Bài giảng Vật lý đại cương - Chương 3: Hệ chất điểm, vật rắn

Chương'3'
Hệ'chất'điểm,'vật'rắn'
7/10/15'
Khối'tâm'
1.  Định'nghĩa:'Cho'một'hệ'chất'điểm'M1,'M2,''Mn,'
“Khối'tâm”'được'định'nghĩa'là'một'điểm'G'và'thỏa'
mãn'điều'kiện'sau:'
2.  Ví'dụ:'
7/10/15'
miMiG
! "!!!!
i=1
n
∑ = 0
1M 2MG
gm1
!
gm2
!
( )gmm 21
!
+
gmA
!
gmB
! gmD
!
gmC
!
mA +mB +mC +mD( )
!
g
Khối'tâm'
3.  Tọa'độ'của'khối'tâm'
!  Đối'với'khối'tâm'của'một'hệ,'ta'có'
!  Nhân'hai'vế'với'mi'lấy'tổng'cho'tất'cả'các'chất'điểm'
của'hệ'từ'i$=$1'tới'n$
7/10/15'
GMOMOGR ii +==
!
='0'
mi
i=1
n
∑
"
#
$
%
&
'OG
! "!!
= miOMi
! "!!!
i=1
n
∑ + miMiG
! "!!!!
i=1
n
∑
mi
i=1
n
∑
"
#
$
%
&
'OG
! "!!
= miOMi
! "!!!
i=1
n
∑
"
R =OG
! "!!
=
miOMi
! "!!!
i=1
n
∑
mi
i=1
n
∑
Khối'tâm'
4.  Chuyển'động'của'khối'tâm'
5.  “Tổng'động'lượng'của'hệ'chất'điểm'bằng'động'
lượng'của'một'chất'điểm'đặt'tại'khối'tâm'của'hệ,'
có'khối'lượng'bằng'tổng'khối'lượng'của'hệ'và'có'
vận'tốc'bằng'vận'tốc'khối'tâm'của'hệ”'
7/10/15'
!
V =
d
!
R
dt
=
mi
dOMi
" !"""
dti=1
n
∑
mi
i=1
n
∑
=
mi
d
!
ri
dti=1
n
∑
mi
i=1
n
∑
!
V =
mi
!
vi
i=1
n
∑
mi
i=1
n
∑
=
!
pi
i=1
n
∑
mi
i=1
n
∑
=
!
p
mi
i=1
n
∑
⇒
!
V mi
i=1
n
∑
#
$
%
&
'
( =
!
p
Khối'tâm'
6.  Phương'trình'chuyển'động'của'khối'tâm'
!  Giả'thiết'mỗi'chất'điểm'M1,'M2,','Mn'chịu'tác'dụng'
của'một'ngoại'lực'F1,'F2,','Fn'và'chuyển'động'với'gia'
tốc'tương'ứng'a1,'a2,','an'thỏa'mãn'các'phương'
trình:'
!  Lấy'đạo'hàm'vận'tốc'khối'tâm'của'hệ'
7/10/15'
!
F1 =m1
!
a1;
!
F2 =m2
!
a2; ";
!
Fn =mn
!
an
!
A =
d
dt
!
V =
d
dt
mi
!
vi
i=1
n
∑
mi
i=1
n
∑
"
#
$
$
$
$
%
&
'
'
'
'
=
mi
d
dt
!
vi
i=1
n
∑
mi
i=1
n
∑
=
mi
!
ai
i=1
n
∑
mi
i=1
n
∑
=
!
Fi
i=1
n
∑
mi
i=1
n
∑
mi
i=1
n
∑
"
#
$
%
&
'
!
A =
!
Fi
i=1
n
∑
“Khối tâm của hệ chuyển động như một chất điểm có khối 
lượng bằng tổng khối lượng của hệ và chịu tác dụng của 
một lực bằng tổng ngoại lực tác dụng lên hệ”. 
Chuyển'động'của'vật'rắn'
1.  “Vật'rắn'là'một'hệ'chất'điểm'trong'đó'khoảng'cách'
giữa'các'chất'điểm'luôn'giữ'nguyên'không'đổi”.'
2.  Chuyển'động'của'vật'rắn'='chuyển'động'tịnh'tiến'
+'chuyển'động'quay.'
