Bài giảng Toán rời rạc - Phần 1: Lý thuyết tổ hợp - Chương 4: Bài toán tối ưu tổ hợp - Nguyễn Đức Nghĩa

Chương 4  BÀI TOÁN TỐI ƯU TỔ HỢP 
Nội dung 
1. Phát biểu bài toán 
2. Duyệt toàn bộ 
3. Thuật toán nhánh cận 
1. Phát biểu bài toán 
1.1. Bài toán tổng quát 
1.2. Bài toán người du lịch 
1.3. Bài toán cái túi 
1.4. Bài toán đóng thùng 
Trong rất nhiều vấn đề ứng dụng thực tế của tổ hợp, các cấu hình tổ hợp được gán cho một giá trị bằng số đánh giá giá trị sử dụng của cấu hình đối với mục đích sử dụng cụ thể nào đó. Khi đó xuất hiện bài toán: Hãy lựa chọn trong số các cấu hình tổ hợp chấp nhận được cấu hình có giá trị sử dụng tốt nhất. Các bài toán như vậy chúng ta sẽ gọi là bài toán tối ưu tổ hợp. 
Phát biểu bài toán 
D­íi d¹ng tæng qu¸t bµi to¸n tèi ­u tæ hîp cã thÓ ph¸t biÓu nh­ sau: 
 T×m cùc tiÓu (hay cùc ®¹i) cña phiÕm hµm 
	f ( x ) min (max) , 
 víi ®iÒu kiÖn 
 	x D, 
 trong ®ã D lµ tËp h÷u h¹n phÇn tö. 
Các thuật ngữ 
f ( x ) - hµm môc tiªu cña bµi to¸n, 
x D - ph­¬ng ¸n 
D - tËp c¸c ph­¬ng ¸n cña bµi to¸n. 
Th«ng th­êng tËp D ®­îc m« t¶ nh­ lµ tËp c¸c cÊu h×nh tæ hîp tho¶ m·n mét sè tÝnh chÊt cho tr­íc nµo ®ã. 
 Ph­¬ng ¸n x* D ®em l¹i gi¸ trÞ nhá nhÊt (lín nhÊt) cho hµm môc tiªu ®­îc gäi lµ ph­¬ng ¸n tèi ­u , khi ®ã gi¸ trÞ f* = f(x*) ®­îc gäi lµ gi¸ trÞ tèi ­u cña bµi to¸n. 
1. Phát biểu bài toán 
1.1. Bài toán tổng quát 
1.2. Bài toán người du lịch 
1.3. Bài toán cái túi 
1.4. Bài toán đóng thùng 
Bµi to¸n ng­êi du lÞch  (Traveling Salesman Problem – TSP) 
Mét ng­êi du lÞch muèn ®i tham quan n thµnh phè T 1 , T 2 , ..., T n . 
Hành trình là cách đi xuÊt ph¸t tõ mét thµnh phè nµo ®ã ®i qua tÊt c¶ c¸c thµnh phè cßn l¹i, mçi thµnh phè ®óng mét lÇn, råi quay trë l¹i thµnh phè xuÊt ph¸t. 
BiÕt c ij lµ chi phÝ ®i tõ thµnh phè T i ®Õn thµnh phè T j ( i, j = 1, 2,..., n ), 
T×m hµnh tr×nh víi tæng chi phÝ lµ nhá nhÊt. 
Sơ lược về lịch sử 
The origins of the TSP are obscure. In the 1920's , the mathematician and economist Karl Menger publicized it among his colleagues in Vienna. 
In the 1930's , the problem reappeared in the mathematical circles of Princeton. 
In the 1940's , it was  studied by statisticians (Mahalanobis (1940), Jessen (1942), Gosh (1948), Marks (1948)) in connection with an agricultural  application and the mathematician Merill Flood popularized it among his colleagues at the RAND Corporation.  Eventually,  the TSP gained notoriety as the prototype of a hard problem in combinatorial optimization: examining the tours one by one  is out of the question because of their large number, and no other idea was on the horizon for a long time. 
New history with George Dantzig, Ray Fulkerson, and Selmer Johnson's 1954 breakthrough. 
Ta cã t­¬ng øng 1-1 gi÷a m ộ t hµnh tr×nh 
	 T (1) T (2) ... T ( n ) T (1) 
 víi mét ho¸n vÞ = ( (1) , (2) ,..., ( n )) cña n sè tù nhiªn 1, 2,..., n . 
§Æt 
	f ( ) = c (1) , (2) +... + c ( n- 1) , ( n ) + c ( n ) , (1). 
Ký hiÖu: 
  - tËp tÊt c¶ c¸c ho¸n vÞ cña n sè tù nhiªn 1, 2,..., n . 
Khi ®ã bµi to¸n ng­êi du lÞch cã thÓ ph¸t biÓu d­íi d¹ng bµi to¸n tèi ­u tæ hîp sau: 
	 	 min { f ( ) :  } . 
