Bài giảng Toán tài chính - Chương 3: Hàm nhiều biến

HÀM
NHIỀU BIẾN CHƯƠNG 3
KHÁI NIỆM HÀM HAI BIẾN
Định nghĩa: Cho không gian:
Ánh xạ:
Được gọi là hàm hai biến xác định trên tập hợp D
Mỗi cặp (x,y)∈  tương ứng với một số thực z
x, y là các biến độc lập; z là biến phụ thuộc
( ) ( )
:
, ,
f D R
x y z f x y
®
=a
( ){ }2 2, : ,R x y x y R va D R= Î Ì
KHÁI NIỆM HÀM HAI BIẾN
Mỗi cặp (x,y)∈  tương ứng với một số thực z
x, y là các biến độc lập; z là biến phụ thuộc
Tập D là miền xác định (domain) 
Miền giá trị (range) của hàm f
 , ,T f x y x y D 
TẬP XÁC ĐỊNH HÀM HAI BIẾN
Khái niệm. Tập xác định của hàm số là tập hợp tất cả các
cặp (x,y) sao cho giá trị biểu thức f(x,y) là số thực.
Ví dụ 1. Với 2D = ¡ và 3 2( , ) .f x y x x xy 
Miền xác định của hàm số là cả không gian 2.¡ 
Ứng với cặp số ( , ) (2, 1)x y D , ta có 3 2(2, 1) 2 ( 1) 2.( 1) 5z f 
Ứng với cặp số ( , ) (3,2) ,x y D ta có 3 2(3,2) 3 2 3.2 29.z f 
Ví dụ 2. Với mỗi hàm số sau, tìm f(3,2) và miền xác định. 
a) 
1
,
1
x y
f x y
x
 b) 2, lnf x y x y x 
TẬP XÁC ĐỊNH HÀM HAI BIẾN
A) Ta có:
Tập xác định:
b) Ta có:
Tập xác định:
3 2 1 6
3,2
3 1 2
f
 , 1 0, 1D x y x y x 
 23,2 3ln 2 3 0f 
 2,D x y x y 
VÍ DỤ 1
Tìm và vẽ tập xác định của các hàm số sau:
( )
( ) ( )
2) ,
) , ln 2 1
a f x y y x
b f x y x y
= -
= - +
KHÁI NIỆM HÀM BA BIẾN
Định nghĩa: Cho không gian:
Ánh xạ:
Được gọi là hàm ba biến xác định trên tập hợp D
Mỗi cặp (x,y,z)∈  tương ứng với một số thực u
x, y, z là các biến độc lập; u là biến phụ thuộc
Tập xác định của hàm số là tập hợp tất cả các cặp (x,y,z) sao
cho giá trị biểu thức f(x,y,z) là số thực.
( ) ( )
:
, , , ,
f D R
x y z u f x y z
®
=a
( ){ }3 3, , : , ,R x y z x y z R va D R= Î Ì
ĐỒ THỊ.
Định nghĩa. Nếu f là hàm hai biến với miền xác định D thì
đồ thị của f là tập hợp tất cả các điểm (x,y,z) sao cho
 , ,z f x y x y D 
ĐỒ THỊ HÀM MỘT BIẾN
ĐỒ THỊ HÀM NHIỀU BIẾN
 2, 2f x y x y y 
ĐỒ THỊ HÀM NHIỀU BIẾN
 2 2,f x y x y 
ĐỒ THỊ HÀM NHIỀU BIẾN
 3 2, 3 2f x y x x y 
ĐỒ THỊ HÀM NHIỀU BIẾN
2 22, 4 1 x yf x y x e 
HÀM NHIỀU BIẾN TRONG KINH TẾ
a) Hàm sản xuất
b) Hàm tổng chi phí, tổng doanh thu, tổng lợi nhuận
c) Hàm lợi ích
d) Hàm cung, hàm cầu
VÍ DỤ 2
Tìm các giới hạn sau
Sinh viên tự tham khảo thêm
2
2 3 2
2 2, 0,1 , 1,2
2 2
2 2 2 2, 1,2 , 0,0
3
) lim ) lim 2
3 3
) lim ) lim
x y x y
x y x y
x y
a b x y x y xy
x y
x y x y
c d
x y x y
GIỚI HẠN VÀ LIÊN TỤC
Định nghĩa. Hàm số hai biến f liên tục tại (a,b) nếu
Hàm số f liên tục trên D nếu liên tục tại mọi điểm (a,b) trên D.
Chú ý. 
Các hàm đa thức liên tục trên R2 , các hàm hữu tỉ liên tục trên
miền xác định của nó.
, ,
lim , ,
x y a b
f x y f a b
VÍ DỤ 3.
Tìm các khoảng liên tục của hàm số:
2 2
2 2
,
x y
f x y
x y
ĐẠO HÀM RIÊNG
Cho hàm hai biến z=f(x,y) xác định trên tập D.
Xem y như hằng số ta được hàm một biến theo x. 
Lấy đạo hàm của hàm số này ta được đạo hàm riêng theo biến
x.
Tương tự ta được đạo hàm riêng theo biến y
Ký hiệu:
( ) ( )
( ) ( )
, , '
, , '
x x x x
y y y y
f z
f x y f f x y D f z
x x x
f z
f x y f f x y D f z
y y y
¶ ¶ ¶
¢ ¢= = = = = =
¶ ¶ ¶
¶ ¶ ¶
¢ ¢= = = = = =
¶ ¶ ¶
ĐẠO HÀM RIÊNG
Đạo hàm riêng của hàm f(x,y) tại điểm (x0,y0)
Lấy đạo hàm riêng theo biến nào thì xem biến còn lại như
hằng số và tiến hành lấy đạo hàm như hàm 1 biến.
( ) ( )
( ) ( )
0
0
0 0 0
0
0 0 0
0
, ,
' lim
, ,
' lim
x x x
y y y
f x y f x yf
f
x x x
f x y f x yf
f
y y y
®
®
-¶
= =
¶ -
-¶
= =
¶ -
VÍ DỤ 4.
Cho hàm số
Đạo hàm riêng theo x (xem y là hằng số)
Đạo hàm riêng theo y (xem x là hằng số) 
3 2 43z x xy y= + -
3' 6 4
y
z xy y= -
2 2' 3 3
x
z x y= +
VÍ DỤ 5.
Tìm các đạo hàm riêng của các hàm số sau:
Với hàm nhiều hơn hai biến ta làm tương tự.
3 2 3 2) , 2
) , sin
1
) , , lnxy
a f x y x x y y
x
b f x y
y
c f x y z e z
ĐẠO HÀM RIÊNG CẤP CAO
Đạo hàm riêng của các đạo hàm riêng cấp 1 gọi là ĐHR 
cấp 2
Tương tự cho các cấp cao hơn.
Ký hiệu:
2 2 2 2
2 2
2 2 2 2
2 2
x xx x xyx y
y yx y yyx y
z f z z f z
f f f f
x x x x y x x y x y
z f z z f z
f f f f
x y y x y x y y y y
        
