Bài giảng Toán rời rạc - Phần 2: Lý thuyết đồ thị - Chương 5: Bài toán đường đi ngắn nhất - Nguyễn Đức Nghĩa

Toán rời rạc, Fall 2005 
 Bài toán đường đi ngắn nhất 1 
Chương 5 
BÀI TOÁN ĐƯỜNG ĐI NGẮN NHẤT 
Toán rời rạc, Fall 2005 
 Bài toán đường đi ngắn nhất 2 
Nội dung 
5.1. Bài toán đường đi ngắn nhất (ĐĐNN) 
5.2. Tính chất của ĐĐNN, Giảm cận trên 
5.3. Thuật toán Bellman-Ford 
5.4. Thuật toán Dijkstra 
5.5. Đường đi ngắn nhất trong đồ thị không có chu trình 
5.6. Thuật toán Floyd-Warshal 
Toán rời rạc, Fall 2005 
 Bài toán đường đi ngắn nhất 3 
5.1. Bài toán đường đi ngắn nhất 
Cho đơn đồ thị có hướng G = ( V , E ) với hàm trọng số w : E ® R ( w ( e ) được gọi là độ dài hay trọng số của cạnh e ) 
Độ dài của đường đi P = v 1 ® v 2 ®  ® v k là số 
Đường đi ngắn nhất từ đỉnh u đến đỉnh v là đường đi có độ dài ngắn nhất trong số các đường đi nối u với v . 
Độ dài của đường đi ngắn nhất từ u đến v còn được gọi là khoảng cách từ u tới v và ký hiệu là ( u,v ) . 
Toán rời rạc, Fall 2005 
 Bài toán đường đi ngắn nhất 4 
Ví dụ 
path s s,a s,a,b s,a,b,c s,a,d s,a,b,e s,a,b,e,f 
weight 0 3 4 6 6 6 9 
s a b c d e f 
Cho đồ thị có trọng số G = ( V , E ), và đỉnh nguồn s V , hãy tìm 
đường đi ngắn nhất từ s đến mỗi đỉnh còn lại. 
a 
s 
b 
e 
f 
d 
c 
3 
3 
5 
1 
2 
2 
2 
4 
1 
6 
3 
5 
đỉnh nguồn 
Toán rời rạc, Fall 2005 
 Bài toán đường đi ngắn nhất 5 
Các ứng dụng thực tế 
Giao thông (Transportation) 
Truyền tin trên mạng (Network routing) (cần hướng các gói tin đến đích trên mạng theo đường nào?) 
Truyền thông (Telecommunications) 
Speech interpretation (best interpretation of a spoken sentence) 
Điều khiển robot (Robot path planning) 
Medical imaging 
Giải các bài toán phức tạp hơn trên mạng 
... 
Toán rời rạc, Fall 2005 
 Bài toán đường đi ngắn nhất 6 
Các dạng bài toán ĐĐNN 
Bài toán một nguồn một đích: Cho hai đỉnh s và t , cần tìm đường đi ngắn nhất từ s đến t . 
Bài toán một nguồn nhiều đích: Cho s là đỉnh nguồn, cần tìm đường đi ngắn nhất từ s đến tất cả các đỉnh còn lại. 
Bài toán mọi cặp: Tìm đường đi ngắn nhất giữa mọi cặp đỉnh của đồ thị. 
Đường đi ngắn nhất theo số cạnh - BFS. 
Toán rời rạc, Fall 2005 
 Bài toán đường đi ngắn nhất 7 
Nhận xét 
Các bài toán được xếp theo thứ tự từ đơn giản đến phức tạp 
Hễ có thuật toán hiệu quả để giải một trong ba bài toán thì thuật toán đó cũng có thể sử dụng để giải hai bài toán còn lại 
Toán rời rạc, Fall 2005 
 Bài toán đường đi ngắn nhất 8 
Giả thiết cơ bản 
Nếu đồ thị có chu trình âm thì độ dài đường đi giữa hai đỉnh nào đó có thể làm nhỏ tuỳ ý: 
-18 
a 
b 
e 
c 
d 
2 
3 
5 
5 
Giả thiết: 
 Đồ thị không chứa chu trình độ dài âm (gọi tắt là chu trình âm) 
Xét đường đi từ a đến e : 
P : a  ( d b c d ) e 
w ( P ) = 7-10  - ∞, khi  + ∞ 
Toán rời rạc, Fall 2005 
 Bài toán đường đi ngắn nhất 9 
Trọng số âm 
-6 
0 
3 
5 
11 
-1 
- 
- 
- 
3 
5 
2 
3 
7 
8 
4 
-4 
6 
-3 
s 
a 
c 
e 
b 
d 
f 
g 
2 
-8 
3 
h 
j 
i 
không đạt tới được từ s 
chu trình âm 
đỉnh 
nguồn 
Độ dài của đường đi ngắn nhất có thể là hoặc – . 
Toán rời rạc, Fall 2005 
 Bài toán đường đi ngắn nhất 10 
5.1. Bài toán đường đi ngắn nhất (ĐĐNN) 
5.2. Tính chất của ĐĐNN, Giảm cận trên 
5.3. Thuật toán Bellman-Ford 
5.4. Thuật toán Dijkstra 
5.5. Đường đi ngắn nhất trong đồ thị không có chu trình 
5.6. Thuật toán Floyd-Warshal 
Toán rời rạc, Fall 2005 
 Bài toán đường đi ngắn nhất 11 
Các tính chất của ĐĐNN 
Tính chất 1 . Đường đi ngắn nhất luôn có thể tìm trong số các đường đi đơn. 
CM: Bởi vì việc loại bỏ chu trình độ dài không âm khỏi đường đi không làm tăng độ dài của nó. 
Tính chất 2 . Mọi đường đi ngắn nhất trong đồ thị G đều đi qua không quá n- 1 cạnh, trong đó n là số đỉnh. 
Như là hệ quả của tính chất 1 
u 
v 
C 
w(C) 0 
Toán rời rạc, Fall 2005 
 Bài toán đường đi ngắn nhất 12 
Các tính chất của ĐĐNN 
Tính chất 3: Giả sử P = ‹ v 1 , v 2 , , v k › là đđnn từ v 1 đến v k . Khi đó, P ij = ‹ v i , v i +1 , , v j › là đđnn từ v i đến v j , với 1 i j k . 
