Bài giảng Toán tài chính - Chương 6: Phương trình vi phân & ứng dụng

PHƯƠNG TRÌNH VI 
PHÂN & ỨNG DỤNG CHƯƠNG 6
1
KHÁI NIỆM CHUNG
Trong thực tế khi nghiên cứu sự phụ thuộc lẫn nhau giữa
các đối tượng, nhiều khi chúng ta không thể thiết lập trực
tiếp mối quan hệ phụ thuộc dạng hàm số giữa các đối
tượng đó, mà chỉ có thể thiết lập mối liên hệ giữa các đối
tượng mà ta cần tìm mối quan hệ hàm số, cùng với đạo
hàm hoặc tích phân của hàm số chưa biết ấy. 
Trong nhiều mô hình, hệ thức liên hệ được viết dưới
dạng phương trình có chứa đạo hàm, đó là phương trình
vi phân.
2
ĐỊNH NGHĨA
Phương trình mà trong đó có xuất hiện biến số độc lập, 
hàm cần tìm và các đạo hàm (hay vi phân) của nó gọi
chung là phương trình vi phân.
Ví dụ.
( ) 2' ' 0 ; 2dyy y x x y xy
dx
+ - = =
( )( ), , ', , ..., 0nF x y y y y¢¢ =
3
CẤP CỦA PTVP
Cấp của phương trình vi phân là cấp cao nhất của đạo
hàm có mặt trong phương trình.
Phương trình vi phân cấp một là phương trình có dạng:
Phương trình vi phân cấp hai là phương trình có dạng:
Phương trình vi phân cấp n là phương trình có dạng:
( ) ( ), , ' 0 ' ,F x y y hay y f x y= =
( )( ), , , , ..., 0nF x y y y y¢ ¢¢ =
4
VÍ DỤ
Nêu cấp của các PTVP sau:
( )
( ) ( )
2
2
2
) ' ' 0
) 2 1 1 0
) '' 4 2 '
a y y x x y
b x dx x y dy
c y xy xy
+ - =
+ + - =
= -
5
VÍ DỤ THỰC TẾ VỀ PTVP
Một bể chứa 20 kg muối hòa tan trong 5000 lít nước. 
Nước muối chứa 0,03 kg muối mỗi lít được đổ vào bể với 
tốc độ 25 lít/phút. Dung dịch được trộn kỹ và thoát ra 
khỏi bể với cùng tốc độ. Sau 30 phút thì trong bể còn lại
bao nhiêu muối?
6
VÍ DỤ
Gọi y(t) là lượng muối trong bể vào thời điểm t.
Ta có y(0)=20
Tốc độ bổ sung muối vào: 0.03 kg/l * 25l/phút=0,75 kg/phút
Tốc độ muối ra: 25l/phút * y(t)/5000 kg/lít = y(t)/200 kg/phút
Chênh lệch vào ra: 0,75 – y(t)/200
Đây cũng chính là tốc độ thay đổi của khối lượng muối y(t)
Ta có: y’(t)=0,75-y(t)/200
Hay y’=0,75-0,005y 
7
MÔ HÌNH TĂNG DÂN SỐ 1
Giả định:
+ Tốc độ tăng dân số tăng tỷ lệ thuận với quy mô dân số. 
Mô hình toán học của giả định trên?
8
MÔ HÌNH TĂNG DÂN SỐ 2
Giả định:
+ Tốc độ tăng dân số tăng tỷ lệ thuận với quy mô dân số. 
+ Khi tăng đến mức K nào đó thì dân số giảm (hoặc giảm
về K khi dân số tăng quá K)
Hãy đưa ra mô hình toán học?
9
PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN CẤP 1
Định nghĩa. Phương trình vi phân cấp 1 là phương trình có
dạng:
Trong đó:
- F xác định trong miền G thuộc R3
- x là biến độc lập, y là hàm cần tìm
( ), , ' 0 , , 0
dy
F x y y hay F x y
dx
æ ö÷ç ÷= =ç ÷ç ÷çè ø
10
NGHIỆM CỦA PTVP CẤP 1
Nghiệm tổng quát
Nghiệm tổng quát dưới dạng ẩn (tích phân tổng quát)
Nghiệm riêng
Nghiệm kỳ dị
11
NGHIỆM TỔNG QUÁT
Dạng:
Thỏa mãn PTVP với mọi giá trị của C
Với mọi điểm (0, 0) ∈  ta đều tìm được C0 sao cho
( ),y x Cj=
( )0 0 0,y x Cj=
12
NGHIỆM TỔNG QUÁT DẠNG ẨN
