Bài giảng Toán tài chính - Chương 4: Tích phân & ứng dụng chương

TÍCH PHÂN & 
ỨNG DỤNG
CHƯƠNG
4
ĐỊNH NGHĨA NGUYÊN HÀM
Định nghĩa: Cho hàm f(x) liên tục trên (a,b). Ta nói
F(x) là một nguyên hàm của f(x) trên (a,b) nếu:
Ví dụ 1.
( ) ( ) ( ), ,F x f x x a b¢ = " Î
( )
( )
laø moät nguyeân haøm cuûa
treân
 laø moät nguyeân haøm cuûa a treân R.
2t an 1 t an
\ 2 1
2
lnx x
x x
R n
a a
p
· +
ì üï ïï ï+í ý
ï ïï ïî þ
·
TÍCH PHÂN BẤT ĐỊNH
Tích phân bất định của hàm f(x) ký hiệu:
Được xác định như sau:
F(x) là một nguyên hàm của f(x).
C: hằng số tùy ý.
( )f x dxò
( ) ( )f x dx F x C= +ò
TÍNH CHẤT
( ) ( )
( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( )
)
) .
)
i f x dx f x
ii k f x dx k f x dx
iii f x g x dx f x dx g x dx
¢é ù =ê úë û
=
é ù+ = +ê úë û
ò
ò ò
ò ò ò
CÔNG THỨC NGUYÊN HÀM CƠ BẢN
1. 2.
3. 4.
5. 6.x x
k dx x dx
dx dx
xx
a dx e dx
a
b
a
= =
= =
= =
ò ò
ò ò
ò ò
VÍ DỤ 2.
Tính các tích phân sau
( )
( )2 1
2
2 1
. . 3
1
3 1
.
x xxa dx b e e dx
x x
x x
c dx
x
++ -
+
+ -
ò ò
ò
VÍ DỤ 3.
Tính các tích phân sau
( )3 4
2 5
. cos 2 . 2 1
. 1 .
a x x dx b x dx
c x x dx
+ +
+
ò ò
ò
VÍ DỤ 4.
Tính các tích phân sau
2 1
2
2
0 0
1 2
2 2
0 2
) 4 )
1
) )
1 1
x
a x dx b dx
x
dx dx
c d
x x x
-
+
+ -
ò ò
ò ò
VÍ DỤ 5.
Tính các tích phân sau
( )) ln ) 2 1 sin
) cos ) arct an
a x xdx b x xdx
c x xdx d x xdx
+ò ò
ò ò
TÍCH PHÂN HÀM MŨ
Công thức:
Ví dụ 6. Tính các tích phân sau:
( )
( )
( )
1
x x
ax b ax b
u u
i e dx e C
ii e dx e C
a
iii e du e C
+ +
= +
= +
= +
ò
ò
ò
4
0
2
4 3
0
) 3 ) 4
) ) D a .
x x
I
x T x
a A e dx b B e x dx
c C xe dx d e dx- -
= =
= =
ò ò
ò ò
VÍ DỤ 7.
Tìm phương trình đường cong y=y(x) biết nó đi qua điểm
(1;0) và:
Đáp án:
3xdy e
dx
+=
( )3 22 xy e e+= -
VÍ DỤ 8.
1. Tìm phương trình đường cong y=y(x) đi qua điểm (2;5) 
và có hệ số góc là dy/dx=2x tại mọi điểm.
2. Giả sử hàm chi phí biên để sản xuất x đơn vị sản phẩm
cho bởi: C’(x)=0,3x2+2x. Biết chi phí cố định là 2000$. 
Hãy tìm hàm chi phí C(x) và tính chi phí để sản xuất ra
20 sản phẩm.
VÍ DỤ 9.
Một đài phát thanh vệ tinh đang đưa ra một chiến dịch
quảng cáo tích cực để tăng số lượng người nghe hàng
ngày. 
Hiện tại đài phát thanh có 27.000 người nghe 1 ngày và
nhà quản lý mong muốn số lượng người nghe, S(t), tăng
lên với tốc độ tăng trưởng là: S’(t)=60t1/2 người mỗi ngày.
Trong đó t là số lượng của ngày kể từ khi bắt đầu chiến
dịch. 
Chiến dịch kết thúc khi nào biết rằng đài phát thanh
muốn số lượng người nghe hàng ngày tăng lên đến
41.000 người.
VÍ DỤ 10.
Bộ phận nghiên cứu thị trường của một chuỗi siêu thị xác
định rằng, đối với một cửa hàng, giá biên tế p’(x) ứng với
nhu cầu x tuýp kem đánh răng mỗi tuần cho bởi:
Hãy tìm phương trình đường cầu biết rằng khi giá là
4,35$/tuýp thì nhu cầu hàng tuần là 50 tuýp.
Hãy xác định nhu cầu khi giá của một tuýp là 3,89$
Đáp số:
( ) 0,01' 0, 015 xp x e -= -
( ) 0,011, 5 3, 44xp x e -= +
PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN
Tăng trưởng giới hạn
Tăng trưởng không giới hạn
PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN
Khái niệm
Nghiệm của PTVP là hàm số???
2 0,01
2
6 4 ' 400
" ' 5 2
xdy x x y e
dx
dy dy
ky y xy x xy
dx dx
-= - = -
= - + = =
PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN
Bài toán lãi kép liên tục
Gọi P là số tiền đầu tư ban đầu
A là số tiền có được sau thời gian t
Giả sử tốc độ tăng trưởng của số tiền A tại thời điểm t 
bất kỳ tỷ lệ thuận với số tiền hiện tại trong khoảng thời
gian đó.
Ta có mô hình:
R: hằng số phù hợp
( ). 0 , 0dA r A A P A P
dt
= = >
PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN
Ta có mô hình:
Mặt khác:
Ta có được công thức tính lãi kép liên tục với lãi suất r và
t là thời gian đầu tư.
( )
1 1
.
1
ln .rt C
dA dA dA
r A r dt rdt
dt A dt A dt
dA rt A rt C A t e e
A
= Û = Û =
Û = Û = + Û =
ò ò
ò
( ) ( )00 . .r C rtA e e P A t P e= = Þ =
LUẬT TĂNG TRƯỞNG THEO HÀM MŨ
Định lý. Nếu


