Bài giảng Vật lý đại cương - Chương 6: Cơ học lượng tử - Đỗ Ngọc Uẩn

Bμi gi¶ng VËt lý ®¹i c−¬ng
T¸c gi¶: PGS. TS §ç Ngäc UÊn
ViÖn VËt lý kü thuËt
Tr−êng §H B¸ch khoa Hμ néi
Ch−¬ng 6
C¬ häc l−îng tö
1. TÝnh sãng h¹t cña vËt
chÊt trong thÕ giíi vi m«
1.1. TÝnh sãng h¹t cña ¸nh s¸ng
TÝnh sãng: Giao thoa, nhiÔu x¹, ph©n cùc; λ, ν.
TÝnh h¹t: Quang ®iÖn, Compton; ε, p.
Liªn hÖ gi÷a hai tÝnh sãng h¹t:
N¨ng l−îng: ν=ε h §éng l−îng: λ=
hp
Hμm sãng
ChiÕu chïm ¸nh s¸ng
song song, c¸c mÆt
sãng còng lμ mÆt
ph¼ng song song
O d
M
rr nr
T¹i O dao ®éng s¸ng: x0 =Acos2πνt
T¹i ®iÓm c¾t mÆt chøa M ¸nh s¸ng ®i ®−îc d, vμ: 
xM =Acos2πν(t-d/c)= Acos2π(νt-d/λ)
n.rcosrd rr=α= )n.rt(2cosAx λ−νπ=
rr
§©y lμ sãng ph¼ng ch¹y, d¹ng phøc:
)nrt(i2
0e λ
−νπ−ψ=ψ
rr
)rpt(i
0e
rr
h −ε−ψ=ψhay
λ
π= 2k kp rhr = Js10.05,12
h 34−=π=h
)rkt(i
0e
rr−ω−ψ=ψ
1.2. Gi¶ thiÕt §¬br¬i (de Broglie)
Mét vi h¹t tù do tuú ý cã n¨ng l−îng x¸c ®Þnh, 
®éng l−îng x¸c ®Þnh t−¬ng øng víi mét sãng
ph¼ng ®¬n s¾c;
a. N¨ng l−îng cña vi h¹t liªn hÖ víi tÇn sè dao
®éng cña sãng t−¬ng øng ε=hν hay ω=ε h
b. §éng l−îng cña vi h¹t liªn hÖ víi b−íc
sãng λ theo:
pr
kp
r
hr =λ=
hp hay
TÝnh sãng h¹t lμ hai mÆt ®èi lËp biÓu hiÖn sù
m©u thuÉn bªn trong cña ®èi t−îng vËt chÊt
1.3. Thùc nghiÖm chøng minh l−ìng
tÝnh sãng h¹t cña vi h¹t
a. NhiÔu x¹ ®iÖn tö: ChiÕu chïm tia ®iÖn tö qua 
khe hÑp, ¶nh nhiÔu x¹ gièng nh− ®èi víi sãng
¸nh s¸ng
NhiÔu x¹ ®iÖn
tö, n¬tron trªn
tinh thÓ
tia e,n
Phim
NhiÔu x¹ ®iÖn tö
truyÒn qua trªn
tinh thÓ Si
NhiÔu x¹ truyÒn qua trªn Bromid Thalium
2. HÖ thøc bÊt ®Þnh HaidenbÐc
(Heisenberg) 2.1. HÖ thøc bÊt ®Þnh
pr
b ϕ1
x To¹ ®é cña ®iÖn tö trong khe:
0≤x≤b =>Δx=b
H×nh chiÕu cña ®éng l−îng
lªn trôc x: 0 ≤px ≤p sin ϕ
øng víi h¹t r¬i vμo cùc ®¹i gi÷a
Δpx ≈p sin ϕ1 sin ϕ1=λ/bΔx.Δpx ≈pλ Δx.Δpx ≈hΔy.Δpy ≈hΔz.Δpz ≈h
ý nghÜa: VÞ trÝ vμ ®éng l−îng
cña vi h¹t kh«ng x¸c ®Þnh ®ång
thêi
VÝ dô: Trong ph¹m vi nguyªn tö Δx~10-10m
VËn tèc ®iÖn tö cã:
s/m10.7
1010.1,9
10.62,6
xm
h
m
pv 61031
34
ee
x
x ≈=Δ≈
Δ=Δ −−
−
me ~10
-31 vi h¹t -> VËn tèc kh«ng x¸c ®Þnh -> 
kh«ng cã quü ®¹o x¸c ®Þnh
m ~10-15kg, Δx~10-8m h¹t lín (VÜ h¹t): VËn tèc
