Bài giảng Toán tài chính - Chương 5A: Đại số tuyến tính và ứng dụng

ĐẠI SỐ TUYẾN TÍNH 
VÀ ỨNG DỤNG
CHƯƠNG 5A
CHƯƠNG 5
Chương 5: Đại số tuyến tính và ứng dụng
5.1 Quy hoạch tuyến tính 2 biến
5.2 Ma trận
5.3 Giải hệ phương trình: phương pháp khử
5.4 Định thức
5.5 Ma trận nghịch đảo và phân tích input/output
5.6 Tự tương quan và hồi qui tuyến tính đơn biến 
ĐỊNH NGHĨA MA TRẬN
Một ma trận A cấp 
mxn là một bảng số 
hình chữ nhật gồm 
mxn phần tử, gồm m 
hàng và n cột.
11 12 1
21 22 2
1 2
11 12 1
21 22 2
1 2
n
n
m m mn
n
n
m m mn
a a a
a a a
A
a a a
a a a
a a a
hay A
a a a
æ ö÷ç ÷ç ÷ç ÷ç ÷ç ÷= ç ÷ç ÷÷ç ÷ç ÷ç ÷ç ÷çè ø
é ù
ê ú
ê ú
ê ú= ê ú
ê ú
ê ú
ê úë û
K
L
M M O M
L
K
L
M M O M
L
ĐỊNH NGHĨA MA TRẬN
Ký hiệu ma trận:
Ví dụ:
ij m n
A a
´
é ù= ê úë û
1 2 7 0
4 5 7 1
0 2 8 9
A
æ ö- ÷ç ÷ç ÷ç ÷ç= - ÷ç ÷ç ÷ç ÷÷çè ø
MA TRẬN VUÔNG
Nếu m=n ta nói A là ma trận vuông cấp n.
Đường chéo chính gồm các phần tử:
11 12 1
21 22 2
ij
1 2
n
n
n n nn
n n
a a a
a a a
A a
a a a
´
æ ö÷ç ÷ç ÷ç ÷ç ÷ç é ù÷= =ç ÷ ê úç ÷ ë û÷ç ÷ç ÷ç ÷ç ÷çè ø
K
L
M M O M
L
11 22
, , ...,
nn
a a a
CÁC DẠNG MA TRẬN ĐẶC BIỆT
1. Ma trận không:
2. Ma trận hàng
3. Ma trận cột
4. Ma trận tam giác trên
5. Ma trận tam giác dưới
6. Ma trận chéo
7. Ma trận đơn vị
8. Ma trận bậc thang
MA TRẬN KHÔNG
Tất cả các phần tử đều bằng 0.
Ký hiệu: 0 hay 0mxn
0 0 0
0 0 0
0 0
0 0 0
m n´
æ ö÷ç ÷ç ÷ç ÷ç ÷ç ÷= =ç ÷ç ÷÷ç ÷ç ÷ç ÷ç ÷çè ø
L
L
M MO M
L
MA TRẬN HÀNG, CỘT
Ma trận hàng: chỉ có một hàng
Ma trận cột: chỉ có một cột
( )
1
2
1 2 3 4 5
4
5
A B
æ ö÷ç ÷ç ÷ç ÷ç ÷ç ÷= - = ç ÷ç ÷- ÷ç ÷ç ÷ç ÷ç ÷çè ø
MA TRẬN TAM GIÁC TRÊN
Ma trận vuông
Các phần tử dưới đường chéo chính bằng 0 
1 2 3 4
1 2 3
0 0 2 1
0 4 5
0 0 8 9
0 0 6
0 0 0 4
A B
æ ö÷çæ ö ÷ç÷ ÷ç ç÷ ÷ç ç÷ ÷ç ç÷ ÷ç= = ç÷ ÷ç ÷ ç ÷ç ÷ ÷çç ÷ ÷ç÷ ÷ç çè ø ÷ç ÷çè ø
MA TRẬN TAM GIÁC DƯỚI
Ma trận vuông
Các phần tử trên đường chéo chính bằng 0 
1 0 0 0
1 0 0
2 0 0 0
3 4 0
0 6 8 0
5 0 6
9 3 1 4
A B
æ ö÷çæ ö ÷ç÷ ÷ç ç÷ ÷ç ç÷ ÷ç ç÷ ÷ç= = ç÷ ÷ç ÷ ç ÷ç ÷ ÷çç ÷ ÷ç÷ ÷ç çè ø ÷ç ÷çè ø
MA TRẬN CHÉO
Ma trận vuông
Tam giác trên: dưới đường chéo chính bằng 0
Tam giác dưới: trên đường chéo chính bằng 0
1 0 0 0
1 0 0
0 0 0 0 0
0 4 0
0 0 8 0 0
0 0 6
0 0 0 4
a
A B C
b
æ ö÷çæ ö ÷ç÷ ÷ç ç æ ö÷ ÷ç ç÷ ÷ ÷çç ç÷ ÷ ÷çç= = =ç÷ ÷ ÷çç ÷ ç ÷ ÷çç ÷÷ ÷ç è øç ÷ ÷ç÷ ÷ç çè ø ÷ç ÷çè ø
MA TRẬN ĐƠN VỊ
Ma trận chéo
Các phần tử chéo đều bằng 1.
Ký hiệu: In là ma trận đơn vị cấp n
2 3 4
1 0 0 0
1 0 0
1 0 0 1 0 0
0 1 0
0 1 0 0 1 0
0 0 1
0 0 0 1
I I I
æ ö÷çæ ö ÷ç÷ ÷ç çæ ö ÷ ÷ç ç÷ ÷÷ç ç ç÷ ÷÷ç ç= = = ç÷ ÷÷ç ç ÷ ç ÷÷ç ç÷ ÷ ÷çè ø ç ÷ ÷ç÷ ÷ç çè ø ÷ç ÷çè ø
MA TRẬN BẬC THANG
Phần tử khác 0 đầu tiên của một hàng kể tử bên trái gọi 
là phần tử cơ sở của hàng đó.
