Bài giảng Toán tài chính - Chương 1: Toán cho tài chính

TOÁN CHO 
TÀI CHÍNH
1
CHƯƠNG
1
NỘI DUNG
Lãi suất
1.1 Dãy số, chuỗi số
1.2 Lãi đơn, Lãi gộp
1.3 Khấu hao
1.4 Giá trị hiện tại ròng và tỷ lệ hoàn vốn nội bộ
1.5 Niên kim, các khoản cho vay và thế chấp
1.6 Mối liên hệ giữa lãi suất và giá của trái phiếu
Số chỉ số
1.7 Số chỉ số và năm cơ sở
1.8 Ghép các dãy số chỉ số
1.9 Số chỉ số hỗn hợp
1.10 Các chỉ số thông dụng CPI, RPI...
1.11 Excel 
DÃY SỐ
Khái niệm. Một dãy số là một danh sách các số được viết
theo một trật tự nhất định.
Ký hiệu dãy số:
an : số hạng thứ n hay số hạng tổng quát.
Dãy số: hàm số xác định trên tập các số tự nhiên khác 0.
Dãy số có thể xác định theo nhiều cách: liệt kê, số hàng
tổng quát, hàm số
3
1 2 3 4, , , a ..., ,..na a a a
  
1n n n
a hay a
DÃY SỐ
Ví dụ 1.
4
1
1 1
3
1 1
3
1 12 3 4 5
, , , , ..., ,...
3 9 27 81 3
n
n
n
n
n
n
n
n
a
n
n
n
  
 
 
  
 
 
DÃY SỐ
Ví dụ 2. Tìm công thức số hạng tổng quát của dãy số sau:
Ví dụ 3. Một số dãy số không có được công thức của số
hạng tổng quát đơn giản.
A) Dãy số thể hiện dân số thế giới vào ngày 1/1
B) Dãy chữ số thập phân của số e
C) Dãy Fibonacci 
5
3 4 5 6 7
, , , , , ...
5 25 125 625 3125
 
 
 
CHUỖI SỐ
Khái niệm. Cho dãy số thực u1, u2, u3, , un,  Biểu
thức:
Được gọi là một chuỗi số.
Các số u1, u2, u3, , un,  gọi là các số hạng của chuỗi
số
Biểu diễn dạng tổng sigma
6
1 2 3
... ...
n
u u u u+ + + + +
( )
4
2 2 2 2 2 2
0
6
3
) 0 1 2 3 4
) 4 1 13 17 21 25
k
k
a k
b k
=
=
= + + + +
+ = + + +
å
å
CHUỖI SỐ
Ví dụ 4. Hãy viết chuỗi số sau thành tổng các số hạng
Ví dụ 5. Hãy viết chuỗi đan dấu sau dưới dạng tổng sigma
Với chỉ số bắt đầu từ 0; từ 1.
7
5
2
1 1k
k
k= +
å
1 1 1 1 1 1
)
2 4 6 8 10 12
1 1 1 1 1 1
b) ...
2 4 6 8 10 12
a - + - + -
- + - + - +
CẤP SỐ CỘNG
Định nghĩa. Một dãy số a1,a2,a3,,an, được gọi là cấp
số cộng nếu tồn tại một hằng số d, gọi là công sai, sao
cho:
Có nghĩa là:
8
1n n
a a d
-
- =
( )1 1n na a d n-= + " >
CẤP SỐ NHÂN
Định nghĩa. Một dãy số a1,a2,a3,,an, được gọi là cấp
số cộng nếu tồn tại một hằng số r khác 0, gọi là công bội, 
sao cho:
Có nghĩa là:
9
1
n
n
a
r
a
-
=
( )1. 1n na r a n-= " >
CÔNG THỨC SỐ HẠNG TỔNG QUÁT
Cấp số cộng
Cấp số nhân
10
( ) ( )1 1 1na a n d n= + - " >
( )11. 1
n
n
a a r n-= " >
TỔNG RIÊNG THỨ N
Cấp số cộng
Cấp số nhân
Tổng vô hạn của CSN (-1<r<1)
11
( ) ( )1 12 12 2n n
n n
S a n d a aé ù= + - = +ê úë û
( )
( )1 1
1
1
1 1
n
n
n
a r ra a
S r
r r
- -
= = ¹
- -
( )1lim 1 1
1nn
a
S S r
r¥® ¥
= = - < <
-
VÍ DỤ
Ví dụ 6. Một người mượn 3600$ và đồng ý trả nợ khoản
vay hàng tháng trong vòng 3 năm. Thỏa thuận là phải trả
100$ mỗi tháng cộng thêm 1% số dư chưa thanh toán. 
Tổng chi phí của khoản vay trong vòng 3 năm là bao
nhiêu ?
12
VÍ DỤ
Ví dụ 7. Chính phủ đã quyết định một chương trình giảm
thuế nhằm kích thích nền kinh tế. Giả sử bạn nhận được
1.200 đô la và bạn chi tiêu 80% số tiền này, và mỗi người
nhận được số tiền bạn chi tiêu cũng chi tiêu 80% số tiền
họ nhận được, và giả sử quá trình này tiếp tục mà không
có kết thúc. Theo nguyên tắc nhân trong kinh tế, tác động
của việc giảm cho bạn 1.200 USD tiền thuế đối với nền
kinh tế được nhân lên gấp nhiều lần. Tổng số tiền chi tiêu
là bao nhiêu nếu quá trình này tiếp tục như đã nêu?
13
LÃI ĐƠN, LÃI GỘP
14
LÃI TỨC (TIỀN LỜI) (INTEREST)
Khái niệm:
Số tiền lãi I phụ thuộc vào: 
• P: vốn gốc (Principal Value); 
• n: thời gian đầu tư;
• r: lãi suất (interest rate);
• Rủi ro.
15
Lãi tức = Tổng số vốn tích lũy − Vốn gốc
I = F - P
LÃI SUẤT
Định nghĩa. Thể hiện quan hệ tỷ lệ giữa lãi trong một đơn
vị thời gian với vốn gốc trong thời gian đó.
Ví dụ 8. Đầu tư 100 triệu đồng sau một năm thu được
112 triệu đồng. Như vậy sau 1 năm nhà đầu tư lãi là 12 
triệu đồng và lãi suất là 12%/năm. 
16
ã ấ =
ã  ộ đơ ị ờ 
ố ố  ờ  đó
. %
 =