Tên khác: tích phân tổng quát
Hệ thức Φ , ,  = 0 hay Φ , ) =  gọi là nghiệm 
tổng quát của phương trình vi phân trong miền D nếu nó 
xác định nghiệm tổng quát của phương trình trong D.
13
NGHIỆM RIÊNG
Nghiệm nhận được từ nghiệm tổng quát với hằng số C0 
xác định được gọi là nghiệm riêng. 
Nghiệm riêng: 
Tích phân riêng: 
14
NGHIỆM KỲ DỊ
Nghiệm kỳ dị là nghiệm không thể nhận được từ nghiệm
tổng quát với bất kỳ giá trị nào của C.
15
PTVP CẤP 1 THƯỜNG GẶP
PT biến số phân ly
PT biến số phân ly được
PT đẳng cấp cấp 1
PT tuyến tính cấp 1
PT Bernoulli
PT vi phân toàn phần
16
PT BIẾN SỐ PHÂN LY
Dạng: g(y)dy=f(x)dx
Lấy tích phân bất định hai vế theo biến x.
Ta có:
Ví dụ.
( ) ( ) ( ) ( )g y dy f x dx G y F x C= Û = +ò ò
2
2
1
x
ydy dx
x
=
+
17
PT BIẾN SỐ PHÂN LY ĐƯỢC
Dạng 1.
Cách giải:
Chia hai vế cho f1(x)g2(y) để đưa về dạng biến số phân ly
Xét riêng tại những giá trị f1(x)g2(y)=0
( ) ( ) ( ) ( )1 1 2 2f x g y dy g y f x dx=
18
VÍ DỤ
Giải phương trình:
Đáp án:
Nghiệm tổng quát:
Nghiệm: y=-1
Nghiệm: x=1
( ) ( )( )2 31 1 1 0x y dx x y dy+ + - - =
31 ln 1 2ln 1
3
x y y C 
19
PT BIẾN SỐ PHÂN LY ĐƯỢC
Dạng 2.
Cách giải:
Đặt z=ax+by
Đưa về phương trình biến số phân ly dx, dz
( )y f ax by¢= +
20
VÍ DỤ
Giải phương trình sau:
Đáp số:
3y x y¢= -
1
3 3
xCe
x y
=
- -
21
PHƯƠNG TRÌNH ĐẲNG CẤP CẤP 1
Dạng:
Cách giải:
Đặt t=y/x
Đưa về dạng biến số phân ly
y
y f
x
22
VÍ DỤ
Giải phương trình sau:
Đáp án:
2 2
2
x y
y
xy
+
¢=
2
2 2
1 12
1
y
x C y x C x
x
æ ö÷ç ÷- = Û - =ç ÷ç ÷çè ø
23
PHƯƠNG TRÌNH TUYẾN TÍNH CẤP 1
Dạng phương trình:
trong đó p(x), q(x) là các hàm liên tục trong khoảng (a,b) 
nào đó.
Nếu q(x)=0 ta có phương trình thuần nhất.
Nếu q(x) ≠ 0 ta có phương trình không thuần nhất.
( ) ( )y p x y q x¢+ =
24
PHƯƠNG PHÁP GIẢI
B1. Giải phương trình thuần nhất
B2. Giải phương trình không thuần nhất bằng phương pháp
biến thiên hằng số
B3. Công thức nghiệm tổng quát:
( ) 0y p x y¢+ =
( ) ( ) ( )( )0y p x y q x q x¢+ = ¹
( )
( )
( )p x dx p x dx
y e q x e dx C
- æ öò ò ÷ç= + ÷ç ÷çè øò
25
VÍ DỤ
Cho phương trình vi phân:
A) Giải phương trình
B) Tìm nghiệm riêng thỏa mãn y(1)=-1
Đáp số:
Nghiệm tổng quát:
Nghiệm riêng:
1
2y y x
x
¢- =
22y x Cx= +
22 3y x x= -
26
VÍ DỤ
Giải phương trình sau:
Đáp số:
2
2 xy xy xe -¢+ =
( )
22 xy x C e-= +
27
PHƯƠNG TRÌNH BERNOULLI
Dạng phương trình:
Cách giải:
Chia hai vế phương trình cho 
Đặt ta có: 
( ) ( )y p x y q x y a¢+ =
1z y a-= ( )1
1
z
z y y hay y ya aa
a
- - ¢¢ ¢ ¢= - =
-
28
PHƯƠNG TRÌNH BERNOULLI
Chú ý:
Nếu  > 0 thì y=0 cũng là nghiệm.
Nếu  > 1 thì y=0 là nghiệm riêng.
Nếu 0 <  < 1 thì y=0 là nghiệm kỳ dị
29
VÍ DỤ
Giải phương trình sau:
Đáp số:
Nghiệm tổng quát:
Nghiệm kì dị: y=0
2y xy y¢- =
x
y
x C
=
+
30
PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN TOÀN PHẦN
Dạng:
Điều kiện:
Nghiệm tổng quát:
 , , 0M x y dx N x y dy 
M N
y x
 