(Bằng lời: Mọi đoạn đường con của đường đi ngắn nhất đều là 
đường đi ngắn nhất ) 
CM. Phản chứng. Nếu P ij không là đđnn từ v i đến v j , thì tìm được 
P’ ij là đường đi từ v i đến v j thoả mãn w ( P’ ij ) < w ( P ij ). Khi đó gọi P ’ 
là đường đi thu được từ P bởi việc thay đoạn P ij bởi P ’ ij , ta có 
w ( P ’) < w ( P ) ?! 
v 1 
v k 
P’ ij 
P ij 
v j 
v i 
Toán rời rạc, Fall 2005 
 Bài toán đường đi ngắn nhất 13 
Hệ quả: Giả sử P là đđnn từ s tới v , trong đó P = s u v . 
Khi đó δ( s, v ) = δ( s, u ) + w ( u, v ). 
Các tính chất của ĐĐNN 
Tính chất 4: Giả sử s V . Đối với mỗi cạnh ( u,v ) E , ta có 
δ( s, v ) δ( s, u ) + w ( u,v ). 
Ký hiệu: δ( u, v ) = độ dài đđnn từ u đến v (gọi là khoảng cách từ u đến v ) 
Toán rời rạc, Fall 2005 
 Bài toán đường đi ngắn nhất 14 
Đường đi ngắn nhất xuất phát từ một đỉnh Single-Source Shortest Paths 
Toán rời rạc, Fall 2005 
 Bài toán đường đi ngắn nhất 15 
Biểu diễn đường đi ngắn nhất 
d ( v ) = độ dài đường đi từ s đến v ngắn nhất hiện biết 
 (cận trên cho độ dài đường đi ngắn nhất thực sự). 
p ( v ) = đỉnh đi trước v trong đường đi nói trên 
 (sẽ sử dụng để truy ngược đường đi từ s đến v ) . 
Các thuật toán tìm đường đi ngắn nhất làm việc với hai mảng: 
Khởi tạo (Initialization) 
for v V( G) 
 do d [ v ]  
 p [ v ]  NIL 
d [s]  0 
Toán rời rạc, Fall 2005 
 Bài toán đường đi ngắn nhất 16 
Giảm cận trên (Relaxation) 
Sử dụng cạnh ( u, v ) để kiểm tra xem đường đi đến v đã tìm được 
có thể làm ngắn hơn nhờ đi qua u hay không. 
s 
z 
v 
u 
p ( v ) 
s 
z 
v 
u 
p ( v ) 
d [ v ] > d[ u ] + w ( u , v ) 
Relax( u , v ) 
 if d [ v ] > d [ u ] + w ( u , v ) 
 then d [ v ]  d [ u ] + w ( u , v ) 
 p [ v ]  u 
Các thuật toán tìm đđnn khác nhau ở 
số lần dùng các cạnh và trình tự duyệt 
chúng để thực hiện giảm cận 
. 
Toán rời rạc, Fall 2005 
 Bài toán đường đi ngắn nhất 17 
Nhận xét chung 
 ViÖc cµi ®Æt c¸c thuËt to¸n ®­îc thÓ hiÖn nhê thñ tôc g¸n nh·n : 
Mçi ®Ønh v sÏ cã nh·n gåm 2 thµnh phÇn ( d [ v ], p [ v ]). Nh·n sÏ biÕn ®æi trong qu¸ tr×nh thùc hiÖn thuËt to¸n 
NhËn thÊy r»ng ®Ó tÝnh kho¶ng c¸ch tõ s ®Õn t , ë ®©y, ta ph¶i tÝnh kho¶ng c¸ch tõ s ®Õn tÊt c¶ c¸c ®Ønh cßn l¹i cña ®å thÞ. 
HiÖn nay vÉn ch­a biÕt thuËt to¸n nµo cho phÐp t×m ®®nn nhÊt gi÷a hai ®Ønh lµm viÖc thùc sù hiÖu qu¶ h¬n nh÷ng thuËt to¸n t×m ®®nn tõ mét ®Ønh ®Õn tÊt c¶ c¸c ®Ønh cßn l¹i. 
Toán rời rạc, Fall 2005 
 Bài toán đường đi ngắn nhất 18 
Nội dung 
5.1. Bài toán đường đi ngắn nhất (ĐĐNN) 
5.2. Tính chất của ĐĐNN, Giảm cận trên 
5.3. Thuật toán Bellman-Ford 
5.4. Thuật toán Dijkstra 
5.5. Đường đi ngắn nhất trong đồ thị không có chu trình 
5.6. Thuật toán Floyd-Warshal 
Thuật toán Ford-Bellman 
Toán rời rạc, Fall 2005 
 Bài toán đường đi ngắn nhất 19 
Richard Bellman 
1920-1984 
Lester R. Ford, Jr. 1927~ 
Toán rời rạc, Fall 2005 
 Bài toán đường đi ngắn nhất 20 
Thuật toán Ford-Bellman 
ThuËt to¸n Ford - Bellman t×m ®­êng ®i ng¾n nhÊt tõ ®Ønh s ®Õn tÊt c¶ c¸c ®Ønh cßn l¹i cña ®å thÞ. 
ThuËt to¸n lµm viÖc trong tr­êng hîp träng sè cña c¸c cung lµ tuú ý. 
Gi¶ thiÕt r»ng trong ®å thÞ kh«ng cã chu tr×nh ©m. 
§Çu vµo: §å thÞ G= ( V,E ) víi n ®Ønh x¸c ®Þnh bëi ma trËn träng sè w [ u,v ] , u,v V, ®Ønh nguån s V; 
§Çu ra: Víi mçi v V 
d [ v ] = ( s, v ); 
p [ v ] - ®Ønh ®i tr­íc v trong ®®nn tõ s ®Õn v. 
