Bài giảng Toán kỹ thuật - Phần 1: Giải tích Fourier - Chương 1: Chuỗi Fourier

Phần 1: Giải tích Fourier
Bài giảng Toán Kỹ Thuật 2012
 Chương 0 : Ôn tập số phức
 Chương 1 : Chuỗi Fourier
 Chương 2 : Tích phân Fourier và biến đổi Fourier
1
Chương 1 Chuỗi Fourier
Bài giảng Toán Kỹ Thuật 2012
 1.1 Hàm tuần hoàn
 1.2 Chuỗi Fourier của hàm tuần hoàn
 1.3 Các công thức khác để tính các hệ số Fourier
 1.4 Khai triển bán kỳ
 1.5 Các dạng khác của chuỗi Fourier
 1.6 Ứng dụng của chuỗi Fourier
2
1.1 Hàm tuần hoàn
Bài giảng Toán Kỹ Thuật 2012
 Định nghĩa 1.1
hàm f(t) gọi là tuần hoàn 
nếu và chỉ nếu tồn tại số dương T sao cho
f(t+T) = f(t) 
với mọi t trong miền xác định của f(t) 
 T gọi là chu kỳ (chu kỳ cơ bàn )
 Phân loại:
 f(t) tuần hoàn sin 
 f(t) tuần hoàn không sin
3
Ví dụ
Bài giảng Toán Kỹ Thuật 2012 4
Bài giảng Toán Kỹ Thuật 2012 5
1.2 Chuỗi Fourier của hàm tuần hoàn
0
0 0
1
( ) ( cos sin )
2 n nn
af t a n t b n tω ω
+∞
=
= + +∑
Vôùi : n = 1,2 
ω0 = 2π/T = taàn soá cô baûn
a0, an , bn = caùc heä soá khai trieån chuỗi Fourier .
 Chuỗi Fourier của haøm tuaàn hoaøn f(t) chu kyø T laø :
 Giaù trò caùc tích phaân xaùc ñònh
2 2
0 0
2 2
2
0 0
2
2
0 0
2
2
0 0
2
cos( ) sin( ) 0 ,
cos( )sin( ) 0 ,
0
cos( )cos( )
2
0
sin( )sin( )
2
T T
T T
T
T
T
T
T
T
m t n t dt m n
m t n t dt m n
m n
m t n t dt T m n
m n
m t n t dt T m n
ω ω
ω ω
ω ω
ω ω
− −
−
−
−
= = ∀
= ∀
≠
= 
=
≠
= 
=
∫ ∫
∫
∫
∫
Caùc heä soá khai trieån Fourier
Bài giảng Toán Kỹ Thuật 2012 6
20
2
2 ( )
T
T
a f t dt
T
−
= ∫
2 2
0 0
2 2
cos( ) sin( ) 0 ,
T T
T T
m t n t dt m nω ω
− −
= = ∀∫ ∫
Caùc heä soá khai trieån Fourier
Bài giảng Toán Kỹ Thuật 2012 7
0
0 0
1
( ) ( cos sin )
2 n nn
af t a n t b n tω ω
+∞
=
= + +∑
20
2
2 ( ) cos( )
T
n
T
a f t n t dt
T
ω
−
= ∫
Caùc heä soá khai trieån Fourier
Bài giảng Toán Kỹ Thuật 2012 8
0
0 0
1
( ) ( cos sin )
2 n nn
af t a n t b n tω ω
+∞
=
= + +∑
2
0 0
2
2
0 0
2
cos( )sin( ) 0 ,
0
cos( )cos( )
2
T
T
T
T
m t n t dt m n
m n
m t n t dt T m n
ω ω
ω ω
−
−
= ∀
≠
= 
=
∫
∫
20
2
2 ( )sin( )
T
n
T
b f t n t dt
T
ω
−
= ∫
Caùc heä soá khai trieån Fourier
Bài giảng Toán Kỹ Thuật 2012 9
0
0 0
1
( ) ( cos sin )
2 n nn
af t a n t b n tω ω
+∞
=
= + +∑
2
0 0
2
2
0 0
2
cos( )sin( ) 0 ,
0
sin( )sin( )
2
T
T
T
T
m t n t dt m n
m n
m t n t dt T m n
ω ω
ω ω
−
−
= ∀
≠
= 
=
∫
∫
Điều kiện tồn tại
Bài giảng Toán Kỹ Thuật 2012 10
 Định nghĩa 1.2:
Một hàm f thỏa điều kiện Dirichlet trên một khoảng I nếu và chỉ nếu 
f bị chặn và cùng lắm là có một số hữu hạn điểm cực đại và cực tiểu 
và một số hữu hạn điểm gián đoạn trên I.
a bt2t1
f(a+)
f(t1-)
f(t1+)
f(t2-)
f(t2+)
f(b-)
t
f(t)
● nếu f liên tục tại t.