. %
TƯƠNG ĐƯƠNG THEO LÃI SUẤT
Từ lãi suất chúng ta có thể thiết lập khái niệm tương
đương. 
Đó là những số tiền khác nhau ở các thời điểm khác nhau
có thể bằng nhau về giá trị kinh tế.
Ví dụ 9. Nếu lãi suất là 12%/năm thì 1 triệu đồng hôm
nay sẽ tương đương với 1,12 triệu đồng sau một năm.
17
LÃI ĐƠN
Lãi đơn là lợi tức chỉ tính trên số vốn vay ban đầu trong
suốt thời hạn vay. 
Số lãi tính theo tỷ lệ phần trăm trên vốn gốc chính là lãi
đơn. 
Chỉ có vốn sinh lời còn lãi không sinh lợi.
Lãi đơn thường được áp dụng trong các nghiệp vụ tài
chính ngắn han.
18
LÃI KÉP
Việc tính lãi bằng cách lấy lãi của kỳ trước nhập vào vốn
để tính lãi cho kỳ sau đó là phương pháp tính theo lãi
kép. Số tiền lãi thu được theo phương pháp này gọi là lãi
kép.
Lãi kép thường áp dụng trong các nghiệp vụ tài chính dài
hạn.
19
LÃI GHÉP (COMPOUND INTEREST)
Việc tính lãi tức bằng cách lấy lãi của kỳ trước nhập vào
vốn để tính lãi cho kỳ sau đó là phương pháp tính theo lãi
kép. Số tiền lãi thu được theo phương pháp này gọi là lãi
kép.
Đặc điểm của lãi kép là chẳng những vốn sinh ra lãi mà lãi
cũng sinh ra lãi (lãi mẹ đẻ lãi con). 
Lãi kép thường áp dụng trong các nghiệp vụ tài chính dài
hạn.
20
LÃI SUẤT THỰC TRẢ VÀ LÃI SUẤT DANH NGHĨA
Thông thường giá trị lãi suất là tiền lãi trong thời đoạn 1 năm
hay còn gọi là thời đoạn phát biểu lãi là 1 năm. 
Trên thực tế, thời đoạn phát biểu lãi có thể ít hơn 1 năm.
Ví dụ 10. Lãi suất 12%/năm, ghép lãi theo quý, 6 tháng tính lãi
1 lần.
+ Thời đoạn phát biểu lãi: 1 năm
+ Thời đoạn ghép lãi: quý
+ Thời đoạn trả lãi: 6 tháng
Khi thời đoạn phát biểu lãi phù hợp với thời đoạn ghép lãi thì
đó là lãi suất thực. Nếu thời đoạn phát biểu lãi khác thời đoạn
ghép lãi thì đó là lãi suất danh nghĩa.
21
LÃI SUẤT DANH NGHĨA
Lãi suất danh nghĩa trong một thời kỳ = Lãi suất danh
nghĩa trong một thời đoạn x Số thời đoạn trong thời kỳ.
a) Lãi suất danh nghĩa 3%/quý thì lãi suất danh nghĩa
theo năm là: 3% x 4=12%/năm
b) Lãi suất i=12%/quý thì lãi suất thực là 12% ghép lãi
theo quý
c) Lãi suất i=20%/năm, ghép lãi theo quý. Đây là lãi suất
danh nghĩa vì thời đoạn ghép lãi là quý. Lãi suất thực là
5%/quý.
22
CÁC CÔNG THỨC TÍNH TOÁN
Công thức tính lãi đơn
Công thức tính lãi kép (ghép)
Một vài so sánh
23
CÔNG THỨC TÍNH LÃI ĐƠN
I: lãi tức đơn (Interest)
F: giá trị đạt được, (Amount, Future Value)
P: giá trị hiện tại hay vốn gốc (Principal Value)
r: lãi suất tính theo thời đoạn (năm, quý, tháng ) (Interest 
Rate)
t: số thời đoạn vay
24
. .I P r t 1 .F P r t 
VÍ DỤ 11
a) Gửi ngân hàng 100 triệu đồng theo phương thức gửi
có kỳ hạn 6 tháng với lãi suất 1%/tháng. Xác định giá trị
đạt được và số lãi vào cuối đợt đầu tư 6 tháng?
b) Đầu tư 100 triệu, lãi suất 12%/năm (tính theo lãi đơn), 
sau một thời gian thu được cả vốn lẫn lời 118 triệu vào
cuối đợt đầu tư. Hỏi thời gian đầu tư bao lâu?
c) Với lãi suất 12%/năm thì phải bỏ số vốn ban đầu là bao
nhiêu để thu được 28,4 triệu trong 3 năm 6 tháng (tính
theo lãi đơn)?
25
LÃI KÉP
Công thức cơ bản:
Trong đó:
 i: mức lãi suất
 P: vốn gốc
 n: thời gian đầu tư (tương ứng với i)
 F: giá trị đạt được sau đầu tư
26
 1
n
F P i 
HỆ QUẢ
Vốn đầu tư ban đầu (vốn gốc):
Thời gian đầu tư:
Lãi suất đầu tư:
27
 1 1
n n
F P i P F i
 1
log /
1 log /
log 1
n
i
F P
F P i n F P
i 
 1 1
n
n
F
F P i i
P
VÍ DỤ 12
a) Đầu tư một khoản tiền với lãi suất 10%/năm. Sau 4 
năm thu được cả vốn lẫn lời là 146,41 triệu đồng (tính
theo lãi kép). Hỏi vốn đầu tư ban đầu là bao nhiêu?
b) Đầu tư một khoản 100 triệu đồng với lãi suất
10%/năm. Sau một thời gian thu được cả vốn lẫn lời là
161,051 triệu đồng (tính theo lãi kép). Hỏi thời gian đầu
tư là bao lâu?
c) Đầu tư một khoản tiền 100 triệu, sau 8 năm thu được
cả vốn lẫn lời là 214,358881 triệu (tính theo lãi kép). Hỏi
lãi suất đầu tư (tỷ lệ sinh lời của đầu tư) là bao nhiêu?
28
SO SÁNH LÃI ĐƠN VÀ LÃI KÉP.
Lãi đơn: Lãi kép:
Ta có:
29
 1 .F P n i 1
n
F P i 
)  
)  = 1 ⇒  = 
)  > 1 ⇒  < 
ã đơ
ã kép



