Bài giảng Toán tài chính - Chương 2: Đạo hàm và ứng dụng

ĐẠO HÀM VÀ 
ỨNG DỤNG
CHƯƠNG
2
CHƯƠNG 2: ĐẠO HÀM VÀ ỨNG DỤNG
2.1 Hệ số góc của đường cong và đạo hàm
2.2 Ứng dụng của đạo hàm, hàm cận biên, hàm bình quân
2.3 Tối ưu hàm một biến, các điểm cực trị
2.4 Ứng dụng kinh tế
2.5 Độ cong và ứng dụng
2.6 Hệ số co dãn
HỆ SỐ GÓC ĐƯỜNG THẲNG
Phương trình tổng quát:
Dạng đặc biệt:
Với a, b là???
Ax By C 
y ax b 
2 1
2 1
tan
y y y
a
x x x
Gọi a là hệ số góc của đường thẳng D
NHẬN XÉT
• Ý nghĩa của hệ số góc: khi x thay đổi một đơn vị thì y 
thay đổi a đơn vị.
• Đường thẳng D như thế nào nếu:
• a>0
• a<0
• a=0
• a=∞
HỆ SỐ GÓC CỦA ĐƯỜNG CONG
Tiếp tuyến và cát tuyến của đường tròn
Nếu điểm Q trong hình trên di chuyển càng gần điểm P 
thì góc tạo bởi đường thẳng PQ và tiếp tuyến tại điểm P 
càng nhỏ. 
HỆ SỐ GÓC ĐƯỜNG CONG
Hệ số góc cát tuyến
2 1
2 1
f a h f ay y
k
x x a h a
f a h f a
k
h
VÍ DỤ 1
Cho hàm số y=x2
a) Tìm hệ số góc của cát tuyến với a=1 và h=2 và 1. Vẽ đồ
thị f(x) và hai cát tuyến trên.
b) Tìm và biểu diễn hệ số góc của cát tuyến với a=1 và h 
khác 0 bất kỳ.
c) Tìm giới hạn của biểu thức trong câu b và giải thích ý 
nghĩa.
HỆ SỐ GÓC ĐƯỜNG CONG
Đồ thị hàm số và 2 cát tuyến Đồ thị hàm số và tiếp tuyến tại x=1
HỆ SỐ GÓC CỦA ĐƯỜNG CONG
Định nghĩa. Cho hàm số y=f(x), hệ số góc của đồ thị hàm
số tại điểm (a, f(a)) được xác định bởi:
(nếu giới hạn này tồn tại)
Khi đó, đường tiếp tuyến của đồ thị hàm số chỉnh là
đường thẳng đi qua điểm (a, f(a)) với hệ số góc cho bởi
công thức trên.
0
lim
h
f a h f a
h 
ĐẠO HÀM TẠI MỘT ĐIỂM
Định nghĩa: Cho hàm số y=f(x), đạo hàm của hàm số
tại x định nghĩa như sau:
(nếu giới hạn này tồn tại hữu hạn).
Nếu hàm số có đạo hàm tại mọi điểm thuộc (a,b) thì
ta nói hàm số khả vi trên (a,b)
Nếu giới hạn không tồn tại thì hàm số không có đạo
hàm hay không khả vi.
( )
( ) ( )
0
' lim
h
f x h f x
f x
h®
+ -
=
VÍ DỤ 2
Tìm đạo hàm của hàm:
tại x=2 theo định nghĩa.
Ta xét giới hạn sau:
Vậy:
( ) 2 8 9f x x x= - +
( ) ( )
2
2
0 0
2 8 2 9 3 4
lim lim 4
h h
h h h h
h h® ®
+ - + + + -
= = -
( )' 2 4f = -
( ) ( )
0
2 2
lim
h
f h f
h®
+ -
VÍ DỤ 3.
Tổng doanh thu của một công ty (đơn vị triệu $) trong t 
tháng được cho bởi công thức sau:
a) Cho biết ý nghĩa của S(25) và S’(25)
b) Sử dụng kết quả câu a để ước lượng tổng doanh thu
sau 26 tháng; sau 27 tháng.
 2S t t 
VÍ DỤ 4.
Một hãng sản xuất vải với chiều rộng mỗi cây vải là cố
định. Chi phí sản xuất x (mét) vải là:
A) Cho biết ý nghĩa và đơn vị của f’(x)
B) Trong thực tế, khi nói f’(1000)=9 ta biết điều gì?
 $C f x 
VÍ DỤ 5.
Gọi D(t) là nợ quốc gia của Mỹ tại thời điểm t. Bảng dưới
đây cho ta con số xấp xỉ giá trị của hàm này vào cuối mỗi
năm theo đơn vị triệu $ kể từ năm 1980 đến năm 2000. 
Giải thích và ước lượng giá trị của D’(1990)
T 1980 1985 1990 1995 2000
D(t) 930,2 1945,9 3233,3 4974,0 5674,2
ĐẠO HÀM PHẢI – TRÁI
Đạo hàm trái của f(x) tại a là:
Đạo hàm phải của f(x) tại a là:
( )
( ) ( ) ( ) ( )
0
' lim lim
x a h
f x f a f a h f a
f a
x a h- -
-
® ®
- + -
= =
-
( )
( ) ( ) ( ) ( )
0
' lim lim
x a h
f x f a f a h f a
f a
x a h+ +
+
® ®
- + -
= =
-
ĐỊNH LÝ
Định lý: Hàm số f(x) có đạo hàm tại điểm a khi và chỉ
khi nó có đạo hàm trái; đạo hàm phải tại a và hai đạo
hàm này bằng nhau.
