Bài giảng Toán rời rạc - Chương 1: Cơ sở logic - Nguyễn Lê Minh

TOÁN RỜI RẠC
Chương 1: CƠ SỞ LOGIC
GV: NGUYỄN LÊ MINH
Bộ môn Công nghệ thông tin
CƠ SỞ LOGIC
Mệnh đề
Dạng mệnh đề
Suy luận
Qui tắc suy diễn
Vị từ, lượng từ
2
Mệnh đề
Định nghĩa: Mệnh đề là một khẳng định có giá 
trị chân lý xác định, đúng hoặc sai.
Câu hỏi, câu cảm thán, mệnh lệnh không là 
mệnh đề.
Ví dụ:
- Đại học CNTT trực thuộc ĐHQG TP.HCM.
- 1+7 =8.
- Hôm nay em đẹp quá! (không là mệnh đề)
- Hôm nay ngày thứ mấy? (không là mệnh đề)
3
Mệnh đề
 Ký hiệu: người ta dùng các ký hiệu P, Q, R
để chỉ mệnh đề.
 Chân trị của mệnh đề: Một mệnh đề chỉ có
thể đúng hoặc sai, không thể đồng thời vừa
đúng vừa sai. Khi mệnh đề P đúng ta nói P
có chân trị đúng, ngược lại ta nói P có chân
trị sai.
 Chân trị đúng và chân trị sai sẽ được ký hiệu
lần lượt là 1(hay Đ,T) và 0(hay S,F)
4
Mệnh đề
Phân loại: gồm 2 loại
 Mệnh đề phức hợp: là mệnh đề được xây
dựng từ các mệnh đề khác nhờ liên kết bằng
các liên từ (và, hay, khi và chỉ khi,) hoặc
trạng từ “không”
 Mệnh đề sơ cấp (nguyên thủy): Là mệnh đề
không thể xây dựng từ các mệnh đề khác
thông qua liên từ hoặc trạng từ “không”
5
Mệnh đề
Ví dụ:
- 2 không là số nguyên tố
- 2 là số nguyên tố
- Nếu 3>4 thì trời mưa
- An đang xem phim hay An đang học bài
- Vấn đề này cần được xem xét cẩn thận
- x + 1 = 2
- x + y = z
6
Các phép toán: có 5 phép toán
1. Phép phủ định: phủ định của mệnh đề P
(đọc là “không” Pđược ký hiệu là P hay 
hay “phủ định của” P).
Bảng chân trị : 
Ví dụ:
- 2 là số nguyên tố.
Phủ định: 2 không là số nguyên tố
- 15 > 5 Phủ định: 15 ≤ 5
Mệnh đề
7
 𝑃
𝑷 𝑷
1 0
0 1
2. Phép hội (nối liền, giao): của hai mệnh đề P,
Q được kí hiệu bởi P  Q (đọc là “P và Q”), là
mệnh đề xác định bởi : P  Q đúng khi và chỉ
khi P và Q đồng thời đúng.
Bảng chân trị 
Ví dụ:
P: “Hôm nay là chủ nhật” 
Q: “Hôm nay trời mưa”
P  Q: “ Hôm nay là chủ nhật và trời mưa”
P Q PQ
0
0
1
1
0
1
0
1
0
0
0
1
Mệnh đề
8
3. Phép tuyển (nối rời, hợp): của hai mệnh đề
P, Q được kí hiệu bởi P  Q (đọc là “P hay Q”),
là mệnh đề xác định bởi: P  Q sai khi và chỉ
khi P và Q đồng thời sai.
Bảng chân trị 
Ví dụ:
- Hùng đang đọc báo
- Hùng đang xem tivi
- PQ : “Hùng đang đọc báo hoặc đang xem
tivi”
P Q PQ
0
0
1
1
0
1
0
1
0
1
1
1
Mệnh đề
9
4. Phép kéo theo: Mệnh đề P kéo theo Q của
hai mệnh đề P và Q, kí hiệu bởi P Q (đọc là
“P kéo theo Q” hay “Nếu P thì Q” hay “P là điều
kiện đủ của Q” hay “Q là điều kiện cần của P”)
là mệnh đề xác định bởi: P Q sai khi và chỉ
khi P đúng mà Q sai.
