Bài giảng Toán kỹ thuật - Chương 2 Tích phân Fourier & biến đổi Fourier (Tiếp theo)

Chương 2 Tích phân Fourier & biến đổi Fourier 
Bài giảng Toán Kỹ Thuật 2012
 2.1 Tích phân Fourier
 2.2 Phép biến đổi Fourier 
 2.3 Ứng dụng của tích phân Fourier và biến đổi Fourier
 2.4 Các hàm bất thường và biến đổi Fourier của chúng
1
Bài giảng Toán Kỹ Thuật 2012 2
Tích phân Fourier dạng chuẩn
1( ) ( ) cos( )A f t t dtω ω
π
+∞
−∞
= ∫
 Nếu định nghĩa
Thì tích phân Fourier dạng chuẩn là
1( ) ( )sin( )B f t t dtω ω
π
+∞
−∞
= ∫
[ ]
0
( ) ( ) cos( ) ( )sin( )f t A t B t dω ω ω ω ω
+∞
= +∫
Bài giảng Toán Kỹ Thuật 2012 3
Tích phân Fourier mũ phức 
ωω ω
+∞
−∞
= ∫( ) ( ) j tf t D e d
ωω
π
+∞
−
−∞
= ∫
1( ) ( )
2
j tD f t e dt
Miền t:
f(t)
Miền ω:
F(ω)

 -1
( ) 2 ( )F Dω π ω=
42.2 Biến đổi Fourier
Bài giảng Toán Kỹ Thuật 2012
 Cặp biến đổi Fourier
 Biến đổi thuận
 Biến đổi ngược
{ } ωω ω ω
π
+∞
−
−∞
= = ∫ j tf t F F e d1
1( ) ( ) ( )
2

{ } ωω
+∞
−
−∞
= = ∫ j tF f t f t e dt( ) ( ) ( )
( ) ( )f t F ω↔
Ví dụ
Bài giảng Toán Kỹ Thuật 2012 5
Tìm biến đổi Fourier phức của hàm
ate ( 0)
f(t) 0
0 ( 0)
t
a
t
− >
= >
<
Giải
 Dùng định nghĩa:
( jω)t
jωt ( jω)t
0 0
F(ω) f(t).e
( jω)
a
a edt e dt
a
∞+∞ +∞ − +
− − +
−∞
= = =
− +∫ ∫
1F(ω)
a jω
=
+
Ví dụ tìm biến đổi Fourier
Bài giảng Toán Kỹ Thuật 2012 6
2 2
2F(ω)
aω
a
=
+
e ( 0)
f(t) 0
e ( 0)
at
at
t
a
t−
 
>
2 2
2F(ω)
aω
jω−
=
+
-e ( 0)
f(t) 0
e ( 0)
at
at
t
a
t−
 
>
t
( )f t
1
1− 1
2
2(1 cos )F(ω)
ω
ω−
=
Tính chất của phép biến đổi Fourier
 Tính tuyến tính
◦ Nếu
◦ Thì
 Tính đối xứng (đối ngẫu thời gian-tần số)
Bài giảng Toán Kỹ Thuật 2012 7
1 1 2 2( ) ( ) ; ( ) ( )f t F f t Fω ω↔ ↔
1 1 2 2 1 1 2 2( ) ( ) ( ) ( )a f t a f t a F a Fω ω+ ↔ +
1 2( , :a a caùc haèng soá)
( ) (( ) 2 () )f t F tF fω π ω⇒ ↔ −↔
1
2( ) ( )
j tf t F e dωπ ω ω
+∞
−∞
= ∫ 12( ) ( ) j tf t F e dωπ ω ω
+∞ −
−∞
⇒ − = ∫
2 ( ) ( ) j tf F t e dtωπ ω
+∞ −
−∞
⇒ − = ∫
 Đổi thang thời gian (co giãn, đồng dạng)
Bài giảng Toán Kỹ Thuật 2012 8
Tính chất của phép biến đổi Fourier
0 :a > ( )1 1( ) ( ) ( )aj xj t a a af at e dt f x e dx F
ωω ω
+∞ +∞ −−
−∞ −∞
= =∫ ∫
0 :a < ( )1 1( ) ( ) ( )aj xj t a a af at e dt f x e dx F
ωω ω
+∞ −∞ −−
−−∞ +∞
= =∫ ∫
⇒
1( )f at F
a a
ω ↔  
 