Định lý: Nếu hàm số f(x) có đạo hàm tại a thì hàm số
liên tục tại a. Chiều ngược lại có thể không đúng.
( ) ( ) ( )' ' 'f a L f a f a L- += Û = =
( ) ( ) ( )' lim
x a
f a L f x f a
®
= Û =
VÍ DỤ 6
Cho hàm số:
Tìm
Ta có:
Vậy không tồn tại đạo hàm của hàm số tại 0.
( )
1/ , 0
0 , 0
xe x
f x
x
ìï ¹ï= í
ï =ïïî
( ) ( )' 0 ; ' 0f f- +
( )
( ) ( )
( )
( ) ( )
1/
1/
0 0
0 0
0 0 0
' 0 lim lim lim 0
0 0 0
' 0 lim lim
h
u
h
uh h
h h
f h f e u
f
h h e
f h f e
f
h h
- -
+ +
-
+
® + ¥® ®
® ®
+ - - -
= = = =
+ - -
= = = + ¥
HÀM SỐ ĐẠO HÀM
Với a cố định ta có:
Thay a bằng x ta có:
Với mỗi giá trị khác nhau của x ta tính được f’(x) nếu giới
hạn tồn tại hữu hạn. Như vậy giá trị của f’(x) phụ thuộc
vào biến độc lập x nên có thể xem f’ là một hàm theo x và
gọi là đạo hàm của hàm f.
( )
( ) ( )
0
' lim
h
f a h f a
f a
h®
+ -
=
( )
( ) ( )
0
' lim
h
f x h f x
f x
h®
+ -
=
HÀM SỐ ĐẠO HÀM
Hàm số đạo hàm của hàm y=f(x).
Ký hiệu:
Tập xác định của hàm f’ là tập các giá trị của x sao cho f’(x) 
tồn tại. Nó có thể nhỏ hơn TXĐ của hàm số f(x).
( )'; '; ; ;df dy df y f x
dx dx dx
VÍ DỤ 7
Tìm hàm số đạo hàm của hàm y=x2.
Ta có:
Giới hạn này tồn tại hữu hạn với mọi x thuộc TXĐ.
Vậy đạo hàm của hàm số:
( ) ( ) ( )
2
2
0 0
lim lim 2
h h
f x h f x x h x
x
h h® ®
+ - + -
= =
' 2y x=
VÍ DỤ 8
Tìm đạo hàm của hàm:
Ta có:
Vậy:
Chú ý: tập xác định của hàm f(x) là: [0; )
( )
( ) ( )
0 0
1
' lim lim
2h h
f x h f x x h x
f x
h h x® ®
+ - + -
= = =
( ) ( )1' . D : 0;
2
f x T X
x
= + ¥
( )f x x=
QUI TẮC TÍNH ĐẠO HÀM 1
Cho u, v là hai hàm theo x. Khi đó đạo hàm theo x của
các hàm sau là:
Đạo hàm dạng:uv
Cách tính: lấy logarit Nêpe hai vế hàm số:
( ) ( )
( ) 2
. ' ' ' . ' . '
' . . '
. . ' ' . . ' .
i u v u v ii ku k u
u u v u v
iii u v u v u v iv
v v
± = ± =
¢æ ö -÷ç ÷= + =ç ÷ç ÷çè ø
( ) '' . ln .v v uu u v u v
u
é ù¢ ê ú= +
ê ú
ë û
vy u=
QUI TẮC TÍNH ĐẠO HÀM 2
Đạo hàm của hàm hợp:
Ví dụ: Hàm là hàm hợp của 2 hàm:
Vậy: 
( )0 .x g xy f g x y f g¢ ¢ ¢= Þ =
( )ln cosy x=
( ) ( ) ( ) ( )ln ; cosf x x g x x= =
( )1. . sin t an
cosx g x
y f g x x
x
¢ ¢ ¢= = - = -
CÔNG THỨC TÍNH ĐẠO HÀM 1
( )
( )
( )
( )
( )
( )
( )
1
2
2
1. 0 2. .
3.
1
4. ln
5. sin cos
6. cos sin
1
7. t an
cos
1
8. cot
sin
x x
C x x
e e
x
x
x x
x x
x
x
x
x
a aa -
¢¢= =
-
-
¢
=
¢
=
¢
=
¢ =
¢
=
¢
=
Đạo hàm hàm hợp
( )
( )
( )
( )
( )
( )
2
2
3. . '
1
4. ln . '
5. sin ' . cos
6. cos sin
1
7. t an . '
cos
1
8. cot . '
s
' .
in
u ue e u
u u
u
u u u
u u
u u
u
u
u
u
u
¢
=
¢ =
¢
=
¢
-
¢
=
¢
=
-=
CÔNG THỨC TÍNH ĐẠO HÀM 2
( )
( )
( )
( )
( )
( )
2
2
2
2
9. . ln
1
10. log
. ln
1
11. a rcsin
1
1
12. a rccos
1
1
13. a rct an
1
1
14. a rc cot
1
x x
a
a a a
x
x a
x
x
x
x
x
x
x
x
¢
=
¢
=
¢
=
-
¢
=
-
¢
=
+
¢ -
=
+
-
Đạo hàm hàm hợp
( )
( )
( )
( )
( )
( )
9.