Bảng chân trị 
Ví dụ
- e >4 kéo theo 5>6
- Nếu hôm nay trời nắng thì chúng tôi sẽ đi học
P Q P Q
0
1
0
1
0
0
1
1
1
0
1
1
Mệnh đề
10
5. Phép kéo theo hai chiều: Mệnh đề P kéo theo
Q và ngược lại của hai mệnh đề P và Q, ký
hiệu bởi P  Q (đọc là “P nếu và chỉ nếu Q”
hay “P khi và chỉ khi Q” hay “P là điều kiện cần
và đủ của Q”), là mệnh đề xác định bởi: P  Q
đúng khi và chỉ khi P và Q có cùng chân trị
Bảng chân trị
Ví dụ: 6 chia hết cho 3 khi 
và chi khi 6 chia hết cho 2
P Q PQ
0
0
1
1
0
1
0
1
1
0
0
1
Mệnh đề
11
Định nghĩa: là một biểu thức được cấu tạo từ:
-Các mệnh đề (các hằng mệnh đề)
-Các biến mệnh đề p, q, r, , tức là các biến 
lấy giá trị là các mệnh đề nào đó
-Các phép toán , , , , và dấu đóng
mở ngoặc ().
Ví dụ:
E(p,q) = (p  q)
F(p,q,r) = (p  q) (q  r)
Dạng mệnh đề
12
Mệnh đề phức hợp: là mệnh đề được xây dựng
từ một số mệnh đề ban đầu và liên kết chúng
lại bằng các phép toán logic.
Mệnh đề sơ cấp: không được xây dựng từ các
mệnh đề khác qua các phép toán logic.
Dạng mệnh đề
13
Độ ưu tiên của các toán tử logic:
- Ưu tiên mức 1: ()
- Ưu tiên mức 2: 
- Ưu tiên mức 3: , 
- Ưu tiên mức 4: , 
Bảng chân trị của dạng mệnh đề E(p,q,r): là bảng
ghi tất cả các trường hợp chân trị có thể xảy ra đối
với dạng mệnh đề E theo chân trị của các biến
mệnh đề p, q, r. Nếu có n biến, bảng này sẽ có 2𝑛
dòng, chưa kể dòng tiêu đề.
Dạng mệnh đề
Ví dụ: E(p,q,r) =(p  q) r . Ta có bảng chân 
trị sau
Dạng mệnh đề
p q r p  q (p  q) r
0 0 0 0 1
0 0 1 0 1
0 1 0 1 0
0 1 1 1 1
1 0 0 1 0
1 0 1 1 1
1 1 0 1 0
1 1 1 1 1
Lập bảng chân trị những dạng mệnh đề sau:
- p 𝑝
- (𝑝 → 𝑞) ↔ ( 𝑝 → 𝑞)
- (𝑝𝑞) p
- P  (q  q) ↔ 𝑞
Dạng mệnh đề
Tương đương logic: Hai dạng mệnh đề E và F
được gọi là tương đương logic nếu chúng có
cùng bảng chân trị.
Ký hiệu E F. (hay E ≡ F)
Ví dụ: (p  q) p  q
Dạng mệnh đề được gọi là hằng đúng nếu nó
luôn lấy giá trị 1
Dạng mệnh đề gọi là hằng sai (hay mâu thuẩn) 
nếu nó luôn lấy giá trị 0.
Dạng mệnh đề
Ví dụ: Xét công thức P→Q ↔ 𝑃 v Q
Dạng mệnh đề
p q 𝑃 P→Q 𝑃 v Q P→Q ↔ 𝑃 v Q
0 0 1 1 1 1
0 1 1 1 1 1
1 0 0 0 0 1
1 1 0 1 1 1
Định lý: Hai dạng mệnh đề E và F tương đương 
với nhau khi và chỉ khi E  F là hằng đúng.
Hệ quả logic: F được gọi là hệ quả logic của E 
nếu E F là hằng đúng.