Có thể thấy rằng tổng số hành trình của người du lịch là n !, trong đó chỉ có ( n- 1)! hành trình thực sự khác nhau (bởi vì có thể xuất phát từ một thành phố bất kỳ, nên có thể cố định một thành phố nào đó là thành phố xuất phát). 
1. Phát biểu bài toán 
1.1. Bài toán tổng quát 
1.2. Bài toán người du lịch 
1.3. Bài toán cái túi 
1.4. Bài toán đóng thùng 
Bài toán cái túi  ( Knapsack Problem ) 
Một nhà thám hiểm cần đem theo một cái túi có trọng lượng không quá b. 
Có n đồ vật có thể đem theo. Đồ vật thứ j có 
trọng lượng là a j và 
giá trị sử dụng là c j ( j = 1, 2,..., n ). 
Hỏi rằng nhà thám hiểm cần đem theo các đồ vật nào để cho tổng giá trị sử dụng của các đồ vật đem theo là lớn nhất? 
Phát biểu bài toán 
Mét ph­¬ng ¸n ®em ®å cña nhµ th¸m hiÓm cã thÓ biÓu diÔn bëi vect¬ nhÞ ph©n ®é dµi n : x = ( x 1 , x 2 ,..., x n ) , trong ®ã x j = 1 nÕu ®å vËt thø j ®­îc ®em theo vµ x j = 0 nÕu tr¸i l¹i. 
Víi ph­¬ng ¸n x , gi¸ trÞ ®å vËt ®em theo lµ 
tæng träng l­îng ®å vËt ®em theo lµ 
Bài toán cái túi 
Bµi to¸n c¸i tói cã thÓ ph¸t biÓu d­íi d¹ng bµi to¸n tèi ­u tæ hîp sau: 
	Trong sè c¸c vect¬ nhÞ ph©n ®é dµi n tho¶ m·n ®iÒu kiÖn g ( x ) b, h·y t×m vect¬ x* cho gi¸ trÞ lín nhÊt cña hµm môc tiªu f ( x ): 
	max { f ( x ): x B n , g ( x ) b } . 
1. Phát biểu bài toán 
1.1. Bài toán tổng quát 
1.2. Bài toán người du lịch 
1.3. Bài toán cái túi 
1.4. Bài toán đóng thùng 
Bµi to¸n ®ãng thïng  ( Bin Packing ) 
Có n đồ vật với trọng lượng là w 1 , w 2 , ..., w n . Cần tìm cách xếp các đồ vật này vào các cái thùng có cùng dung lượng là b sao cho số thùng cần sử dụng là nhỏ nhất có thể được. 
Phát biểu bài toán 
Ta cã thÓ gi¶ thiÕt lµ 
 w i b, i = 1, 2,.., n . 
Do ®ã sè thïng cÇn sö dông ®Ó chøa tÊt c¶ c¸c ®å vËt lµ kh«ng qu¸ n . VÊn ®Ò lµ cÇn sè thïng Ýt nhÊt. Ta sÏ më s½n n c¸i thïng. Bµi to¸n ®Æt ra lµ h·y x¸c ®Þnh xem mçi mét trong sè n ®å vËt cÇn ®­îc xÕp vµo c¸i thïng nµo trong sè n c¸i thïng ®· më ®Ó cho sè thïng chøa ®å lµ Ýt nhÊt. 
Bài toán đóng thùng 
Đưa vào biến Bun 
 x ij = 1, nếu đồ vật i được xếp vào thùng j, 
 0, nếu trái lại. 
Khi đó bài toán đóng thùng có thể phát biểu dưới dạng: 
2. DUYỆT TOÀN BỘ 
NỘI DUNG 
2.1. Mô tả phương pháp 
2.2. Ví dụ áp dụng: Bài toán cái túi 
Mô tả phương pháp 
Một trong những phương pháp hiển nhiên nhất để giải bài toán tối ưu tổ hợp đặt ra là: Trên cơ sở các thuật toán liệt kê tổ hợp ta tiến hành duyệt từng phương án của bài toán, đối với mỗi phương án ta đều tính giá trị hàm mục tiêu tại nó, sau đó so sánh giá trị hàm mục tiêu tại tất cả các phương án được liệt kê để tìm ra phương án tối ưu. 
Phương pháp xây dựng theo nguyên tắc như vậy có tên gọi là phương pháp duyệt toàn bộ. 
NỘI DUNG 
2.1. Mô tả phương pháp 
2.2. Ví dụ áp dụng: Bài toán cái túi 
Ví dụ: Giải bài toán cái túi 
XÐt bµi to¸n c¸i tói: 
c j , w j , b là các số nguyên dương, j =1,2,, n. 