● nếu f gián đoạn tại t.
Điều kiện tồn tại
Bài giảng Toán Kỹ Thuật 2012 11
 Định lý 1.1: (Định lý Dirichlet)
Nếu hàm f tuần hoàn chu kỳ T và thỏa điều kiện Dirichlet 
trên một khoảng I
Thì chuỗi Fourier của f hội tụ về :
( )f t
1 ( ) ( )
2 k k
f t f t+ − + 
Ví dụ tìm chuỗi Fourier
Bài giảng Toán Kỹ Thuật 2012 12
a) Xác định chuổi Fourier ?
b) Kiểm lại dùng MATLAB ?
Giải
Chu kỳ và tần số cơ bản:
Các hệ số chuổi Fourier: a0 = 2,
Bài giảng Toán Kỹ Thuật 2012 13
pi = 3.14159; N = 100; T = 3; a0 = 1;
w0 = 2*pi/T;
t = linspace(0,2*T,600);
for n=1:N
a(n)= (3/(n*pi))*sin(4*n*pi/3);
b(n)= (3/(n*pi))*(1 - cos(4*n*pi/3));
end
for i=1:length(t)
f(i) = a0;
for n=1:length(a)
f(i) = f(i) + a(n)*cos(n*w0*t(i)) + 
b(n)*sin(n*w0*t(i));
end
end
plot(t,f,'black');
xlabel('t(s)');
ylabel('f(t)');
Ví dụ tìm chuỗi Fourier
Ví dụ tìm chuỗi Fourier
Bài giảng Toán Kỹ Thuật 2012 14
 Tìm chuỗi Fourier của các hàm sau
2
0 0
) ( ) ; 2
sin 0
) ( ) 4 2 2 ; 4
t
a f t T
t t
b f t t t T
π
π
π
− ≤ ≤
= = ≤ ≤
= − − ≤ ≤ =
2
1
1
2 2
1
1 sin 2 cos 2) ( )
2 4 1
8 16 ( 1)) ( ) cos
3 2
n
n
n
t nta f t
n
n tb f t
n
π π
π
π
+∞
=
++∞
=
= + −
−
−
= +
∑
∑
 Kết quả
1.3 Các công thức khác để tính các hệ số Fourier
 Nếu f(t) gián đoạn tại tk thì Jk ≠ 0
 Nếu f(t) liên tục tại tk thì Jk = 0
Bài giảng Toán Kỹ Thuật 2012 15
 Bước nhảy của một hàm:
 Định nghĩa :
Bước nhảy của một hàm f tại tk là: Jk = f(tk
+) – f(tk-)
a bt2t1
f(a+)
f(t1-)
f(t1+)
f(t2-)
f(t2+)
f(b-)
t
f(t)
Hai công thức lặp để tính các hệ số Fourier
Bài giảng Toán Kỹ Thuật 2012 16
Định lý 1.2:
Nếu f là hàm tuần hoàn chu kỳ T, thỏa điều kiện Dirichlet
va ̀ có m bước nhảy J1, J2, , Jm tại m điểm gián đoạn
t1 < t2 <  < tm trong một khoảng chu kỳ nửa hở [a, a + T) thì:
( n = 1, 2,  ) 
( bn’ = hệ sô ́ chuỗi Fourier của hàm f’) 
'
0
10
1 1 sin( )
m
n n k k
k
a b J n t
n n
ω
ω π =
−
= − ∑
Hai công thức lặp để tính các hệ số Fourier
Bài giảng Toán Kỹ Thuật 2012 17
Định lý 1.3:
Nếu f là hàm tuần hoàn chu kỳ T, thỏa điều kiện Dirichlet
va ̀ có m bước nhảy J1, J2, , Jm tại m điểm gián đoạn
t1 < t2 <  < tm trong một khoảng chu kỳ nửa hở [a, a + T) thì:
( n = 1, 2,  ) 
( an’ = hệ sô ́ chuỗi Fourier của hàm f’) 
'
0
10
1 1 cos( )
m
n n k k
k
b a J n t
n n
ω
ω π =
= + ∑
Ví dụ tìm khai triển Fourier dùng công thức lặp
Bài giảng Toán Kỹ Thuật 2012 18
Xác định các hệ số chuỗi Fourier của hàm tuần hoàn mà 
định nghĩa trong 1 chu kỳ là
1 2 1
0 1 0
( )
1 0 1
0 1 2
t
t
f t
t
t
− − < <
 − < <=  < <
 < <
-2 -1 0 1 2
1
-1
f(t)
t
Ví dụ tìm khai triển Fourier dùng công thức lặp
 Bảng các điểm gián đoạn tk và bước nhảy Jk 