=  và (0) = 0 thì  = 0

Trong đó:
Q0: khối lượng tại t=0
r>0: tốc độ tăng trưởng tương đối
t: thời gian
Q: khối lượng tại thời điểm t
Chú ý. Nếu r<0 ta có luật phân rã theo hàm mũ
PHÂN RÃ PHÓNG XẠ
Năm 1946, Willard Libby (người sau này nhận được giải 
Nobel Hóa học) nhận thấy rằng nếu cây hoặc động vật 
còn sống, chất phóng xạ cacbon-14 vẫn được giữ ở mức 
không đổi trong mô của nó. 
Tuy nhiên, khi thực vật hoặc động vật chết, carbon-14 sẽ 
giảm đi do sự phân rã phóng xạ với tỷ lệ tương ứng với 
lượng hiện có. Tốc độ phân rã là 0,0001238
Ví dụ 11. Một mảnh xương người được tìm thấy tại một 
địa điểm khảo cổ ở Châu Phi. Nếu 10% lượng chất phóng 
xạ cacbon-14 ban đầu có mặt, hãy ước lượng tuổi của 
xương (làm tròn đến 100 năm). Đ/S: 18.600 năm
VÍ DỤ 12. BÀI TOÁN TĂNG TRƯỞNG
Ấn Độ có dân số khoảng 1,2 tỷ người vào năm 2010 
(t=0). Gọi P là dân số Ấn Độ tại thời điểm t năm sau
năm 2010 (đơn vị tỷ người) và giả sử rằng tốc độ gia
tăng dân số của Ấn Độ là 1,5% liên tục theo thời gian.
A) Tìm một phương trình biểu diện tốc độ tăng
trưởng của dân số Ấn Độ sau năm 2010 biết tốc độ
1,5% là tốc độ tăng trưởng lien tục.
B) Ước lượng dân số Ấn Độ vào năm 2030?
Đáp số:
a) P=1,2.e0,0015t b) 1,6 tỷ người.
VÍ DỤ 13. BÀI TOÁN TĂNG TRƯỞNG
Nếu quy luật tăng trưởng mũ có thể áp dụng được cho
dân số Việt Nam. Hãy tìm tốc độ tăng trưởng để sau 100 
năm nữa dân số Việt Nam tăng gấp đôi?
Đáp số: 0,69%.
Giả sử gửi tiền với lãi kép tính liên tục với lãi suất r 
(%/năm). Sau bao nhiêu năm thì số tiền gửi tăng lên gấp
đôi?
TĂNG TRƯỞNG GIỚI HẠN
Trong học tập kỹ năng (bơi, đánh máy ) ta luôn giả sử có
một mức kỹ năng tối đa có thể đạt được M.
Tốc độ phát triển kỹ năng y tỷ lệ thuận với hiệu của mức
kỹ năng đã đạt được y và mức tối đa M.
Ta có mô hình
( ) ( )0 0dy k M y y
dt
= - =
TĂNG TRƯỞNG GIỚI HẠN
Một cách tương tự ta có:
( )1 kty M e -= -
( )
( )
ln
.
0 0
kt C C kt
C
dy dy
k M y kdt
dt M y
dy
kdt M y kt C
M y
M y e M y e e
y M e
- - - -
-
= - Û =
-
Û = Û - - = +
-
Û - = Û - =
= Û =
ò ò
VÍ DỤ 14.
Đối với một người học bơi, khoảng cách (m) mà người đó
có thể bơi trong 1 phút sau t giờ luyện tập được xấp xỉ
bởi:
Tốc độ phát triển sau 10 giờ luyện tập là?
Đ/S: 1,34m cho mỗi giờ luyện tập
( )0,0450 1 ty e -= -
MỘT SỐ MÔ HÌNH TĂNG TRƯỞNG MŨ
TĂNG TRƯỞNG MŨ
Đặc điểm Mô hình PT Ứng dụng
Tăng trưởng không
giới hạn
Tốc độ tăng trưởng
tỷ lệ với lượng hiện
tại


= 
,  > 0;
  0 = 
 = .  Tăng trưởng ngắn hạn
(người, vi khuẩn)
Tăng trưởng của tiền khi
tính lãi liên tục
Phân rã theo hàm
mũ
Tốc độ phân rã tỷ lệ
với ượng hiện tại