x¸c ®Þnh -> Quü ®¹o x¸c ®Þnh:
s/m10.6,6
1010
10.62,6
x.m
hv 11815
34
x
−
−−
−
≈=Δ≈Δ
ΔW.Δt ≈ hHÖ thøc bÊt ®Þnh ®èi víi n¨ng l−îng
ΔW≈ h/Δt
Tr¹ng th¸i cã n¨ng l−îng bÊt ®Þnh lμ tr¹ng th¸i
kh«ng bÒn, Tr¹ng th¸i cã n¨ng l−îng x¸c ®Þnh lμ
tr¹ng th¸i bÒn
2.2 ý nghÜa triÕt häc cña hÖ thøc
bÊt ®Þnh Heisenberg:
Duy t©m: HÖ thøc bÊt ®Þnh phô thuéc vμo chñ
quan cña ng−êi quan s¸t: X¸c ®Þnh ®−îc quü ®¹o 
th× kh«ng x¸c ®Þnh ®−îc n¨ng l−îng. NhËn thøc
cña con ng−êi lμ giíi h¹n
Duy vËt: Kh«ng thÓ ¸p ®Æt quy luËt vËn ®éng vËt
chÊt trong c¬ häc cæ ®iÓn cho vi h¹t. C¬ häc cæ
®iÓn cã giíi h¹n, nhËn thøc cña con ng−êi kh«ng
giíi h¹n, kh«ng thÓ nhËn thøc thÕ gi¬Ý vi m«
Kh«ng thÓ x¸c ®Þnh chÝnh x¸c vÞ trÝ cña vi h¹t mμ
chØ ®o¸n nhËn ®−îc kh¶ n¨ng tån t¹i vi h¹t ë mét
tr¹ng th¸i nμo ®ã.
Quy luËt vËn ®éng cña vi h¹t tu©n theo nguyªn lý
thèng kª
3. Hμm sãng vμ ý nghÜa thèng kª
cña nã
3.1. Hμm sãng: ChuyÓn ®éng cña vi h¹t tù do 
(kh«ng chÞu t¸c dông lùc bªn ngoμi) ®−îc m« t¶
bëi hμm sãng §¬ Br¬i
)rkt(i
0e
rr−ω−ψ=ψ ψ0
2=|ψ|2=ψψ*
ψ*Liªn hîp phøc cña ψ
b»ng c¸c kh¸i niÖm cæ ®iÓn.
3.2. ý nghÜa thèng kª cña hμm sãng
M
ΔV sãng ¸nh s¸ng chiÕu lªn M 
c−êng ®é s¸ng I ~ ψ02
|ψ|2 cμng lín M cμng s¸ng
-> sè photon cμng nhiÒu
|ψ|2 tû lÖ víi kh¶ n¨ng cã mÆt cña vi h¹t trong ΔV
|ψ|2 ®Æc tr−ng cho kh¶ n¨ng t×m thÊy vi h¹t trong
®¬n vÞ thÓ tÝch quanh M gäi lμ mËt ®é x¸c suÊt
X¸c suÊt t×m thÊy h¹t trong dV lμ |ψ|2dV
X¸c suÊt t×m thÊy h¹t 
trong thÓ tÝch V lμ ∫∫∫ ψ
V
2 dV||
Trong toμn kh«ng gian 1dV||
Tkg
2 =ψ∫∫∫
§©y lμ ®iÒu kiÖn chuÈn ho¸ cña hμm sãng
Hμm sãng kh«ng m« t¶ mét sãng cô thÓ nμo ®ã 
nh− sãng c¬ hay sãng ®iÖn tõ mμ nã chØ cho
phÐp tÝnh mËt ®é x¸c suÊt t×m thÊy vi h¹t ë mét
tr¹ng thaÝ nμo ®ã 
-> Hμm sãng ψ mang tÝnh thèng kª
Trong vËt lý ph©n tö: HÖ nhiÒu h¹t míi cã tÝnh
thèng kª (theo qui luËt thèng kª)
Trong c¬ häc l−îng tö qui luËt thèng kª cã quan
hÖ víi ngay c¶ mét vi h¹t riªng biÖt
3.3. §iÒu kiÖn cña hμm sãng
a. Hμm sãng giíi néi = §iÒu kiÖn chuÈn ho¸
b. Hμm sãng ph¶i ®¬n trÞ: mçi tr¹ng th¸i chØ cã
1 x¸c suÊt t×m h¹t (theo lÝ thuyÕt x¸c suÊt)
c. Hμm sãng ph¶i liªn tôc v× mËt ®é x¸c suÊt
kh«ng thÓ nh¶y vät.