10. log
11. arcsin
12. arccos
13. arctan
14. arc cot
u
a
a
u
u
u
u
u
¢
=
¢
=
¢=
¢
=
¢=
¢
=
VÍ DỤ 9
Tìm f’(x) biết:
Ta có:
( ) 3ln
1 cos
xe
f x
x
=
+
( )1 ln 1 cos
3
1 sin 1 sin
' 1 1
3 1 cos 3 1 cos
y x x
x x
y
x x
é ù= - +ê úë û
é ù æ ö- ÷çê ú ÷= - = +ç ÷çê ú ÷ç+ +è øë û
VÍ DỤ 10
Tìm f’(x) biết:
Ta có:
Vậy:
( )
2
3 4 7
1
. sin
x
f x y
x x
+
= =
( ) ( )2
2
4
ln ln 1 ln 7 ln sin
3
' 2 4 7 cos
3 sin1
y x x x
y x x
y x xx
= + - -
= - -
+
2
23 4 7
2 4 7 cos
' .
1
. si sn 3 in1
x
x
x
y
x xxx
xæ ö÷ç ÷= - -ç ÷ççè ø
+
÷+
ĐẠO HÀM CỦA HÀM SỐ CHO BỞI THAM SỐ
Hàm số y=f(x) thỏa điều kiện:
Khi đó hàm số đã cho gọi là hàm cho bởi phương trình
tham số.
Ví dụ: Cho hàm có thể tham số hóa như sau
Đặt: ta có dạng tham số sau:
( )
( )
x x t
y y t
ìï =ïïí
ï =ïïî
ln x
y
x
=
tx e=
t
t
x e
t
y
e
ìï =ïïïí
ï =ïïïî
CÔNG THỨC ĐẠO HÀM THAM SỐ
Cho hàm y=f(x) dạng tham số:
Khi đó:
Ví dụ:
( )
( )
x x t
y y t
ìï =ïïí
ï =ïïî
/
/
t
x
t
ydy dy dt
y
dx dx dt x
¢
¢ = = =
¢
2 2
1
1
1 1 ln
t
t
t t
t
x t t
x e
t
y
e
t
t xey
e e x
ìï ¢=ïïïí -ï ¢=ïïïî
-
- -
¢Þ = = =
ln
t
t
x e
x
y t
x y
e
ìï =ïïï= Û í
ï =ïïïî
ĐẠO HÀM CỦA HÀM NGƯỢC
Hàm số có hàm ngược là:
Khi đó:
Ví dụ: Hàm y=arctanx có hàm ngược x=tany
( )1x f y-=
1 1
y x
x y
x y
y x
¢ ¢= =
¢ ¢
2 2
1 1 1
1 t an 1x y
y
x y x
¢ = = =
¢ + +
( )y f x=
ĐẠO HÀM CỦA HÀM NGƯỢC
Ví dụ: Hàm y=arcsinx có hàm ngược x=siny
Ví dụ: Hàm y=arccosx có hàm ngược x=cosy
2 2
1 1 1 1
cos 1 sin 1
2 2
x
y
y
x y y x
do y
p p
¢ = = = =
¢ - -
æ ö÷ç ÷- £ £ç ÷ç ÷çè ø
( )
2 2
1 1 1 1
sin 1 cos 1
0
x
y
y
x y y x
do y p
- -
¢ = = = =
¢ - - -
£ £
ĐẠO HÀM CỦA HÀM ẨN
Hàm y=f(x) với x (a;b) là hàm ẩn cho bởi phương
trình F(x,y)=0 nếu thay y=f(x) vào ta được đẳng thức
đúng. 
Nghĩa là: F(x, f(x))=0 với x (a;b).
Ví dụ: Phương trình:
xác định hai hàm ẩn:
( ) 2 2, 1F x y x y= + =
2
1
1 , 1;1y x x é ù= - Î -ê úë û
2
2
1 , 1;1y x x é ù= - - Î -ê úë û
ĐẠO HÀM HÀM ẨN
Cho phương trình: F(x;y)=0
Để tính: y’x
B1. Lấy đạo hàm hai vế phương trình theo x. Chú ý y là hàm
theo x.
B2. Giải phương trình tìm y’.
B3. Để tính y’(a) ta thay x=a vào phương trình.
Ví dụ: Cho phương trình:
Tính đạo hàm của y theo x.
3 2ln 0yx y x e+ - =
ĐẠO HÀM HÀM ẨN
B1. Lấy đạo hàm theo x
B2. Giải tìm y’
( )3 2ln 0y
x
x y x e
¢
+ - =
( ) ( )
( ) ( )
( )
( )
2 2
2 2
2
2
* 3 2 . . 0
3 2 . 1 0
3 2 .
'
'
'
1
'y y
y y
y
y
x y xy e x ye
x y xy e x
y y
ye
x y xy e
y
x ye
y
Û + - + =
Û - + - =
-
Û =
-
( ) ( )2 2'3 . . 0 *'2 .y yx x e xy ye
y
Û + - + =
ĐẠO HÀM HÀM ẨN
B3. Tính y’(0).
Ta có:
Thay x=0 và y(0)=1 vào ta có:
( )
3 2ln 0
0 ln 0 1 0
yx y x e
x y y y
+ - =
= Þ = Û = =
( )
( )
2
2
3 2 .
'
1
y
y
x y xy e
y
x ye
-
=
-
( )
( )
( )
1
1
1 10 03. . 2. . .
' 0 0
. 10.1
e
y
e
-
= =
-
ĐẠO HÀM CẤP CAO
Cho f là hàm khả vi. Đạo hàm (nếu có) của f’ gọi là đạo hàm
cấp 2 của hàm số f(x).