= −
,  > 0
  0 = 
 = .  Cạn kiệt tài nguyên thiên
nhiên
Phân rã phóng xạ
Hấp thụ ánh sáng (trong
nước)
Áp suất khí quyển (t là chiều
cao)
TĂNG TRƯỞNG MŨ
Đặc điểm Mô hình PT Ứng dụng
Tăng trưởng giới
hạn
Tốc độ tăng trưởng
tỷ lệ với hiệu của
lượng hiện tại và một
giá trị cố định


= ( − )
,  > 0;
  0 = 
 = (1 − ) Bán hàng thời trang
Khấu hao thiết bị
Tăng trưởng công
ty
Học tập
Tăng trưởng Logistic
Tốc độ phân rã tỷ lệ
với lượng hiện tại và
hiệu của lượng hiện
tại và một giá trị cố
định


= ( − )
,  > 0
  0 =

1 + 
 =

1 + 
Tăng trưởng dân số
dài hạn
Bán hàng mới
Sự lan truyền của
tin đồn
Tăng trưởng công
ty
Bệnh dịch
VÍ DỤ 15. SỰ LAN TRUYỀN TIN ĐỒN
Nhà xã hội học phát hiện rằng tin đồn có xu hướng lan truyền
với tốc độ tỷ lệ với số người đã nghe tin đồn x và số người
chưa nghe tin đồn (P-x). Trong đó P là tổng số người. Một
một sinh viên trong kí túc xá có 400 sinh viên nghe được tin 
đồn rằng có bệnh lao ở trường thì P=400 và:
Gọi t là thời gian tính theo phút.
A) Tìm công thức x(t)
B) Sau 5 phút có bao nhiêu người đã nghe được tin đồn.
C) Tìm giới hạn:
( ) ( )0, 001 400 0 1
dx
x x x
dt
= - =
( )lim
t
x t
® + ¥
SỰ LAN TRUYỀN TIN ĐỒN
Sau bao nhiêu phút thì một nửa số sinh viên trong KTX nghe
được tin đồn?
( ) ( )
( ) 0,4
0, 001 400 0 1
400
1 399 t
dx
x x x
dt
x t
e -
= - =
=
+
( )
( )
( )
0,4*5
0,4*20
400
5 7, 272889
1 399
400
20 352, 7805
1 399
lim 400
t
x
e
x
e
x t
-
-
® ¥
= =
+
= =
+
=
TÍCH PHÂN XÁC ĐỊNH
Diện tích dưới đường cong
Diện tích phần hình được tô màu
là bao nhiêu?
Tính xấp xỉ bằng tổng diện tích
hình chữ nhật
DIỆN TÍCH DƯỚI ĐƯỜNG CONG
Tổng bên trái - Left Sum
Tổng bên phải – Right Sum
Ta có: 11,5=L4<Area<R4=17,5
NHẬN XÉT
Chia đoạn [1;5] thành 16 đoạn
ta có:
Chia thành 100 đoạn ta có:
100 100
14, 214 14, 545L A rea R= < < =
16 16
13, 59 15, 09L A rea R= < < =
ĐÁNH GIÁ SAI SỐ
Sai số của xấp xỉ: chênh lệch giữa giá trị thực tế và giá trị
xấp xỉ
Không thể tính được cụ thể nhưng có thể đánh giá được
nó.
Ví dụ. Nếu ta xấp xỉ diện tích cần tính bằng L16 thì sai số
tối đa bao nhiêu?
ĐỊNH LÝ
Cho hàm số f(x)>0, đơn điệu trên đoạn [a,b]
Chia đoạn [a;b] thành n đoạn bằng nhau.
Lấy Ln hoặc Rn để xấp xỉ diện tích bị chặn bởi hàm f, trục
0x và 2 đường thẳng x=a; x=b 
Chặn trên của sai số là:
( ) ( ) ( ) ( ). .
b a
f b f a f b f a x
n
-
- = - D
(Chênh lệch 2 đầu mút)
* (Độ dài 1 khoảng chia)
VÍ DỤ 16.
Cho hàm số   = 9 − 0,252
Ta cần tính diện tích hình dưới f(x) từ x=2 đến x=5.
A) Vẽ đồ thị hàm số trong khoảng [0;6] và vẽ các hcn trái, 
phải trong đoạn [2;5] với n=6
B) Tính L6; R6 và sai số khi xấp xỉ
C) Để sai số xấp xỉ không quá 0,05 thì n tối thiểu là bao
nhiêu?
TỔNG TÍCH PHÂN
Cho hàm số f(x) xác định trên [a;b]
Chia đoạn [a;b] thành n đoạn bằng nhau với các điểm
chia như sau:
Khi này:
0 1 2
...
n
a x x x x b= < < < < =
( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( )
0 1 1 1
1
1 2
1
. . ... . .
. . ... . .
n
n n k
k
n
n n k
k
L f x x f x x f x x f x x
R f x x f x x f x x f x x
- -
=
=
= D + D + + D = D
= D + D + + D = D
å
å
TỔNG RIEMANN
Ta có:
ck là điểm thuộc các khoảng [xk-1;xk]
( ) ( ) ( ) ( )1 2
1
. . ... . .
n
n n k
k
S f c x f c x f c x f c x
=
= D + D + + D = Då
MỘT SỐ TỔNG QUAN TRỌNG CẦN NHỚ
( ) ( )
( ) ( )( )
( )
1 1 1
1 1 1 1 1 1
2
1 1
2
3
1
) . )
) )
1 1 2 1
) )
2 6
1
)
2
n n n
i i
i i i
n n n n n n
i i i i i i i i
i i i i i i
n n
i i
n
i
a C n C b Ca C a
c a b a b d a b a b
n n n n n
e i f i
n n
g i
= = =
= = = = = =
= =
=
= =
+ = + - = -
+ + +
= =
é ù+ê ú= ê ú
ê úë û
å å å
å å å å å å
å å
å
VÍ DỤ 17.
Tính tổng Riemann cho hàm số   = 3 − 6 trên
đoạn [0;3] với n=6 và ck là điểm biên bên phải của mỗi
đoạn.
Lập tổng Riemann cho hàm số trên trong trường hợp
tổng quát và tính giới hạn của tổng đó khi n ∞
TÍCH PHÂN XÁC ĐỊNH
Định lý. Nếu f là hàm số liên tục trên đoạn [a,b] khi này
tổng Riemann trên đoạn [a,b] có giới hạn hữu hạn I khi