d. §¹o hμm bËc nhÊt cña hμm sãng ph¶i liªn
tôc: rót ra ®iÒu kiÖn cña ph−¬ng tr×nh hμm sãng
4. Ph−¬ng tr×nh c¬ b¶n cña c¬ häc
l−îng tö
Trong c¬ häc cæ ®iÓn cã f/t c¬ b¶n: ma=F
Trong c¬ häc LT ph¶i
t×m ®−îc hμm sãng
cña vi h¹t
)rpt(i
0e)t,r(
rr
hr −ε−ψ=ψ
)r(.e)t,r(
ti rr h ψ=ψ ε−
ε lμ n¨ng l−îng cña vi h¹t.
)r(rψ lμ phÇn phô thuéc vμo kh«ng gian ®¸p øng
ph−¬ng tr×nh :
0)r()]r(U[m2)r( 2 =ψ−ε+ψΔ rrh
r
dingeroSchr &&
)x()x()]x(U
xm2
[ 2
22
εψ=ψ+∂
∂− h
Vai trß ph−¬ng tr×nh Schrodinger trong CHLT 
gièng nh− f/t c¬ b¶n trong c¬ häc cæ ®iÓn
Trong
kh«ng gian
mét chiÒu:
Δ To¸n tö Laplatz, trong to¹ ®é §ªc¸c:
)r()
zyx
()r( 2
2
2
2
2
2 rr ψ∂
∂+∂
∂+∂
∂=ψΔ
thÕ n¨ng)r(U r
2
22
xm2 ∂
∂− h To¸n tö
®éng n¨ng x
ipˆx ∂
∂−= h
To¸n tö ®éng l−îng
Δ−=
m2m2
pˆ 22 h To¸n tö
Haminton
Uˆ
m2
pˆHˆ
2
+=
Ph−¬ng tr×nh Schrodinger: T¸c ®éng to¸n tö
Haminton lªn hμm sãng cho gi¸ trÞ riªng cña
n¨ng l−îng vi h¹t εψ=ψHˆ

 Trong c¬ häc l−îng tö c¸c ®¹i l−îng vËt lý
®Òu lμ c¸c to¸n tö, khi to¸n tö t¸c ®éng lªn hμm
sãng cho gi¸ trÞ riªng cña ®¹i l−îng vËt lý ®ã:
ψ=ψ=ψ −ω− .kepˆpˆ )rkt(i0
r
h
rr
kp
r
hr = gi¸ trÞ riªng cña ®éng l−îng
To¸n tö ®éng n¨ng: 
5. øng dông
5.1. Vi h¹t trong giÕng thÕ
U
x0 a
U=
U=0
U=∞ 0 khi 0<x<a
∞ khi x≤0 vμ x≥a
Trong giÕng thÕ U(x)=0
Ph−¬ng tr×nh
Schrodinger:
)x()x(
xm2 2
22
εψ=ψ∂
∂− h
To¸n tö ®éng n¨ng t¸c ®éng lªn hμm sãng cña vi 
h¹t cho gi¸ trÞ riªng cña ®éng n¨ng vi h¹t
D¹ng hμm sãng: ψ(x)=Asinkx+Bcoskx
§iÒu kiÖn biªn cè ®Þnh ψ(0)= ψ(a)=0
ψ(x)=Asinkx
0 a
2
na λ=λ
π= 2k
a
nk π=
n = 0, 1, 2...)x
a
nsin(A)x(n
π=ψ
Thay ψn(x) vμo ph−¬ng tr×nh Schrodinger 
)x()x()
a
n(
m2 nn
2
2
εψ=ψπh
1dx)x
a
n(sinA 2
a
0
2 =π∫ a2A =
Mçi tr¹ng th¸i vi h¹t 
øng víi mét hμm sãng
ψn(x) 
)x
a
nsin(
a
2)x(n
π=ψ
λ lμ b−íc sãng §¬ br¬i cña vi h¹t
2
2
)
a
n(
m2
π=ε h ε ~ n
2 N¨ng l−îng vi h¹t biÕn
thiªn gi¸n ®o¹n: N¨ng l−îng bÞ
l−îng tö ho¸
MËt ®é x¸c suÊt tån t¹i vi h¹t
)x
a
n(sin
a
2 2* π=ψψ=ρ
39
24
11
3
2
1
a/2a/4 3a/4
0
2
2
)
a
(
m2
πh
n
0
ε ®v( )
0
ρ n
5.2. HiÖu øng ®−êng hÇm
U
Umax W
x
§èi víi c¬ cæ ®iÓn nÕu n¨ng
l−îng h¹t W<U th× h¹t 