Ma trận bậc thang:
 Hàng không có phần tử cơ sở (nếu tồn tại) thì nằm dưới cùng.
 Phần tử cơ sở của hàng dưới nằm về bên phải (không cùng cột) so 
với phần tử cơ sở của hàng trên.
VÍ DỤ 1
2 1 0 0
0 0 7 1
0 4 8 9
0 0 0 9
3 1 0 0 3
0 0 0 1 2
0 0 0 9 1
A
B
æ ö÷ç ÷ç ÷ç ÷-ç ÷ç ÷= ç ÷ç ÷÷ç ÷ç ÷ç ÷ç ÷çè ø
æ ö÷ç ÷ç ÷ç ÷ç= ÷ç ÷ç ÷ç ÷- ÷çè ø
Không là bậc 
thang
Không là bậc 
thang
VÍ DỤ 2
2 1 0 0
0 4 8 9
0 0 7 1
0 0 0 0
3 1 0 0 3
0 0 3 1 2
0 0 0 9 1
C
D
æ ö÷ç ÷ç ÷ç ÷ç ÷ç ÷= ç ÷ç ÷- ÷ç ÷ç ÷ç ÷ç ÷çè ø
æ ö÷ç ÷ç ÷ç ÷ç= ÷ç ÷ç ÷ç ÷- ÷çè ø
bậc thang
bậc thang
CÁC PHÉP TOÁN TRÊN MA TRẬN
1. Ma trận bằng nhau
2. Cộng hai ma trận cùng cấp
3. Nhân một số với ma trận
4. Nhân hai ma trận
5. Ma trận chuyển vị
6. Lũy thừa của một ma trận
HAI MA TRẬN BẰNG NHAU
Nếu các phần tử tương ứng bằng nhau.
1 2
4 5
2
1
4
5
a d
A B
b c
a
d
A B
b
c
æ ö æ ö-÷ ÷ç ç÷ ÷ç ç= =÷ ÷ç ç÷ ÷ç ç÷ ÷è ø è ø
ìï = -ïïï =ïï= Û í
ï =ïïï =ïïî
CỘNG HAI MA TRẬN
Cộng các phần tử tương ứng với nhau
Điều kiện: hai ma trận phải cùng cấp
1 2
4 5
2 1
4 5
a d
A B
b c
a d
A B
b c
æ ö æ ö-÷ ÷ç ç÷ ÷ç ç= =÷ ÷ç ç÷ ÷ç ç÷ ÷è ø è ø
æ ö- + ÷ç ÷ç+ = ÷ç ÷+ +ç ÷è ø
NHÂN MỘT SỐ VỚI MA TRẬN
Nhân số đó vào tất cả các phần tử
1 2 6
4 5
2 2
2
2 2
2 6
4 5
a d
A B
b c f
a
A
b c
k dk k
kB
k k fk
æ ö æ ö-÷ ÷ç ç÷ ÷ç ç= =÷ ÷ç ç÷ ÷ç ç÷ ÷è ø è ø
æ ö÷ç ÷ç= ÷ç ÷ç ÷è ø
æ ö- ÷ç ÷ç= ÷ç ÷ç ÷è ø
VÍ DỤ 3
1 2 3 4 0 2 10 4
8 7 5 3 1 7 6 0
2 3 0 1 2 3 2 4
)
) 2 3
1 2
)
3 7
A B
a A B
b A B
c A B
æ ö æ ö÷ ÷ç ç÷ ÷ç ç÷ ÷ç ç÷ ÷ç ç= = -÷ ÷ç ç÷ ÷ç ç÷ ÷ç ÷ ç ÷- -÷ ÷ç çè ø è ø
+
-
+
PHÉP NHÂN HAI MA TRẬN
Cho 2 ma trận:
Khi này ma trận A nhân được với ma trận B
Điều kiện: số cột ma trận trước bằng số dòng ma trận 
sau.
;
m n n k
A B
´ ´
.
m k kn mn
A B C
´ ´ ´
=
QUI TẮC NHÂN
Phần tử nằm ở vị trí ij của ma trận mới bằng hàng i của 
ma trận đầu nhân với cột j của ma trận sau.
( )( )h ang cotijc i j
C A B
=
VÍ DỤ 4
Các ma trận nào nhân được với nhau?
1 2 3 4 0 2 10 4
8 7 5 3 1 7 6 0
2 3 0 1 2 3 2 4
1 2
2 4 1 2 3
0 1 2 4 1
3 7
A B
C D
æ ö æ ö÷ ÷ç ç÷ ÷ç ç÷ ÷ç ç÷ ÷ç ç= = -÷ ÷ç ç÷ ÷ç ç÷ ÷ç ÷ ç ÷- -÷ ÷ç çè ø è ø
æ ö- ÷ç ÷ç ÷ç æ ö÷ç ÷ ÷çç ÷ ÷ç= =ç ÷ ÷çç ÷ ÷- -ç ÷÷ç è ø÷ç ÷ç ÷ç ÷çè ø
ĐỊNH THỨC
Cho ma trận A vuông, cấp n.
Định thức của ma trận A, ký hiệu:
Đây là một số thực, được xác định như sau:
( )det A hay A
( ) ( )
( )
11 111 1
11 12
11 22 21 12
21 22 2 2
det
det . .
A a thì A a
a a
A thì A a a a a
a a
´
´
= =
æ ö÷ç ÷ç= = -÷ç ÷ç ÷è ø
ĐỊNH THỨC CẤP N≥3
Dùng phần bù đại số
Ma trận phụ hợp của phần tử aij, ký hiệu Mij là ma trận nhận 
được từ ma trận A bằng cách bỏ đi hàng thứ i và cột thứ j.
11 12 1
21 22 2
1 2
......
......
.............................