CÇn cã thuËt to¸n liÖt kª c¸c phÇn tö cña D 
Thuật toán quay lui liệt kê các phương án chất đồ 
Xây dựng S k : 
S 1 ={ 0, t 1 }, với t 1 =1 nếu b w 1 ; t 1 = 0, nếu trái lại 
Giả sử đã có phương án ( x 1 , , x k -1 ). Khi đó 
Dung lượng còn lại là: 
 b k -1 = b - w 1 x 1 - - w k -1 x k -1 
Giá trị của các đồ vật chất vào túi là 
	 f k -1 = c 1 x 1 +  + c k -1 x k -1 
Do đó: S k = {0, t k }, với t k =1 nếu b k- 1 w k ; t k = 0, nếu trái lại 
Mô tả S k ? 
 For y := 0 to t k do 
Chương trình trên Pascal 
type 
arrint= array[1..20] of integer; 
var	 
	x, xopt, c, w: arrint; 
 n,b, bk, fk, fopt: integer; 
procedure Nhapdl; 
var i: integer; 
begin 
 {Nhập vào n, c, w, b} 
end; 
procedure Inkq; 
var j; 
begin 
 {Phương án tối ưu: xopt; 
 Giá trị tối ưu: fopt } 
end; 
procedure KP(i: integer); 
var j, t: integer; 
begin 
 if bk>=w[i] then t:=1 else t:=0; 
	for j := t downto 0 do begin 
 	 x[i] := j; bk:= bk-w[i]*x[i]; 
 fk:= fk + c[i]*x[i]; 
	 if i = n then begin 
 if fk>fopt then begin 
 xopt:=x; fopt:=fk; 
 end 
 end else KP(i+1); 
 bk:= bk+w[i]*x[i]; 
 fk:= fk - c[i]*x[i]; 
	end; 
end; 
BEGIN {Main program} 
	Nhapdl; 
	bk:=b; 
 fk:= 0; 
 fopt:= 0; 
 KP(1); 
	InKq 
END. 
Bình luận 
Duyệt toàn bộ là khó có thể thực hiện được ngay cả trên những máy tính điện tử hiện đại nhất. Ví dụ để liệt kê hết 
 15! = 1 307 674 368 000 
 hoán vị trên máy tính điện tử với tốc độ tính toán 1 tỷ phép tính một giây, nếu để liệt kê một hoán vị cần phải làm 100 phép tính, thì ta cần một khoảng thời gian là 130767 giây > 36 tiếng đồng hồ! 
 20! ===> 7645 năm 
V× vËy cÇn ph¶i cã nh÷ng biÖn ph¸p nh»m h¹n chÕ viÖc t×m kiÕm th× míi cã hy väng gi¶i ®­îc c¸c bµi to¸n tèi ­u tæ hîp thùc tÕ. TÊt nhiªn ®Ó cã thÓ ®Ò ra nh÷ng biÖn ph¸p nh­ vËy cÇn ph¶i nghiªn cøu kü tÝnh chÊt cña bµi to¸n tèi ­u tæ hîp cô thÓ. 
Nhê nh÷ng nghiªn cøu nh­ vËy, trong mét sè tr­êng hîp cô thÓ ta cã thÓ x©y dùng nh÷ng thuËt to¸n hiÖu qu¶ ®Ó gi¶i bµi to¸n ®Æt ra. 
Tuy nhiªn ph¶i nhÊn m¹nh r»ng trong nhiÒu tr­êng hîp (vÝ dô trong c¸c bµi to¸n ng­êi du lÞch, bµi to¸n c¸i tói, bµi to¸n ®ãng thïng) chóng ta ch­a thÓ x©y dùng ®­îc ph­¬ng ph¸p h÷u hiÖu nµo kh¸c ngoµi ph­¬ng ph¸p duyÖt toµn bé. 
Khi ®ã, mét vÊn ®Ò ®Æt ra lµ trong qu¸ tr×nh liÖt kª lêi gi¶i ta cÇn tËn dông c¸c th«ng tin ®· t×m ®­îc ®Ó lo¹i bá nh÷ng ph­¬ng ¸n ch¾c ch¾n kh«ng ph¶i lµ tèi ­u. 
Trong môc tiÕp theo chóng ta sÏ xÐt mét s¬ ®å t×m kiÕm nh­ vËy ®Ó gi¶i c¸c bµi to¸n tèi ­u tæ hîp mµ trong tµi liÖu tham kh¶o ®­îc biÕt ®Õn víi tªn gäi: thuËt to¸n nh¸nh cËn. 
3. THUẬT TOÁN NHÁNH CẬN 
(Branch and Bound Algorithm) 
NỘI DUNG 
3.1. Sơ đồ chung 
3.2. Bài toán cái túi 
3.3. Bài toán người du lịch 
Sơ đồ chung 
Thuật toán bao gồm hai thủ tục: 
Phân nhánh (Branching Procedure) 
Tính cận (Bounding Procedure) 
Phân nhánh: Quá trình phân hoạch tập các phương án ra thành các tập con với kích thước càng ngày càng nhỏ cho đến khi thu được phân hoạch tập các phương án ra thành các tập con một phần tử 
Tính cận: Cần đưa ra cách tính cận cho giá trị hàm mục tiêu của bài toán trên mỗi tập con A trong phân hoạch của tập các phương án. 
