Bài giảng Toán kỹ thuật - Chương 1: Chuỗi Fourier

Chương 1 Chuỗi Fourier
Bài giảng Toán Kỹ Thuật 2012
 1.1 Hàm tuần hoàn
 1.2 Chuỗi Fourier của hàm tuần hoàn
 1.3 Các công thức khác để tính các hệ số Fourier
 1.4 Khai triển bán kỳ
 1.5 Các dạng khác của chuỗi Fourier
 1.6 Ứng dụng của chuỗi Fourier
1
 Hàm tuần hoàn đối xứng chẵn ( ) ( )f t f t= −
2
0
0
2
0
0
4 ( )
4 ( ) cos( )
0
T
T
n
n
a f t dt
T
a f t n t dt
T
b
ω
=
=
=
∫
∫
Bài giảng Toán Kỹ Thuật 2012 2
1.4 Khai triển bán kỳ cho f(t) đối xứng
 Các hệ số khai triển Fourier
Chuỗi Fourier côsin
Bài giảng Toán Kỹ Thuật 2012 3
 Định lý 1.7:
Nếu f là hàm tuần hoàn chẵn, thỏa điều kiện Dirichlet 
thì chuỗi Fourier của nó có dạng:
0
0
1
( ) cos( )
2 nn
af t a n tω
+∞
=
= +∑
2 2
0 0
0 0
4 4( ) ; ( ) co s( )
T T
na f t dt a f t n t dtT T
ω= =∫ ∫
1.4 Khai triển bán kỳ cho f(t) đối xứng
 Hàm tuần hoàn đối xứng lẻ ( ) ( )f t f t= − −
0
2
0
0
0
0
4 ( )sin( )
n
T
n
a
a
b f t n t dt
T
ω
=
=
= ∫
Bài giảng Toán Kỹ Thuật 2012 4
1.4 Khai triển bán kỳ cho f(t) đối xứng
 Các hệ số khai triển Fourier
Chuỗi Fourier Sin
Bài giảng Toán Kỹ Thuật 2012 5
 Định lý 1.8:
Nếu f là hàm tuần hoàn lẻ, thỏa điều kiện Dirichlet thì 
chuỗi Fourier của nó có dạng:
0
1
( ) sin( )n
n
f t b n tω
+∞
=
=∑
1.4 Khai triển bán kỳ cho f(t) đối xứng
2
0
0
4 ( )sin( )
T
nb f t n t dtT
ω= ∫
 Hàm tuần hoàn đối xứng nửa sóng ( )
2
Tf t f t = − ± 
 
0
2
0
0
2
0
0
0
0 ( 2 )
4 ( )cos( ) ( 2 1)
0 ( 2 )
4 ( )sin( ) ( 2 1)
T
n
T
n
a
n k
a
f t n t dt n k
T
n k
b
f t n t dt n k
T
ω
ω
=
=

= 
= +

=

= 
= +

∫
∫
Bài giảng Toán Kỹ Thuật 2012 6
1.4 Khai triển bán kỳ cho f(t) đối xứng
 Các hệ số khai triển Fourier
Bài giảng Toán Kỹ Thuật 2012 7
 Định lý :
Nếu f là hàm tuần hoàn nửa sóng, thỏa điều kiện 
Dirichlet thì chuỗi Fourier của nó có dạng:
( )0 0
1
( 2 1)
( ) cos( ) sin( )n n
n
n k
f t a n t b n tω ω
+∞
=
= +
= +∑
2
0
0
4 ( )sin( )
T
nb f t n t dtT
ω= ∫
2
0
0
4 ( ) cos( )
T
na f t n t dtT
ω= ∫
1.4 Khai triển bán kỳ cho f(t) đối xứng
Dời trục tọa độ
Bài giảng Toán Kỹ Thuật 2012 8
f(t)
t
g(t)
t
τ
h
( ) ( )f t h g t τ= ± + ±
Ví dụ chuỗi Fourier cho tín hiệu đối xứng
Bài giảng Toán Kỹ Thuật 2012 9
 Ta biểu diễn f(t) theo g(t): 
 g(t) là tín hiệu đối xứng lẻ nên có chuỗi Fourier: 
Giải
Cho hàm f(t) định nghĩa bởi : f(t) = t + π
( – π < t < π) và f(t) = f(t + 2π). Xác định 
chuỗi Fourier biểu diễn cho f(t) ?
f(t) = π + g(t)
T = 2π; ω0 = 1; g(t) = t (0 < t < π)
Bài giảng Toán Kỹ Thuật 2012 10
Ví dụ chuỗi Fourier cho tín hiệu đối xứng
π π
0 0
n 0 2
0 00 0 0
tcos(nω t) sin(nω t)4 2 2b tsin(nω t)dt cos(nπ)
2 nω (n ω) n
 