 
0 0
0 0
0
0
, , ,
, , , y
yx
x y
yx
x y
u x y M x y dx N x y dy C
u x y M x y dx N x dy C
31
VÍ DỤ 1
Giải phương trình vi phân:
Ta có:
 2 2 2 33 6 6 4 0x xy dx x y y dy 
 2 2 2 3, 3 6 , 6 4
12
M x y x xy N x y x y y
M N
xy
y x
 
 
32
VÍ DỤ 1
Nghiệm tổng quát của phương trình:
 2 2 3
0 0
, 3 6 0 4
yx
x y x xy dx y dy C 
3 2 2 43x x y y C 
33
VÍ DỤ 2
Giải phương trình vi phân:
2
2
) 1 3 0
) .cos sin cos 0
a x y dx x y dy
b xy xy xy dx x xy dy
34
THỪA SỐ TÍCH PHÂN
Xét phương trình vi phân dạng:
Nếu phương trình trên chưa có dạng phương trình vi 
phân toàn phần thì ta có thể tìm hàm (, ) sao cho
phương trình:
Là phương trình vi phân toàn phần.
Hàm (, ) gọi là thừa số tích phân.
 , , 0M x y dx N x y dy 
 , . , , . , 0x y M x y dx x y N x y dy  
35
VÍ DỤ
Giải phương trình sau:
Bằng cách sử dụng thừa số tích phân dạng ()
Chú ý: 
 Thừa số tích phân khá khó tìm
 Ta tìm dạng đặc biệt như () hay ()
 Sinh viên không cần trình bày cách tìm thừa số TP
 2 3 22 3 7 3 0xy y dx xy dy 
36
VÍ DỤ
Giải các ptvp sau
 2 2 2
2
) tan ln 0 ) 2 1; 0 1
) 0 ) ln ; 1 1
1
) 2 1 2 )
3
a ydx x xdy b y x y y
y
c x y y xy x d xy y y
x
x y
e y xy x f y
x y
37
BÀI TẬP 1
38
BÀI TẬP 2
39
BÀI TẬP 3
40
BÀI TẬP 4
41
BÀI TẬP 5
42
BÀI TẬP 6
Giải các phương trình vi phân sau bằng phương pháp
thừa số tích phân
43
BUỔI 2
6.3 Ứng dụng của phương trình vi phân bậc 1
44
ỨNG DỤNG PTVP CẤP 1
Phân tích định tính bằng phương pháp đồ thị
Tìm hàm số khi biết hệ số co giãn
Mô hình điều chỉnh giá thị trường
Mô hình tăng trưởng Domar (tự tham khảo)
Mô hình tăng trưởng Solow (tự tham khảo)
45
PHÂN TÍCH ĐỊNH TÍNH BẰNG PHƯƠNG PHÁP
ĐỒ THỊ
Xét phương trình vi phân cấp 1 dạng:
Đồ thị pha (đồ hình pha)
Trên mặt phẳng tọa độ với trục hoành biểu diễn y và trục
tung biểu diễn y’ ta lập đồ thị hàm số f(y).
Đồ thị đó được gọi là đường pha
dy
f y
dt
46
ĐỒ THỊ PHA
Tại các điểm trên trục hoành thì y’ dương nên y tăng theo
thời gian, y đi từ trái sang phải
Tại các điểm dưới trục hoành thì y’ âm nên y giảm theo
thời gian, y đi từ phải sang trái
Tại giao điểm với trục hoành, giả sử là tại , ta có y’=0. Ta 
gọi  là trạng thái cân bằng.
47
ĐỒ THỊ PHA – DẠNG 1
Trạng thái cân bằng ổn định động
y
y 
0
y
• Tại các điểm trên
trục hoành y đi từ
trái sang phải
• Tại các điểm dưới
trục hoành y đi từ
phải sang trái
• Tại giao điểm với
trục hoành  là
trạng thái cân bằng.
48
ĐỒ THỊ PHA – DẠNG 2
Trạng thái cân bằng không ổn định
động
y
y 
0
y
• Tại các điểm trên
trục hoành y đi từ
trái sang phải
• Tại các điểm dưới
trục hoành y đi từ
phải sang trái
• Tại giao điểm với
trục hoành  là
trạng thái cân bằng.
49
TRẠNG THÁI CÂN BẰNG ỔN ĐỊNH
y
0y
0y
50
TRẠNG THÁI CÂN BẰNG KHÔNG ỔN ĐỊNH
y
0y
0y
51
NHẬN XÉT
Tính ổn định của trạng thái cân bằng  phụ thuộc dấu của
đạo hàm tại điểm cân bằng  
Trạng thái cân bằng  ổn định động khi:
 0f y 
52
VÍ DỤ
Xét mô hình ptvt tuyến tính cấp 1:
Ta có:
Trạng thái cân bằng ổn định động khi và chỉ khi:
0p 
53
TÌM Y(X) BIẾT HỆ SỐ CO GIÃN 
Ta có:
Giả sử:
Ta có pt vi phân sau: 
'
.xy
y dy x
x
y dx y
 
