Bài giảng Toán tài chính - Bài 5: Chuỗi niên kim (Annuities)

v1.0015110212
BÀI 5
CHUỖI NIÊN KIM
(Annuities)
ThS. Nguyễn Thành Trung
Trường đại học kinh tế quốc dân 
1
v1.0015110212
TÌNH HUỐNG KHỞI ĐỘNG
Ngân hàng VPBank (Việt Nam thịnh vượng) triển khai gói vay tín chấp cho khách hàng
cá nhân với thời hạn vay tối đa là 4 năm, trả nợ hàng tháng. Theo gói tín dụng này, số
tiền phải trả mỗi tháng là bằng nhau và lần trả đầu tiên là đúng 1 tháng sau ngày giải
ngân, đến tháng cuối cùng là hết nợ. Một người kí một hợp đồng vay 40 triệu đồng, trả
nợ trong vòng 24 tháng với lãi suất hàng năm là 30%.
2
1. Hình thức trả nợ này tuân theo nguyên tắc nào?
2. Tính số tiền mà người này phải trả hàng tháng
3. Nếu cho vay với thời hạn dài hơn (5,10 năm), điều gì cần lưu ý để người
cho vay bảo đảm được quyền lợi
v1.0015110212
MỤC TIÊU
Có thể nói, chuỗi niên kim không quá xa lạ với những người làm việc trong lĩnh
vực tài chính. Khái niệm này giữ vai trò quan trọng trong phân tích tài chính vì hầu
hết các quyết định tài chính (cho vay, tiết kiệm, đầu tư,...) hay quản lý tài sản đều
có liên quan đến thời giá tiền tệ. Cụ thể, giá trị tích luỹ hoặc giá trị hiện tại hoá của
các khoản tiền đầu tư hay cho vay ở hai thời điểm khác nhau chỉ có thể so sánh
với nhau nếu quy đổi chúng về cùng một thời điểm gọi là thời điểm so sánh.
Mục tiêu đầu tiên của bài học là giới thiệu và hướng dẫn sinh viên làm quen với
các khái niệm liên quan tới niên kim và những ứng dụng của nó trong thực tiễn.
Tiếp theo, sinh viên được hướng dẫn xây dựng công thức tính giá trị chuỗi niên
kim từ đó áp dụng thành thạo các công thức này để tính toán giá trị chuỗi niên kim
tại thời điểm bất kỳ. Kết thúc bài, sinh viên cần nắm được bản chất chuỗi niên kim
và vận dụng để giải quyết những vấn đề thực tiễn có liên quan.
3
v1.0015110212
NỘI DUNG
4
Khái niệm niên kim và chuỗi niên kim
Chuỗi niên kim cố định
Chuỗi niên kim biến đổi 
v1.0015110212
5.1. KHÁI NIỆM NIÊN KIM VÀ CHUỖI NIÊN KIM
• Niên kim là khoản tiền xuất hiện sau một khoảng thời gian (tháng, quý, năm)
• Chuỗi niên kim là tập hợp các niên kim xuất hiện cách đều nhau.
• Các yếu tố của một chuỗi niên kim:
 Số lượng niên kim trong chuỗi;
 Khoảng cách giữa các niên kim;
 Giá trị của mỗi niên kim;
 Thời điểm xuất hiện niên kim đầu tiên;
 Lãi suất áp dụng.
5
v1.0015110212
5.1. KHÁI NIỆM NIÊN KIM VÀ CHUỖI NIÊN KIM (tiếp theo)
6
Chuỗi
niên kim
Sự ổn định và
hạn chế của
thu nhập
Tiết kiệm và
tiêu dùng
Vấn đề thanh
khoản, xử lý
nợ
v1.0015110212
5.1. KHÁI NIỆM NIÊN KIM VÀ CHUỖI NIÊN KIM (tiếp)
• Chuỗi niên kim cố định là chuỗi niên kim gồm các niên kim có giá trị bằng nhau.
