Bài giảng Toán kỹ thuật - Phần 2: Toán tử Laplace - Chương 3: Phép biến đổi Laplac

Phần 2
Toán tử Laplace

 Phép biến ñổi Lapalace

 Phép biến ñổi Lapalace ngược

 Ứng dụng biến ñổi Lapace vào PT vi phân

 Ứng dụng biến ñổi Lapace vào Giải tích Mạch ñiện
Bài giảng Toán Kỹ Thuật 2012 1
Chương 3 Phép biến ñổi Laplace
ðịnh nghĩa
 F(s) : ảnh Laplace
 f(t) : gốc
 Ký hiệu khác hay

 Lưu ý trong phạm vi giáo trình ta chỉ xét các giá trị s trong 
khoảng tích phân là hội tụ
Bài giảng Toán Kỹ Thuật 2012 2
{ }
0
( ) ( ) ( ) stF s f t f t e dt
−
+∞
−
= = ∫L

 f(t) là hàm (có thể phức) của biến số thực t (t ≥ 0) sao cho 
tích phân hội tụ ít nhất với một số phức s = a + jb

 Ảnh của hàm f(t) qua biến ñổi Laplace là hàm F(s) ñược 
ñịnh nghĩa
( ) ( )F s f t ( ) ( )f t F s
Tính chất hàm gốc f(t)
Tập hợp các hàm f(t) của biến số thực t sao cho tích phân hội tụ ít 
nhất với một số phức s gọi là lớp hàm gốc. 
Trong ñó tập hợp các giá trị của s sao cho tích phân tồn tại thì ñược 
gọi là miền hội tụ (hay miền qui tụ).
Ta có thể chứng minh ñược lớp các hàm gốc phải thỏa mãn các tính 
chất sau.

 f(t) = 0, với mọi t < 0.

 Khi t ≥ 0, hàm f(t) liên tục cùng với các ñạo hàm cấp ñủ lớn trên toàn trục t, 
trừ một số hữu hạn ñiểm gián ñoạn loại một.

 Khi t→∞ hàm f(t) có cấp tăng bị chặn, tức là tồn tại hằng số s>0 và M>0 sao 
cho Khi ñó so = inf ; {s} ñược gọi là chỉ số tăng của 
hàm f. (Tức là hàm f(t) không ñược tăng nhanh hơn hàm est ñể ñảm bảo tích 
phân Laplace hội tụ).
Bài giảng Toán Kỹ Thuật 2012 3
( ) ; 0stf t Me t≤ ∀ >

 Lưu ý trong phạm vi giáo trình ta chỉ xét các giá trị s trong 
khoảng tích phân là hội tụ
Biến ñổi Laplace của một số hàm thông dụng
Bài giảng Toán Kỹ Thuật 2012 4

 Hàm bước (nấc) ñơn vị : u(t)
0 0( )
1 0
t
u t
t
<
= 
>
t
( )u t
1
00 0
1( ) ( )
st
st st eF s u t e dt e dt
s s
−
+∞+∞ +∞
−
− −
= = = =
−
∫ ∫
{ } 1( )u t
s
=L Miền hội tụ S > 0
Biến ñổi Laplace của một số hàm thông dụng
Bài giảng Toán Kỹ Thuật 2012 5

 Hàm dirac : δ(t)
0( )
0 0
t
t
t
δ ∞ == 
≠
t
( )tδ
0
00
( ) ( ) ( ) 1stF s t e dt t e dtδ δ
−
+∞ +∞
−
= = =∫ ∫
{ }( ) 1tδ =L
Biến ñổi Laplace của một số hàm thông dụng
Bài giảng Toán Kỹ Thuật 2012 6

 Hàm mũ : e-at (a > 0) 
( )
( )
00 0
1( ) ( )
s a t
at st s a t eF s e e dt e dt
s a s a
−
+∞+∞ +∞
− +
− − − +
= = = =
− + +∫ ∫
{ } 1ate
s a
−
=
+
L Miền hội tụ S > -a
Biến ñổi Laplace của một số hàm thông dụng
Bài giảng Toán Kỹ Thuật 2012 7

 Hàm lượng giác : f1(t) = cos(at)
{ } 2 2cos( ) sat
s a
=
+
L
Miền hội tụ S > 0 

 Hàm lượng giác : f2(t) = sin(at)
{ } 2 2sin( ) aat
s a
=
+
L
Miền hội tụ S > 0 
Biến ñổi Laplace của một số hàm thông dụng
Bài giảng Toán Kỹ Thuật 2012 8