3.  Chuyển'động'tịnh'tiến'
!  “Chuyển'động'tịnh'tiến'là'chuyển'động'mà'đường'
thẳng'nối'hai'chất'điểm'bất'kỳ'luôn'song'song'với'
chính'nó”'
!  Khi'một'vật'chuyển'động'tịnh'tiến,'mọi'chất'điểm'của'
nó'chuyển'động'theo'những'quỹ'đạo'giống'nhau.'Các'
chất'điểm'có'cùng'một'vận'tốc'và'gia'tốc.'
7/10/15'
Chuyển'động'của'vật'rắn'
3.  Chuyển'động'tịnh'tiến'
7/10/15'
B
A
'B
'A
!
F1 =m1
!
a
!
F2 =m2
!
a
"""
!
Fn =mn
!
a
!
Fi
i=1
n
∑ = mi
i=1
n
∑
"
#
$
%
&
'
!
a
Đây là phương trình chuyển động của vật rắn. 
Phương trình này mô tả chuyển động của một 
chất điểm có khối lượng bằng tổng khối lượng 
của vật rắn và chịu tác dụng một lực bằng tổng 
ngoại lực tác dụng lên vật rắn. Đây cũng chính 
là phương trình chuyển động của khối tâm " 
chỉ cần nghiên cứu chuyển động của khối tâm 
Chuyển'động'của'vật'rắn'
4.  Chuyển'động'quay'
!  Mọi'điểm'trên'vật'rắn'vạch'ra''''''''''''''''''''''''''''''''''''
những'quỹ'đạo'tròn'đồng'trục'Δ.'''''''''''''''''''''''''''
Những'vòng'tròn'này'nằm'trong'''''''''''''''''''''''''''''''''''''
họ'các'mặt'phẳng'vuông'góc'với''''''''''''''''''''''''''''''''''
trục'quay,'có'tâm'nằm'trên'trục''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''
quay.'
!  Với'cùng'một'khoảng'thời'gian,'mọi'điểm'đều'quay'
được'cùng'một'góc'θ.'Tại'cùng'một'thời'điểm,'chất'
điểm'có'cùng'vận'tốc'góc'ω'và'gia'tốc'góc'β'
7/10/15'
ω
!
v
!
r
!
O
M t
a
!
β
!
dt
dθ
ω =
2
2
dt
d
dt
d θω
β ==
Chuyển'động'của'vật'rắn'
5.  Mô'men'lực'
!  Giả'thiết'có'một'lực''''''tác'dụng'lên''''''''''''''''''''''''''''''''''''
vật'rắn.'
!  Phân'tích'lực'''''làm'hai'thành'phần'
!  '''''song'song'với'trục'quay'còn''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''
vuông'góc'với'trục'quay.'
!  Tiếp'tục'phân'tích'''''''thành'hai'thành''''''và''''''.'
!  '''''vuông'góc'với'véc'tơ'$$$$còn''''''nằm'dọc'theo'véc''''
tơ''''.'Như'vậy'lực'tác'dụng''''''được'phân'tích'thành'3'
thành'phần.'
7/10/15'
F
!
zF
!
nF
!
tF
!
r
!
Δ
⊥F
!
!
F =
!
F⊥ +
!
Fz
!
F =
!
Ft +
!
Fn +
!
Fz
!
F
!
F⊥
!
Fz
!
F
!
F⊥!
Ft
!
Fn!
r
!
r !
F
!
Ft
!
Fn
Chuyển'động'của'vật'rắn'
5.  Mô'men'lực'
!  Thành'phần''''''chỉ'làm'vật'rắn'''''''''''''''''''''''''''''''''''
trượt'dọc'trục'quay.'
!  Thành'phần''''''chỉ'làm'vật'rắn'''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''
rời'khỏi'trục'quay'
!  Chỉ'có'thành'phần''''''gây'ra'chuyển''''''''''''''''''''''''''''''''''
động'quay.'
!  Như'vậy'“trong'chuyển'động'quay'của'vật'rắn'xung'
quanh'một'trục,'chỉ'những'thành'phần'lực'tiếp'tuyến'
với'quỹ'đạo'của'điểm'đặt'mới'thực'sự'gây'ra'chuyển'
động'quay”.'Vì'vậy'để'đơn'giản,'ta'giả'thiết'rằng'các'
lực'tác'dụng'lên'vật'rắn'chỉ'là'lực'tiếp'tuyến'
7/10/15'
F
!
zF
!
nF
!
tF
!
r
!