......
n
n
n n nn
n n
a a a
a a a
A
a a a
´
æ ö÷ç ÷ç ÷ç ÷ç ÷ç ÷= ç ÷ç ÷÷ç ÷ç ÷ç ÷ç ÷çè ø
4 4
3 21 0 9
1 7 1 2
2 14 0 6
6 42 1 13
A
´
æ ö÷ç ÷ç ÷ç ÷- -ç ÷ç ÷= ç ÷ç ÷÷ç ÷ç ÷ç ÷ç - ÷çè ø
VÍ DỤ 5
Cho ma trận:
( )23 23
3 21 9
2 14 6
6 42 13
M M
æ ö÷ç ÷ç ÷ç ÷ç= Þ = ÷ç ÷ç ÷ç ÷÷çè ø
boûhaøng 2 vaø coät 3
M23=???
PHẦN BÙ ĐẠI SỐ
Phần bù đại số của phần tử aij ký hiệu và xác định như 
sau:
( ) ( )ij ij1 det
i j
A M
+
= -
( )ij ij1
i j
A M
+
= -
KHAI TRIỂN ĐỊNH THỨC
Định thức của ma trận vuông cấp n:
Đây là khai triển theo dòng 1.
Ta có thể khai triển dòng bất kỳ.
( ) 11 11 12 12 1 1d et . . ... n nA a A a A a A= + + +
( ) 1 1 2 2d et . . ...i i i i in inA a A a A a A= + + +
VÍ DỤ 6
Tính định thức ma trận sau:
1 2 3 4
1 2 3
0 5 7 6
0 5 7
1 2 8 5
1 2 8
0 0 0 2
A B
æ ö÷çæ ö ÷ç÷ ÷ç ç÷ ÷ç ç÷ ÷ç ç÷ ÷ç= = ç÷ ÷ç ÷ ç ÷-ç ÷ ÷çç ÷ ÷ç- ÷ ÷ç çè ø ÷ç ÷çè ø
ĐỊNH THỨC CẤP 3
Ta dùng qui tắc sau:
11 12 13 11 12
21 22 23 21 22
31 32 33 31 32
a a a a a
A a a a a a
a a a a a
æ ö÷ç ÷ç ÷ç ÷ç= ÷ç ÷ç ÷ç ÷÷çè ø
( ) ( )
( )
11 22 33 12 23 31 13 21 32
31 22 13 32 23 11 33 21 12
d et . . . . . .
. . . . . .
A a a a a a a a a a
a a a a a a a a a
= + +
- + +
VÍ DỤ 7
Tính lại định thức ma trận sau:
( )
( )
1 2 3 1 2 1
0 5 7 0 1 0
1 2 8 2 2 2
5 7 6 0 1 1
1 2 5 1 2 2
0 3 9 3 3
A C
m m
m
B D
m
æ öæ ö ÷÷ çç ÷÷ çç ÷÷ çç ÷÷ çç= = ÷÷ çç ÷÷ ç ÷ç ÷ ç ÷ç ÷ ÷- ç÷ -ç ÷çè ø è ø
æ ö æ ö+÷ ÷ç ç÷ ÷ç ç÷ ÷ç ç÷ ÷ç ç= - = -÷ ÷ç ç÷ ÷ç ç÷ ÷ç ÷ ç ÷÷ ÷ç çè ø è ø
TÍNH CHẤT CỦA ĐỊNH THỨC
1. Ta có thể khai triển theo dòng hay cột bất kỳ để tính định 
thức.
2. det(A)=det(AT)
3. det(AB)=det(A). det(B)
4. det(kA)=kndet(A)
5. Đổi chỗ hai dòng(cột) của định thức thì định thức đổi dấu.
6. Nhân một dòng, một cột với số k khác không thì định thức 
tăng lên k lần.
TÍNH CHẤT CỦA ĐỊNH THỨC
7. Nếu thực hiện phép biến đổi sơ cấp trên dòng thứ 3 thì
định thức không thay đổi.
8. Nếu định thức có một dòng, một cột bằng 0 thì định thức
bằng 0.
9. Nếu 2 dòng (cột) tỷ lệ thì định thức bằng 0.
10. Định thức của ma trận tam giác bằng tích các phần tử trên
đường chéo chính.
11. Tách định thức: một dòng (cột) là tổng của hai số hạng thì
tách tổng 2 định thức
Các phép biến đổi trên dòng xem phía sau (phần tìm hạng ma trận)
TÍNH CHẤT
Tách định thức: một dòng (cột) là tổng của hai số hạng thì 
tách tổng 2 định thức
1 3 1 3 1 3
0 7 0 7 0 7
1 8 1 8 1 8
1 2 3 1 2 3 1 2 3
2 3 4 6 5 7
10 12
2 2
5 5
2
5 10 12 5 1
6 6
1
2
2 4 5
4 14
16 16
3 6 7
0 12 5
+
+ = +
- + - -
+ + + = +
MA TRẬN NGHỊCH ĐẢO
Ma trận vuông A cấp n được gọi là khả nghịch nếu tồn tại 
ma trận vuông B cấp n sao cho:
Khi này B được gọi là ma trận nghịch đảo của ma trận A. 
Ký hiệu: A-1
.
.
n
n
A B I
B A I
ìï =ï
í
ï =ïî
TÍNH CHẤT
( )
1
1 1
1
1
. .
n
A
A A A A I
A
-
- -
-
-
Û
= =
=
i ) khaûnghòch toàn taïi ma traän nghòch ñaûo A
ii)
i i i) M a traän nghòch ñaûo cuûa ma traän A (neáu coù)
thì duy nhaát, vaø:
A
TÍNH CHẤT
( )
( )
( ) ( )
( )
( )
1
1 1
1
1 1 1
1
1
1
. ;
1
det
det
T
T
T
A B B A
A BC C B A
A A
A
A
-
- -
-
- - -
-
-
-
=
=
=
=
iv) Cho A, B, C laø caùc ma traän khaû nghòch thì:
v) Neáu A khaû nghòch thì A cuõng khaû nghòch:
vi)
ĐIỀU KIỆN ĐỂ MA TRẬN KHẢ NGHỊCH
Cho ma trận A vuông cấp n. Ta có:
( )
( )
( )
det 0
det 0
n
A A I
A r A n
A A
A A
Û
Û =
Û ¹
Û =
:i ) khaûnghòch
ii) khaûnghòch
ii i) khaûnghòch
iv) khoâng khaûnghòch
HẠNG CỦA MA TRẬN
Định thức con của ma trận:
Cho A là ma trận cấp mxn. Chọn các phần tử nằm trên 
giao của k dòng và k cột của A ta được một ma trận 
vuông cấp k. Định thức của ma trận vuông cấp k này ta 
gọi là định thức con cấp k của A.