10
SO SÁNH LÃI ĐƠN VÀ LÃI KÉP.
Ví dụ 13. Đầu tư 200 triệu đồng theo lãi suất thực
12%/năm. Hãy tính :
a) Lãi đơn và giá trị đạt được sau khoảng thời gian: 6 
tháng; 1 năm; 3 năm.
b) Lãi kép và giá trị đạt được sau khoảng thời gian: 6 
tháng; 1 năm; 3 năm
c) Vẽ đồ thị của các lãi suất.
30
LÃI SUẤT NGANG GIÁ (TƯƠNG ĐƯƠNG)
Hai lãi suất i1 và i2 tương ứng với hai chu kỳ khác
nhau được gọi là tương đương nhau khi với cùng
một số vốn, đầu tư trong cùng một thời gian sẽ cho
cùng mức lãi như nhau (cùng giá trị đạt được).
GỌI 
• i1 là lãi suất thực trả ở thời đoạn ngắn (ví dụ: tháng)
• i2 là lãi suất thực trả ở thời đoạn dài (ví dụ: năm)
• m là số thời đoạn ngắn có trong thời đoạn dài (ví dụ: 
12)
• P là vốn gốc
31
LÃI SUẤT NGANG GIÁ
Tính theo lãi đơn:
Tính theo lãi kép:
32
2
1
1 2
2 1
1 . 1 .1
.
i
i
P i m P i m
i m i
1 21
1 2
2 1
1 1
1 1
1 1
m
m
m
i i
P i P i
i i
VÍ DỤ 14
Đầu tư 20 triệu trong vòng 9 tháng với lãi suất 12%/năm
theo phương thức lãi đơn. Kết thúc đợt đầu tư, giá trị
đạt được là:
Theo lãi suất hàng tháng:
Theo lãi suất hàng năm:
33
 20. 1 9.1% 21,8F 
9
20. 1 .12% 21,8
12
F
 =

12
= 1%
LÃI SUẤT BÌNH QUÂN TRONG LÃI ĐƠN
Lãi suất bình quân (tỷ suất lợi tức bình quân) trong lãi
đơn được tính theo phương pháp bình quân có trọng số.
Trong đó: 
ij là các mức lãi suất khác nhau trong các khoảng thời
gian nj khác nhau.
34
1 1 1 2 2
1 2
1
.
. . ... .
...
k
j j
j k k
k
k
j
j
n i
n i n i n i
i
n n n
n