          
         
          
VÍ DỤ 6.
Tính các đạo hàm riêng cấp 2 của hàm số sau.
Đáp án
3 2z x y xy 
2' 3 ' 2
" 6 " 1
" 1 " 2
x y
xx xy
yy
z x y z y x
z x z
z z
 yx
VÍ DỤ 7.
Tính các ĐHR cấp 2 của hàm số:
) ) ) lny xy
x
a z x b z e c z
y
VÍ DỤ 8.
Tìm các đạo hàm riêng cấp 2 của hàm số:
Hỏi:
- Hàm 2 biến có bao nhiêu ĐHR cấp 2?
- Hàm n biến có bao nhiêu ĐHR cấp 2?
- Thứ tự lấy ĐHR có ảnh hưởng đến kết quả???
 3 2 3 2, 2f x y x x y y 
ĐẠO HÀM RIÊNG CẤP CAO
Định lý Clairaut. Giả sử hàm f được xác định trên đĩa D chứa
điểm (a,b). Nếu các hàm số 
 à 
 liên tục trên D thì:
Ma trận Hessian.
 , ,xy yxf a b f a b 
1 1 1 2 1
2 1 2 2 2
1 2
n
n
n n n n
x x x x x x
x x x x x x
x x x x x x
f f f
f f f
H
f f f


   

VÍ DỤ 9.
Tìm ma trận Hess của hàm ba biến sau
Sinh viên kiểm tra lại kết quả dưới đây
3 4 5( , , )f x y z x y z 
2 4 5 2 3 5 2 4 4
2 3 5 3 2 5 3 3 4
2 4 4 3 3 4 3 4 3
6 12 15
12 12 20
15 20 20
x y z x y z x y z
H x y z x y z x y z
x y z x y z x y z
VI PHÂN TOÀN PHẦN HÀM NHIỀU BIẾN
Cho hàm hai biến f(x,y) có các đạo hàm riêng f’x; f’y
Khi đó biểu thức:
Được gọi là vi phân toàn phần của hàm hai biến đã cho.
Ý nghĩa:
 dx
 dy
 df
x yd f f dx f dy 
VÍ DỤ 10.
Hàm số
Có vi phân toàn phần là
3 2z x y xy 
 23 2dz x y dx x y dy 
VI PHÂN CẤP 2
Vi phân cấp 2 của hàm hai biến f(x,y) là biểu thức có
dạng:
Chú ý:
2 2
2 2 22 xyx yd f f dx f dxdy f dy 
 2
2 2 2
2 2 22
x y
xx xy yx yy
xx xy yy
d f d df d f dx f dy
d f f dx f dxdy f dydx f dy
d f f dx f dxdy f dy
VÍ DỤ 11.
A) Vi phân cấp 2 của hàm số:
là
B) Tính vi phân cấp 2 của hàm số:
2 2 2 3 3
2 2
) ln )
) z sin
a z x y b z xy x y
c x y
3 2z x y xy 
2 2 26 2 2d z xdx dxdy dy 
CỰC TRỊ HÀM NHIỀU BIẾN
Cuc dai
Cuc tieu
KHÔNG PHẢI CỰC TRỊ (SADDLE POINT)
CỰC TRỊ HÀM HAI BIẾN_CỰC ĐẠI
Khái niệm: cho hàm hai biến z=f(x,y) xác định trên D
Xét điểm M0(x0; y0) ∈ 
Nếu tại các điểm M(x,y) nằm quanh M0 và M≠ M0 ta có:
Thì M0 gọi là điểm cực đại của hàm số.
 0 0 0, ,f M f M hay f x y f x y 
CỰC ĐẠI HÀM HAI BIẾN
 0 0 0, ,f M f M hay f x y f x y 
CỰC TRỊ HÀM HAI BIẾN_CỰC TIỂU
Khái niệm: cho hàm hai biến z=f(x,y) xác định trên D
Xét điểm M0(x0; y0) ∈ 
Nếu tại các điểm M(x,y) nằm quanh M0 và M≠ M0 ta có:
Thì M0 gọi là điểm cực tiểu của hàm số.
 0 0 0, ,f M f M hay f x y f x y 
CỰC TIỂU HÀM HAI BIẾN
 0 0 0, ,f M f M hay f x y f x y 
VÍ DỤ 12.
Xét hàm số f(x,y)=x2+y2-2x+3 và điểm M0 1; 0 ∈  = 
2
Ta có:
Do giá trị hàm số tại M0 nhỏ hơn giá trị hàm số tại mọi
điểm xung quanh nó (khác M0) nên M0 là điểm cực tiểu
của hàm số.
0
22 2 2
1;0 2
, 2 3 1 2 2
f M f
f M f x y x y x x y
 0 0f M f M M M 
CỰC TRỊ CỦA HÀM NHIỀU BIẾN
Một cách tương tự ta định nghĩa cực đại, cực tiểu của
hàm nhiều biến.
Cho hàm nhiều biến f(x1,x2,,xn) xác định và có các đạo
hàm riêng theo tất cả các biến độc lập trong D.
Điểm là điểm:
Cực đại khi?
Cực tiểu khi?
1 2( , ,...., )nM x x x D 
ĐIỀU KIỆN CẦN
Nếu hàm số f(x1,x2,,xn) xác định và có các đạo hàm riêng
theo tất cả các biến độc lập trong D và đạt cực trị (cực đại
hoặc cực tiểu) tại điểm
thì
Điểm thỏa mãn điều kiện trên được gọi là điểm dừng của
hàm số
Hàm số chỉ có thể đạt cực trị tại các điểm dừng. 
Đây chỉ là điều kiện cần, chưa phải là điều kiện đủ. 
1 2( , ,...., )nM x x x D 
1 2( , ,...., ) 0 , 1,2, ,n
i
f
x x x i n
x