Sơ đồ chung 
Ta sÏ m« t¶ t­ t­ëng cña thuËt to¸n trªn m« h×nh bµi to¸n tèi ­u tæ hîp tæng qu¸t sau 
	 	min { f ( x ) : x D }, 
 trong ®ã D lµ tËp h÷u h¹n phÇn tö. 
	Gi¶ thiÕt r»ng tËp D ®­îc m« t¶ nh­ sau 
 D = { x = ( x 1 , x 2 , ..., x n ) A 1 A 2 ... A n : 
 x tho¶ m·n tÝnh chÊt P }, 
 víi A 1 , A 2 , ..., A n lµ c¸c tËp h÷u h¹n, cßn P lµ tÝnh chÊt cho trªn tÝch §Òcac A 1 A 2 ... A n . 
Nhận xét 
Nhận thấy rằng, các bài toán vừa trình bày ở mục 1 đều có thể mô tả dưới dạng bài toán trên. 
Yêu cầu về mô tả của tập D là để có thể sử dụng thuật toán quay lui để liệt kê các phương án của bài toán. 
Bài toán 
 max { f ( x ): x D } 
 là tương đương với bài toán 
 min { g ( x ): x D }, trong đó g ( x ) = - f ( x ) 
Do đó ta có thể hạn chế ở việc xét bài toán min. 
Ph©n nh¸nh 
Qu¸ tr×nh ph©n nh¸nh ®­îc thùc hiÖn nhê thuËt to¸n quay lui: 
( ) D 
. . . 
Ta cã ph©n ho¹ch: 
Ph©n nh¸nh 
Như vậy ta có thể đặt tương ứng mỗi phương án bộ phận ( a 1 , a 2 , ..., a k ) với một tập con các phương án của bài toán: 
 D ( a 1 ,..., a k )= { x D : x i = a i , i = 1,..., k }. 
Ở bước tổng qu á t của thuật to á n quay lui ta sẽ làm việc với phương án bộ phận ( a 1 , a 2 , ..., a k ) và x ét các cách tiếp tục ph á t triển phương á n này. 
Điều đ ó tương đương với việc ph â n hoạch tập D ra thành c á c tập con nhỏ hơn. 
Ph©n nh¸nh 
Quá trình phân nhánh có thể diễn tả như sau : 
 ( ) D ( a 1 ,,a k ) 
. . . 
Ta cã ph©n ho¹ch: 
Tính cận 
Cần có hµm g x¸c ®Þnh trªn tËp tÊt c¶ c¸c ph­¬ng ¸n bé phËn cña bµi to¸n tho¶ m·n bÊt ®¼ng thøc sau: 
 g ( a 1 ,..., a k ) min{ f ( x ): x D , x i =a i , i =1,..., k } (*) 
 víi mỗi lêi gi¶i bé phËn ( a 1 , a 2 , ..., a k ), vµ víi mäi k = 1, 2, ... 
BÊt ®¼ng thøc (*) cã nghÜa lµ gi¸ trÞ cña hµm g t¹i ph­¬ng ¸n bé phËn ( a 1 , a 2 , ..., a k ) lµ kh«ng v­ît qu¸ gi¸ trÞ nhá nhÊt cña hµm môc tiªu cña bµi to¸n trªn tËp con c¸c ph­¬ng ¸n 
 D ( a 1 ,..., a k ) = { x D : x i = a i , i = 1,..., k }, 
 hay nãi mét c¸ch kh¸c, g ( a 1 , a 2 , . . . , a k ) lµ cËn d­íi cña gi¸ trÞ hµm môc tiªu trªn tËp D ( a 1 , a 2 , ..., a k ). 
V× lÏ ®ã, hµm g ®­îc gäi lµ hµm cËn d­íi , vµ gi¸ trÞ g ( a 1 , a 2 , . . . , a k ) ®­îc gäi lµ cËn d­íi cña tËp D ( a 1 , a 2 , ..., a k ). 
Do cã thÓ ®ång nhÊt tËp D ( a 1 ,..., a k ) víi ph­¬ng ¸n bé phËn ( a 1 ,..., a k ), nªn ta còng gäi gi¸ trÞ g ( a 1 ,..., a k ) lµ cËn d­íi cña ph­¬ng ¸n bé phËn ( a 1 ,..., a k ). 
Cắt nhánh nhờ sử dụng cận dưới 
Gi¶ sö ®· cã hµm g . Ta xÐt c¸ch sö dông hµm nµy ®Ó gi¶m bít khèi l­îng duyÖt trong qu¸ tr×nh duyÖt tÊt c¶ c¸c ph­¬ng ¸n theo thuËt to¸n quay lui. 