 Hàm lũy thừa : tn (n = 0,1, 2, 3,  ) 
1 1
0 0 00
( )
n st st
n st n n stt e e nF s t e dt nt dt t e dt
s s s
+∞+∞ +∞ +∞
− −
− − − −
= = − =
− −
∫ ∫ ∫
{ } 1!n nnt
s
+
=L Miền hội tụ S > 0
{ } { } { }
{ } { }
1 2
3 0
( 1)
( 1) ( 2) !
...
n n n
n
n
n n n
t t t
s s s
n n n n
t t
s s s s
− −
−
−
⇒ = =
− −
= = =
L L L
L L
Biến ñổi Laplace của một số hàm thông dụng
Bài giảng Toán Kỹ Thuật 2012 9
f(t) F(s) Miền hội tụ 
( )u t
1
s
 0s >
( )tδ
1 
at
e
−
1
s a+
 s a> −
cos( )at
 2 2
s
s a+
 0s >
sin( )at
 2 2
a
s a+
 0s >
nt
1
!
n
n
s +
 0s >
Các tính chất của phép biến ñổi Laplace
Bài giảng Toán Kỹ Thuật 2012 10

 Tính tuyến tính
◦ Nếu
◦ Thì
{ } { }1 1 2 2( ) ( ) ; ( ) ( )f t F s f t F s= =L L
{ }1 1 2 2 1 1 2 2( ) ( ) ( ) ( )a f t a f t a F s a F s+ = +L
1 2( , :a a caùchaèngsoá)
{ } ( )1 1 2 2 1 1 2 2
0
1 1 2 2 1 1 2 2
0 0
( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( )
st
st st
a f t a f t a f t a f t e dt
a f t e dt a f t e dt a F s a F s
+∞
−
+∞ +∞
− −
+ = +
= + = +
∫
∫ ∫
L
Ví dụ
Tìm biến ñổi Laplace cho các hàm sau
Bài giảng Toán Kỹ Thuật 2012 11
4( ) 2 3cos5f t t t= −
2( ) 4 ( ) 6 tg t t eδ −= −
3( ) 3cos(6 )h t t pi= +
{ } 5 24!( ) 2 3 25
sf t
s s
= −
+
L
{ } 1( ) 4 6
2
g t
s
= −
+
L
{ } 23 3cos 6sin( ) 3 36
s
h t
s
pi pi
−
=
+
L
Các tính chất của phép biến ñổi Laplace
Bài giảng Toán Kỹ Thuật 2012 12

 Tính dời theo s
◦ Nếu
◦ Thì
{ }( ) ( )f t F s=L
{ }( ) ( )ate f t F s a− = +L ( :a soá thöïc)
{ }
0
0
( )
( ) ( )
( ) ( )
at at st
s a t
e f t e f t e dt
f t e dt F s a
+∞
+∞
− − −
− +
=
= = +
∫
∫
L
Ví dụ
Tìm biến ñổi Laplace cho các hàm sau
Bài giảng Toán Kỹ Thuật 2012 13
6 4 2( ) 2 3 cos5t tf t e t e t− −= −
10
3( ) 3 cos(6 )tg t e t pi−= +
{ } 5 24!( ) 2 3( 6) ( 2) 25
sf t
s s
= −
+ + +
L
{ } 23 3( 10)cos 6sin( ) 3 ( 10) 36
s
g t
s
pi pi+ −
=
+ +
L
Các tính chất của phép biến ñổi Laplace
Bài giảng Toán Kỹ Thuật 2012 14

 Tính dời theo t
◦ Nếu
◦ Thì
{ }( ) ( )f t F s=L
{ }0 0 0( ) ( ) ( )stf t t u t t e F s−− − =L 0( 0t > )
{ }
0
0
0 0 0
)
0 0
0 0(
( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( )
st
st sts x t sx
t
f t t u t t f t t e dt
f x e dx e f x e dx e F s
+∞
+∞ +∞
−
− −
− + −
− − = −
= = =
∫
∫ ∫
L
0
0
0
( )
1
o t t
u t t
t t
<
− = 
>
Ví dụ
Tìm biến ñổi Laplace cho các hàm sau
Bài giảng Toán Kỹ Thuật 2012 15
4
6 6( ) 3( 2) ( 2) 3cos( ) ( )f t t u t t u tpi pi= − − − − −
10
3 18( ) 3 cos(6 )) (tg t e t u tpi pi−= − −
{ } 65 22 4!( ) 2 3 1
s s sf t e e
s s
pi−
−
= −
+
L
{ } 18 2( 10)( ) 3 ( 10) 36
s sg t e
s
pi− +
=
+ +
L