LÃI SUẤT BÌNH QUÂN TRONG LÃI KÉP.
Ta có:
Với
là tổng thời gian đầu tư.
ik là mức lãi suất trong các khoảng thời gian nk.
35
 =  + +. . . +
 1 21 21 1 ... 1 1
knn nn
ki i i i 
LÃI SUẤT BÌNH QUÂN TRONG LÃI KÉP.
Ví dụ 15. Người ta đầu tư 150 triệu đồng tính lãi kép với
lãi suất lũy tiến.
8%/năm trong vòng 2 năm đầu tiên;
9%/năm trong vòng 3 năm tiếp theo;
11%/năm trong vòng 4 năm cuối.
a) Vào cuối năm thứ 9 tổng lãi là bao nhiêu?
b) Lãi suất trung bình hàng năm là bao nhiêu?
36
VÍ DỤ 16
Một doanh nghiệp vay với lãi đơn 100 triệu đồng với lãi
suất thay đổi như sau: 8%/năm trong 6 tháng đầu; 
10%/năm trong 3 tháng tiếp theo và 12%/năm trong 4 
tháng cuối cùng.
Tính: 
a) Lãi suất trung bình của số vốn vay.
b) Tính tổng số tiền doanh nghiệp phải trả khi đáo hạn
37
VÍ DỤ 17
Ông A gửi ngân hàng 100 triệu đồng theo lãi suất 6%/6 
tháng. Ông B cũng gửi ngân hàng 100 triệu đồng với lãi
suất 12,36%/năm. Hãy tính số tiền lãi mà ông A và ông B 
nhận được sau 1 năm gửi. Cho nhận xét.
Giải
Điều này chứng tỏ rằng hai lãi suất 6%/6 tháng và
12,36%/1 năm là tương đương nhau.
38
2
100 1 0,06 100 12,36
100 1 0,1236 100 12,36
A
B
I
I
1.2.6. LÃI KÉP LIÊN TỤC
Ví dụ 18. Đầu tư 1000$ trong 5 năm với mức lãi suất
8%/năm, tính theo lãi kép. Hãy tính lãi thu được nếu
ghép lãi theo:
a) Năm b) Nửa năm c) Quý d)Tháng
E) Nếu số lần ghép lãi trong năm tăng lên vô hạn thì?
 Lãi kép liên tục
39
LÃI KÉP LIÊN TỤC
Số tiền thu được:
40
 ./
.1lim lim 1 .
/
n r
t r
n r
t t
F P P e
t r 
 .n . . / . /
1 1
1 1 1 1
/ /
n r
t n t r r t r
n r
F P r P P P
t t r t r
 . 5.0,08. 1000. 1.491,8247 $n rF P e e 
LÃI KÉP LIÊN TỤC
Định lý. Nếu P là số vốn đầu tư ban đầu với lãi suất theo
năm là r và tính lãi kép liên tục thì giá trị đạt được khi đầu
tư số vốn P sau n năm là: 
Ví dụ 19. Bạn cần đầu tư bao nhiêu để mua một chiếc xe
hơi sau 5 năm. Giả sử giá của chiếc là 8.000$ và lãi suất
hàng năm là 10%, tính theo lãi kép với thời gian ghép lãi:
a) Hàng quý b) Ghép lãi liên tục
41
.. n rF P e 
KHẤU HAO
42
GIÁ TRỊ HIỆN TẠI CỦA MỘT NIÊN KIM
Ví dụ 20. Bạn cần phải gửi bao nhiêu tiền vào tài khoản
với lãi gộp 6%/năm, ghép lãi 6 tháng 1 lần, để có thể rút
1000$ mỗi 6 tháng trong vòng 3 năm? (Sau lần rút cuối
cùng thì cũng hết tiền trong tài khoản)
43
GIÁ TRỊ HIỆN TẠI CỦA MỘT NIÊN KIM
Ta có sơ đồ.
Giá trị hiện tại của tất cả các khoản tiền trong tương lai.
44
2 3 4 5 6
1000 1000 1000 1000 1000 1000
5.417,19
1 0,03 1 0,03 1 0,03 1 0,03 1 0,03 1 0,03
PV 
TỔNG QUÁT
Tổng quát. Nếu bạn muốn gửi một khoản tiền hiện tại là
PV với mức lãi suất i sao cho trong n kỳ tiếp theo, mỗi kỳ
bạn thu về được một khoản tiền là PMT thì:
Ví dụ 21. Giá trị hiện tại của một dòng tiền 200$ hàng
tháng trong 5 năm là bao nhiêu nếu lãi suất là 6%/năm và
ghép lãi hàng tháng?
45
 1 1
n
i
PV PMT
i
Ví dụ 22. Bài toán nghỉ hưu
Lincoln Benefit Life đề nghị một khoản niên kim với lãi
suất 6,5%/năm. Một người lên kế hoạch tích lũy tiền vào
tài khoản trong 25 năm để đến khi nghỉ hưu sẽ rút ra mỗi
năm 25.000$ trong vòng 20 năm sau đó. Như vậy hàng
năm anh ta cần cho vào tài khoản bao nhiêu tiền để có
thể rút như vậy. Lãi suất tổng cộng trong quá trình 45 
năm đó là bao nhiêu?
46
KHẤU HAO
Giả sử bạn vay 5.000 đô la từ một ngân hàng để mua một 
chiếc ô tô và đồng ý hoàn trả khoản vay với 36 khoản, thanh 
toán hàng tháng bằng nhau, bao gồm tất cả các khoản lãi phải 
trả. 
Nếu ngân hàng tính phí 1% mỗi tháng trên số dư chưa thanh 
toán (12% mỗi năm cộng dồn hàng tháng), thì mỗi khoản 
thanh toán phải trả bao nhiêu để trả hết nợ, kể cả lãi trong 36 
tháng?
Trên thực tế, ngân hàng đã mua một niên kim từ bạn. 
Câu hỏi đặt ra là: nếu ngân hàng trả cho bạn $ 5.000 (giá trị 
hiện tại) cho một khoản tiền hằng năm trả cho họ $PMT mỗi 
tháng trong 36 tháng với lãi suất 12% hàng tháng, thì số tiền 
trả hàng tháng (PMT) là bao nhiêu? (Lưu ý rằng giá trị của niên 
kim vào cuối 36 tháng là bằng không?)
47
Nói chung, khấu hao một khoản nợ có nghĩa là thanh
toán khoản nợ này trong một khoảng thời gian nhất định 
bằng các khoản thanh toán định kỳ với lãi kép.
Ta quan tâm đến các khoản thanh toán định kỳ bằng 
nhau. 
Từ công thức giá trị hiện tại ta có công thức khấu hao
sau:
48
 1 1
n
i
PMT PV
i
Ví dụ 23. Giả sử bạn mua một chiếc ti vi trị giá 800$ và
đồng ý trả trong vòng 18 tháng với các khoản thanh toán
bằng nhau. Giả sử lãi suất là 1,5%/tháng đối với khoản nợ
còn lại.
a) Hàng tháng bạn phải trả bao nhiêu tiền?
b) Khoản tiền lãi bạn phải trả tổng cộng là bao nhiêu?
49
LỊCH TRÌNH KHẤU HAO (AMORTIZATION SCHEDULES)
Khái niệm. Lịch trình khấu hao là bảng kế hoạch thể hiện
từng khoản thanh toán cho khoản vốn vay và khoản lãi
suất trong toàn bộ thời gian vay. Lịch trình khấu hao cũng
thể hiện khoản dư nợ được giảm dần cho đến khi bằng 0.
Ví dụ 24. Giả sử bạn vay 500$ và đồng ý trả góp trong
vòng 6 tháng với số tiền góp bằng nhau. Lãi suất là 1% 
mỗi tháng trên số tiền chưa trả. Hãy lập kế hoạch trả nợ
dần cho khoản vay?
50
LỊCH TRÌNH KHẤU HAO
Số tiền phải trả hàng tháng:
Ở cuối tháng thứ nhất, số tiền lãi phải trả là: 0,01*500=5$
Như vậy số tiền thanh toán 86,27$ ở tháng 1 gồm 2 phần: 5$ tiền lãi và
81,27$ tiền vốn gốc.
Khoản dư nợ ở tháng thứ 2 là: 500 - 81,27=418,73 ($)
Ở cuối tháng thứ nhất, số tiền lãi phải trả là: 0,01*418,73=4,19$
Cuối tháng thứ 2 ta thanh toán 86,27$, khoản tiền này gồm 4,19$ tiền lãi
và 82,08$ tiền vốn gốc.
Quá trình này ti ... ụ
5
5
1 1 , 0 8 1 .5 0 0
1 8 0
1 , 0 8 1 , 0 8
1.739,561.690,981.852,72
118
PHÂN TÍCH SỰ BIẾN ĐỘNG GIÁ TRÁI PHIẾU
Giá trái phiếu (V) là một hàm số phụ thuộc các biến sau đây: 
• I là lãi cố định được hưởng từ trái phiếu 
• kd là tỷ suất lợi nhuận yêu cầu của nhà đầu tư 
• MV là mệnh giá trái phiếu 
• n là số năm cho đến khi trái phiếu đáo hạn 
Trong đó các biến I và MV không thay đổi sau khi trái phiếu 
được phát hành, trong khi các biến n và kd thường xuyên thay 
đổi theo thời gian và tình hình biến động lãi suất trên thị 
trường. Để thấy được sự biến động của giá trái phiếu khi lãi 
suất thay đổi, chúng ta lấy ví dụ phân tích như sau: 
119
PHÂN TÍCH BIẾN ĐỘNG GIÁ
Giả sử REE phát hành trái phiếu mệnh giá 1000$ thời hạn 
15 năm với mức lãi suất hàng năm là 10%. 
Hãy định giá trái phiếu khi:
A) Tỷ suất lợi nhuận nhà đầu tư đòi hỏi trên thị trường 
lúc phát hành là 10%.
B) Giả sử sau khi phát hành, lãi suất trên thị trường giảm 
từ 10% xuống còn 8%. 
C) Giả sử sau khi phát hành lãi suất trên thị trường tăng 
lên đến 12%. 
120
PHÂN TÍCH BIẾN ĐỘNG GIÁ
Năm Tiền Lãi 10% Lãi 8% Lãi 12%
0
1 100 90.91 92.59 89.29
2 100 82.64 85.73 79.72
3 100 75.13 79.38 71.18
4 100 68.30 73.50 63.55
5 100 62.09 68.06 56.74
6 100 56.45 63.02 50.66
7 100 51.32 58.35 45.23
8 100 46.65 54.03 40.39
9 100 42.41 50.02 36.06
10 100 38.55 46.32 32.20
11 100 35.05 42.89 28.75
12 100 31.86 39.71 25.67
13 100 28.97 36.77 22.92
14 100 26.33 34.05 20.46
15 1100 263.33 346.77 200.97
Tổng 1000 1171.19 863.78
121
PHÂN TÍCH TRÁI PHIẾU
Từ việc phân tích ba trường hợp trên đây chúng ta có thể rút 
ra một số nhận xét sau đây: 
1. Khi lãi suất trên thị trường bằng lãi suất trái phiếu thì giá 
trái phiếu bằng mệnh giá của nó. 
2. Khi lãi suất trên thị trường thấp hơn lãi suất trái phiếu thì 
giá trái phiếu sẽ cao hơn mệnh giá của nó. 
3. Khi lãi suất trên thị trường cao hơn lãi suất trái phiếu thì giá 
trái phiếu sẽ thấp hơn mệnh giá của nó. 