Ký hiệu E ≡ F hoặc E = F 
Dạng mệnh đề
Các luật lôgic:
1. Phủ định của phủ định: p = p
2. Qui tắc De Morgan:  (p  q) =  p   q
 (p  q) =  p   q
3. Luật giao hoán: p  q = q  p 
p  q = q  p
4. Luật kết hợp: (p  q)  r = p  (q  r)
(p  q)  r = p  (q  r)
Dạng mệnh đề
Các luật lôgic:
5. Luật phân phối: p  (q  r) = (p  q)  (p  r)
p  (q  r) = (p  q)  (p  r)
6. Luật lũy đẳng:
7. Luật trung hòa:
p  p = p
p  p = p
p  0 = p
p  1 = p
8. Luật về phần tử bù: p  p = 0
p  p = 1
Dạng mệnh đề
9. Luật thống trị:
10. Luật hấp thu:
p  0 = 0
p  1 = 1
p  (p  q) = p 
p  (p  q) = p
11. Luật về phép kéo theo: p q = p  q
=  q  p
Dạng mệnh đề
12. Luật chứng minh phản chứng:
 (p q) = p   q
Ví dụ: Cho p, q, r là các biến mệnh đề. Chứng
minh rằng: (p r)  (q r) ≡ (p q) r
Dạng mệnh đề
Dùng bảng chân trị kiểm chứng các luật
1. Luật lũy đẳng
2. Luật giao hoán
3. Luật kết hợp
4. Luật phân phối
Bài tập
Dùng bảng chân trị kiểm tra các mệnh đề sau, 
mệnh đề nào là hằng đúng
1. (p q) p
2. p (p  q)
3. [(p q)  (q r)] (p r)
4. ( q  (p q))  p
5. [(p  q)  (p r)  (q r)] r
6. (p  q) (p  q)
Bài tập
Cho p, q, r là các biến mệnh đề. Chứng minh 
rằng: 
1. (p q)  [(q  (r  q)] ≡ (q  p)
2. [(p  p)  (q  p)] q ≡ 1
3. (p  q) r ≡ (p (q r))
4. ((p q)  p) q ≡ 1
5. (p  ( p  q)) ≡ p  q
6. [(p  q)  (p r)  (q r)] r ≡ 1
7. [(p q)  (q r)] (p r) ≡ 1
Bài tập
Suy luận là rút ra mệnh đề mới từ mệnh đề đã có.
Mệnh đề đã có được gọi là giả thiết hay tiền đề,
mệnh đề mới được gọi là kết luận
Ví dụ: An đang đi xe máy, bỗng nhiên xe đứng máy,
An kiểm tra bình xăng thấy xăng vẫn còn nhiều. An
nghĩ xe đứng máy do một bộ phận nào đó của xe bị
trục trặc.
-> Xe hết xăng hoặc một bộ phận của xe bị hỏng
Nhưng xe vẫn còn xăng
Vây: Một bộ phận của xe bị hỏng
Suy luận
Trong toán học, xuất phát từ một số khẳng định đúng
P1,P2,P3,,Pn gọi là giả thiết, các quy tắc suy diễn
được áp dụng để suy ra chân lý của một khẳng định
Q là hệ quả logic của P1  P2  P3   Pn
Hay
P1  P2  P3   Pn Q
là một hằng đúng
Suy luận
Phép suy diễn được mô hình hóa như sau
Giả thiết P1,P2,P3,,Pn
được viết trên gạch
ngang
Dưới dấu gạch ngang
viết kết luận Q
Ký hiệu  thay cho vậy
thì trong lập luận
Qui tắc suy diễn
P1
P2
P3
Pn
Q
1. Qui tắc khẳng định (Modus Ponens):
 Sơn học tốt
 Tuấn ăn chay
[(p q)  p] q
[(p  q)  p] q 
Ví dụ:
 Học tốt thi đậu 
Suy ra Sơn thi đậu
 An hay Tuấn ăn cua biển 
Suy ra An ăn cua biển
Qui tắc suy diễn
p q 
p
q
p  q
p
q
1. Qui tắc phủ định (Modus Tollens):
[(p q)  q] p
Ví dụ:
 Nếu Hùng chăm học thì Hùng đạt môn
Toán rời rạc
 Hùng không đạt môn Toán rời rạc
 Hùng không chăm học
Qui tắc suy diễn
p q 
 q
p
3. Qui tắc tam đoạn luận:
[(p q)  (q r)] (p r)
Ví dụ:
•Nếu trời mưa thì đường ướt
•Nếu đường ướt thì đường trơn 
Suy ra nếu trời mưa thì đường trơn.