• Chuỗi niên kim biến đổi (không cố định) là chuỗi niên kim gồm các niên kim có giá trị
khác nhau. Gồm:
 Chuỗi niên kim biến động theo cấp số cộng là chuỗi niên kim trong đó giá trị của
các niên kim thay đổi theo cấp số cộng.
 Chuỗi niên kim biến động theo cấp số nhân là chuỗi niên kim trong đó giá trị của
các niên kim thay đổi theo cấp số nhân.
 Chuỗi niên kim mà trong đó giá trị của các niên kim có độ lớn tùy ý ( không theo
quy luật).
7
v1.0015110212
5.1. KHÁI NIỆM NIÊN KIM VÀ CHUỖI NIÊN KIM (tiếp)
8
Cơ sở để tính toán giá trị của một chuỗi niên kim
1. Nguyên tắc giá trị thời gian của tiền
Tiền tệ biến đổi theo thời gian dưới tác động của lãi suất.
2. Vốn hóa và hiện tại hóa
Vốn hóa
to Cn = Co(1+i)n tn
Giá trị hiện tại Giá trị tương lai
C0 Cn
Hiện tại hóa
to Co = Cn(1+i)-n tn
Giá trị hiện tại Giá trị tương lai
C0 Cn
v1.0015110212
5.2. CHUỖI NIÊN KIM CỐ ĐỊNH
9
2.2. Giá trị hiện tại của chuỗi niên kim cố định 
2.1. Số tiền thu được cuối cùng của chuỗi niên kim cố định 
2.3. Giá trị của chuỗi niên kim cố định tại thời điểm bất kỳ 
v1.0015110212
5.2.1. SỐ TIỀN THU ĐƯỢC CUỐI CÙNG CỦA CHUỖI NIÊN KIM CỐ ĐỊNH (Vn) 
Bài toán:
Một khách hàng đến ngân hàng gửi tiền hưởng lãi gộp với số tiền gửi mỗi lần bằng nhau
là a (đơn vị tiền tệ), gửi tất cả n (lần) và các lần gửi tiền cách đều nhau một thời kỳ, lãi
suất tiền gửi là i (%/thời kỳ). Hỏi ngay sau lần gửi tiền cuối cùng thì khách hàng có bao
nhiêu tiền trong ngân hàng?
10
v1.0015110212
5.2.1. SỐ TIỀN THU ĐƯỢC CUỐI CÙNG CỦA CHUỖI NIÊN KIM CỐ ĐỊNH (Vn) 
11
0 1 2 3 n-1 n
a a a a a
Công thức:
Vn = a(1+i)n–1+a(1+i)n–2++a(1+i)1+a(1+i)0 Hay:
a(1+i)
.
a(1+i)n-3
a(1+i)n-2
a(1+i)n
Vn = a (1+i)
n – 1 
i
v1.0015110212
BÀI TẬP TÌNH HUỐNG
Bài 1: Một người cứ 4 tháng nộp 1 khoản tiền không đổi vào ngân hàng với lãi suất 6%
năm và dự định sau 10 năm sẽ có 1 khoản tiền 100.000 USD để mua nhà. Tính số tiền
người đó phải nộp mỗi kỳ để đạt được mục tiêu trên.
Đáp án:
Gọi số tiền người này nộp mỗi lần là a
Số lần nộp tiền: 10× 3 = 30 lần
Lãi suất của kì hạn 3 tháng: 6%/3 = 2%/4 tháng
Giá trị số tiền nộp định kì là :
a[(1+2%)30 – 1]/2% = 100.000 -> a = 2.465 USD
12
v1.0015110212
5.2.2. GIÁ TRỊ HIỆN TẠI CỦA CHUỖI NIÊN KIM CỐ ĐỊNH (V0)
Bài toán:
Một khách hàng đến ngân hàng vay tiền với cam kết trả nợ như sau: trả làm n lần thì hết
nợ, các lần trả cách nhau một thời kỳ, số tiền trả nợ mỗi lần bằng nhau bằng a (Đơn vị
tiền tệ), lãi suất tiền vay là i (%/thời kỳ). Hỏi số tiền ngân hàng cho khách hàng vay là
bao nhiêu biết rằng thời điểm trả khoản nợ đầu tiên cách lúc vay đúng một thời kỳ?