Ký hiệu:
Đạo hàm cấp 3 của hàm f là đạo hàm của đạo hàm cấp 2.
( )
2
2
d df d f
f f
dx dx dx
æ ö¢ ÷碢 ¢ ÷= = =ç ÷ç ÷çè ø
( )
2 3
2 3
d d f d f
f f
dx dx dx
æ ö¢ ÷ç ÷¢¢ ¢¢= = =ç ÷ç ÷çè ø
ĐẠO HÀM CẤP CAO
Đạo hàm cấp n của hàm f là đạo hàm của đạo hàm cấp (n-1).
Ví dụ: Cho hàm:
Tìm đạo hàm cấp n của hàm số.
Giải:
( ) ( )( )
1
1
1
n n
n n
n n
d d f d f
f f
dx dx dx
-
-
-
æ ö¢ ÷ç ÷= = =ç ÷ç ÷çè ø
( ) . xf x x e=
( ) ( ) ( ) ( ). . . 1x x x x xf x x e x e e x e x e¢¢¢ = + = + = +
ĐẠO HÀM CẤP CAO
Ta có:
Tương tự:
Tổng quát:
( ) ( ) ( ) ( )1 1 2x x x xf x x e e x e x e¢é ù¢¢ = + = + + = +ê úë û
( ) ( ) ( )( ) ( )43 ; 4x xf x x e f x x e¢¢¢ = + = +
( )( ) ( )n xf x x n e= +
ĐẠO HÀM CẤP CAO THƯỜNG GẶP
( )
( )
( ) ( )( )
( )
( )
( )
( )
( )
( )
( )
( )
( )
( )
( )
( )
( )
1
1
) 1 ... 1
1 1
) 1 !
) .
1 !
) ln 1
) sin . sin
2
) cos . cos
2
n
n
n
n
n
n
ax n ax
n n
n
n
n
n
n
i x a n x a
ii n
x a x a
iii e a e
n
iv x
x
v ax a ax n
vi ax a ax n
a a
a a a
p
p
-
+
-
é ù
+ = - - + +ê ú
ê úë û
æ ö÷ç ÷ = -ç ÷ç ÷ç +è ø +
=
-
= -
æ ö÷ç ÷= +ç ÷ç ÷çè ø
æ ö÷ç ÷= +ç ÷ç ÷çè ø
CHÚ Ý
( )
( )
( ) ( )( )
( )( )
( )
( )
( )
( )
( )( )
( )
( )( )
( )
1
) 1 ... 1 .
1 !
) ln 1 .
) sin . sin
2
) cos . cos
2
n
n
n
n n
n
n
n
n
n
n
i ax b n ax b
n
iv ax b
ax b
v ax b a ax b n
vi ax b a ax b n
a
a
a a
a a a
p
p
-
-
é ù
+ = - - + +ê ú
ê úë û
-
+ = -
+
æ ö÷ç ÷+ = + +ç ÷ç ÷çè ø
æ ö÷ç ÷+ = + +ç ÷ç ÷çè ø
VÍ DỤ 12
Tính đạo hàm cấp n của:
( )
( )
( ) 2
1 1
) )
3 21
a f x b g x
x xx x
= =
- +-
ĐẠO HÀM CẤP CAO HÀM ẨN
Biết: . CM:
Đạo hàm 2 vế theo x:
Do đó:
Thay y’ vào:
4 4 16x y+ =
2
7
48x
y
y
¢¢= -
3
3 3
3
4 4 . ' 0 '
x
x y y y
y
+ = Þ = -
( )23 2 3 3 2
3 6 4
3 '3 3 . ' x xy yx x y x y y
y
y y y
¢æ ö --÷ç ÷¢¢= - = - =ç ÷ç ÷çè ø
( )
3
2
2 4 4
2
4 7 7
3
3
3 48
x x y
x x y x
y y
x
y
y
y
æ ö÷ç ÷-ç ÷ç - +÷ç -è ø
¢ = =
-
¢=
CÔNG THỨC LEIBNITZ
Dễ thấy:
Mở rộng:
( )
( ) ( )
. . .
. . . . 2 .
f g f g g f
f g f g g f f g f g f g
¢ ¢ ¢= +
¢¢ ¢¢ ¢ ¢¢ ¢ ¢ ¢¢= + = + +
( )
( ) ( ) ( )
0
. .
nn k n kk
n
k
f g C f g
-
=
= å
Gần giống khai triển nhị thức Newton
VÍ DỤ 13
Tính đạo hàm:
( )
( ) ( ) ( ) ( ) ( )
( )
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
3 3 2 2 3
3 4 3 2 2 3 4
. 3 . 3 .
. 4 . 6 . 4 .
f g f g f g f g g f
f g f g f g f g f g g f
¢ ¢= + + +
¢ ¢= + + + +
( ) ( ) ( )( )102 1 sin ???f x x x f x= + =
VI PHÂN
Vi phân tại một điểm
Vi phân trên một khoảng
Ứng dụng vi phân tính gần đúng
SỐ GIA
Cho hàm số y=f(x), ta nghiên cứu sự thay đổi của y khi x 
thay đổi một lượng rất nhỏ
 Sự biến thiên của x gọi là số gia của x, ký hiệu ∆x
 Sự biến thiên của y gọi là số gia của y, ký hiệu ∆y
Ví dụ. Cho hàm số y=x3
Khi x thay đổi từ 2 lên 2,1 thì y thay đổi từ 8 lên 9,621
Ta có:
 3 22,1 2 0,1 2,1 2 2,1 2 1,261x y f f 
SỐ GIA
Định nghĩa. Cho y f x và 2 1x x x ta có: 2 1 1 1y y y f x x f x 
 y biểu thị sự biến thiên của y tương ứng với sự biến thiên x của biến x. 