Trong qu¸ tr×nh liÖt kª c¸c ph­¬ng ¸n cã thÓ ®· thu ®­îc mét sè ph­¬ng ¸n cña bµi to¸n. Gäi  x lµ ph­¬ng ¸n víi gi¸ trÞ hµm môc tiªu nhá nhÊt trong sè c¸c ph­¬ng ¸n ®· t×m ®­îc, ký hiÖu  f = f (  x ). 
Ta sÏ gäi 
 x lµ ph­¬ng ¸n tèt nhÊt hiÖn cã, 
 cßn  f lµ kû lôc. 
Cắt nhánh nhờ sử dụng cận dưới 
Gi¶ sö ®· cã  f , khi ®ã nÕu 
	 g ( a 1 , a 2 , ..., a k ) >  f , 
 th× tõ bÊt ®¼ng thøc (*) suy ra 
  f < g ( a 1 ,..., a k ) min{ f ( x ): x D ( a 1 ,..., a k )}, 
 V× thÕ tËp D ( a 1 ,..., a k ) ch¾c ch¾n kh«ng chøa ph­¬ng ¸n tèi ­u và có thể loại bỏ khỏi quá trình duyệt. 
Thuật toán nhánh cận 
procedure Branch(k); 
(* Phát triển phương án bộ phận (x 1 , x 2 , ..., x k-1 ) *) 
begin 
	 for a k A k do 
	 if a k S k then 
	 begin 
	x k := a k ; 
	 if (k = n) then 
	 else 
	 	 if g ( x 1 ,..., x k )  f then Branch(k+1) 
	 end; 
end; 
Thuật toán nhánh cận 
procedure BranchAndBound; 
begin 
  f := + ; 
	(* Nếu biết p/án  x nào đó thì đặt  f = f(  x ) *) 
	Branch(1); 
	if  f < + then 
 else ; 
end; 
Chú ý: Sơ đồ duyệt toàn bộ 
Chó ý r»ng nÕu trong thñ tôc Branch ta thay c©u lÖnh 
	 if (k = n) then 
	 else 
	 if g(a 1 ,..., a k )  f then Branch(k+1) 
 bëi 
	 if (k = n) then 
	 else Branch(k+1) 
 th× ta thu ®­îc thuËt to¸n duyÖt toµn bé. 
Chú ý: 
Việc xây dựng hàm g phụ thuộc vào từng bài toán tối ưu tổ hợp cụ thể. Thông thường ta cố gắng xây dựng nó sao cho: 
Việc tính giá trị của g phải đơn giản hơn việc giải bài toán tối ưu tổ hợp ở vế phải của (*). 
Giá trị của g ( a 1 ,..., a k ) phải sát với giá trị của vế phải của (*). 
Rất tiếc là hai yêu cầu này trong thực tế thường đối lập nhau. 
NỘI DUNG 
3.1. Sơ đồ chung 
3.2. Bài toán cái túi 
3.3. Bài toán người du lịch 
Bài toán cái túi 
Có n loại đồ vật. 
Đ ồ vật loại j có 
trọng lượng a j và 
giá trị sử dụng là c j ( j = 1, 2,..., n ) . 
Cần chất các đồ vật này vào một cái túi có trọng lượng là b sao cho tổng giá trị sử dụng của các đồ vật chất trong túi là lớn nhất. 
Bài toán cái túi ( KP ) 
Đưa vào biến số 
 x j – số lượng đồ vật loại j được chất vào túi, 
 j =1,2, ..., n 
Mô hình toán học của bài toán có dạng sau: Tìm 
 trong ®ã Z + lµ tËp c¸c sè nguyªn kh«ng ©m. 	 
Ký hiÖu D lµ tËp c¸c ph­¬ng ¸n cña bµi to¸n: 
Gi¶ thiÕt r»ng c¸c ®å vËt ®­îc ®¸nh sè sao cho bÊt ®¼ng thøc sau ®­îc tho¶ m·n 
 c 1 /a 1 c 2 / a 2 . . . c n / a n . 
 (có nghĩa là các đồ vật được xếp theo thứ tự không tăng của giá trị một đơn vị trọng lượng) 
Xây dựng hàm cận trên 
§Ó x©y dùng hµm tÝnh cËn tr ê n, cïng víi bµi to¸n c¸i tói (KP) ta xÐt bµi to¸n c¸i tói biÕn liªn tôc (KPC) sau đây : T×m 
MÖnh ®Ò. Ph­¬ng ¸n tèi ­u cña bµi to¸n KPC lµ vect¬  x = (  x 1 ,  x 2 , ...,  x n ) víi c¸c thµnh phÇn ®­îc x¸c ®Þnh bëi c«ng thøc: 
  x 1 = b / a 1 ,  x 2 =  x 3 = . . . =  x n = 0. 
 vµ gi¸ trÞ tèi ­u lµ g* = c 1 b /a 1 . 