Bài giảng Toán Kỹ Thuật 2012 9
t
( )f t
1
1− 1
2
2(1 cos )F(ω)
ω
ω−
=
t
1( )f t
2
1− 1
2 ( )f t
1
2− 2
1 2
4(1 cos )F (ω)
ω
ω−
= 2 2
(1 cos 2 )F (ω)
ω
ω−
=
1( ) 2 ( )f t f t= ( )2 2( ) tf t f=
Tính chất của phép biến đổi Fourier
 Dịch chuyển trong miền thời gian (dời thời gian)
Bài giảng Toán Kỹ Thuật 2012 10
Tính chất của phép biến đổi Fourier
1 0( ) ( )f t f t t= − 1 1 0( ) ( ) ( )
j t j tF f t e dt f t t e dtω ωω
+∞ +∞− −
−∞ −∞
→ = = −∫ ∫
0 0 0( )
1( ) ( ) ( ) ( )
j x t j t j tj xF f x e dx e f x e dx e Fω ω ωωω ω
+∞ +∞− + − −−
−∞ −∞
⇔ = = =∫ ∫
0
0( ) ( )
j tf t t e Fω ω−− ↔
 Dịch chuyển trong miền tần số (dời tần số, điều chế AM)
0
1( ) ( )
j tf t f t e ω=
0( )
1 1 0( ) ( ) ( ) ( )
j tj tF f t e dt f t e dt Fω ωωω ω ω
+∞ +∞ − −−
−∞ −∞
⇒ = = = −∫ ∫
0
0( ) ( )
j tf t e Fω ω ω↔ −
 Đạo hàm trong miền t
Bài giảng Toán Kỹ Thuật 2012 11
Tính chất của phép biến đổi Fourier
( )1 12 2
( )( ) ( ) ( )j t j tdf tf t F e d j F e d
dt
ω ω
π πω ω ω ω ω
+∞ +∞
−∞ −∞
= ⇒ =∫ ∫
( ) ( ) ( )
n
n
n
d f t j F
dt
ω ω↔
 Tích phân trong miền t
( )( ) (0) ( )
t Ff d F
j
ωτ τ π δ ω
ω−∞
↔ +∫
 Đạo hàm trong miền ω
( )( )
n
n n
n
d Ft f t j
d
ω
ω
↔
 Định lý Parseval
 Tích chập (convolution)
Bài giảng Toán Kỹ Thuật 2012 12
Tính chất của phép biến đổi Fourier
22 1( ) ( )
2
f t dt F dω ω
π
+∞ +∞
−∞ −∞
↔∫ ∫
( ) ( ) ; ( ) ( )f t F g t Gω ω↔ ↔
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )f t g t f g t d F Gτ τ τ ω ω
+∞
−∞
∗ = − ↔∫
1 1( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
2 2
f t g t F G F x G x dxω ω ω
π π
+∞
−∞
↔ ∗ = −∫
 Hàm Dirac δ(t)
Bài giảng Toán Kỹ Thuật 2012 13
τ t
1
τ
( )tδ

0
( ) lim ( )t t
τ
δ δ∆→= 
1 0
( )
0
t
t
otherwise
τ
δ τ
 < <= 




0
( )
0 0
t
t
t
δ
∞ =
=  ≠
( ) 1t dtδ
+∞
−∞
⇒ =∫
t
( )tδ
Biến đổi Fourier của một số hàm thông dụng
Biến đổi Fourier của một số hàm thông dụng
Bài giảng Toán Kỹ Thuật 2012 14
 f(t)=δ(t):
( ) ( ) ( ) 1j tF t e dt t dtωω δ δ
+∞ +∞−
−∞ −∞
= = =∫ ∫
( ) 1tδ ↔⇒
( )tδ
t
0
ω
0
↔
1
Biến đổi Fourier của một số hàm thông dụng
Bài giảng Toán Kỹ Thuật 2012 15
2 ( )πδ ω
ω
0
↔
t
0
1
 f(t)=1:
( ) 2 ( )F ω πδ ω= 1( ) 2 ( ) 1
2
j tf t e dωπδ ω ω
π
+∞
−∞
⇒ = =∫
⇒ 1 2 ( )πδ ω↔
Bài giảng Toán Kỹ Thuật 2012 16
 f(t) xung cổng đơn vị:
( )e tr ct τ =
0 / 2
1 / 2
t
t
τ
τ
>
<
/ 2 / 2/ 2
/ 2
0
1( ) ( )
j j
j t j t j tt e eF rect e dt e dt e
j j
ωτ ωττω ω ω
τ τ
ω
ω ω
+∞ −+∞ − −
−∞ −
−
= = = − =∫ ∫
( ) ( )
( ) ( )
2 2
2
2
sin2sin
( ) sin
j
F c
j
ωτ ωτ
ωτ
ωτω τ τω
⇔ = = =
⇒ ( ) ( )2sinrect ct ωτττ ↔
Biến đổi Fourier của một số hàm thông dụng
t
trect
τ
 