Toán rời rạc, Fall 2005 
 Bài toán đường đi ngắn nhất 21 
Mô tả thuật toán 
procedure Ford_Bellman; 
begin 
 for v V do begin (* Khëi t¹o *) 
 d[v] := w[s,v] ; p[v]:=s; 
 end; 
 d[s]:=0; p[s]:=s; 
 for k := 1 to n-2 do (* n = |V| *) 
 for v V \ {s} do 
 for u V do 
 if d[v] > d[u] + w[u,v] then 
 begin d[v] := d[u] + w[u,v] ; 
 p[v] := u ; 
 end; 
end; 
Toán rời rạc, Fall 2005 
 Bài toán đường đi ngắn nhất 22 
Nhận xét 
TÝnh ®óng ®¾n cña thuËt to¸n cã thÓ chøng minh trªn c¬ së nguyªn lý tèi ­u cña quy ho¹ch ®éng. 
§é phøc t¹p tÝnh to¸n cña thuËt to¸n lµ O ( n 3 ). 
Cã thÓ chÊm døt vßng lÆp theo k khi ph¸t hiÖn trong qu¸ tr×nh thùc hiÖn hai vßng lÆp trong kh«ng cã biÕn d [ v ] nµo bÞ ®æi gi¸ trÞ. ViÖc nµy cã thÓ x¶y ra ®èi víi k < n- 2, vµ ®iÒu ®ã lµm t¨ng hiÖu qu¶ cña thuËt to¸n trong viÖc gi¶i c¸c bµi to¸n thùc tÕ. 
Toán rời rạc, Fall 2005 
 Bài toán đường đi ngắn nhất 23 
Ví dụ 
0 
6 
8 
2 
7 
-3 
-4 
7 
9 
5 
-2 
s 
t 
y 
z 
x 
Source: s 
Trình tự duyệt cạnh để giảm cận: ( t, x ), ( t, y ), ( t, z ), ( x, t ), ( y, x ), ( y, z ), 
 ( z, x ), ( z, s ), ( s, t ), ( s, y ) 
Toán rời rạc, Fall 2005 
 Bài toán đường đi ngắn nhất 24 
 Lần 1 
0 
7 
6 
6 
8 
2 
7 
-3 
-4 
7 
9 
5 
-2 
s 
t 
y 
z 
x 
d [ y ] = 7 
p [ y ] = s 
d [ t ] = 6 
p [ t ] = s 
Toán rời rạc, Fall 2005 
 Bài toán đường đi ngắn nhất 25 
Lần 2 
0 
2 
7 
11 
6 
6 
8 
2 
7 
-3 
-4 
7 
9 
5 
-2 
s 
t 
y 
z 
x 
Relax ( t, x ), ( t, y ), ( t, z ), ( x, t ). 
d [ x ] = 11 
p [ x ] = t 
d [z] = 2 
p [ z ] = t 
Toán rời rạc, Fall 2005 
 Bài toán đường đi ngắn nhất 26 
Lần 2 (tiếp) 
0 
2 
7 
4 
6 
6 
8 
2 
7 
-3 
-4 
7 
9 
5 
-2 
s 
t 
y 
z 
x 
Relax ( y, x ), ( y, z ), ( z, x ), ( z, s ), ( z, s ), ( s, t ), ( s, y ). 
d [ x ] = 4 
p [ x ] = y 
Toán rời rạc, Fall 2005 
 Bài toán đường đi ngắn nhất 27 
Lần 3 
0 
2 
7 
4 
2 
6 
8 
2 
7 
-3 
-4 
7 
9 
5 
-2 
s 
t 
y 
z 
x 
d [ t ] = 2 
p [ t ] = x 
Toán rời rạc, Fall 2005 
 Bài toán đường đi ngắn nhất 28 
Lần 4 
0 
-2 
7 
4 
2 
6 
8 
2 
7 
-3 
-4 
7 
9 
5 
-2 
s 
t 
y 
z 
x 
d [z] = -2 
p [ z ] = t (không đổi) 
Toán rời rạc, Fall 2005 
 Bài toán đường đi ngắn nhất 29 
Nhận xét 
§èi víi ®å thÞ th­a tèt h¬n lµ sö dông danh s¸ch kÒ Ke-( v ), v V , ®Ó biÓu diÔn ®å thÞ, khi ®ã vßng lÆp theo u cÇn viÕt l¹i d­íi d¹ng 
 for u Ke (v) do 
 if d[v] > d[u] + w[u,v] then 
 begin 
 d[v] := d[u] + w[u,v] ; 
 p[v] := u ; 
 end; 
ThuËt to¸n cã ®é phøc t¹p O ( n.m ). 
Toán rời rạc, Fall 2005 
 Bài toán đường đi ngắn nhất 30 
Nội dung 
5.1. Bài toán đường đi ngắn nhất (ĐĐNN) 
5.2. Tính chất của ĐĐNN, Giảm cận trên 
5.3. Thuật toán Bellman-Ford 
5.4. Thuật toán Dijkstra 
5.5. Đường đi ngắn nhất trong đồ thị không có chu trình 
5.6. Thuật toán Floyd-Warshal 
Toán rời rạc, Fall 2005 
 Bài toán đường đi ngắn nhất 31 
Thuật toán Dijkstra 
Trong tr­êng hîp träng sè trªn c¸c cung lµ kh«ng ©m, thuËt to¸n do Dijkstra ®Ò nghÞ h÷u hiÖu h¬n rÊt nhiÒu so víi thuËt to¸n Ford-Bellman. 
ThuËt to¸n ®­îc x©y dùng dùa trªn thủ tục gán nhãn. Thoạt tiên nh·n của các đỉnh là t¹m thêi. ë mçi mét b­íc lÆp cã mét nh·n t¹m thêi trë thµnh nh·n cè ®Þnh. NÕu nh·n cña mét ®Ønh u trë thµnh cè ®Þnh th× d [ u ] sÏ cho ta ®é dµi cña ®®nn tõ ®Ønh s ®Õn u . Thuật toán kết thúc khi nhãn của tất cả các đỉnh trở thành cố định. 
Edsger W.Dijkstra 
(1930-2002) 
Toán rời rạc, Fall 2005 
 Bài toán đường đi ngắn nhất 32 
Thuật toán Dijkstra 
 §Çu vµo: §å thÞ cã h­íng G= ( V,E ) víi n ®Ønh, 
 s V lµ ®Ønh xuÊt ph¸t, 
 w [ u,v ] , u,v V - ma trËn träng sè; 
 Gi¶ thiÕt: w [ u,v ] 0, u, v V. 