 = = − + = −
  
∫
π
π π
 Chuỗi Fourier của g(t): 
1
( ) sin( )n
n
g t b nt
∞
=
=∑
 Chuỗi Fourier của f(t): 
1
cos( )( ) 2 sin( )
n
nf t nt
n
ππ
∞
=
−
= + ∑
1.4.3 Chuỗi Fourier của hàm chỉ xác định trên [0,T/2]
Bài giảng Toán Kỹ Thuật 2012 11
 Xét hàm f(t) chỉ xác định trên khoảng kín [0,T/2]
 Ta cần tìm khai triển Fourier của f(t)
Mở rộng hàm f(t) thành hàm 
F(t) tuần hoàn
2
2
( ) 0
( ) ( )
( )
T
T
t t
F t f t o t
F t T t
ϕ − < <
= ≤ ≤
 + ∀
 Theo ĐL Dirichlet F(t) có khai triển Fourier và hội tụ về F(t) tại
các điểm mà F(t) liên tục ⇒ bất chấp ϕ(t) chuỗi Fourier của F(t) cũng
hội tụ về f(t) trong đoạn [0,T/2]
 Chọn ϕ(t) ?
 Chọn ϕ(t) = f(-t) → F(t) hàm chẵn
 Chọn ϕ(t) = -f(-t) → F(t) hàm lẻ
1.4.3 Chuỗi Fourier của hàm chỉ xác định trên [0,T/2]
Bài giảng Toán Kỹ Thuật 2012 12
 Định lý 1.9:
Nếu f(t) là hàm chỉ xác định trên khoảng kín [0, T/2] và thỏa 
điều kiện Dirichlet thì nó có thể được khai triển thành :
0
0
1
( ) cos( )
2 nn
af t a n tω
+∞
=
= +∑
0
1
( ) sin( )n
n
f t b n tω
+∞
=
=∑
Khai triển bán kỳHoặc thành chuỗi Fourier sin
Chuỗi Fourier côsin
Ví dụ khai triển bán kỳ
 Cho hàm f(t) định nghĩa bởi 
f(t)= t+2 ( 0 < t < 2)
 Xác định chuỗi Fourier sin biểu 
diễn cho f(t)
 Thiết lập hàm lẻ F(t)
 Xác định hệ số bn
Bài giảng Toán Kỹ Thuật 2012 13
f(t)
t
2
2
4
Giải F(t)
t
2
2
4
4-2 -2
-4
4 (1 2cos )nb nn
π
π
= −
 Chuỗi Fourier sin của f(t)
( ) ( ) ( ) ( )12 2 4 12 2 2 2( ) sin sin 2 sin 3 sin 4 ...f t t t t tπ π π ππ π π π= − + − +
1.5 Các dạng khác của chuỗi Fourier
 Dạng sóng hài cosin
 Dạng sóng hài sin
Bài giảng Toán Kỹ Thuật 2012 14
 Chuỗi Fourier dạng sóng hài
0 0
1
( ) cos( )n n
n
f t C C n tω α
+∞
=
= + +∑
0 0
1
( ) sin( )n n
n
f t C C n tω β
+∞
=
= + +∑
 Các hệ số khai triển
2 20
0 ;2
;
n n n
n n
n n
n n
aC C a b
b aarctg arctg
a b
α β
= = +
= − =
1.5 Các dạng khác của chuỗi Fourier
Bài giảng Toán Kỹ Thuật 2012 15
 Chuỗi Fourier dạng mũ phức 0( ) jn tn
n
f t D e ω
+∞ •
=−∞
= ∑
 Các hệ số khai triển phức
0
0 0 2
2 2
2 2
n n n
n n
n n n
n n n
aD C
a jb CD
a jb CD D
α
α
•
•
• ∗
−
= =
−
= = ∠
+
= = ∠− =
2
0
2
1 ( )
T
T
jn t
nD f t e dt
T
ω
•
−
−
= ∫
 Quan hệ với các hệ 
số của khai triển 
lượng giác và khai 
triển hài
1.5 Các dạng khác của chuỗi Fourier
Bài giảng Toán Kỹ Thuật 2012 16
 Phổ biên độ của hàm f(t)
0( ) jn tn
n
n n n
f t D e
D D
ω
α
+∞ •
=−∞
•
=
= ∠
∑
 Có tần số cơ bản ω0 = 2π/T
 Các họa tần (hài) ωn = nω0 = 2nπ/T
 Hàm f(t) có khai triển phức
Phổ biên độ còn gọi là phổ tần số hay tần phổ.
 Định nghĩa : Phổ biên độ của chuỗi Fourier mũ phức 
của hàm tuần hoàn f(t) là đồ thị các điểm (nω0, |Dn|).
Ví dụ phổ biên độ
Bài giảng Toán Kỹ Thuật 2012 17
0
( 2 1)
2( ) jn t
n
n k
Af t j e
n
ω
π
+∞
=−∞
= +
= −∑ Và khai triển phức 
 Khai triển lượng giác 
f(t)
t
A
-A
T/2-T/2 0 T
0
1
( 2 1)
4( ) sin( )
n
n k
Af t n t
n
ω
π
+∞
=
= +
= ∑
 Phổ biên độ
Dn 2A/π
2A/3π
2A/5π
2A/7π
1 3 5 7-1-3-5-7
0
ω
ω