ĐIỀU KIỆN CẦN VÀ ĐỦ
Để hàm số đạt cực trị tại điểm M thì:
+ Điều kiện cần:
+ Điều kiện đủ: theo ma trận Hess tại M
1. Xác định dương Cực tiểu
2. Xác định âm Cực đại
3. Còn lại Chưa kết luận
 0 , 1,2, ,
i
f
M i n
x



ĐIỀU KIỆN ĐỦ CỦA CỰC TRỊ
Giả sử
là điểm dừng của hàm số f(x1,x2,,xn) và tại điểm đó hàm
số có tất cả các đạo hàm riêng cấp hai liên tục.
Đặt: 
1 2( , ,...., )nM x x x D 
2
1 2( , ,...., ) ( , 1,2, , )ij n
i j
f
a x x x i j n
x x

 

ĐIỀU KIỆN ĐỦ ĐỂ CÓ CỰC TRỊ
Ma trận Hess:
Xét các định thức con chính:
11 12 1
21 22 2
1 2
n
n
n n nn
a a a
a a a
H
a a a


   

11 12 1 11 12 1
21 22 2 21 22 211 12
1 11 2
21 2
1 2 1 2
, , , , ,
k n
k n
k n
k k kk n n nn
a a a a a a
a a a a a aa a
D a D D D
a a
a a a a a a
 
 
 
       
 
TIÊU CHUẨN XÉT CỰC TRỊ
i) Nếu D1>0, D2>0, , Dn>0 thì M là điểm cực tiểu của
hàm số
ii) Nếu D10, , (-1)
n Dn>0 thì M là điểm cực đại của
hàm số
iii) Nếu Di≥0 (hay (-1)
i Di>0 ) và tồn tại k sao cho Dk=0 thì
chưa thể kết luận về cực trị địa phương của hàm số tại . 
Hàm số có thể đạt cực trị hoặc không đạt cực trị tại điểm
M. Muốn có được kết luận ta phải sử dụng phương pháp
khác.
iv) Trong các trường hợp khác thì M không phải là điểm
cực trị.
ÁP DỤNG CHO HÀM 2 BIẾN
Ma trận Hess hàm 2 biến:
1
2
2
( ) ; ( ) ( ); ( )xx xy yx yy
A B
A f M B f M f M C f M H
B C
D A
A B
D AC B
B C
xx xy
yx yy
f f
H
f f
ÁP DỤNG CHO HÀM 2 BIẾN
i) Nếu A>0, ∆>0 thì M là điểm cực tiểu
ii) Nếu A0 thì M là điểm cực đại
iii) Nếu ∆<0 thì M không là điểm cực trị
iv) Nếu ∆=0 thì chưa có kết luận.
CÁC BƯỚC TÌM CỰC TRỊ HÀM 2 BIẾN
1. Tìm tập xác định
2. Tính các đạo hàm riêng cấp 1, cấp 2
3. Giải hệ pt tìm điểm dừng
4. Tính các đhr cấp 2 tại điểm dừng
5. Xét dấu định thức cấp 2
6. Kết luận về điểm cực trị và tính cực trị (nếu có)
' 0
' 0
x
y
z
z
VÍ DỤ 13.
Tìm cực trị của hàm số
Đ/S: cực tiểu tại M(1;1) 
3 3( , ) 3f x y x y xy 
VÍ DỤ 14.
Tìm cực trị của hàm số:
4 4 2 2 5 5
2 2
3 3
) 2 ) 5
8
) ) 3 6
) 6
a z x y x xy y b z xy x y
x
c z y d z x xy y x y
x y
e z x y xy
VÍ DỤ 15. (cực trị hàm 3 biến)
Tìm cực trị của hàm số
Đ/S: cực tiểu tại M(1;-2;1/2) 
3 2 2( , , ) 2 2 3 1.f x y z x xy y xz z y 
CỰC TRỊ CÓ ĐIỀU KIỆN
Tìm cực trị của hàm số:
Với điều kiện:
Hướng dẫn. Giải điều kiện, đưa về hàm 1 biến
Nhưng nếu điều kiện phức tạp thì???
 , 2f x y xy x 
8 4 120x y 
CỰC TRỊ CÓ ĐIỀU KIỆN
Cho hàm số z=f(x,y) với ràng buộc ϕ(x,y)=0
Giả sử M(x0;y0) là điểm cực trị của hàm số z với ràng buộc trên
thì tồn tại số λ sao cho:
Số λ được gọi là nhân tử Lagrange. 
Hàm số L(x,y, λ)=f(x,y)+ λϕ(x,y) được gọi là hàm số Lagrange.
0 0 0 0
0 0 0 0
0 0
( , ) ( , ) 0
( , ) ( , ) 0
( , ) 0
f
x y x y
x x
f
x y x y
y y
x y