Chøng minh. XÐt x = ( x 1 ,..., x n ) lµ mét ph­¬ng ¸n tuú ý cña bµi to¸n KPC. Khi ®ã 
 c j ( c 1 / a 1 ) a j , j = 1, 2, ..., n 
 do x j 0, ta suy ra 
 	 c j x j ( c 1 / a 1 ) a j x j , j = 1, 2, ..., n 
Từ đó ta có 
Mệnh đề được chứng minh. 
B©y giê, gi¶ sö ta cã ph­¬ng ¸n bé phËn cÊp k : ( u 1 , u 2 , ..., u k ). 
Khi ®ã gi¸ trÞ sö dông cña c¸c ®å vËt ®ang cã trong tói lµ 
  k = c 1 u 1 + c 2 u 2 + . . . + c k u k 	 
vµ träng l­îng cßn l¹i cña c¸i tói lµ 
 b k = b – ( a 1 u 1 + a 2 u 2 + . . . + a k u k ) . 
Tính cận trên 
Ta cã 
VËy ta cã thÓ tÝnh cËn trªn cho ph­¬ng ¸n bé phËn ( u 1 , u 2 , ..., u k ) bëi c«ng thøc 
 g ( u 1 , u 2 ,..., u k ) =  k + c k+ 1 b k / a k+ 1 . 
Chó ý: Khi tiÕp tôc x©y dùng thµnh phÇn thø k +1 cña lêi gi¶i, c¸c ứ ng cö vi ê n cho x k+ 1 sÏ lµ 0, 1, ..., [ b k / a k+ 1 ]. 
Do cã kÕt qu¶ cña mÖnh ®Ò, khi chän gi¸ trÞ cho x k +1 ta sÏ duyÖt c¸c ứ ng cö vi ê n theo thø tù gi¶m dÇn. 
Ví dụ 
Gi¶i bµi to¸n c¸i tói sau theo thuËt to¸n nh¸nh cËn võa tr×nh bµy 
	 f ( x ) = 10 x 1 + 5 x 2 + 3 x 3 + 6 x 4 max, 
 	 5 x 1 + 3 x 2 + 2 x 3 + 4 x 4 8 , 
	 	 x j Z + , j = 1, 2, 3, 4 . 
Chú ý: Trong ví dụ đang xét, các đồ vật đã được xếp theo thứ tự không tăng của giá trị một đơn vị trọng lượng. 
Qu¸ tr×nh gi¶i bµi to¸n ®­îc m« t¶ trong c©y t×m kiÕm trong h×nh 1. Th«ng tin vÒ mét ph­¬ng ¸n bé phËn trªn c©y ®­îc ghi trong c¸c « trªn h×nh vÏ t­¬ng øng theo thø tù sau: 
c¸c thµnh phÇn cña ph­¬ng ¸n, 
 - gi¸ trÞ cña c¸c ®å vËt ®ang chÊt trong tói, 
w - träng l­îng cßn l¹i cña tói 
g - cËn trªn. 
f ( x ) = 10 x 1 + 5 x 2 + 3 x 3 + 6 x 4 max, 
 5 x 1 + 3 x 2 + 2 x 3 + 4 x 4 8 , 
 	 x j Z+ , j = 1, 2, 3, 4 . 
KÕt thóc thuËt to¸n, ta thu ®­îc: 
Ph­¬ng ¸n tèi ­u: x* = (1, 1, 0, 0), 
Gi¸ trÞ tèi ­u: f * = 15. 
NỘI DUNG 
3.1. Sơ đồ chung 
3.2. Bài toán cái túi 
3.3. Bài toán người du lịch 
Sir William Rowan Hamilton 
1805 - 1865 
Cè ®Þnh thµnh phè xuÊt ph¸t lµ T 1 , bµi to¸n ng­êi du lÞch dÉn vÒ bµi to¸n: 
	 T×m cùc tiÓu cña hµm 
	 f (1, x 2 ,..., x n ) = c [1, x 2 ]+ c [ x 2 ,x 3 ]+...+ c [ x n- 1 ,x n ] + c [ x n ,1] min, 
víi ®iÒu kiÖn 
	(1, x 2 , x 3 , ..., x n ) lµ ho¸n vÞ cña c¸c sè 1,2, ..., n . 
Hàm cận dưới 
Ký hiÖu 
	 c min = min { c [ i, j ] , i, j = 1, 2, ..., n , i j } 
 lµ chi phÝ ®i l¹i nhá nhÊt gi÷a c¸c thµnh phè. 
CÇn ®¸nh gi¸ cËn d­íi cho ph­¬ng ¸n bé phËn (1, u 2 , ..., u k ) t­¬ng øng víi hµnh tr×nh bé phËn qua k thµnh phè: 
 T 1 T ( u 2 ) . . . T ( u k -1 ) T ( u k ). 
Hàm cận dưới 
Chi phÝ ph¶i tr¶ theo hµnh tr×nh bé phËn nµy lµ 
  = c [1, u 2 ] + c [ u 2 , u 3 ] + ... + c [ u k -1 , u k ]. 
