xaï soùng, do ñoù
ta ñaët B
3
= 0
1iK (x-a)
3A e
1-iK (x -a)
3B e
3.3. RÀO THẾ - HIỆU ỨNG ĐƯỜNG NGẦM
• Tính heä soá xuyeân raøo:
Heä soá truyeàn qua raøo D laø tæ soá giöõa bình phöông
bieân ñoä soùng truyeàn qua haøng raøo vaø bình phöông
bieân ñoä soùng tôùi.
3.3. RÀO THẾ - HIỆU ỨNG ĐƯỜNG NGẦM
Hệ số phản xạ R được định nghĩa là tỉ số giữa
bình phương biên độ sóng phản xạ và sóng tới
2
1
3
2
1
2
3
A
A
A
A
D ==
2
1
1
2
1
2
1
A
B
A
B
R ==
Caên cöù vaøo ñieàu kieän bieân (x = 0 & x = a):
( ) ( )
( ) ( )
ax
III
ax
II
IIIII
0x
II
0x
I
III
dx
d
dx
d
aa
dx
d
dx
d
00
==
==

=

=

=

=
3.3. RÀO THẾ - HIỆU ỨNG ĐƯỜNG NGẦM
Ta coù theå ruùt ra caùc heä thöùc sau:
A
1
+ B
1
= A
2
+ B
2
ik
1
( A
1
– B
1
) = -k
2
( A
2
– B
2
)
A
2
e
-k2a + B
2
e
k
2 
a
= A
3
- k
2
( A
2
e
-k2a – B
2
e
k2a)= ik
1
A
3
0)ak2exp(
)n1(
n16
D 222
2
 −
+
=n
k
k
E
U E
= =
−
1
2 0
ak
32
2eA
2
n.i1
A
−
=
ak
32
2eA
2
n.i1
B
−+=
3.3. RÀO THẾ - HIỆU ỨNG ĐƯỜNG NGẦM
0D exp[ (2a / ) 2m(U E)] − −
0
2
2.m(U E)
D exp( 2.T.a), T
−
= − =
Hạt xuyên qua rào
Nếu hiệu năng lượng cho là E-U0=1,28.10
-31 J, khi đó ta có thể dùng lý
thuyết để tính sự phụ thuộc của hệ số truyền qua D vào độ rộng hố thế a.
a(m) 10-10 1,5.10-10 2.10-10 5.10-10
D 0,1 0,03 0,008 5.10-7
Ứng dụng:
1- Giải thích phát xạ lạnh electron trong kim loại
2-Phân rã hạt anpha từ nhân có 2 prôtôn và 2 Nơtrôn.
3.3. RÀO THẾ - HIỆU ỨNG ĐƯỜNG NGẦM
3.4. . DAO ĐỘNG TỬ ĐIỀU HÒA
➢ Một vi hạt thực hiện dao động nhỏ điều hòa xung quanh vị
trí cân bằng là một ví dụ về dao động tử điều hòa lượng
tử.
➢ Dao động tử điều hòa là một hiện tượng rất quan trọng
của vật lí nói chung và cơ học lượng tử nói riêng.
Kết qủa về mức năng lượng
1- Các năng lượng cách đều nhau một đoạn
2- Mức năng lượng thấp nhất có giá trị dương
và là năng lượng ở nhiệt độ T = 0K. 
3- Mức thứ n bất kỳ có giá trị
= E
= 
2
1
E0
+= )
2
1
n(E n n = 0, 1, 2,...