Bài giảng Toán kỹ thuật - Chương 2: Tích phân Fourier & biến đổi Fourier

Chương 2 Tích phân Fourier & biến ñổi Fourier 
Bài giảng Toán Kỹ Thuật 2012

 2.1 Tích phân Fourier

 2.2 Phép biến ñổi Fourier 

 2.3 Ứng dụng của tích phân Fourier và biến ñổi Fourier

 2.4 Các hàm bất thường và biến ñổi Fourier của chúng
1

 Hàm tuần hoàn 
2
2.1 Tích phân Fourier

 Hàm chỉ xác ñịnh 
trên khoảng kín

 Chuỗi Fourier 

 Hàm không tuần hoàn 

 Chuỗi Fourier 

 Tích phân Fourier 
Bài giảng Toán Kỹ Thuật 2012
Bài giảng Toán Kỹ Thuật 2012 3

 Khác biệt giữa hàm tuần hoàn và không tuần hoàn ?
Chu kỳ T hữu hạn và vô hạn
2.1.1 Tích phân Fourier 
→∞T
T/2-T/2 T-T
f(t)
T/2-T/2
f(t)
→∞T
f(t)

 Cần tìm khai triển Fourier cho f(t) trong khoảng (-∞,+∞) 
4
2.1.1 Tích phân Fourier 

 Ta sẽ bắt ñầu từ fΤ(t)
→∞T
f(t)
T/2-T/2
f
T
(t)
t

 Dễ thấy rằng
→∞
=( ) lim ( )
TT
f t f t
Bài giảng Toán Kỹ Thuật 2012

 Hàm tuần hoàn fT(t) 
có ñịnh nghĩa trong 
1 chu kỳ là
5
2.1.1 Tích phân Fourier
 − < < −

= − < <
 < <
2
2
0 1
( ) 1 1 1
0 1
T
T
T
t
f t t
t

 fT(t) có khai triển Fourier là :
ω
ω ω
ω
+∞ +∞
= =
= + = +∑ ∑0 00 0
1 1 0
sin( )2 4
( ) cos( ) cos( )
2T nn n
a n
f t a n t n t
T T n
T/2-T/2
f
T
(t)
1-1
1
t
Bài giảng Toán Kỹ Thuật 2012
ω( )A
ω
pi
2
pi pi2ω
0
ω
0
2
Bài giảng Toán Kỹ Thuật 2012 6
0
0
sin( ) sin4 2 n
n
n
n
a
T n
ω ω
ω
ω pi ω
= = ∆
2.1.1 Tích phân Fourier 
ω ω
ω ω
=
∆ =
0
0
n
n

 ðặt

 ðịnh nghĩa hàm biên ñộ
ω
piω
ω
ω
pi ω

=
= 
 >

2
0
( )
2 sin
0
A
ω
ω ω
ω
=
sin( )
sinc( )=Sa( )
ω( )A
ω
pi
2
pi pi2ω
0
ω
0
2
Bài giảng Toán Kỹ Thuật 2012 7
2.1.1 Tích phân Fourier 

 Chu kỳ T kéo dài → các vạch (ñặc trưng cho biên ñộ ) 
chạy dồn về trục tung trên ñường biên ñộ A(ω)
Bài giảng Toán Kỹ Thuật 2012 8
sin2 n
n
n
a
ω
ω
pi ω
= ∆
2.1.1 Tích phân Fourier 

 Viết lại fT(t)
ω
ω
ω
+∞
=
= +∑ 0 0
1 0
sin( )2 4
( ) cos( )
T
n
n
f t n t
T T n
ωω
ω ω
pi pi ω
ω ω ω
pi
+∞
=
+∞
=
∆
= + ∆
 
= + ∆ 
 
∑
∑
1
1
sin( )2
( ) {cos( )}
1
( ) ( ){cos( )}
n
T n
n n
T n
n
f t t
f t A t
Bài giảng Toán Kỹ Thuật 2012 9
2.1.1 Tích phân Fourier 

 Nếu xét t cố ñịnh và biến ω thay ñổi ta có: ω→∞ →; 0T
ω ω ω
+∞
→∞
= = ∫
0
( ) lim ( ) ( )cos( )
TT
f t f t A t d
ωω
ω ω
pi pi ω
ω ω ω
pi
+∞
=
+∞
=
∆
= + ∆
 
= + ∆ 
 
∑
∑
1
1
sin( )2
( ) {cos( )}
1
( ) ( ){cos( )}
n
T n
n n
T n
n
f t t
f t A t
Tích phân Fourier
Bài giảng Toán Kỹ Thuật 2012 10
2.1.1 Tích phân Fourier 

 Lý luận tương tự khi dùng khai triển số mũ 
ta ñược tích phân Fourier mũ phức 
ω
•+∞
=−∞
= ∑ 0( ) jn tT n
n
f t D e
ω
•
−
−
= ∫
2
0
2
1
( )
T
T
jn t
n
D f t e dt
T
ω ω ω
pi
+∞
−
=−∞
−
 
= ∆ 
  
∑ ∫
2
2
1
( ) ( )
2
T
n n
T
j t j t
T
n
f t f t e dt e
ωω ω
+∞
→∞
−∞
= = ∫( ) lim ( ) ( )
j t
TT
f t f t D e d
Bài giảng Toán Kỹ Thuật 2012 11