 Số gia x có thể âm hoặc dương 
 y phụ thuộc vào hàm số f, giá trị 1x và số gia x 
SỐ GIA VÀ ĐẠO HÀM
Chú ý. Trong công thức tính đạo hàm của hàm số y=f(x) 
tại điểm x ta có:
Nếu giới hạn tồn tại, tức hàm số có đạo hàm thì với sự
biến đổi rất nhỏ của x ta có:
0 0 0
' lim lim lim
h x x
f x h f x f x x f x y
f x
h x x 
0
' lim
x
y y
f x
x x 
VI PHÂN
Như vậy nếu ∆x≠0 và rất nhỏ thì:
Nên ta có:
Ta có thể xấp xỉ độ biến thiên của y bằng biểu thức VP.
Biểu thức này được đặt tên là vi phân, ký hiệu dy hay df.
 ' .y f x x 
0
' lim
x
y y
f x
x x 
 ' .dy f x x 
ĐỊNH NGHĨA VI PHÂN
Định nghĩa vi phân. Cho hàm số khả vi y f x khi này vi phân của hàm số, ký hiệu 
dy hay df xác định bởi: 
 ' . ' .dy f x dx hay df f x dx trong đó dx x . 
Chú ý. Vi phân dy hay df là một hàm số bao gồm 2 biến độc lập đó là x và dx 
Xấp xỉ bằng vi phân.
y dy 
VÍ DỤ 14
Ví dụ. Xét hàm số 26y f x x x 
Khi x=2 ta có: 
2
2 2 2 ; ' 2 6 2.2 2y f x f x x dy f dx x x 
Bảng so sánh vi phân và số gia tại x=2 
x y dy 
0,1 0,19 0,2 
0,2 0,36 0,4 
0,3 0,51 0,6 
Điều này cho thấy khi số gia của x càng nhỏ thì sự khác biệt giữa số gia và vi phân của y 
càng nhỏ. Ta có thể sử dụng vi phân để xấp xỉ cho số gia của y. 
VÍ DỤ 15
Ví dụ. Một công ty sản xuất và bán x sản phẩm một tuần. Giả sử chi phí và doanh thu 
hàng tuần của công ty là: 
2
5000 2 10 0 8000
1000
x
C x x R x x x 
Hãy sử dụng vi phân để xấp xỉ cho sự biến thiên của doanh thu và lợi nhuận khi sản 
lượng tăng từ 2000 lên 2010 sản phẩm một tuần. 
ỨNG DỤNG VI PHÂN
0
y
0
x
0
x x+ D
( )0f x
( )0f x x+ D
xD
( ) ( )0 0f x x f x+ D -
fD
( )0' .f x xD
( )0' . 0f f x x khi xD » D D ®
ỨNG DỤNG VI PHÂN TÍNH GẦN ĐÚNG
Cho hàm f(x) khả vi trong lân cận của x0. Ta có:
Hay công thức:
( ) ( ) ( )0 0 0' .f x x f x f x x+ D » + D
( ) ( ) ( ) ( )0 0 0' .f x f x f x x x» + -
VÍ DỤ 16
Cho hàm số:
a) Tính vi phân cấp 1 của hàm số tại x0=1
b) Tính gần đúng:
Giải: 
( ) 3f x x= +
4, 03
( ) ( )1 1
2 3 2 3
f x df x dx
x x
¢ = Þ =
+ +
( ) ( )1 1 11 1
4 42 1 3
df dx dx x= = = -
+
VÍ DỤ 17
Cho hàm số:
a) Tính vi phân cấp 1 của hàm số tại x0=1
b) Tính gần đúng:
Giải: 
Nếu tính bằng máy tính:
( ) 3f x x= +
4, 03
( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( )
1
1 1
4
1 0, 03
4, 03 1, 03 1 1, 03 1 2 2, 0075
4 4
f x f x
f f
» + -
= » + - = + =
4, 03 2, 00748599..=
CÁC ĐỊNH LÝ HÀM KHẢ VI
Định lý về giá trị trung bình (tham khảo)
Công thức Taylor
Qui tắc L’ Hospitale
ĐỊNH LÝ FERMAT
Cho hàm số y=f(x) xác định trong lân cận x0.
Nếu f(x) đạt cực đại tại x0 và có đạo hàm tại x0 thì:
( )0' 0f x =
ĐỊNH LÝ ROLLE
Nếu hàm f(x) liên tục trên [a,b], khả vi trên (a,b) và
f(a)=f(b) thị tồn tại điểm c thuộc (a,b) sao cho f’(c)=0
Đặc biệt nếu f(a)=f(b)=0 thì định lý Rolle có nghĩa giữa hai
nghiệm của hàm số có ít nhất một nghiệm của đạo hàm.