∞
Giới hạn này được gọi là tích phân xác định của hàm số
f(x) trên đoạn [a,b]
Ký hiệu:
( )
b
a
I f x dx= ò
( ) ( )
1
lim
b n
kn
ka
f x dx f c x
® ¥
=
= Dåò
TÍCH PHÂN XÁC ĐỊNH
( )
1
n
k
i
f c x
b a
x
n
=
D
-
D =
å
Ý NGHĨA HÌNH HỌC
Là tổng tích lũy của các diện tích đại số giữa đồ thị hàm f, 
trục Ox và 2 đường thẳng x=a, x=b.
TÍCH PHÂN XÁC ĐỊNH
Tích phân xác định của hàm f từ a đến b là:
(nếu giới hạn này tồn tại).
Khi đó ta nói hàm f khả tích trên [a,b].
( ) ( )
1
lim
b n
kn
ia
f x dx f c x
® ¥
=
= Dåò
CHÚ Ý
( )
( )
( ) ( ) ( )
( )
: daáu tích phaân : haøm laáy tích phaân
: caùc caän laáy tích phaân : bieán ñoäc laäp .
Tích phaân laø moät soá, khoâng phuï thuoäc vaøo .
Toång Riemann: *
1
,
b
a
b b b
a a a
n
i
i
f x
a b dx x
f x dx x
f x dx f t dt f r dr
f x x
=
= =
D
ò
ò
ò ò ò
å
VÍ DỤ 18.
Tính tích phân:
Chia đoạn [a;b] thành n đoạn bằng nhau
Lập tổng tích phân với ck là các điểm bên phải.
Ta có:
b
x
a
e dxò
b a
x h
n
-
D = =
( ) ( )
( )
2 .
1 1
.
1 .
. . ...
1
. e 1 ... .
1
n n
a h a h a n h
k
i i
n h
n ha h h a h
h
f c x f a i h h h e e e
e
S h e e e h
e
+ + +
= =
-+ +
é ùD = + = + + +ê úë û
-é ù= + + + =ê ú
ë û -
å å
( ). . 1
1
a h b a
h
h
S e e
e
+ -= -
-
VÍ DỤ 18.
Cho n tiến đến vô cùng ta có:
Như vậy:
( )
( )0
. . 1
1
1
a h b a
h
n a b a b a
h
h
S e e
e
S e e e e
+ -
® ¥ -
®
= -
-
¾ ¾ ¾ ® - - = -
b
x b a
a
e dx e e= -ò
VÍ DỤ 19.
Tính diện tích miền có diện tích bằng giới hạn dưới đây
(không tính giới hạn)
10
1
1
2 2
) lim 5
) lim t an
4 4
n
n
i
n
n
i
i
a
n n
i
b
n n
p p
® ¥
=
® ¥
=
æ ö÷ç ÷+ç ÷ç ÷çè ø
å
å
VÍ DỤ 20.
Biểu diễn tích phân sau dưới dạng tổng Riemann. Không
tính giới hạn
6 10
5
2 1
10
6
0 2
) ) 4ln
1
) sin 5 )
x
a dx b x x dx
x
c xdx a x dx
GIẢI VÍ DỤ 20 B
10
1
1 1 1
1
0 0 0
0 0
1 1
4ln
9 9 9 9 9
1 . 1 . 4ln 1
9 9 9 9 9
1 . 1 . 4l
.
n 1 .
10 1n
n n n
n i
i
n n n
i i
n n n
n i
i i i
x x dx
R f x x f i i
n n n n n
L f x x f i i i
n n n
i
R L S S f x x f x f f
n
x
n
  
  
1
1 1
9 9 9 9 9 9 9 9
1 . 1 . 4ln 1 .
2 2 2
9
n
n i
i
n n
n
i i
M f c x
M f i i i
n n n n n n n n
n