13
v1.0015110212
5.2.2. GIÁ TRỊ HIỆN TẠI CỦA CHUỖI NIÊN KIM CỐ ĐỊNH (V0)
14
Công thức:
V0 = a(1+i)–1+a(1+i)–2++a(1+i)–n
Hay
V0 = a 1– (1+i)
–n
i
v1.0015110212
BÀI TẬP TÌNH HUỐNG
Bài 2: Tính giá trị của chuỗi niên kim vào ngày 25/11/1984 biết rằng số tiền của mỗi niên
kim là 11.500, niên kim đầu tiên được thực hiện vào ngày 25/11/1985, niên kim cuối
cùng được thực hiện vào ngày 25/11/1996. Lãi suất không đổi bằng 11,5%/năm.
Bài giải: Từ 25/11/1985 đến ngày 25/11/1996 có 12 niên kim đã được thực hiện
(tham khảo bài toán đếm cây)
(4 khoảng và 5 cây)
Áp dụng công thức, biết a, i, n -> tính được V0
Số tiền cho vay xấp xỉ 72.917
15
v1.0015110212
5.2.3. GIÁ TRỊ CỦA CHUỖI NIÊN KIM CỐ ĐỊNH TẠI THỜI ĐIỂM BẤT KỲ (Vnd)
Bài toán:
Một khách hàng đến ngân hàng gửi tiền hưởng lãi gộp với số tiền gửi mỗi lần bằng nhau
là a (đơn vị tiền tệ), gửi tất cả n (lần) và các lần gửi tiền cách đều nhau một thời kỳ, lãi
suất tiền gửi là i (%/thời kỳ). Hỏi sau d thời kỳ kể lần gửi tiền cuối cùng thì khách hàng có
bao nhiêu tiền trong ngân hàng?
16
v1.0015110212
5.2.3. GIÁ TRỊ CỦA CHUỖI NIÊN KIM CỐ ĐỊNH TẠI THỜI ĐIỂM BẤT KỲ (Vnd)
17
Công thức:
Vnd = Vn . (1+i)d
Hay
Vnd = a (1+i)
n – 1 (1+i)di
v1.0015110212
BÀI TẬP TÌNH HUỐNG
Bài 3: Một người cứ đến 14/10 hàng năm lại đến ngân hàng gửi tiền tiết kiệm hưởng lãi
gộp một số tiền là 5 triệu đồng. Người này gửi liên tục 9 lần như vậy rồi thôi không gửi
thêm tiền nữa. Số tiền có được để tại ngân hàng hưởng lãi suất tiền gửi là 7% năm.
Đúng 15 năm sau kể từ ngày gửi khoản tiền đầu tiên, người này rút toàn bộ số tiền có
được. Hãy xác định số tiền khách hàng rút ra.
Bài giải:
Sơ đồ trục thời gian minh họa tình huống:
• 9 niên kim 15 lần
Số tiền có được sau 9 lần gửi tiền (tính đến lần gửi tiền cuối cùng):
5[(1+7%)9 – 1)]/7% = 59,9
Số tiền khách hàng rút ra: 59,9(1+7%)15 = 165,5
18
v1.0015110212
TÁCH CHUỖI NIÊN KIM VÀ XÁC ĐỊNH GIÁ TRỊ CHUỖI
Bài 4: Một khách hàng cứ vào ngày 6/8 hàng năm lại đến ngân hàng gửi tiền tiết kiệm
hưởng lãi gộp. Người này gửi tất cả 8 lần với số tiền gửi mỗi lần bằng nhau bằng 10
triệu đồng. Trong thời gian đầu, lãi suất tiền gửi là 10,5% năm; 2 năm cuối lãi suất tăng
lên là 12,5% năm. Hãy xác định số tiền người này có được ngay sau lần gửi cuối cùng.