 §Çu ra: Víi mçi v V 
d [ v ] = ( s, v ); 
p [ v ] - ®Ønh ®i tr­íc v trong ®®nn tõ s ®Õn v. 
Toán rời rạc, Fall 2005 
 Bài toán đường đi ngắn nhất 33 
Thuật toán Dijkstra 
procedure Dijkstra; 
begin 
 for v V do begin (* Khëi t¹o *) 
 d[v] := w[s,v] ; p[v]:=s; 
 end; 
 d[s] := 0; S := {s}; (* S – tËp ®Ønh cã nh·n cè ®Þnh *) 
 T := V \ {s}; (* T lµ tËp c¸c ®Ønh cã nh·n t¹m thêi *) 
 while T  do (* B­íc lÆp *) 
 begin 
 T×m ®Ønh u T tho¶ m·n d[u] = min{ d[z] : z T}; 
 T := T \ {u}; S:= S  {u}; (* Cè ®Þnh nh·n cña ®Ønh u *) 
 for v T do (* G¸n nh·n l¹i cho c¸c ®Ønh trong T *) 
 if d[v] > d[u] + w[u,v] then begin 
 d[v] := d[u] + w[u,v] ; p[v] := u ; 
 end; 
 end; 
end; 
Tập S: Chỉ cần cho chứng minh định lý 
Toán rời rạc, Fall 2005 
 Bài toán đường đi ngắn nhất 34 
Thuật toán Dijkstra 
 Chó ý: NÕu chØ cÇn t×m ®­êng ®i ng¾n nhÊt tõ s ®ªn t th× cã thÓ chÊm døt thuËt to¸n khi ®Ønh t trë thµnh cã nh·n cè ®Þnh. 
§Þnh lý 1. ThuËt to¸n Dijkstra t×m ®­îc ®­êng ®i ng¾n nhÊt tõ ®Ønh s ®Õn tÊt c¶ c¸c ®Ønh cßn l¹i trªn ®å thÞ sau thêi gian O ( n 2 ) . 
 CM: Rõ ràng thời gian tính là O ( n 2 ) 
Toán rời rạc, Fall 2005 
 Bài toán đường đi ngắn nhất 35 
Chứng minh tính đúng đắn của Thuật toán Dijkstra 
Ta sẽ CM với mỗi v S, d(v) = ( s, v ) . 
Qui nạp theo |S|. 
Cơ sở qui nạp : Với |S| = 1, rõ ràng là đúng. 
Chuyển qui nạp: 
giả sử thuật toán Dijkstra bổ sung v vào S 
d (v) là độ dài của một đường đi từ s đến v 
nếu d(v) không là độ dài đđnn từ s đến v, thì gọi P* là đđnn từ s đến v 
P* phải sử dụng cạnh ra khỏi S, chẳng hạn (x, y) 
khi đó d(v)	>  (s, v)	 giả thiết 	 
 =  (s, x) + w(x, y) +  (y, v)	 tính chất 3 
 	  (s, x) + w(x, y) 	  (y, v) là không âm 
	 	= d (x)	 + w(x, y) 	 giả thiết quy nạp 	 d (y)	 theo thuật toán 
vì thế thuật toán Dijkstra phải chọn y thay vì chọn v ?! 
S 
s 
y 
v 
x 
P* 
Toán rời rạc, Fall 2005 
 Bài toán đường đi ngắn nhất 36 
Ví dụ 
Đỉnh 1 
Đỉnh 2 
Đỉnh 3 
Đỉnh 4 
Đỉnh 5 
Đỉnh 6 
Khởi tạo 
[0, 1] 
[1, 1]* 
[ , 1] 
[ , 1] 
[ , 1] 
[ , 1] 
1 
 - 
- 
[6, 2] 
[3, 2]* 
[ , 1] 
[8, 2] 
2 
 - 
- 
[4, 4]* 
- 
[7, 4] 
[8, 2] 
3 
- 
- 
- 
- 
[6, 3] 
[5, 3]* 
4 
- 
- 
- 
- 
[6, 3]* 
- 
5 
- 
- 
- 
- 
- 
- 
Tìm đường đi ngắn nhất từ đỉnh 1 đến tất cả các đỉnh còn lại 
1 
1 
2 
2 
1 
10 
7 
5 
4 
3 
1 
2 
3 
4 
6 
5 
2 
Toán rời rạc, Fall 2005 
 Bài toán đường đi ngắn nhất 37 
Cây đường đi ngắn nhất 
Tập cạnh {( p ( v ), v ): v V \ {s} } tạo thành cây có gốc tại đỉnh nguồn s được gọi là cây đđnn xuất phát từ đỉnh s . 
1 
1 
2 
2 
1 
10 
7 
5 
4 
3 
1 
2 
3 
4 
6 
5 
2 
1 
4 
3 
5 
6 
 Các cạnh màu đỏ tạo thành cây đđnn xuất phát từ đỉnh 1 
 Số màu đỏ viết bên cạnh mỗi đỉnh là độ dài đường đi ngắn nhất từ 1 đến nó. 
Toán rời rạc, Fall 2005 
 Bài toán đường đi ngắn nhất 38 
Nội dung 
5.1. Bài toán đường đi ngắn nhất (ĐĐNN) 
5.2. Tính chất của ĐĐNN, Giảm cận trên 
5.3. Thuật toán Bellman-Ford 
5.4. Thuật toán Dijkstra 
5.5. Đường đi ngắn nhất trong đồ thị không có chu trình 
5.6. Thuật toán Floyd-Warshal 
Toán rời rạc, Fall 2005 
 Bài toán đường đi ngắn nhất 39 
Đường đi trong đồ thị kh ô ng c ó chu tr ì nh 
Shortest Paths In Directed Acyclic Graphs 
Toán rời rạc, Fall 2005 
 Bài toán đường đi ngắn nhất 40 
Đường đi trong đồ thị không có chu trình 
Mét tr­êng hîp riªng cña bµi to¸n ®­êng ®i ng¾n nhÊt gi¶i ®­îc nhê thuËt to¸n víi ®é phøc t¹p tÝnh to¸n O ( n 2 ), ®ã lµ bµi to¸n trªn ®å thÞ kh«ng cã chu tr×nh (cßn träng sè trªn c¸c cung cã thÓ lµ c¸c sè thùc tuú ý). KÕt qu¶ sau ®©y lµ c¬ së ®Ó x©y dùng thuËt to¸n nãi trªn: 
§Þnh lý 2. Gi¶ sö G lµ ®å thÞ kh«ng cã chu tr×nh. Khi ®ã c¸c ®Ønh cña nã cã thÓ ®¸nh sè sao cho mçi cung cña ®å thÞ chØ h­íng tõ ®Ønh cã chØ sè nhá h¬n ®Õn ®Ønh cã chØ sè lín h¬n, nghÜa lµ mçi cung cña nã cã thÓ biÓu diÔn d­íi d¹ng ( v [ i ] , v [ j ]) , trong ®ã i < j . 