Hỏi. Có bao nhiêu định thức con cấp k trong 1 ma trận A 
cấp mxn
- Chọn k dòng
- Chọn k cột
VÍ DỤ 8
Cho ma trận A.
Hãy lập các định thức con cấp 1; cấp 2; cấp 3?
Định thức con cấp mấy lớn nhất?
1 0 1 2
0 1 2 1
1 1 3 3
A
HẠNG CỦA MA TRẬN
Định nghĩa: Cho A là ma trận cấp m.n khác O. Hạng của 
ma trận A, kí hiệu rank(A) hay r(A) là cấp cao nhất 
trong các định thức con khác 0 của ma trận A.
Vậy hạng của A, rank(A)=r thỏa
a) Tồn tại ít nhất một định thức con cấp r khác 0 của A 
.
b) Mọi định thức con của A cấp lớn hơn r (nếu có) thì 
phải bằng 0.
VÍ DỤ 9
Tìm hạng của ma trận sau:
1 0 3 2 2 0 1 2
0 1 2 1 0 1 2 3
2 0 6 4 5 0 6 4
A B
CÁC PHÉP BIẾN ĐỔI SƠ CẤP TRÊN DÒNG
1. Đổi chỗ hai dòng với nhau
2. Thay một dòng bởi dòng đó nhân với một số khác 0
3. Thay một dòng bởi dòng đó cộng với dòng khác nhân 
với một số.
4. Tổng hợp:
i j
d d«
.
i i
d k d®
.
i i j
d d d® + l
. .
i i j
d k d d® + l
VÍ DỤ 10
Thực hiện phép biến đổi ma trận:
Ma trận A’ gọi là ma trận tương đương dòng với ma trận A. 
Ký hiệu: A’ ~ A
2 2 1
3 3 1
3 3 29
2 3 2
8
1 2 3 4
8 7 5 3 ? ??
2 3 0 1
?? '
d d d
d d d
d d d
d d
A
A
+
® -
® -
® -
«
æ ö÷ç ÷ç ÷ç ÷ç= ¾ ¾ ¾ ¾® ¾ ¾ ¾ ¾ ¾®÷ç ÷ç ÷ç ÷÷çè ø
¾ ¾ ¾ ¾ ¾ ®
HẠNG CỦA MA TRẬN
Hạng của ma trận A là số dòng khác 0 của ma trận bậc 
thang của ma trận A.
Ký hiệu: r(A) hay rank(A)
Ma trận bậc thang của A:
A→..bđsc theo dòng →A’ (có dạng bậc thang)
VÍ DỤ 11
Tìm hạng của ma trận
3 21 0 9 0
1 7 1 2 1
2 14 0 6 1
6 42 1 13 0
A
æ ö÷ç ÷ç ÷ç ÷- - -ç ÷ç ÷= ç ÷ç ÷÷ç ÷ç ÷ç ÷ç - ÷çè ø
TÍNH CHẤT
( ) ( )
( ) ( )
( ) ( )
)
)
) m in ,
T
ij m n
i r A r A
ii A B thì r A r B
iii A a thì r A m n
´
=
=
é ù= £ê úë û
:
CÁCH TÌM MA TRẬN NGHỊCH ĐẢO
Phương pháp Gauss – Jordan
Phương pháp Định thức
PP GAUSS JORDAN
Bước 1: Lập ma trận [A|In] bằng cách ghép thêm vào 
bên phải A ma trân đơn vị In.
Bước 2: Dùng các phép biến đổi sơ cấp dòng để đưa 
[A|In] về dạng [In|B]
Nếu làm được như thế thì A khả nghịch và B=A-1
Chú ý:
Trong quá trình biến đổi nếu ở khối bên trái xuất hiện 
một dòng 0 thì A không khả nghịch.
Dùng phương pháp thứ hai không cần kiểm tra điều kiện 
khả đảo.
VÍ DỤ 12
Tìm ma trận nghịch đảo (nếu có) của:
1 2 2 3
3 7 4 6
A B
1 2 3
2 5 3
1 0 8
C
PHƯƠNG PHÁP ĐỊNH THỨC
Ta có:
Với C là ma trận chứa các phần bù đại số của A.
Ma trận C gọi là ma trận phụ hợp của ma trận A
1 1 1
det det
T
A
A C P
A A
- = =
( )i j i j1 det
i j
ij
c A M
+
= = -
VÍ DỤ 13
Tìm ma trận nghịch đảo của ma trận sau nếu có
3 4 6
0 1 1
2 3 4
A
æ ö- ÷ç ÷ç ÷ç ÷ç= ÷ç ÷ç ÷ç ÷- - ÷çè ø
( )det ???A =
VÍ DỤ 13
Tìm ma trận phụ hợp của A:
11 12 13
21 22 23
31 32 33
1 1 0 1 0 1
3 4 2 4 2 3
4 6 3 6 3 4
3 4 2 4 2 3
4 6 3 6 3 4
1 1 0 1 0 1
c c c
c c c
c c c
= + = = - = = + =
- - - -
- -
= - = = + = = - =
- - - -
- -
= + = = - = = + =
GIẢI PHƯƠNG TRÌNH MA TRẬN
a) Xét phương trình: A.X=B
Giả sử A khả nghịch. Khi đó: X=A-1.B
b) Xét phương trình: X.A=B
Giả sử A khả nghịch. Khi đó: X=B.A-1
c) Xét phương trình: A.X.C=B
Giả sử A, C khả nghịch. Khi đó: X=A-1.B.C-1
Nhân tương ứng từng phía theo thứ tự
của phương trình.