Bài giải:
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
i = 12,5%
Số tiền người này có được:
10[(1+10,5%)8 -1]/10,5% x (1+12,5%)2 + 10[(1+12,5%)2 -1]/12,5% = 137,7
19
v1.0015110212
5.3. CHUỖI NIÊN KIM BIẾN ĐỔI
20
3.2. Chuỗi niên kim biến động theo cấp số nhân
3.1. Chuỗi niên kim biến động theo cấp số cộng
3.3. Giá trị của chuỗi niên kim cố định tại thời điểm bất kỳ 
v1.0015110212
5.3.1. CHUỖI NIÊN KIM BIẾN ĐỘNG THEO CẤP SỐ CỘNG
21
3.1.2. Giá trị hiện tại của chuỗi niên kim biến động theo cấp số cộng {(a)Vo}
3.1.1. Số tiền thu được cuối cùng của chuỗi niên kim biến động theo cấp 
số cộng {(a)Vn}
v1.0015110212
5.3.1.1. SỐ TIỀN THU ĐƯỢC CUỐI CÙNG CỦA CHUỖI NIÊN KIM BIẾN ĐỘNG THEO CẤP 
SỐ CỘNG {(a)Vn}
Bài toán:
Một khách hàng đến ngân hàng gửi tiền hưởng lãi gộp với số tiền gửi lần đầu tiên là a
(đơn vị tiền tệ), số tiền các lần gửi sau bằng số tiền của lần gửi ngay trước đó cộng r
(đơn vị tiền tệ và r không đổi), gửi tất cả n (lần) và các lần gửi tiền cách đều nhau một
thời kỳ, lãi suất tiền gửi là i (%/thời kỳ). Hỏi ngay sau lần gửi tiền cuối cùng thì khách
hàng có bao nhiêu tiền trong ngân hàng?
22
v1.0015110212
5.3.1.1. SỐ TIỀN THU ĐƯỢC CUỐI CÙNG CỦA CHUỖI NIÊN KIM BIẾN ĐỘNG THEO CẤP 
SỐ CỘNG {(a)Vn} (tiếp theo)
23
Công thức:
(a)Vn = a(1+i)n–1 + (a+r) (1+i)n–2 + (a+2r) (1+i)n–3 +  + {a + (n–2)r} (1+i)1 + {a+(n–1)r} (1+i)0
Hay
(a)Vn =
(1+i)n–1 (a+ r ) – nri i i
v1.0015110212
5.3.1.2. GIÁ TRỊ HIỆN TẠI CỦA CHUỖI NIÊN KIM BIẾN ĐỘNG THEO CẤP SỐ CỘNG 
{(a)Vo}
Bài toán:
Một khách hàng đến ngân hàng vay tiền với cam kết trả nợ như sau: trả làm n lần thì hết
nợ, các lần trả cách nhau một thời kỳ, số tiền trả nợ lần thứ nhất là a (đơn vị tiền tệ), số
tiền các lần trả sau bằng số tiền của lần trả ngay trước đó cộng r (đơn vị tiền tệ, r không
đổi), lãi suất tiền vay là i (%/thời kỳ). Hỏi số tiền ngân hàng cho khách hàng vay là bao
nhiêu biết rằng thời điểm trả khoản nợ đầu tiên cách lúc vay đúng một thời kỳ?