Toán rời rạc, Fall 2005 
 Bài toán đường đi ngắn nhất 41 
Thuật toán đánh số đỉnh 
Tr­íc hÕt nhËn thÊy r»ng: Trong ®å thÞ kh«ng cã chu tr×nh bao giê còng t×m ®­îc ®Ønh cã b¸n bËc vµo b»ng 0 . Thùc vËy, b¾t ®Çu tõ ®Ønh v 1 nÕu cã cung ®i vµo nã tõ v 2 th× ta l¹i chuyÓn sang xÐt ®Ønh v 2 . NÕu cã cung tõ v 3 ®i vµo v 2 , th× ta l¹i chuyÓn sang xÐt v 3 , ... Do ®å thÞ lµ kh«ng cã chu tr×nh nªn sau mét sè h÷u h¹n lÇn chuyÓn nh­ vËy ta ph¶i ®i ®Õn ®Ønh kh«ng cã cung ®i vµo. 
ThuËt to¸n ®­îc x©y dùng dùa trªn ý t­ëng rÊt ®¬n gi¶n sau: Tho¹t tiªn, t×m c¸c ®Ønh cã b¸n bËc vµo b»ng 0. Râ rµng ta cã thÓ ®¸nh sè chóng theo mét thø tù tuú ý b¾t ®Çu tõ 1. TiÕp theo, lo¹i bá khái ®å thÞ nh÷ng ®Ønh ®· ®­îc ®¸nh sè cïng c¸c cung ®i ra khái chóng, ta thu ®­îc ®å thÞ míi còng kh«ng cã chu tr×nh, vµ thñ tôc ®­îc lÆp l¹i víi ®å thÞ míi nµy. Qu¸ tr×nh ®ã sÏ ®­îc tiÕp tôc cho ®Õn khi tÊt c¶ c¸c ®Ønh cña ®å thÞ ®­îc ®¸nh sè. 
Toán rời rạc, Fall 2005 
 Bài toán đường đi ngắn nhất 42 
Thuật toán đánh số đỉnh 
 §Çu vµo: §å thÞ cã h­íng G= ( V,E ) víi n ®Ønh kh«ng chøa chu tr×nh ®­îc cho bëi danh s¸ch kÒ Ke ( v ) , v V. 
 §Çu ra: Víi mçi ®Ønh v V chØ sè NR [ v ] tho¶ m·n : Víi mäi cung ( u, v ) cña ®å thÞ ta ®Òu cã NR [ u ] < NR [ v ] . 
Toán rời rạc, Fall 2005 
 Bài toán đường đi ngắn nhất 43 
Thuật toán đánh số đỉnh 
procedure Numbering; 
begin 
 for v V do Vao[v] := 0; 
	for u V do (* TÝnh Vao[v] = b¸n bËc vµo cña v *) 
 for v Ke(u) do Vao[v] := Vao[v] + 1 ; 
 QUEUE :=  ; 
 for v V do 
 if Vao[v] = 0 then QUEUE  v ; 
 num := 0; 
 while QUEUE  do 
 begin 
 u  QUEUE ; num := num + 1 ; NR[u] := num ; 
 for v Ke(u) do begin 
 Vao[v] := Vao[v] - 1 ; 
 if Vao[v] = 0 then QUEUE  v ; 
 end; 
 end; 
end; 
Toán rời rạc, Fall 2005 
 Bài toán đường đi ngắn nhất 44 
Thuật toán đánh số đỉnh 
Râ rµng trong b­íc khëi t¹o ta ph¶i duyÖt qua tÊt c¶ c¸c cung cña ®å thÞ khi tÝnh b¸n bËc vµo cña c¸c ®Ønh, v× vËy ë ®ã ta tèn cì O ( m ) phÐp to¸n, trong ®ã m lµ sè cung cña ®å thÞ. TiÕp theo, mçi lÇn ®¸nh sè mét ®Ønh, ®Ó thùc hiÖn viÖc lo¹i bá ®Ønh ®· ®¸nh sè cïng víi c¸c cung ®i ra khái nã, chóng ta l¹i duyÖt qua tÊt c¶ c¸c cung nµy. Suy ra ®Ó ®¸nh sè tÊt c¶ c¸c ®Ønh cña ®å thÞ chóng ta sÏ ph¶i duyÖt qua tÊt c¶ c¸c cung cña ®å thÞ mét lÇn n÷a. 
VËy ®é phøc t¹p cña thuËt to¸n lµ O ( m ). 
Toán rời rạc, Fall 2005 
 Bài toán đường đi ngắn nhất 45 
Thuật toán tìm đđnn trên đồ thị không có chu trình 
Do cã thuËt to¸n ®¸nh sè trªn, nªn khi xÐt ®å thÞ kh«ng cã chu tr×nh ta cã thÓ gi¶ thiÕt lµ c¸c ®Ønh cña nã ®­îc ®¸nh sè sao cho mçi cung chØ ®i tõ ®Ønh cã chØ sè nhá ®Õn ®Ønh cã chØ sè lín h¬n. 
 ThuËt to¸n t×m ®­êng ®i ng¾n nhÊt tõ ®Ønh nguån v [1] ®Õn tÊt c¶ c¸c ®Ønh cßn l¹i trªn®å thÞ kh«ng cã chu tr×nh 
§Çu vµo: §å thÞ G= ( V, E ) , trong ®ã V= { v [1] , v [2] , ... , v [ n ] } . 