§Ó ph¸t triÓn thµnh hµnh tr×nh ®Çy ®ñ, ta cßn ph¶i ®i qua n-k+ 1 ®o¹n ®­êng n÷a, mçi ®o¹n cã chi phÝ kh«ng Ýt h¬n c min , nªn cËn d­íi cho ph­¬ng ¸n bé phËn (1, u 2 , ..., u k ) cã thÓ tÝnh theo c«ng thøc 
 g (1 , u 2 , ..., u k ) =  + ( n-k+ 1) c min . 
Ví dụ 
Giải bài toán người du lịch với ma trận chi phí sau: 
	 0 3 14 18 15 
	 3 0 4 22 20 
	 C =	17 9 0 16 4 
	 9 20 7 0 18 
	 9 15 11 5 0 
Ta cã c min = 3. Qu¸ tr×nh thùc hiÖn thuËt to¸n ®­îc m« t¶ bëi c©y t×m kiÕm lêi gi¶i. 
Th«ng tin ®­îc ghi trong c¸c « trªn h×nh vÏ theo thø tù sau: 
 c¸c thµnh phÇn cña ph­¬ng ¸n, 
  lµ chi phÝ theo hµnh tr×nh bé phËn 
 g - cËn d­íi. 
 0 3 14 18 15 
	 3 0 4 22 20 
 C =	17 9 0 16 4 
	 9 20 7 0 18 
	 9 15 11 5 0 
Kết quả 
Kết thúc thuật toán, ta thu được phương án tối ưu (1, 2, 3, 5, 4, 1) tương ứng với hành trình 
 T 1 T 2 T 3 T 5 T 4 T 1 , 
Chi phí nhỏ nhất là 25. 
Kỷ lục 
về giải bài toán người du lịch 
Kỷ lục  ( Kích thước TSP giải được ) 
1954 
1962 
1977 
1987 
1987 
1987 
1994 
1998 
2001 
2004 
49 
33 
120 
532 
666 
2392 
7397 
13509 
15112 
24978 
Year 
Research Team 
Size of Instance 
1954 
G. Dantzig, R. Fulkerson, and S. Johnson 
49 cities 
1971 
M. Held and R.M. Karp 
64 cities 
1975 
P.M. Camerini, L. Fratta, and F. Maffioli 
67 cities 
1977 
M. Grötschel 
120 cities 
1980 
H. Crowder and M.W. Padberg 
318 cities 
1987 
M. Padberg and G. Rinaldi 
532 cities 
1987 
M. Grötschel and O. Holland 
666 cities 
1987 
M. Padberg and G. Rinaldi 
2,392 cities 
1994 
D. Applegate, R. Bixby, V. Chvátal, and W. Cook 
7,397 cities 
1998 
D. Applegate, R. Bixby, V. Chvátal, and W. Cook 
13,509 cities 
2001 
D. Applegate, R. Bixby, V. Chvátal, and W. Cook 
15,112 cities 
2004 
D. Applegate, R. Bixby, V. Chvátal, W. Cook, and K. Helsgaun 
24,978 cities 
The First Big TSP 
 Dantzig, Ray Fulkerson, and Selmer Johnson (1954) published a description of a method for solving the TSP and illustrated the power of this method by solving an instance with 49 cities, an impressive size at that time. They created this instance by picking one city from each of the 48 states in the U.S.A. (Alaska and Hawaii became states only in 1959) and adding Washington, D.C.; the costs of travel between these cities were defined by road distances. Rather than solving this problem, they solved the 42-city problem obtained by removing Baltimore, Wilmington, Philadelphia, Newark, New York, Hartford, and Providence. As it turned out, an optimal tour through the 42 cities used the edge joining Washington, D.C. to Boston; since the shortest route between these two cities passes through the seven removed cities, this solution of the 42-city problem yields a solution of the 49-city problem. 
Procter and Gamble's Contest 
Proctor and Gamble ran a contest in 1962.  The contest required solving a TSP on a specified 33 cities.  There was a tie between many people who found the optimum.  An early TSP researcher, Professor Gerald Thompson of Carnegie Mellon University, was one of the winners. 
120 Western German Cities 
Groetschel (1977) found the optimal tour of 120 cities from what was then West Germany. 
532 Locations in America 
Padberg and Rinaldi (1987) found the optimal tour of 532 AT&T switch locations in the USA. 
666 Cities Worldwide 
Groetschel and Holland (1987) found the optimal tour of 666 interesting places in the world. 
2,392 Points 
Padberg and Rinaldi (1987) found the optimal tour through a layout of 2,392 points obtained from Tektronics Incorporated. 
7,397-city TSP 
Applegate, Bixby, Chvátal, and Cook (1994) found the optimal tour for a 7,397-city TSP that arose in a programmable logic array application at AT&T Bell Laboratories. 