24
v1.0015110212
5.3.1.2. GIÁ TRỊ HIỆN TẠI CỦA CHUỖI NIÊN KIM BIẾN ĐỘNG THEO CẤP SỐ CỘNG 
{(a)Vo} (tiếp theo)
25
Công thức:
(a)V0 = a(1+i)–1+(a+r) (1+i)–2+(a+2r) (1+i)–3 +  + {a+(n–2)r} (1+i)–(n–1) + {a+(n–1)r} 
(1+i)–n
Hay:
Và:
(a)V0 = 
1 – (1+i)–n
(a+
r
) –
ri
(1+i)–n
ii i
(a)V0 = 
1 – (1+i)–n
(a +
r
+ nr) –
ri
i i i
v1.0015110212
5.3.1.2. GIÁ TRỊ HIỆN TẠI CỦA CHUỖI NIÊN KIM BIẾN ĐỘNG THEO CẤP SỐ CỘNG 
{(a)Vo}
Bài toán:
Một khách hàng đến ngân hàng vay tiền với cam kết trả nợ như sau: trả làm n lần thì hết
nợ, các lần trả cách nhau một thời kỳ, số tiền trả nợ lần thứ nhất là a (đơn vị tiền tệ), số
tiền các lần trả sau bằng số tiền của lần trả ngay trước đó cộng r (đơn vị tiền tệ, r không
đổi), lãi suất tiền vay là i (%/thời kỳ). Hỏi số tiền ngân hàng cho khách hàng vay là bao
nhiêu biết rằng thời điểm trả khoản nợ đầu tiên cách lúc vay đúng một thời kỳ?
26
v1.0015110212
5.3.1.2. GIÁ TRỊ HIỆN TẠI CỦA CHUỖI NIÊN KIM BIẾN ĐỘNG THEO CẤP SỐ CỘNG 
{(a)Vo} (tiếp theo)
27
Công thức:
(a)V0 = a(1+i)–1+(a+r) (1+i)–2+(a+2r) (1+i)–3 +  + {a+(n–2)r} (1+i)–(n–1) + {a+(n–1)r} 
(1+i)–n
Hay:
Và:
(a)V0 = 
1 – (1+i)–n
(a+
r
) –
ri
(1+i)–n
ii i
(a)V0 = 
1 – (1+i)–n
(a +
r
+ nr) –
ri
i i i
v1.0015110212
5.3.2. CHUỖI NIÊN KIM BIẾN ĐỘNG THEO CẤP SỐ NHÂN
Số tiền thu được cuối cùng của chuỗi niên kim biến động theo cấp số nhân {(g)Vn}
Bài toán:
Một khách hàng đến ngân hàng gửi tiền hưởng lãi gộp với số tiền gửi lần đầu tiên là a
(đơn vị tiền tệ), số tiền các lần gửi sau bằng số tiền của lần gửi ngay trước đó nhân với q
(đợ vị tiền tệ và q không đổi), gửi tất cả n (lần) và các lần gửi tiền cách đều nhau một
thời kỳ, lãi suất tiền gửi là i (%/thời kỳ). Hỏi ngay sau lần gửi tiền cuối cùng thì khách
hàng có bao nhiêu tiền trong ngân hàng?
28
v1.0015110212
5.3.2. CHUỖI NIÊN KIM BIẾN ĐỘNG THEO CẤP SỐ NHÂN (tiếp theo)
29
Công thức:
(g)Vn = a(1+i)n–1+aq(1+i)n–2+aq2(1+i)n–3+  + aqn–2(1+i)1+aqn–1(1+i)0
Hay:
(g)Vn = a q
n – (1+i)n
q – (1+i)
v1.0015110212
5.3.2. CHUỖI NIÊN KIM BIẾN ĐỘNG THEO CẤP SỐ NHÂN (tiếp theo)
30
Trường hợp đặc biệt q = 1 + i
Thay vào công thức V(n) ban đầu ta có:
Vn = a(1+i)n–1 + a(1+i)n–1 + .+ a(1+i)n–1
Vn = n a (1+i)n–1
v1.0015110212
BÀI TẬP TÌNH HUỐNG
Bài 5: Một người vay ngân hàng 990 triệu đồng, lãi suất 10%/năm. Trả 20 lần vào cuối
mỗi năm thì hết nợ. Thời điểm trả khoản đầu tiên cách thời điểm vay 1 năm. 9 lần đầu trả
số tiền bằng nhau là a. Từ lần trả thứ 10, số tiền trả mỗi lần bằng lần ngay trước đó cộng
1 triệu đồng. Tính số tiền trả nợ lần đầu.