ĐỊNH LÝ LAGRANGE
Nếu f(x) liên tục trên [a,b], khả vi trong (a,b) thì tồn tại c 
thuộc (a,b) sao cho:
( ) ( )
( )'
f b f a
f c
b a
-
=
-
ĐỊNH LÝ CAUCHY
Nếu f(x), g(x) liên tục trên [a,b], khả vi trong (a,b) và g(x) 
khác 0 trên (a,b) thì tồn tại c thuộc (a,b) sao cho:
( ) ( )
( ) ( )
( )
( )
'
'
f b f a f c
g b g a g c
-
=
-
CÔNG THỨC TAYLOR
Khai triển một hàm số phức tạp thành dạng đơn giản
Khai triển hàm phức tạp thành hàm đa thức.
Ví dụ: khai triển Taylor tại x=0
( ) ( )
( )
2 5 2 1
1
2
2 3
arct an ... 1 0
3 5 2 1
1 ... 0
2 ! 3 ! !
n
n
n
n
x n
x x x
x x x
n
x x x
e x x
n
-
-
= - + + + - +
-
= + + + + + +
CÔNG THỨC TAYLOR
Cho hàm số f(x):
Liên tục trên [a,b]
Có đạo hàm đến cấp n+1 trên (a,b)
Xét x0 (a,b). Khi đó trên [a,b] ta có:
( ) ( )
( )
( )
( )
( )
( )( )
( )
( )( )
( )
( )
20 0
0 0 0
1
10
0 0
' "
1 ! 2 !
...
! 1 !
n n
n n
f x f x
f x f x x x x x
f x f c
x x x x
n n
+
+
= + - + -
+ + - + -
+
PHẦN DƯ TRONG CÔNG THỨC TAYLOR
Dạng Lagrange:
Dạng Peano: (thường dùng hơn)
( )( )
( )
( )
1
1
0
1 !
n
n
n
f c
R x x
n
+
+
= -
+
( )0
lim 0n
nx
R
x x
® ¥
=
-
( )00
n
n
R x x= -
CÔNG THỨC MACLAURIN
Cho hàm số f(x):
Liên tục trên [a,b]
Có đạo hàm đến cấp n+1 trên (a,b)
Xét x0=0 (a,b). Khi đó trên [a,b] ta có:
( )
( )
( ) ( ) ( )( )
( )2
' 0 " 0 0
0 ... 0
1 ! 2 ! !
n
n n
f x
f f f
f x x x x
n
=
+ + + + +
CÔNG THỨC L’HOSPITAL
Áp dùng tìm giới hạn dạng:
( )
( )
( )
( )
( )
( )
Ñònh lyù: Cho giôùi haïn: coù daïng
Neáu thì
0
lim ;
0
lim lim
x a
x a x a
f x
g x
f x f x
L L
g x g x
®
® ®
¥
¥
¢
= =
¢
0
;
0
¥
¥
( )
( )
( )
( )
lim lim
x a x a
f x f x
L
g x g x® ®
¢
= =
¢
ỨNG DỤNG HÀM LIÊN TỤC
Định lý Weierstrass
Nếu hàm số f(x) liên tục trên đoạn [a;b] thì nó đạt giá trị 
lớn nhất, giá trị nhỏ nhất trên [a;b], tức là tồn tại x1, x2 
∈ ;  sao cho:
1 2
[ , ][ , ]
( ) max ( ) ( ) min ( )
x a bx a b
f x f x f x f x
ỨNG DỤNG HÀM LIÊN TỤC
Định lý giá trị trung gian
Giả sử hàm số f(x) liên tục trên đoạn [a;b] và f(a)≠f(b). Khi
đó lấy một giá trị c bất kỳ nằm giữa f(a) và f(b) thì tồn tại
x0 ∈ (; )sao
 0f x c 
ỨNG DỤNG HÀM LIÊN TỤC
Hệ quả Định lý giá trị trung gian
Nếu hàm số f(x) liên tục trên đoạn [a;b] và f(a).f(b)<0 thì 
tồn tại x0 ∈ (; ) sao cho f(x0)=0.
Tức là phương trình f(x)=0 có ít nhất một nghiệm thuộc 
(a;b)
ỨNG DỤNG HÀM LIÊN TỤC
Cho mô hình cân bằng thị trường QS=QD. Trong đó:
Chứng minh rằng mô hình trên có giá cân bằng thuộc 
khoảng (3;5)
2 500,1 5 10; .
2
S DQ P P Q
P
ỨNG DỤNG ĐẠO HÀM
1. Ý nghĩa của đạo hàm
2. Giá trị cận biên
3. Hệ số co dãn
4. Lựa chọn tối ưu trong kinh tế
ỨNG DỤNG CỦA ĐẠO HÀM
Phân tích cận biên trong kinh tế và kinh doanh
Trong kinh tế, từ cận biên đề cập đến tốc độ biến thiên, 
nghĩa là đạo hàm. 
Do đó, nếu C(x) là hàm tổng chi phí cho x đơn vị sản
phẩm thì C’(x) chính là chi phí cận biên (chi phí biên) và
thể hiện tốc độ biến thiên tức thời của hàm tổng chi phí
theo số lượng sản phẩm. 
Tương tự ta có các khái niệm như doanh thu cận biên là
đạo hàm của hàm tổng doanh thu và lợi nhuận cận biên
là đạo hàm của hàm tổng lợi nhuận.
CÁC HÀM CẬN BIÊN TRONG KINH TẾ
Định nghĩa. Gọi x là số lượng sản phẩm được sản xuất ra
trong một khoảng thời gian. Khi đó, ta có các hàm kinh tế
sau:
Các hàm cận biên thể hiện tốc độ biến thiên tức thời
theo sản phẩm tại một mức sản xuất cho trước
Hàm kinh tế Hàm cận biên
Tổng chi phí: C(x) Chi phí cận biên: C’(x)
Tổng doanh thu: R(x) Doanh thu cận biên: R’(x)
Tổng lợi nhuận: 
P(x)=R(x)-C(x)
Lợi nhuận cận biên: 
P’(x)=R’(x)-C’(x)
HÀM CHI PHÍ C(X)
- Là tổng chi phí để sản xuất ra x sản phẩm, 
- Không phải là chi phí để sản xuất ra 1 sản phẩm. 