 
VÍ DỤ 21.
Biểu diễn tổng sau dưới dạng tích phân xác định trên
khoảng cho trước.
( )
( ) ( )
2
1
1
2
1
2 5
* *
1
) lim ln 1 , 2; 6
cos
) lim , ; 2
) lim 2 , 1; 8
) lim 4 3 6 , 0; 2
n
i in
i
n
i
n
i i
n
i in
i
n
i in
i
a x x x
x
b x
x
c c c x
d x x x
p p
® ¥
=
® ¥
=
® ¥
=
® ¥
=
é ù+ D ê úë û
é ùD ê úë û
é ù+ D ê úë û
é ù é ù- + Dê ú ê úë ûê úë û
å
å
å
å
TÍNH CHẤT CƠ BẢN
Cho f và g là hai hàm khả tích trên [a;b] khi đó:
Hàm (α.f+β.g) cũng khả tích trên [a;b]
Hàm f.g cũng khả tích trên [a;b]
 ( ) ( ) ( ) ( )
b b b
a a a
f x g x dx f x dx g x dx   
TÍNH CHẤT
Tính chất cộng. Cho ba đoạn [a,b]; [a;c] và [c;b]. Nếu f(x) 
khả tích trên đoạn lớn nhất thì nó cũng khả tích trên các
đoạn còn lại và:
Tính khả tích và giá trị của tích phân không thay đổi nếu
ta thay đổi giá trị hàm số tại một số hữu hạn điểm.
( ) ( ) ( )
b c b
a a c
f x dx f x dx f x dx 
TÍNH CHẤT
Cho hàm f(x) khả tích trên đoạn [a;b]. Ta có:
Hệ quả:
   
   
   
) 0 ; 0
) 0 ; 0
) ;
b
a
b
a
b b
a a
i f x x a b f x dx
ii f x x a b f x dx
iii f x g x x a b f x dx g x dx
  
  
  