  
  
  
  
CỰC TRỊ CÓ ĐIỀU KIỆN
Ta viết lại phương trình đã cho dạng:
Trong đó: L(x,y, λ)=f(x,y)+ λϕ(x,y)
Giải phương trình ta có λ, x0,y0
0 0
0 0
0 0
( , ) 0
( , ) 0
( , ) 0
L
x y
x
L
x y
y
L
x y

 
  
 
 
 
 
HAI BIẾN CHỌN – ĐK ĐỦ
Ta xét giá trị của định thức
Hoặc
Tại các điểm dừng tìm được
xx xy x
yx yy y
x y
L L L
D L L L
L L L


  
0x y x y
x xx xy x xx xy
y yx yy y yx yy
L L L
D L L L L L
L L L L L
  


ĐIỀU KIỆN ĐỦ
Nếu D>0 thì M(x0;y0) là điểm cực đại có điều kiện của
hàm số.
Nếu D<0 thì M(x0;y0) là điểm cực tiểu có điều kiện của
hàm số.
Nếu D=0 thì chưa có kết luận gì về điểm M(x0;y0) đang
xét.
CÁCH 2. SỬ DỤNG VI PHÂN CẤP 2
Tính giá trị sau:
Nếu D>0 thì là cực tiểu
Nếu D<0 thì là cực đại.
2 2
2xx y yy x xy x yD L L L 
VÍ DỤ 16.
Tìm cực trị của hàm số
với điều kiện:
Đ/S: cực tiểu tại M(4/3; 5/3)
Cực đại tại N(-4/3;-5/3)
( , ) 6 4 3f x y x y 
2 2 1.x y 
VÍ DỤ 17.
1. Tìm cực trị của hàm số:
Với điều kiện:
2. Tìm cực trị của hàm số:
Với điều kiện:
 , 5f x y x y 
2 2 1x y 
 , 8 15 2f x y x y 
2 22 3 107x y 
GTLN, GTNN (THAM KHẢO)
Giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số trên tập đóng, 
bị chặn
Cho D là tập đóng, bị chặn trong miền có biên cho bởi
phương trình ϕ(x1,x2,,xn)=0
Giả sử f(x1,x2,,xn) là hàm số liên tục trên D.
Sau đây là quy tắc tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của
trên D.
GTLN, GTNN (THAM KHẢO)
B1. Tìm các điểm nghi ngờ có cực trị của với điều kiện
ϕ(x1,x2,,xn)=0.
B2. Tìm các điểm dừng của f(x1,x2,,xn) thuộc D.
B3. Giá trị lớn nhất (nhỏ nhất) của f trên D là giá trị lớn nhất
(nhỏ nhất) trong các giá trị của hàm tại các điểm tìm được ở 
trên.
VÍ DỤ 18.
Tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của hàm
trong miền
Đ/S: 
2 2( , ) x 2f x y y x 
2 2: 1D x y 
1 1 1 3 9
min ,0 ; max ,
2 4 2 2 4D D
f f f f
VÍ DỤ 19.
Miền D: 2 + 2 ≤ 1
Biên của miền D là 2 + 2 = 1
Bước 1. Tìm các điểm nghi ngờ có cực trị với điều kiện: 
Bước 2. Tìm các điểm dừng thuộc D của hàm số
Bước 3. So sánh giá trị hàm số tại các điểm tìm được và
kết luận.
2 2 1 0x y 
2 2( , ) 2f x y x y x 
VÍ DỤ 19.
Bước 1.
Hàm Lagrange:
Ta có hệ phương trình:
 2 2 2 2, , 2 1L x y x y x x y  
2 2 2 2
2 2
2 2 1
2 2 10 2 1 2 0
0
0 4 2 0 2 0
2
1 00 1 0
1 0
x
y
x
xL x x
y
L y y y
x yL x y
x y



 

VÍ DỤ 19.
Giải tiếp hpt ta có 4 nghiệm
Như vậy có 4 điểm nghi ngờ có cực trị với điều kiện:
Đặt 4 điểm như sau:
1/ 2 3 / 2 2 2
0 0 1/ 2 1/ 2
1 1 3 / 2 3 / 2
y y x x
x x y y
    