 ðịnh lý :
Nếu f(t) thỏa ñiều kiện Dirichlet trên mọi khoảng hữu hạn
 và nếu hội tụ thì:
2.1.1 Tích phân Fourier 
|f(t)|dt ∞
−∞
∫
1 1jωt j t +
2π 2f(t)e dt e dω f(t ) f(t ) ω
+∞ +∞
− −
−∞ −∞
 
 = +   
 
∫ ∫
Bài giảng Toán Kỹ Thuật 2012 12
Tích phân Fourier mũ phức 
ωω ω
+∞
−∞
= ∫( ) ( )
j tf t D e d
ωω
pi
+∞
−
−∞
= ∫
1
( ) ( )
2
j tD f t e dt
Miền t:
f(t)
Miền ω:
F(ω)
F
F−1
( ) 2 ( )F Dω pi ω=
Tương ñồng giữa chuỗi phức và tích phân phức
Bài giảng Toán Kỹ Thuật 2012 13
Chuỗi 
Fourier phức
Tích phân 
Fourier phức
ω
+∞
=−∞
•
−
∑
∫
2
2
0
1
T
T
n
n
D
n
dt
T
ω
ω
ω
pi
+∞
−∞
+∞
−∞
∫
∫
( )
1
2
d
D
dt
Ví dụ tích phân Fourier mũ phức 
Bài giảng Toán Kỹ Thuật 2012 14
Cho hàm f(t) ñịnh nghĩa bởi 
Tìm tích phân Fourier mũ phức 
biểu diễn cho f(t) ?
0 0( ) ( 0)
0at
tf t a
e t−
<
= >
>
( )
0
0
1 1 1( ) ( )
2 2 2 ( )
j t at j t a j tD f t e dt e e dt e
a j
ω ω ωω
pi pi pi ω
+∞ +∞
+∞
− − − − +
−∞
−
= = =
+∫ ∫
1( ) ( )
2 ( ) 2 ( )
j teD f t d
a j a j
ω
ω ω
pi ω pi ω
+∞
−∞
= ⇒ =
+ +∫
Giải
Bài giảng Toán Kỹ Thuật 2012 15
2.1.2 Tích phân Fourier dạng chuẩn
1( ) ( ) co s ( )A f t t d tω ω
pi
+∞
−∞
= ∫

 Nếu ñịnh nghĩa

Thì tích phân Fourier dạng chuẩn là
1( ) ( ) s in ( )B f t t d tω ω
pi
+∞
−∞
= ∫
[ ]
0
( ) ( ) cos( ) ( )sin( )f t A t B t dω ω ω ω ω
+∞
= +∫
Ví dụ tích phân Fourier dạng chuẩn 
Bài giảng Toán Kỹ Thuật 2012 16
Tìm tích phân Fourier 
dạng chuẩn của f(t) ?
0 0( ) ( 0)
0at
tf t a
e t−
<
= >
>
0 0
1 1( ) cos( ) ; ( ) sin( )at atA e t dt B e t dtω ω ω ω
pi pi
+∞ +∞
− −
= =∫ ∫
2 2 2 2( ) ; ( )( ) ( )
aA B
a a
ω
ω ω
pi ω pi ω
= =
+ +
2 2
0
1 1( ) ( ) ( ) ( )
at j t a jA jB e e dt
a j a
ω ωω ω
pi pi ω pi ω
+∞
−
+
+ = = =
− +∫
2 2
0
cos sin( ) ( )
a t tf t d
a
ω ω ω
ω
pi ω
+∞ +
⇒ =
+∫
Giải
Bài giảng Toán Kỹ Thuật 2012 17
2.1.3 Tích phân Fourier cos và sin
0
2( ) ( ) co s ( )A f t t d tω ω
pi
+∞
= ∫

 Nếu f(t) chẵn

Thì tích phân Fourier cos là
0
( ) ( ) cos( )f t A t dω ω ω
+∞
= ∫
Bài giảng Toán Kỹ Thuật 2012 18
2.1.3 Tích phân Fourier cos và sin
0
2( ) ( ) s in ( )B f t t d tω ω
pi
+∞
= ∫

 Nếu f(t) lẻ

Thì tích phân Fourier sin là
0
( ) ( )sin( )f t B t dω ω ω
+∞
= ∫
Bài giảng Toán Kỹ Thuật 2012 19
2.1.3 Tích phân Fourier cos và sin

 ðịnh lý
Nếu hàm f(t) = 0 khi t < 0 thì tích phân Fourier cos và tích 
phân Fourier sin lần lượt bằng hai lần số hạng thứ nhất và 
thứ hai trong tích phân Fourier dạng chuẩn.

 Gợi ý :Thêm hàm ϕ(t) ñể f(t) thành chẵn hoặc lẻ
Ví dụ tích phân Fourier cos và Fourier sin 
Bài giảng Toán Kỹ Thuật 2012 20
Tìm tích phân Fourier 
cos , fourier sin của f(t) ?
0 0( ) ( 0)
0at
tf t a
e t−
<
= >
>
2 2
0
1 cos sin( ) ( )
a t tf t d
a
ω ω ω
ω
pi ω
+∞ +
=
+∫
Giải
2 2
0
2 cos( ) ( )
a tf t d
a
ω
ω
pi ω
+∞
=
+∫
2 2
0
2 sin( ) ( )
tf t d
a
ω ω
ω
pi ω
+∞
=
+∫