b b
a a
f x dx f x dx 
TÍNH CHẤT
Nếu
thì:
Ví dụ 22. Chứng minh rằng: 
  , ,m f x M x a b  
b
a
m b a f x dx M b a 
2
1
0
1
1xe dx
e
ĐỊNH LÝ GIÁ TRỊ TRUNG BÌNH
Giả sử f(x) khả tích trên [a;b] và giả sử:
Khi này tồn tại µ sao cho
Và: 
Hệ quả. Nếu f liên tục trên [a;b] thì tồn tại c thuộc
[a;b] sao cho:
min maxm f M f 
m M 
 .
b
a
f x dx b a 
 .
b
a
f x dx f c b a 
CÔNG THỨC ĐẠO HÀM THEO CẬN TRÊN
Cho hàm f(x) khả tích trên [a;b]. Với a<x<b đặt:
Nếu f(x) liên tục trên [a;b] thì:
Hàm () liên tục trên [a;b]
( ) ( )
x
a
x f t dtj = ò
( ) ( )x f xj ¢ =
CHỨNG MINH
Ta có:
Mặt khác:
Vậy:
( ) ( ) ( ) ( ) ( )
x h x x h
a a x
x h x f t dt f t dt f t dtj j
+ +
+ - = - =ò ò ò
( ) ( )( ) ( ) ( ). ;
x h
x
f t dt f c h h c h x x h
+
= Î +ò
( ) ( ) ( )( )
( )( ) ( )0
.
h
f c h hx h x
f c h f x
h h
j j
®
+ -
= = ¾ ¾ ¾®
CÔNG THỨC NEWTON - LEIBNITZ
Định lý. Cho f liên tục trên [a;b] và F(x) là một nguyên hàm của f(x) thì:
( ) ( ) ( ) ( )
b
b
a
a
f x dx F b F a F x= - =ò
CÔNG THỨC NEWTON - LEIBNITZ
Ta có:
Gọi F(x) là một nguyên hàm của f(x). Ta có:
Vậy: 
( ) ( )( )1
1
lim
b n
k k kn
ka
f x dx f c x x
-® ¥
=
= -åò
( ) ( )
( ) ( )1
1
'
k k
k k
k k
F x F x
f c F c
x x
-
-
-
= =
-
( )( ) ( ) ( ) ( ) ( )1 1
1 1
lim
n n
k k k k kn
k k
f c x x F x F x F b F a
- -® ¥
= =
é ù- = - = -ê úë ûå å
CÔNG THỨC NEWTON - LEIBNITZ
Do () là một nguyên hàm nên ta có:
Ta có:
Vậy:
( ) ( ) ( )
x
a
x f t dt F x Cj = = +ò
( ) ( ) ( )0a F a C C F aj = = + Þ = -
( ) ( ) ( ) ( ) ( )
b
a
b f t dt F b C F b F aj = = + = -ò
( ) ( ) ( )
b
a
f x dx F b F a= -ò
VÍ DỤ 23.
Tính chính xác diện tích dưới đường cong y=1-x2, giữa
x=0,5 và x=1 và trục Ox.
Giải.
Ta có:
( )
1
1 3
2
0,5 0,5
3 3
1
3
1 0, 5
1 0, 5 0, 208333
3 3
x
S x dx x
æ ö÷ç ÷= - = -ç ÷ç ÷çè ø
æ ö æ ö÷ ÷ç ç÷ ÷= - - - =ç ç÷ ÷ç ç÷ ÷ç çè ø è ø
ò
VÍ DỤ 24.
Tính chính xác diện tích dưới đường cong y=x2+1, giữa
x=0 và x=4 và trục Ox.
Giải.
Ta có:
( )
44 3
2
0 0
3 3
1
3
4 0 76
4 0
3 3 3
x
S x dx x
æ ö÷ç ÷= + = +ç ÷ç ÷çè ø
æ ö æ ö÷ ÷ç ç÷ ÷= + - + =ç ç÷ ÷ç ç÷ ÷ç çè ø è ø
ò
TÍCH PHÂN HÀM ĐỐI XỨNG
Cho f liên tục trên [-a; a].
( ) ( )
( ) ( )
( ) ( )
( )
i ) Neáu f laø haøm chaün thì:
i i) Neáu f laø haøm leû thì:
0
2
0
a a
a
a
a
f x dx f x dx
f x f
f x f x
f x dx
x
-
-
- =
=
= -
=
-
ò ò
ò
MỘT SỐ ỨNG DỤNG CỦA TÍCH PHÂN
Tính chiều dài của một cung
Diện tích hình phẳng
Thể tích khối tròn xoay
Giá trị trung bình của hàm số
CHIỀU DÀI CỦA CUNG
Ta cần tính chiều dài
cung từ a đến b.
( ) ( ) ( )
( ) ( )
22 2
2
1 1 1
1 1 1
2 2
1
'
lim 1 ' . 1 '
n n n
i i i i i i i
i i i
bn
in
i a
P P x x y y x f c x
L f c x f x dx
- - -
= = =
® ¥
=
é ù= - + - = D + Dê úë û
é ù é ù= + D = +ê ú ê úë û ë û
å å å
å ò
( )
2
1 '
b
a
L f x dxé ù= + ê úë ûò
CHIỀU DÀI CỦA CUNG
Định lý. Nếu f’(x) liên tục trên [a,b] thì chiều dài của dây
cung y=f(x) trên đoạn [a,b] là:
Ví dụ 25. Tìm độ dài cung của y2=x3 từ điểm (1;1) đến
điểm (4;8)
( )
2
1 '
b
a
L f x dxé ù= + ê úë ûò
( )1 80 10 13 13
27
L = -
CHIỀU DÀI CỦA CUNG
Định lý. Nếu đường cong có phương trình dạng x=g(y) và
g’(y) liên tục trên [c,d] thì chiều dài của đường cong trên
đoạn [c,d] là:
Ví dụ 26. Tìm độ dài cung của y2=x từ điểm (0;0) đến
điểm (1;1)
( )
2
1 g'
d
c
L y dyé ù= + ê úë ûò
( )ln 5 25
2 4
L
+
= +
DIỆN TÍCH MẶT TRÒN XOAY
Diện tích hình trụ Diện tích mặt nón
2 .A r hp= .A rp= l
DIỆN TÍCH MẶT TRÒN XOAY
( )1 2A r rp= + l
Diện tích mặt nón cụt
DIỆN TÍCH MẶT TRÒN XOAY
Ta có:
( ) ( )
2
2 1 '
b
a
A f x f x dxp é ù= + ê úë ûò
( )1 1
1
lim
n
i i i in
i
A y y P Pp
- -® ¥
=
= +å
( ) ( ) ( )
( ) ( )
2
1 1 1
1 1
2
1
1 '
2 . 1 '
n n
i i i i i i k
i i
n
k k
i
y y P P y y f c x
f c f c x
p p
p
- - -
= =
=
é ù+ = + + Dê úë û
é ù» + Dê úë û
å å
å
DIỆN TÍCH MẶT TRÒN XOAY
Xung quanh Ox nếu y=f(x) có dấu tùy ý
Xung quanh Oy nếu x=g(y) có dấu tùy ý
( ) ( )
2
2 1 '
b
a
A f x f x dxp é ù= + ê úë ûò
( ) ( )
2
2 1 '
d
c
A g y g y dyp é ù= + ê úë ûò
VÍ DỤ 27.
1) Tính diện tích mặt tạo nên khi xoay đường parabol y=x2
từ điểm (1;1) đến (2;4) 
A) Quanh trục Oy. 
B) Quanh trục Ox
2) Tính diện tích của mặt cầu bán kính R
GIÁ TRỊ TRUNG BÌNH CỦA HÀM SỐ
Cho hàm số f(x) liên tục trên đoạn [a,b]
Giá trị trung bình của hàm f là:
( )
1
b
a
f x dx
b a- ò
VÍ DỤ 28.
1) Tìm giá trị trung bình của hàm f(x)=x-3x2 trên đoạn [-
1;2]
2) Cho hàm cầu như sau:
Hãy tìm giá trung bình (theo $) theo lượng cầu trong
đoạn [40, 60]
Đáp số: 1) -5/2 2) 8,55$.
( )1 0,05100 QP D Q e- -= =
ỨNG DỤNG TÍCH PHÂN TRONG KINH TẾ
Tìm hàm khi biết hàm cận biên. Giả sử tìm hàm chi phí, 
hàm doanh thu.
Xác định quỹ vốn K(t) khi biết hàm đầu tư I(t)
Thặng dư tiêu dùng và thặng dư sản xuất
VÍ DỤ 29.
Giả sử ở mỗi mức sản lượng Q, chi phí cận biên là:
Tìm hàm chi phí biết chi phí cố định là C0=200.
( ) 290 120 27MC Q Q Q= - +
VÍ DỤ 30.
Giả sử ở mỗi mức sản lượng Q, chi phí cận biên là:
Giả sử Q=1 thì chi phí là 60. Tìm hàm chi phí.
( ) 2 350 18 45 4MC Q Q Q Q= - + +
VÍ DỤ 31.
Giả sử ở mỗi mức sản lượng Q, doanh thu cận biên là:
Giả sử Q=1 thì R=37. Tìm doanh thu và hàm giá theo sản
lượng.
( ) 23 8 30MR Q Q Q= - +
VÍ DỤ 32.
Cho biết doanh thu cận biên ở mỗi mức giá p là:
Giả sử P=10 (ngàn đồng/sản phẩm) thì R=10,4 (triệu
đồng). Tìm doanh thu và hàm sản lượng theo giá.
( ) 3 24 3 24 15MR P P P P= - + +
VÍ DỤ 33.
33a. Cho hàm chi phí cận biên ở mỗi mức sản lượng Q là
MC=8e0,2Q và chi phí cố định là FC=50. Xác định hàm tổng
chi phí và chi phí khả biến
33b. Cho hàm doanh thu cận biên ở mỗi mức sản lượng
Q là MR=50-2Q-3Q2. Xác định hàm tổng doanh thu.
XÁC ĐỊNH QUỸ VỐN
Giả sử lượng đầu tư I (tốc độ bổ sung quỹ vốn) và
quỹ vốn K là hàm theo biến thời gian t.
Ta có: I=I(t); K=K(t)