2 2 1 0x y 
 1 2 3 41;0 ; 1;0 ; 1 / 2; 3 / 2 ; 1/ 2; 3 / 2M M M M 
VÍ DỤ 19.
Bước 2.
Hệ phương trình tìm điểm dừng:
Ta nhận điểm này vì thuộc miền D do:
 5
0 2 1 0 1/ 2
1/ 2;0
0 4 0 0
x
y
f x x
M
f y y
2 2 1 10 1
4 4
x y 
VÍ DỤ 19.
Bước 3.
Ta có:
Tương tự:
 2 21 1;0 1 2.0 1 0f M f 
2 2
2
3 4
5
1;0 1 2.0 1 2
1 3 9 1 3 9
; ; ;
2 2 4 2 2 4
1 1
;0
2 4
f M f
f M f f M f
f M f
VÍ DỤ 19.
So sánh giá trị hàm số tại M1, M2, M3, M4, M5 ta có:
5
3 4
1 1
min ,0
2 4
1 3 9
max ,
2 2 4
D
D
f f M f
f f M f M f
KHÁI NIỆM HÀM ẨN
Trong nhiều trường hợp, mặc dù ta có thể chứng minh 
được rằng phương trình F(x,y)=0 xác định một hàm số
y=y(x) nhưng ta không thể biểu diễn y theo x một cách
trực tiếp. Trong trường hợp đó ta phải xét hàm số y gián
tiếp dưới dạng phương trình F(x,y)=0. 
Kí hiệu y=y(x) chỉ mang ý nghĩa hình thức để nói y là hàm
số của biến số x.
ĐẠO HÀM CỦA HÀM ẨN
Giả sử y=y(x) là hàm ẩn xác định bởi phương trình
F(x,y)=0. Ta có:
( , )
( )
( , )
F
x y
xy x
F
x y
y

 


'
'
'
x
x
y
F
y
F
VÍ DỤ 20.
A) Tính đạo hàm của hàm y là hàm ẩn của x xác định bởi
phương trình:
Đ/S:
B) Tìm đạo hàm của y biết
 2 22 1 0 0x y y 
2
'x
x
y
y
3 3 6x y xy 
ỨNG DỤNG 
HÀM NHIỀU BIẾN 
TRONG KINH TẾ
HÀM SẢN XUẤT
Hàm sản xuất là hàm dạng:
Q=Q(K,L)
trong đó K là vốn, L là lao động.
Hàm Cobb-Douglas là hàm sản xuất dạng:
trong đó a, α, β là hằng số dương.
,Q aK L  
HÀM TỔNG CHI PHÍ, TỔNG DOANH THU, TỔNG LỢI
NHUẬN
Hàm tổng chi phí là hàm TC=TC(Q) nếu tính theo các yếu
tố sản xuất thì:
TC=WKK+WLL+C0
trong đó WK là giá thuế một đơn vị vốn, WL là giá thuế
đơn vị lao động, C0 là chi phí cố định.
Hàm tổng doanh thu là hàm TR=PQ=PQ(K,L) trong đó P là
giá thị trường của sản phẩm.
Hàm tổng lợi nhuận là hàm TT=TR-TC
HÀM LỢI ÍCH
Người ta dùng biến lợi ích u để biểu diễn mức độ ưa
thích của người tiêu dùng đối với mỗi tổ hợp hàng hóa
trong cơ cấu tiêu dùng. Mỗi tổ hợp hàng hóa gọi là một
giỏ hàng. Giả sử cơ cấu của người tiêu dùng có 3 mặt
hàng thì mỗi giỏ hàng là một bộ ba số thực (x,y,z). Hàm
lợi ích cho tương ứng mỗi giỏ hàng với một giá trị duy
nhất u=u(x,y,z)
HÀM CUNG, HÀM CẦU
Giả sử thị trường có n loại hàng hóa với giá trị tương ứng
là P1, P2,,Pn. Khi đó
Hàm cung:
Hàm cầu:
1 2( , , , )iS i nQ S P P P 
1 2( , , , )iD i nQ D P P P 
ĐẠO HÀM RIÊNG VÀ GIÁ TRỊ CẬN BIÊN
Xét mô hình hàm kinh tế:
trong đó xi là các biến số kinh tế. 
Đạo hàm riêng của hàm w theo biến xi tại điểm M được
gọi là giá trị w – cận biên theo xi tại điểm đó.
Ý nghĩa: biểu diễn lượng thay đổi giá trị của biến w khi 
giá trị xi thay đổi 1 đơn vị trong điều kiện giá trị các biến
độc lập còn lại không thay đổi.
 1 2, ,..., nw f x x x 
GIÁ TRỊ CẬN BIÊN_HÀM SX
Xét hàm sản xuất: Q=f(K;L)
Các đạo hàm riêng:
được gọi tương ứng là hàm sản phẩm cận biên của tư
bản (MPK) và hàm sản phẩm cận biên của lao động (MPL) 
tại điểm (K, L)
' ( , ); ' ( , )K L
f f
Q K L Q K L
K L
 