VÍ DỤ 14
Giải các phương trình sau:
1 2 3 5
) .
3 4 5 9
3 10 5 6 4 16
) . .
5 2 7 8 9 10
a X
b X
æ ö æ ö÷ ÷ç ç÷ ÷ç ç=÷ ÷ç ç÷ ÷ç ç÷ ÷è ø è ø
æ ö æ ö æ ö- ÷ ÷ ÷ç ç ç÷ ÷ ÷ç ç ç=÷ ÷ ÷ç ç ç÷ ÷ ÷ç ç ç÷ ÷ ÷è ø è ø è ø
HỆ PHƯƠNG TRÌNH TUYẾN TÍNH
Dạng tổng quát
11 1 12 2 1 1
21 1 22 2 2 2
1 1 2 2
...
...
...............................................
...
n n
n n
m m mn n m
a x a x a x b
a x a x a x b
a x a x a x b
ìï + + + =ïïï + + + =ïïí
ïïïï + + + =ïïî
HỆ PHƯƠNG TRÌNH TUYẾN TÍNH
Dạng ma trận
11 12 1 1 1
21 22 2 2 2
1 2
...
...
...................... ... ...
...
n
n
m m mn n m
a a a x b
a a a x b
a a a x b
æ ö æ ö æ ö÷ ÷ ÷ç ç ç÷ ÷ ÷ç ç ç÷ ÷ ÷ç ç ç÷ ÷ ÷ç ç ç÷ ÷ ÷ç ç ç÷ ÷ ÷´ =ç ç ç÷ ÷ ÷ç ÷ ç ÷ ç ÷÷ ÷ ÷ç ç ç÷ ÷ ÷ç ç ç÷ ÷ ÷ç ç ç÷ ÷ ÷ç ç ç÷ ÷ ÷ç ç çè ø è ø è ø
A X B´ =
HỆ PHƯƠNG TRÌNH TUYẾN TÍNH
Dạng ma trận
Ma trận A gọi là ma trận hệ số.
X: ma trận cột các ẩn số
B: ma trận cột các hệ số tự do
Nghiệm của phương trình là một bộ số:
Sao cho khi thay vào thì mọi phương trình đều thỏa mãn.
A X B´ =
( ) ( )1 2 1 2, , ..., , , ...,n nx x x c c c=
ĐỊNH LÝ CRONECKER – CAPELI
( )
Cho phöông trình:
Ñaët
ma traän boå sung cuûa ma traän A
Tìm haïng cuûa ma traän 
:
:
;
A X B
A A B
A A
´ =
=
ĐỊNH LÝ CRONECKER – CAPELI
( ) ( )
( ) ( )
( ) ( )
( ) ( )
i ) Heä pt coù nghieäm duy nhaát
i i) Heä pt coù voâ soá nghieäm
ii i) Heä pt voâ nghieäm
iv) Heä pt coù nghieäm
r A r A n
r A r A n
r A r A
r A r A
Û = =
Û = <
Û ¹
Û =
VÍ DỤ 15
Hệ phương trình sau có nghiệm hay vô nghiệm
1 2 3
1 2 3
1 2 3
1 2 3
2 2
2 4 1
3 4 0
2 4 1
x x x
x x x
x x x
x x x
ìï - + =ïïï + - = -ïïí
ï - - =ïïï + + =ïïî
CÁCH GIẢI HPT TUYẾN TÍNH
Phương pháp Gauss – Jordan 
Phương pháp Cramer
Phương pháp ma trận nghịch đảo
PHƯƠNG PHÁP KHỬ GAUSS – JORDAN
( )
( ) ( )
i ) Laäp ma traän boå sung .
i i) Ñöa ma traän boå sung veà daïng baäc thang 
baèng bieán ñoåi sô caáp treân doøng.
i i i ) Nghieäm cuûa heä cuoái laø nghieäm cuûa heä ñaàu.
iv) Giaûi n
bdsc dong
r r
A A B
A A B A A B
=
¢= ¾ ¾ ¾ ¾® =
ghieäm töø döôùi leân treân.
VÍ DỤ 16
Giải hệ phương trình sau:
1 2 3
1 2 3
1 2 3
1 2 3
2 2 3 2 4 8
2 4 1 2 4 5 11
) )
3 4 0 4 3 2 1
2 4 1 6 7 10
x x x x y z
x x x x y z
a b
x x x x y z
x x x x y z
ì ìï ï- + = + - =ï ïï ïï ï+ - = - + - =ï ïï ïí í
ï ï- - = - + =ï ïï ïï ï+ + = + - =ï ïï ïî î
PHƯƠNG PHÁP CRAMER
Điều kiện: số ẩn bằng số phương trình
Ma trận Ai là ma trận có được từ ma trận A bằng cách 
thay cột thứ i bằng cột hệ số tự do.
11 12 1 1 1
21 22 2 2 2
1 2
...
...
...................... ... ...
...
n
n
n n nn m n
a a a x b
a a a x b
a a a x b
æ ö æ ö æ ö÷ ÷ ÷ç ç ç÷ ÷ ÷ç ç ç÷ ÷ ÷ç ç ç÷ ÷ ÷ç ç ç÷ ÷ ÷ç ç ç÷ ÷ ÷´ =ç ç ç÷ ÷ ÷ç ÷ ç ÷ ç ÷÷ ÷ ÷ç ç ç÷ ÷ ÷ç ç ç÷ ÷ ÷ç ç ç÷ ÷ ÷ç ç ç÷ ÷ ÷ç ç çè ø è ø è ø
PHƯƠNG PHÁP CRAMER
Ví dụ: A1
Thay cột 1 
bằng cột hệ số 
tự do
11 12 1 1
21 22 2 2
1 2
12 1
22 2
1
1
2
2
...