kh«ng v−ît qua ®−îc hμng
rμo thÕ
§èi víi c¬ häc LT vi h¹t cã kh¶ n¨ng xuyªn qua 
hμng rμo thÕ cao h¬n n¨ng l−îng cña nã: HiÖu
øng xuyªn hÇm
U
x
a0
U0I II IIIψ1(x) ψ2(x)
ψ3(x)
U=
0 x≤0 miÒn I
U0 0<x<a miÒn II
0 x≥a miÒn III
Ph−¬ng tr×nh Schrodinger cho ba vïng
21
2
12
1
2 mW20k
dx
d
h==ψ+
ψ 2
1 kvíi 
)WU(m20k
dx
d
022
2
22
2
2
−==ψ+ψ h
2
2 kvíi 
23
2
12
3
2 mW20k
dx
d
h==ψ+
ψ 2
1 kvíi 
miÒn I
miÒn II
miÒn III
NghiÖm cña c¸c ph−¬ng tr×nh:
xik
1
xik
11
11 eBeA)x( −+=ψ
xk
2
xk
22
22 eBeA)x( −+=ψ
)ax(ik
3
)ax(ik
33
11 eBeA)x( −−− +=ψ
HÖ sè truyÒn qua 
/xuyªn hÇm 2
1
2
3
*
11
*
33
|A|
|A|D =ψψ
ψψ=
Theo tÝnh chÊt liªn tôc cña hμm sãng vμ ®¹o hμm
bËc nhÊt cña hμm sãng. 
T¹i c¸c bê:
ψ1(0)= ψ2(0)ψ’1(0)= ψ’2(0)ψ2(a)= ψ3(a)ψ’2(a)= ψ’3(a)
C¸c hÖ thøc:
A1+B1= A2+B2
ik1(A1-B1)= -k2(A2+B2)
A2e
-k2a +B2e
k2a = A3
-k2(A2e
-k2a +B2e
k2a)=ik1A3
B3=0, kh«ng cã sãng ph¶n x¹ tõ v« cïng
Tõ 2 ph−¬ng tr×nh cuèi x¸c ®Þnh A2, B2 qua A3
ak
32
2eA
2
in1A −=
ak
32
2eA
2
in1B −+= WU
W
k
kn
02
1
−==
Coi W<<U0 hoÆc
bÒ réng cña hμng
rμo lín k2a>>1
ak
31
2eA
4
)
n
i1)(in1(
A
+−
=
ak2
2
2
2e
)n1(
n16D −+=
1~
)n1(
n16
2
2
+ (U0 ~10W)
)WU(m2a2ak2 02 eeD
−−− == h
MÆc dï W<U0 vÉn cã h¹t xuyªn qua hμng rμo thÕ
Víi ®iÖn tö m=9,1.10-31kg, U0-W=1,28.10
-31J
a(m) 10-10 1,5.10-10 2.10-10 5.10-10 
D 0,1 0,03 0,008 5.10-7
D ®¸ng kÓ khi a nhá: HiÖu øng xuyªn hÇm chØ
x¶y ra ë kÝch th−íc vi m«
=> TÝnh sãng cña vi h¹t
Ph¸t x¹ ®iÖn tö l¹nh
Ph©n r· h¹t α
5.3.Dao tö ®iÒu hoμ
Vi h¹t chuyÓn ®éng theo
ph−¬ng x trong tr−êng thÕ
2kx
2
1U =
ThÕ n¨ng
2
xmU
22ω=
ph−¬ng tr×nh
Schrodinger 0)2
xm(m2
dx
d 22
22
2
=ψω−ε+ψ h
Gi¶i ra cã
n¨ng l−îng )2
1n(n +ω=ε h n=0 cã 20
ω=ε h
N¨ng l−îng “Kh«ng”: ngay c¶ khi T=0 vÉn cã
dao ®éng => Phï hîp víi hÖ thøc bÊt ®Þnh:
Δx=0 th× Δpx vÉn kh¸c 0
dao ®éng
ion,ngtö
5.4. Quay tö
Vi h¹t chuyÓn ®éng tù do trªn mét mÆt cÇu x¸c
®Þnh
=>øng dông N/C ph©n tö 2 nguyªn tö, H
V(r)=V(a)=const -> Chän V(a)=0
0m2 2 =ψε+ψΔ h
2
2
ma2
)1( +=ε llhlGi¶i ra t×m ®−îc n¨ng l−îng
n¨ng l−îng quay tö còng gi¸n ®o¹n: l−îng tö ho¸
,...3,2,1,0 =l