 
GIÁ TRỊ CẬN BIÊN_HÀM SX
Đạo hàm riêng:
Biểu diễn xấp xỉ lượng sản phẩm hiện vật gia tăng khi sử
dụng thêm một đơn vị tư bản và giữ nguyên mức sử
dụng lao động.
Đạo hàm riêng:
Biểu diễn xấp xỉ lượng sản phẩm hiện vật gia tăng khi sử
dụng thêm một đơn vị lao động và giữ nguyên mức sử
dụng tư bản.
' ( , )K
f
Q K L
K


' ( , )L
f
Q K L
L


VÍ DỤ 21.
Giả sử hàm sản xuất của một doanh nghiệp là:
trong đó K, L, Q là mức sử dụng tư bản, mức sử dụng lao 
động và sản lượng hàng ngày. Giả sử doanh nghiệp đó
đang sử dụng 16 đơn vị sản phẩm và 81 đơn vị lao động
trong một ngày tức là K=16; L=81. Xác định sản lượng cận
biên của tư bản và lao động tại điểm đó và giải thích ý 
nghĩa.
1 3
4 420Q K L 
GIÁ TRỊ CẬN BIÊN_HÀM LỢI ÍCH
Cho hàm lợi ích:
Đạo hàm riêng:
MUi gọi là hàm lợi ích cận biên của hàng hóa thứ i.
Biểu diễn xấp xỉ lợi ích tăng thêm khi người tiêu dùng có
thêm một đơn vị hàng hóa thứ i trong điều kiện số đơn vị
các hàng hóa khác không thay đổi.
1 2( , ,..., )nU U x x x 
( 1, )i
i
U
MU i n
x


VÍ DỤ 22.
Giả sử hàm tiêu dùng hàng ngày của một người tiêu dùng
đối với 2 loại hàng hóa là.
Trong đó x1, x2 là mức sử dụng hàng hóa 1 và hàng hóa 2, U
là lợi ích của người tiêu dùng hàng ngày.
Giả sử người tiêu dùng đang sử dụng 64 đơn vị hàng hóa 1 
và 25 đơn vị hàng hóa 2 trong một ngày. Xác định lợi ích cận
biên của các hàng hóa tại điểm đó và giải thích ý nghĩa.
3 1
2 2
1 22U x x 
HỆ SỐ CO GIÃN RIÊNG
Cho hàm kinh tế w=f(x1,x2,,xn).
Hệ số co giãn của của hàm w theo biến xi tại điểm M là số
đo lượng thay đổi tính bằng phần trăm của w khi xi thay
đổi 1% trong điều kiện giá trị của các biến độc lập khác
không đổi, được ký hiệu và xác định như sau: 
0 0 0 0
1 2 0 0 0
1 20 0 0
1 2
, ,....,
. , ,....,
, ,....,i
nf i
x n
i n
f x x x x
voi M x x x
x f x x x



VÍ DỤ 23.
Giả sử hàm cầu của hàng hóa 1 trên thị trường hai
hàng hóa có liên quan có dạng:
p1, p2: giá của hàng hóa 1, 2. 
a) Xác định hệ số co giãn của cầu theo giá p1 đối với
giá của hàng hóa đó tại (p1,p2)
b) Xác định hệ số co giãn của cầu theo giá p2 đối với
giá của hàng hóa thứ hai tại (p1,p2)
c) Xác định hệ số co giãn của cầu theo giá (p1,p2), và
cho biết ý nghĩa của tại điểm (20,30).
2 2
1 1 2
5
6300 2
3
dQ p p 
GIẢI
Ta có:
Tại điểm (20,30) ta có:
Điều đó có nghĩa khi hàng hóa 1 đang ở mức giá 20 và hàng
hóa 2 ở mức giá 30 nếu tăng giá hàng hóa 1 lên 1% còn giá
hàng hóa 2 không đổi thì cầu đối với hàng hóa 1 sẽ giảm 0,4%. 
Tương tự, nếu giá của hàng hóa 1 không đổi nhưng giá hàng
hóa 2 tăng thêm 1% thì cầu đối với hàng hóa 1 cũng giảm
0,75%.
1 1
1 2
1 2
1 2
2 2 2 2
1 2 1 2
10
4 . ; .
5 536300 2 6300 2
3 3
d dQ Q
p p
p p
p p
p p p p
  
1 1
1 2
0,4; 0,75d dQ Qp p  
QUY LUẬT LỢI ÍCH CẬN BIÊN GIẢM DẦN
Xét hàm kinh tế hai biến số z=f(x,y)
là hàm cận biên của hàm kinh tế trên
theo biến x.
là hàm cận biên của hàm kinh tế trên
theo biến y.
' ( , )x
z f
z x y
x x
 
 
' ( , )y
z f
z x y
y y
 
 
QUY LUẬT LỢI ÍCH CẬN BIÊN GIẢM DẦN
Trong kinh tế học, quy luật lợi ích cận biên giảm dần nói
rằng
Giá trị z – cận biên của biến x giảm dần khi x tăng và y
không đổi.
Giá trị z – cận biên của biến y giảm dần khi y tăng và x
không đổi
Chú ý: chúng ta xét trong điều kiện giá trị của các biến x, 
y đủ lớn.
QUY LUẬT LỢI ÍCH CẬN BIÊN GIẢM DẦN
Cơ sở toán học:
là hàm số giảm khi
là hàm số giảm khi
2 2
2 2
( , ) 0
z f
x y
x x
 