Bài giải:
Bài tập đòi hỏi ta phải tách các niên kim ra thành hai chuỗi: một chuỗi cố định và một
chuỗi biến đổi theo cấp số cộng.
Chuỗi đầu gồm 8 niên kim cố định.
Chuỗi sau gồm 11 niên kim biến đổi theo cấp số cộng, với niên kim đầu tiên là a.
Theo nguyên tắc cân bằng về mặt giá trị:
990(1+10%)20 = a[(1+10%)8 – 1]/10% ( 1+10%)11 + (a +1/10%)[(1+10%)11 -1]/10% -
11/10%
Giải ra ta được a = (SV tự bấm máy để ra kết quả)
31
v1.0015110212
GIẢI QUYẾT TÌNH HUỐNG
Lãi suất tháng được áp dụng là: 30%/12 = 2,5%
Số tiền phải trả hàng tháng là : 40. 2,5%.(1+2,5%)24 = a[(1+2,5%)24 – 1]
a = 2,23
Như vậy số tiền phải thanh toán vào khoảng 2,23 triệu đồng một tháng.
Các khoản vay thời gian dài thường thả nổi về lãi suất do các yếu tố thị trường là không
thể dự báo chính xác.
Lãi suất thực mà người đi vay phải gánh chịu càng cao nếu kì hạn càng dài.
32
v1.0015110212
CÂU HỎI TRẮC NGHIỆM 1
Tính chất quan trọng của một chuỗi niên kim là:
A. lãi suất ổn định.
B. quy luật biến động số tiền của mỗi niên kim.
C. sự thực hiện niên kim cách đều về mặt thời gian.
D. Ý kiến khác.
Trả lời:
Đáp án đúng là: C. sự thực hiện niên kim cách đều về mặt thời gian.
33
v1.0015110212
CÂU HỎI TRẮC NGHIỆM 2
Trong thực tế gửi tiền, ta thường gặp nhất chuỗi niên kim nào?
A. Chuỗi niên kim biến đổi theo cấp số cộng.
B. Chuỗi niên kim biến đổi theo cấp số nhân.
C. Chuỗi niên kim cố định.
D. Chuỗi niên kim không theo quy luật.
Trả lời:
• Đáp án đúng là: C. Chuỗi niên kim cố định.
• Giải thích: Đây là cách thức thanh toán nợ phổ biến trong các khoản vay tiêu dùng
trong ngắn hạn. Tiết kiệm cá nhân trong ngắn hạn cũng thường tuân theo cách
thức này.
34
v1.0015110212
TÓM LƯỢC CUỐI BÀI
Một trong những vấn đề mà chúng ta sẽ xem xét nhiều trong quá trình nghiên cứu toán
tài chính là so sánh giữa giá trị của một khoản đầu tư cụ thể tại thời điểm hiện tại với giá
trị của nó tại một thời điểm nào đó trong tương lai. Trên thực tế, việc tính toán và so
sánh các giá trị này có ý nghĩa rất quan trọng đối với các nhà đầu tư cá nhân, tổ chức
trong việc lập kế hoạch tài chính, đưa ra quyết định tín dụng hay áp dụng các chiến lược
quản lý tài sản. Việc nắm vững kiến thức về chuỗi niên kim giúp học viên dễ dàng hơn
trong việc giải quyết những vấn đề liên quan đến ngân hàng thương mại nói riêng và thị
trường tài chính nói chung.
35