4. Lãi suất gia tăng làm cho giá trái phiếu giảm trong khi lãi 
suất giảm sẽ làm cho giá trái phiếu gia tăng. 
5. Thị giá trái phiếu tiến dần đến mệnh giá của nó khi thời gian 
tiến dần đến ngày đáo hạn. 
122
PHÂN TÍCH BIẾN ĐỘNG GIÁ
123
LỢI SUẤT ĐẦU TƯ TRÁI PHIẾU
Ta định giá trái phiếu dựa trên cơ sở biết trước lãi được 
trả hàng năm và tỷ suất lợi nhuận mà nhà đầu tư đòi hỏi 
dựa trên lãi suất thị trường, mệnh giá và thời hạn của trái 
phiếu. 
Ngược lại, nếu biết trước giá trái phiếu và các yếu tố khác 
như lãi hàng năm được hưởng, mệnh giá hoặc giá thu hồi 
trái phiếu trước hạn và thời hạn của trái phiếu chúng ta 
có thể xác định được tỷ suất lợi nhuận hay lợi suất đầu tư 
trái phiếu. 
124
LỢI SUẤT ĐẦU TƯ LÚC TRÁI PHIẾU ĐÁO HẠN 
(YIELD TO MATURITY)
Giả sử bạn mua một trái phiếu có mệnh giá 1000$, thời 
hạn 14 năm và được hưởng lãi suất hàng năm là 15% với 
giá là 1368,31$. Bạn giữ trái phiếu này cho đến khi đáo 
hạn, lợi suất đầu tư trái phiếu này là bao nhiêu?
Để xác định lợi suất đầu tư khi trái phiếu đáo hạn, chúng
ta có thể giải phương trình sau: 
Đáp số: kd=10%
125
LỢI SUẤT ĐẦU TƯ LÚC TRÁI PHIẾU ĐƯỢC THU 
HỒI (YIELD TO CALL)
Đôi khi công ty phát hành trái phiếu có kèm theo điều 
khoản thu hồi (mua lại) trái phiếu trước hạn. 
Điều này thường xảy ra nếu như công ty dự báo lãi suất 
sẽ giảm sau khi phát hành trái phiếu. Khi ấy công ty sẽ 
thu hồi lại trái phiếu đã phát hành với lãi suất cao và phát 
hành trái phiếu mới có lãi suất thấp hơn để thay thế và 
nhà đầu tư sẽ nhận được lợi suất cho đến khi trái phiếu 
được thu hồi (YTC) thay vì nhận lợi suất cho đến khi trái 
phiếu đáo hạn (YTM). 
126
LỢI SUẤT ĐẦU TƯ LÚC TRÁI PHIẾU ĐƯỢC THU 
HỒI (YIELD TO CALL)
Công thức tính lợi suất trái phiếu lúc thu hồi như sau:
Trong đó:
• n là số năm cho đến khi trái phiếu được thu hồi, 
• Pc là giá thu hồi trái phiếu
• kd là lợi suất khi trái phiếu được thu hồi. 
• V giá của trái phiếu 
• I lãi suất hàng năm
127
CHỈ SỐ
1.7 Số chỉ số và năm cơ sở
1.8 Ghép các dãy số chỉ số
1.9 Số chỉ số hỗn hợp
1.10 Các chỉ số thông dụng CPI, RPI...
128
129
KHÁI NIỆM CHUNG – PHÂN LOẠI – TÁC DỤNG
Chỉ số là chỉ tiêu kinh tế biểu hiện quan hệ so sánh giữa
2 mức độ nào đó của một hiện tượng kinh tế xã hội.
Căn cứ vào phạm vi tính toán:
+ Chỉ số cá thể (Chỉ số đơn)
+ Chỉ số tổ
+ Chỉ số chung (Chỉ số toàn bộ hay chỉ số tổng thể)
PHÂN LOẠI
Căn cứ vào tính chất của chỉ tiêu nghiên cứu:
+ Chỉ số của chỉ tiêu khối lượng
+ Chỉ số của chỉ tiêu chất lượng
Căn cứ vào tác dụng của từng loại chỉ số:
+ Chỉ số phát triển
+ Chỉ số không gian (chỉ số địa phương)
+ Chỉ số kế hoạch
+ Chỉ số thời vụ
..........
130
131
TÁC DỤNG CỦA CHỈ SỐ
- Đánh giá sự biến động của hiện tượng qua thời gian
- Đánh giá sự biến động của hiện tượng qua không gian
- Biểu hiện các KH và tình hình thực hiện các KH
- Phân tích vai trò và ảnh hưởng của các nhân tố tới sự
biến động của hiện tượng.
CHỈ SỐ
Chỉ số là một dãy các giá trị trong các thời điểm khác nhau và
được diễn tả theo tỷ lệ phần trăm của giá trị so với một thời
điểm cụ thể. Năm cụ thể được gọi là năm cơ sở
132
100
Valueinany given year
Indexnumber
Valueinbase year
ố chỉ số =
á ị ủ ă đ é
á ị ă ơ ở
× 100
VÍ DỤ
Hãy thể hiện các dãy giá trị dưới đây dưới dạng chỉ số với năm
cơ sở là năm 1995.
Ta có:
133
Năm 1995 1996 1997 1998 1999
Giá trị 46 52 62 69 74
Năm 1995 1996 1997 1998 1999
Chỉ số 100 113 135 150 161
VÍ DỤ
• Năm cơ sở không nhất thiết là năm đầu tiên trong chuỗi giá
trị. Ta có thể chọn bất cứ năm nào
• Biểu diễn “1995=100” có nghĩa là các giá trị tương ứng đều
là chỉ số so với cơ sở là năm 1995. Chỉ số của năm cơ sở
(trong trường hợp này là năm 1995) luôn luôn là 100.
• Kết quả ở trên được làm tròn cho tiện hình dung. 
134
VÍ DỤ
Tỷ lệ % thay đổi từ năm 1998 đến năm 1999 là:
Nếu trừ hai chỉ số thì: 161-150=11%
135
161
100 107.3
150
Năm 1995 1996 1997 1998 1999
Chỉ số 100 113 135 150 161
VÍ DỤ
Cho dãy giá trị sau:
a) Hãy xác định chỉ số của các giá trị lợi nhuận ở bảng trên với năm
cơ sở là:
 i) Năm 1991 ii) Năm 1994
b) Hãy giải thích ý nghĩa của chỉ số tương ứng của năm 1995 trong
cả hai trường hợp
c) Tìm mức độ phần trăm tăng lên từ năm 1996 đến năm 1997
d) Hãy giải thích ý nghĩa của chỉ số 2500 biết chỉ số của năm 1989 
là 100.
136
Năm 1991 1992 1993 1994 1995
1996 1997
Giá trị 1.2 1.5 1.8 1.9 1.6 1.5 1.7
VÍ DỤ
• Khi thời gian trôi đi càng ngày năm cơ sở càng mất ý nghĩa
và cuối cùng ta thấy phải chọn một năm cơ sở mới
• Năm cơ sở phải là một năm rất điển hình. 
• Ví dụ. Khi chọn năm cơ sở cho quan sát về giá thì năm được
chọn phải:
• Có giá không quá thấp hoặc quá cao bất thường.
• Năm cơ sở được chọn phải đủ gần đây để mọi so sánh
với năm cơ sở này mang đến nhiều ý nghĩa. 
• Ví dụ. Nếu ta kết luận rằng sản xuất đã thay đổi với một tỷ lệ
nào đó trong vòng 2 năm, 4 năm, hoặc 10 năm so với năm
cơ sở thì tạm được. Tuy nhiên nếu ta nói là có sự thay đổi so 
với 50 năm trước thì điều này không mang lại nhiều ý nghĩa.
137
THAY ĐỔI NĂM CƠ SỞ
• Sử dụng số liệu gốc
• Sử dụng chỉ số
138
Năm 1990 1991 1992 1993 1994 1995 1996 1997 1998
Giá trị 8 9 9 12 20 22 24 25 27
THAY ĐỔI NĂM CƠ SỞ
• Cho chuỗi giá trị sau:
a) Đưa các giá trị trên về dạng chỉ số với năm cơ sở là
năm 1990
b) Sử dụng dữ liệu gốc đưa năm cơ sở về năm 1995
c) Sử dụng các chỉ số tìm được ở câu a) như các dữ
liệu gốc và đưa năm cơ sở về năm 1995. So sánh
kết quả với câu b).
139
Năm 1990 1991 1992 1993 1994 1995 1996 1997 1998
Giá trị 8 9 9 12 20 22 24 25 27
Thay đổi năm cơ sở
140
• Các chỉ số dưới đây được tính với năm cơ sở 1989
• A) Hãy chuyển cơ sở sang năm 1996
• B) Hãy giải thích ý nghĩa 2 chỉ số của năm 1999 
tương ứng với hai năm cơ sở là 1989 và 1996
Năm 1995 1996 1997 1998 1999
1989=100 129,0 140,3 148,5 155,1 163,2
Ghép các dãy số chỉ số
141
• Chỉ số giá dưới đây thay đổi
cơ sở sang năm 1983 sau nhiều
năm tính với cơ sở 1970. 
• Hãy tính toán lại chỉ số của dãy
với năm cơ sở 1983. Từ 1981 
đến 1985 giá đã tăng bao
nhiêu phần trăm.
Năm Chỉ số giá
1980
(1970=100)
263
1981 271
1982 277
1983 280
(1983=100)
1984 104
1985 107
Ghép các dãy số chỉ số
142
Năm
Chỉ số giá
(1970=100)
Chỉ số giá
(1983=100)
1980 263 94
1981 271 97
1982 277 99
1983
280
(1983=100)
100
1984 104 104
1985 107 107
Do đó giá đã tăng lên 10% từ năm 1981 đến năm 1985.
Ghép các dãy số chỉ số
143
Năm Chỉ số giá
(1980=100)
1987 141
1988 148
1989 155
1990 163
(1990=100)
1991 106
1992 110
1993 116
Chỉ số giá dưới đây
đã thay đổi năm cơ sở
sang 1990.
Hãy hợp nhất hai
chuỗi với nhau sang
năm cơ sở 1990 và
sau đó chuyển năm cơ
sở sang 1989.
Ghép các dãy số chỉ số
144
Năm
Chỉ số giá
(1980=100)
Chỉ số giá
(1990=100)
Chỉ số giá
(1989=100
)
1987 141 86,5 91
1988 148 90,8 95
1989 155 95,1 100
1990
163
(1990=100)
100 105
1991 106 106 111
1992 110 110 116
1993 116 116 122
CHỈ SỐ GIÁ TỔNG HỢP
- Đo lường sự thay đổi của một nhóm các mặt hàng
Ví dụ. Để xây dựng chỉ số giá tổng hợp cho một nhóm các
chi phí thông thường để vận hành xe ô tô.
Ta có số liệu:
145
Đơn giá
Mặt hàng 1990 2005
Gallon Xăng 1,3 2,27
Bình dầu 2,1 3,5
Vỏ xe 130 170
Phí bảo hiểm 820 939
CHỈ SỐ TỔNG HỢP KHÔNG CÓ TRỌNG SỐ
- Bị ảnh hưởng bởi các mặt hàng giá cao
- Các mặt hàng giá thấp bị lấn át
 Không được sử dụng rộng rãi
 Chỉ số tổng hợp có trọng số
Trong đó qi là số lượng sử dụng mặt hàng i.
146
(%)117
8201301,23,1
9391705,327,2
.
.
0
2005 