 xy x  
 'x
y
xy dy
x x dx
y y x

  
54
VÍ DỤ 1
Biết hệ số co giãn của hàm cầu theo giá:
Tìm hàm cầu QD biết  10 = 500
Đáp số:
25 2
D
P
Q
P P
Q

2650 5Q P P 
55
VÍ DỤ 2
Biết hệ số co giãn của hàm cầu:
Tìm hàm cầu QD biết  0 = 2000
2
2000 2D
P
Q
P
P

56
BIẾN ĐỘNG CỦA GIÁ TRÊN THỊ TRƯỜNG
Giả sử hàm cầu, hàm cung của một loại hàng hóa cho
bởi:
Điểm cân bằng thị trường:
Nếu giá ban đầu là thì thị trường cân bằng. 
Còn nếu không thì thị trường sẽ đạt giá cân bằng sau một
quá trình điều chỉnh nào đó. 
;D sQ p Q p    
p
 
 
 0p p 
57
BIẾN ĐỘNG CỦA GIÁ TRÊN THỊ TRƯỜNG
Trong quá trình điều chỉnh, các Qs, Qd và p đều thay đổi
theo t (biến thời gian). 
Giả sử theo thời gian t, giá p(t) tại thời điểm t luôn tỷ lệ
với độ chênh lệch giữa cầu và cung tại thời điểm đó. 
Nghĩa là:
Với k>0 là hằng số.
 ' d sp t k Q t Q t 
58
BIẾN ĐỘNG CỦA GIÁ TRÊN THỊ TRƯỜNG
Từ đó ta có:
Do đó:
  
'p t k p p
k p k p p
   
 
   
 
0 0 ..
ln . ln
. k t k t
dp
k dt p p k t C
p p
p p C p pe Ce
   
59
BIẾN ĐỘNG CỦA GIÁ TRÊN THỊ TRƯỜNG
Với t=0, ta có giá tại thời điểm ban đầu:
Vậy:
Dễ thấy:
 0 0p p C C p p 
 00 k tp t p p p e 
 0 0lim lim 0 0k t
t t
p t p p p e p dok 
60
NHẬN XÉT BIẾN ĐỘNG CỦA P(T) THEO T
Nếu giá ban đầu p(0) cao hơn giá cân bằng ̅ thì P(t) là
hàm giảm theo t và
Nếu giá ban đầu p(0) thấp hơn giá cân bằng ̅ thì P(t) là
hàm tăng theo t và
Như vậy trong mọi trường hợp cùng với thời gian giá cả
sẽ dần dần trở về với giá tại điểm cân bằng. Do đó điểm
cân bằng thị trường có tính chất ổn định động
 lim
t
p t p
 lim
t
p t p
61
BIẾN ĐỘNG CỦA GIÁ TRÊN THỊ TRƯỜNG
Ví dụ: Cho:
Tìm thời gian t sao cho: 
 1 2 ; 2 3 ; 0,2; 0 0,4d sQ p Q p k p 
1%p p  
62
GIẢI
Ta có:
Vậy:
Vậy sau 3 đơn vị thời gian thì giá thỏa mãn yêu cầu trên
 0 0, 2. 2 3 1; 0,6k k p  
 0 0
1
. 0 .
5
k t k t tp p C e p p e e 
1
0,01 0,05 ln 0,05
5
ln 20 3
t tp p e e t
t
63