 
( , )
z f
x y
x x
 
 
( , )
z f
x y
y y
 
 
2 2
2 2
( , ) 0
z f
x y
y y
 
 
VÍ DỤ 24.
Hàm sản xuất của một doanh nghiệp có dạng Cobb –
Douglas như sau:
Tìm điều kiện của α, β để hàm số trên tuân theo quy luật
lợi ích cận biên giảm dần.
( , , 0)Q aK L a   
HÀM THUẦN NHẤT
Hàm số z=f(x,y) được gọi là hàm thuần nhất cấp k nếu với
mọi t>0 ta có:
Ví dụ: hàm Q=a.Kα.Lβ là hàm thuần nhất cấp (α+β) vì với mọi
t>0 ta có:
( , ) ( , )kf tx ty t f x y 
 ( , ) ( ) ( ) ( , )Q tK tL a tK tL t aK L t Q K L     
VÍ DỤ 25.
Các hàm sau có là hàm thuần nhất không? Tìm cấp tương
ứng.
0,5 0,5
2 2
1 4 4
)
9 9 9
2
)
a Q K K L L
xy
b z
x y
HIỆU QUẢ THEO QUY MÔ SẢN XUẤT
Xét hàm sản xuất Q=f(K;L) 
trong đó K, L là yếu tố đầu vào, Q là yếu tố đầu ra. 
Bài toán đặt ra là: Nếu các yếu tố đầu vào K, L tăng gấp m
lần thì đầu ra Q có tăng gấp m lần hay không ?
Ta tiến hành so sánh:
( , ) ( , )Q mK mL vs mQ K L
HIỆU QUẢ THEO QUY MÔ SẢN XUẤT
Nếu Q(mK; mL)>m.Q(K;L) thì hàm sản xuất có hiệu quả tăng
theo quy mô.
Nếu Q(mK; mL)<m.Q(K;L) thì hàm sản xuất có hiệu quả giảm
theo quy mô.
Nếu Q(mK; mL)=m.Q(K;L) thì hàm sản xuất có hiệu quả không
đổi theo quy mô.
HIỆU QUẢ CỦA QUY MÔ VỚI BẬC THUẦN NHẤT
Giả sử hàm sản xuất Q=f(K;L) là hàm thuần nhất cấp k.
+ Nếu k>1 thì hàm sản xuất có hiệu quả tăng theo quy
mô.
+ Nếu k<1 thì hàm sản xuất có hiệu quả giảm theo quy
mô.
+ Nếu k=1 thì hàm sản xuất có hiệu quả không đổi theo
quy mô.
VÍ DỤ 26.
Xét vấn đề hiệu quả theo quy mô của các hàm sản xuất
sau:
0,5 0,51 4 4)
9 9 9
)
a Q K K L L
b Q aK L 
CỰC TRỊ HÀM KINH TẾ – VÍ DỤ 27.
Một xí nghiệp sản xuất độc quyền 2 loại sản phẩm. Biết
hàm cầu về 2 loại sản phẩm của xí nghiệp trong một đơn vị
thời gian là:
và hàm tổng chi phí xét trong một đơn vị thời gian là
Tìm mức sản lượng để xí nghiệp có lợi nhuận tối đa.
1 2 1 2
1 2
1230 5 1350 3
,
14 14
P P P P
Q Q
2 2
1 2 1 1 2 2( , )C Q Q Q QQ Q 
VÍ DỤ 27.
Hướng dẫn:
Ta có:
Hàm tổng doanh thu:
1 2
1
1 2 1 1 1 2
1 2 1 2 2 2 1 2
2
1230 5
5 1230 14 360 314
1350 3 3 1350 14 570 5
14
P P
Q
P P Q P Q Q
P P P P Q P Q Q
Q
 1 1 2 2 1 2 1 1 2 2
2 2
1 2 1 2 1 2
360 3 570 5
3 5 2 360 570
TR PQ PQ Q Q Q Q Q Q
TR Q Q QQ Q Q
VÍ DỤ 27.
Hàm tổng chi phí:
Hàm lợi nhuận:
Hệ pt tìm điểm dừng:
2 2
1 1 2 2TC Q QQ Q 
2 2 2 2
1 2 1 2 1 2 1 1 2 2
2 2
1 1 2 2 1 2
3 5 2 360 570
4 3 6 360 570
TR TC Q Q QQ Q Q Q QQ Q
Q QQ Q Q Q
1
2
1 2 1
1 2 2
8 3 360 0 30
3 12 570 0 40
Q
Q
Q Q Q
Q Q Q
VÍ DỤ 27.
Ta có:
Vậy lợi nhuận đạt cực đại tại Q1=30; Q2=40
1 1 1 2 2 2
2
8 3 12
8 0; 8 12 3 87 0
QQ QQ Q Q
A
VÍ DỤ 28.
Cho hàm lợi nhuận của một công ty đối với một sản
phẩm là:
trong đó  là lợi nhuận, R là doanh thu, C là chi phí, L là
lượng lao động, w là tiền lương cho một lao động, K là
tiền vốn, r là lãi suất của tiền vốn, P là đơn giá bán sản
phẩm.
Giả sử Q là hàm sản xuất Cobb – Douglas dạng:
Ta tìm L, K để lợi nhuận đạt tối đa cho trường hợp w = 1, 
r = 0,02, P = 3. 
wR C PQ L rK 
1/3 1/3.Q L K 
VÍ DỤ 29.
Cho biết hàm lợi nhuận của một doanh nghiệp sản xuất 3 
loại sản phẩm là:
Hãy tìm mức sản lượng Q1, Q2, Q3 để doanh nghiệp thu
được lợi nhuận tối đa.
Đáp số: Q1=400; Q2=50; Q3 =200
2 2 2
1 2 3 2 3 1 33 7 300 1200 4 20Q Q Q Q Q QQ 
VÍ DỤ 30.