 §èi víi mçi cung ( v [ i ], v [ j ]) E, ta cã i < j. 
 §å thÞ ®­îc cho bëi danh s¸ch kÒ Ke ( v ) , v V. 
§Çu ra: Kho¶ng c¸ch tõ v [1] ®Õn tÊt c¶ c¸c ®Ønh cßn l¹i 
 ®­îc ghi trong m¶ng d [ v [ i ]], i = 2, 3, ..., n 
Toán rời rạc, Fall 2005 
 Bài toán đường đi ngắn nhất 46 
Thuật toán tìm đđnn trên đồ thị không có chu trình 
procedure Critical_Path; 
begin 
 d[v[1]] := 0; 
 for j:=1 to n do d[v[j]] := ∞; 
 for v[j] Ke[v[1]] do 
 d[v[j]] := w(v[1], v[j]) ; 
 for j:= 2 to n do 
 for v Ke[v[j]] do 
 d[v] := min ( d[v], d[v[j]] + w(v[j], v) ) ; 
end; 
§é phøc t¹p tÝnh to¸n cña thuËt to¸n lµ O( m ), do mçi cung cña ®å thÞ ph¶i xÐt qua ®óng mét lÇn. 
Comp 122, Fall 2003 
 Single-source SPs - 47 
Ví dụ 
0 
r 
s 
t 
u 
v 
w 
5 
2 
7 
–1 
–2 
6 
1 
3 
2 
4 
Cần tìm đường đi ngắn nhất từ s đến tất cả các đỉnh đạt đến được từ nó 
Comp 122, Fall 2003 
 Single-source SPs - 48 
Ví dụ 
0 
r 
s 
t 
u 
v 
w 
5 
2 
7 
–1 
–2 
6 
1 
3 
2 
4 
Comp 122, Fall 2003 
 Single-source SPs - 49 
Ví dụ 
0 
2 
6 
r 
s 
t 
u 
v 
w 
5 
2 
7 
–1 
–2 
6 
1 
3 
2 
4 
Comp 122, Fall 2003 
 Single-source SPs - 50 
Ví dụ 
0 
2 
6 
6 
4 
r 
s 
t 
u 
v 
w 
5 
2 
7 
–1 
–2 
6 
1 
3 
2 
4 
Comp 122, Fall 2003 
 Single-source SPs - 51 
Ví dụ 
0 
2 
6 
5 
4 
r 
s 
t 
u 
v 
w 
5 
2 
7 
–1 
–2 
6 
1 
3 
2 
4 
Comp 122, Fall 2003 
 Single-source SPs - 52 
Ví dụ 
0 
2 
6 
5 
3 
r 
s 
t 
u 
v 
w 
5 
2 
7 
–1 
–2 
6 
1 
3 
2 
4 
Comp 122, Fall 2003 
 Single-source SPs - 53 
Ví dụ 
0 
2 
6 
5 
3 
r 
s 
t 
u 
v 
w 
5 
2 
7 
–1 
–2 
6 
1 
3 
2 
4 
Kết quả: Cây đường đi ngắn nhất từ s thể hiện bởi các cung màu đỏ 
Toán rời rạc, Fall 2005 
 Bài toán đường đi ngắn nhất 54 
Ứng dụng: PERT 
 X©y dùng ph­¬ng ph¸p gi¶i bµi to¸n ®iÒu khiÓn viÖc thùc hiÖn nh÷ng dù ¸n lín, gäi t¾t lµ PERT ( Project Evaluation and Review Technique ) hay CDM ( Critical path Method ). 
ViÖc thi c«ng mét c«ng tr×nh lín ®­îc chia ra lµm n c«ng ®o¹n, ®¸nh sè tõ 1 ®Õn n . Cã mét sè c«ng ®o¹n mµ viÖc thùc hiÖn nã chØ ®­îc tiÕn hµnh sau khi mét sè c«ng ®o¹n nµo ®ã ®· hoµn thµnh. §èi víi mçi c«ng ®o¹n i biÕt t [ i ] lµ thêi gian cÇn thiÕt ®Ó hoµn thµnh nã ( i = 1, 2,..., n ). 
Toán rời rạc, Fall 2005 
 Bài toán đường đi ngắn nhất 55 
Ứng dụng: PERT 
 C¸c d÷ liÖu víi n = 8 ®­îc cho trong b¶ng sau ®©y 
Công đoạn 
t[i] 
Các công đoạn phải 
hoàn thành trước nó 
1 
15 
Không có 
2 
30 
1 
3 
80 
Không có 
4 
45 
2, 3 
5 
124 
4 
6 
15 
2, 3 
7 
15 
5, 6 
8 
19 
5 
Toán rời rạc, Fall 2005 
 Bài toán đường đi ngắn nhất 56 
Ứng dụng: PERT 
Bµi to¸n PERT: Gi¶ sö thêi ®iÓm b¾t ®Çu tiÕn hµnh thi c«ng c«ng tr×nh lµ 0. H·y t×m tiÕn ®é thi c«ng c«ng tr×nh (chØ râ mçi c«ng ®o¹n ph¶i ®­îc b¾t ®Çu th­c hiÖn vµo thêi ®iÓm nµo) ®Ó cho c«ng tr×nh ®­îc hoµn thµnh xong trong thêi ®iÓm sím nhÊt cã thÓ ®­îc. 
Ta cã thÓ x©y dùng ®å thÞ cã h­íng n ®Ønh biÓu diÔn rµng buéc vÒ tr×nh tù thùc hiÖc c¸c c«ng viÖc nh­ sau: 
Mçi ®Ønh cña ®å thÞ t­¬ng øng víi mét c«ng viÖc. 