Bài giảng Toán Kỹ Thuật 2012 19
-2 -1 0 1 2
1
-1
f(t)
t -2 -1 0 1 2
f'(t)
t
k 1 2 3 4
tk -2 -1 0 1
Jk -1 1 1 -1
 f’(t) = 0 ⇒ an’ =bn’=0
Ví dụ tìm khai triển Fourier dùng công thức lặp
Bài giảng Toán Kỹ Thuật 2012 20
k 1 2 3 4
tk -2 -1 0 1
Jk -1 1 1 -1
'
0
10
'
0
10
'
'
1 1 sin( )
1 1 cos( )
2 1 ( 2) ( 1) (0) (1)( 1)sin (1)sin (1)sin ( 1)sin
2 2 2 2
2 1 ( 2) ( 1) (0)( 1)cos (1)cos (1)cos ( 1)cos
2 2 2
m
n n k k
k
m
n n k k
k
n n
n n
a b J n t
n n
b a J n t
n n
n n n na b
n n
n n nb a
n n
ω
ω π
ω
ω π
π π π π
π π
π π π
π π
=
=
−
= −
= +
− − − = − − + + + −  
− −
= + − + + + −
∑
∑
(1)
2
nπ 
  
Ví dụ tìm khai triển Fourier dùng công thức lặp
Bài giảng Toán Kỹ Thuật 2012 21
2 sin ( 2 1)
2
2 ( 2 1)
n
n
na n k
n
b n k
n
π
π
π
= = +
= = +
Đối với a0 ta tính trực tiếp
1 1
0
2 0
1 ( 1) (1) 0
2
a dt dt
−
−
 
= − + = 
 
∫ ∫
Chuỗi Fourier của f(t) là :
1
2 1
2 1( ) sin cos sin
2 2 2n
n k
n n t n tf t
n
π π π
π
+∞
=
= +
 = +  
∑
Ví dụ tìm khai triển Fourier dùng công thức lặp
Bài giảng Toán Kỹ Thuật 2012 22
 Xác định f’(t), tk và Jk: 
Xác định các hệ số chuỗi Fourier 
dùng công thức lặp ?
Giải
0
10
π 2π
f(t)
0
T
π 2π
f’(t)
0
T
t1
10
π 2π
t2
f(t) tk t2 = πt1 = 0
Jk 10 – 10
Ví dụ tìm khai triển Fourier dùng công thức lặp
Bài giảng Toán Kỹ Thuật 2012 23
Xác định các hệ số chuỗi Fourier 
dùng công thức lặp ?
Giải
0
10
π 2π
f(t)
 Xác định các hệ số chuỗi Fourier: 0
0
1 ( ) 5
2
Ta f t dt
T
= =∫
1
n nπa [10.sin(0) 10sin( )] 0nπ= − − =
1 20
(n:odd)n nπ nπb [10.cos(0) 10cos( )]nπ= − =
Tốc độ tiến về 0 của các hệ số Fourier
Bài giảng Toán Kỹ Thuật 2012 24
 Định lý 1.4:
1. Khi n → ∞, các hệ số an và bn trong chuổi Fourier của hàm 
tuần hoàn f thỏa điều kiện Dirichlet tiến đến 0 ít nhất cũng 
nhanh như c/n, với c = hằng số không phụ thuộc n.
2. Nếu trong 1), f gián đoạn trong [a, a + T) thì an hoặc bn, và 
thường là cả hai, không thể → 0 nhanh hơn c/n.
3. Nếu f, f’, , f(k) thỏa điều kiện Dirichlet và liên tục khắp nơi 
thì an và bn → 0 ít nhất cũng nhanh như c/nk+2.
4. Nếu trong 3), f gián đoạn trong [a, a + T) thì an hoặc bn, và 
thường là cả hai, không thể → 0 nhanh hơn c/nk+2.
Hàm càng trơn thì tốc độ hội tụ càng nhanh 
Đạo hàm và tích phân của chuỗi Fourier
Bài giảng Toán Kỹ Thuật 2012 25
 Định lý 1.5:
Tích phân của một hàm f thỏa điều kiện Dirichlet có thể tìm 
bằng cách lấy tích phân của từng số hạng chuỗi Fourier của 
nó.
 Định lý 1.6:
Cho một hàm f tuần hoàn thỏa điều kiện Dirichlet và liên tục 
khắp nơi; nếu f’ cũng thỏa điều kiện Dirichlet; và nếu f’(t) tồn 
tại thì nó có thể tìm bằng cách lấy đạo hàm từng số hạng 
chuỗi Fourier của hàm f.