Giữa quỹ vốn và đầu tư có quan hệ: (lượng đầu tư tại
thời điểm t biểu thị tốc độ tăng quỹ vốn tại thời điểm
đó)
I(t)=K’(t)
Vậy nếu biết hàm đầu tư I(t) thì ta xác định hàm quỹ
vốn như sau:
 K t K t dt I t dt 
TÍCH PHÂN TRONG PHÂN TÍCH KINH TẾ
Ví dụ 34. Cho hàm đầu tư I(t)=3t1/2 (nghìn đô la một
tháng) và quỹ vốn tại thời điểm t=1 là K(1)=10 (nghìn đô
la). Hãy xác định hàm quỹ vốn K(t) và lượng vốn tích lũy
được từ tháng 4 đến tháng 9
Thặng dư tiêu dùng
• Thặng dư tiêu dùng đo lường phúc lợi kinh tế của người mua.
• Thặng dư sản xuất đo lường phúc lợi kinh tế của người bán.
• Mức sẵn lòng trả là mức giá tối đa mà người mua chấp nhận mua
sản phẩm.
• Đây là mức giá trị mà người mua đánh giá một sản phẩm hay dịch vụ,
• Thặng dư tiêu dùng là mức sẵn lòng trả của người mua trừ đi mức
giá mà họ thực sự trả.
Mức sẵn lòng trả của 4 người mua
Đo lường CS bằng đường cầu
• Đường cầu thị trường mô tả các mức sản lượng mà
người tiêu dùng sẵn lòng và có thể mua tại những mức
giá khác nhau.
John 100
Paul 80
George 70
Ringo 50
Biểu cầu và đường cầu
Price of
Album
0 Quantity of
Albums
Demand
1 2 3 4
$100 John’s willingness to pay
80 Paul’s willingness to pay
70 George’s willingness to pay
50 Ringo’s willingness to pay
Đo lường thặng dư tiêu dùng
(a) Price = $80
Price of
Album
50
70
80
0
$100
Demand
1 2 3 4 Quantity of
Albums
John’s consumer surplus ($20)
(b) Price = $70
Price of
Album
50
70
80
0
$100
Demand
1 2 3 4
Total
consumer
surplus ($40)
Quantity of
Albums
John’s consumer surplus ($30)
Paul’s consumer
surplus ($10)
Đo lường thặng dư tiêu dùng
• Diện tích
phía dưới
đường
cầu và
trên mức
giá chính
là thặng
dư tiêu
dùng.
Đo lường thặng dư tiêu dùng
Consumer
surplus
Quantity
(a) Thặng dư tiêu dùng ở mức giá P1 
Price
0
Demand
P1
Q1
B
A
C
Tác dụng của mức giá đến thặng dư tiêu dùng
Initial
consumer
surplus
Quantity
(b) Thặng dư tiêu dùng ở mức giá P2
Price
0
Demand
A
B
C
D E
F
P1
Q1
P2
Q2
Consumer surplus
to new consumers
Additional consumer
surplus to initial 
consumers
Thặng dư tiêu dùng
• Consumer’s Surplus
• Nếu ( ;  ) là điểm trên đường cầu p=D(x) 
khi này thặng dư tiêu dùng CS tại mức giá  là:
• CS thể hiện tổng tiết kiệm của người tiêu dùng
sẵn sàng trả mức giá lớn hơn  cho sản phẩm
nhưng vẫn mua được sản phẩm ở mức giá  .
( )
0
x
CS D x p dxé ù= -ê úë ûò
( )
( )
0
1
0
.
.
x
Q
CS D x dx x p
CS D Q dQ Q P-
= -
= -
ò
ò
Thặng dư sản xuất
• Producer’s Surplus
• Thặng dư sản xuất là mức giá người bán được
trả trừ đi chi phí cho sản phẩm. 
• Đây là lợi ích của người bán khi tham gia thị
trường.
Chi phí của 4 người bán
Dùng đường cung đo lường PS
• Thặng dư tiêu dùng liên quan đến đường cầu.
• Thặng dư sản xuất liên quan đến đường cung.
Biểu cung và đường cung
Dùng đường cung đo lường PS
• Diện tích
phía dưới
mức giá và
trên đường
cung chính
là thặng dư
sản xuất.
Quantity of
Houses Painted
Price of
House
Painting
500
800
$900
0
600
1 2 3 4
(a) Price = $600
Supply
Grandma’s producer
surplus ($100)
Đo lường PS bằng đường cung
Quantity of
Houses Painted
Price of
House
Painting
500
800
$900
0
600
1 2 3 4
(b) Price = $800
Georgia’s producer
surplus ($200)
Total
producer
surplus ($500)
Grandma’s producer
surplus ($300)
Supply
Tác dụng của giá đến thặng dư sản xuất
Producer
surplus
Quantity
(a) Thặng dư sản xuất ở giá P1
Price
0
Supply
B
A
C
Q1
P1
Quantity
(b) Thặng dư sản xuất ở giá P2
Price
0
P1
B
C
Supply
A
Initial
producer
surplus
Q1
P2
Q2
Producer surplus
to new producers
Additional producer
surplus to initial
producers
D E
F
Tác dụng của giá đến thặng dư sản xuất
Thặng dư sản xuất
• Producer’s Surplus
• Nếu ( ;  ) là điểm trên đường cung p=D(x) 
khi này thặng dư sản xuất PS tại mức giá  là:
• PS thể hiện tổng tăng thêm của nhà sản xuất
sẵn sàng cung cấp sản phẩm ở mức giá thấp
hơn  nhưng vẫn bán được sản phẩm ở mức
giá  .
( )
0
x
PS p S x dxé ù= -ê úë ûò
( )
( )
0
1
0
.
.
x
Q
PS x p S x dx
PS Q P S Q dQ-
= -
= -
ò
ò
Thặng dư tiêu dùng và sản xuất khi cân bằng thị trường
Producer
surplus
Consumer
surplus
Price
0 Quantity
Equilibrium
price
Equilibrium
quantity
Supply
Demand
A
C
B
D
E
VÍ DỤ 35.
Cho các hàm cung và hàm cầu:
Hãy tính thặng dư của nhà sản xuất và thặng dư của
người tiêu dùng.
2 1 ; 43 2.S DQ P Q P 
VÍ DỤ 35.
Sản lượng cân bằng  là nghiệm của pt:
Thặng dư của nhà sản xuất:
Thặng dư người tiêu dùng:
1 1 3( ) ( )
18
Q
D Q S Q
P
3
2
0
18.3 1 2 27PS Q dQ 
3
2
0
43 2 18.3CS Q dQ 
VÍ DỤ 36.
1) Tìm thặng dư tiêu dùng tại mức giá 8$ biết hàm cầu
đảo có phương trình:
2) Tìm thặng dư sản xuất tại mức giá 20$ biết hàm cung
đảo có phương trình:
3) Tìm mức giá cân bằng và tìm thặng dư tiêu dùng, 
thặng dư sản xuất tại mức giá tiêu dùng nếu biết:
 1 20 0,05P D Q Q 
 1 22 0,0002P S Q Q 
 1 1 220 0,05 ; 2 0,0002D Q Q S Q Q 
DÒNG THU NHẬP LIÊN TỤC
Continuous Income Stream
Cho f(t) là tốc độ của một dòng thu nhập liên tục, khi
đó tổng thu nhập thu về trong khoảng thời gian từ a 
đến b là:
b
a
Total Income f t dt 
FV CỦA DÒNG THU NHẬP LIÊN TỤC
Theo công thức lãi kép liên tục:
Nếu dòng thu nhập liên tục được đầu tư với mức lãi
suất r, ghép lãi liên tục thì giá trị tương lai của dòng
thu nhập liên tục này sau T năm là???
Chú ý. 
 Trong công thức lãi kép liên tục thì P là cố định
 Chỉ tính cho một khoản đầu tư P duy nhất
 Làm sao tính tổng thu nhập cho một dòng thu nhập liên tục.
rtA Pe 
LẬP TỔNG TÍCH PHÂN
Chia khoảng thời gian T 
thành n phần, mỗi phần là Δt.
Thu nhập trong khoảng thứ k 
(từ tk-1 đến tk) xấp xỉ với:
Giá trị tương lai của nó:
Tổng thu nhập sau T năm:
 .kf c t 
 .. r T tk kFV f c t e
 .
1 0
lim . k
Tn
r T c r T t
k
n
k
FV f c t e f t e dt
  