ii
iit
qp
qp
I
NHẬN XÉT
- Bị ảnh hưởng bởi các mặt hàng giá cao
- Các mặt hàng giá thấp bị lấn át
 Không được sử dụng rộng rãi
 Chỉ số tổng hợp có trọng số
Trong đó qi là số lượng sử dụng mặt hàng i.
147
%100.
.
.
0 ii
iit
t
qp
qp
I


CHỈ SỐ TỔNG HỢP CÓ TRỌNG SỐ
Giả sử ta có thông tin sau:
Dựa vào 15.000 dặm mỗi năm và số lượng dùng lốp xe
dựa vào tuổi thọ sử dụng lốp là 30.000 dặm
148
Trọng số là số lượng
Mặt hàng Số lượng
Gallon Xăng 1000
Bình dầu 15
Vỏ xe 2
Phí bảo hiểm 1
CHỈ SỐ TỔNG HỢP KHÔNG TRỌNG SỐ
Ta có:
Phản ánh sự thay đổi chính xác hơn
Các qi được xem cố định và không biến đổi như giá cả.
Nếu tính chỉ số cho các năm khác 2005 thì chỉ cần cập
nhật lại giá pit, không cần cập nhật lại qi
149
 %149
1.8202.13015.1,21000.3,1
1.9392.17015.5,31000.27,2
.
.
0