Qui tắc suy diễn
p q 
q r
p r
3. Qui tắc mâu thuẫn:
(p q) ≡ [(p   q)] 0
=> Nếu thêm  q vào P cho trước mà dẫn tới
mâu thuẫn thì Q là hệ quả logic của P 
Qui tắc suy diễn
4. Qui tắc phản chứng:
Ví dụ:
Qui tắc suy diễn
1 2 1 2n n
[( p  p  . . .  p ) q ] [( p  p  . . .  p   q ) 0 ]
Chứng minh
p r
p q 
q s
r s
Giải: CM bằng phản chứng
p r
p q 
q s
r
s
0
5. Qui tắc chứng minh theo trường hợp : 
[(p r)  (q r)] [(p  q) r]
6. Phản ví dụ:
Để chứng minh một phép suy luận là sai hay
không là một hằng đúng. Ta chỉ cần chỉ ra một
phản ví dụ.
Qui tắc suy diễn
Ví dụ: Ông Minh nói rằng
nếu không được tăng lương
thì ông ta sẽ nghỉ việc. Mặt
khác, nếu ông ấy nghỉ việc
và vợ ông ấy bị mất việc thì
phải bán xe. Biết rằng nếu
vợ ông Minh hay đi làm trễ
thì trước sau gì cũng sẽ bị
mất việc và cuối cùng ông
Minh đã được tăng lương.
Suy ra nếu ông Minh
không bán xe thì vợ ông ta
đã không đi làm trễ
Qui tắc suy diễn
p: ông Minh được tăng lương.
q: ông Minh nghỉ việc.
r: vợ ông Minh mất việc. 
s: gia đình phải bán xe. 
t: vợ ông hay đi làm trể.
p q
q  r s 
t r
p
s t
Ví dụ: Chứng minh các suy luận sau, nêu ví dụ
dẫn chứng
Bài tập
1.
(p  q) (r  s) 
r t
t
(p  s)
4.
p r
s r 
s t
t  u
u
p
2.
p (q r) 
p  s
t p
s
r t
3.
p q
r  s 
p  r
q s
Gọi P, Q là các mệnh đề:
P: “Hùng thích bóng đá”
Q: “Hùng ghét nấu ăn”
Viết lại các mệnh đề sau dưới dạng hình thức, 
sử dụng các phép nối
• Hùng không thích bóng đá lẫn nấu ăn
• Hùng thích bóng đá nhưng ghét nấu ăn
• Hùng thích bóng đá hay Hùng vừa thích nấu
ăn vừa ghét bóng đá
• Hùng thích bóng đá và nấu ăn hay Hùng ghét
bóng đá nhưng thích nấu ăn
Bài tập
Cho biết các suy luận nào trong các suy luận
dưới đây là đúng, và quy tắc suy diễn nào được
sử dụng:
• Điều kiện đủ để đội tuyển bóng đá Việt Nam 
thắng trận là đối thủ đừng gỡ lại vào phút cuối
• Mà đội tuyển Việt Nam đã thắng trận
• Vậy đối thủ của đội tuyển Việt Nam không gỡ
lại vào phút cuối
Bài tập
Bài tập
Cho biết các suy luận nào trong các suy luận
dưới đây là đúng, và quy tắc suy diễn nào được
sử dụng:
• Nếu An siêng học thì An được xếp loại giỏi
• Mà An không được xếp loại giỏi
• Vậy An không siêng học
Bài tập
Cho biết các suy luận nào trong các suy luận
dưới đây là đúng, và quy tắc suy diễn nào được
sử dụng:
• Nếu Hùng thi đỗ đại học thì Hùng được
thưởng một xe máy
• Nếu được thưởng xe máy Hùng sẽ đi Vũng
Tàu
• Do đó nếu thi đỗ đại học thì Hùng sẽ đi Vũng
Tàu
Bài tập
Định nghĩa:
Vị từ là một khẳng định p(x,y,..), trong đó x,y...là 
các biến thuộc tập hợp A, B,.. cho trước sao cho:
-Bản thân p(x,y,..) không phải là mệnh đề
-Nếu thay x,y,.. thành giá trị cụ thể thì p(x,y,..) là 
mệnh đề.