Δ
⊥F
!
!
Ft
!
Fz
!
Fn
Chuyển'động'của'vật'rắn'
5.  Mô'men'lực'
!  Khái'niệm:'“Mô'men'của'lực'''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''
đối'với'trục'quay'Δ'là'một'véc''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''
tơ''''''''xác'đinh'bởi'tích'véc'tơ'''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''
của'''''và''''''”'
!  Độ'lớn'
!  Nhận'xét:'Trong'chuyển'động'quay,''''''''''''''''''''''''''''''''''
tác'dụng'của'lực''''''tương'đương'với''''''''''''''''''''''''''''''''''
tác'dụng'của'lực'''''''và'tương'đương'với'tác'dụng'của'
lực''''''nên'''''''''cũng'chính'là'mô'men'của'lực'''''đối'
với'trục'quay'Δ'
7/10/15'
F
!
zF
!
nF
!
tF
!
r
!
Δ
⊥F
!
Δ/M
!
tFrM
!!!
×=Δ/
M/Δ = rFt sin
!
r ,
!
Ft( ) = rFt
!
Ft
!
M/Δ !
Ft
!
r
!
Ft
!
F⊥
!
F
!
M/Δ
!
F
Chuyển'động'của'vật'rắn'
6.  Phương'trình'cơ'bản'của'''''''''''''''''''''''''''''''''''''
chuyển'động'quay'của'vật'rắn'
!  Xét'một'chất'điểm'i'trên'vật'rắn'
!  Nhân'bên'trái'hai'vế'với'véc'tơ'
'
!  Trong'toán'học'(giải'tích'véc'tơ)''
!  Do''''''''''''''''''''''''''suy'ra'
7/10/15'
tiF
!
ir
!
Δ
iM
!
im
tia
!mi
!
ati =
!
Fti
mi
!
ri ×
!
ati =
!
ri ×
!
Fti
!
ri ×
!
ati =
!
ri × (
!
β ×
!
ri )
=
!
ri ⋅
!
ri( ) ⋅
!
β −
!
ri ⋅
!
β( ) ⋅ !ri
!
ri ⋅
!
ri ⋅
!
β( ) = 0 mir 2i
!
β =
!
ri ×
!
Fti =
!
Mti
!
ri ×
Chuyển'động'của'vật'rắn'
6.  Phương'trình'cơ'bản'của'''''''''''''''''''''''''''''''''''''
chuyển'động'quay'của'vật'rắn'
!  Lấy'tổng'cho'toàn'bộ'vật'rắn'
!  Đặt''''''''''''''''''''''suy'ra'
!  I'gọi'là'mô'men'quán'tính'của'vật'rắn,'M'là'tổng'mô'
men'lực'tác'dụng'lên'vật'rắn'
7/10/15'
tiF
!
ir
!
Δ
iM
!
im
tia
!
mir
2
i
i=1
n
∑
"
#
$
%
&
'
!
β =
!
Mti
i=1
n
∑
!
β =
!
M
I
I = mir
2
i
i=1
n
∑
Chuyển'động'của'vật'rắn'
6.  Phương'trình'cơ'bản'của'''''''''''''''''''''''''''''''''''''
chuyển'động'quay'của'vật'rắn'
!  Phương'trình:'
''''gọi'là'phương'trình'cơ'bản'mô'tả'
''''chuyển'động'quay'của'vật'rắn'
!  “Gia'tốc'góc'trong'chuyển'động'quay'của'vật'rắn'
xung'quanh'một'trục'tỉ'lệ'thuận'với'tổng'hợp'mô'
men'ngoại'lực'và'tỉ'lệ'nghịch'với'mô'men'quán'tính'
của'vật'đối'với'cùng'trục'quay”'
7/10/15'
tiF
!
ir
!
Δ
iM
!
im
tia
!!
β =
!