ii
iit
t
qp
qp
I
CHỈ SỐ LASPEYRES VÀ CHỈ SỐ PAASCHE
Ta có:
Khác biệt: trọng số lấy theo năm gốc hay năm hiện tính.
150




iti
itit
t
ii
iit
t
qp
qp
I
qp
qp
I
0
00
0
Chỉ số Laspeyres
Chỉ số Pasche
VÍ DỤ
Tính chỉ số chung về giá, lượng hàng hóa tiêu thụ của 2 mặt
hàng biết:
151
MH
Giá bán lẻ đơn vị
(tr đ)
Lượng hàng hoá 
tiêu thụ
Kỳ gốc 
(p0)
Kỳ n/c
(p1)
Kỳ gốc
(q0)
Kỳ n/c
(q1)
A (tấn)
B (1000 m)
70
40
90
36
100
200
80
230
152
NHẬN XÉT
-Paasche cần xác định lại trọng số của mỗi năm tính và
chỉ số các năm trước đều thay đổi khi tính cho năm
tiếp theo
- Phát sinh chi phí, phức tạp
- Laspeyres được sử dụng rộng rãi hơn
TÍNH CHỈ SỐ TỔNG HỢP TỪ CHỈ SỐ TƯƠNG ĐỐI GIÁ
Công thức:
Nếu dùng lượng của kỳ gốc Laspeyres
Nếu dùng lượng kỳ hiện tại Paasche
153
0
0
0
.
.
.
.
it
i
i
t i i i
i
it i
t
i i
p
w
p
I w p q
w
p q
I
p q