...
...................... ...
...
...
...
......................
...
n
n
n n nn n
n
n
n nn n
a a a b
a a a b
A B
a a a b
a a
a a
A
a a
b
b
b
æ ö æ ö÷ ÷ç ç÷ ÷ç ç÷ ÷ç ç÷ ÷ç ç÷ ÷ç ç÷ ÷= =ç ç÷ ÷ç ÷ ç ÷÷ ÷ç ç÷ ÷ç ç÷ ÷ç ç÷ ÷ç ç÷ ÷ç çè ø è ø
æ
ççççç= ççççççè
ö÷÷÷÷÷÷÷÷÷÷÷÷÷ç ø
PHƯƠNG PHÁP CRAMER
( ) ( ) ( )
Ñaët:
Neáu thì heä coù nghieäm duy nhaát:
Neáu vaø toàn taïi thì heä voâ nghieäm.
Neáu thì heä voâ nghieäm 
hoaëc voâ soá nghieäm.
Ta giaûi tieáp
1 1
1
det ; d et ; ... ; det
) 0
) 0 0
) ... 0
n n
i
i
i
n
A A A
i
x
ii
ii
D = D = D =
D ¹
D
=
D
D = D ¹
D = D = = D =
 baèng phöông phaùp Gauss.
VÍ DỤ 17
Giải và biện luận hệ phương trình sau
1 2 3
1 2 3
2
1 2 3
1 4
) ) 8
2 4
mx x x ax y z
a x mx x m b x by z
x by zx x mx m
ì ìï ï+ + = + + =ï ïï ïï ï+ + = + + =í í
ï ïï ï + + =+ + =ï ïï ïîî
PHƯƠNG PHÁP MA TRẬN NGHỊCH ĐẢO
Ma trận A vuông hay số phương trình bằng số ẩn.
Nếu ma trận A khả nghịch thì:
.A X B=
1. .A X B X A B-= Û =
VÍ DỤ 18
Giải phương trình sau
1 2 3
1 2 3
1 2 3
2 2 1
2 3 6 1
7
x x x
x x x
x x x m
ìï + + =ïïï + + =í
ïï - + =ïïî
MÔ HÌNH CÂN ĐỐI LIÊN NGÀNH
Mô hình Input-Output Leontief
Mỗi một ngành trong n ngành công nghiệp của một nền 
kinh tế phải đảm bảo một mức sản xuất hàng hóa đầu ra 
bằng bao nhiêu để vừa vặn đủ thỏa mãn tổng cầu về loại 
hàng hóa đó, tức là thỏa mãn chính các ngành công 
nghiệp đó và nhu cầu chung của xã hội.
BẢNG VÀO RA (I/O)
Được Wasily Liontief đưa ra năm 1927
Ghi lại sự phân phối của các ngành trong nền kinh tế 
quốc dân và quá trình hình thành sản phẩm kinh tế mỗi 
ngành
Mỗi ngành đều có 2 chức năng: sản xuất ra sản phẩm 
cung cấp cho chính mình và cho các ngành khác như yếu 
tố đầu vào và một phần dùng cho tích lũy tiêu dùng và 
xuất khẩu
MÔ HÌNH I/O
Phân tích các mối liên hệ kinh tế giữa các ngành
 Giá trị sản phẩm mỗi ngành được phân phối cho ai, phân phối như 
thế nào
 Giá trị sản phẩm của mỗi ngành được hình thành như thế nào
 Phân tích tác động dây chuyền trong ngành kinh tế
CÁC GIẢ THUYẾT
Mỗi một ngành công nghiệp j chỉ sản xuất một loại hàng 
hóa j hoặc nhiều loại hàng hóa với tỷ lệ cố định.
Mỗi ngành công nghiệp sử dụng một tỷ lệ đầu vào cố 
định để sản xuất hàng hóa đầu ra.
Việc sản xuất mỗi loại hàng hóa có tính chất hiệu suất 
không đổi (constant return to scale), tức là nếu mở rộng 
đầu vào k lần thì đầu ra sẽ tăng k lần.
MA TRẬN HỆ SỐ KỸ THUẬT
Gọi tỷ lệ đầu vào cố định là aij
Để ngành công nghiệp j sản xuất ra một đơn vị hàng hóa 
(loại j) cần có các tỷ lệ đầu vào cố định aij các hàng hóa 
loại I
Ví dụ: a23 = 0,35 có nghĩa gì?
MA TRẬN HỆ SỐ KỸ THUẬT
Ma trận A=[aij] gọi là ma trận các hệ số đầu vào hay ma 
trận hệ số kỹ thuật.
Tổng phần tử cột j có ý nghĩa gì?
11 12 1
21 22 2
1 2
1 2 ...
...1
...2
... ... ... ......
...
n
n
n n nn
n
a a a
a a a
A
a a an
Đầu ra
Đầu vào
1
1 , 1,2,...,n
n
ij
i
a j
 
TỔNG CẦU, CẦU TRUNG GIAN VÀ CẦU CUỐI CÙNG
xi là tổng cầu hàng hóa của ngành i hay mức sản xuất 
hàng hóa ngành i
xij là giá trị hàng hóa của ngành i mà ngành j cần sử dụng 
cho việc sản xuất (cầu trung gian);
bi là giá trị hàng hóa của ngành i cần tiêu dùng và xuất 
khẩu (cầu cuối cùng);
1 2) )
ij
i i i in i ij
j
x
i x x x x b ii a
x
 
BẢNG I-O DẠNG GIÁ TRỊ
Ta có:
Công thức:
Tổng cầu Cầu trung gian Cầu cuối cùng
x1 x11 x12  x1n b1
x2 x21 x22  x2n b2
xn xn1 xn2  xnn bn
1 2) )
ik
i i i in i ik
k
x
i x x x x b ii a
x
 
Mua của ngành 1
Bán của ngành 1
MÔ HÌNH I-O
Ta có mô hình I-O:
Dạng ma trận: 
1 11 1 12 2 1 1 11 12 11 1
2 21 1 22 2 2 2 2 21 22 2 2
1 1 2 2 1 2
...