Ví dụ:
-p(n) = “n +1 là số nguyên tố”
- q(x,y) = “x + y = 1”
Vị từ - Lượng từ
Các phép toán trên vị từ
Cho trước các vị từ p(x), q(x) theo một biến x A.
Khi ấy, ta cũng có các phép toán tương ứng như
trên mệnh đề:
 Phủ định: p(x)
 Phép nối liền (hội, giao): p(x)  q(x)
 Phép nối rời (tuyển, hợp): p(x)  q(x)
 Phép kéo theo: p(x) q(x)
 Phép kéo theo hai chiều: p(x)  q(x)
Vị từ - Lượng từ
29
Cho p(x) là một vị từ theo một biến xác định trên
A. Các mệnh đề lượng từ hóa của p(x) được định 
nghĩa như sau:
-Mệnh đề “Với mọi x thuộc A, p(x) ”, kí hiệu: “x
 A, p(x)” là mđ đúng khi và chỉ khi p(a) luôn đúng 
với mọi giá trị a A.  đgl lượng từ phổ dụng
-Mệnh đề “Tồn tại (có ít nhất một) x thuộc A, p(x)”
kí hiệu “x A, p(x)” là mệnh đề đúng khi và chỉ
khi có ít nhất một giá trị x= a’ A nào đó sao cho
mệnh đề p(a’) đúng.  đgl lượng từ tồn tại
Vị từ - Lượng từ
Cho p(x, y) là một vị từ theo hai biến x, y xác định
trên A B. Ta định nghĩa các mệnh đề lượng từ hóa
của p(x, y) như sau:
“x A,y B, p(x, y)”  “x A, (y B, p(x, y))”
“x A, y B, p(x, y)”  “x A, (y B, p(x, y))”
“x A, y B, p(x, y)”  “x A, (y B, p(x, y))”
“x A, y B, p(x, y)”  “x A, (y B, p(x, y))”
Vị từ - Lượng từ
Vị từ - Lượng từ
Ví dụ: Các mệnh đề sau đúng hay sai?
- “x R, x 2 + 6 x + 5 0 ”
- “x R, x
2
+ 6 x + 5 0 ”
- “x R, y R, 2x + y < 1”
- “x R, y R, 2x + y < 1”
- “x R, y R, x + 2y < 1”
- “x R, y R, x + 2y < 1”
Định lý
Cho p(x, y) là một vị từ theo hai biến x, y xác 
định trên A B. Khi đó:
“x A, y B, p(x, y)” “y B, x A, p(x, y)”
“x A, y B, p(x, y)” “y B, x A, p(x, y)”
“x A, y B, p(x, y)” “y B, x A, p(x, y)” 
Phủ định của mệnh đề lượng từ hóa vị từ 
p(x,y,..) có được bằng cách: thay  thành , thay
 thành , và p(x,y,..) thành  p(x,y,..).
Vị từ - Lượng từ
Vị từ - Lượng từ
Với vị từ theo 1 biến ta có :
 x A , p ( x )  x A , p ( x )
 x A , p ( x )  x A , p ( x )
Với vị từ theo 2 biến
 x A ,  y B , p ( x , y )  x A ,  y B , p ( x , y )
 x A ,  y B , p ( x , y )  x A ,  y B , p ( x , y )
 x A ,  y B , p ( x , y )  x A ,  y B , p ( x , y )
 x A ,  y B , p ( x , y )  x A ,  y B , p ( x , y )
Ví dụ phủ định các mệnh đề sau
- “x A, 2x + 1 0”
- “ > 0,  > 0, x R, x – a< f(x) – f(a)<”
Vị từ - Lượng từ