VÍ DỤ
Số tương đối về giá của 3 mặt hàng với giá các kỳ gốc cho
ở bảng dưới đây. Hãy tính chỉ số giá tổng hợp có trọng số
cho kỳ hiện tại
154
Kỳ gốc
Mặt hàng Giá tương đối Giá Số lượng sử dụng
A 150 22 20
B 90 5 50
C 120 14 40
Chỉ số giá tương đối
155
Một tạp hóa muốn tính chỉ số giá của bốn loại trà khác nhau, với
năm cơ sở là năm 1990 và năm hiện tại là 1995.
1990 1995
Loại trà
Giá
(bảng)
Lượng 
(thùng)
Giá 
(bảng)
Lượng 
(thùng)
P0 Q0 P1 Q1
A 0,89 65 1,03 69
B 1,43 23 1,69 28
C 1,29 37 1,49 42
D 0,49 153 0,89 157
Chỉ số giá tương đối
156
Tính toán chỉ số giá tương đối với so với năm cơ sở
trong đó trọng số sử dụng như là: 
a) Khối lượng
b) Giá trị (ví dụ: doanh thu cho từng hạng mục)
Chỉ số giá tương đối
157
Ta có bảng sau:
Loại trà
Giá
tương đối
(Rel)
Lượng của 
năm cơ sở
(Q0)
Giá trị của
năm cơ sở
(V0)
Rel x 
Q0
Rel x 
V0
A 1,157 65 57,85 75,22 66,95
B 1,182 23 32,89 27,19 38,88
C 1,155 37 47,73 42,74 55,13
D 1,816 153 74,97 277,85 136,15
Tổng 278 213,44 423,00 297,11
 0/ 100
w
w
iP Prelative price index 

Chỉ số giá tương đối
158
Trọng số là số lượng:
Trọng số là giá trị:
Chỉ số đầu tiên có nghĩa là giá đã tăng trung bình 52%; 
Chỉ số thứ 2 nói rằng giá đã tăng lên 39%. Tại sao lại thế?
423
100 .100 152,2
278
0
0
Rel Q
Q


297,11
100 .100 139,2
213,44
0
0
Rel V
V


CHỈ SỐ LIÊN HOÀN (chain – base index numbers)
159
MỘT SỐ CHỈ SỐ THÔNG DỤNG
1 – Chỉ số giá tiêu dùng (Consumer Price Index - CPI)
2 – Chỉ số giá sản suất
3 – Chỉ số chứng khoán Dow Jones
160
CHỈ SỐ GIÁ TIÊU DÙNG (CPI)
- Thước đo cho chi phí sinh hoạt
- Giỏ hàng hóa gồm 400 mặt hàng: thực phẩm, nhà ở, 
quần áo, giao thông, vận tải, y tế 
- Chỉ số giá tổng hợp với trọng số cố định
- Có 2 loại CPI-U và CPI-UW
Ví dụ. Chỉ số CPI tháng 2/2006 được tính so với chỉ số gốc
1982-1984 là 100 có giá trị 198,7 ý nghĩa???
161
CHỈ SỐ GIÁ SẢN XUẤT (PPI)
- Công bố hàng tháng (USA)
- Đo lường thay đổi giá hàng tháng của thị trường hàng
sơ cấp tại Mỹ
- Tính dựa trên mức giá lần đầu giao dịch trong các thị
trường không bán lẻ
- Công dụng: chỉ số dẫn dắt và cho biết xu hướng giá tiêu
dùng và chi phí sinh hoạt trong tương lai
- Laspeyres
- Tháng 2/2006 PPI là 157,8 (so với năm gốc 1982)
162
CHỈ SỐ BÌNH QUÂN DOW JONES
- Thể hiện xu hướng biến độc của các cổ phiếu phổ biến
- Nổi tiếng nhât DJIA (chỉ số bình quân công nghiệp Dow 
Jones) tính trên giá cổ phiếu phổ thông của 30 công ty 
lớn
- Tính hàng ngày
- Không thể hiện giá dạng % theo giá năm gốc
163
KHỬ LẠM PHÁT CHUỖI THỜI GIAN BẰNG CHỈ SỐ GIÁ
Năm Lương giờ (USD) CPI (kỳ gốc 1982-1984)
1998 12,78 163,0
1999 13,24 166,6
2000 13,76 172,2
2001 14,31 177,1
2002 14,77 179,9
164
KHỬ LẠM PHÁT CHUỖI THỜI GIAN BẰNG CHỈ SỐ GIÁ
Năm Lương giờ (USD) đã khử lạm
phát
CPI (kỳ gốc 1982-1984)
1998 12,78/163=7,84$ 163,0
1999 13,24/166,6=7,95$ 166,6
2000 13,76/172,2=7,99$ 172,2
2001 14,31/177,1=8,08& 177,1
2002 14,77/179,9=8,21$ 179,9
165
MỘT VÀI CÂN NHẮC KHI TÍNH CHỈ SỐ GIÁ
- Lựa chọn mặt hàng
- Lựa chọn kỳ gốc
- Thay đổi chất lượng
166
CÁC CHỈ SỐ KHỐI LƯỢNG (ĐỌC THÊM)
- Chỉ số sản xuất công nghiệp (hàng tháng, kỳ gốc 2000, 
đo thay đổi của khối lượng sản xuất một loạt ngành sx )
- Tháng 2/2006 chỉ số này là 110,9
- Đo lường sự thay đổi khối lượng theo thời gian
- Công thức:
Nếu trọng số là giá năm gốc
167
0
.it i
t
i i
q w
I
q w


0
0 0
.it i
t
i i
q p
I
q p


0
0
0
.it i
i
i
t
i i
q p
I
q p
q
q


Theo chỉ số tương đối về lượng
CÔNG THỨC CHUNG
- Chỉ số giá:
- Chỉ số lượng:
Trong đó wi là trọng số thứ i. Trọng số này có thể lấy bằng
nhiều cách: cố định, giá trị năm gốc, giá trị năm hiện tại; 
168
.i i
t
i
p w
I
w


.i i
t
i
q w
I
w