FV CỦA DÒNG THU NHẬP LIÊN TỤC
Nếu f(t) là tốc độ dòng thu nhập đều liên tục.
Giả sử thu nhập được đầu tư liên tục với mức lãi suất r, 
ghép lãi liên tục. 
Khi này, giá trị tương lai của cả dòng thu nhập sau T năm
đầu tư là:
0 0
T T
r T t rT rtFV f t e dt e f t e dt
VÍ DỤ 37.
Tốc độ biến thiên lợi nhuận thu về từ một máy bán hàng tự
động cho bởi:
Trong đó t (năm) là thời gian tính từ thời điểm lắp máy. 
A) Tìm tổng lợi nhuận nhập của máy sau 5 năm tính từ khi lắp
đặt.
B) Giả sử lợi nhuận của máy được đầu tư liên tục với lãi suất
12%. Tính giá trị tương lai của tổng lợi nhuận của máy sau 5 
năm.
C) Tìm tổng lãi thu về của dòng lợi nhuận của máy sau 5 năm
đầu tư.
 0,045000 tf t e 
ÔN TẬP THI CUỐI KỲ
Giới hạn hàm số: VCB, L’Hospital
Tính đạo hàm, vi phân hàm nhiều biến
Cực trị hàm nhiều biến trong kinh tế
Phân tích cận biên, hệ số co dãn
Các mô hình tăng trưởng, tích phân từng phần
Thặng dư tiêu dùng và thặng dư sản xuất