Một hãng độc quyền sản xuất 2 loại sản phẩm. Cho biết hàm
cầu đối với hai loại sản phẩm đó như sau:
Với hàm chi phí kết hợp là:
Hãy cho biết mức sản lượng Q1, Q2 và giá bán tương ứng để
doanh nghiệp đó thu lợi nhuận tối đa.
1 1 2 21300 675 0,5Q p Q p 
2 2
1 1 2 23C Q QQ Q 
ĐÁP ÁN
Ta có:
1 1
2 2
250; 1050
100; 1150
Q p
Q p
VÍ DỤ 31.
Một công ty độc quyền sản xuất một loại sản phẩm ở hai cơ sở
với hàm chi phí tương ứng là:
Q1, Q2 lần lượt là lượng sản xuất của cơ sở 1,2.
Hàm cầu ngược về sản phẩm của công ty có dạng: 
A) Xác định lượng sản phẩm cần sx ở mỗi cơ sở đề tối đa hóa
lợi nhuận.
B) Tại mức sản lượng tối đa hóa lợi nhuận, hãy tính độ co giãn
của cầu theo giá.
2 2
1 1 2 2128 0,2 ; 156 0,1TC Q TC Q 
1 2600 0,1 ; trong do 600P Q Q Q Q 
ĐÁP ÁN
A) Q1=600; Q2=1200
B) Hệ số co giãn của cầu theo giá: -13/6
VÍ DỤ 32.
Một doanh nghiệp có hàm sản xuất:
Giả sử giá thuê một đơn vị vốn là 6$, giá thuê một đơn vị
lao động là 4$. Giá bán một sản phẩm là 2$.
Tìm mức sử dụng vốn và lao động để lợi nhuận của
doanh nghiệp tối đa.
Đáp số: K=1/36; L=1/16
 0,5 0,5 0; 0Q K L K L 
VÍ DỤ 33.
Cho hàm lợi ích tiêu dùng đối với 2 loại hàng hóa:
(x là số đơn vị hàng hóa 1, y là số đơn vị hàng hóa 2; x>0, 
y>0). 
Giả sử giá các mặt hàng tương ứng là 2USD, 3USD và thu
nhập dành cho người tiêu dùng là 130USD. Hãy xác định
lượng cầu đối với mỗi mặt hàng để người tiêu dùng thu
được lợi ích tối đa.
 0,4 0,6, .U x y x y 
VÍ DỤ 34.
Một trung tâm thương mại có doanh thu phụ thuộc vào thời lượng
quảng cáo trên đài phát thanh (x phút) và trên đài truyền hình (y
phút). Hàm doanh thu:
Chi phí cho mỗi phút quảng cáo trên đài phát thanh là 1 triệu
đồng, trên đài truyền hình là 4 triệu đồng. Ngân sách chi cho
quảng cáo là B=180 triệu đồng.
a) Tìm x, y để cực đại doanh thu.
b) Nếu ngân sách chi cho quảng cáo tăng 1 triệu đồng thì doanh
thu cực đại tăng lên bao nhiêu ?
 2 2, 320 2 3 5 540 2000R x y x x xy y y 
VÍ DỤ 35.
Một doanh nghiệp có hàm sản xuất Q=40K0,75L0,25 trong
đó Q_sản lượng; K_vốn; L_lao động. Doanh nghiệp thuê
một đơn vị vốn là 3$; một đơn vị lao động là 1$. Ngân
sách chi cho yếu tố đầu vào là B=160$.
A) Với hàm sản xuất trên khi tăng quy mô sản xuất thì
hiệu quả thay đổi như thế nào? Nếu K tăng lên 1%; L tăng
lên 3% thì sản lượng tăng lên bao nhiêu % tại mỗi mức
(K,L)?
VÍ DỤ 35.
B) Xác định mức sử dụng vốn và lao động để sản lượng
tối đa. Nếu tăng ngân sách chi cho yếu tố đầu vào 1$ thì
sản lượng tối đa tăng lên bao nhiêu đơn vị?
C) Hàm số trên có tuân theo quy luật lợi ích cận biên
giảm dần hay không?
D) Xác định hàm sản lượng cận biên theo vốn, theo lao
động?
ĐÁP ÁN
A) Hiệu quả không đổi
Sản lượng tăng 1,5%
B) K=L=40; Qmax=1600
Tăng yếu tố đầu vào thì Qmax tăng khoảng 10 đơn vị
C) Q tuân theo quy luật lợi ích cận biên giảm dần
VÍ DỤ 36.
Một doanh nghiệp có hàm sản xuất Q=K0,4L0,3 (Q: sản lượng, K: 
vốn và L: lao động)
A) Hãy đánh giá hiệu quả của việc tăng quy mô sản xuất.
B) Giả sử thuê tư bản là 4$, giá thuê lai động là 3$ và doanh
nghiệp tiến hành sản xuất với ngân sách cố định là 1050$. Hãy
cho biết doanh nghiệp đó sử dụng bao nhiêu đơn vị tư bản và
bao nhiêu đơn vị lao động thì thu được sản lượng tối đa.
Đáp án
A) Hiệu quả theo quy mô
B) Q(150;150) là lớn nhất.