M
I
Mô'men'quán'tính'
1.  Ý'nghĩa'của'mô'men'quán'tính'
!  Từ'phương'trình'
''''ta'thấy'nếu'mô'men'lực'tác'dụng'lên'vật'rắn'cố'định'
''''Nếu'I'tăng'thì'β'giảm'và'ngược'lại'I'giảm'thì'β'tăng'
!  “Vậy'mô'men'quán'tính'của'vật'là'đại'lượng'đặc'
trưng'cho'quán'tính'đối'với'chuyển'động'quay'của'
vật”.'
7/10/15'
!
β =
!
M
I
Mô'men'quán'tính'
2.  Cách'tính'mô'men'quán'tính'
!  Nếu'ta'có'thể'chia'nhỏ'vật'thành'từng'yếu'tố'nhỏ'có'
khối'lượng'Δmi'và'cách'trục'quay'một'khoảng'ri'và'có'
mô'men'quán'tính'là'ΔIi'.Khi'đó'mô'men'quán'tính'
của'vật'sẽ'được'tính'theo'công'thức'
!  Nếu'khối'lượng'của'vật'phân'bố'liên'tục'thì'ta'có'thể'
chia'nhỏ'vật'tùy'ý.'Khi'đó'Δmi'sẽ'biến'thành'dm.'Tổng'
theo'các'yếu'tố'khối'lượng'Δmi'sẽ'biến'thành'tích'
phân'theo'yếu'vi'phân'khối'lượng'dm'
7/10/15'
I = ΔIi
i=1
n
∑ = Δmir 2i
i=1
n
∑
I = lim
Δmi→0
Δmir
2
i
i=1
n
∑ → I = r 2 dm∫ = r 2ρdV∫
Mô'men'quán'tính'
3.  Ví'dụ:'Mô'men'quán'tính'của'thanh'thẳng'đồng'
chất,'mật'độ'khối'lương'ρ'(kg/m)'
!  Chia'nhỏ'thanh'đồng'chất'thành''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''
từng'yếu'tố'khối'lượng'dm.'Mỗi''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''
yếu'tố'này'có'mô'men'quán'tính:'
!  Vì'thanh'đồng'chất'có'khối'lượng'phân'bố'liên'tục'
nên'
'''(S'là'tiết'diện'ngang'của'thanh).'
!  Vì'vậy'tổng'mô'men'quán'tính'của'thanh'đồng'chất'
bằng:'
7/10/15'
dI = ℓ2dm
dm = ρdV = ρSdℓ⇒ dI = ℓ2dm = ρSℓ2dℓ
I = dI∫ = ℓ2 ⋅ ρSdℓ∫ = ρS ℓ2 dℓ∫
dℓ
ℓ
L /2
Mô'men'quán'tính'
3.  Ví'dụ:'Mô'men'quán'tính'của'thanh'thẳng'đồng'
chất,'mật'độ'khối'lương'ρ'(kg/m)'
!  Lấy'tích'phân'cho'toàn'bộ'thanh''''''''''''''''''''''''''''''''
đồng'chất,'đồng'nghĩa'với'việc''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''
lấy'tích'phân'theo'toàn'bộ'chiều''''''''''''''''''''''''''''''''''''
dài'của'thanh'từ'–L/2'đến'+L/2'
!  Vậy'
7/10/15'
dℓ
ℓ
L /2
I = ρS ℓ2 dℓ
−L/2
L/2
∫ = 1
12
ρSL3 =
1
12
ρSL ⋅ L2
ρSL = ρV =M
I =
1
12
ML2
Mô'men'quán'tính'
3.  Ví'dụ:'Mô'men'quán'tính'của'thanh'thẳng'đồng'
chất,'mật'độ'khối'lương'ρ'(kg/m)'
!  Nếu'trục'quay'đi'qua'một'đầu''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''
của'thanh'thẳng'đồng'chất.'Khi'''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''
đó'tích'phân'phải'lấy'theo'toàn''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''
bộ'chiều'dài'của'thành'từ'0'đến'L'
!  Vậy'
7/10/15'
dℓ
ℓ
L
I = ρS ℓ2 dℓ
0
L
∫ = 1
3
ρSL3
I =
1
3
ML2
Mô'men'quán'tính'
4.  Một'số'vật'có'hình'dạng'đặc'biệt'
!  Vành'tròn'và'hình'trụ'rỗng'đồng'chất'
'
!  Khối'lập'phương'đặc'đồng'chất'
7/10/15'
x
y
z
a/2
a/2
b/2 b/2
c/2
c/2
C
m = ρabc ⇒
I x =
1
12
m(b2 + c2 )
Iy =
1
12
m(a2 + c2 )
Iz =
1
12
m(a2 +b2 )
"
#
$
$
$
%
$
$
$
I =mr2
r
Mô'men'quán'tính'
4.  Một'số'vật'có'hình'dạng'đặc'biệt'
!  Khối'cầu'đặc'đồng'chất'
'
!  Khối'hình'trụ'đặc'đồng'chất'
7/10/15'
x
y
z
R
C
m =
4
3
πρR3
Ix = Iy = Iz =
2
5
mR2
x
y
z
h/2
h/2
R
C
m = πρR2h
Ix = Iy =
1
12
m(3R2 +h2 )
Iz =
1
2
mR2
Mô'men'động'lượng'
1.  Mô'men'động'lượng'của'một'chất'điểm'
2.  Mô'men'động'lượng'của'một'hệ'chất'điểm'
3.  Mô'men'động'lượng'của'một'vật'rắn'
7/10/15'
!