Để tìm chi phí sản xuất ra 1 sản phẩm ta có thể sử dụng 2 
giá trị của hàm chi phí như sau:
Tổng chi phí sản xuất ra (x+1) sản phẩm: C(x+1)
Tổng chi phí sản xuất ra x sản phẩm: C(x)
Chi phí sản xuất ra sản phẩm thứ (x+1): C(x+1) – C(x)
Tương tự cho các hàm còn lại
VÍ DỤ 18. (PHÂN TÍCH CHI PHÍ)
Một công ty sản xuất bình nhiên liệu cho xe hơi. Tổng chi 
phí hàng tuần ($) để sản xuất ra x bình được cho bởi:
a) Tìm hàm chi phí cận biên
b) Tìm chi phí cận biên tại mức sản xuất 500 bình một
tuần và giải thích ý nghĩa
c) Tìm chi phí chính xác để sản xuất ra sản phẩm thứ 501.
 210000 90 0,05C x x x 
HÀM BÌNH QUÂN VÀ HÀM BÌNH QUÂN CẬN BIÊN
Chi phí Doanh thu Lợi nhuận
Tổng
Tổng chi phí Tổng doanh thu Tổng lợi nhuận
Cận biên
Chi phí cận biên Doanh thu cận biên Lợi nhuận cận biên
Bình quân 
(trung 
bình)
Trung 
bình cận 
biên
 TC C x TR R x TP P x 
 'MC C x 'MR R x 'MP P x 
C x
AC C x
x
R x
AR R x
x
P x
AP P x
x
 'MAC C x 'MAR R x 'MAP P x 
VÍ DỤ 19.
Một cửa hàng sản xuất nhỏ sản xuất các mũi khoan được
sử dụng trong ngành công nghiệp dầu khí. Giám đốc ước
tính rằng tổng chi phí hàng ngày ($) để sản xuất x mũi
khoan là:
A) Tìm AC và MAC
B) Tính giá trị AC và MAC tại x=10 và giải thích ý nghĩa
C) Sử dụng kết quả câu b) ước lượng chi phí trung bình
cho mỗi mũi khoan tại mức sản lượng 11 mũi khoan một
ngày.
 21.000 25 0,1C x x x 
GIÁ TRỊ CẬN BIÊN CỦA CHI PHÍ
Cho hàm chi phí C=C(Q)
Hàm cận biên của chi phí: MC(Q)=C’(Q)
Lượng thay đổi của chi phí khi Q tăng lên 1 đơn vị
VÍ DỤ 20
Giả sử chi phí trung bình để sản xuất một sản phẩm là:
A) Xác định hàm tổng chi phí để sản xuất ra Q sản phẩm.
B) Tìm giá trị cận biên của hàm chi phí. Nêu ý nghĩa khi
Q=50.
2 5000, 0001 0, 02 5C Q Q
Q
= - + +
GIẢI
Hàm tổng chi phí để sản xuất Q đơn vị sản phẩm:
Giá trị cận biên của chi phí:
Khi Q=50 thì MC(50)=3,75. Như vậy nếu Q tăng lên 1 đơn vị
(từ 50 lên 51) thì chi phí tăng lên khoảng 3,75 đơn vị
3 2. 0, 0001 0, 02 5 500C Q C Q Q Q= = - + +
20, 0003 0, 04 5
dC
MC Q Q
dQ
= = - +
GIÁ TRỊ CẬN BIÊN CỦA DOANH THU
Cho hàm doanh thu R=R(Q)
Hàm cận biên của doanh thu: MR(Q)=R’(Q)
Lượng thay đổi của doanh thu khi Q tăng lên 1 đơn vị
VÍ DỤ 21
Số vé bán được Q và giá vé p của một hãng xe bus được
cho bởi công thức:
A) Xác định hàm tổng doanh thu
B) Xác định doanh thu cận biên khi p=30 và p=32
10000 125Q p= -
TIÊU DÙNG VÀ TIẾT KIỆM CẬN BIÊN
Cho hàm tiêu dùng C=C(I) trong đó I là tổng thu nhập kinh
tế quốc dân.
Xu hướng tiêu dùng cận biên MC(I) là tốc độ thay đổi của
tiêu dùng theo thu nhập.
Hàm tiết kiệm: S=I-C.
Xu hướng tiết kiệm cận biên: MS(I)=1-MC(I)
VÍ DỤ 22
Cho hàm tiêu dùng là:
Xác định xu hướng tiêu dùng cận biên và xu hướng tiết
kiệm cận biên khi I=100.
( )35 2 3
10
I
C
I
+
=
+
GIẢI
Ta có:
Khi I=100 ta có:
( )
( )
3
2
5 30 3
10
I I
MC I
I
é ù
+ -ê ú
ë û=
+
( ) ( )100 0, 536 100 0, 464MC MS» »
TỐI ƯU HÀM MỘT BIẾN, CÁC ĐIỂM CỰC TRỊ
Khảo sát sự biến thiên của hàm số
Cực trị của hàm số
CỰC TRỊ CỦA HÀM SỐ
(ĐL Fermat) Hàm số chỉ có thể đạt cực trị tại các điểm
dừng hoặc các điểm mà tại đó hàm số liên tục nhưng
không có đạo hàm.