NÕu c«ng viÖc i ph¶i ®­îc thùc hiÖn tr­íc c«ng ®o¹n j th× trªn ®å thÞ cã cung ( i,j ), träng sè trªn cung nµy ®­îc g¸n b»ng t [ i ] 
Toán rời rạc, Fall 2005 
 Bài toán đường đi ngắn nhất 57 
Thuật toán PERT 
Thªm vµo ®å thÞ 2 ®Ønh 0 vµ n +1 t­¬ng øng víi hai sù kiÖn ®Æc biÖt: 
®Ønh sè 0 t­¬ng øng víi c«ng ®o¹n LÔ khëi c«ng , nã ph¶i ®­îc thùc hiÖn tr­íc tÊt c¶ c¸c c«ng ®o¹n kh¸c, vµ 
®Ønh n +1 t­¬ng øng víi c«ng ®o¹n C¾t b¨ng kh¸nh thµnh c«ng tr×nh, nã ph¶i thùc hiÖn sau tÊt c¶ c¸c c«ng ®o¹n, 
víi t [0] = t [ n +1] = 0 (trªn thùc tÕ chØ cÇn nèi ®Ønh 0 víi tÊt c¶ c¸c ®Ønh cã b¸n bËc vµo b»ng 0 vµ nèi tÊt c¶ c¸c ®Ønh cã b¸n bËc ra b»ng 0 víi ®Ønh n +1). 
 Gäi ®å thÞ thu ®­îc lµ G . 
Râ rµng bµi to¸n ®Æt ra dÉn vÒ bµi to¸n t×m ®­êng ®i dµi nhÊt tõ ®Ønh 0 ®Õn tÊt c¶ c¸c ®Ønh cßn l¹i trªn ®å thÞ G . 
Toán rời rạc, Fall 2005 
 Bài toán đường đi ngắn nhất 58 
Thuật toán PERT 
 Do ®å thÞ G kh«ng chøa chu tr×nh, nªn ®Ó gi¶i bµi to¸n ®Æt ra cã thÓ ¸p dông thuËt to¸n Critical_Path trong ®ã chØ cÇn ®æi to¸n tö min thµnh to¸n tö max . 
 KÕt thóc thuËt to¸n, ta thu ®­îc d [ v ] lµ ®é dµi ®­êng ®i dµi nhÊt tõ ®Ønh 0 ®Õn ®Ønh v . 
 Khi ®ã d [ v ] cho ta thêi ®iÓm sím nhÊt cã thÓ b¾t ®Çu thùc hiÖn c«ng ®o¹n v , nãi riªng d [ n+ 1] lµ thêi ®iÓm sím nhÊt cã thÓ c¾t b¨ng kh¸nh thµnh, tøc lµ thêi ®iÓm sím nhÊt cã thÓ hoµn thµnh toµn bé c«ng tr×nh. 
Toán rời rạc, Fall 2005 
 Bài toán đường đi ngắn nhất 59 
PERT: Ví dụ minh hoạ 
 Qui bài toán PERT về tìm đường đi dài nhất trên đồ thị không có chu trình 
30 
30 
80 
80 
15 
0 
15 
4 
45 
3 
1 
2 
4 
6 
5 
0 
0 
9 
7 
8 
4 
15 
19 
0 
129 
125 
80 
80 
15 
0 
129 
148 
0 
Toán rời rạc, Fall 2005 
 Bài toán đường đi ngắn nhất 60 
Nội dung 
5.1. Bài toán đường đi ngắn nhất (ĐĐNN) 
5.2. Tính chất của ĐĐNN, Giảm cận trên 
5.3. Thuật toán Bellman-Ford 
5.4. Thuật toán Dijkstra 
5.5. Đường đi ngắn nhất trong đồ thị không có chu trình 
5.6. Thuật toán Floyd-Warshal 
Toán rời rạc, Fall 2005 
 Bài toán đường đi ngắn nhất 61 
ĐƯỜNG ĐI NGẮN NHẤT GIỮA MỌI CẶP ĐỈNH All-Pairs Shortest Paths 
Toán rời rạc, Fall 2005 
 Bài toán đường đi ngắn nhất 62 
Đường đi ngắn nhất giữa mọi cặp đỉnh 
Bài toán Cho đồ thị G = ( V , E ), với trọng số trên cạnh e là w ( e ), 
 đối với mỗi cặp đỉnh u , v trong V , tìm đường đi ngắn 
	 nhất từ u đến v . 
Đầu ra ma trận : phần tử ở dòng u cột v là độ dài đường 
đi ngắn nhất từ u đến v . 
Cho phép có trọng số âm 
Giả thiết: Đồ thị không có chu trình âm. 
 Đầu vào: ma trận trọng số . 
Toán rời rạc, Fall 2005 
 Bài toán đường đi ngắn nhất 63 
Ví dụ 
2 
1 
5 
3 
4 
3 
4 
8 
2 
-5 
1 
6 
7 
-4 
Đầu vào 
0 3 8 -4 
 0 1 7 
 4 0 
2 -5 0 
 6 0 
n n ma trận W = ( w ) với 
ij 
w = 
0 nếu i = j 
w ( i , j ) nếu i j & ( i , j ) E 
 còn lại 
ij 
Toán rời rạc, Fall 2005 
 Bài toán đường đi ngắn nhất 64 
Tiếp 
2 
1 
5 
3 
4 
3 
4 
8 
2 
-5 
1 
6 
7 
-4 
0 1 -3 2 -4 
3 0 -4 1 -1 
7 4 0 5 3 
2 -1 -5 0 -2 
8 5 1 6 0 
5 - 4 - 1 
Đường đi: 1- 5 - 4 - 3 - 2 
4 - 1- 5 
Đầu ra 
= – 4 + 6 – 5 + 4 
Toán rời rạc, Fall 2005 
 Bài toán đường đi ngắn nhất 65 
Thuật toán Floyd-Warshall 
d = độ dài đường đi ngắn nhất từ i đến j sử dụng các đỉnh trung gian 
 trong tập đỉnh { 1, 2,  , m }. 
ij 
 ( m ) 
... 