 
 
1
2
τ
−
2
τ
( )0 0 02sin ( )c t rect
ω
ω
ω ω
π
↔
 Hàm bước (nấc) đơn vị : u(t)
Bài giảng Toán Kỹ Thuật 2012 17
Biến đổi Fourier của một số hàm thông dụng
0 0
( )
1 0
t
u t
t
<
=  >
t
( )u t
1
1( ) ( )u t
j
πδ ω
ω
↔ +
Bài giảng Toán Kỹ Thuật 2012 18
( )ate u t−
( )u t
t
0
1
2 20 0 0
1( ) lim ( ) lim limat j t
a a a
a jF e u t e dt
a j a
ω ωω
ω ω
+∞ − −
−∞→ → →
− ⇒ = = =  + + ∫
0
( ) lim ( )at
a
u t e u t−
→
=
2 20
1( ) lim
a
aF
a j
ω
ω ω→
⇒ = +
+ Diện tích bằng π
1( ) ( )F
j
ω πδ ω
ω
⇒ = +
( ) ( ) 1/u t jπδ ω ω↔ +
 Hàm dấu 
Bài giảng Toán Kỹ Thuật 2012 19
Biến đổi Fourier của một số hàm thông dụng
1 0
sgn( )
1 0
t
t
t
>
= − <
t
sgn( )t
1
1−sgn( ) 2 ( ) 1t u t= −
2sgn( ) 2 ( ) 2 ( )t
j
πδ ω πδ ω
ω
↔ + −
2sgn( )t
jω
↔
Các cặp biến đổi Fourier
Bài giảng Toán Kỹ Thuật 2012 20
f(t) F(ω) 
( )tδ 1 
1 2 ( )πδ ω 
u(t) 
1( )
j
πδ ω
ω
+ 
sgn(t) 
2
jω 
( ) & ( ) ( 0)at ate u t e u t a− − > 
1 1&
a j a jω ω+ −
( 0)a te a− > 2 2
2 1 1a
a a j a jω ω ω
= +
+ − +
Bài giảng Toán Kỹ Thuật 2012 21
Các cặp biến đổi Fourier
f(t) F(ω) 
( ) ( 0)atte u t a− > 2
1
( )a jω+
( ) ( 0)n att e u t a− >
 1
!
( )n
n
a jω ++
0j te ω 02 ( )πδ ω ω− 
0cos( )tω [ ]0 0( ) ( )π δ ω ω δ ω ω+ + − 
0sin( )tω [ ]0 0( ) ( )jπ δ ω ω δ ω ω+ − − 
Bài giảng Toán Kỹ Thuật 2012 22
Các cặp biến đổi Fourier
f(t) F(ω) 
0cos( ). ( )t u tω [ ]0 0 2 2
0
( ) ( )
2
jπ ωδ ω ω δ ω ω
ω ω
+ + − +
−
0sin( ). ( )t u tω [ ] 00 0 2 2
0
( ) ( )
2
j ωπ δ ω ω δ ω ω
ω ω
+ − − +
−
0cos( ). ( )
( 0)
ate t u t
a
ω−
>
 2 2
0( )
a j
a j
ω
ω ω
+
+ +
0sin( ). ( )
( 0)
ate t u t
a
ω−
>
0
2 2
0( )a j
ω
ω ω+ +
Khảo sát mạch điện có thông số phụ thuộc ω
 h(t) đáp ứng xung: đáp ứng với ngõ vào là δ(t)
Bài giảng Toán Kỹ Thuật 2012 23
( )h t( )f t
( )y t
( ) ( ) ( ) ( ) ( )y t f t h t f h t dτ τ τ
+∞
−∞
= ∗ = −∫ Tích chập
( )H ω
( )F ω ( )Y ω
( ) ( ) ( )Y F Hω ω ω=

-1