13509 Cities in the USA 
Applegate, Bixby, Chvátal, and Cook (1998) found the optimal tour of the 13,509 cities in the USA with populations greater than 500. 
15112 Cities in Germany 
Applegate, Bixby, Chvátal, and Cook (2001) found the optimal tour of 15,112 cities in Germany. 
24978 Swedish Cities 
Applegate, Bixby, Chvátal, Cook, and Helsgaun (2004) found the optimal tour of 24,978 cities in Sweden. 
Optimal Tour of Sweden 
In May 2004, the traveling salesman problem of visiting all 24,978 cities in Sweden was solved: a tour of length 855,597 TSPLIB units (approximately 72,500 kilometers) was found and it was proven that no shorter tour exists. This is currently the largest solved TSP instance, surpassing the previous record of 15,112 cities through Germany set in April 2001.  
Optimal Tour of Sweden 
Research Team 
David Applegate , AT&T Labs - Research 
Robert Bixby , ILOG and Rice University 
Vašek Chvátal , Rutgers University 
William Cook , Georgia Tech 
Keld Helsgaun , Roskilde University 
Support for this research was provided by the following grants 
Office of Naval Research Grant N00014-03-1-0040, "Experimental Modules for Combinatorial Optimization and Mixed-Integer Programming" 
National Science Foundation , Grant DMI-0245609, "Local Cuts in Discrete Optimization and Mixed-Integer Programming" 
Finding Sweden Tour 
The traveling salesman problem (TSP) asks for the cheapest possible tour through a given collection of cities.  Solving the problem means to not only find the best tour but also to prove that no cheaper tour is possible.  Early work on the TSP in the 1950s focused exclusively on the this full solution of the problem. 
Starting in the mid-1960s researchers began to study the relaxed version of the TSP where we ask only for a tour of low cost.  This task is much easier, but performing it well is an important ingredient in a full (exact) solution method, as well as being an interesting problem in its own right.  Indeed, tour finding is a very popular topic, having a large and growing literature devoted to its various aspects.  And like the TSP itself, tour finding has led researchers to discover general purpose search techniques that have found application in many domains. 
The Sweden TSP was attacked by a number of groups with some of the top tour-finding methods that have been developed to date.  Information on the improvements in the best known tour length can be found in the Sweden Computation Log ; the results are summarized in the following table. 
Finding Sweden Tour 
The final improvement in the tour length was made by Keld Helsgaun using a version of his LKH code.  This 855,597 value was proved to be optimal by the Concorde TSP code.  
Finding Sweden Tour 
 The Concorde solver can accept as an input parameter the value of the best known tour for a TSP instance if one is available.  As a full (exact) TSP solver, Concorde is designed to find optimal solutions regardless of the quality of the estimate, but knowledge of a good tour allows for better tuning of parameters that are set in the computer code.  
In the case of the Sweden TSP, the results of the tour-finding attacks guided our choices in approaching the full solution of the problem.  Most importantly, the final stages that improved the lower bound from 855,595 up to the optimal value 855,597 required approximately 8 years of computation time (running in parallel on a network of Linux workstations) and without knowledge of the 855,597 tour we would not have make the decision to carry out this final computation. 
New record: 85900 cities, 2006 
The largest solved instance of the traveling salesman problem consists of a tour through 85,900 cities in a VLSI application that arose in Bell Laboratories in the late 1980s. 
The computation with Concorde was carried out in 2005/06 and reported in the book The Traveling Salesman Problem: A Computational Study. The instance is called pla85900 in Gerd Reinelt's TSPLIB; the shortest possible tour for the problem has length 142,382,641 units. 
With the solution of pla85900, the complete TSPLIB collection of challenge problems has now been successfully solved with the Concorde code. 
Picture of pla85900 tour 
 15 year race for better tours  
Date 	 Tour Length 	 Research Team 	 Method 
 07.06.1991	142,514,146	David S. Johnson	Iterated Lin-Kernighan 
29.03.1996	142,487,006	Concorde	Tour Merging 
23.09.1997	142,482,068	Concorde	Tour Merging 
14.10.1998	142,416,327	Keld Helsgaun	LKH 
22.10.1999	142,409,553	Concorde	Tour Merging 
18.06.2001	142,406,493	Keld Helsgaun	LKH 
27.06.2001	142,405,532	Keld Helsgaun	LKH 
31.08.2001	142,395,130	Concorde	Tour Merging with LKH 
14.12.2001	142,393,738	Keld Helsgaun	LKH 
15.09.2002	142,385,237	Hisao Tamaki	 Approximate Tour Merging 
12.12.2002	142,383,704	Keld Helsgaun	LKH 
19.03.2003	142,383,467	Nguyen Dinh Hung	Hybrid Genetic Algorithm 
28.04.2003	142,383,189	Keld Helsgaun	LKH 
23.12.2003	142,383,011	Keld Helsgaun	LKH 
02.05.2004	142,382,641	Keld Helsgaun	LKH 
Questions? 
Merci à tous !