...
... ........................................
...
n n n
n n n
nn n n nn n n n n nn
x a x a x a x b a a ax x
x a x a x a x b x a a a x
hay
xx a x a x a x b a a a




1
2
...
n n
b
b
x b
 . .X A X B X A X B I A X B 
1
X I A B
MỘT SỐ THUẬT NGỮ
A gọi là ma trận hệ số đầu vào hay ma trận hệ số kĩ thuật
X là ma trận tổng cầu (hay véc tơ sản xuất)
B là ma trận cầu cuối cùng 
T=(I-A) ma trận Leontief hay ma trận công nghệ
C=(I-A)-1: ma trận hệ số chi phí toàn bộ
Hệ số cij: để sản xuất một đơn vị giá trị nhu cầu cuối cùng 
của ngành j thì ngành i cần phải sản xuất một lượng sản 
phẩm có giá trị là cij
VÍ DỤ 19
Cho bảng I/0:
A) Xác định ma trận hệ số kỹ thuật, ma trận hệ số chi phí 
cuối cùng
B) Giải thích ý nghĩa của a32 và c21
Ngành GTSX Nhu cầu trung gian Nhu cầu cuối cùng
1 100 20 10 8 62
2 50 10 16 14
3 40 10 10 8 12
GTGT 60 88
GTSX 100 50 40
ĐÁP ÁN
Ta có:
a32=0,2 nghĩa là để ngành 2 sx một đơn vị sp thì ngành 3 
phải cung cấp cho ngành 2 một khối lượng sp có giá trị là 
0,2
1
0,2 0,2 0,2
0,1 0,2 0,4
0,1 0,2 0,2
1,3681 0,495 0,594
0,297 1,5346 0,8415
0,2475 0,4455 1,5346
A
C I A
ĐÁP ÁN
Ta có:
c21=0,297 nghĩa là để ngành 1 sx một đơn vị giá trị nhu 
cầu cuối cùng thì ngành 2 phải cung cấp cho ngành 1 một 
khối lượng sp có giá trị là 0,297
1
1,3681 0,495 0,594
0,297 1,5346 0,8415
0,2475 0,4455 1,5346
C I A
VÍ DỤ 20
Giả sử trong 1 nền kinh tế có 3 ngành sản xuất: ngành 1, 
ngành 2, ngành 3. Cho biết ma trận hệ số kĩ thuật:
a) Giải thích ý nghĩa con số 0,4 trong ma trận A
b) Cho biết mức cầu cuối cùng đối với hàng hóa của 
các ngành 1, 2, 3 lần lượt là 10; 5; 6 triệu USD. Hãy xác 
định mức tổng cầu đối với mỗi ngành
0,2 0,3 0,2
0,4 0,1 0,2
0,1 0,3 0,2
GIẢI
a) Số 0,4 ở dòng thứ 2 và cột thứ nhất của ma trận hệ số kĩ 
thuật có nghĩa là để sản xuất 1 $ hàng hóa của mình, ngành 
1 cần sử dụng 0,4$ hàng hóa của ngành 2
b) Ta có:
1
0,8 0,3 0,2 0,66 0,30 0,24
1
0,4 0,9 0,2 0,34 0,62 0,24
0,384
0,1 0,3 0,8 0,21 0,27 0,60
I A I A
GIẢI
Ma trận tổng cầu:
Như vậy tổng cầu đối với hàng hóa của ngành 1 là 24,84; 
đối với hàng hóa của ngành 2 là 20,68; đối với hàng hóa 
của ngành 3 là 18,36 (triệu USD)
1
0,66 0,30 0,24 10 24,84
1
0,34 0,62 0,24 5 20,68
0,384
0,21 0,27 0,60 6 18,36
X I A B
PHÂN TÍCH THÊM
Với j=2 ta có:
Như vậy khi sản xuất 1$ hàng hóa loại 2 ta có tiền lãi là 
0,3$. Tiền lãi này được dành để trả lương cho đầu vào cơ 
bản (dịch vụ, lao động sử dụng trong ngành công nghiệp 
2 cho việc sản xuất ra 1$ hàng hóa loại 2).
3
2 02
1
1 1 0,3 0,1 0,3 0,3 0i
i
a a
 
PHÂN TÍCH THÊM
Ta có:
Mức lương ngành 1:
Mức lương cả nền kinh tế:
01
1
02
03
28,84 0,3
. 20,68 ; 0,3
18,36 0,4
a
X I A B a
a
3
0
1
. 0,3.28,84 0,3.20,68 0,4.18,36 21($)j j
j
a x
 
01 1. 0,3.28,84 8,65($)a x 
DẠNG BÀI TẬP
Xác định ma trận tổng cầu X
Xác định tổng chi phí mỗi ngành
Giải thích ý nghĩa kinh tế của các phần tử
Lập bảng I-O từ A, X, B và ngược lại
Tính toán khi thay đổi các ma trận kỹ thuật, tổng cầu, cầu 
cuối
Xác định mức tiền lương trả của từng ngành, toàn ngành
GIẢI TOÁN MA TRẬN BẰNG FX570 ES
1. Nhập ma trận.
Nhấn Mode 6 (Matrix) Chọn 1( matA) Chọn matrix 
có số dòng và cột tương ứng cần tính toán. 
Nhập kết quả vào bằng phím =,
Sau khi nhập xong ma trận A, có thể nhập thêm ma trận B 
bằng cách: Nhấn Shift 4 (Matrix) 1 (Dim) 2 (MatB)
Lập lại tương tự cho MatC.