Các điểm mà tại đó đạo hàm triệt tiêu hoặc hàm số liên
tục nhưng không có đạo hàm được gọi là điểm tới hạn
của hàm số. 
Để tìm các điểm cực trị của hàm số trước hết ta tìm các
điểm tới hạn của hàm số dùng điều kiện đủ để kiểm
tra cho từng điểm tới hạn.
ĐIỀU KIỆN ĐỦ
 Định lý. Giả sử 
0x là điểm tới hạn của hàm số ( )f x và ( )f x có đạo hàm 
' ( )f x
mang dấu xác định trong mỗi khoảng 0 0 0 0, và ,x x x x  . Khi đó, 
 Nếu ' ( )f x đổi dấu từ âm sang dương khi x đi qua 0x thì ( )f x đạt cực tiểu tại 0x 
 Nếu ' ( )f x đổi dấu từ dương sang âm khi x đi qua 0x thì ( )f x đạt cực đại tại 0x 
 Nếu ' ( )f x không đổi dấu khi x đi qua 0x thì ( )f x không đạt cực trị tại 0x 
ĐIỀU KIỆN ĐỦ
Định lý. Giả sử hàm số ( )f x khả vi đến cấp n ( 2)n trên ( , )a b và 0x là điểm dừng 
của ( )f x sao cho ' '' ( 1)0 0 0( ) ( ) ..... ( ) 0
nf x f x f x và ( ) 0( ) 0
nf x . Khi đó, 
 Nếu n là số chẵn thì ( )f x đạt cực trị tại 0x , cụ thể 
o ( )f x đạt cực đại tại 0x nếu 
( )
0( ) 0
nf x 
o ( )f x đạt cực tiểu tại 0x nếu 
( )
0( ) 0
nf x 
 Nếu n là số lẻ thì ( )f x không đạt cực trị tại 0x . 
GIÁ TRỊ LỚN NHẤT, GIÁ TRỊ NHỎ NHẤT CỦA
HÀM SỐ TRÊN MỘT ĐOẠN
Giả sử hàm số ( )f x liên tục trên đoạn [ , ]a b , khả vi trên khoảng ( , )a b thì ( )f x đạt 
giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất trên [ , ]a b . Sau đây là quy tắc tìm 
 Tính các giá trị ( ), ( )f a f b 
 Tinh các giá trị của ( )f x tại các điểm tới hạn trong ( , )a b 
 So sánh giá trị của ( )f x tại các điểm tới hạn trong ( , )a b và ( ), ( )f a f b để tìm 
ra giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất. 
VÍ DỤ 23
Ví dụ 13. Cho hàm sản xuất 2 3120 ( 0).Q L L L Hãy xác định mức sản lượng lao động 
để sản lượng tối đa 
Ví dụ 14. Cho hàm sản xuất ngắn hạn 5 3100 ( 0)Q L L và giá của sản phẩm là 
5 ;p USD giá thuê lao động là 3 .Lp USD Hãy tìm mức sử dụng lao động để cho lợi 
nhuận tối đa 
Ví dụ 15. Cho hàm chi phí 3 2130 12 ( 0)TC Q Q Q Q . Hãy xác định mức sản lượng 
Q để chi phí bình quân nhỏ nhất. 
Ví dụ 16. Cho hàm chi phí 3 28 57 2( 0)TC Q Q Q Q và hàm cầu đảo là 
45 0,5p Q . Hãy xác định mức sản lượng Q cho lợi nhuận cực đại. 
ĐỘ THAY ĐỔI TUYỆT ĐỐI VÀ TƯƠNG ĐỐI
Định nghĩa: khi đại lượng x thay đổi một lượng Δx thì ta 
nói:
Δx là độ thay đổi tuyệt đối của x
Tỷ số
∆

. 100% gọi là độ thay đổi tương đối của x
Ví dụ. Chẳng hạn, một căn hộ giá 200 triệu đồng. Nếu
tăng thêm 1 triệu thì độ thay đổi tuyệt đối là 1 triệu, độ
thay đổi tương đối là 0,5%
Không phụ thuộc đơn vị tính và cho thấy ngay tỷ lệ thay
đổi
HỆ SỐ CO DÃN
Hệ số co dãn của y theo x là tỷ số giữa độ thay đổi tương
đối của y và độ thay đổi tương đối của x ( khi x thay đổi
một lượng Δx).
Ký hiệu:
Thể hiện % thay đổi của y khi x thay đổi 1%.
( )
( )
'/
. .
/
y
x
f xy y y x
x
x x x y f x
e
D D
= = »
D D
VÍ DỤ 24
Cho hàm cầu Q=30-4p-p2. Tìm hệ số co dãn khi P=3
Giải
Ta có:
Vậy tại thời điểm P=3, nếu tăng giá 1% thì cầu giảm 3,3%.
( )
( )
2 2
2 24 2
30 4 4 30
3 3, 333
Q
P
Q
P
P PP
P
P P P P
e
e
+- -
= =
- - + -
= -
VÍ DỤ 25
Ví dụ. Giá p và lượng cầu x cho một sản phẩm có mỗi quan hệ như sau: 
500 10.000x p 
Tìm độ co giãn của cầu, E(p) và giải thích ý nghĩa trong các trường hợp sau: 
E(4); E(16); E(10)