Li =
!
ri ×
!
pi =mi
!
ri ×
!
vi = Ii
!
ωi
!
vi =
!
ri ×
!
ωi ⇒
!
ri ×
!
vi =
!
ri ×
!
ri ×
!
ωi( ) = ri2
!
ωi
!
Li =miri
2 !ωi = Ii
!
ωi
!
L =
!
Li∑ = Ii
!
ωi∑
!
ω1 =
!
ω2 =" =
!
ωn =
!
ω
!
L = Ii
!
ωi∑ = Ii∑( ) !ω = I !ω
Mô'men'động'lượng'
4.  Định'lý'về'mô'men'động'lượng'
!  Với'một'chất'điểm'
!  Với'một'hệ'chất'điểm'
!  Đạo hàm mô men động lượng của một hệ chất điểm cân 
bằng với tổng mô men của các ngoại lực tác dụng lên hệ 
7/10/15'
d
!
Li
dt
= Ii
d
!
ωi
dt
= Ii
!
βi =
!
Mi
d
!
Li
dt
∑ =
!
Mi∑
d
!
Li
dt
∑ = d
dt
!
Li∑ =
d
dt
!
L
!
Mi∑ =
!
M ⇒
d
!
L
dt
=
!
M
Mô'men'động'lượng'
5.  Nguyên'lý'bảo'toàn'mô'men'động'lượng'
!  Với'một'chất'điểm'
!  Tổng'quát'đối'với'một'hệ'chất'điểm'
!  Vậy: “Nếu tổng mô men lực tác dụng lên hệ chất điểm 
bằng không thì tổng mô men động lượng của hệ là một 
đại lượng bảo toàn” 
7/10/15'
!
M = 0 ⇒
d
!
L
dt
= 0 ⇒
!
L = const
I1
!
ω1 + I2
!
ω2 +"+ In
!
ωn = const
Mô'men'động'lượng'
6.  Ứng'dụng'nguyên'lý'bảo'toàn'mô'men'động'lượng'
!  Con'quay'hồi'chuyển'
!  Máy bay trực thăng 
7/10/15'
Con'quay'hồi'chuyển'với'các'vòng'bánh'xe'chuyển'
động'tự'do'theo'mọi'hướng,'điều'này'giúp'vật'thể'
xác'định'trạng'thái'phương'hướng'hiện'tại.'Thông'
qua'hệ'thống'xử'lý,'vật'thể'sẽ'có'phản'ứng'phù'
hợp'(màn'hình'điện'thoại'xoay'ngang'hay'dọc)'
hoặc'giữ'thăng'bằng'(máy'bay'điều'khiển'từ'xa)'
Máy'bay'trực'thăng'luôn'có'một'cánh'phụ'ở'
phía'đuôi.'Tốc'độ'quay'của'cánh'phụ'này'luôn'
được'điều'chỉnh'và'đồng'bộ'với'tốc'độ'của'
cánh'quạt'chính'sao'cho'mô'men'động'lượng'
nó'tạo'ra'có'thể'khử'được'mô'men'động'lượng'
của'cánh'quạt'chính'gây'ra'cho'thân'máy'bay.'
Hết'chương'2'
7/10/15'