GIẢI TOÁN MA TRẬN BẰNG FX570 ES
2. Tính định thức
Thao tác như sau để tính định thức cho MatA: Shift 4 
(Matrix) 7 (Det) Shift 4 (Matrix) 3 (MatA) =
3. Tìm ma trận nghịch đảo
Thao tác như sau để tìm ma trận nghịch đảo của MatA: 
Shift 4 (Matrix) 3 (MatA) x-1
(x-1: là phím nghịch đảo của máy tính, dưới Mode)
4. Giải phương trình: AX = B
Thao tác theo các bước bên trên để tính: MatA x-1 x 
 MatB để cho kết quả của X.
MỘT SỐ BÀI TẬP
BÀI 1
Cho hai ma trận:
Tìm ma trận nghịch đảo của A.
Tìm X biết: X.A=3B
1 2 3 1 2 1
3 2 4 3 1 0
2 1 0 2 1 1
A B
BÀI 2
Giải hệ phương trình sau
1 2 3 4
1 2 3 4
1 2 3
1 2 3 4
x -x x -x 0
3x x -x 2x 5
5x -x x 4
7x x -x 3x 10
BÀI 3
Giải hệ phương trình sau
1 2 3 4
1 2 3 4
1 2 3 4
1 2 3 4
2x y 3z 9 x y z 6
a) 3x 5y z 4 b) 2x 3y 4z 21
4x 7y z 5 7x y 3z 6
2x 2x x x 4
4x 3x x 2x 6
c)
8x 5x 3x 4x 12
3x 3x 11x 5x 6
BÀI 4
Tìm m để ma trận sau khả nghịch
1 1
1 1
1 1 1
m
A m
m m
BÀI 5 
Tìm m để hệ là hệ Crammer
Giải nghiệm của hệ
1
1
1
mx y z
x my z
x y mz
BÀI 6
Giải và biện luận theo m
mx y z 1
a) x my z 1
x y mz 1
mx y z m
b) 2x (m 1)y (m 1)z m 1
x y mz 1
BÀI 7
Tìm để hệ có nghiệm duy nhất
Tìm a để hệ trên có nghiệm với mọi m
x y mz 1
x my z a
x (m 1)y (m 1)z b
BÀI 8
Giải và biện luận
1 2 3
1 2 3
2
1 2 3
2 2 2 4
3 3 3
x x mx m
mx x m x
x x x m m
BÀI 9
Giả sử nền kinh tế có 2 ngành sx 1 và 2. Ma trận hệ số kỹ 
thuật:
Biết giá trị cầu cuối cùng đối với sản phẩm của ngành 1 và 
ngành 2 theo thứ tự là 120 và 60 tỉ đồng. Hãy xác định giá 
trị tổng cầu đối với mỗi ngành.
0,2 0,3
0,4 0,1
A
BÀI 10
Xét mô hình I/O Leontief với ma trận đầu vào:
Cho biết b1=30; b2=15; b3=10 (đơn vị là 100 tỷ đồng)
a) Hãy xác định các mức đầu ra cần thiết của các ngành 
công nghiệp.
b) Hãy xác định mức tiền lương trả cho đầu vào cơ bản 
đối với từng ngành công nghiệp và cho cả ba ngành công 
nghiệp.
0,2 0,3 0,2
0,4 0,1 0,2
0,1 0,3 0,2
A
BÀI 11
Giả sử nền kinh tế có 2 ngành sx 1 và 2, 3. Ma trận hệ số kỹ
thuật:
Biết giá trị cầu cuối cùng đối với sản phẩm của từng ngành
là 40, 40, 110
Hãy xác định giá trị tổng cầu đối với từng ngành sx
Tăng cầu cuối cùng của ngành 3 lên 10 đơn vị, các ngành
khác không đổi. Xác định giá trị tổng cầu của các ngành sx
tương ứng.
0,4 0,1 0,2
0,2 0,3 0,2
0,1 0,4 0,3
A
BÀI 12
Một nền kinh tế có 3 ngành sx và có mối quan hệ trao đổi 
hàng hóa như sau:
Xác định tổng cầu, tổng chi phí mỗi ngành
Lập ma trận hệ số kỹ thuật A
Ngành cung ứng sp
(Out)
Ngành sử dụng sp (Input)
1 2 3 B
1 20 60 10 50
2 50 10 80 10
3 40 30 20 40
BÀI 13
Xét một nền kinh tế với hai ngành công nghiệp chủ đạo. Cho biết
ngành công nghiệp 1 sử dụng một lượng sản phẩm loại hàng
hóa 1 trị giá 0,1 triệu đồng và một lượng sản phẩm loại hàng
hóa 2 trị giá 0,6 triệu đồng làm đầu vào để sản xuất ra một
lượng sản phẩm hàng hóa 1 trị giá 1 triệu đồng. Trong khi đó
ngành công nghiệp 2 chỉ sử dụng một lượng sản phẩm loại hàng
hóa 1 trị giá 0,5 triệu đồng làm đầu vào để sản xuất ra được một
lượng sản phẩm loại hàng hóa 2 trị giá 1 triệu đồng.
a) Hãy thiết lập ma trận đầu vào, ma trận hệ số công nghệ và
phương trình ma trận xác định các mức đầu ra cho nền kinh tế
trên.
b) Hãy tìm các mức đầu ra cần thiết thỏa mãn được các nhu cầu
đầu vào sử dụng cho sản xuất cũng như nhu cầu của thành phần
mở.
BÀI 14
Xét mô hình I/O Leontief với ma trận đầu vào:
Cho b1=1800; b2=200 và b3=900 (đơn vị là 100 tỷ đồng)
a) Cho biết ý nghĩa các phần tử a21=0,33 và a33=0 trong ma trận A
b) Cho biết ý nghĩa của tổng các phần tử trên cột thứ 3 của ma trận A
c) Hãy xác định các mức đầu ra cần thiết của các ngành công nghiệp
d) Hãy xác định mức tiền lương trả cho đầu vào cơ bản đối với từng
ngành công nghiệp và cho cả 3 ngành công nghiệp.
0,05 0,25 0,34
0,33 0,10 0,12
0,19 0,38 0
A