i 
j 
 m m m 
Khi đó độ dài đường đi ngắn nhất từ i đến j là 
d 
 ij 
 ( n ) 
Toán rời rạc, Fall 2005 
 Bài toán đường đi ngắn nhất 66 
Công thức đệ qui tính d ( h ) 
i 
j 
d = w 
ij 
 ij 
(0) 
d = min ( d , d + d ) nếu h 1 
 ( h ) ( h -1) ( h -1) ( h -1) 
ij ij ih hj 
i 
j 
h 
d 
( h- 1) 
ij 
d 
( h- 1) 
ih 
d 
( h- 1) 
hj 
Toán rời rạc, Fall 2005 
 Bài toán đường đi ngắn nhất 67 
Thuật toán Floyd-Warshall 
Floyd-Warshall( n , W ) 
 D (0)  W 
 for k  1 to n do 
	 for i  1 to n do 
	 for j  1 to n do 
 	 d  min ( d , d + d ) 
 return D ( n ) 
 ( k ) ( k -1) ( k -1) ( k -1) 
Thời gian tính  ( n 3 ) ! 
ij ik kj 
ij 
Toán rời rạc, Fall 2005 
 Bài toán đường đi ngắn nhất 68 
Xây dựng đường đi ngắn nhất 
Predecessor matrix P = ( p ) : 
ij 
( k ) 
đường đi ngắn nhất từ i đến j chỉ qua các đỉnh trung gian trong {1 , 2 , , k } . 
i , nếu ( i , j ) E 
NIL , nếu ( i , j ) E 
p = 
( k ) 
ij 
p nếu d d + d 
ij 
ij 
( k- 1) 
 ik 
kj 
( k- 1) 
( k- 1) 
 ( k- 1) 
p trái lại 
( k- 1) 
kj 
( k ) 
i 
j 
k 
p = 
ij 
(0) 
i 
j 
p 
( k ) 
ij 
Toán rời rạc, Fall 2005 
 Bài toán đường đi ngắn nhất 69 
Ví dụ 
1 
3 
4 
2 
4 
5 
1 
3 
6 
2 
D 
(0) 
 0 3 5 
 0 1 6 
 0 2 
 4 0 
P 
(0) 
NIL 1 1 NIL 
NIL NIL 2 2 
NIL NIL NIL 3 
 4 NIL NIL NIL 
D 
(1) 
 0 3 5 
 0 1 6 
 0 2 
 4 7 9 0 
P 
(1) 
NIL 1 1 NIL 
NIL NIL 2 2 
NIL NIL NIL 3 
 4 1 1 NIL 
Có thể sử dụng 1 là đỉnh trung gian: 
Toán rời rạc, Fall 2005 
 Bài toán đường đi ngắn nhất 70 
Ví dụ (tiếp) 
D 
(2) 
 0 3 4 9 
 0 1 6 
 0 2 
 4 7 8 0 
P 
(2) 
NIL 1 2 2 
NIL NIL 2 2 
NIL NIL NIL 3 
 4 1 2 NIL 
D 
 0 3 4 6 
 0 1 3 
 0 2 
 4 7 8 0 
(3) 
P 
(3) 
NIL 1 2 3 
NIL NIL 2 3 
NIL NIL NIL 3 
 4 1 2 NIL 
(4) 
D 
 0 3 4 6 
 7 0 1 3 
 6 9 0 2 
 4 7 8 0 
P 
(4) 
NIL 1 2 3 
 4 NIL 2 3 
 4 1 NIL 3 
 4 1 2 NIL 
Toán rời rạc, Fall 2005 
 Bài toán đường đi ngắn nhất 71 
Ví dụ (tiếp) 
3 
1 
2 
1 
2 
2 
2 
1 
1 
1 
3 
3 
3 
3 
4 
4 
4 
3 
3 
3 
1 
4 
1 
2 
2 
2 
2 
4 
4 
3 
Toán rời rạc, Fall 2005 
 Bài toán đường đi ngắn nhất 72 
Thuật toán Floyd-Warshall 
Floyd-Warshall( n , W ) 
 D  W 
 for k  1 to n do 
	 for i  1 to n do 
	 for j  1 to n do 
 	 d ij  min ( d ij , d ik + d kj ) 
 return D 
Thời gian tính  ( n 3 ) ! 
2007/4/2 
All-pairs distance 
73 
Robert W. Floyd, 1936-2001 
Born in New York, Floyd finished school at age 14. At the University of Chicago, he received a Bachelor's degree in liberal arts in 1953 (when still only 17) and a second Bachelor's degree in physics in 1958. 
Becoming a computer operator in the early 1960s, he began publishing many noteworthy papers and was appointed an associate professor at Carnegie Mellon University by the time he was 27 and became a full professor at Stanford University six years later. He obtained this position without a Ph.D. 
Turing Award, 1978. 
2007/4/2 
All-pairs distance 
74 
Stephen Warshall 
1935 – 2006 
Proving the correctness of the transitive closure algorithm for boolean circuit. 
(Wikipedia) There is an interesting anecdote about his proof that the transitive closure algorithm, now known as Warshall's algorithm, is correct. He and a colleague at Technical Operations bet a bottle of rum on who first could determine whether this algorithm always works. Warshall came up with his proof overnight, winning the bet and the rum, which he shared with the loser of the bet. Because Warshall did not like sitting at a desk, he did much of his creative work in unconventional places such as on a sailboat in the Indian Ocean or in a Greek lemon orchard. 
Toán rời rạc, Fall 2005 
 Bài toán đường đi ngắn nhất 75 
 Questions? 
Toán rời rạc, Fall 2005 
 Bài toán đường đi ngắn nhất 76 
Bao đóng truyền ứng  (Transitive Closure) 
Bao đóng truyền ứng của đồ thị G = ( V , E ) là G* = ( V , E *) sao cho 
( i , j ) E * iff có đường đi từ i đến j trên G . 
5 
3 
4 
2 
1 
1 
3 
4 
2 
5 
G : 
G *: 
Toán rời rạc, Fall 2005 
 Bài toán đường đi ngắn nhất 77 
Thuật toán Floyd-Warshall 
Ma trận xuất phát là ma trận kề 
Thuật toán Floyd-Warshall thay 
min boolean OR 
 + boolean AND 
Thời gian tính  ( n ) 
3 
 1 nếu i = j hoặc có cạnh nối 2 đỉnh i và j 
 a ( i , j ) = 
0 trái lại 
AND 
AND 
OR 
OR 
i 
y 
x 
j 
j 
i 
Nếu 
Toán rời rạc, Fall 2005 
 Bài toán đường đi ngắn nhất 78 
 Questions?